lhek vksj vodyt (Limits and Derivatives)

Átírás

1 vè;k; 3 lek vksj vodyt (Limits ad Derivatives) Wit te Calculus as a key, Matematics ca be successfully applied to te eplaatio of te course of Nature WHITEHEAD 3. Hwkfedk (Itroductio) ;g vè;k; dyu d,d Hkwfedk gsa dyu f.kr d og 'kk[kk gs ftlesa eq[;r% izkar esa fcaqvksa osq ifjorzu ls iqyu osq eku esa gksus okys ifjorzu dk vè;;u fd;k tkrk gsa igys ge vodyt dk (oklrfod :i ls ifjhkkf"kr fd, fcuk) lgtkuqhkwr cks/ (Ituitive idea) djkrs gsaa r~ksijkar ge lek d lgt ifjhkk"kk sas vksj lek osq ctf.kr dk oqqn vè;;u djsasa blosq ck ge vodyt d ifjhkk"kk djus osq fy, okil vk, s vksj vodyt osq ctf.kr dk oqqn vè;;u djsasa ge oqqn fo'ks"k ekud iqyuksa osq vodyt Hk izkir djsasa 3. vodytksa dk lgtkuqhkwr cks/ (Ituitive Idea of Derivatives) Sir Issac Newto (64-77) HkkSfrd iz;ksksa us vuqeksfr fd;k gs fd fiam,d [km+@å p pv~vku ls fjdj t lsoaqmksa esa 4.9t evj wj r; djrk gs vfkkzr~ fiam }kjk evj esa r; d bz wj (s) lsoaqmksa esa ekis, le; (t) osq,d iqyu osq :i esa s 4.9t ls bz gsa layxu lkj.k 3- esa,d [km+@å p pv~vku ls fjk,,,d fiam osq lsoaqmksa esa fofhkuu le; (t) ij evj esa r; d wj (s) bz gsa bu vk dm+ksa ls le; t lsoaqm ij fiam dk os Kkr djuk g mís'; gsa bl lel;k rd igq pus osq fy, t lsoaqm ij lekir gksus ckys fofo/ le;karjkyksa ij ekè; os Kkr djuk,d <a gs vksj vk'kk djrs gsa fd blls t lsoaqm ij os osq ckjs esa oqqn izdk'k im+ska

2 t t vksj t t osq cp ekè; os t t vksj t t lsdamksa osq cp r; d bz wj dks (t t ) ls Hkk sus ij izkir gksrk gsa vr% izfke lsdamksa esa ekè; os vksj t 0 t osq cp r; d bz jw le;kra jky t t ( ) e ( 0) ls 9.8 / e ls bl izdkj] t vksj t osq cp ekè; os ( ) e ( ) ls e 4.7 / ls bl izdkj fofo/ osq fy, t t vksj t osq cp ge ekè; os dk ifjdyu djrs gs aa fueufyf[kr lkj.k 3-] t t lsoaqmksa vksj t lsoaqmksa osq cp evj izfr lsoaqm esa ekè; os (v) sr gsa lkj.k 3. lek vksj vodyt 99 lkj.k 3. t s t v bl lkj.k ls ge voyksdu djrs gsa fd ekè; os /js&/js c<+ jgk gsa tsls&tsls t ij lekir gksus okys le;karjkyksadks y?kqùkj cukrs tkrs gsa ge s[krs gsa fd t ij ge os dk,d cgqr vpnk cks/ dj ikrs gsaa vk'kk djrs gsa fd -99 lsoaqm vksj lsoaqm osq cp oqqn vizr;kf'kr?kvuk u?kvs rks ge fu"d"kz fudkyrs gsa fd t lsoaqm ij ekè; os 9.55 e@ls ls FkksM+k vf/ d gsa bl fu"d"kz dks fueufyf[kr vfhkdyuksa osq leqpp; ls fdafpr cy feyrk gsa t lsoaqm ls izkjahk djrs gq, fofo/ le;karjkyksa ij ekè; os dk ifjdyu dft,a iwoz d Hkk fr t lsoaqm vksj t t lsoaqm osq cp ekè; os (v) lsoaqm vksj t los aqmoqs cpr; d jw t

3 300 f.kr t los QaMeas r; d wj losaqmeas r; d wj t t los QaMksaeas r; d wj t 9.6 fueufyf[kr lkj.k 3.3, t lsoaqmksa vksj t lsoaqm osq cp evj izfr lsoaqm esa ekè; os v sr gs% lkj.k 3.3 t v ;gk iqu% ge è;ku srs gsa fd ;f ge t, ls izkjahk djrs gq, y?kqùkj le;kurjkyksa dks ysrs tkrs gsa rks gesa t ij os dk vf/d vpnk cks/ gksrk gsa vfhkdyuksa osq izfke leqpp; esa geus t ij lekir gksus okys c<+rs le;kurjkyksa esa ekè; os Kkr fd;k gs vksj rc vk'kk d gs fd t ls fdafpr iwoz dqn vizr;kf'kr?kvuk u?kvsa vfhkdyuksa osq f}r; leqpp; esa t ij var gksus okys?kvrs le;karjkyksasa esa ekè; os Kkr fd;k gs vksj rc vk'kk d gs fd t osq fdafpr ck dqn vizr;kf'kr?kvuk u?kvsa fo'kq¼ :i ls HkkSfrd; vk/kj ij ekè; os osq ;s ksuksa vuqøe,d leku lek ij igq pus pkfg, ge fuf'pr :i ls fu"d"kz fudkyrs gsa fd t ij fiam dk os 9.55 e@ls vksj e@ls osq cp gsa rdud :i ls ge dg ldrs gsa fd t ij rkrdkfyd os 9.55 e@ls- vksj e@ls- osq cp gsa tslk fd Hky izdkj Kkr gs fd os wj osq ifjorzu d j gsa vr% geus tks fu"ikfr fd;k] og fueufyf[kr gsa fofo/ {k.k ij wj esa ifjorzu d j dk vuqeku yk;k gsa ge dgrs gsa fd wj iqyu s 4.9t dk t ij vodyt 9.55 vksj osq cp esa gsa bl lek d izfø;k d,d fodyi fof/ vko`qfr 3. esa 'kkzbz bz vko`qfr 3.

4 lek vksj vodyt 30 gsa ;g crs le; (t) vksj pv~vku osq f'k[kj ls fiam d wj (s) dk vkys[k gsa tsls&tsls le;karjkyksa osq vuqøe,,..., d lek 'kwu; d vksj vzlj gksr gs osls g ekè; osksa osq vzlj gksus d og lek gksr gs tks CB C B CB 3 3,, AC AC AC,... 3 osq vuqikrksa osq vuqøe d gksr gs] tgk C B s s 0 og wj gs tks fiam le;karjkyksa AC esa r; djrk gs] br;kfa vko`qfr 3. ls ;g fu"d"kz fudyuk lqfuf'pr gs fd ;g ck d vuqøe oø osq fcaq A ij Li'kZjs[kk osq <ky d vksj vzlj gksr gsa wljs 'kcksa esa] t le; ij fiam dk rkrdkfyd os oø s 4.9t osq t ij Li'kZ osq <ky osq leku gsa 3.3 lek, (Limits) mi;qzdr foospu bl rf; d vksj Li"Vr;k fufz"v djrk gs fd gesa lek d izfø;k vksj vf/d Li"V :i ls le>us d vko';drk gsa ge lek d ladyiuk ls ifjfpr gksus osq fy, oqqn `"Vkarksa (illustratios) dk vè;;u djrs gsaa iqyu f() ij fopkj dft,a voyksdu dft, fd tsls&tsls dks 'kwu; osq vf/d fudv eku srs gsa] f() dk eku Hk 0 d vksj vzlj gksrk tkrk gsa (s[ksa vko`qfr -0 vè;k; ) ge dgrs gs f ( ) 0 (bls f () d lek 'kwu; gs] tc 'kwu; d vksj vzlj gksrk gs] i<+k tkrk gs) f () d lek] tc 'kwu; d vksj vzlj gksrk gs] dks,sls le>k tk, tsls 0 ij f () dk eku gksuk pkfg,a O;kid :i ls tc a, f () l, rc l dks iqyu f () d lek dgk tkrk gs vksj bls bl izdkj fy[kk tkrk gs f a ( ) l. iqyu g(), 0 ij fopkj dft,a è;ku ft, fd g(0) ifjhkkf"kr uga gsa osq 0 osq vr;f/d fudv ekuksa osq fy, g() osq eku dk ifjdyu djus osq fy, ge s[krs gsa fd g() dk eku 0 d vksj vzlj djrk gsa blfy, g() osq fy, y osq vkys[k ls ;g lgtrk ls Li"V gksrk gsa (s[ksa vko`qfr -3 vè;k; ) fueufyf[kr iqyu ij fopkj dft,% ( ) 4,. osq osq vr;f/d fudv ekuksa (ysfdu uga) osq fy, () osq eku dk ifjdyu

