Az átlag és a szórás. 4. fejezet 1. BEVEZETÉS

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Az átlag és a szórás. 4. fejezet 1. BEVEZETÉS"

Átírás

1 4. fejezet Az átlag és a szórás Nehéz megérteni, hogy a statisztikusok miért korlátozzák vizsgálódásaikat rendszerint az átlagokra, és nem lelik örömüket egy átfogóbb szemléletben. Szellemük oly tompának tűnik a változatosság varázsával szemben, mint Angliánk egyik sík vidékének azon szülöttéé, aki Svájcra visszatekintve úgy nyilatkozott, hogy ha a hegyeket be lehetne lökni a tavakba, egy csapásra két kellemetlenség is megszűnne. SIR FRANCIS GALTON (ANGLIA, ) 1 1. BEVEZETÉS Hisztogram segítségével terjedelmes mennyiségű adatot összesíthetünk. Sokszor ennél drasztikusabb összefoglalást is alkalmazhatunk: csak a hisztogram középpontját, valamint a centrum körüli szóródást adjuk meg. (A középpont és a szóródás itt köznapi szavak, pontos matematikai jelentés nélkül.) Az 1. ábrán két hisztogram vázlata látható; bejelöltük a középpontot és a szóródást is. A középpont mindkettőnél ugyanaz, de a második szórtabb nagyobb terület esik a középponttól messzebbre. A statisztikusi munkához pontos definíciókat kell megadnunk, aminek többféleképpen is nekiláthatunk. A középpont megragadására gyakran használjuk az átlagot, de a mediánt is sokszor használjuk.2 Az átlag körüli szóródást méri a szórás nevű mennyiség; a szóródás egy másik mérőszáma az interkvartilis terjedelem. Az 1. ábrán látható hisztogramokat összegezhetjük a középpont és a szóródás megadásával, a dolog azonban nem működik mindig ilyen jól. A 2. ábra például a földfelszín tengerszinthez viszonyított magasságának megoszlását mutatja. A tengerszinthez viszonyított magasság szerepel a vízszintes tengelyen, mérföldben mérve a tengerszint alatt (-), illetve felett (+). A hisztogram alatti terület két magasságérték között megadja, hogy a föld felszínének hány százaléka esik ezen két magasságérték közé. Egyértelmű csúcsok láthatók ezen a hisztogramon. A földfelszín túlnyomó részét vagy tenger borítja, mintegy 3 mérfölddel a tengerszint alatt; vagy pedig kontinentális síkság teszi ki, nagyjából a tengerszint körül. Ha erről a hisztogramról csak a középértéket és a szóródást adnánk meg, nem vennénk észre a két kicsúcsosodást.3

2 78 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA 1. ÁBRA. Középérték és szóródás. A két hisztogram középpontja azonos, de a jobb oldali jobban szóródik. 2. ÁBRA. A föld felszínének megoszlása a tengerszinthez viszonyított magasság szerint a tengerszint fölött (+), illetve alatt (-). 2. AZ ÁTLAG Témánk most az átlag (számtani középnek is nevezik) áttekintése; de beszélni fogunk a keresztmetszeti és a longitudinális kérdőíves felvételek közötti különbségről is. Egy között folytatott, az egészségi állapottal és a táplálkozással foglalkozó amerikai kutatás, a HANES* adatait fogjuk felhasználni. Ennek keretében az 1-74 éves amerikaiak fős reprezentatív mintáját vizsgálta a szövetségi Közegészségügyi Hivatal. A cél az volt, hogy alapvető adatokat szerezzenek demográfiai változókról, amilyen az életkor, az iskolázottság, a jövedelem; fiziológiai változókról, mint a testmagasság, a testsúly, a vérnyomás, a koleszterinszint; az étkezési szokásokról; a vérben kimutatható ólom és rovarirtószer szintjéről; különféle betegségek előfordulásáról. A begyűjtött adatok elemzése a változók közötti összefüggésekre összpontosított, és jelentősen befolyásolta az egészségpolitikát is. Például a kutatott időszak végére a HANES adatai szerint 37%-kal csökkent az emberek vér-ólomszintje. A Közegészségügyi Hivatal ennek okát az ólmozatlan üzemanyagok elterjedésében határozta meg. Az ólomadalékokat ezután betiltották.4 Nekünk most csak az a célunk, hogy rövid pillantást vessünk a mintára, miközben átismételjük az átlag fogalmát. * Health and Nutrition Examination Survey

3 4. fejezet: Az átlag és a szórás 79 Egy számsor átlaga: a számok összege elosztva azzal, ahány számunk van. A 9, 1, 2, 2, 0 számokból álló listában például 5 szám szerepel, az első közülük a 9es, az átlaguk pedig = 14 = 2, Vajon hogyan néztek ki a mintában szereplő (18-74 éves) nők és férfiak? A férfiak átlagos testmagassága 5 láb 9 hüvelyk (175,25 cm) volt, átlagos testsúlyuk 171 font (kb.77,5 kg). A nők átlagos testmagassága 5 láb 3,5 hüvelyk (kb. 161 cm), átlagos testsúlyuk 146 font (közelítőleg 66 kg). Kissé dundik voltak. Vajon hogyan függ össze a magasság és a testsúly az életkorral? A 3. ábrán láthatjuk a Közegészségügyi Hivatal által vizsgált különböző korcsoportok magasságés testsúlyátlagát külön a férfiakra és külön a nőkre; az ábrán az átlagokat egyenes vonalakkal kötöttük össze. Hasznos eszköz az átlag az adatok összegzésére ebbe a négy görbébe is sok-sok hisztogramot sűrítettünk bele. Ám ezt a sűrítést csak úgy érthettük el, hogy figyelmen kívül hagytuk az egyéni eltéréseket. A éves férfiak magasságátlaga például 5 láb 10 hüvelyk (178 cm), 10%-uk viszont 6 láb 1 hüvelyknél (185 cm-nél) magasabb; 10%-uk pedig 5 láb 6 hüvelyknél (168 cm-nél) alacsonyabb. Ezt a sokféleséget az átlag elrejti. 3. ÁBRA. Az életkor-specifikus testmagasság- és testsúlyátlagok a HANES mintájában szereplő éves férfiakra és nőkre. A bal oldali ábra a testmagasságokat, a jobb oldali a testsúlyokat ábrázolja. (Az eredetileg hüvelykben és fontban mért adatokat itt centiméterben és kilogrammban adjuk meg. A szerk.) FORRÁS: Az adatokat mágnesszalagon az Inter-University Consortium for Political and Social Research bocsátotta rendelkezésünkre.

