Digitális Technika 2. Logikai Kapuk és Boolean Algebra

Átírás

1 Digitális Technika 2. Logikai Kapuk és oolean lgebra Sütő József Egyetemi Tanársegéd Referenciák: [1] D.M. Harris, S.L. Harris, Digital Design and Computer rchitecture, 2nd ed., Elsevier, 213. [2] T.L. Floyd, Digital Fundamentals, 11th ed., Global Edition, Pearson, 215.

2 Logikai Kapuk Logikai függvények végrehajtása: inverzió (NOT), ND, OR, NND, NOR, stb. Egy bemenetű: NOT kapu, buffer Két bemenetű ND, OR, XOR, NND, NOR, XNOR Több bemenetű

3 Egy emenetű Logikai Kapuk NOT UF = 1 1 = 1 1

4 Két emenetű Logikai Kapuk ND OR = =

5 Két emenetű Logikai Kapuk XOR NND NOR XNOR = + = = + =

6 Több emenetű Logikai Kapuk C NOR3 C ND3 = ++C = C C C

7 Logikai Kapuk 1. Példa: Ha értéked adunk az bemenetre, mi lesz az E és F kimenetek értékei? 2. Példa: Határozzuk meg az alsó ábrán látható áramkör igazságtábláját 1

8 Logikai Kapuk 1. Feladat: Egy tartályban lévő kémiai folyadék nyomásának és hőmérsékletének mérésére szenzorokat használunk. Mindkét szenzor egy magas feszültségszintet ad, ha a mért értékük elért egy beállított szintet. mennyiben valamelyik szenzor értéke elérte a beállított küszöbszintet, akkor riasztást kell generálni, amihez alacsony feszültségszintre van szükség. Milyen áramkört készítenénk erre a feladatra? - NOR 2. Feladat: Egy gyártási folyamat során a nyomtatott áramkör (PC) alkatrészei automatikusan kerülnek behelyezésre. Mielőtt egy áramköri alkatrész behelyezése megtörténne, a PC-nek megfelelő pozícióban kell lennie, valamint az alkatrésznek is beillesztésre készen kell állnia. Mindkét feltétel teljesülése egy magas állapottal reprezentálható. z illesztést végző mechanika egy alacsony szint esetén aktiválódik. Milyen áramkört készítenénk erre a feladatra? - NND

9 Logikai Szintek Zaj (Noise) bármi, ami torzítja a jelet Például: ellenállás, tápfeszültség zavar, coupling to neighboring wires, etc. Példa: egy kapu (driver) kimenete 5 V, de a hosszú kábel ellenállása miatt, a fogadó csak 4.5 V kap Driver Noise Receiver 5 V 4.5 V

10 Zaj küszöbszint Driver Receiver Logic High Output Range V O H Output Characteristics V DD NM H Input Characteristics Logic High Input Range Forbidden Zone V IH V IL Logic Low Output Range V O L NM L GND NM H = V OH V IH NM L = V IL V OL Logic Low Input Range

11 Zaj küszöbszint Feladat: z alsó ábra alapján VO1 az I1 inverter kimenete és VI2 az I2 inverter bemenete. két inverter a következő karakterisztikával rendelkezik: VDD =5 V VIL = 1.35 V VIH = 3.15 V VOL =.33 V VOH = 3.84 V Mennyi az inverterek közötti alacsony és magas zaj küszöb? 1.2V és.69v z áramkör képes az 1 V-os zaj tolerálására VO1 és VI2 között? alacsony bemenet esetén

12 Logikai Áramkörök Típusai Kombinációs Logika Memória nélküli kimenet csak az aktuális bemenetektől függ kombinációs logikai áramkörök funkcionalitása leírható igazság táblával vagy oolean egyenlettel! Szekvenciális Logika Memóriával rendelkezik kimenet az aktuális és a korábbi bemenetek függvénye inputs functional spec timing spec outputs

13 oolean Egyenletek z áramkör funkciójának leírása a bemenetei függvényében Példa: S = F 1 (,, C in ) C out = F 2 (,, C in ) S C L C C out in S = C in C out = + C in + C in

14 Fogalmak Komplemens: változó felülvonással a tetején,, C Literál: változó vagy komplemense,,,, C, C Minterm: a bemenetek literáljának szorzata C, C, C Maxterm: a bemenetek literáljának összege (++C), (++C), (++C)

15 Szorzatok összege (SOP) formátum Minden oolean egyenlet leírható SOP formában z igazságtábla minden sorának van egy minterm-je minterm literálok szorzata (ND) Minden minterm IGZ az adott sorra (és csak arra) z egyenletben azokat a minterm-eket összegezzük, ahol a kimenet IGZ Így kapjuk a szorzatok (ND tagok) összegét (OR) minterm minterm name m m 1 m 2 m 3 = F(, ) = + = Σ(1, 3)

