Rőmer Mária: Digitális technika példatár, KKMF 1105, Budapest Az előadások ezen könyvek megfelelő fejezetein alapulnak.

Átírás

1 DIGITÁLIS TECHNIKA Dr. Lvassy Rita Dr. Pődör Bálint Óbudai Egyetem KVK Mikrelektrnikai és Technlógia Intézet. ELŐADÁS: LOGIKAI (BOOLE) FÜGGVÉNYEK ÉS ALKALMAZÁSAIK IRODALOM Arató Péter: Lgikai rendszerek tervezése, Tankönyvkiadó, Budapest, 990, Műegyetemi Kiadó 004, 550 műegyetemi jegyzet Zsm Gyula: Digitális technika I és II, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 000, (KVK 49-7/I és II) Rőmer Mária: Digitális rendszerek áramkörei, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 989, (KVK 49-) Rőmer Mária: Digitális technika példatár, KKMF 05, Budapest 999 Az előadásk ezen könyvek megfelelő fejezetein alapulnak. LOGIKAI MŰVELETEK ÉS DUALITÁS Röviden áttekintjük a lgikai alapműveletek közötti kapcslatt melyet a dualitás fejez ki és lényegében a De Mrgan tételeken alapul. A kétargumentums műveletek közül kettőt-kettőt alapművelet-párkként választhatunk. (Egyiket vagy a másikat, de nem mindkettőt.) Ezek a művelet-párk a következők: ÉS ( szrzás) VAGY (összeadás: +) NEM-ÉS (NAND) NEM-VAGY (NOR) A műveletpárk egyik tagja a másik un. duális párja. A duális műveletpárkat De Mrgan tételek kapcslják össze. A duális művelet-párkkal (és a negációval) kifejezhetjük bármelyik másik műveletet. LOGIKAI ÁRAMKÖRÖK KIALAKÍTÁSA Tetszőleges lgikai összefüggés, vagy lgikai függvény is előállítható a NEM-ÉS vagy NEM-VAGY alapművelet párkkal. Vagyis tetszőleges lgikai áramkör kialakítható csupán NEM-ÉS, vagy csupán NEM-VAGY kapuk alkalmazásával. A NAND és az NOR univerzális műveletek. Elvileg elég csak NAND vagy csak NOR kapukat tartatni, azkból bármilyen lgikai áramkör felépíthető. Gyakrlati jelentőség: az elektrnikus erősítők általában invertáló jellegűek (80 fks fázistlás). Ezért a gyakrlatban a NEM-ÉS (NAND) és a NEM-VAGY (NOR) a szkáss alapelem. Végső srn mindez a De Mrgan tételeken alapul! KOMBINCIÓS HÁLÓZATOK A GYAKORLATBAN CSAK NAND ILLETVE NOR KAPUS MEGVALÓSÍTÁSOK Egy kétszintű ÉS-VAGY hálózat (szrzatk összege, sum-fprducts) megvalósítható kétszintű NEM-ÉS/NEM-ÉS (NAND-NAND) hálózattal. Egy kétszintű VAGY-ÉS hálózat (összegek szrzata, prductf-sums) megvalósítható kétszintű NEM-VAGY/NEM-VAGY (NOR-NOR) hálózattal. Mindez a De Mrgan tételeken alapul. 5 6

2 LOGIKAI KIFEJEZÉSEK ALGEBRAI ÁTALAKÍTÁSA A következőkben néhány példával illusztráljuk a lgikai függvények algebrai átalakítását. Hangsúlyzni kell, hgy a lgikai algebra műveleti szabályai eltérnek a szkáss algebra szabályaitól! LOGIKAI ALGEBRAI ÁTALAKÍTÁS () Hzzuk egyszerűbb alakra az alábbi kifejezést Y = AB + AB + ABCD Az A váltzó kiemelhető, utána a zárójelben lévő kifejezés fkzatsan egyszerűsíthető _ Y = A(B + B + BCD) = A( + BCD) = A Válasz: Y = A LOGIKAI ALGEBRAI ÁTALAKÍTÁS () Hzzuk egyszerűbb alakra az alábbi kifejezést Y = ABC + A + B + C Alkalmazzuk a De Mrgan aznsságkat! _ Y = A + B + C + A B C = A( + B C) + B + C = _ = A + B + C NAND KAPUS REALIZÁLÁS A kétszintű NAND kapus realizálás az alábbi átalakításn alapul (De Mrgan szabályk!) _ Y(A,B,C) = AC + BC = (AC) (BC) A _ C B _ C X Y X Y Z Z X Y Z Y KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK: ANTIVALENCIA, EKVIVALENCIA Függvény neve f(a,b) Lgikai knstansk 0, Egyváltzós függvények AND, OR, NAND, NOR XOR (A B ), XNOR (AB) A, A, B, B A B, A+B, A B, A+B A B+A B, A B+A B INHIBÍCIÓ (TILTÁS) A B, B A IMPLIKÁCIÓ (KÖVETKEZTETÉS) A B, B A ANTIVALENCIA ÉS EKVIVALENCIA Antivalencia (más neve kizáró vagy) Ekvivalencia Anglul: XOR (A B ), XNOR (A B) antivalency (exclusive-r) equivalency vagy cincidence

