Mérés és adatgyűjtés

Átírás

1 Mérés és adatgyűjtés 1. óra - levelező Mingesz Róbert Szegedi Tudományegyetem február 24. MA lev - 1. óra Verzió: 2.0 Utolsó frissítés: február 23. 1/68

2 Tartalom I 1 Tájékoztató 2 Ajánlott irodalom 3 A méréselmélet Az SI egységrendszer Angol egységek 4 Gépek felépítése 5 A mérőberendezés felépítése 6 A műszerek legfontosabb jellemzői 7 Mérési hibák 8 A statisztika alapjai Valószínűség Valószínűségi változók 9 A mérési eredmény megadása 1 mérés, σ ismert N mérés, σ ismert N mérés, σ ismeretlen MA lev - 1. óra 2/68

3 Tartalom II Feladatok MA lev - 1. óra 3/68

4 Információk Honlap címe: A részvétel nem kötelező, de ajánlott Értékelés: pontozás alapján. Tájékoztató ponthatárok: 50 59: : : 4 90 : 5 Írásbeli vizsga 90 pont. Teszt ( 20 pont) Kifejtendő kérdések ( 30 pont) Feladatmegoldás ( 30 pont) Programozási feladat ( 10 pont) Házi feladatok: 10 pont. MA lev - 1. óra Tájékoztató 4/68

5 Információk Pluszpontok Órai munka piros pontok (1 pp 4 pont) (max 30) Hibák jelzése (1 10 pont) (max 30) (csak az első beküldő, az óra előtti hibajelzés több pontot ér) ( Egyéni pluszfeladatok (max 30 pont) ) Pontlevonások Nem megengedett eszköz használata (pl. dolgozat írásakor) 100 pont Házi feladat másolása 2 x a megszerezhető pontszám MA lev - 1. óra Tájékoztató 5/68

6 Tantágy célja Méréselmélet alapjainak megismerése Mérések tervezése Mérések eredményeinek értelmezése Műszerek megismerése Kapcsolat a fizikai világ és a virtuális világ között Laboratóriumi gyakorlat LabVIEW fejlesztőkörnyezet megismerése Műszerek használata Mérések MA lev - 1. óra Tájékoztató 6/68

7 Tematika A méréselmélet, metrológiai alapfogalmak. SI-mértékegységrendszer. A mérőeszközök általános felépítése. A műszerek legfontosabb jellemzői. A mérési hibák, a mérési hibák kezelése. Mintavételezéses mérés, mintavételi tétel. Mintavevő és tartó áramkörök, D/A és A/D átalakítók. Az elektromos mennyiségek mérésének módszerei. Mérőműszerek (multiméterek, jelanalizátorok, oszcilloszkópok...) A mérőműszerek és a mérőeszközök kalibrálása. Szenzorok és aktuátorok. Adatgyűjtő rendszerek szabványos interfészei. A LabVIEW lehetőségei. MA lev - 1. óra Tájékoztató 7/68

8 Ajánlott irodalom Kocsondi András: Tudományelmélet, Szeged, 1990, JATE Kiadó Gerzson Miklós: Méréselmélet, 2011, Typotex Kiadó, Tankönyvtár Kemény Sándor,Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1990 Schnell szerk.: Jelek és rendszerek méréstechnikája, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, Zoltán István: Méréstechnika, Műegyetemi Kiadó, Budapest, 1997 Hofmann D.: Az ipari méréstechnika, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1982 Prékopa András: Valószínűségelmélet műszaki alkalmazásokkal, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, Pletl Szilveszter, Magyar Attila: Jelek és rendszerek példatár, 2011, Typotex Kiadó, Tankönyvtár MA lev - 1. óra Ajánlott irodalom 8/68

9 Ajánlott irodalom Minőségügyi Kihelyezett Intézeti Tanszék: Méréstechnika előadások, Műszeroldal: Metrológia, Váradiné dr. Szarka Angéla: Méréstechnika, Merestechnika_jegyzet.pdf Magyar Kereskedelmi Engedélyezési Hivatal, Metrológiai Főosztály Analog Devices: The Data Conversion Handbook /data_conversion_handbook.html Wikipedia MA lev - 1. óra Ajánlott irodalom 9/68

