ρ = 0 különben. STATISZTIKUS FIZIKA II Kvantummechanikai állapotok, kvantumsokaságok

Átírás

1 SAISZIKUS IZIKA II Kvatucaiai állaoto vatusoaságo A övtzıb gvizsgálju og il övtzéi vaa a vatucaiáa a statisztius fiziára ézv. gsúli rdszrl foglalozu. A fı fladato a övtzı:. Mg ll atározi a statisztius fizia lasszius bvztéséél dfiiált fogala gfllıit.. L ll voi a vatucaiai szitriá övtzéit a részcsé gülöbözttttlség a ulláfüggvé bbıl rdı szitriatulajdoságai. Kvatusoaságo A vatucaiába fl ll adu a iroállaotoa a fázistér bizoos otjaival való azoosítását. aszálató a trajtória fogala az iulzus és a oordiáta özött atározatlasági rláció áll f. A iroállaotoat ézfvı a vatucaiai állaotoal azoosítai. A vatucaiába is soaságoal dolgozu: ltsszü og azoos aroállaotú rdszr soaságát vizsgálju úg og a soaság li ülöbözı iroállaotoba lt. Az g adott iroállaotoz tartozó l szááa rlatív súla ggzi azzal a ρ i valószíőséggl og az adott arojllzıl lírató rdszr az i vatuszáal jllztı állaotba va. itsü lıször a zárt rdszr stét iroaoius soaság. g zárt rdszr lt l. rgia-sajátállaotba és abba is arad a ölcsöatást acsolu b. alójába azoba itt is csa ait tudu gövtli og a rdszr rgiája g δ itrvalluba va. A orábbi érv tljs lzárásról lt godosodi érési otatlaság lltt az rgia és a gfiglési idı özötti atározatlasági rláció is zt táasztja alá. Láttu a Liouvill tétl acsá og lassziusa a zárt rdszrbli loszlás csa az rgiától függ. lt láti og z vatucaiailag is íg va és gfllı i lt trjszti az glı valószíőség lvét: ρi a i δ Ω δ ρ ülöb. i Az tróia a ıérsélt alaja azoos a orábbival. Ha a rdszr ıtartállal áll acsolatba aor a orábba butatott godolattz tljs asoló ódo aju a aoius loszlást: ρ i i / Z i / / j j.

2 Áttérv az rgia szriti összgzésr: ω P d Z / d ω ω / / d d aol Z az állaotösszg alr trészts érvés az l Z összfüggés. A agaoius loszlásra ρ i Z i adódi aol j Z Z j a agaoius állaotösszg a éiai otciál. áltozatlaul Φ P lz. A vatucaiai P soaság gatározása ázi fladat. A flutuációra voatozó általáos összfüggés változatlaul érvés ait z a élt alajá ö blátató. A trodiaia aradi fıtétl A aradi fıtétl ísérlti té azoba lltod a lasszius statisztius fiziáa: lgdı az viartíció tétlér godoli. érjü azoba vissza az alaooz és vgü figlb a vatucaiát! A oltza összfüggés szrit: S l Ω δ lgdı alacso ıérsélt a btöltés gr iább az alaállaot flé tolódi l. égül - a rdszr alaállaotba rül. alajá a aradi fıtétl li S azt fjzi i og a aro rdszr alaállaota dgrált. A aradi fıtétl fti gfogalazása azoba csa tiszta oogé aagora érvés llzı stb g végs vrdési tróia-járulé adódi. alójába ll a tiszta rdszrtıl s gövtli og gtl alaállaota lg; a gfllı összfüggés: lis /

3 vagis a rdszr alaállaota lt aroszoiusa dgrált. z a taasztalato szrit a vatucaiai arordszrr igaz. A ár idéztt d C S S ' ' összfüggésbıl övtzı a ıaacitás a lisb ltői. A aradi fıtétlt szoás úg is gfogalazi og az abszolút zérus ıérsélt értı l végs száú léésb. zt az ú. adiabatius lágszés éldájá fogju butati. Az ; z ; z z függvé gváltozásai özött fáll a övtzı összfüggés: z z z aibıl S S S vagis S S S aol a baloldal lsı tézıj a stabilitás iatt ozitív. át a S és a S lıjli lltéts. Az adiabatius lágszés sgítségévl őttı a rdszr. S o