3 ANTIVALENCIA (XOR) XNOR EKVIVALENCIA (XNOR) ANTIVALENCIA, EXCLUSIVE-OR A B f 6 f A két függvény egymás ellentettje 0 0 (negáltja) A B = AB A B f f 6 = A B + A B 0 0 szkáss jelölése: 0 f 6 = A B XOR f 6 = A B = A B+A B, XNOR f 9 = AB = A B+A B ANTIVALENCIA más néven KIZÁRÓ-VAGY (EXCLUSIVE- OR), a függvény akkr, ha vagy az egyik, vagy a másik váltzó, és 0, ha mindkét váltzó egyszerre 0 vagy. 4 EKVIVALENCIA, EXCLUSIVE-NOR ANTIVALENCIA A B f f 9 = AB + AB szkáss jelölése: f 9 = A B A B f 6 Az igazságtáblázat szerint a f 6 = A B művelet egy ben megvalósítja a két bites 0 maradéknélküli bináris össze- 0 adás aritmetikai műveletét 0 ( fél összeadó ). EKVIVALENCIA (EXCLUSIVE-NOR), a függvény akkr, ha mindkét váltzó egyszerre 0 vagy, és akkr 0 ha az egyik, vagy a másik váltzó. 5 Az antivalencia kapu felfgható egy-bites digitális kmparátr -nak is, ha a bemenetére érkező két bit azns értékű, a kimeneten 0 jelet ad, ha eltérő, akkr -et. 6 EXCLUSIVE-OR, ANTIVALENCIA A B = A B+A B, Az XOR megvalósítja két bit átvitel nélküli összeadását (fél-összeadó). Funkcinál mint vezérelt inverter (vezérlőjel: A, feldlgzandó jel: B). Funkcinál mint páratlanság-vizsgáló : ha páratlan számú bemeneten van, akkr a kimenet, ellenkező esetben 0. Itt már implikáltuk az XOR kiterjesztését több bementre (értelmezés az MSz szerint, részletes magyarázat Zsm I, ld.!) KIZÁRÓ-VAGY Az EXCLUSIVE-OR megvalósítása történhet a definiáló Ble algebrai egyenlet alapján NEM, ÉS és VAGY kapukkal, vagy megfelelő átalakítás után NAND kapukkal mint univerzális elemmel. Az TTL és CMOS áramköri családkban van külön kész EXCLUSIVE-OR kapu is. 7 8

4 EXCLUSIVE-OR NEM, ÉS, VAGY KAPUS MEGVALÓSÍTÁSA EXCLUSIVE-OR (ANTIVALENCIA) NAND KAPUS MEGVALÓSÍTÁSA. Az XOR a Ble-egyenlet szerint megvalósítása.. Az XOR szabványs rajzjele.. Az XOR régebbi rajzjele. 9 A B = A B+A B = (A B) (A B) Itt feltételezzük, hgy a negált váltzók rendelkezésre állnak. 0 EXCLUSIVE-NOR: EKVIVALENCIA AB = A B+A B EKVIVALENCIA (XNOR) NEM, ÉS, VAGY KAPUS MEGVALÓSÍTÁSA Az igazságtáblázat szerint az XNOR az XOR negáltja. Több váltzóra való kiterjesztéskr az XNOR függvénynek többféle értelmezése is előfrdul! Pl. az MSZ szerint hárm váltzó esetén a függvény értéke csak a és az bemeneti kmbinációkra, az összes többire 0. A másik szkáss értelmezés esetén a függvény értéke akkr, ha a váltzók között párs számú van.. Az XNOR a Ble-egyenlet szerinti megvalósítása.. Az XNOR (EKVIVALENCIA) szabványs rajzjele.. Az XNOR régebbi rajzjele. EXCLUSIVE-NOR (EKVIVALENCIA) NAND KAPUS MEGVALÓSÍTÁSA NOR KAPUS REALIZÁLÁSOK Természetesen mind az ANTIVALENCIA (XOR) mind az EKVIVALENCIA (XNOR) megvalósítható kizárólag NOR kapuk felhasználásával. A NAND kapus realizálás a De Mrgan aznsságk felhasználásával végzett átalakításk eredménye. 4 4