5 30 f.kr dft,a vki Lo;a dks Lodkj djkb, fd lhk eku 4 osq fudv gsaa ;gk (vko`qfr 3-) esa f, iqyu y () osq vkys[k ij fopkj djus ls bldks fdafpr cy feyrk gsa bu lhk `"Vkarksa ls,d f, eku a ij iqyu osq tks eku zg.k dj us pkfg, os oklro esa bl ij vk/kfjr uga gsa fd osqls a d vksj vzlj gksrk gsa è;ku ft, fd osq la[;k a d vksj vzlj gksus osq fy, ;k rks ckb± vksj ;k kb± vksj gs] vfkkzr~ osq fudv lhk eku ;k rks a ls de gks ldrs gsa ;k a ls vf/d gks ldrs gsaa blls LokHkkfod :i ls ks lek, & ck, i{k d lek vksj k, i{k d lek izsfjr gksr vko`qfr 3. gsa iqyu f() osq k, i{k d lek f() dk og eku gs tks f() osq eku ls vksf'kr gksrk gs tc, a osq kb± vksj vzlj gksrk gsa bl izdkj ck, i{k d leka blosq `"Vkar osq fy,] iqyu ij fopkj dft, f ( ), 0, > 0 vko`qfr 3.3 esa bl iqyu dk vkys[k 'kkz;k ;k gs ;g Li"V gs fd 0 ij f dk eku 0 osq fy, f () osq eku ls ij fuhkzj djrk gs tks fd osq leku gs vfkkzr~ 'kwu; ij f () osq ck, i{k d lek f( ) gsa bl izdkj 0 ij f dk eku > 0 osq fy, f () osq eku ij fuhkzj djrk gs] gs vfkkzr~ 0 osq k, i{k d lek f ( ) + gsa bl flfkfr esa ck, vksj vko`qfr 3.3 k, i{k d lek, fhkuu&fhkuu gsa vksj vr% ge dg ldrs gsa fd tc 'kwu; d vksj vzlj gksrk gs rc f () d lek vflrrogu gsa (Hkys g iqyu 0 ij ifjhkkf"kr gsa) lkjka'k ge dgrs gsa fd f(), a ij f () dk visf{kr (epected) eku gsa] ftlus osq a ckb± vksj fudv ekuksa osq fy, f () dks eku f, gsaa bl eku dks a ij f () d ck, i{k d lek dgrs gsaa

6 lek vksj vodyt 303 ge dgrs gsa fd f( ) +, a ij f () dk visf{kr eku gs ftlesa osq a osq kb± vksj osq fudv ekuksa osq fy, f() osq eku f, gsaa bl eku dks a ij f () d k, i{k d lek dgrs gsaa ;f k, vksj ck, i{k d lek, laikr gksa rks ge bl mhk;fu"b eku dks a ij f() d lek dgrs gsa vksj bls f() ls fu:fir djrs gsaa a ;f k, vksj ck, i{k d lek, laikr uga gksa rks ;g dgk tkrk gs fd a ij f() d lek vflrrogu gsa `"Vkar (Illustratio ) iqyu f() + 0 ij fopkj dft,a ge 5 ij iqyu d lek Kkr djuk pkgsasa vkb,] ge 5 osq vr;ar fudv osq ekuksa osq fy, f() osq eku dk ifjdyu djsaa 5 osq vr;ar fudv ckb± vksj oqqn fcaq 4-9] 4-95] 4-994] br;kf gsaaa bu fcaqvksa ij f() osq eku ups lkj.kc¼ gsaa bl izdkj] 5 osq vr;ar fudv vksj kb± vksj oklrfod la[;k, 5-00] 5-0] 5- Hk gsaa bu fcaqvksa ij Hk iqyu osq eku lkj.k 3-4 esa f, gsaa lkj.k f() lkj.k 3.4 ls ge fufer djrs gsa fd f() dk eku ls cm+k vksj 5-00 ls NksVk gs] ;g dyiuk djrs gq, fd vksj 5-00 osq cp oqqn vizr;kf'kr?kvuk?kfvr u gksa ;g dyiuk djuk rozqlar gs fd 5 osq ckb± vksj d la[;kvksa osq fy, 5 ij f () dk eku 5 gs vfkkzr~ f ( ) 5 5 bl izdkj] tc ] 5 osq kb± vksj vzlj gksrk gs] f () dk eku 5 gksuk pkfg, vfkkzr~ 5 ( ) f 5 + vr% ;g lahkko; gs fd f () osq ck, i{k d lek vksj k, i{k d lek] ksuksa 5 osq cjkcj gasa bl izdkj f ( ) f ( ) f ( ) lek 5 osq cjkcj gksus osq ckjs esa ;g fu"d"kz iqyu osq vkys[k tks vko`qfr -9(ii) vè;k; esa f;k gs] dks s[kdj fdafpr cy srk gsa bl vko`qfr esa ge è;ku srs gsa fd tsls&tsls ] 5 5

7 304 f.kr osq ;k rks kb± vksj ;k ckb± vksj vzlj gks] iqyu f () + 0 dk vkys[k fcaq (5] 5) d vksj vzlj gksrk tkrk gsaa ge s[krs gsa fd ij Hk iqyu dk eku osq cjkcj gksrk gsa `"Vkar iqyu f() 3 ij fopkj dft,a vkb, ge ij bl iqyu d lek Kkr djus dk iz;kl djsaa iwozorz flfkfr d rjg c<+rs gq, ge osq osq fudv ekuksa osq fy, f() osq ekuksa dks lkj.kc¼ djrs gsaa bls lkj.k 3-5 esa f;k ;k gs% lkj.k f() bl lkj.k ls ge fueu djrs gsa fd ij f() dk eku ls vf/d vksj ls de gs] ;g dyiuk djrs gq, fd vksj.00. osq cp oqqn vizr;kf'kr?kvuk?kfvr u gksa ;g ekuuk rozqlar gs fd dk eku osq ckb± vksj d la[;kvksa ij fuhkzj djrk gs vfkkzr~ f ( ) bl izdkj] tc ] osq kb± vksj vzlj gksrk gs] rks f() dk eku gksuk pkfg, vfkkzr~ ( ). f +. vr%] ;g lahkko; gs fd ck, i{k d lek vksj k, i{k d lek ksuksa osq cjkcj gksaa bl izdkj. f ( ) f ( ) f ( ) + lek osq cjkcj gksus dk ;g fu"d"kz iqyu osq vkys[k tks vko`qfr., vè;k; esa f;k gs] dks s[kdj fdafpr cy srk gsa bl vko`qfr esa ge è;ku srs gsa fd tsls&tsls ] osq ;k rks kb± vksj ;k ckb± vksj vzlj gks] iqyu f() 3 dk vkys[k fcaq (] ) d vksj vzlj gksrk tkrk gsa ge iqu% voyksdu djrs gsa fd ij iqyu dk eku Hk osq cjkcj gsa `"Vkar 3 iqyu f() 3 ij fopkj dft,a vkb,] ij bl iqyu d lek Kkr djus dk iz;kl djsaa fueufyf[kr lkj.k 3.6 Lor% Li"V djr gsa

