Interaktív szimulációs környezet a valószínűségszámítás egyetemi okatásához

Átírás

1 Interaktív szimulációs környezet a valószínűségszámítás egyetemi okatásához dr. Vetier András és Kátay Bálint Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Munkánk, melynek rövid bemutatását Ön most a kezében tartja, olyan dolgokról, jelenségekről szól, melyeknek lényegük, hogy ne legyenek rögzítetten papírra nyomtatva, hanem engedjük bennük a véletlent működni, és mi megfigyelhessük, megtapasztalhassuk a véletlenben rejlő törvényszerűségeket. Ezért kérjük, próbálja ki az anyagot, melynek címe: Munkánk célját az absztraktban kifejtettük. Jelen írásunkkal szeretnénk segíteni, hogy a megadott honlap-címen található anyaggal Ön megismerkedhessen. Az elektronikus oktatási anyagokat többnyire tanárok útmutatásai nyomán állítják össze. A mai oktatók többsége ugyan számottevő tapasztalattal rendelkezik a könyvírás terén, ugyanakkor a számítástechnika által nyújtott lehetőségek viszonylag idegenek számukra. Hallgatói oldalról leggyakrabban mégis az okoz nehézséget, hogy még önmagában az informatikai tájékozottság sem érezhető mindig tökéletesen elegendőnek, csak a szemléltető eszközök átgondolt, céltudatos használatával érhető el az optimális hatékonyság. Ennek érdekében szükséges bizonyos mértékig szelektálni az egyes anyagrészek között, hogy hol ajánlott alkalmazni ezeket a kiegészítőket és hol nem. E válogatás megkönnyítéséért pedig célszerűen megpróbáljuk egy képzeletbeli ranglétra egyes fokaira helyezni előadásunk egyes főbb szakaszait és mérlegelni, hogy mit is szeretnénk átadni (hangsúlyosabban, avagy kevésbé hangsúlyosan) a diákoknak. Többek önbevallásuk szerint csak azért tanítanak szokványos, néha már-már elavultnak nevezhető módszerekkel, mert (ha az anyagi problémáktól átmenetileg elvonatkoztatunk) nincs aki kellőképpen informálja őket a számítástechnika rohamos fejlődésével feltáruló lehetőségekről, így ténylegesen fel sem merülhet az igényük ezen újdonságok iránt, hisz nem tudnak létezésükről. Vitathatatlan tény, hogy az új eszközök használata újdonságukból fakadóan bonyolult, nehézkes lehet. Annak, aki nem a számítástechnika felgyorsult, úttörő korszakába született bele, valóban sok munkájába kerülhet egy ilyen jellegű fejlesztés. Ez nemcsak a technológiai problémák következménye lehet, hanem azért is, mert rengeteget kell kísérletezni és gyakorolni, míg igazán ráérez az ember e módszerek lényegére, előnyeire (és hogy pontosan mely tulajdonságaikat tekintve egyedülállók a korábbiakhoz képest). Elsődleges célunk az előadások támogatása volt, ám azt is szerettük volna elérni, hogy anyagunk hordozható legyen. Főként ez a két látszólag egymásnak ellentmondó feltétel határozta meg a munkánkkal szemben támasztott elvárásainkat. Olyan technológiára volt szükségünk, mely lehetővé teszi egyfelől azt, hogy az anyag otthon is és más tanárok számára is könnyen kezelhető legyen, emellett elősegíti programunk problémamentes publikációját; tehát nem igényel szélsőségesen specifikus hardver és szoftver környezetet, beállításokat.

2 Reményeink szerint a megvalósításban megjelenő dinamizmus, újszerűség segít a hallgatóság részéről tapasztalható manapság egyre nagyobb problémát jelentő érdektelenség, közöny leküzdésében. Az anyag a valószínűségszámítás legfontosabb diszkrét és folytonos eloszlásai közül mutatja be néhányat, melyeken keresztül meg lehet ismerkedni a valószínűségszámítás általános fogalmaival. Itt, ebben a rövid írásban ízelítőül - a folytonos eloszlásokról szóló részből ismertetünk néhány gondolatot. A folytonos eloszlások bemutatását az egyenletes eloszlás megjelenítésével kezdjük, mert - egyrészt a sok új gondolatot ezen az egyszerű példán keresztül tartottuk a legalkalmasabbnak bevezetni, - másrészt az anyagban előforduló folytonos eloszlások közül több is az egyenletes eloszlásból származtatható. Egyenletes eloszlás bevezetése pörgettyűvel A folytonos eloszlások bemutatásánál nem az absztrakcióból, hanem a jelenségből indulunk ki. Az egyenletes eloszlás esetében a jelenség egy pörgettyű segítségével a valóságban is könnyen modellezhető. A pörgettyűt virtuális megjelenítésének fő célja, hogy a valóság és az anyagunk által létrehozott kontextus közötti átmenetet a hallgató könnyen, nagy bizalommal tehesse meg. A bizalom felépítése azért fontos, mert a későbbiekben olyan jelenségeket fogunk megmutatni, amiknek a valóságban való prezentálására jellemzően idő hiányában nincs lehetőség. A pörgettyűt meg is döntethetjük. Ennek jelentősége abban áll, hogy így össze lehet hasonlítani az egyenletes eloszlást nem egyenletes eloszlásokkal. Megérezhetjük, hogy az egyenletesség nem magától értetődő, a kialakulása speciális körülményeket kíván. Sűrűség szemléltetése festékkel A sűrűségfüggvény speciális ábrázolása színárnyalatokkal, festékkel is történhet, hiszen az eloszlás sűrűségfüggvénye úgy is jellemezhető, mint amikor festéket kenünk szét a számegyenesen. Ennek a vizualizációs technikának még nagyobb jelentősége van a kétdimenziós eloszlások tárgyalásánál. Egyenletesből származtatott eloszlások A másodikként bemutatásra kerülő árkusz szinusz eloszlás az egyenletes eloszlásból származtatott. Egy félkör kerületén veszünk az egyenletes eloszlás szabályai szerint egy pontot, és azt a félkör átmérőjére 2