5 LOGIKAI FÜGGVÉNYEK MEGADÁSI MÓDJAI LOGIKAI FÜGGVÉNY MEGADÁSA IGAZSÁGTÁBLÁZATTAL ILLETVE ALGEBRAI ALAKBAN A lgikai függvény többféle módn megadható, illetve ábrázlható. Az alábbi módkat fgjuk alkalmazni.. Igazságtáblázat. Algebrai alak. Grafikus ábrázlás 4. Szimblikus jelölés i A B C Y Y(A,B,C) = ABC + ABC + ABC Egy lgikai függvény egyértelmű megadása: a független váltzók összes lehetséges kmbinációjáhz megadjuk a függvénykapcslat által előírt függvényértéket. Ez az ún. igazságtáblázat. Az ilyen függvénydefiníció egyértelmű. 5 6 FÜGGVÉNY MEGADÁSA ALGEBRAI ALAKBAN: KANONIKUS ALAK A lgikai függvény megadható ly módn, hgy a lgikai műveletek szimbólumaival (ÉS, VAGY és NEM) definiáljuk a lgikai függvényt. A kmbinációs hálózatk tervezésének kiindulási lépése a lgikai függvény felírása a megldandó feladat alapján. Általában az algebrai alak használats. GRAFIKUS ÁBRÁZOLÁS A lgikai függvény értékei pl. az igazságtáblázat segítségével grafikusan is szemléltethetők ún. függvénytáblázatkn (Karnaugh-táblázatk, ill. Veitch-diagramk). Ez az ábrázlási mód krlátztt független váltzó szám esetén igen szemléletes, és az ún. függvény-minimalizáláskr jól felhasználható. Egyazn függvény többféle algebrai alakban is megadható. Közöttük kitüntetett szerepük van az ún. nrmalizált vagy kannikus alakknak. 7 8 KOMBINÁCIÓS HÁLÓZAT ÉS LOGIKAI FÜGGVÉNY Egy kmbinációs hálózatban egyetlen kimeneti pnt esetén minden lgikai feladat megadható egyetlen lgikai függvénnyel. Az egyes bemeneti-váltzó kmbinációkhz tartzó függvényérték a hálózat kimeneti váltzójának lgikai értékével azns. LOGIKAI FÜGGVÉNYEK KANONIKUS ALAKJAI A mst következő anyagt egy hármváltzós, teljesen határztt lgikai függvény igazságtáblázata fgja illusztrálni, az új fgalmakat ennek alapján vezetjük be, és az elméletet is ez alapján építjük fel. A tárgyalásmód Arató Péter (ajánltt) könyvét (Lgikai rendszerek tervezése) követi

6 A B C F TELJESEN HATÁROZOTT LOGIKAI FÜGGVÉNY (LOGIKAI FELADAT) Teljesen határztt lgikai függvény megadható azn váltzókmbinációk felsrlásával,amelyekhez F =, vagy azkéval amihez F = 0 tartzik. vagy F(ABC) = A B C + A BC + ABC + ABC F és F egyaránt lgikai szrzatk VAGY kapcslataként adható meg. LOGIKAI FÜGGVÉNYEK KANONIKUS ALAKJAI A kmbinációs hálózatk tervezésénél célszerű az algebrai alakból kiindulni. Mivel egy lgikai függvénynek több algebrai alakja is van, lyan speciális tulajdnságú alakt kell keresni, mely lyan, hgy a lgikai függvényhez más, ilyen tulajdnságú algebrai alak nem rendelhető. Az ilyen alak a lgikai függvény nrmál vagy kannikus alakja. DISZJUNKTÍV KANONIKUS ALAK (EXTENDED SUM-OF-PRODUCTS) A lgikai szrzatk lgikai összegeként (ÉS-VAGY) képzett algebrai alak kannikus vagy nrmál alak. A példa szerinti függvényalak tulajdnságai: - mindegyik szrzat egy lyan független-váltzó kmbináció, melyhez F = tartzik; - mindegyik szrzatban az összes független váltzó szerepel pnált vagy negált alakban. A teljesen határztt függvénynek csak egy ilyen algebrai alakja van a diszjunktív kannikus alak. MINTERM (DEFINICIÓ) A diszjunktív kannikus alak tagjai neve minterm m i n itt n a független váltzók száma, i a független váltzók adtt kmbinációjának megfelelő bináris szám decimális értéke. A B C (emlékeztető: () () (4) (6) ) F(ABC) = m + m + m 4 + m 6 más jelölés: F = Σ (,,4,6) F KONJUNKTÍV KANONIKUS ALAK A negált függvény F(ABC)= A B C + A B C + A B C + A B C F(ABC) = m 0 + m + m 5 + m 7 A függvény negáltja azkat a mintermeket tartalmazza, melyeket a függvény nem tartalmaz (ez csak a teljesen határztt lgikai függvényekre igaz!) A B C F KONJUNKTÍV KANONIKUS ALAK () A De Mrgan képletek felhasználásával elvégzett átalakításkkal előállítható az F függvény knjunktív kannikus alakja, mely az un. maxterm-ek szrzataként adható meg A B C F F(ABC) = F(ABC) = A B C + A B C + A B C + A B C = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) F(ABC) = M 7 M 6 M M