8 lkj.k 3.6 lek vksj vodyt f() iwozor ge voyksdu djrs gsa fd ;k rks ck, ;k k, d vksj vzlj gksrk gs] f() dk eku 6 d vksj vzlj gksrk gqvk izrr gksrk gsa ge bls] bl izdkj vfhkysf[kr dj ldrs gsa fd f ( ) f ( ) f ( ) 6 + vko`qfr 3-4 esa izf'kzr bldk vkys[k bl rf; dks cy srk gsa ;gk iqu% ge è;ku srs gsa fd ij iqyu dk eku ij lek osq laikr gsa `"Vkar 4 vpj iqyu f() 3 ij fopkj dft,a vkb, ge ij bld lek Kkr djus dk iz;kl djsaa ;g iqyu vpj iqyu gksus ds dkj.k lozk,d g eku (bl flfkfr esa 3) izkir djrk gs vfkkzr~ osq vr;ar fudv fcaqvksa osq fy, bldk eku 3 gsa vr% f ( ) f ( ) f ( ) 3 + f() 3 dk vkys[k gj gkyr esa (0] 3) ls tkus oky -v{k osq lekarj js[kk gs vksj vko`qfr.9, vè;k; esa 'kkz;k ;k gsa blls ;g Hk Li"V gs fd vhk"v lek 3 gs rf;r% ;g ljyrk ls voyksfdr gksrk gs fd fdl oklrfod la[;k a osq fy, f ( ) 3 `"Vkar 5 iqyu f() + ij fopkj dft,a ge f ( ) Kkr djuk pkgrs gsaa ge osq fudv f() osq eku lkj.k 3.7 esa lkj.kc¼ djrs gsa% lkj.k 3.7 vko`qfr f()

9 306 f.kr blls ;g rozqlar fufer gksrk gs fd f f f. + vko`qfr 3-5 esa 'kkz, f() + osq vkys[k ls ;g Li"V gs fd tsls&tsls, d vksj vzlj gksrk gs] vkys[k (] ) d vksj vzlj gksrk tkrk gsa vr% ge iqu% izs{k.k djrs gsa fd f () f () vc] fueufyf[kr ru rf;ksa dks vki Lo;a dks Lodkj djk,, vksj + vko`qfr 3.5 rc rfkk. ( ). ( ) `"Vkar 6 iqyu f() si ij fopkj dft,a gekj si π esa #fp gs tgk dks.k jsfm;u esa π ekik ;k gsa ;gk ] geus osq fudv f() osq ekuksa (fudvre) dks lkj.kc¼ fd;k gsa lkj.k 3.8 π π π π f() blls ge fueu dj ldrs gsa fd f f f + π π π blosq vfrfjdr] ;g f() si osq vkys[k ls iq"v gksrk gs tks vko`qfr 3.8 vè;k; 3 esa f;k gsa bl flfkfr esa Hk ge s[krs gsa fd π si.

10 `"Vkar 7 iqyu f() + cos ij fopkj dft,a ge lek vksj vodyt 307 f () Kkr djuk pkgrs gasa ;gk geus 0 osq fudv f() osq eku (fudvre) lkj.kc¼ fd, gsa% (lkj.k 3.9). lkj.k 3.9, ls ge fueu dj ldrs gsa fd lkj.k f() f f f + bl flfkfr esa Hk ge izs{k.k djrs gsa fd f () f (0). 0 vc] D;k vki Lo;a dks Lodkj djk ldrs gsa fd [ + ] + oklro esa lr; gs? cos cos `"Vkar 8 > 0 osq fy,] iqyu f ( ) ij fopkj dft,a ge f () Kkr djuk 0 pkgrs gs aa ;gk ] ge voyksdu djrs gsa fd iqyu dk izkar lhk /ukred oklrfod la[;k, gsaa vr% tc ge f() osq eku lkj.kc¼ djrs gsa] 'kwu; osq ckb± vksj vzlj gksrk gs] dk dksbz vfkz uga gsa ups ge 0 osq fudv osq /ukred ekuksa osq fy, iqyu osq ekuksa dks lkj.kc¼ djrs gsaa (bl lkj.k esa fdl /u iw.kk±d dks fu:fir djrk gsa ups bz lkj.k 3-0 ls] ge s[krs gsa fd tc, 0 d vksj vzlj gksrk gs] f() cm+k vksj cm+k gksrk tkrk gsa ;gk bldk vfkz gs fd] f() dk eku fdl la[;k ls Hk cm+k fd;k tk ldrk gsa lkj.k f() f.kr; :i ls] ge dg ldrs gsa f 0 +

11 308 f.kr ge fvii.k Hk djrs gsa fd bl ikb~;øe esa ge bl izdkj d lekvksa d ppkz uga djsasa `"Vkar 9 ge, Kkr djuk pkgrs gsa] tgk f 0, < 0 f ( ) 0, 0 +, > 0 igys d rjg ge 0 osq fudv osq fy, f() d lkj.k cukrs gsaa izs{k.k djrs gsa fd osq ½.kkRed ekuksa osq fy, gesa dk eku fudkyus d vko';drk gs vksj osq /ukred ekuksa osq fy, + dk eku fudkyus d vko';drk gksr gsa lkj.k f() lkj.k 3- d izfke ru izfof"v;ksa ls] ge fueu djrs gsa fd iqyu dk eku rd?kv jgk gs vksj f ( ) lkj.k d vafre ru izfof"v;ksa ls] ge fueu djrs gsa fd iqyu dk eku rd c<+ jgk gs vksj vr% f ( ) + D;ksafd 0 ij ck, vksj k, i{kksa d lek, laikr uga gsa] ge dgrs gsa fd 0 ij iqyu d lek vflrrogu gsa bl iqyu dk vkys[k vko`qfr 3.6 esa f;k gs ;gk ] ge fvii.k djrs gsa fd 0 ij iqyu dk eku iw.kzr% ifjhkkf"kr gs vksj] oklro esa] 0 osq cjkcj gs] ijarq 0 ij iqyu d lek ifjhkkf"kr Hk uga gsa vko`qfr 3.6 `"Vkar 0,d vafre `"Vkar osq :i esa] ge, Kkr djrs gsa tcfd f ( ) + 0 f