4 80 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA Egy pillanatra most visszatérünk a kutatási elrendezés kérdéséhez (2. fejezet). A 3. ábra szerint a férfiak átlagos testmagassága a 20 éves életkor után csökken, 50 év elteltével körülbelül 5 centiméterrel (2 hüvelykkel). Hasonlót láthatunk a nők esetében is. Azt jelenti ez vajon, hogy az átlagember ilyen mértékben összemegy? Nem igazán. A HANES keresztmetszeti, nem pedig longitudinális vizsgálat. Egy keresztmetszeti vizsgálatban különböző alanyokat hasonlítunk össze egyazon időpillanatban. Longitudinális vizsgálatnál az alanyokat követjük az időben, és saját korábbi adataikkal hasonlítjuk össze őket a különböző időpontokban. A 3. ábrán szereplő évesek egészen mások, mint a évesek. Az első csoport 1955 körül született, a második 1905 táján. Minden jel arra utal, hogy az idők során az emberek egyre magasabbra nőnek. Akcelerációs tendenciának nevezzük ezt, melynek hatása a 3. ábrán egybemosódik az öregedés hatásával. Az öt centiméter magasságcsökkenés nagy része az akcelerációnak tulajdonítható: a éves emberek mintegy 50 évvel korábban születtek a éveseknél, és ez az oka, hogy néhány centivel alacsonyabbak náluk.5 Ha egy vizsgálatban az életkor hatásáról vonnak le következtetéseket, figyeljünk oda arra, hogy keresztmetszeti vagy longitudinális adatokkal dolgoztak-e. A feladatsor 1. (a) Az alábbi vízszintes tengelyen bejelöltük a 3-as és az 5-ös számot. Mennyi a két szám átlaga? Jelölje meg egy nyíllal! (b) Ismételje meg ugyanezt a 3, 5, 5 számokra! (c) Bejelöltünk két pontot az alábbi tengelyen. Rajzoljon a két szám átlagához mutató nyilat! szám szerepel egy listán. A számok értéke 1, 2 vagy 3 lehet. Hogyan néz ki a lista, ha a számok átlaga 1? És ha 3? Lehet-e 4 az átlag? 3. A következő számsorok közül melyiknek nagyobb az átlaga? Vagy ugyanaz? Próbáljon meg számolás nélkül válaszolni! (i) 10, 7, 8, 3, 5, 9 (ii) 10, 7, 8, 3, 5, 9, 11

5 4. fejezet: Az átlag és a szórás Egy szobában tíz ember tartózkodik, testmagasságuk átlaga 168 cm. Belép egy 195 cm magas férfi. Mennyi lesz most a 11ember magasságátlaga? 5. A teremben tartózkodó huszonegy ember átlagos magassága 168 cm. Belép egy 195 cm magas férfi. Mennyi lesz most a 22 ember magasságátlaga? Vesse össze a megoldást a 4. feladatéval! 6. A teremben tartózkodó huszonegy ember átlagos magassága 168 cm. Belép még valaki. Milyen magasnak kell lennie ahhoz, hogy a magasságátlag 2 centiméterrel megnőjön? 7. Hol található a Sziklás hegység a 2. ábrán: a vízszintes tengely bal széle körül, középen vagy a jobb szél tájékán? Hová esik Florida? És vajon az olyan mélytengeri árkok, mint például a Mariana-árok? 8. Szívproblémákkal kapcsolatban a szisztolés vérnyomásnál jobb indikátornak tekintik a diasztolés vérnyomást. Az alábbi ábrán a HANES felmérésében részt vett 1874 éves férfiak életkor-specifikus diasztolés vérnyomásátlaga látható. Igaz-e, hogy az adatok szerint a férfiak diasztolés vérnyomása nagyjából 55 éves korukig emelkedik, azután pedig csökken? Ha nem igaz: hogyan magyarázhatjuk a görbe menetét? (A vérnyomást higanymilliméterben mérjük.) 9. A munkaügyi statisztikával foglalkozó hivatal (a Bureau of Labor Statistics) havonta kiszámítja az átlagos órabéreket a gazdálkodó szervezetek által bejelentett adatok alapján. Kiszámolják az összes (alkalmazottaknak) kifizetett bért, és elosztják a ledolgozott órák teljes számával. Recesszió idején az átlagórabér tipikusan emelkedik. Ha véget ér a recesszió, az órabérek átlaga többnyire csökkenni kezd. Hogyan lehetséges ez?

6 82 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA 3. AZ ÁTLAG ÉS A HISZTOGRAM Ebben a szakaszban megmutatjuk, hogyan viszonyul az átlag és a medián a hisztogramhoz. Kezdjük egy példával! A 4. ábrán a HANES mintájában szereplő 6588 fő éves nő testsúlyának hisztogramját láthatjuk. Függőleges vonal jelöli az átlagot, ami 146 font (= 66,2 kg). Természetesnek tűnik az a tipp, hogy a nők felének súlya ez alatt volt, a felének meg fölötte. Ez azonban nem egészen stimmel. Valójában csak 41% volt súlyosabb az átlagnál, 59% súlya viszont átlagon aluli volt. Az arányok más esetben még ennél is jobban eltérhetnek az 50%-tól. 4. ÁBRA. A HANES mintájában szereplő éves nő testsúlyának hisztogramja. A testsúlyátlagot szaggatott vonal jelöli. Csak 41% testsúlya nagyobb az átlagosnál. (Az adatokat átírtuk font helyett kilogrammra. A szerk.) FORRÁS: L. a 3. ábránál Hogyan lehetséges ez? Az egyszerűség kedvéért kezdjük egy hipotetikus példával: legyen a számsorunk 1, 2, 2, 3. Ennek a sorozatnak a hisztogramja ( lásd az 5. ábrát) szimmetrikus a 2-es értékre. És az átlag is 2. Ha egy hisztogram valamely értékre szimmetrikus, akkor ez az érték az átlag; valamint a hisztogram alatti terület fele ettől az értéktől balra, fele jobbra helyezkedik el. (Hogy mit jelent az, hogy szimmetrikus? Képzeljük el, hogy függőleges vonalat rajzolunk a hisztogram középpontján keresztül, és ennek mentén félbehajtjuk az ábrát: a két félnek illeszkednie kell egymásra.) 5. ÁBRA. Az 1, 2, 2, 3 számsor hisztogramja. A hisztogram szimmetrikus a 2-es értékre nézve; a teljes terület 50%-a 2-től balra, 50%-a jobbra helyezkedik el.

