Mikroszámítógépes program logikai függvények minimalizálására

Átírás

1 Mkroszámítógépes program logka függvények mnmalzálására KÁLDI TIBOR Országos Mérésügy Hvatal SZENT IDA Y KLÁRA Kandó Kálmán Vllamospar Műszak Főskola Illl WKM ÖSSZEFOGLALÁS A kombnácós hálózatok tervezésének egyk alapvető szempontja, hogy az előírt specfkácót a lehető leggazdaságosabban valósítsuk meg. A logka szntézsnek a mkroelektronka tervezésben s jelentős szerepe van. Egy- és többkmenetű (max. 0) logka függvények mnmalzálására alkalmas, Z Speetrum személy számítógépen futtatható, ASSEMBLY nyelven írt programot készítettünk, am az M. A. Breuer által bevezetett, rredundáns lefedés algortmusra épül. Eredményenket dekóder áramkör tervezés példájával llusztráljuk. Bevezetés A mkroelektronka tervezés fontos elemét képez a logka szntézs. A hazánkban s üzembe állított, elsősorban a berendezés-orentált áramkörök fejlesztésére alkalmas Herarchkus Tervező Rendszer (HTR) a szntézs eljárásokkal megfelelően kegészítve gyorsabb és hbamentesebb tervezést tenne lehetővé [], [2]. Munkánk a logka (Boolefüggvények mnmalzálásával foglalkozk, és az elkészített program kezdet lépését jelenthet egy önálló, de a HTR-hez kapcsolódó Logka Szntézs Alrendszer szoftvernek. A logka függvények mnt smeretes algebra úton, grafkus eljárással vagy számítógépes módszerekkel mnmalzálhatók. Nagyobb változószám esetén csaks ezen utóbb megoldás jöhet szóba, mvel az elterjedten alkalmazott Karnaughtábla 8 0 változó felett már nehezen átteknthető és lassan kezelhető. A számítógépes módszerek között fgyelemre méltó a Melvn A. Breuer [3] által kdolgozott, ún. rredundáns lefedés algortmus-csoport, am szemléletessége ós ks tárkapactás-génye folytán az egyszerűbb kategórájú személy számítógépekre s könnyen adaptálható. Az algortmusok által defnált műveletek kzárólag karakter füzéreken (strng változókon) végrehajtott logka műveletekre korlátozhatók, amelyek jól lleszkednek az ASSEMBLY nyelvhez. Az rredundáns lefedés eljárás egyk sajátossága, hogy az áramkörtervező által előírt logka függvény, az ún. kezdet lefedés, tetszőleges lehet olyan értelemben, hogy nem szükséges a függvényt a normál alakra vsszavezetn, mnt pl. a Qune- McCluskey numerkus eljárás esetében [4]. * Közleményünk Z Speetrum (48 K) személy számítógépre kdolgozott mnmalzálás programot smertetet, am Melvn A. Breuer módszerén alapul. Az eredményül kapott rredundáns lefedés kétszntű ÉS-VAGY, ll. NES-NES kapus hálózattal valósítható meg. Beérkezett: 988. VI. 6. (H) KÁLDI TIBOR A Jedlk Ányos Közlekedés gépészet Technkumot 958-ban végezte el. 8 évg az EIVRT-ben, a TUNGSRAM RT jog- SZENTIDA Y KLÁRA Ok. fzkus, ok. elektronka szakmérnök, egy. doktor. Korábban a Híradástechnka Ipar Kutató Intézet (a MEV jogelődje ) tud. főmunkatársajelenleg a KKVMF KATI docense, szakcsoportvezető. Szakma tevékenysége : tranzsztor strukturavzs gálatok, optoelektronka félvezető eszközök méréstechnkája, mnőségellenőrzés, Okta- 2. Az algebra íormalznus elődjénél dolgozott a tranzsztor gyártás szakén. 96-től az OMH Optka osztályán radometra méréstechnkával és fotódetektor ok vzsgálataval foglalkozk. tás területe a félvezetők konstrukcós számítása, dgtáls áramkörök. írjuk fel a logka függvény kndulást képező alakját szorzattagok (mntermek, P tagok) összegeként. Ha a függvényt algebra úton egyszerűsítjük, olyan szorzattagok s előfordulhatnak, amelyekből bzonyos változók kestek. Az lyen csonka P tagot az egyszerűbb algortmzálhatóság érdekében J. P. Roth [5] ún. kocka (cube) alakjában fejezte k. Legyen pl. a c = A x A s szorzattag egy háromváltozós függvény egyk tagja, amt a hányzó A% változóval A A Z A 3 + A A^A Z szernt egészíthetünk k. Az közömbös változót cc-szel, a ponált változót -gyel és a negáltat 0-val jelölve, a c kocka formában írható fel. c= 0 A kocka-specfkácó lényege tehát, hogy az n változós Boole-függvényt n dmenzós vektorok (kockák) halmazával adjuk meg. A c vektor összetevő c={0,, x} értékűek, és az / függvényt az f { c v C 2>.} kockahalmazzal defnáljuk. A gép algortmusok számos operátort és műveletet értelmeznek a kockák és a kockahalmazok között. Ezek közül a metszet ós az éles szorzat smertetésére térünk k. 446 Híradástechnka I, évfolyam, 988, 0. szám