7 MINTERMEK ÉS MAXTERMEK KAPCSOLATA Eredeti függvény, diszjunktív nrmálalak F(ABC) = m + m + m 4 + m 6 Negált függvény, diszjunktív nrmálalak (index i) F(ABC) = m 0 + m + m 5 + m 7 Eredeti függvény, knjunktív nrmálalak (index I) F(ABC) = M 7 M 6 M M 0 ELVI LOGIKAI RAJZ Minden lgikai függvény megadható ÉS, VAGY, NEM műveletekkel. Eltekintve a bemeneti váltzók negáltját adó NEM kapuktól (INVERTER), a két kannikus alak kétszintű ÉS-VAGY illetve VAGY-ÉS kapuhálózattal realizálható. Mivel az ÉS, VAGY és NEM műveletek akár kizárólag NAND akár kizárólag NOR kapukkal megvalósíthatók, ezért a diszjunktív nrmálalakból kiindulva bármely lgikai függvény realizálható kétszintű NAND kapus vagy NOR kapus hálózattal. 7 8 AZ F(A,B,C) KÉTSZINTŰ ÉS-VAGY KAPUS REALIZÁLÁSA AZ F(A,B,C) KÉTSZINTŰ NAND KAPUS REALIZÁLÁSA F(ABC) = ABC + ABC + ABC + ABC F(ABC) = ABC + ABC + ABC + ABC Az ÉS kapuk bementeire értelemszerűen az egyes pnált vagy negált váltzók kerülnek. 9 A NAND kapuk bemene-teire értelemszerűen az egyes pnált vagy negált váltzók kerülnek. 40 AZ F(A,B,C) KÉTSZINTŰ VAGY-ÉS KAPUS REALIZÁLÁSA AZ F(A,B,C) KÉTSZINTŰ NOR KAPUS REALIZÁLÁSA F(ABC) = (A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) F(ABC) = (A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) Az ÉS kapuk bementeire értelemszerűen az egyes pnált vagy negált váltzók kerülnek. 4 A NAND kapuk bemene-teire értelemszerűen az egyes pnált vagy negált váltzók kerülnek. 4 7

8 LOGIKAI FÜGGVÉNY EGYSZERŰSÍTÉSE: MINIMALIZÁLÁS Lgikai hálózat tervének gazdaságssága:. Felhasznált kapuk számának csökkentése;. Összekötetések számának csökkentése;. Kapukat megvalósító építőelem-fajták ptimális kiválasztása. A. pntbeli feladat megldására nincs általáns módszer, az. és. pntbeli feladatkra adhatók használható eljárásk. Az ptimalizálás (minimalizálás) biznys krlátkkal, mint a kapubementek számának csökkentése (minimalizálása) is megfgalmazható. 4 LOGIKAI FÜGGVÉNY EGYSZERŰSÍTÉSE: ILLUSZTRÁCIÓ kiemelések alkalmazásával = AB(C + C) + AC(B + B) = AB + AC Az eredmény egy jóval egyszerűbb algebrai alak melyet realizálva mind a kapuk, mind az összekötetések száma jelentősen csökken. 44 EGYSZERŰSÍTETT FÜGGVÉNY ÉS-VAGY KAPUS REALIZÁLÁSA LOGIKAI FÜGGVÉNYEK MINIMALIZÁLÁSA A B C F(A,B,C) = AB + AC mintermek m + m + m 4 + m 6 = AB(C + C) + AC(B + B) = AB + AC Az összevnható mintermek egy helyértékben és csakis egyben térnek el egymástól: (00) és (0), illetve (00) és (0) 45 Ez az összevnásk és a minimalizálás kulcsa! 46 SZOMSZÉDOS MINTERMEK, MINIMALIZÁLÁS Szmszéds mintermek: egy lgikai váltzó pnált illetve negált, a többi azns. A minimalizálás menete:. A szmszéds mintermeket összevnják, a megfelelő váltzó kiesik.. Az új alakban az esetleges szmszéds termeket megint összevnják.. Az eljárást addig flytatják míg lyan szrzatk összegét kapjuk, melyekből már egy váltzó sem hagyható el. Az így kaptt szrzatk, termek a prímimplikáns-k. 47 MINIMALIZÁLÁS, PRÍMIMPLIKÁNSOK A lgikai függvény minimalizált (diszjunktív) alakja tehát prímimplikáns-k összege. F(ABC) = AB + AC itt a prímimplikánsk AB és AC A lgikai függvényt egyszerűsítő eljárásk célja a prímimplikánsk megkeresése. Egy függvénynek több ekvivalens legegyszerűbb alakja is lehet! 48 8