7 4. fejezet: Az átlag és a szórás 83 Mi történik, ha az 1, 2, 2, 3 számokból álló listán a 3-as értéket nagyobbra, mondjuk 5-re vagy 7-re cseréljük? Mint a 6. ábrán látható, az ehhez az értékhez tartozó téglalap jobbra helyeződik, tönkretéve a szimmetriát. Nyíllal megjelöltük az átlagot az egyes hisztogramoknál; ez a nyíl is tolódik jobbra, követve a téglalapot. Hogy jobban átlássuk ezt, képzeljük el, hogy a hisztogram fa építőkockákból áll, melyeket súlytalan, merev deszkára erősítettek. Helyezzük a hisztogramot egy merev pálcára a 6. ábra alsó részén látható módon. Hisztogramunk az átlagnál lesz egyensúlyban.6 Az átlagtól jó messze eső kis téglalap kiegyensúlyozhat egy, az átlaghoz közel fekvő nagy területet, mivel a területek az alátámasztási ponttól mért távolsággal súlyozandók. 6. ÁBRA. Az átlag. Az ábra felső részében három hisztogram látható, az átlagokat nyilak jelölik. Ahogy a besatírozott téglalap tolódik jobbra, az átlagot is húzza maga után. Az átlagtól balra eső terület aránya felmegy 75%-ra. Az ábra alsó részében ugyanezen hisztogramokat merev súlytalan deszkára erősített fatömbökként ábrázoltuk. A hisztogramok az átlagnál alátámasztva lesznek egyensúlyban.

8 84 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA A hisztogram akkor lesz egyensúlyban, ha az átlagnál támasztjuk alá. A mérleghintán egy kicsi gyerek a középponttól távolabb ül, hogy egyensúlyt tartson a középponthoz közelebb ülő nagyobb gyerekkel. A hisztogram oszlopai is ugyanígy működnek. Ezért van, hogy az átlag egyik oldalára eső esetek aránya eltérhet az 50%-tól. Egy hisztogram mediánja az az érték, amelytől balra és jobbra is a terület fele található. A 6. ábrán szereplő mindhárom hisztogramnál 2 a medián. A második és a harmadik hisztogram esetében sokkal messzebb van a mediántól jobbra eső terület, mint az attól balra fekvő. Ebből következik, hogy ha a mediánnál próbálnánk meg alátámasztani a hisztogramot, akkor ledőlne jobbra. Általánosabban: az átlag mindig jobbra van a mediánhoz képest, ha a hisztogram jobbra elnyújtott, amint az a 7. ábrán látható. A testsúlyok hisztogramja (lásd a korábbi 4. ábrát) hosszan elnyúlik jobbra; ezért a 66,2 kg-s (146 fontos) átlag nagyobb a mediánnál, ami 62,5 kg (139 font). 7. ÁBRA. A hisztogram ferdesége

9 4. fejezet: Az átlag és a szórás 85 Vegyünk egy másik példát! 1992-ben a családi jövedelem mediánja dollár körül volt az USA-ban. A jövedelemhisztogram jobbra erősen elnyújtott, így ennél magasabb volt az átlag: dollár.7 Valamelyik irányban erősen elnyújtott megoszlás esetén érdemes lehet a mediánt használni az átlag helyett, amennyiben az átlagot túlságosan befolyásolják a távoli értékek. B feladatsor 1. Három számsor hisztogramját vázoltuk fel. Töltse ki az üresen hagyott helyet mindhárom esetben: Az átlag körül van. Válaszlehetőségek: 25, 40, 50, 60, Egybeesik-e a medián az átlaggal az előző feladatban szereplő hisztogramoknál? Vagy balra esik tőle? Netán jobbra? 3. Lapozzon vissza a cigarettafogyasztás hisztogramjához a 3. fejezetbeli C-4 feladathoz. A medián körül van. Töltse ki az üresen hagyott helyet az alábbi válaszlehetőségek valamelyikével: A cigarettafogyasztás hisztogramjánál 15, 20 vagy 25 körül van-e az átlag? 5. Az egyetemekre beiratkozott hallgatók körében melyik nagyobb vajon: az átlagos életkor vagy az életkorok mediánja*? 6. A következő listákon szereplő számok összességükben vajon 1, 5 vagy 10 körül szóródnak? Számolásra nincs szükség. (a) 1,3; 0,9; 1,2; 0,8 (b) 13; 9; 12; 8 (c) 7; 3; 6; 4 (d) 7; -3; -6; 4 * Ez utóbbit közepes életkornak is szokás nevezni, de mi most inkább kerüljük ezt a sokszor egyébként könnyedebb szóhasználatot. A ford.