3 vetítjük. Ezt az eloszlást is képzésének bemutatásával vezetjük be. Hasonlóan képződik a Cauchy eloszlás, viszont esetében nem az átmérőre vetítünk, hanem a félkör középpontján keresztül annak egyik érintőjére. A vizualizáció során a félkör direkt másképp áll, mint az árkusz szinusz esetében, azért hogy még jobban elváljon a másik esettől. A Cauchy eloszlás esetén előfordulhat, hogy a pont kiszalad a képernyőről, azaz nem fér be az ábrázolt tartományba. A Cauchy eloszlás e fontos tulajdonsága a látványos illusztráció segítségével megélhető. A kiesett pontok száma pirossal megjelenik a pontfelhő alatt, a képernyő bal felén. Fontos tény, hogy adott kísérletszámnál és ábrázolt intervallumnál a kívül esett pontok száma Cauchy eloszlás és normális eloszlás esetén jelentősen eltér. Exponenciális eloszlás Az exponenciális eloszlást hagyományos előadások keretében kizárólag elméletileg lehetett csak tárgyalni, tényleges kísérlet szóba sem jöhetett. Ennek oka az, hogy itt az idő jut lényeges szerephez, mert várakozási idők, élettartamok követnek exponenciális eloszlást. A számítógép nélkül nehezen realizálható kísérletek nagyon sok időt is igényelnek. Az eloszlást bevezető első példa villanykörték élettartamát vizsgálja. A kísérlet az izzó meggyújtásával és az óra indításával kezdődik. Az idő múlása mind a számmal, mind grafikusan, növekvő vonallal is nyomon követhető. Az órát akkor állítjuk le, amikor az izzó kiég. Az, hogy mennyi ideig égett a lámpa, a lámpa élettartama a kísérlet eredménye. A kísérletek eredményeit pontfelhőként ábrázoljuk. Lehetőség van automatikus kísérletsorozat végrehajtására, ekkor az izzó kiégése után nem sokkal a program automatikusan új kísérletbe kezd. Az idő gyorsításával viszonylag rövid idő alatt elvégezhető annyi kísérlet, amiből már lehet érezni a jelenség lényegét. A λ paraméter változtatásával az izzók minőségét tudjuk változtatni. Kisebb λ esetén az izzók később, nagyobb λ esetén hamarabb kiégnek. Figyeljük meg, hogy eddig a hely játszotta a meghatározó szerepet. Itt már megjelenik az idő. Az idő természeténél fogva nehezen tárgyalható hagyományos módszerekkel. Mi itt viszont megvalósítjuk a jelenségeket, lehetőségünk van felgyorsítani történéseket, így egy tanóra keretein belül is meg lehet mutatni a jelenségeket. Nálunk az idő valóban idő, nem egy hely a t tengelyen. Az autós példában egy háromsávos utat szimulálunk, és azt vizsgáljuk, hogy a piros autók sárga vonalon történő áthaladása között mennyi idő telik el. Az ilyen várakozási időkből készített pontfelhők közelíthetők exponenciális eloszlásokkal. A paraméter jelentése: a forgalom intenzitása..ugyanezeken a példákon keresztül más eloszlást is előállíthatunk. Egy gamma eloszlású valószínűségi változó, 3