10 A mérés szerepe a világban Mindennapi élet (a környezetből érkező jelek) Háztartások (víz, gáz, áram, hőmérséklet...) Közlekedés (sebesség...) Kereskedelem (tömeg, térfogat, hosszúság...) Biztonságtechnika (hőmérséklet, fény...) Egészségügy (laboratóriumok, diagnosztika...) Gyártás Tudomány (kutatás, fejlesztés) Széleskörű alkalmazás különféle követelmények, módszerek, szokások MA lev - 1. óra A méréselmélet 10/68

11 A mérés szerepe a tudományban A tudományos megismerés célja a valóságra vonatkozó új ismeretek szerzése összefüggések keresése ismeretek alkalmazása Kutatás: tudományos problémák megoldásának a folyamata Probléma hipotézis elmélet probléma új tudás iránti szükséglet (új empirikus tények) hipotézis korábbi ismeretek / empirikus tudás Hipotézisek + elméletek: elméleti rendszerek egymással versenyeznek döntés: elméleti ismeretek (ellentmondások, egyszerűség...) empirikus ismeretek ( mérések) divat MA lev - 1. óra A méréselmélet 11/68

12 Empirikus megismerés Empirikus megismerés: Részei: Mérés: megfigyelés (nem avatkozik be) kísérlet (mesterséges, beavatkozik) Mérés Leírás (rögzítés, rendszerezés) Modellkísérletek fenomenologikus elméletek, empirikus törvények konkrét paraméterek megállapítása elméletek ellenőrzése, elméletek közötti döntés A mérés befolyásolja a mért értéket. A mérés pontossága korlátozott. MA lev - 1. óra A méréselmélet 12/68

13 A mérés A mérés definíciója: A mért jellemzők leképezése egy szimbólumhalmazra Pl. alma színe piros Egy (fizikai / kémiai) mennyiség nagyságának jellemzése a választott mértékegységben kifejezett számmértékkel mennyiség = számmérték mértékegység Egy ismeretlen mennyiséget egy ismert, állandónak gondolt mennyiséggel hasonlítjuk össze. Ez az állandó (etalon) rendelkezésre kell álljon. Lehet közvetlen, vagy közvetett összehasonlítás. MA lev - 1. óra A méréselmélet 13/68

14 A mérés jel- és rendszerelméleti modellje MA lev - 1. óra A méréselmélet 14/68

15 A mérés szerepe az iparban Gyártásirányítás Folyamatelemzés (zavarok, eltérések) Folyamatirányítás (termék/gyártóeszköz állapota, folyamat követése) Minőségszabályozás Idegenárú ellenőrzés (nyersanyag) Mérőeszközök állapota Termék ellenőrzése (késztermék) Gyártási biztonság Emberek (sugárzás, zaj, mérgező anyagok) Létesítmény (tűz, öregedés) Környezet (szennyezőanyagok) Gyártásszervezés Darabszámok Minőség MA lev - 1. óra A méréselmélet 15/68

16 Méréselmélet (metrológia) Mikor és hogy végezhető el egy mérés Mikor lesz megbízható egy mérés A mérés pontosságának becslése A mérési adatok feldolgozása, kiértékelése Mérési módszerek megadása, fejlesztése Technikai problémák kezelése Zajok kezelése Optimalizálás (pl. pontosság / költség) Helyes-e a modell / alkalmazott törvény (Pl. Newton törvények) Van-e pontos érték (vagy csak valószínűségi változó, pl. kockadobás) Ok-okozati kérdések MA lev - 1. óra A méréselmélet 16/68

17 Méréselmélet (metrológia) Metrológia fő tevékenységei Nemzetközileg elfogadott mértékegységek meghatározása (pl. méter) A mértékegység (etalon) megvalósítása (pl. méter megvalósítása lézer használatával) Visszavezetési lánc létrehozása (pl. a mérőszalag és a méter etalon között) A metrológia kategóriái Tudományos metrológia (etalonok rendszerezése, fejlesztése) Ipari metrológia (ipari gyártás mérőeszközei) Mérésügy (gazdasági tranzakciók, egészségvédelem, biztonság) MA lev - 1. óra A méréselmélet 17/68

18 Metrológiai alapfogalmak Mérhető mennyiség Mennyiségrendszer Alapmennyiség Származtatott mennyiség Mennyiség dimenziója Egység dimenzióju mennyiség Mértékegység Mértékegységrendszer Alapegység Származtatott egység Koherens mértékegység Koherens mértékegységrendszer Mennyiség értéke Mérőszám Egyezményes skála / referencia-skála MA lev - 1. óra A méréselmélet 18/68