10 86 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA Kiegészítő megjegyzés: Egy lista mediánját úgy definiáljuk, hogy a számok legalább fele (a fele vagy több) a mediánnál nagyobb vagy azzal egyenlő, és legalább a fele a mediánnál kisebb vagy azzal egyenlő. Négy számsoron mutatjuk be ezt: (a) 1, 5, 7 (b) 1, 2, 5, 7 (c) 1, 2, 2, 7, 8 (d) 8, -3, 5, 0, 1, 4, -1 Az (a) esetben 5 a medián: a három szám közül kettő nagyobb vagy egyenlő 5-tel, kettő pedig kisebb vagy egyenlő 5-tel. A (b) esetben bármely 2 és 5 közötti szám medián; ha egyetlen számot kell megneveznie, a statisztikusok zöme a 3,5-et (a 2 és 5 között félúton lévő számot) választja a mediánnak. A (c) lista esetében a medián 2: az öt közül négy szám 2-nél nagyobb vagy azzal egyenlő, három pedig 2-nél kisebb vagy egyenlő. A (d) lista mediánjának meghatározásához rendezzük nagyság szerinti sorba a számokat: -3, -1, 0, 1, 4, 5, 8 Hét számunk van: négy nagyobb vagy egyenlő 1-gyel, négy kisebb vagy egyenlő 1gyel. A medián tehát A NÉGYZETES KÖZÉPÉRTÉK Fejezetünk következő fontos témája az ún. szórás, melyet a szóródás mérésére használunk. Ebben a szakaszban némi matematikai bevezetőt nyújtunk ehhez a 0, 5, -8, 7, -3 számokból álló lista segítségével. Mekkora ez az öt szám? Az átlaguk 0,2, de ez még elég gyengén jelzi a nagyságukat. Annyit jelent csak, hogy a pozitív számok nagyrészt kioltják a negatívakat. A legegyszerűbben úgy járhatnánk el ezzel a problémával, ha elhagynánk az előjeleket, és úgy vennénk az átlagot. A statisztikusok azonban valami mást tesznek: a lista négyzetes középértékét (rövidebben: négyzetes közepét) használják. Némi fantáziával már az elnevezésből is kitalálható, hogyan kell ezt kiszámolni: A számokat NÉGYZETRE emeljük, megszabadulva így az előjelektől. Kiszámoljuk a négyzetek ÁTLAGÁT. Az átlag NÉGYZETGYÖKÉT vesszük. Képletszerűen is kifejezhetjük ezt: egy lista négyzetes közepe = a számok négyzeteinek átlaga

11 4. fejezet: Az átlag és a szórás 87 1.példa. Határozzuk meg a 0, 5, -8, 7, -3 számokból álló lista átlagát, a számok abszolút értékeinek átlagát (az előjelek figyelmen kívül hagyásával számított átlagot) és a lista négyzetes középértékét. Megoldás: Átlag = = 0,2 5 Abszolút értékek átlaga = Négyzetes középérték = = 4, (- 8) ( 3)2 = 29,4 5,4 5 A négyzetes közép valamivel nagyobb az előjelek figyelmen kívül hagyásával képzett átlagnál. Ez mindig így alakul kivéve azt a triviális esetet, amikor minden szám ugyanakkora abszolút értékű. A négyzetre emelés és a négyzetgyökvonás nem semlegesítik egymást, hiszen a kettő között elvégezzük az átlagolás műveletét. Hogy 5,4 és 4,6 közül melyiket válasszuk a példában szereplő számok nagyságának átfogó jellemzésére, arra nincsenek nyilvánvaló érvek. A statisztikusok azért használják a négyzetes közepet, mert jobban illeszkedik az általuk végzendő számításokhoz.8 Akár elégedett az Olvasó ezzel a magyarázattal, akár nem ne aggódjon! Elsőre mindenki utálja a négyzetes közepet, azután nagyon gyorsan megszokja. C feladatsor 1. (a) Mennyi az átlaga és a négyzetes közepe a következő számoknak? 1, -3, 5, -6, 3. (b) És a most következőknek? -11, 8, -9, -3, , 10 vagy 20 körül van inkább a következő számsorok négyzetes középértéke? Számolásra nincs szükség. (a) 1, 5, -7, 8, -10, 9, -6, 5, 12, -17 (b) 22, -18, -33, 7, 31, -12, 1, 24, -6, -16 (c) 1, 2, 0, 0, -1, 0, 0, -3, 0, 1 3. (a) Mennyi a négyzetes középértéke a következő számsornak: 7, 7, 7, 7? (b) És ennek: 7, -7, 7, -7? , 96, 101, 104. Mind a négy szám értéke 100 körül van, de valamivel eltérnek attól. Mennyi az eltérések négyzetes közepe?

12 88 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA 5. Mennyi a következő számsor átlaga: 103, 96, 101, 104? Mindegyik szám valamelyest eltér az átlagtól. Mennyi az eltérések négyzetes közepe? 6. Egy számítógépes programnak az a feladata, hogy megjósolja a teszteredményeket, összehasonlítsa ezeket a tényleges pontszámokkal, és kiszámolja a kettő közötti eltérések (a becslési hibák) négyzetes középértékét. A kinyomtatott listára pillantva azt látjuk, hogy a becslési hibák négyzetes közepe 3,6, az első tíz vizsgázó pedig a következő pontszámokat érte el: Becsült pontszám: Elért pontszám: Hihetőnek tűnik az eredmény, vagy valami hiba lehet a programmal? 5. A SZÓRÁS Sokszor érdemes úgy gondolkodnunk, hogy egy listában szereplő számok az átlaguk körül szóródnak amint azt a fejezet elején szereplő idézet is sugallja. Ezt a szóródást többnyire a szórásnak nevezett mennyiséggel mérjük. A szórás az átlagtól való eltérések nagyságát méri: egyfajta átlagos eltérés az átlagtól. A következőkben először valós adatok esetében fogjuk értelmezni a szórást, azután majd megnézzük a kiszámítás módját is. A HANES mintájában 6588 fő éves nő szerepel (lásd a 2. szakaszt). Átlagos testmagasságuk 161cm (63,5 hüvelyk), a szórás pedig 6,3 cm (2,5 hüvelyk). Az átlagból megtudjuk, hogy a nők többségének magassága valahol 161 cm körül volt. De akadtak eltérések az átlagtól. Voltak az átlagosnál magasabb, és az átlagosnál alacsonyabb hölgyek is. Mekkorák voltak ezek az eltérések? Na, itt jön be a szórás. A szórás megmutatja, milyen messze esnek egy lista számai az átlaguktól. A számok többsége nagyjából egy szórásnyi távolságon belül van az átlagtól. Csak nagyon kevés esik két vagy három szórásnyi távolságnál messzebb. Abból, hogy a szórás 6,3 cm, megtudjuk, hogy a HANES vizsgálatában résztvevő nők közül sokan 2-8 cm-rel tértek el az átlagtól: 2 cm fél szórásnál kevesebb, a 8 cm egy és két szórás között van. Kevesen tértek el 13 cm-nél (két szórásnál) jobban az átlagtól. Létezik egy gyakorlatban alkalmazott szabály, amely számszerűsíti ezt a gondolatot, és sok adatsorra érvényes: Egy lista számainak durván 68%-a (háromból kettő) az átlagtól egy szórásnyin belül esik, a többi 32% ennél távolabb. Durván 95% (20-ból 19) az átlagtól két szórásnyin belül esik, a maradék 5% van ennél távolabb. Sok adatsorra igaz ez, de nem mindegyikre.