2 A metszet koordnáta-táblája.0 0 Q 0 a, Q x 0 x. láblázat Ez utóbb eredmény éppen a ü halmaz P tagos alakja. Ellentétben a metszettel, az éles szorzat nem kommutatív művelet, a szorzótényezők sorrendje tehát nem cserélhető fel. Halmazműveletek. A metszet és az éles szorzat kockahalmazokra s kterjeszthető. Legyen C 4 és Gj két w-dmenzós halmaz. Ekkor G^C } =- yj [ y> (c'o c )]és Az éles szorzat koordnáta-táblája # 0 x 0 z y z a y z, x 0 z 2. táblázat Metszet. A c^cy művelet az. táblázat segítségével végezhető el. c x = (a a 2...a t...a n ), c y = = (bjb 2...&{...& ) és az eredményül kapott új kocka c xy = (d l d 2...d {...d n ). Legyen pl. 0^ = 0x és C;c = x0. Az azonos pozícóban lévő elemek között elvégezve a kjelölt műveletet, 0^=0 lesz az eredmény. Legyen most 0^ = 0x0, ekkor a negyedk elemnél Q olvasható k a táblázatból. Ha bármely pozícóban Q adódk, az eredményül kapott c xy kocka üres halmaz lesz, amt ^-vel jelölünk. Nem nehéz felsmern, hogy a metszet nem más, mnt a kockáknak megfelelő, csonka P tagok szorzata. Éles szorzat. A P tagos alaknál maradva, a c^-nek a c -nal való éles szorzata Cx#c v =P(a).P(b) alapján értelmezhető, ahol a c x =P(a) és a c y =^P(b) megfeleltetéssel élünk.. táblázat alapján nyerhető G függvény kockahalmaz, am a következőképpen defnálható: C=p (üres halmaz), ha a #b = z mnden -re; c x # Cg,=c x. ha bármely -re y adódk. Egyébként: Cx^pCy ^(a^...a_ owa +...a n ) ahol CCÍ = a t # ö 4, ós ha -edk elemet töröln kell. Ha x t -gyel, vagy 0-val egyenlő, a kocka ezekkel az értékekkel szerepel az eredményben. w a halmazok egyesítésének művelete (unó). Az éles szorzat ez utóbb változatát vlágítsuk meg egy példával. Legyen c^lxox és c^xlxl. Az eredmény a O = {00x, x00} halmaz lesz. Ezt gazolhatjuk, ha szorzattag alakban írjuk fel a kockákat és a DeMorgan szabályt alkalmazva elvégezzük ap(a) -P(b) műveletet. c x =P(a) = A A Z és c v =P(f>) A % AA, megfeleltetéssel: c% # c y = A^^A^) = ^4j-4 3 (-<4 2 + A 4) = A t A s + + A^A z A d*c f = w [c'#c] «' c* ahol c'#(?/=(...(c'#c )#c 2 )#c 3...)#ön) tt Gj = (c ; c 2,..., c«) értékű. (c'zc jelentése: c' eleme a Gt halmaznak.) 3. Az rredundáns lefedés alfortmusa Az rredundáns lefedés algortmusat több, egymást követő lépésre bontva smertetjük. Az algortmusok levezethetők a Boole-algebra alaptételeből és szemléltethetők a Karnaugh táblán.. lépés: mplkácó. Nézzük az. ábra példáját A ^ = 0x hurok benne foglaltatk a c 2 = xlxl hurokban, vagys q mplkálja c 2 -t (q-^cg). Amennyben c x -*c 2 fennáll, c^c^p (üres halmaz) adódk és c elhagyható. 2. lépés: kockatörlés.. ábra kezdet lefedését tekntve, belátható, hogy a C5 kocka felesleges, hszen a több négy rendre lefed annak egy-egy celláját. Valamely c kocka akkor törölhető, ha kemelve azt a G halmazból, a c#(( c) művelet eredménye f-vel lesz egyenlő. A példánál maradva belátható, hogy (((C5#C )#C 2)#C 3)#C4= f. Megjegyezzük, hogy a vzsgált c kockát követő (C-c) halmaz kockának sorrendje az éles szorzatok végzésekor tetszőleges lehet. 3. lépés: elemtörlés. A 3. ábrán látható példa alapján ezt a lépést nkább a hurokbővítés" névvel llethetnénk. Az elemtörlósnél tehát azt a folyamatot algortmzáljuk, amkor a kezdet lefedést nagyobb, több cellát befogó hurokkal helyettesítjük Vb ^ AjA$K \(l O ; ; J! IH480-I. ábra. Implkácó: a c^olxl kockának megfelelő hurok benne foglaltatk a c 2 =:xlxl kockának megfelelő hur okban Híradástechnka I. évfolyam, szám 44.