12 lek vksj vodyt 309 lkj.k f() igys d rjg] osq fudv osq fy, ge f() osq ekuksa dks lkj.kc¼ djrs gsaa ls de osq fy, f() esa ekuksa ls] ;g izrr gksrk gs fd ij iqyu dk eku 3 gksuk pkfg, vfkkzr~ ( ) f 3 bl izdkj] ls cm+s osq fy, f() osq ekuksa ls vksf'kr f() dk eku 3 gksuk pkfg,] vfkkzr~ f ( ) 3 vr% +. ijarq rc ck, vksj k, i{kksa d lek, laikr gsa vksj f f f 3. + vko`qfr 3.7 esa iqyu dk vkys[k lek osq ckjs esa gekjs fueu dks cy srk gsa ;gk ] ge è;ku srs gas fd O;kid :i ls],d f, fcaq ij iqyu dk eku vksj bld lek fhkuu&fhkuu gks ldrs gsa (Hkys g ksuksa ifjhkkf"kr gksaa) 3.3. lekvksa dk ctf.kr (Algebra of its) mi;qzdr `"Vkarksa ls] ge voyksdu dj pqosq gsa fd lek izfø;k ;ks] O;odyu] q.kk vksj Hkk dk ikyu djr gs tc rd fd fopkjk/u iqyu vksj lek, lqifjhkkf"kr gsaa ;g la;ks uga gsa oklro esa] ge budks fcuk miifùk osq izes; osq :i esa vksipkfjd :i srs gsaa izes; eku yft, fd f vksj g ks iqyu,sls gsa fd f () vksj gsa rc (i) ks iqyuksa osq ;ks d lek iqyuksa d lekvksa dk ;ks gksrk gs] vfkkzr~ [f() + g ()] f() + g(). a vko`qfr 3.7 g() ksuksa dk vflrro

13 30 f.kr (ii) (iii) (iv) ks iqyuksa osq varj d lek iqyuksa d lekvksa dk varj gksrk gs] vfkkzr~ [f() g()] f() g(). a ks iqyuksa osq q.ku d lek iqyuksa d lekvksa dk q.ku gksrk gs] vfkkzr~ [f(). g()] f(). g(). a ks iqyuksa osq HkkiQy d lek iqyuksa d lekvksa dk HkkiQy gksrk gs] (tcfd gj 'kwu;srj gksrk gs)] vfkkzr~ ( ) f g ( ) f g fvii.k fo'ks"k :i ls flfkfr (iii) d,d fof'k"v flfkfr esa tc g(),d,slk vpj iqyu gs fd fdl oklrfod la[;k λ osq fy, g() λ ge ikrs gsa ( λ f )( ) λ f ( )... vys ks vuqpnsksa esa] ge `"Vkar sas fd bl izes; dks fof'k"v izdkj osq iqyuksa d lekvksa osq eku izkir djus esa osqls iz;ks fd;k tkrk gsa 3.3. cgqiksa vksj ifjes; iqyuksa d lek, (Limits ( of polyomials ad ratioal fuctios),d iqyu f() cgqi; iqyu dgykrk gs] ;f f() 'kwu; iqyu gs ;k ;f f() a 0 + a + a a, tgk a i s,sl oklrfod la[;k, gsa fd fdl izko`qr la[;k osq fy, a 0 ge tkurs gsa fd a. vr%.. a. a a ij vkeu dk ljy vh;kl gedks crkrk gs fd a a vc] eku yft, f ( ) a + a + a + + a,d cgqi; iqyu gsa 0... a0, a, a,..., a izr;sd dks,d iqyu tslk fopkjrs gq,] ge ikrs gsa fd ( ) f a a0 + a+ a a

14 lek vksj vodyt 3 a0 + a+ a a a a a a 0... a + a a+ a a + + a a f ( a) (lqfuf'pr djsa fd vkius mi;qzdr esa izr;sd pj.k dk vksfpr; le> fy;k gsa),d iqyu f,d ifjes; iqyu dgykrk gs ;f f() cgqi gsa fd () 0. rks f ( ) a, tgk g() vksj (),sls g g g g a a ; fi] ;f (a) 0, ks flfkfr;k gsa (i) tc g(a) 0 vksj (ii) tc g(a) 0. iwoz d flfkfr esa ge dgrs gsa fd lek dk vflrro uga gsa ck d flfkfr esa ge g() ( a) k g (), tgk k, g() esa ( a) d egùke?kkr gsa bl izdkj () ( a) l () D;ksafd (a) 0. vc] ;f k l, ge ikrs gsa f a k ( ) g a g a l ( ) ;f k < l, rks lek ifjhkkf"kr uga gsa mkgj.k lek, Kkr dft,% (i) ( k l ) a g 0. g a 0 a 3 + (ii) ( + ) 3 (iii)

15 3 f.kr gy vhk"v lhk lek, oqqn cgqi; iqyuksa d lek, gsaa vr% lek, izùk fcaqvksa ij iqyuksa osq eku gsaa ge ikrs gsa (i) [3 + ] 3 + (ii) ( ) (iii) ( ) + ( ) ( ) 0 mkgj.k lek, Kkr dft,% (i) (ii) (iii) (iv) (v) gy lhk fopkjk/u iqyu ifjes; iqyu gsaa vr%] ge igys izùk fcaqvksa ij bu iqyuksa osq eku izkir djrs gsaa ;f ;g 0 0, osq :i dk gs] ge q.ku[kamksa] tks lek osq 0 0 gs] dks fujlr djrs gq, iqyuksa dks iqu% fy[krs gsaa dk :i gksus dk dkj.k (i) ge ikrs gsa (ii) ij iqyu dk eku izkir djus ij ge bls 0 0 dk :i esa ikrs gsaa vr% ( ) ( + )( ) ( ) ( + ) D;ksafd ( )

16 lek vksj vodyt 33 (iii) ij iqyu dk eku izkir djus ij] ge bls 0 0 osq :i esa ikrs gsa] vr% ( + )( ) ( ) ( + ) + ( ) ( ) 4 0 tksfd ifjhkkf"kr uga gsa (iv) ij iqyu dk eku izkir djus ij] ge bls 0 0 osq :i esa ikrs gsa vr% ( ) ( )( 3) (v) ( ) igys ge iqyu dks ifjes; iqyu tslk iqu% fy[krs gasa ( ) ( 3+ ) ( ) ( )( ) 4+ 4 ( )( ) 4+ 3 ( )( )

17 34 f.kr ij iqyu dk eku izkir djus ij ge 0 0 dk :i ikrs gsaa vr% ( )( ) ( 3)( ) ( )( ) 3 3 ( ) (. ) ge fvii.k djrs gsa fd mi;qzdr eku izkir djus esa geus i ( ) dks fujlr fd;k D;ksafd.,d egroiw.kz lek dk eku izkir djuk] tks fd vks ifj.kkeksa esa iz;qdr gks] ups,d izes; osq :i esa izlrqr gsa izes; fdl /u iw.kk±d osq fy,] a a a fvii.k mi;qzdr izes; esa lek gsrq O;atd lr; gs tcfd dksbz ifjes; la[;k gs vksj a /ukred gsa miifùk ( a ) dks ( a), ls Hkk sus ij] ge s[krs gsa fd a ( a) ( + a + 3 a a + a ) a a a l + a a a (a) +a l bl izdkj ( + a + 3 a a + a ) a + a +...+a + a ( i) a mkgj.k 3 eku Kkr dft,. (i) 5 0 (ii) 0 +

18 lek vksj vodyt 35 gy (i) gekjs ikl gs () 4 0() 9 (mi;qzdr izes; ls) (ii) y +, ftlls y tsls 0. rc 0 + y y y y y y () (mi;qzdr fvii.k ls) 3.4. fkdks.kfer; iqyuksa d lek, (Limits of Trigoometric Fuctios) O;kid :i ls] iqyuksa osq ckjs esa fueufyf[kr rf; (izes;ksa osq :i esa dgs,) oqqn fkdks.kfer; iqyuksa d lekvksa dk ifjdyu djus esa lqyhk gks tkrs gsaa izes; 3 eku yft, leku izkar okys ks oklrfod eku; iqyu f vksj g,sls gsa fd ifjhkk"kk osq izkar esa lhk osq fy, f () g( ) fdl a osq fy, ;f a f() vksj a g() ksuksa dk vflrro gs rks f() g() bls vko`qfr 3.8 esa fpk ls a a Li"V fd;k ;k gsa vko`qfr 3.8