13 4. fejezet: Az átlag és a szórás 89 A 8. ábrán láthatjuk a HANES-ben résztvevő éves nők magassághisztogramját. Függőleges vonal jelzi az átlagot, és besatíroztuk az átlagtól egy szórásnyin belül eső területet. Ez a satírozott terület jelenti azokat a nőket, akik legfeljebb egy szórásnyival tértek el az átlagtól. A terület 67% körül van. A nők körülbelül 67%-a legfeljebb egy szórásnyival tért el az átlagtól. 8. ÁBRA. A szórás és a hisztogram: a HANES vizsgálatában résztvevő 6588 fő éves nő testmagassága. Szaggatott függőleges vonal jelzi az átlagot (161 cm). Az egy szórásnyin belüli területet besatíroztuk: a nők 67%-a tért el legfeljebb egy szórásnyival (legfeljebb 6,3 cm-rel) az átlagtól. (A hisztogram adatait hüvelyk helyett centiméterben adjuk meg. A szerk.) A 9. ábrán ugyanezt a hisztogramot láthatjuk. Most a két szórásnyin belüli területet satíroztuk be. Ez a besatírozott rész azokat a nőket jelenti, akik legfeljebb két szórásnyival tértek el az átlagtól. A terület nagyjából 94%. A nők körülbelül 94%-a tért el legfeljebb két szórásnyival az átlagos testmagasságtól. (A hisztogram adatait hüvelyk helyett centiméterben adjuk meg. A szerk.)

14 90 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA 9. ÁBRA. A szórás és a hisztogram: a HANES vizsgálatában részt vevő 6588 fő éves nő testmagassága. Szaggatott függőleges vonal jelzi az átlagot (161 cm). A két szórásnyin belüli területet besatíroztuk: a nők 94%-a tért el legfeljebb két szórásnyival (legfeljebb 13 cm-rel) az átlagtól. Röviden összegezve: a nők körülbelül 67%-a legfeljebb egy szórásnyival, 94%-a legfeljebb két szórásnyival különbözött az átlagtól. Mindössze egyetlen nő akadt a mintában, aki négy szórásnyinál többel tért el az átlagtól. Erre az adatsorra egész jól működik a 68%-95%-os szabály. De vajon honnan jön ez a 68 és 95%? A kérdésre a következő fejezetben válaszolunk.9 A HANES felmérésben résztvevő nők kétharmada legfeljebb egy szórásnyival tért el az átlagtól

15 4. fejezet: Az átlag és a szórás 91 D feladatsor 1. A Közegészségügyi Hivatal számításai szerint a HANES felmérésében részt vevő 11 éves fiúk átlagos magassága 146 cm volt, a szórás pedig 8 cm. Töltse ki az üresen hagyott helyeket! (a) Az egyik fiú 170 cm volt. Ő az átlagnál szórásnyival volt magasabb. (b) Egy másik fiú 148 cm magas volt. Ő az átlagnál szórásnyival volt magasabb. (c) Egy harmadik fiú 1,5 szórásnyival alacsonyabb volt az átlagnál. Ő cm magas volt. (d) Ha egy fiú magassága az átlagtól vett 2,25 szórásnyin belül volt, akkor legalább cm és legfeljebb cm magas volt. 2. Az 1. feladat folytatása. (a) Íme négy fiú testmagassága: 150 cm, 130 cm, 165 cm, 140 cm. Melyik leírás illik rájuk az alábbiak közül? (Van olyan leírás, amely kettőre is illik.) szokatlanul alacsony nagyjából átlagos szokatlanul magas (b) A vizsgálatban szereplő 11 éves fiúknak körülbelül hány százaléka volt cm között? Hány százalék volt cm között? 3. A következő listák mindegyikének 50 az átlaga. Melyiknél a legnagyobb a szóródás az átlag körül? Melyiknél a legkisebb? (i) 0, 20, 40, 50, 60, 80, 100 (ii) 0, 48, 49, 50, 51, 52, 100 (iii) 0, 1, 2, 50, 98, 99, A következő listák mindegyikének 50 az átlaga. Tippelje meg mindegyiknél, hogy 1, 2 vagy 10 körül van-e inkább a szórás! (Számolásra nincs szükség.) (a) 49, 51, 49, 51, 49, 51, 49, 51, 49, 51 (b) 48, 52, 48, 52, 48, 52, 48, 52, 48, 52 (c) 48, 51, 49, 52, 47, 52, 46, 51, 53, 51 (d) 54, 49, 46, 49, 51, 53, 50, 50, 49, 49 (e) 60, 36, 31, 50, 48, 50, 54, 56, 62, A HANES mintájába bekerült emberek életkorának szórása körül volt. Töltse ki az üresen hagyott helyet az alábbi válaszlehetőségek valamelyikével. Adjon rövid magyarázatot is! (A felvételről részletesebben szóltunk a 2. szakaszban; az életkorok 1-74 év között voltak.) 5 év 20 év 50 év 6. Felvázoltuk három adatsor hisztogramját. Melyik leírás tartozik az egyes ábrákhoz? (Nem lehet mindegyiket felhasználni.) Adjon magyarázatot is mindegyik esetben!