4 4 Kvatustatisztiá idális vatugázo ddig csuá azzal foglaloztu a vatucaiai állaoto alavtı ülöböz a lasszius fiziaiatól. A vatucaiai szitriáa azoba további élrató övtzéi vaa. Láttu ár og a Gibbs-aradoo floldásáoz ivatozu lltt a részcsé gülöbözttttlségér. z a tulajdoság a ulláfüggvé szitriáját is gatározza ét részcs flcsrélésévl szb: > > ± > P ψ ψ ψ. Ha a P flcsrélési orátor sajátérté aor bozooról z az gész siő részcsé a aor friooról bszélü z a félgész siő részcsé. Az utóbbiaál érvés a Pauli-lv: vagis ét részcs lt azoos vatucaiai állaotba. Ha idális vatugázu va aior a részcsé függtl tittı aor az részcs ulláfüggvét az grészcs ulláfüggvé szorzataia liárobiációiból ll ivri úg og a fti szitria tljsüljö. i i H H ˆ ˆ l. H i / ˆ ˆ Lg: > > ˆ H. or > > Slatr ψ frioora illtv g asoló szitrizált obiáció bozoora. A Slatr-dtriás aszálata biztosítja a Pauli lv tljsülését. Az összg id tagjára: ˆ > > i i H tát > > i i H ˆ ψ ψ át a ulláfüggvé részlti a iroállaot gatározása szotjából légtl csa az száít og á részcs va g grészcs-állotba. zt a btöltési száot -l jlıljü és ilvá: a frioo... a bozoo

5 5 stéb. A btöltési száoal a rdszr jllzıit i lt fjzi: Kérdés og i a btöltési száo várató érté adott ıérsélt. Az gszrőség dvéért a agaoius soaságból idulu i. { } { } { } Z Z Az utolsó ifjzést írju i részlts! M L M L L L L '' ' ' ' Rdzzü át zt az összgt! részts friooál csa vag lt a btöltés. L L L L a. alóba a ifjtjü a fti szorzatot a glızı léésb szrlı összg valai tagját gaju. vzttı az adott vatuszáoz tartozó Z állaotösszg. Z frioora és Z bozoora. Az utolsó léésb g gotriai sort lltt flösszgzi ai ovrgciafltétl gövtli og < lg isz a sora stb is ovrgália ll. z övtlé csa aor érvés a a részcsszá várató értéét álladóa ll vü. A tljs állaotösszgt a ülöbözı állaoto állaotösszgi szorzata adja: Z Z.

6 Az adott grészcs vatuállaot btöltési szááa várató értéét a részállaotösszg isrtéb i lt száítai: lz aoa ± aol ost és a továbbiaba a flsı ővlti jl a friooraaz alsó dig a bozoora értdı. z iség tát az adott grészcs vatuállaotba tartózodó részcsé átlagos száát adja g. Szoás ogola ódo zt loszlása vzi; a frioora a ri-dirac a bozoora a os-isti loszlás voatozi. Az átlagora is érvés a orábba butatott glt: zt az gltt úg lt értlzi og a rdszrb lévı részcsé szááa várató érté ill. a rdszr átlagrgiája gatározzá az loszlásoba araétrét szrlı ıérsélt és éiai otciál értéét. Összgzés és itgrálás Gara lıfordul og valai grészcs vatuállaotra összgzi ll. zt úg jlöltü og d az vatuszá itt valai vatuszáot gütts jlöli az állaot gértlő id. Pl. a dobozba zárt részcsét titü aor az vatuszáo lltt a sivatuszáot is blértjü. Az rgia gara függtl a sivatuszától ilor a si csa g g s -szrs dgrációt jlt aol ħs a si z-oosé aiális érté. álasszu riodius atárfltétlt! z ħ L vagis L. I L. Ha a térfogattal tartu végtlz az összgbıl itgrál lsz: g z g d. 6