3 a á P \ oo 0 n í /, 0! / j ' t ' \ ' ; Vsszatérve a 3. ábra példájához, az elemnegálás azt jelent, mntha a kválasztott kockát reprezentáló hurkot valamelyk rányba eltoltuk volna. Ha a léptetett hurok által befogott cellákat a több hurok (kocka) lefed, a bővítés elvégezhető. 4. lépés: közös mplkánsok keresése. A k kmenetű kombnácós hálózat k darab logka függvényből álló függvényrendszerrel jellemezhető. A hálózat tervezésének egyk lehetősége, hogy az egyes kmenetekhez tartozó logka függvényeket különkülön, egymástól függetlenül mnmalzáljuk. Gazdaságosabb megoldást kaphatunk azonban, ha az egymástól független mnmalzálást követően megkeressük azokat az mplkánsokat, amelyek két vagy több függvényben közösek. Nézzünk egy példát a közös mplkánsokra. H áöra. Kockatörlós: A c 5 = llxx kockának megfelelő hurok teljesen fedve van a C = lxoo, c 2 = xl0, c 3 =lxll és c 4 =xll0 kockáknak megfelelő hurok egy-egy cellája által a Karnaugh táblán. Ezáltal a kockákban a {0, } elemek x-re változnak. Az algortmus lépése a következők. Vesszük az első c kockát és annak {0, } elemet sorszámmal látjuk el. Az =l elemet negáljuk. Az így nyert c( = l) kockát kemelve a C halmazból, éles szorzat-sorozatot végzünk. Amennyben c( = l) #(C-c)=y adódk, a c kocka elemét a;-re írjuk át. A c kocka ezután átírt formájában szerepel a G halmazban. Az eljárást valamenny -re (?sn) elvégezzük, és a C halmaz valamenny kockáját megvzsgáljuk a bemutatott módon. Legyen f = A$+A L és f 2 =A A s + A. Az f'-hez tartozó kezdet lefedést a 4a. ábra, míg / 2 kezdet lefedését a 46. ábra szemléltet. Kockákkal kfejezve: 0 = {xll, Olx}; C 2 = {lx0, llx} /!-et tehát a C l és / 2 -t a C 2 halmaz reprezentálja. Képezzük e két halmaz metszetét a C^C^ művelettel. Az. koordnáta-táblázatot használva: C nc, 2=xll^llx = lll adódk, a több párosítás rp-t eredményez. A metszet eredménye, am nem más, mnt az f és f 2 függvények szorzata, a 4. c. ábrán látható. Mnd / x -be, mnt / 2 -be beírható a közös mplkáns, és cserébe elhagyható f^hől / 2 -ből az A ± szorzattag, mvel ezek másodk celláját mnd /\ mnd/ 2 esetében a másk hurok lefed. Végeredményben < ={, 0x}ésC 2 ={lll, x0} adódk, am egyszerűsít a realzálást, hszen az kocka mnt közös kapu, mndkét kmenethez csatlakoztatható. A \ A \ é 00 0 j ') k -\ J 0 b., H ábra. Elemtörlós: A c 2 =xl0 kocka =2 elemét negál' felelő hurok lefed. Hasonlóképpen kö-* c 2 (=2)=xlll adódk, amt a c 3 = xxll kockának meghető a c = 00 kocka elemcseréje s. 448 Híradástechnka I. évfolyam, szám

4 A j Q. A 3 Aj n Aj A-SJ± 0 00 f. h \ 0 \ r? \ A A, 2 A] A 3 e-, H48CK a) az/ függvény kezdet lefedése b) az/ 3 függvény kezdet lefedése %,4. ábra. Példa közös mplkáns keresésére: Az algortmzálás a következőképpen történk.^ * Bemenet jellemzők Meg kell vzsgáln a kezdet lefedést jelentő, k Az egyes kockák elemenek n száma maxmálsan számú halmaz egymással való összes lehetséges 20 lehet azzal a megkötéssel, hogy a közömbös metszetét. Ha pl. a halmazban szereplő c x változók (az x-értékek) száma nem lehet nagyobb kockának a G } halmazban lévő c y kockával való 6-nál. A függvénykmenetek k száma maxmálsan 0 lehet. Egy-egy kmenethez max. 64 darab metszete y>-től különböző, c x^c y = c xv új kocka keletkezk. Ezt követően meg kell vzsgáln, hogy