19 Törvényi háttér Mérések hitelének biztosítása használati körülmények, időtartam, hibahatár egységek, etalonok Európai Uniós szabályozás Mérőeszköz Irányelv (MID) október 30. Jogi szabályozás Magyarországon évi XLV. Törvény a mérésügyről 127/1991. (X.9.) Kormányrendelet Mérésügyi szervezet Magyar Kereskedelmi Engedélyezési Hivatal (MKEH) Metrológiai Főosztály MA lev - 1. óra A méréselmélet 19/68

20 Egységrendszerek i. e. 4 évezred: Egyiptom, Mezopotámia: hossz, tömeg, idő Görögök: tudományos alapok Tradicionális egységek: emberi test a mérték (pl. hossz) MA lev - 1. óra A méréselmélet Az SI egységrendszer 20/68

21 A metrikus rendszer A francia forradalom idején alakult (1791.) Méter: a Föld Párizson áthaladó délkörének negyvenmilliomod része térfogat (liter) Gramm: 1 cm 3 víz tömege az olvadó jég hőmérsékletén Világkiállításokon népszerűsítették Méteregyezmény: 1875 CGS mértékegységrendszer (centiméter, gramm, másodperc) MKS rendszer (1889): új etalonok, csillagászati másodperc méter, kilogramm, másodperc MKSA rendszer (1946) amper 1954: kelvin, kandela 1960: SI Nemzetközi Egységrendszer MA lev - 1. óra A méréselmélet Az SI egységrendszer 21/68

22 SI Nemzetközi Egységrendszer A legtöbb államban az SI egységrendszer a hivatalos Kivéve: Burma, Libéria, USA MA lev - 1. óra A méréselmélet Az SI egységrendszer 22/68

23 Idő Másodperc, jele: s Korábban: az trópusi év 1/ ,9747 része Atomfizika: az atomi energiaszintek jól meghatározottak és állandók hν = E A másodperc az alapállapotú cézium-133 atom két hiperfinom energiaszintje közötti átmenetnek megfelelő sugárzás periódusának időtartama. Mérés: atomóra MA lev - 1. óra A méréselmélet Az SI egységrendszer 23/68

24 Távolság Méter, jele: m Korábban: etalon hossza, megfelelő fény hullámhosszának sokszorosa Relativitáselmélet: a fény sebessége vákuumban állandó A méter annak az útnak a hosszúsága, amelyet a fény vákuumban 1/ másodperc időtartam alatt megtesz. Mérés: hullámhosszra visszavezetve, interferrometria segítségével MA lev - 1. óra A méréselmélet Az SI egységrendszer 24/68

25 Tömeg Kilogramm, jele: kg A kilogramm a Franciaországban őrzött 90% platina, 10% irídium ötvözet tömegével definiált egység. Az etalon másolata több országban is megtalálható. Ha az etalon tömege bármilyen okból megváltozik, akkor a világon minden test tömege számszerűen megváltozik. MA lev - 1. óra A méréselmélet Az SI egységrendszer 25/68

26 SI alapegységek Áram: Az amper az az állandó áram, mely ha két egyenes, vákuumban levő, végtelen hosszú, egymástól párhuzamosan 1 méterre levő elhanyagolható kör keresztmetszetű vezetőn át folyik, akkor a fellépő erő méterenként N. Hőmérséklet: A kelvin úgy definiált, hogy a víz hármaspontjánál a hőmérséklet értéke 273,16K. A hármaspontnál a víz három különböző halmazállapota egyensúlyban jelenik meg. Fényintenzitás: Egy kandela (cd) fényintenzitás esetén az Hz frekvenciájú monokromatikus fény egy adott irányban egységnyi szteradián térszögbe sugárzott teljesítménye 1/683W. Anyagmennyiség:. Egy mól anyag definíció szerint annyi azonos elemi részt tartalmaz, mint ahány atom található 0,012kg szén 12-es izotópban. MA lev - 1. óra A méréselmélet Az SI egységrendszer 26/68