19 36 f.kr izes; 4 lsamfop izes; (Sadwic Teorem) eku yft, f, g vksj oklrfod eku; iqyu,sls gsa fd ifjhkk"kk osq lozfu"b izkarksa osq lhk osq fy, f () g( ) (). fdl oklrfod la[;k a osq fy, ;f f() l a (), rks g() l. bls a vko`qfr 3.9 esa fpk ls Li"V fd;k ;k gsa fkdks.kfer; iqyuks a ls lacaf/r fueufyf[kr egroiw.kz vlfedk d,d lqaj T;kfer; vko`qfr 3.9 miifùk ups izlrqr gs% π 0 < < osq fy, si cos < < (*) miifùk ge tkurs gsa fd si ( ) si vksj cos( ) cos. vr% vlfedk dks fl¼ djus osq fy, ;g i;kzir gsa vko`qfr 3.0, esa,sls bdkbz o`ùk dk osqaz O gsa dks.k AOC, jsfm;u dk gs vksj 0 < < π A js[kk[kam BA vksj CD, OA osq yacor gasa blosq vfrfjdr AC dks feyk;k ;k gsa rc OAC dk {kskiqy < o`ùk[kam OAC {kskiqy < OAB dk {kskiqy vfkkzr~ OA.CD <.π.(oa) < OA.AB. π vfkkzr~ CD <. OA < AB. OCD esa si CD (pw fd OC OA) vksj vr% CD OA si. blds vfrfjdr OA ta AB vksj vr% AB OA ta. bl izdkj OA OA si < OA < OA. ta. D;ksafd yackbz OA /ukred gs] ge ikrs gsa si < < ta. π 0 < < osq fy, vko`qfr 3.0

20 lek vksj vodyt 37 D;ksafd 0 < < π, si /ukred gs vksj bl izdkj si, ls lhk dks Hkk sus ij] ge ikrs gsa < si < cos lhk dk O;qRØe djus ij] ge ikrs gsa si cos < < miifùk iw.kz gqbza lkè; 5 (Propositio) 5 fueufyf[kr ks egroiw.kz lek, gsa% (i) si (ii) cos 0 miifùk (i) (*) esa vlfedk (Iequality) osq vuqlkj iqyu si, iqyu cos vksj vpj iqyu ftldk eku gks tkrk gs] osq cp esa flfkr gsa blosq vfrfjdr D;ksafd cos, ge s[krs gsa fd izes; osq (i) d miifùk lsamfop 0 izes; ls iw.kz gsa (ii) dks fl¼ djus osq fy,] ge fkdks.kfefr lozlfedk cos si dk iz;ks djrs gsa] rc cos si si.si si.si.0 0 voyksdu dft, fd geus vli"v :i ls bl rf; dk iz;ks fd;k gs fd 0, 0 osq rqy; gsa bldks y j[kdj izekf.kr fd;k tk ldrk gsa

21 38 f.kr mkgj.k 4 eku Kkr dft,% (i) si 4 si ta (ii) gy (i) si 4 si si si si4 si. 4 ta gekjs ikl gs (ii) si 4 si (tc 0, 4 0 rfkk 0) si si.. cos cos,d lkeku; fu;e] ftldks lekvksa dk eku fudkyrs le; è;ku esa j[kus d vko';drk gs] fueufyf[kr gs% f ( ) ekuk fd lek a g ( ) dk vflrro gs vksj ge bldk eku Kkr djuk pkgrs gsaa igys ge f (a) vksj g(a) osq ekuksa dks tk psaa ;f ksuksa 'kwu; gsa] rks ge s[krs gsa fd ;f ge ml q.ku[kam dks izkir dj ldrs gsa tks i lekir gksus dk dkj.k gs] vfkkzr~ s[ksa ;f ge f() f () f () fy[k ldsa ftlls f (a) 0 vksj f (a) 0 A bl izdkj g() g () g (),fy[krs gsa tgk g (a) 0 vksj g (a) 0. f() vksj g() esa ls mhk;fu"b q.ku[kam (;f lahko gs) rks fujlr dj srs gsa vksj f ( ) p( ) g ( ) q(, ) tgk q() 0 fy[krs gsa ] rc f p a g q a

22 lek vksj vodyt 39 iz'ukoy 3. iz'u ls rd fueufyf[kr lekvksa osq eku izkir dft,% π 7 3. πr r ( ) a + b c + 0. z z z 3 6. a + b + c, 0 a + b + c c + b + a si a b 4. si a, a, b 0 si b 5. π ( ) ( ) si π π π 6. cos 0 π 7. cos cos 8. a + cos bsi 9. sec 0. si a + b, aba,, + b 0, a + si b. (cosec cot ) π. ta π 3. f ( ) vksj f ( ) 0, Kkr dft,] tgk f ( ) + 3, 0 3( + ), > 0

23 30 f.kr 4., Kkr dft,] tgk f ( ) f 5. f ( ), dk eku izkir dft,] tgk 0 6. f ( ), Kkr dft,] tgk f ( ) 0,, >, 0 f 0, 0, 0 0, 0 7. f ( ), Kkr dft,] tgk f ( ) eku yft, vksj ;f a+ b, < f 4, b a, > f () f () rks a vksj b osq lahko eku D;k gsa? 9. eku yft, a, a,..., a vpj oklrfod la[;k, gs vksj,d iqyu ( )( ) ( ) ls ifjhkkf"kr gsa f a a a... a () D;k gs? fdl a a, a,..., a, osq fy, a f () dk ifjdyu dft,a 30. ;f +, < 0 f 0, 0, > 0. rks a osq fdu ekuksa osq fy, f () dk vflrro gs? f 3. ;f iqyu f(), dft,a ( ) π, dks larq"v djrk gs] rks dk eku izkir f

24 lek vksj vodyt 3 3. fdu iw.kk±dksa m vksj osq fy, f ( ) vksj f ( ) 0 ksuksa dk vflrro gs] ;f m + <, 0 f ( ) + m, m, > 3.5 vodyt (Derivatives) ge vuqpns 3., esa s[k pqosq gsa fd fofo/ le;karjkyksa ij fiam d flfkfr dks tkudj ml j dks Kkr djuk lahko gs ftlls fiam d flfkfr ifjofrzr gks jg gsa le; osq fofo/ {k.kksa ij,d fuf'pr izkpy (parameter) dk tkuuk vksj ml j dks Kkr djus dk iz;kl djuk ftlls blesa ifjorzu gks jgk gs] vr;ar O;kid #fp dk fo"k; gsa oklrfod tou d vusd flfkfr;k gksr gsa ftuesa,sl izfø;k dk;kzfuor djus d vko';drk gksr gsa mkgj.kr%,d Vad osq j[k&j[kko djus okys O;fDr osq fy, le; osq vusd {k.kksa ij iku d gjkbz tkudj ;g tkuuk vko';d gksrk gs fd Vad dc Nydus ys] fofo/ le;ksa ij jkosqv d Å pkbz tkudj jkosqv oskkfudksa dks ml ;FkkFkZ os osq ifjdyu d vko';drk gksr gs ftlls mizg dk jkosqv ls iz{ksi.k vko';d gksa foùk; lalfkkuksa dks fdl fo'ks"k LVkd osq orzeku ewy; tkudj blosq ewy;ksa esa ifjorzu d Hkfo";ok.k dju vko';d gksr gsa buesa vksj,sl vusd vu; flfkfr;ksa esa ;g tkuuk vhk"v gksrk gs fd,d izkpy esa wljs fdl izkpy osq lkis{k ifjorzu fdl izdkj gksrk gs\ ifjhkk"kk osq izkar osq izùk fcaq ij iqyu dk vodyt bl fo"k; dk eq[; mís'; gsa ifjhkk"kk eku yft, f,d oklrfod eku; iqyu gs vksj bld ifjhkk"kk osq izkar esa,d fcaq a gsa a ij f dk vodyt ( + ) 0 f a f a ls ifjhkkf"kr gs c'krsz fd bl lek dk vflrro gksa a ij f() dk vodyt f (a) ls fu:fir gksrk gsa voyksdu dft, fd f (a), a ij osq lkis{k ifjorzu dk ifjek.k crkrk gsa mkgj.k 5 ij iqyu f() 3 dk vodyt Kkr dft,a gy ge ikrs gsa ' f ( + ) ( ) 0 f f ( + ) 3 3 0