16 Összegek szorzata (POS) formátum Minden oolean egyenlet felírható POS formában Minden sor tartalmaz egy maxterm-et maxterm a literálok összege (OR) Minden maxterm HMIS az adott sorban (és csak abban) z egyenletben azoknak a maxterm-eknek a szorzatát vesszük, ahol a kimenet HMIS Így kapjuk az összegek (OR tagok) szorzatát (ND) maxterm maxterm name M M 1 M 2 M 3 = F(, ) = ( + )( + ) = Π(, 2)

17 SOP és POS Példa Lemész a menzára ebédelni Nem ebédelsz (E) ha, Nincs nyitva (O) vagy Csak cukkini krémlevest szolgálnak fel (C) Készítsük igazságtáblát, amely leírja, hogy ebédelsz vagy nem (E). O C E

18 SOP és POS Példa SOP szorzatok összege O C E minterm O C O C O C O C E = OC = Σ(2) POS összegek szorzata O C E maxterm O + C O + C O + C O + C E = (O + C)(O + C)(O + C) = Π(, 1, 3)

19 SOP és POS Példa Feladat: Határozd meg az SOP és POS formátumú kifejezéseket a következő igazságtáblázathoz. SOP X = C + C + C + C POS X = (++C)(++C)(++C)(++C)

20 Standard SOP Kifejezés Egy általános oolean kifejezés domain, a kifejezésben szereplő változók halmaza, eredeti vagy komplemens formában. Példa: + C,, C standard SOP kifejezésben a domain minden változója megjelenik, a kifejezés minden tagjában. standard SOP kifejezésnek az igazságtábla megszerkesztésekor és a Karnaugh táblás egyszerűsítéskor vehetjük hasznát

21 Nem Standard SOP Konvertálása Standardra Lépések: 1. Szorozzunk be minden nem standard szorzat tagot egy másik taggal, ami a hiányzó változó és komplemensének összegéből áll ( + = 1). Ezáltal két új szorzat keletkezik. Ne feledjük, hogy ha valamit 1-el szorzunk az nem befolyásolja az eredeti értéket. 2. Folytassuk az 1. lépést mindaddig, amíg az összes tag tartalmazni fogja a domain változójait az eredeti vagy annak komplemens formájában. Minden egyes hiányzó változó esetén az eredeti szorzat tagból két új tag fog generálódni! Example: SOP: C + + CD Std. SOP: CD + CD + CD + CD + CD + CD + CD

22 Standard SOP Kifejezés Feladat: Készíts igazságtáblázatot a következő standard SOP kifejezéshez: X = C + C + C

23 oolean lgebra oolean egyenletek egyszerűsítése axiómák és tételek segítségével hagyományos algebrához hasonló, de egyszerűbb: a változók értéke 1 vagy Dualitás az axiómákban és tételekben: ND-ek és OR-ok, valamint -k és 1-ek felcserélésével

24 Egyváltozós Tételek 1 = Vezeték = = = 1 = 1 = 1 = + = = + 1 = 1 = + = = = 1 = = = + = 1

25 Többváltozós Tételek Megjegyzés: T8 a hagyományos algebrától eltér

26 Kettes komplemens összeadás 1. Példa 2. Példa = + = ( + ) T8 = (1) T5 = T1 = ( + C) = ((1 + C)) T8 = ((1)) T2 = () T1 = () T7 = T3

27 DeMorgan Tételek = = + uborék eltolás! = + =

28 DeMorgan Tételek Feladat: lkalmazzuk a DeMorgan tételeket a következő kifejezésekre, amíg lehetséges: ( + + C)D C + D C + DEF ( + + C )(D + E + F) + CD + EF ( + )(C + D)(E + F)

29 Logikai Kapuk oolean Kifejezései Milyen oolean kifejezéssel írhatók le a következő áramkörök? C D C D ()(CD) (( + )C)D

30 Logikai Egyszerűsítés oolean lgebrával Egyszerűsítsük a következő kifejezést oolean algebra segítségével: + ( + C) + ( + C) C + + C C + + C 3. + C + + C 4. + C C

31 Logikai Egyszerűsítés oolean lgebrával Egyszerűsítsük a következő kifejezést oolean algebra segítségével: ( (C + D) + )C 1. (C + D + )C 2. (C + D + )C 3. (C + )C 4. CC + C 5. C + C 6. C( + ) 7. C1 8. C

32 Logikai Egyszerűsítés oolean lgebrával Egyszerűsítsük a következő kifejezést oolean algebra segítségével: + C + C 1. () (C) + C 2. ( + )( + C) + C 3. + C + + C + C 4. + C + + C C 6. + C

33 Vége!