27 SI kiegészítő egységek Síkszög: A radián a kör két sugara által bezárt szög, melyek a körből éppen egy sugárnyi ívet jelölnek ki. Térszög: A szteradián annak a kúpnak a térszöge, melynek a csúcsát a gömb középpontjába helyezve a gömb felületéből éppen a sugár négyzetével egyenlő területet jelöl ki a gömb felszínén. MA lev - 1. óra A méréselmélet Az SI egységrendszer 27/68

28 SI prefixumok Jele Szorzó Név Y yotta Z zetta E exa P peta T tera G 10 9 giga M 10 6 mega k 10 3 kilo h 10 2 hekto da/dk 10 1 deka Jele Szorzó Név d 10 1 deci c 10 2 centi m 10 3 milli µ 10 6 mikro n 10 9 nano p piko f femto a atto z zepto y yocto Bináris prefixumok: kibi (Ki), mebi (Mi), gibi, tebi, pebi, exbi, zebi, yobi MA lev - 1. óra A méréselmélet Az SI egységrendszer 28/68

29 SI származtatott egységek SI BASE UNITS SI coherent derived units without special names SI COHERENT DERIVED UNITS WITH SPECIAL NAMES AND SYMBOLS Solid lines indicate multiplication, broken lines indicate division kilogram meter second kg MASS m LENGTH s TIME mole mol ampere AMOUNT OF SUBSTANCE A ELECTRIC CURRENT kelvin K THERMODYNAMIC TEMPERATURE candela cd LUMINOUS INTENSITY m 3 VOLUME m 2 AREA m/s VELOCITY m/s 2 ACCELERATION newton joule N FORCE J ENERGY,WORK, QUANTITY OF HEAT katal (mol/s) kat coulomb degree Celsius CATALYTIC ACTIVITY C ELECTRIC CHARGE C CELSIUS TEMPERATURE t/ C = T/K lux lx (kg m/s 2 ) (N m) (A s) (K) (lm/m 2 ) ILLUMINANCE pascal (N/m 2 ) gray (J/kg) sievert (J/kg) Pa Gy Sv PRESSURE, STRESS watt W POWER, HEAT FLOW RATE weber (V s) Wb MAGNETIC FLUX farad F (J/s) (C/V) CAPACITANCE lumen (cd sr) lm LUMINOUS FLUX ABSORBED DOSE ACTIVITY (OF A RADIONUCLIDE) H INDUCTANCE V VOLTAGE, ELECTROMOTIVE FORCE RESISTANCE DOSE EQUIVALENT becquerel (1/s) hertz (1/s) Bq Hz henry volt ohm Ω (Wb/A) (W/A) (V/A) FREQUENCY T MAGNETIC FLUX DENSITY S CONDUCTANCE steradian radian (m sr 2 /m 2 = 1) (m/m = 1) rad SOLID ANGLE tesla siemens (1/Ω) PLANE ANGLE (Wb/m 2 ) MA lev - 1. óra A méréselmélet Az SI egységrendszer 29/68

30 Korlátozás nélkül használható egységek Térfogat: liter (l, L) Síkszög: fok ( ), ívperc, ívmásodperc Tömeg: tonna (t) Idő: perc (min), óra (h), nap (d) Sebesség: km/h Munka: Wh Hőmérséklet: C MA lev - 1. óra A méréselmélet Az SI egységrendszer 30/68

31 Korlátozásokkal használható egységek Csak meghatározott szakterületeken használhatók Hosszúság: tengeri mérföld, csillagászati egység, parsec, fényév Terület: hektár Síkszög: gon Tömeg: atomi egység Nyomás: bar, mmhg, atm Energia: elektronvolt Teljesítmény: VA, var MA lev - 1. óra A méréselmélet Az SI egységrendszer 31/68

32 USA hagyományos mértékegység rendszer A technikai életben elterjedt Hosszúság Térfogat Tömeg hüvelyk (inch), 1 " = 1 in = 2,54 cm láb (foot), 1 ft = 12 in yard, 1 yd = 3 ft mérföld (mile), 1 mi = 1760 yd gallon, 1 gal = 3,785 l teáskanál, 1 tsp = 4,928 ml uncia (ounce), 1 oz = 28,34 g font (pund), 1 lb = 16 oz tonna (short ton), 2000 lb = 907,18 kg MA lev - 1. óra A méréselmélet Angol egységek 32/68