25 3 f.kr vr% ij iqyu 3 dk vodyt 3 gsa mkgj.k 6 ij iqyu f() dk vodyt Kkr dft,a ;g Hk fl¼ dft, fd f (0) + 3f ( ) 0. gy ge igys 0 vksj ij f() dk vodyt Kkr djrs gsaa ge ikrs gsa fd f '( ) ( + ) ( ) 0 f f ( ) ( ) vksj f ' ( ) ( 0+ ) ( 0) 0 f f ( ) ( ) Li"Vr% f f '0+ 3 ' ( ) fvii.k bl flfkfr esa è;ku ft, fd,d fcaq ij vodyt dk eku izkir djus esa lek Kkr djus osq fofo/ fu;eksa dk izhkkodkj iz;ks lfeefyr gsa fueufyf[kr bldks Li"V djrk gs% mkgj.k 7 0 ij si dk vodyt Kkr dft,a gy eku yft, f() si. rc f (0) ( 0+ ) ( 0) 0 f f si 0+ si 0 0 si 0

26 mkgj.k 8 0 vksj 3 ij iqyu f() 3 dk vodyt Kkr dft,a lek vksj vodyt 33 gy D;ksafd vodyt iqyu esa ifjorzu dks ekirk gs] lgt:i ls ;g Li"V gs fd vpj iqyu dk izr;sd fcaq ij vodyu 'kwu; gksuk pkfg,a bls] oklro es a] fueufyf[kr ifjdyu ls cy feyrk gsa f '0 bl izdkj f '3 () vc ge,d fcaq ij iqyu osq vodyt d T;kfer; O;k[;k izlrqr djrs gsaa eku yft, y f(),d iqyu gs vksj eku yft, bl iqyu osq vkys[k ij P (a, f(a)) vksj Q (a +, f(a + ) ks ijlij fudv fcaq gsaa vko`qfr 3. vc Lo;a O;k[;kRed gsa ge tkurs gsa fd ( a) f f 0+ f f 3+ f ( + ) 0 f a f a fkhkqt PQR, ls ;g Li"V gs fd og vuqikr ftld lek ge ys jgs gsa] ;FkkFkZrk ls ta (QPR) osq cjkcj gs tks fd tok PQ dk <ky gsa lek ysus d izfø;k esa] tc, 0 d vksj vzlj gksrk gs] fcaq Q, P d vksj vzlj gksrk gs vksj ge ikrs gsa vfkkzr~ f ( a+ ) f ( a) QR PR 0 Q P vko`qfr 3. ;g bl rf; osq rqy; gs fd tok PQ, oø y f() osq fcaq P ij Li'kZ d vksj vzlj gksr gsa vr% f ( a) ta ψ.,d f, iqyu f osq fy, ge izr;sd fcaq ij vodyt Kkr dj ldrs gsaa ;f izr;sd fcaq ij vodyt dk vflrro gs rks ;g,d u;s iqyu dks ifjhkkf"kr djrk gs ftls iqyu f dk vodyt dgk tkrk gs vksipkfjd :i ls ge,d iqyu osq vodyt dks fueufyf[kr izdkj ifjhkkf"kr djrs gsaa

27 34 f.kr ifjhkk"kk eku yft, fd f,d oklrfod eku; iqyu gs] rks ( + ) 0 f f ls ifjhkkf"kr iqyu] tgk dga lek dk vflrro gs] dks ij f dk vodyt ifjhkkf"kr fd;k tkrk gs vksj f () ls fu:fir fd;k tkrk gsa vodyt d bl ifjhkk"kk dks vodyt dk izfke fl¼kar Hk dgk tkrk gsa f + f bl izdkj f () 0 Li"Vr% f () d ifjhkk"kk dk izkar og gs tgk dga mi;qzdr lek dk vflrro gsa,d iqyu osq vodyt osq fofhkuu laosqru gsaa dhk&dhk f () dks f ( ) d d ls fu:fir fd;k tkrk gs ;f y f(), rks ;g dy ls fu:fir fd;k tkrk gsa bls y ;k f() osq lkis{k vodyt d osq :i esa myysf[kr fd;k tkrk gs bls D (f () ) ls Hk fu:fir fd;k tkrk gsa d df blosq vfrfjdr a ij f osq vodyt dks f( ) ;k d a d a ;k fu:fir fd;k tkrk gsa mkgj.k 9 f() 0 dk vodyt Kkr dft,a ( + ) 0( + ) 0 gy ge ikrs gsa f () f f mkgj.k 0 f() dk vodyt Kkr dft,a 0 df d a ls Hk gy ge ikrs gsa f () 0 ( + ) f f ( + ) 0 + 0

28 lek vksj vodyt 35 mkgk.k,d vpj oklrfod la[;k a osq fy,] vpj iqyu f() a dk vodyt Kkr dft,a gy ge ikrs gsa f () ( + ) 0 f f a a 0 0 D;ksafd mkgj.k f() dk vodyt Kkr dft,a gy ge ikrs gsa f () ( + ) 0 f f ( + ) 0 ( + ) ( + ) 0 ( + ) 3.5. iqyuksa osq vodyt dk ctf.kr (Algebra of derivative of fuctios) D;ksafd vodyt d ;FkkFkZ ifjhkk"kk esa lek fu'p; g l/s :i eas lfeefyr gs] ge vodyt osq fu;eksa osq fudvrk ls lek osq fu;eksa osq vuqeu d vk'kk djrs gsaa ge budks fueufyf[kr izes;ksa esa ikrs gsa% izes; 5 eku yft, f vksj g ks,sls iqyu gsa fd muosq mhk;fu"b izkar esa muosq vodyu ifjhkkf"kr gsa] rc (i) ks iqyuksa osq ;ks dk vodyt mu iqyuksa osq vodytksa dk ;ks gsa d f g d f d g d d d + () + ()

29 36 f.kr (ii) (iii) (iv) ks iqyuksa osq varj dk vodyt mu iqyuksa osq vodytksa dk varj gsa d f ( ) g( ) d f( ) d g( ) d d d ks iqyuksa osq q.ku dk vodyt fueufyf[kr q.ku fu;e (product rule) ls f;k ;k gs% d f ( ). g( ) d f( ). g( ) f( ). d g( ) d d + d ks iqyuksa osq HkkiQy dk vodyt fueufyf[kr HkkiQy fu;e (quotiet rule) ls f;k ;k gs (tgk dga gj 'kwu;srj gs) d d f( ). g( ) f( ) g( ) d f( ) d d d g( ) g bud miifùk lekvksa d rqy; :i izes;ksa ls vko';d; :i ls vuqlj.k djr gsaa ge bugsa ;gk fl¼ uga djsasa lekvksa d flfkfr d rjg ;g izes; crykrk gs fd fo'ks"k izdkj osq iqyuksa osq vodyt dsls ifjdfyr fd, tkrs gsaa izes; osq vafre ks dfkuksa dks fueufyf[kr <a ls iqu% dgk tk ldrk gs ftlls muosq iqulezj.k djus esa vklku ls lgk;rk feyr gsa eku yft, u f ( ) vksj v g () rc uv uv + uv ;g iqyuksa osq q.ku osq vodyu osq fy, Leibitz fu;e ;k q.ku fu;e myysf[kr gksrk gsa bl izdkj] HkkiQy fu;e gs u v uv uv v vc] vkb, ge oqqn ekud iqyuksa osq vodyuksa dks ysaa ;g s[kuk ljy gs fd iqyu f() dk vodyt vpj iqyu gsa ;g gs D;ksafd f () ( + ) 0 f f + 0 0

