Megszerzett pontszám:

Átírás

1 - A csapat neve: Iskolátok: Szerezhető pontszám: 60 pont Megszerzett pontszám: Beküldési határidő: május 11. Beküldési cím: Abacusan Stúdió, 1193 Budapest, Klapka u. 47. A verseny megrendezését a Nemzeti Tehetség Program támogatja.

2 Kedves Versenyzők! Elérkeztünk a 2015/16. évi 4 korszak talányai verseny 4. fordulójához! Kalauzotok továbbra is a korábbi fordulóban megismert család: az építész apuka, Adalbert, biokémia kutató mama, Wilhelmina, bakfis korba lépett lányuk, Eufrozina, és a kisöccse, Martin. Míg tavaly Eufrozina különleges iránytűjének köszönhetően a 4 égtáj épített és természeti csodáival ismerkedhetett meg a család és a versenyzők, idén Martin kotnyeleskedő csínytevéseinek köszönhető a kalandos időutazás. Adalbert és családja egy gőzmozdony vontatta vonaton ült, és az átélt kalandokról tanakodtak. Martin az időgépet tanulmányozta. Nézd, Eufrozi, ezt a gombot eddig nem is vettem észre! Mi lenne, ha elfordítanám? Jaj Martin, neee! A következőkben Martin, Eufrozina, Adalbert és Wilhelmina vonata nagyvárosokon át repítette körbe az izgatott családot a világ négy táján.

3 1. feladat Titkosírások /10 pont Hogy gyorsabban teljen az idő, Adalbert titkosírásos rejtvényekkel szórakoztatta a gyerekeket. A titkosírások története többezer éves. A mai kódolások a legújabb matematikai eredményeket használják, és a kódok feltörésében gyakran matematikusok is részt vesznek. Például a második világháború évekkel tovább tartott volna, ha a század egyik legnagyobb matematikusa, Alan Turing ( ) nem fejti meg a német titkosítási eljárást. Churchill szerint Alan Turing egymaga többel járult hozzá Nagy-Britannia háborús erőfeszítéseihez, mint bárki más. Martin kitalált egy titkosírást, ennek a kódkulcsát látjuk az ábrán. Ezzel a kóddal így írta le a BUKSI szót: Milyen szót írtunk le ezzel a titkos kóddal az alábbi módon? A 20 század legnevesebb matematikusai között számos magyar tudós volt. Kódoljátok a nevüket egy általatok kitalált titkosírás alapján! A titkosírás szabályát ismertessétek! Riesz Frigyes Pólya György Neumann János Erdős Pál Turán Pál

4 2. feladat A zseniális indiai matematikus, Ramanujan és a taxicab number /10 pont Amikor ráuntak a titkosírásokra, Adalbertnek újabb ötlete támadt. Elmesélt a gyerekeknek egy nevezetes az a történetet, amely szerint a XIX század végén született indiai matematikus zseni, Ramanujan 1729 egy érdekes tulajdonságára hívta fel a figyelmet. Ez a furcsa természetű, szótlan ember még a középiskoláit sem tudta elvégezni, matematikából is megbukott. 14 éves korában kezébe került egy képletgyűjtemény, amely annyira megragadta, hogy szinte a formulák szerelmese lett, s maga is százasával kezdte gyártani a különleges képleteket. Barátai rávették, hogy mutassa meg egy matematikusnak az eredményeit. Így végül 1912-ben elküldte azokat a világ akkori vezető matematikusának, Hardynak, pár soros levél kíséretében, amelyben azt kérte, hogy ha Hardy talál benne érdekeset, akkor jelezze. Hardy megnézte, először azt gondolta, hogy megint egy félbolonddal van dolga, úgyhogy előbb elment a teniszpartijára. Azután jobban megnézte a képleteket, néhány nagyon újszerűnek tűnt, megpróbálta őket bebizonyítani, nem sikerült. Levelezés kezdődött köztük és Hardy Angliába hívta Ramanujant. Itt történt az az eset, hogy együtt utaztak taxival és Hardy az autóban felejtette az esernyőjét. Bosszankodott, hogy ezt már biztos nem fogják megtalálni, amikor Ramanujan közölte vele a taxi rendszámát: Hogyan lehet egy ilyen közönséges számot megjegyezni csodálkozott Hardy. Mire Ramanujan felháborodott: Dehogy közönséges! Ez a legkisebb olyan egész, amely kétféleképpen is előáll, mint két pozitív köbszám összege. Ez a két előállítás: , illetve a) feladat: Melyik az a legkisebb szám, mely háromféle módon felírható négy négyzetszám összegeként? b) feladat: Hány olyan kétjegyű szám van, amely megegyezik a szám számjegyei összegének négyzetével? c) feladat: A 370 olyan szám, amely megegyezik számjegyei köbének összegével: Keresd meg a 370 után következő első ilyen tulajdonságú háromjegyű számot. Melyik ez a szám?