33 USA hagyományos mértékegység rendszer Hőmérséklet Fahrenheit F = 9 5 C + 32 Energia Kalória (Calorie), 1 cal = 4,184 J Teljesítmény Lóerő (Horsepower), 1 HP = 746 W Nyomás Pound per square inch, 1 psi = 6 894,7 Pa Tömeg (tehetetlen) Slug, 1 slug = 1 lbf s 2 /ft MA lev - 1. óra A méréselmélet Angol egységek 33/68

34 Az ember kapcsolata a külvilággal Érzékelés Külvilág Beavatkozás Feldolgozás létfenntartás, komfort megismerés (tudomány, oktatás) gazdaságosság... MA lev - 1. óra Gépek felépítése 34/68

35 Műszerek, gépek Külső jelek Beavatkozás Jelátalakítás Jelátalakítás Gépi feldolgozás A bemenő jeleket át kell alakítani, hogy kezelhetők legyenek Vissza kell alakítani őket, hogy hassanak a külvilágra Hatékony feldolgozás hatékony gép MA lev - 1. óra Gépek felépítése 35/68

36 Elektronikus feldolgozás Külső jelek Szenzorok Beavatkozás Fizikai mennyiségek Aktuátorok Elektromos jelek Elektronikus feldolgozás Feldolgozás: elektromos jelek segítségével A fizikai jeleket könnyű elektromos jelekké alakítani Tetszőleges matematikai művelet megvalósítható MA lev - 1. óra Gépek felépítése 36/68

37 Digitális feldolgozás Külső jelek Szenzorok A/D Fizikai mennyiségek Elektromos jelek Digitális jelek Digitális feldolgozás Beavatkozás Aktuátorok D/A Fizikai mennyiségek számok Rugalmas, hatékony feldolgozás Az eszköz működését a szoftver határozza meg (könnyen cserélhető) MA lev - 1. óra Gépek felépítése 37/68

38 Példa: digitális termosztát Hőmérséklet Termisztor A/D Nyomás Fény Nyomógomb Kijelző Processzor és szoftver Hő Kazán MA lev - 1. óra Gépek felépítése 38/68

39 A mérőberendezés felépítése Mérendő mennyiség Érzékelő Jelkondicionálás Feldolgozás Kijelzés Érzékelő: fizikai mennyiség másfajta fizikai mennyiség, amelyet a műszer többi része fel tud dolgozni Pl. hőmérséklet elmozdulás; hőmérséklet feszültség. Jelkondicionálás: pl. erősítés, zajszűrés, további átalakítások Feldolgozás: egyszerű számolások, bonyolult számolások, adattárolás... Kijelzés: pl. mutató, digitális kijelző, számítógépek (grafikonok...) MA lev - 1. óra A mérőberendezés felépítése 39/68

40 A műszerek legfontosabb jellemzői Pontosság (accuracy): az a maximális érték, amivel a kijelzett érték eltérhet a valódi értéktől. Pl. 1 mm, 1% Felbontás (resolution): az a legkisebb változás a mérendő mennyiségben, melyet a műszer még követni képes. (Pl. 1 K) MA lev - 1. óra A műszerek legfontosabb jellemzői 40/68

41 A műszerek legfontosabb jellemzői Nullponthiba az a hiba, mely a mért értéktől függetlenül mindig ugyanakkora. Azonos azzal az értékkel, amit a műszer mutat 0 valódi értéknél. Skálahiba: a valós és a mért érték hányadosa nem 1. A hiba arányos a mért értékkel. Mért érték Mért érték Valódi érték Valódi érték MA lev - 1. óra A műszerek legfontosabb jellemzői 41/68

42 A műszerek legfontosabb jellemzői Linearitáshiba: a mért érték nem lineáris függvénye a valós értéknek. Hiszterézis. A hiba függ attól, hogy a mért érték nő vagy csökken. Oka pl. a súrlódás Mért érték Mért érték Valódi érték Valódi érték MA lev - 1. óra A műszerek legfontosabb jellemzői 42/68

43 A műszerek legfontosabb jellemzői Zaj. Kijelzett érték ingadozása. Reprodukálhatóság (reproducibility). A műszer hibái időben változhatnak. Megbízhatóság (reability) Méréshatárok. A műszer végkitéréséhez tartozó mennyiségek. Reagálási/beállási idő (settling time). Sávszélesség (bandwidth). Váltakozó jelek mérése esetén MA lev - 1. óra A műszerek legfontosabb jellemzői 43/68