4 ami független exponenciális eloszlású valószínűségi változók összege, ugyanezeken a példákon keresztül vizualizálható, csak egyedi izzók helyett izzókészletek élettartamát, illetve a harmadik piros autó érkezését vizsgáljuk. Normális eloszlás A normális eloszlást a centrális határeloszlás tételén keresztül (anyagunkban: összeg képzése ) vezetjük be. Ez a tétel azt mondja ki, hogy véletlen mennyiségek összegzésével normális eloszlást kapunk. Ezt korábban csak ki lehetett jelenteni, beszélni lehetett róla, most már azonban meg is lehet tapasztalni. A centrális határeloszlás tételének állítását így végigkövetve, megélve, látván a pontfelhőket, az élmény egészen más ahhoz képest, mint amikor az előadó csak képleteket ír a táblára. Átmenet a diszkrét és a folytonos eloszlások között A binomiális eloszlások normális eloszlásokkal való közelítésének szemléltetésére szolgáló példában demonstráljuk, hogy a binomiális eloszlás rendjének növelésével a binomiális eloszlás egyre közelebb kerül a megfelelő paraméterű normális eloszláshoz, illetve az ő standardizáltja a standard normális eloszláshoz. Ebben a példában nem véletlen pontfelhőkkel, hanem magukkal az eloszlásokkal dolgozunk. Egy matematikai határérték tétel állítását szemléltetjük azáltal, hogy a binomiális eloszlás rendjét egyre növeljük és növeljük, és eközben megtapasztalhatjuk, hogy a diszkrét eloszlás a folytonos eloszlással közelíthető. A közelítés pontossága az ábrán képszerűen jelenik meg. Szintén a diszkrét világ folytonosba való átmenetére példa az, amikor diszkrét geometria eloszlás közelít a folytonos exponenciális eloszláshoz. Örökifjú tulajdonság 4

5 Az exponenciális eloszlás örökifjú más néven emlékezet nélküli tulajdonságát szembe állítjuk a nem exponenciális eloszlások viselkedésével. Pontfelhők segítségével bemutatjuk, hogy exponenciális eloszlás esetén egy bizonyos vágás és eltolás hatása megegyezik egy bizonyos ritkítás hatásával. Ez élesen szembeállítható azzal, hogy egyéb eloszlásokra a vágás és eltolás hatása élesen különbözik a ritkítás hatásától. A ritkításra azért van szükség, mert a vágás során keletkező pontfelhő kevesebb pontból áll, mint az eredeti. A kapott eloszlás úgy hasonlítható össze az eredetivel, ha abból véletlenszerűen elhagyunk annyi pontot, amennyi a vágás miatt kiesett. Az ábrán egy fiatalodó eloszlás látható. Figyeljük meg, hogy az eltolt (harmadik, barna pontfelhő) eloszlás esetén nagyobb esély van a hosszabb életre, mint az eredeti ritkított (negyedik, kék) eloszlásnál. Transzformációk A folytonos eloszlások bizonyos kapcsolatait az eloszlástranszformációk tárgyalásával lehet bemutatni. Arra törekedtünk, hogy az érdeklődő tanulónak lehetősége legyen minél több eloszlást minél többféle transzformációnak alávetnie. A transzformációk segítségével a hallgató felismerheti az eloszlások közti összefüggéseket. A különböző eloszlások transzformációival való kísérletezés egyfajta élmény nyújt, nyitottságot, kíváncsiságot ébreszt. Ha a kiindulásként vett pontfelhőnek ismerjük a matematikai modelljét, a transzformáció segítségével mindenféle új eloszlásokat tapasztalhatunk meg a pontfelhő segítségével. A két pontfelhő megjelenése stimuláló hatást gyakorol a hallgatókra, mert felmerül a kérdés, hogy a transzformációval adódó eloszlás elméleti sűrűségfüggvényét hogyan lehet kiszámolni. Az eloszlástranszformációs eszköz segítségével újabb nevezetes eloszlások is előállíthatóak. A normális eloszlásból exponenciális transzformációval lognormális eloszlást kaphatunk. A gyakorlati alkalmazásokban felmerülői szimulációs feladatok 5

6 megoldásához szükség van arra, hogy mindenféle eloszlású valószínűségi változót tudjunk generálni. A számítógépes programok általában egyenletes eloszlású véletlen számot állítanak elő. Az, hogy a véletlen-generátor által előállított egyenletes eloszlásból hogyan lehet más eloszlásokat kapni, nagyon fontos kérdés. Például az exponenciális eloszlást az egyenletesből úgy kaphatjuk, hogy az egyenletest logaritmikus transzformációnak vetjük alá. A jelen anyag terjedelmének korlátai miatt e ponton arra kérjük Önt, hogy kérdésével, véleményével keressen meg bennünket címeinken: Dr. Vetier András: vetier@math.bme.hu és Kátay Bálint: val3@fre .hu Irodalom: [1] Richard E. Mayer: Multimedia Learning, Cambridge University Press (April 23, 2001) [2] Walter O Dick: The Systematic Design of Instruction, Allyn & Bacon; 5 edition (October 24, 2000) [3] dr. Vetier András: Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest (1981) [4] (Coedu e-learning környezet) [5] (MIT s OpenCourseWare) [6] [7] [8] [9] [10] (Breeze kommunikációs és e-learning rendszer) [11] (Classroom presenter) [12] [13] (Producer 2003) [14] [15] Jim Buyens: Microsoft Office FrontPage 2003 Inside Out, Microsoft Press; 1 edition (August 27, 2003) [16] Dave Stearns: Programming Microsoft Office 2000 Web Components, Microsoft Press (August 1, 1999) [17] Campbell Gunn: JavaScript For Developers Series, LearnKey (JScript e-learning tananyag) [18] (JScripttel kapcsolatos anyagok) [19] Walter J. Ong: Orality and Literacy, Methuen & Co. (1984) [20] György Péter: Memex, Magvető kiadó (2002) 6