30 lek vksj vodyt 37 ge bldk vksj mi;qzdr izes; dk iz;ks f() (0 i) (mi;qzdr izes; osq (i) ls) osq vodyt osq ifjdyu esa djrs gsa df ( ) d d d ( ) (0 i) d d (0 i) d d (0 i) 0. ge è;ku srs gsa fd bl lek dk eku q.ku lwk osq iz;ks ls Hk izkir fd;k tk ldrk gsa ge fy[krs gsa] f() 0 uv, tgk u fy[krs gsa tgk u izr;sd tg eku 0 ysdj vpj iqyu gs vksj v(). ;gk ge tkurs gsa fd u dk vodyt 0 osq cjkcj gs lkfk g v() dk vodyt osq cjkcj gsa bl izdkj q.ku fu;e ls] ge ikrs gsa f ( ) ( 0) ( uv) uv + uv bl vk/kj ij f() osq vodyt dk eku izkir fd;k tk ldrk gsa ge ikrs gsa f(). vksj vr% df d d d d d d d (. ) ( ). +. ( ). +. vf/d O;kid :i ls ge fueufyf[kr izes; ikrs gsa% izes; 6 fdl /u iw.kk±d osq fy, f() dk vodyt gsa miifùk vodyt iqyu d ifjhkk"kk ls] ge ikrs gsa f ' ( ) ( + ) f f f}i izes; dgrk gs fd ( + ) ( C ) 0 C... ( C ) ( + ) ( ) bl izdkj df ( ) d 0 + (... ) , vksj ( ).

31 38 f.kr fodyir%] ge bldks ij vkeu vksj q.ku lwk ls Hk fueu izdkj fl¼ dj ldrs gsa% osq fy, ;g lr; gs tslk fd igys f[kk;k tk pqdk gs d ( ) d d (. ) d d d ( ).( ). ( ) d d.. (( ) ) + (q.ku lwk ls) + (vkeu ifjdyiuk ls) + ( ) fvii.k mi;qzdr izes;,d lhk?kkrksa osq fy, lr; gs vfkkzr~ dksbz Hk oklrfod la[;k gks ldr gsa (ysfdu ge bldks ;gk fl¼ uga djsas) 3.4. cgqiksa vksj fkdks.kfer; iqyuksa osq vodyt (Derivative of polyomials ad trigoometric fuctios) ge fueufyf[kr izes; ls izkjahk djsas tks gedks cgqi; iqyuksa osq vodyt crykr gsa izes; 7 eku yft, f() a + a a + a,d cgqi; iqyu gs tgk a 0 i s lhk oklrfod la[;k, gsa vksj a 0 rc vodyt iqyu bl izdkj f;k tkrk gs% df ( ) a + ( ) a a+ a d bl izes; d miifùk izes; 5 vksj izes; 6 osq Hkk (i) dks ekk lkfk j[kus ls izkir d tk ldr gsa mkgj.k 3 gy osq vodyt dk ifjdyu dft,a mi;qzdr izes; dk l/k vuqiz;ks crykrk gs fd mi;qzdr iqyu dk vodyt + gsa mkgj.k 4 ij f() dk vodyt Kkr dft,a. gy mi;qzdr izes; 7 dk l/k vuqiz;ks crykrk gs fd mi;qzdr iqyu dk vodyt gsa ij bl iqyu dk eku + () + 3() () 49 ( 50 )( 5 ) gsa

32 lek vksj vodyt 39 + mkgj.k 5 f() dk vodyt Kkr dft,a gy ;g iqyu 0 osq vfrfjdr izr;sd osq fy, ifjhkkf"kr gsa ge ;gk u + vksj v ysdj HkkiQy fu;e dk iz;ks djrs gsaa vr% u vksj v blfy, df ( ) d + d u uv uv + d d d v v mkgj.k 6 si osq vodyt dk ifjdyu dft,a gy mkgj.k 7 eku yft, f() si, rc df ( ) f ( + ) f ( ) si ( + ) si( ) d cos si ( si A si B osq lwk dk iz;ks djosq) 0 si cos. + cos. cos. 0 0 ta osq vodyt dk ifjdyu dft,a gy eku yft, f() ta, rc df ( ) f ( + ) f ( ) ta( + ) ta( ) d 0 0 ( + ) ( + ) si si 0 cos cos ( + ) ( + ) cos( + ) cos si cos cos si 0 ( + ) ( + ) si (si (A + B) osq lwk dk iz;ks djosq) 0 cos cos

33 330 f.kr mkgj.k 8 si. cos cos 0 0 ( + ). sec cos f() si osq vodyt dk ifjdyu dft,a gy ge bldk eku izkir djus osq fy, Leibitz q.ku lwk dk iz;ks djrs gasa df ( ) d d (si si ) d (si ) si + si (si ) (cos ) si + si (cos ) si cos si. iz'ukoy ij dk vodyt Kkr dft,a. l00 ij 99 dk vodyt Kkr dft,a 3. ij dk vodyt Kkr dft,a 4. izfke fl¼kar ls fueufyf[kr iqyuksa osq vodyt Kkr dft,% (i) 3 7 (ii) ( )( ) (iii) 5. iqyu (iv) + f osq fy, fl¼ dft, fd f () 00 f ( 0). 6. fdl vpj oklrfod la[;k a osq fy,... vodyt Kkr dft, 7. fduga vpjksa a vksj b, osq fy,] (i) ( a)( b) (ii) osq vodyt Kkr dft,a + a + a + + a + a dk a + b (iii) a b

34 lek vksj vodyt fdl vpj a osq fy, a a 9. fueufyf[kr osq vodyt Kkr dft,% (i) 3 4 dk vodyt Kkr dft,a (ii) ( )( ) (iii) 3 ( 5 3) 4 5 (v) ( 3 4 ) (iv) ( 3 6 ) (vi) 0. izfke fl¼kar ls cos dk vodyt Kkr dft,a. fueufyf[kr iqyuksa osq vodyt Kkr dft,a + 3 (i) si cos (ii) sec (iii) 5sec + 4cos (iv) cosec (v) 3cot + 5cosec (vi) 5si 6cos+ 7 (vii) ta 7sec fofo/ mkgj.k mkgj.k 9 izfke fl¼kar ls f dk vodyt Kkr dft, tgk f bl izdkj izùk gs% (i) f () + 3 (ii) f () + gy (i) è;ku ft, fd iqyu ij ifjhkkf"kr uga gsa ysfdu] ge ikrs gsa f ( + ) f ( ) f ( ) ( + + 3)( ) ( + 3)( + ) ( )( + ) ( + 3)( ) + ( ) ( + 3)( ) ( + 3) ( )( + )

35 33 f.kr (ii) iqu% è;ku ft, fd ij iqyu f Hk ifjhkkf"kr uga gsa 0 ij iqyu ifjhkkf"kr uga gsa ysfdu] ge ikrs gsa ( ) f f ( + ) f ( ) ( + ) 0 ( + ) 0 + iqu% è;ku ft, fd 0 ij iqyu f ifjhkkf"kr uga gsa mkgj.k 0 izfke fl¼kar ls iqyu f() dk vodyt Kkr dft, tgk f() (i) si + cos (ii) si gy (i) ge ikrs gsa] ' f ( + ) f f si + + cos + si cos 0 si cos+ cos si + cos cos si si si cos 0 si cos si + si cos + cos cos 0 si cos si + si 0 0 cos si ( cos ) + cos 0 ( cos )