44 A műszerek legfontosabb jellemzői Referenciafeltételek Hitelesítés. Követhető hitelesítésű mérőeszközök. Fogyasztás Védettség (por és vízállóság) Túlterhelhetőség Interfész. Szabványos interfészek, PC kapcsolat, szoftver. Ár Garancia MA lev - 1. óra A műszerek legfontosabb jellemzői 44/68

45 Determinisztikus és véletlenszerű mérési hibák A méréseket mindig hiba terheli a mért érték eltér a valódi értéktől Determinisztikus hibák (rendszeres mérési hibák) pl. nullponthiba, skálahiba; hőmérséklet hatása a mérésre... előre meghatározott kompenzálható (kompenzálni kell) Véletlenszerű hiba (mérési bizonytalanság) minden egyes mérésnél más és más értékű nem megjósolható nem kompenzálható okai: a rendszerben fellépő véletlen jelenségek zavarforrások, hőmérsékletingadozás, nyomásingadozás, véletlen ingadozás (pl. ellenállászaj) kezelés: statisztikai módszerek Durva mérési hiba az eredmény jelentősen eltér a várttól pl. figyelmetlenség, tévedés, hibás érintkezések, hibás műszerek... MA lev - 1. óra Mérési hibák 45/68

46 Determinisztikus és véletlenszerű mérési hibák MA lev - 1. óra Mérési hibák 46/68

47 Abszolút és relatív hiba Abszolút hiba H i H i = x i x h ahol: x i a mért érték, x h a helyes érték Relatív hiba h i h i = x i x h x h ahol: x i a mért érték, x h a helyes érték általában százalékban adjuk meg Sok esetben a hiba abszolútértékét használjuk MA lev - 1. óra Mérési hibák 47/68

48 Események és valószínűség Tömegjelenség: azonos körülmények között akárhányszor lejátszódhat Véletlen jelenség: kimenetelét a figyelembe vehető tényezők összessége nem határozza meg egyértelműen Véletlen kísérlet: egy véletlen tömegjelenséget mesterségesen előidézünk Elemi esemény: egy kísérlet egy lehetséges kimenetele Eseménytér: az összes lehetséges elemi eseményből álló halmaz Esemény: a kísérlet során vagy bekövetkezik, vagy nem. Az eseménytér részhalmaza MA lev - 1. óra A statisztika alapjai Valószínűség 48/68

49 Valószínűség Egy A esemény valószínűsége (P(A)): a kísérletet (végtelen) sokszor elvégezve, az esetek hány százalékában következik be az A esemény. Pl: kockadobás eredménye: 5 : Valószínűség kiszámolása: kombinatorika: 6 lehetséges kimenet, azonos valószínűség P( 5 ) = 1 6 Kockadobás eredménye: 5 vagy 6 : P( 5 vagy 6 ) = 2 6 Egymást kizáró események esetén: Általában: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) MA lev - 1. óra A statisztika alapjai Valószínűség 49/68

50 Feltételes valószínűség Események függetlensége: az egyik esemény bekövetkezése nem befolyásolja a másik bekövetkezési valószínűségét P(A B) = P(A)P(B) Pl. Két dobókocka: fehér: 4, piros: 6 p = 1/6 1/6 = 1/36 Feltételes valószínűség: feltéve, hogy B bekövetkezik, mi a valószínűsége, hogy A is bekövetkezik P(A B) P(A B) = P(B) Bayes formula: P(B A) P(A) P(A B) = P(B) MA lev - 1. óra A statisztika alapjai Valószínűség 50/68

51 Valószínűségi változó Valószínűségi változó: olyan mennyiség, amelynek számértéke valamilyen véletlen esemény kimenetelétől függ. Pl. Kockadobás: 5 5 P(x = 5) = 1/6 Pénzfeldobás: fej 0, írás 1 Ember magasság Diszkrét valószínűségi változó: Megszámlálhatóan sok lehetséges érték, minden egyes értékhez egy valószínűséget lehet hozzárendelni. Folytonos valószínűségi változó: Értékei folytonosan kitöltenek egy intervallumot. MA lev - 1. óra A statisztika alapjai Valószínűségi változók 51/68