7 7 Ha az itgradus csa az rgiától függ aor a szög szriti itgrálást l lt végzi: 4 ρ π d d g aol az grészcs állaotsőrőség π ρ d d g 4. ltév og vagis rjü og π ρ / g. Az átlagos részcsszára illtv rgiára z a övtzı foruláoz vzt: ± ± ρ d d g ± ± ρ d d g. Állaotglt Száítsu i az idális vatugázo agaoius otciálját! ± Φ l l l Z Z Mivl Φ P ± ± P l z az összg átalaítató itgrállá: ± ± l 4 d g P π. Itgrálju arciálisa! Lg 4 v π és

8 u ± ± ' d. d A iitgrált rész ad járuléot rt l ± a ét atáro és ltői. P 4π ± ± g d g 4 d π. át a lasszius idális gáza gfllı rdét atu! igázat az viartícióa gfllı összfüggés azoba érvés:. A lvztésél flaszáltu az rgia és az iulzus özötti összfüggést az ú. γ diszrziót. Kö b lt láti og ~ sté a fti forula ódosul: P γ. Klasszius atárst Kis btöltési száo << sté idét vatu-loszlás átg a lasszius Mawll-oltza-loszlásba:. fltétl og vag vag <<. Az lıbbi stb csa g vatuállaotot illtv ívót lt lassziusa zli íg az utóbbiál az gész rdszrt. oglalozzu zzl az sttl. lıször írju át a agaoius otciálra voatozó ifjzést: Φ ± ± ± l ± l ± l ± ± l ±. Klasszius lisb: Φ Z aol gjlt az grészcs aoius állaotösszg. Itgrállá alaítva z iszáítató: / Z g π 8

9 ai gfll a orábba a lasszius idális gázra aott ifjzés. glı ódo az állaotgltr az Φ Z alajá Φ P adódi. A szabadrgia Z Φ l l Z! l Z vagis a részcsé gülöbözttttlségér jllzı! ijött agától. Mi a fiziai fltétl a lasszius áttr való áttérés? g π Z / <<. zssü b a övtzı aratrisztius osszúságoat: λ π : trius d rogli ulláossz / R : a részcsé özötti átlagos távolság. λ A lasszius lírás jó a ~ << vagis a λ << R. A trius d orgli R ulláossz a részcsé itius rgiájáa gfllı ulláossz. Ha z soal isbb a részcsé átlagos távolságáál aor a részcsé érzéli gást ulláfüggvéit és a lasszius lírás ls. ilvávaló og a frioo és a bozoo özötti vatucaiai rdtő ülöbség a lasszius atárstb l ll tői. Az alábbi ábra utatja og a btıltési száo szotjából z oga valósul g: 4 D M - - -/ 9

10 Kvatu-orrció Láttu og a lasszius atárst gfll a lis. bbıl adódóa a lassziusoz ést flléı vatu-orrcióat a iség it is araétr a sorfjtését lt lıállítai. A továbbiaba lsırdő orrcióat vizsgálu. ± ± aibıl / / d πg d ρ. laszálva a gaa-függvé dfiícióját és értéét a d a / Γ Γ / π / a és / / π g ifjzést aju ai összfüggést ad a éiai otciálra. Láttu og lasszius atárstb és g R l λ / l π g aibıl l l ± / / l ± / aol idig csa lsı rdig tartottu g a orrcióat. I l / λ l ±. g R Száítsu i az a rdszr rgiáját!