36 (ii) f '( ) si f + f + + si si cos+ si cos si 0 lek vksj vodyt 333 ( ) + + ( + ) si cos cos si si cos si cos 0 ( ) ( si cos+ si cos ) si cos si cos 0 cos + si mkgj.k (i) f() si osq vodyt dk ifjdyu dft,a 0 (ii) g() cot gy (i) fkdks.kfefr lwk si si cos dk iqulezj.k dft,a bl izdkj df ( ) d d d d d ( si cos ) ( si cos ) ( si ) cos + si ( cos ) cos ( si ) ( cos) cos+ si( si) cos (ii) ifjhkk"kk ls] g() cot ge HkkiQy lwk dk iz;ks bl iqyu ij djsas] tgk dga si ;g ifjhkkf"kr gsa dg d d cos (cot ) d d d si (cos ) (si ) (cos )(si ) (si ) ( si )(si ) (cos )(cos ) (si ) si + cos cosec si

37 334 f.kr fodyir%] bldks è;ku sdj fd cot ta, ifjdfyr fd;k tk ldrk gsa ;gk ge bl rf; dk iz;ks djrs gsa fd ta dk vodyt sec gs tks geus mkgj.k 7 esa s[kk gs vksj lkfk g vpj iqyu dk vodyt 0 gksrk gsa dg d d d (cot ) d d ta () (ta ) () (ta ) (ta ) (0)(ta ) (sec ) (ta ) sec cosec ta mkgj.k (i) 5 cos si dk vodyt Kkr dft,a (ii) + cos ta gy (i) eku yft, HkkiQy fu;e dk iz;ks djsasa 5 cos si. tgk dga Hk ;g ifjhkkf"kr gs] ge bl iqyu ij ( ) 5 5 ( cos ) si ( cos )(si ) (si ) 4 5 (5 + si )si ( cos )cos si 5 4 cos + 5 si + (si ) (ii) ge iqyu + cos ta ij HkkiQy fu;e dk iz;ks djsas tgk dga Hk ;g ifjhkkf"kr gsa

38 ( + cos ) ta ( + cos )(ta ) ( ) (ta ) lek vksj vodyt 335 ( si )ta ( + cos )sec (ta ) vè;k; 3 ij fofo/ iz'ukoy. izfke fl¼kar ls fueufyf[kr iqyuksa dk vodyt Kkr dft,% π (i) (ii) ( ) (iii) si ( + ) (iv) cos ( ) 8 fueufyf[kr iqyuksa osq vodyt Kkr dft, (;g le>k tk; fd a, b, c, d, p, q, r vksj s fuf'pr 'kwu;srj vpj gsa vksj m rfkk iw.kk±d gsaa):. ( + a) 3. (p + q) r + s 4. ( a + b)( c + d ) 5. a + b c + d a + b + c a + b 8. p + q+ r 9. p + q+ r a + b a b 0. + cos ( a + b) 3. ( a + b) ( c + d) 4. si ( + a) 5. cosec cot si + cos si cos a+ bsi c+ dcos 3. ( ) 8.. sec sec + si( + a) cos + cos 4. ( a + si )( p + q cos ) cos + si 9. si. 4 (5si 3cos ) m

39 336 f.kr 5. ( cos )( ta ) si 3 + 7cos 7. π cos 4 si 8. + ta 9. ( sec )( ta ) si lkjka'k iqyu dk visf{kr eku tks,d fcaq osq ckb± vksj osq fcaqvksa ij fuhkzj djrk gs] fcaq ij iqyu osq ck, i{k d lek (Left aded it) dks ifjhkkf"kr djrk gsa bl izdkj k, i{k d lek (Rigt aded it)a,d fcaq ij iqyu d lek ck, i{k vksj k, i{k d lekvksa ls izkir mhk;fu"b eku gsa ;f os laikr gksaa ;f fdl fcaq ij ck, i{k vksj k, i{k d lek, laikr u gksa rks ;g dgk tkrk gs fd ml fcaq ij iqyu d lek dk vflrro uga gsa,d oklrfod la[;k a vksj,d iqyu f osq fy, f() vksj f (a) leku uga Hk a gks ldrs (oklro esa],d ifjhkkf"kr gks vksj wljk uga) iqyukas f vksj g osq fy, fueufyf[kr ykw gksrs gsa% [ f ( ) ± g( ) ] f ( ) ± g( ) [ ] f ( ). g( ) f ( ). g( ) f ( ) f ( ) g ( ) g ( ) fueufyf[kr oqqn ekud lek, gsaa a a si a

40 lek vksj vodyt 337 cos 0 a ij iqyu f dk vodyt f ( a+ ) f ( a) f ( a) ls ifjhkkf"kr gksrk gsa 0 izr;sd fcaq ij vodyt] vodyt iqyu df ( ) f ( + ) f ( ) f ( ) ls ifjhkkf"kr gksrk gsa d 0 iqyuksa u vksj v osq fy, fueufyf[kr ykw gksrk gs% ( u± v) u ± v ( uv) u v+ uv u uv uv v v c'krsz lhk ifjhkkf"kr gsaa fueufyf[kr oqqn ekud vodyt gsa% d ( ) d d (si ) cos d d (cos ) si d,sfrgkfld i`"bhkwfe f.kr osq bfrgkl esa dyu osq vuos"k.k osq Js; d Hkkkj gsrq ks uke izeq[k gas Issac Newto (64 77) vksj G.W. Leibitz (646 77). lkgoa 'krkc esa ksuksa us Lorakrk iwozd dyu dk vuos"k.k fd;ka dyu osq vkeu osq ck blosq vkke fodkl gsrq vusd f.krkksa us ;ksku fd;ka ifj'kq¼ ladyiuk dk eq[; Js; egku f.krkksa A.L.Caucy, J.L.Lagrage vksj Karl Weier strass dks izkir gsa Caucy us dyu dks

41 338 f.kr vk/kj f;k ftldks vc ge O;kidr% ikb~~; iqlrdksa esa Lodkj dj pqosq gsaa Caucy us D'Almbert d lek ladyiuk osq iz;ks osq }kjk vodyt d ifjhkk"kk A lek d ifjhkk"kk ls izkjahk djrs gq, α 0 osq fy, siα α d lek tsls mkgj.k f,a mugksaus y f( + i) f( ), i fy[kk vksj i 0, osq fy, lek dks 'f "() osq fy, y*] fuctio derive e uke f;ka 900 ls iwoz ;g lkspk tkrk Fkk fd dyu dks i<+kuk cgqr dfbu gs] blfy, dyu ;qokvksa d igq p ls ckgj FkA ysfdu Bd 900 esa baysam esa Jo Perry,oa vu; us bl fopkj dk izpkj djuk izkjahk fd;k fd dyu d eq[; fof/;k vksj /kj.kk, ljy gsa vksj LowQy Lrj ij Hk i<+k;k tk ldrk gsa F.L. Griffi us dyu osq vè;;u dks izfke o"kz osq Nkkksa ls izkjahk djosq usr`ro izku fd;ka mu fuksa ;g cgqr pquksriw.kz dk;z FkkA vkt u osqoy f.kr vfirq vusd vu; fo"k;ksa tsls HkkSfrd] jlk;u fokku] vfkz'kklk] tofokku esa dyu d mi;ksfrk egroiw.kz gsa