52 Relatív gyakoriság Diszkrét valószínűségi változó jellemzése: az egyes értékekhez rendelt valószínűség Ábrázolás: hisztogram Pl. kockadobás p 1/ MA lev - 1. óra A statisztika alapjai Valószínűségi változók 52/68 x

53 Folytonos valószínűségi változók Folytonos valószínűségi változó jellemzése: sűrűségfüggvény b P(a < x < b) = f (x)dx a f(x) x MA lev - 1. óra A statisztika alapjai Valószínűségi változók 53/68

54 Valószínűségi változók jellemzői Várható érték (A valódi értékkel azonosítjuk.) x = E(x) = lim N N i=1 x i N k E(x) = x i p i ; E(x) = i=1 x f (x)dx Tulajdonságok: E(a x) = a E(x) E(x 1 + x 2 + ) = E(x 1 ) + E(x 2 ) + Példa: dobókocka x = 1 1/ / / / / /6 = 3,5 MA lev - 1. óra A statisztika alapjai Valószínűségi változók 54/68

55 Valószínűségi változók jellemzői Szórás (Mennyire térnek el az egyes eredmények az átlagtól) D 2 (x) = E ( (x E(x)) 2) k D 2 (x) = (x E(x)) 2 p i ; D 2 (x) = i=1 (x E(x)) 2 f (x)dx Ha az egyes értékek függetlenek egymástól: D 2 (x 1 + x 2 + ) = D 2 (x 1 ) + D 2 (x 2 ) + Példa: dobókocka D(x) 2 = ( (1 3,5) 2 + (2 3,5) 2 + (3 3,5) 2 + (4 3,5) 2 + +(5 3,5) 2 + (6 3,5) 2) /6 = 2,92 MA lev - 1. óra A statisztika alapjai Valószínűségi változók 55/68

56 Sokaság, minta és becslés Statisztikai sokaság: objektumok összessége, mindegyik objektumhoz tartozik egy numerikus jellemző (valószínűségi változó) Pl.: emberek magassága Megfigyelés (mérés): a sokaságból kiválasztunk egy halmazt mintavételezés minta Becslés: a sokaság tulajdonságaira (paramétereire) következtetünk a minta adatai (jellemzői) alapján Becslés: x N Torzítatlan becslés: E ( x N ) = E(x) Konzisztens becslés: lim n P ( x N E(x) > ɛ ) = 0 Becslési módszerek: Legkisebb négyzetek módszere Maximum-likelihood- (legnagyobb valószínűség) módszer MA lev - 1. óra A statisztika alapjai Valószínűségi változók 56/68

57 A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a fizikai mennyiség valódi értékétől Determinisztikus hiba korrigálni kell, statisztikai módszerrel nem kezelhető Statisztikus hiba A mérési eredmény megadása: x = x ± x ( x = x ± xstat ± x det ) Valódi érték: x ( várható érték) Mért adat: x Hiba nagysága: x Konfidencia-intervallum: a valódi érték ezen intervallumon belül van valamekkora p valószínűséggel. Szignifikanciaszint: α = 1 p annak az esélye, hogy tévedtünk MA lev - 1. óra A mérési eredmény megadása 57/68

58 Mérési eredmény megadása, ha σ ismert Ha a szórás meg van adva: x = x ± λσ Általános esetben Csebisev-egyenlőtlenség λ P ( x x < λσ ) 1 1 λ 2 (Semmit sem tudunk a mérés hibájának eloszlásáról.) Példa: p = 0,95, α = 0,05 p = 1 1 λ 2 1 λ = 1 p = 20 4,47 MA lev - 1. óra A mérési eredmény megadása 1 mérés, σ ismert 58/68

59 Normális eloszlás (Gauss-eloszlás) A mérési hiba a legtöbb esetben normális eloszlású f (x) = 1 (x µ)2 e 2σ 2 2πσ 2 Ok: centrális határeloszlás tétel: sok, független valószínűségi változó összegének eloszlása közelít a Gauss-eloszláshoz % 2.1% 3σ 34.1% 34.1% 13.6% 13.6% 2.1% 0.1% 2σ 1σ µ 1σ 2σ 3σ MA lev - 1. óra A mérési eredmény megadása 1 mérés, σ ismert 59/68

60 Normalizált Gauss-eloszlás u = x x σ f (u) = 1 (u)2 e 2 2πσ % 2.1% 34.1% 34.1% 13.6% 13.6% 2.1% 0.1% MA lev - 1. óra A mérési eredmény megadása 1 mérés, σ ismert 60/68