16 92 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA (i) átlag 3,5; szórás 1 (ii) átlag 3,5; szórás 0,5 (iii) átlag 3,5; szórás 2 (iv) átlag 2,5; szórás 1 (v) átlag 2,5; szórás 0,5 (vi) átlag 4,5; szórás 0,5 7. (Kitalált példa). Klinikai vizsgálatoknál az adatgyűjtés általában azzal kezdődik, hogy véletlenszerűen kísérleti, és kontrollcsoportba sorolják a részt vevőket. Az adatgyűjtés az utókövetés befejezéséig folyik. Két, a szívinfarktus megelőzésével foglalkozó klinikai kísérlet vezetői beszámolnak a kiinduló testsúlyadatokról, az alábbiak szerint. Az egyik kísérletnél rosszul sikerült a véletlenszerű besorolás. Melyiknél? Miért? (i) Kísérleti Kontroll Személyek száma Átlagos testsúly 83 kg 64 kg Szórás 11 kg 11,5 kg (ii) Kísérleti Kontroll kg 73 kg 12 kg 11 kg 8. Egy kutató 100 fős mintát vesz egy bizonyos város éves férfi lakosai közül. Egy másik kutató 1000 fős mintát vesz ugyanezen sokaságból. (a) Melyik kutató mintájában lesz nagyobb a férfiak magasságátlaga? Vagy nagyjából ugyanakkora lesz? (b) Melyik kutató mintájában lesz nagyobb a testmagasságok szórása? Vagy nagyjából ugyanakkora lesz? (c) Melyik kutató mintájában fog szerepelni valószínűleg a legmagasabb férfi? Vagy mindkét kutatónak egyforma az esélye erre? (d) Melyik kutató mintájában fog szerepelni valószínűleg a legalacsonyabb férfi? Vagy mindkét kutatónak egyforma az esélye? 9. A HANES mintájában a férfiak magasságátlaga 175 cm volt, a szórás pedig 7,6 cm. Mondjuk holnap véletlenszerűen kiválasztunk egy férfit a mintából. Önnek meg kell tippelnie a magasságát. Hogyan tippelne? Nagyjából háromból egy az esélye annak, hogy centiméternél többet téved. Töltse ki az üresen hagyott helyet! Válaszlehetőségek: 1 cm, 8 cm, 13 cm. 10. A 9. feladathoz képest most annyi a különbség, hogy egy egész sor férfit választunk ki véletlenszerűen. Ahogy egy férfi megjelenik, összevetjük tényleges testma-

17 4. fejezet: Az átlag és a szórás 93 gasságát a tippel, és megnézzük, mekkora az eltérés. Az eltérések négyzetes középértéke lesz. Töltse ki az üresen hagyott helyet! (Javaslatunk: Vessen egy pillantást a 6. szakasz bekeretezett mondatára!) 6. A SZÓRÁS KISZÁMÍTÁSA Egy számsor szórásának kiszámításához nézzük egyenként a számokat. Valamilyen mértékben mindegyik eltér az átlagtól, esetleg 0-val: átlagtól való eltérés = szám átlag A szórás ezeknek az eltéréseknek a négyzetes középértéke. szórás = az átlagtól való eltérések négyzetes középértéke 2. példa. Mennyi a következő számsor szórása: 20, 10, 15, 15? Megoldás: Az első lépés az átlag kiszámítása: átlag = = A második lépés az átlagtól való eltérések kiszámítása: egyszerűen kivonjuk az átlagot a számokból. Az eltérések: Az utolsó lépés az eltérések négyzetes középértékének kiszámolása: szórás = = = 52 + (-5) = 4 12,5 3,5 Ezzel kész is a számítás. A szórásnak ugyanaz lesz a mértékegysége, mint amiben az adataink vannak. A testmagasságot mondjuk centiméterben mértük. A köztes lépésben, amikor négyzetre emelünk, a mértékegység négyzetcentiméterre változik, de a gyökvonással az eredmény újra visszakerül az eredeti mértékegységbe.10 Ne keverjük össze egy számsor szórását a számok négyzetes középértékével! A szórás az átlagtól vett eltérések négyzetes közepe, nem pedig az eredeti számoké!

18 94 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA E feladatsor 1. Tippelje meg, melyik számsor szórása nagyobb! Ellenőrzésképpen számolja is ki a szórásokat! (i) 9, 9, 10, 10, 10, 12 (ii) 7, 8, 10, 11, 11, Következőképpen mondja el valaki, hogyan kell kiszámítani az 1, 2, 3, 4, 5 számsor szórását: Az átlag 3, az átlagtól való eltérések tehát: Hagyjuk el az előjeleket. Az átlagos eltérés = 1,2 5 Ez a szórás. Igaza van-e? Magyarázza is meg a válaszát! 3. Következőképpen mondja el valaki, hogyan kell kiszámítani az 1, 2, 3, 4, 5 számsor szórását: Az átlag 3, az átlagtól való eltérések tehát: A 0 nem számít, tehát az eltérések négyzetes középértéke = 1,6 4 Ez a szórás. Igaza van-e? Magyarázza is meg a válaszát! 4. Három oktató összehasonlítja a vizsgájukon elért pontszámokat; mindegyiküknek 99 hallgatója volt. Az A csoport hallgatói közül egy diáknak 1 pontja volt, egy másik 99 pontot kapott, a többiek 50 pontot. A B csoportban 49 hallgató kapott 1 pontot, egy fő 50 pontot, 49 pedig 99 pontot. A C csoportban egy diák kapott 1 pontot, egy másik 2 pontot, egy harmadik 3 pontot, és így tovább, egészen 99 pontig. (a) Melyik csoportban a legmagasabb az átlag? Vagy egyformák az átlagok? (b) Melyik csoportban a legnagyobb a szórás? Vagy ugyanakkorák? (c) Melyik csoportban a legnagyobb a pontszámok terjedelme? Vagy ugyanakkorák?