kocka tartozhat, azonban a kockák összes száma a G halmazban Cj halmazban a c y helyettesíthető-e a c xy nem léphet túl a 255-öt. Az adatbevtel kockánként történk a {0,, x} szmbólumok bevtelével, -nel. Ha mndkét halmazra teljesülnek a lefedés feltételek, c x és c v törlendő majd feltüntetjük, hogy a beírt kocka mely kmenetekhez tartozk, ül. nem tartozk: az aktív k és mnd Cj-be, mnd C 3 -be c xy írandó. A halmazok egymással való metszetének műveletét mndaddg menetet -gyel, és az naktív kmenetet x-szel meg kell smételn, amíg új kocka keletkezk. jelölve. Valamely kocka elhagyásának vzsgálatához elő kell állítan a metszettől különböző összes Kmenet adatok varánst. Hogy azokat lefed-e a halmaz több eleme, arról a 2. lépésnek megfelelő éles szorzat műveletsor ad felvlágosítást. Költségfüggvények. A logka függvények megvalósításának költséget korábban a szükséges kapuk száma alapján határozták meg. A mkroelektronkában, ahol egyetlen félvezető lapkán helyezk el az egész áramkört, nagyobb jelentősége van a kapubemenetszám és a FAN OUT csökkentésének. Általában többféle költségfüggvényt defnálnak, amelyek a fent jellemzőket tartalmazzák. 4. Programszerkesztés Kndulás feltételek: a mnmalzálandó logka függvényt szorzatok összegeként kell megadn; tetszőleges kezdet lefedés választható a csonka P tagokat kockákkal kfejezve; egyszerűsített lefedésből ndulunk k C-*C 0 KJ DC alapján, ahol C 0 az gaz (care) és DC a közömbös (don't care) halmaz; a program többkmenetű függvények mnmalzálására készült, amely értelemszerűen magában foglalja az egykmenetű kombnácós függvények esetét s. A program bemenet, kmenet ós nteraktív tömbjét BASIC nyelven írtuk meg, míg a feladatmegoldó rész ASSEMBLY nyelven készült. A program első lépésben a kmenetenként mnmalzálást végz el. Amennyben egykmenetű logka függvényt vzsgálunk, a feladatmegoldás véget s ért. Többkmenetű függvény esetén a program másodk lépésben elvégz a közös mplkánsok megkeresésén alapuló mnmalzálás eljárást s. A program kszámítja az alább költségfüggvényeket : Kapubemenetek száma Kapuk száma Max. FAN IN Max. FAN OUT ÉS-VAGY realzácó esetében a Max. FAN IN megadja, hogy maxmálsan hány bemenetű ÉS kapura van szükség. A Max. FAN OUT azt jelent, hogy egy ÉS kapu kmenetre maxmálsan hány darab VAGY kapubemenet csatlakozk. Perférák A program mnd magnetofonkazettás, mnd hajlékony mágnes lemezes változatban elkészült. Ez azt jelent, hogy mnd a bevtt adatok, mnd pedg a részeredményként és végeredményként kapott kockahalmazok és költségfüggvények háttértárra kvhetők, ll. onnan betölthetők. A Z Spectrum géphez Sekosha GP 50S (ll. 00S) prnter lleszthető és az eredmények oldalanként knyomtathatók. Híradástechnka I. évfolyam, szám 449

5 HA80-5I / / /_/ 0 n n / n III I \l I I L /" 4 N I I _/ / ábra. 9-szegmenses kjelző képe ós a megjeleníten kívánt karakterkészlet 5. Tervezés példa Szntézsprogramunkat 9-szegmenses kjelző dekóder tervezés példájával llusztráljuk. A 9-szegmenses karaktermegjelenítő képe és szegmensenek jelölése az 5. ábrán látható. Az ábra feltüntet az általunk példaként választott karakterkészletet s, amelyet a kjelző megjelenít, ha a dekóder bemenetére bnárs alakban az egyes karaktereknél feltüntetett számnak megfelelő jelsorozatot adjuk. Pl. a -es