61 Normális eloszlású hiba Normális eloszlás esetén p = P ( x x < λσ ) = P ( x x = +λ λ 1 2π e x2 2 dx = 2F(λ) 1 σ ) < λ = ahol F a normális eloszlás eloszlásfüggvénye: F(λ) = λ értéke: λ = F 1 ( p Pl. p = 0,95 λ 1,96 ) λ f (u)du MA lev - 1. óra A mérési eredmény megadása 1 mérés, σ ismert 61/68

62 σ ismert, N mérési adat Ha több mérési adatunk van, az átlag (középérték) jobb becslése a valódi értéknek, mint ha egy adatot kiválasztanánk x N = 1 N N x i i=1 A mérési adatok alapján számolt középérték is ingadozik D 2 ( ( ) ) x N = D 2 1 N x i = 1 N N N 2 D 2 (x i ) = 1 N N 2 D 2 (x) = 1 N D2 (x) i=1 D ( x N ) = 1 N D(x) A mérési eredmény megadása: x = x N ± λσ N i=1 i=1 MA lev - 1. óra A mérési eredmény megadása N mérés, σ ismert 62/68

63 σ ismeretlen, N mérési adat Szükségünk van a szórás becslésére a mérési adatok alapján Korrigált empirikus szórás σ N 1 = 1 N ( ) 2 xi x N N 1 i=1 ( ) σ N 1 = 1 N x i 1 2 N x j N 1 N i=1 Ha x normális eloszlású, akkor az x x N σ N 1 j=1 mennyiség t-eloszlású ν = N 1 szabadsági fokkal MA lev - 1. óra A mérési eredmény megadása N mérés, σ ismeretlen 63/68

64 σ ismeretlen, N mérési adat λ helyett t N 1 -et használva: p = P ( ( x xn < tn 1 σ ) x xn ) N 1 = P σ < t N 1 = N 1 = +t N 1 t N 1 p t,n 1(x) dx = 2F t,n 1 (t N 1 ) 1 ahol F t,n 1 az N 1 szabadsági fokú t-eloszlás eloszlásfüggvénye ( ) p + 1 t N 1 = Ft,N A mérési eredmény megadása: x = x N ± t N 1σ N 1 N MA lev - 1. óra A mérési eredmény megadása N mérés, σ ismeretlen 64/68

65 λ, t N 1 meghatározása Statisztikai programcsomag megfelelő függvényével Táblázat λ p 0,9 0,95 0,99 0,995 0,999 α 0,1 0,05 0,01 0,005 0,001 λ 1, , , , ,29076 N 1 p 0,9 0,95 0,99 0,995 0,999 N α 0,1 0,05 0,01 0,005 0,001 2 t N 1 6, , , , , t N t N t N t N MA lev - 1. óra A mérési eredmény megadása N mérés, σ ismeretlen 65/68

66 1. példa Tömegmérés mérési adata: m = 1,21kg A szórás ismert, értéke: σ = 0,017kg Adjuk meg az α = 0,01 szignifikanciaszinthez tartozó eredményt! α = 0,01 λ = 2,57624 m = λ σ = 2, ,017kg = 0,043796kg 0,044kg A mérés eredménye: m = 1,210kg ± 0,044kg MA lev - 1. óra A mérési eredmény megadása Feladatok 66/68

67 2. példa Az előző feladatban megadott feltételek mellett hány mérési adatot kell gyűjtenünk ahhoz, hogy a mérés hibája 0,01 kg alá csökkenjen? m < 0,01kg λσ N < 0,01kg ( ) 0, N > 19,18 0,01 N 20 MA lev - 1. óra A mérési eredmény megadása Feladatok 67/68

68 3. példa Egy mérést többször elvégezve, egy ellenállás értékére a következőket kapjuk: 7,20 Ω; 7,190 Ω; 7,19 Ω; 7,22 Ω; 7,23 Ω. Adjuk meg az α = 0,05 szignifikanciaszinthez tartozó eredményt! R N = 7,206Ω σ N 1 = 0,018166Ω α = 0,05, N = 5 t N 1 = 2,77638 x = t N 1σ N 1 N 0, R = 7,206Ω ± 0,023Ω MA lev - 1. óra A mérési eredmény megadása Feladatok 68/68