11 ρ d πg / πg / 4 π 5 / / 5 / d aol isét flaszáltu a gaa-függvé értéét Γ 5/ π / 4. Az g részcsér jutó rgia 5 / / 5 / / 5 / λ ± g R aol isét iaszáltu og a éiai otciál lasszius lisé flaszálása agasabb rdő ibát ooz. A tljs rgiára ± 5 / λ g R P adódi. Látszi og azoos részcsszáú és ıérséltő rdszrt összasolítva P < P < P M D vagis a bozooa isbb a friooa dig agobb a oása a gfllı lasszius rdszréél. A részcsé özött fltétlztü ölcsöatást égis a vatucaiai szitriatulajdoságo g fftív ölcsöatásoz vzt ai a bozoo stéb vozó a friooál dig taszító. Az utóbbi a Pauli-lv iatt szlélts az lıbbi dig azt jlti og a bozooál csa ggdtt og a részcsé azoos vatuállaotba lg a ifjztt szrt azoos állaotba li. z az alaja a lézrél fotos iduált isszióa. Idális ri-gáz Az átlagos btöltési szá frioo stéb illtv ri-függvé. aiz lléfltétlét adódi. Ha rgia szrit írju fl a btöltést figlb ll vi a g-szrs dgrációt. lıször vizsgálju g a ıérsélti visldést! Ilor a ri-függvé g lécsıs függvé lsz l. az ábrát.

12 > Az < ri-rgia alatt az állaoto btöltött > az állaoto ürs. éá szoásos lvzés: ri-rgia ri-iulzus / ħ ri-ullászá / ri-ıérsélt λ / ri-ulláossz A részcsé száára érvés og 4π g < vagis 6π ħ g / 44 aoa / ~ 4πg λ átlagos távolságáa agságrdjéb si. A ri-rgia ifjzés a sőrőséggl: 6 ħ / / π g vagis a ri-rgia a sőrőséggl rıs övszi. A rdszr tljs rgiája R vagis a ri-ulláossz a részcsé / / / 5 / 4 π d g π d g π 5 g / / / / π d gπ g aoa. 5

13 Mid idális gázra P aoa P 5. Látszi og zérus ıérsélt is va oása a gáza ai a Pauli-lv övtzé. bbıl a éltbıl száítató a - is végs adódó orsszibilitás: P P κ. A zérus ıérsélti forulá > ra is érvés aíg lfajult ri-gázzal va dolgu vagis R << λ. Mivl R ~ λ a fltétl g π λ π λ 4 / << ai vivals a << fltétlll. lttsítv a gfllı álladóat és a sőrőségt gállaítató og a vztıb az ltroo riıérsélt a 5 K agságrdjéb si vagis szobaıérsélt g a vztési ltrooa gfllı sőrőségő idális ri-gáz ég rıs lfajulta tittı. Azt trészts ülö g ll vizsgáli og il örülé özött és il értéb lt jogos az idális gáz özlítés. Az alacso-ıérsélti ıérsélt-függés tauláozásáoz l ll ozdulu a özlítéstıl. A ri-függvé - lécsısfüggvé > - << lt lécsıs függvé. A driváltja - δ íg > - δ iszélsdtt változatáa fogató fl. csüljü g a övtzı itgrált: d d I aol gjlt a ri-függvé driváltja. Az lsı tag a atároo ltői. vztv az lttsítést rjü a övtzı alaot: d I. Az itgradus g örüli iszélsdtt dlta-függvé ai grészt gorsa lcsg vagis a átár itrjszttı -ig ásrészt az íg ár szitrius itgradust örül sorba fjtv csa a áros tago ada járuléot: A A I

14 4 aol száura ost csa az a fotos og A és > A. A részcsszáot i tudju fjzi grészt a ulla ıérsélti összfüggéssl: / / / C g π ásrészt ıérsélt / / / A C CI. Összasolítva a ét forulát és sorbafjtv << gaju a éiai otciál vztı rdő orrcióját: / / / A A aol az utolsó léésb iaszáltu og a éiai otciál lér a ri-rgiát írva csa agasabb rdb övtü l ibát. Két fotos taulság va: lıször og a vztı rdő orrció gatív. z glı isz a ag ozitív zérus ıérséltő értérıl ago agas ıérsélt végül ugaoda ll ovrgáli lasszius lis it a os-rdszr alél a éiai otciál gatív. Másodszor: a vztı orrció ásodrdő -b. A rdszr tljs rgiája: 5 / / 5 / A C CI aoa az g részcsér sı rgia cost 5 ost 5. I a ri-rdszr ıaacitásáa ıérséltfüggésér liáris összfüggés adódi: C cost'. Látszi tát og tljsül a trodiaia. fıtétl. Ha zt a forulát összvtjü az lassziusa érvés viartícióból rtı összfüggéssl C / aor értlztı a fti élt úg og a szabadsági foo száa csö a ıérsélttl a szabadsági foo ifaga. Csuá a ri-rgia öréé g szélsségő sávból szárazi járulé l. az ábrát. a Pauli-lv az oa: a él fvı állaoto grjsztéséz a triusa rdlzésr állóál jóval agobb rgia ll.