19 4. fejezet: Az átlag és a szórás (a) Az alábbi számsorok mindegyikére számítsa ki az átlagot, az átlagtól való eltéréseket és a szórást! (i) 1, 3, 4, 5, 7 (ii) 6, 8, 9, 10, Hajtsa végre az 5. feladat utasításait a következő számsorokra is: 1, 3, 4, 5, 7 3, 9, 12, 15, Hajtsa végre az 5. feladat utasításait a következő számsorokra is: 5, -4, 3, -1, 7 5, 4, -3, 1, (a) Kalifornia állam kormányzója azt javasolja, hogy minden állami alkalmazott kapjon egységesen havi 70 dollár fizetésemelést. Hogyan befolyásolná ez az állami alkalmazottak átlagjövedelmét? És a szórást? (b) Hogyan befolyásolná az átlagjövedelmet és a szórást, ha 5%-os fizetésemelést kapna mindenki? 9. Mekkora a következő számsor négyzetes középértéke: 17, 17, 17, 17, 17? Mennyi a szórása? 10. A 107, 98, 93, 101, 104 számsor esetében melyik a nagyobb: a négyzetes középérték vagy a szórás? Számolásra nincs szükség. 11. Lehet-e negatív szám a szórás? 12. Vegyünk egy pozitív számokból álló számsort! Nagyobb lehet-e a szórás az átlagnál? Kiegészítő megjegyzés: A szórás kiszámításának van egy másik módja is, mely bizonyos esetekben kényelmesebb lehet:11 szórás = a számok négyzetének átlaga a számok átlagának négyzete 7. A SZÁMÍTÁS STATISZTIKAI FUNKCIÓKKAL ELLÁTOTT SZÁMOLÓGÉPPEL A statisztikai funkciókkal ellátott számológépek többsége nem a szórást számítja ki, hanem egy másik, picivel nagyobb mennyiséget: a korrigált szórást. (A szórás és a korrigált szórás közti különbséget gondosan elmagyarázzuk majd a 26. fejezet 6. szakaszában.) Ha ki akarjuk deríteni, hogy saját kalkulátorunk melyiket számolja, üssük be a 1, 1 számokat; ha a gép 1-et ad eredményül, akkor szórással dolgozik; ha 1,41...-et ír ki, akkor korrigált szórással. Ha a korrigált szórást kapjuk meg, de mi

20 96 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA a szórást szeretnénk, akkor szoroznunk kell még egy tényezővel. Ennek nagysága attól függ, hány szám szerepel a listán. Tíz szám esetében 9/10 a faktor. Húsz szám esetén 19/20. Általánosságban: szórás = a listán szereplő számok száma 1 (korrigált szórás) a listán szereplő számok száma 8. ISMÉTLŐ FELADATSOR Az ismétlő feladatok a korábbi fejezetek anyagait is felhasználhatják. 1. (a) Mennyi az átlaga és a szórása a következő számsornak: 41, 48, 50, 50, 54, 57? (b) Mely számok esnek közülük az átlagtól 0,5 szórásnyin belül? Melyek 1,5 szóráson belül? 2. (a) A következő számsorok átlaga 50. Melyiknek kisebb a szórása? Miért? Számolásra nincs szükség. (i) 50, 40, 60, 30, 70, 25, 75 (ii) 50, 40, 60, 30, 70, 25, 75, 50, 50, 50 (b) Ugyanezek a kérdések a következő két listával kapcsolatban is: (i) 50, 40, 60, 30, 70, 25, 75 (ii) 50, 40, 60, 30, 70, 25, 75, 99, 1 3. Íme egy lista: 0,7 1,6 9,8 3,2 5,4 0,8 7,7 6,3 2,2 4,1 8,1 6,5 3,7 0,6 6,9 9,9 8,8 3,1 5,7 9,1 (a) Tippelje meg mindenfajta számolás nélkül, hogy az átlag inkább 1, 5 vagy 10 körül van-e! (b) Tippelje meg mindenfajta számolás nélkül, hogy a szórás inkább 1, 3 vagy 6 körül van-e! 4. A 25 éven felüli amerikai népesség jövedelmét tekintve vajon az átlag vagy a medián a nagyobb? És a befejezett iskolai osztályok számát nézve? 5. A HANES felmérésben részt vevő éves férfiak szisztolés vérnyomásának átlaga 124 hgmm, a szórás 14 hgmm volt.12 Az alábbi vérnyomásértékek szokatlanul magasnak, szokatlanul alacsonynak vagy nagyjából átlagosnak számítanak-e: 80 hgmm 115 hgmm 135 hgmm 210 hgmm

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

Magyarország 1,2360 1,4622 1,6713 1,8384 2,0186 2,2043

Magyarország 1,2360 1,4622 1,6713 1,8384 2,0186 2,2043 370 Statisztika, valószínûség-számítás 1480. a) Nagy országok: Finnország, Olaszország, Nagy-Britannia, Franciaország, Spanyolország, Svédország, Lengyelország, Görögország, Kis országok: Ciprus, Málta,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus

Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Gyakorisági sorok Mennyiségi ismérv jellemző rangsor készítünk. (pl. napi jegyeladások száma) A gyakorisági sor képzése igazából tömörítést jelent Nagyszámú

Részletesebben

Statisztika. Politológus képzés. Daróczi Gergely április 17. Politológia Tanszék

Statisztika. Politológus képzés. Daróczi Gergely április 17. Politológia Tanszék Statisztika Politológus képzés Daróczi Gergely Politológia Tanszék 2012. április 17. Outline 1 Leíró statisztikák 2 Középértékek Példa 3 Szóródási mutatók Példa 4 Néhány megjegyzés a grafikonokról 5 Számítások

Részletesebben

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai Változékonyság (szóródás) STATISZTIKA I. 5. Előadás Szóródási mutatók A középértékek a sokaság elemeinek értéknagyságbeli különbségeit eltakarhatják. A változékonyság az azonos tulajdonságú, de eltérő

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.08. Orvosi biometria (orvosi biostatisztika) Statisztika: tömegjelenségeket számadatokkal leíró tudomány. A statisztika elkészítésének menete: tanulmányok (kísérletek)

Részletesebben

Andó Mátyás Felületi érdesség matyi.misi.eu. Felületi érdesség. 1. ábra. Felületi érdességi jelek

Andó Mátyás Felületi érdesség matyi.misi.eu. Felületi érdesség. 1. ábra. Felületi érdességi jelek 1. Felületi érdesség használata Felületi érdesség A műszaki rajzokon a geometria méretek tűrése mellett a felületeket is jellemzik. A felületek jellemzésére leginkább a felületi érdességet használják.