számjegy a 00 jelsorozattal gyújtható k, ahol a 0 a logka L-szntet és az a logka H- szntet jelöl. A 9-szegmenses kjelzővel már csaknem valamenny betű, és sokféle szmbólum s megjeleníthető, míg az smertebb -szegmenses változatot nkább csak a számjegyek kíratására 3. taházat A dekóder logka függvényének kezdet lefedése Bemenetek EN LT E D C B A í h x Kmenetek f d b x alkalmazzák [6]. A teljesség kedvéért a dekódert engedélyező bemenettel (EN) és lámpavzsgáló bemenettel (LT) s elláttuk. Ha az EN bemenet L-szntet kap, a kjelzés letltott, míg H-sznt 4. táblázat Az rredundáns lefedés végső eredménye Bemenet Kmenet Bemenet Kmenet x0 x00 x00 lxxlolo lxlllox loxxxxx x00 x000 xx0 x00x0 x000 lxoloox x0x0 x0x00 lxllolx lxolxxl lxxolox lxxloxl lxxolol x0 x0xx0 lxloxlx lxxxooo lxxxxlxxx llxxlxxxx lxlxxxxll lxxxxxxxx xllxxxxxx xlxxxxxxx xxlxxlxxl xxlxxlxxx xxlxxxxxx xxlxxxxxl xxlxxxxxx xxllxxxxx xxlxxxxxx xxxlxxxxl xxxlxlllx xxxlxxxxx xxxlxxxxx xxxllxxlx x0x x0lxx lxlolxx lxxoxlo x000 x000 x0x000 x0x0 lxxlooo xx00 xx0 lxolxox lxoolxx lxoloxx lxoxxll lxxooox x00x00 x00x x0x0 lxoxoxx xx00 lxxxlll xxxxxllxx xxxxxlxxl xxxxxllxx xxxxxlxxl xxxxxxlxx xxxxxxlxx xxxxxxlxl xxxxxxlxx xxxxxxxxl 450 Híradástechnka I. évfolyam, szám

6 Költségfüggvények Kezdet lefedés Kmenetenként! mn. 5. táblázat Kapubemenetszám Bemenet kapuk sz Kapuk száma Max. FAN IN 6 6 Max. FAN OUT esetén engedélyezett. Ha az LT bemenet L-szntet kap, a kjelző valamenny szegmense aktvzálódk. A logka függvény kezdet lefedésének néhány sorát a 3. táblázat tartalmazza. A több sor az 5. ábra alapján egyszerűen meghatározható. A mnmalzálás végső eredményét a 4. táblázat tüntet fel. A dekóder működését egyszerű BASIC nyelvű program segítségével szmuláltuk, ellenőrzve a 4. táblázatban foglalt eredményeket. Az 5. táblázat a költségfüggvényeket adja meg a kezdet lefedés, a kmenetenkónt mnmalzálás ós a közös mplkánsok megkeresése után. Mnt a 4. és 5. táblázatból látható, a végső eredményben lényegesen lecsökkent a kapubemenetek száma a kezdet lefedéshez képest, a kapuszám azonban megnőtt. A program teljes futás deje kb. 5 s nagyságú volt. A programot számos példával teszteltük és tapasztaltuk, hogy a futás dő az adatstruktúrától s lényegesen függ. Vzsgálatank és becslésenk arra utalnak, hogy maxmáls terjedelmű adatbevtellel a legkedvezőtlenebb esetben mntegy félórás futás dőre lehet számítan. 6. Köszönetnylvánítás Szerzők köszönetet mondanak Keresztes Péter főskola docensnek, amért a probléma érdekességére felhívta fgyelmüket. IRODALOM [] Automatkus struktúra szntézs a Herarchkus Tervező Rendszerhez. Tanulmány. Készült a Mkroelektronka Kormánybztos ós a MEV megbízásából 985-ben. Szerzők: Keresztes Péter, Ágotá István stb. [2] Desgn Automaton of Dgtal Systems. Chapter One, R. J. Press. 92 by Prentce-Hall, Inc. [3] Desgn Automaton of Dgtal Systems. Chapter Two, Melvn A. Breuer. 92 by Prentce-Hall, Inc. [4] Janovcs-Tóth: A logka tervezés módszere 2., javított kadás. Műszak Könyvkadó, Bp fejezet. [5] J. P. Roth: Algebrac Topologcal Methods for the Synthess of Swtchng Systems. I." Trans. Amer. Math. Soc, Vol. 88 (958), pp [6] Ks Halas Mészáros Szentday: Optoelektronka kjelzők és megjelenítők. Műszak Könyvkadó' Bp fejezet. Híradástechnka I. évfolyam, szám 45