15 Idális os-gáz izsgálju g az ddigi türéb oga alaul az idális rdszr éiai otciálja a ıérsélt függvééb: l / / /? / Mi törtéi a os-rdszr éiai otciáljával alacso ıérsélt? / / / gπ / d C d α aol α >. Az utolsó itgrál α ooto csöı függvé aiuát tát α -ál vszi fl: / / c C d. Ha adott térfogato és ıérsélt övljü a részcsé száát a forulá c -él érvéüt vszti isz si aadálozat g abba og él több részcsét lzzü a térfogatba. / > c α? ~ / < c α > 5

16 Az ábráról látszi og a érdıjls tartoába úg is l lt juti og rögzíttt részcsszá lltt csötjü a ıérséltt. Hol övttü l a godolattüb ibát? Aior az állaoto szriti összgzésrıl áttérü az rgia szriti itgrálásra fltétlzzü og ics ola állaot alib a részcsé aroszoius áada tartózoda. g il állaot a trodiaiai atárstb az állaotsőrőségb dlta-függvé járuléot ada ait vttü figlb. iziailag z az állaot az grészcs-alaállaot. A foruláat tát orrigáli ll: >. ddig csa a ásodi tagot vttü figlb. z < stéb rdb is va. > -ál viszot g az alaállaot dgráltsága c g g a DL-b. α c agis < c a DL-b laagolató α > > ~ O α ~ O/ c Láttu og az idális bozoo özött fftív vozó ölcsöatás lé fl. tudató b og adott ıérsélt aroszoius száú részcs jli g az alaállaotba. a fázisátalaulás-szrő jlség a v: os-isti odzáció. < ıérsélt é ics alaállaoti járulé. > / / > c c / ivl -ba ég / / A DL-b a éiai otciált -a lt titi. A odzátu vagis az alaállaoti áad ad járuléot s az rgiába s a oásoz. át a rdszr rgiája: 6

17 / / / / / g π d g d π / Kost Az általáosa érvés P ifjzést flaszálva P Kost / agis a oás függ a térfogattól! A orsszibilitás az átalaulási ot alatt végtl adódi ugaúg aog a valódi odzációál a foladé-gáz áttél. Hagsúlozi ll azoba og z az átalaulás a valós a az iulzus-térb játszódi l. P alódi ölcsöató gázoba gvalósított os-isti odzációért -b aott Corll Kttrl és Wia obl-díjat. otogáz ıérsélti sugárzás itsü g ürgt alb az ltroágss sugárzás a fallal trius gsúlba va. udju og a sugárzási tér oszillátoródusora botató. z vatálásával jutu l a fotoooz. A Mawll-glt liaritása övtztéb az oszcillátoro függtl íg a fotogáz idális ölcsöatás-ts lsz. A fotoo sij s vagis bozoo d g csuá a ét olarizációs iráa ill. a étfél ciruláris olarizációa gfllı. z azzal va acsolatba og a foto ugali tög. A foto rgiája frvciája és iulzusa özött az alábbi összfüggés érvés. ν ν λ c tát a fotoo diszrziós rlációja c ltérı az ddig tárgalt -rlativisztius sttıl. A fotoo a falba ltz illtv llıd záltal az ürgb a száu álladó azt a térfogat és a ıérsélt atározza g. át a szabadrgiába a részcsszá araétr ai gsúli értéét é a szabadrgia iiua atározza g: 7