5 3. feladat A képtárprobléma /10 pont Ma múzeumba megyünk szólt Wilhelmina Erről jut eszembe egy érdekes történet! 1973-ban Victor Klee fogalmazta meg a Képtár-problémát: Tegyük fel, hogy egy múzeum igazgatója biztosítani akarja, hogy a múzeum minden pontját folyamatosan őrizze egy őr. Az őröknek rögzített őrhelyük van, de meg tudnak fordulni. Legkevesebb hány őrre van szükség? Két évvel később, 1975-ben találták meg a választ. feladat: Egy múzeum igazgatója biztosítani akarja, hogy a múzeum minden pontját folyamatosan őrizze egy őr. Az őröknek rögzített őrhelyük van, de meg tudnak fordulni. Legkevesebb hány őrre van szükség?

6 4. feladat Sierpinski-háromszögek /10 pont Sierpinski lengyel matematikus 1915-ben a tér tulajdonságait vizsgálta, ehhez használta a Sierpinski-háromszögeket. Ez egy sokak által kutatott területté vált. a) Keressetek hasonló elven felépülő alakzatokat (fraktálokat)! Készítsetek saját fraktál-tervet! Rajzoljátok meg kézzel, grafikus programmal vagy a ComeniusLogo vagy a Scratch vagy a Code.org program segítségével!

7 b) feladat: Egy szabályos háromszöget felosztottunk 4 egybevágó kis háromszögre, majd ezekből három háromszög mindegyikét feldaraboltuk 4 egybevágó kisebb háromszögre az ábra szerint. A befestett terület hányadrésze a nagy háromszög területének? c) feladat: Egy szabályos háromszöget felosztottunk 4 egybevágó háromszögre, majd ezekből három háromszög mindegyikét feldaraboltuk 4 egybevágó kisebb háromszögre az ábra szerint, és ezt az eljárást még egyszer megismételtük. A befestett terület hányadrésze a háromszög területének?

8 5. feladat Pareto-elv /10 pont 1906-ban egy olasz közgazdász, Pareto állította fel azt a matematikai képletet, amelynek segítségével leírja az országára jellemző vagyoni egyenlőtlenségek jellegzetességeit. Azt figyelte meg, hogy a lakosság 20%-a rendelkezik az összvagyon 80%-a felett. Ez a következtetés aztán az élet szinte minden területére rányomta a bélyegét. Üzletembereknek például azt tanítják, hogy napi tevékenységeiknek 20%-a termeli ki az eredményeiknek a 80%-át, de további elméleteket alkottak a Pareto-elv alapján: a világ népességének 20%-a kapja a fizetések 80%-át a hibák 20%-a okozza a rendszerösszeomlások 80%-át a vevők 20%-a okozza az eladások 80%-át a weboldalak 20%-a kapja a forgalom 80%-át és így tovább. Ha egy országban a lakosság 20%-a rendelkezik az összvagyon 80%-a felett, és a lakosság maradék 80%-a osztozik az összvagyon 20%-án, akkor egy gazdagabb lakosnak a vagyona hányszorosa a szegényebb lakos vagyonának? Töprengett Martin. (Feltesszük, hogy a gazdagok egyformán gazdagok, a szegények egyformán szegények.) Segítsetek Adalbertnek megválaszolni Martin kérdését! 6. feldat A nagy Fermat-sejtés /10 pont Most egy régi problémát mesélek el nektek, aminek csak nemrégiben született meg a megoldása. Fermat ( ) egy könyvbe írt bejegyzését halála után találták meg: Lehetetlen egy köbszámot felírni két köbszám összegeként, vagy egy negyedik hatványt felírni két negyedik hatvány összegeként; általában lehetetlen bármely magasabb hatványt felírni két ugyanolyan hatvány összegeként. Igazán csudálatos bizonyítást találtam erre a tételre, de ez a margó túlságosan keskeny, semhogy ideírhatnám. n n n Tehát Fermat szerint az a b c egyenletnek nincs megoldása a pozitív egész számok körében, ha n 2-nél nagyobb egész szám. 350 éven át amatőrök sokasága és sok-sok kiváló matematikus próbálta megtalálni ezt a bizonyítást eredménytelenül. Végre 20 évvel ezelőtt Andrew Wiles célba ért, hét év megfeszített munkájával bebizonyította ezt a sejtést. Wiles ezért az eredményért veszi át 2016 májusában a közel 200 millió forinttal járó Abel-díjat Feladat: Két négyzetszám összege lehet négyzetszám, pl , de két köbszám összege nem lehet négyzetszám. Lehet-e három pozitív egész szám köbének összege köbszám?