18 . Másrészt általáosa érvés og aibıl adódi. Az átlagos btöltési szá:. c jlt lltodást a fti forula -val való aszálata rt az grészcsrgia idig ozitív rgiájú foto létzi. d -b 8π 8π 4π d ν dν ν dν állaot va. A térfogatgségr jutó c c rgia uν strális loszlását rssü: u 8π ν ν d ν ν d ν. ν c z a írs Plac-fél sugárzási törvé al a vatucaia lidítója volt. 4 8π η u ν dν dη η c aol az η ν lttsítést tttü. η /.4 η η η η η.8 η A aiu l ν ν η vagis álladó. z a Wi-fél ltolódási törvé ai gutatja og u aiul a frvciába az abszolút ıérsélttl aráos. Érds gvizsgáli a atárstt. a ν <<. z a lasszius atárst aivl ár orábba foglaloztu. Mid oszcillátor ódusoz rgia tartozi. A rt összfüggés a Ralig-Jas törvé. 8

19 8π u ν dν ν dν c 44 oszcillátoro száa b ν >>. Ilor jutu l a Wi-fél sugárzási törvéz: ν 8π u ν dν ν ν dν c ai g irius törvé és jól lírja az rgiasőrőségt a ag frvciás atárstb. Isrts og a vatucaiát lidító Plac-fél sugárzási törvé a ét foruláa az itrolációjából szülttt. A sugárzási tér trodiaiáját a Plac forulából lt száraztati. Az ürgb lévı tér tljs rgiasőrőségér lvzttı a Stfa-oltza törvé: 4 8π η 4 u d d ν ν η η c c aol az itgrál értéé flaszálásával a π /5c Stfa-oltza álladó iszáítató az uivrzális álladó sgítségévl. A fotoo szááa várató értéér 8π η d ~ ν dν ν c η 8π η c udju og P ivl ~ c. I P 4 c 4 vagis a oás függ a térfogattól asolóa az átalaulás alatti ıérsélt a bozooál aol a DL-b szité. A ıaacitásra 6 C c öbös ıérséltfüggés adódi. gfllı a ıaacitás ltői -ra összagba a trodiaia aradi fıtétlévl. 9

20 Szilárd tst trodiaiája A ristálos szilárd tst váza atooból vag iooból áll al gsúli lztü örül is rzgést végz. A caiába taulta szrit b lt vzti a oráloordiátáat és a is alitúdójú rzgés z oráloordiátá sgítségévl flírató it függtl oszcillátoro járuléaia rdıi. Az il oszcillátorora alalazva az viartíció tétlét gaju a Dulog-Ptit szabált: C. Alacso ıérsélt trészts vatu-fftuso lé fl. z lírásáoz az oszcillátoroat vatáli ll. Ha titü g ódusoz tartozó oszcillátort aor az az rgiájáa gfllı ülöbözı grjsztési állaotba lt. Mivl az oszcillátor gást övtı rgiaszitji özött a ülöbség idig ν az -di szitr grjszttt oszcillátor flfogató ita adott frvciájú vázirészcs foo l a rdszrb. z olltív grjsztés isz a oráloordiátá iszáításáoz az gész rdszrt figlb lltt vi. alóba so szotból úg visld it a részcsé: alalazi lt ráju a os-isti statisztiát. A száu álladó tát a fotoooz asolóa a fooo éiai otciálja is ulla. A agulláoba a frvcia aráos a ullászáal. gfllı lsz ola óduso alr c aol c a agsbsség. I: ν D ν Kost ν dν ν Látszi og a lzt ago asoló a fotoooz. A ag ülöség og ott a óduso száa végtl itt dig végs: gjli a ν D Db frvcia ai é a szabadsági foo végs száával acsolatos. gész alacso ıérsélt azoba ics jltıség tát az itgrálás itolató végtlb és a fotoora aott forulá aalógiájára gállaítató og alacso ıérsélt a szilárd tst ıaacitásáa va g -ös járuléa. A vztı stéb a lggszrőbb odll a fltétlzzü og a vztési ltroo ölcsöatásts frioo. Láttu og szobaıérsélt ada légs járuléot a fajıb ivl a ri-ıérsélt él jóval agasabb. gész alacso ıérsélt azoba látatóvá váli a frioo liáris fajıj ivl lassabba tői l it a rácsrzgés öbös járuléa. részts a szigtlı és a vztı fajıj - garát ltői aog zt a aradi fıtétl gövtli.