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12. 6. Előadás Visszatekintés: a normális eloszlás Becslés, mintavételezés Reprezentatív minta A statisztika, mint változó Paraméter és Statisztika Torzítatlan becslés A mintaközép eloszlása - centrális határeloszlás

Részletesebben

matematikai statisztika

matematikai statisztika Az újságokban, plakátokon, reklámkiadványokban sokszor találkozunk ilyen grafikonokkal, ezért szükséges, hogy megértsük, és jól tudjuk értelmezni őket. A második grafikon ismerős lehet, hiszen a függvények

Részletesebben

A nappali tagozatra felvett gépészmérnök és műszaki menedzser hallgatók informatikai ismeretének elemzése a Budapesti Műszaki Főiskolán

A nappali tagozatra felvett gépészmérnök és műszaki menedzser hallgatók informatikai ismeretének elemzése a Budapesti Műszaki Főiskolán A nappali tagozatra felvett gépészmérnök és műszaki menedzser hallgatók informatikai ismeretének elemzése a Budapesti Műszaki Főiskolán Kiss Gábor BMF, Mechatronikai és Autótechnikai Intézet kiss.gabor@bgk.bmf.hu

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

MINTAFELADATOK. 1. Az alábbi diagram egy kiskereskedelmi lánc boltjainak forgalomkoncentrációját szemlélteti:

MINTAFELADATOK. 1. Az alábbi diagram egy kiskereskedelmi lánc boltjainak forgalomkoncentrációját szemlélteti: 1. Az alábbi diagram egy kiskereskedelmi lánc boltjainak forgalomkoncentrációját szemlélteti: 100% 90% 80% 70% 60% 50% 2010 2011 40% 30% 20% 10% 0% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% a) Nevezze

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Vérnyomásmérés, elektrokardiográfia. A testhelyzet, a légzés, a munkavégzés hatása a keringési rendszerre. A mérési adatok elemzése és értékelése

Vérnyomásmérés, elektrokardiográfia. A testhelyzet, a légzés, a munkavégzés hatása a keringési rendszerre. A mérési adatok elemzése és értékelése Vérnyomásmérés, elektrokardiográfia A testhelyzet, a légzés, a munkavégzés hatása a keringési rendszerre. A mérési adatok elemzése és értékelése Pszichológia BA gyakorlat A mérést és kiértékelést végezték:............

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

A regisztrált álláskeresők számára vonatkozó becslések előrejelző képességének vizsgálata

A regisztrált álláskeresők számára vonatkozó becslések előrejelző képességének vizsgálata A regisztrált álláskeresők számára vonatkozó becslések előrejelző képességének vizsgálata Az elemzésben a GoogleTrends (GT, korábban Google Insights for Search) modellek mintán kívüli illeszkedésének vizsgálatával

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

Feladatmegoldások. I. rész. Kísérletek megtervezése 2. FEJEZET. MEGFIGYELÉSES VIZSGÁLATOK. A feladatsor

Feladatmegoldások. I. rész. Kísérletek megtervezése 2. FEJEZET. MEGFIGYELÉSES VIZSGÁLATOK. A feladatsor Feladatmegoldások I. rész. Kísérletek megtervezése 2. FEJEZET. MEGFIGYELÉSES VIZSGÁLATOK A feladatsor 1. Téves. A lakosság is nőtt. A halálesetek számát az összlakossághoz kell viszonyítani. 1990-ben az

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. november 5. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint, jól követhetően

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR : MATEMATIKA, EMELT SZINT

PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR : MATEMATIKA, EMELT SZINT 1. FELADATSOR Felhasználható idő: 40 perc I. rész 1.1.) Oldja meg grafikusan az alábbi egyenlőtlenséget! x + 1 + 1 x + x + 11 1..) Mekkora legyen az x valós szám értéke, hogy az alábbi három mennyiség

Részletesebben

Munkaerőpiaci mutatók összehasonlítása székelyföldi viszonylatban

Munkaerőpiaci mutatók összehasonlítása székelyföldi viszonylatban HARGITA MEGYE TANÁCSA ELEMZŐ CSOPORT RO 530140, Csíkszereda, Szabadság Tér 5. szám Tel.: +4 0266 207700/1120, Fax.: +4 0266 207703 e-mail: elemzo@hargitamegye.ro web: elemzo.hargitamegye.ro Munkaerőpiaci

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék GAZDASÁGSTATISZTIKA. Készítette: Bíró Anikó. Szakmai felelős: Bíró Anikó június

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék GAZDASÁGSTATISZTIKA. Készítette: Bíró Anikó. Szakmai felelős: Bíró Anikó június GAZDASÁGSTATISZTIKA GAZDASÁGSTATISZTIKA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Matematika feladatbank I. Statisztika. és feladatgyűjtemény középiskolásoknak

Matematika feladatbank I. Statisztika. és feladatgyűjtemény középiskolásoknak Matematika feladatbank I. Statisztika Elméleti összefoglaló és feladatgyűjtemény középiskolásoknak ÍRTA ÉS ÖSSZEÁLLÍTOTTA: Dugasz János 2011 Fapadoskonyv.hu Kft. Dugasz János Tartalom Bevezető 7 Adatok

Részletesebben

Statisztikai alapfogalmak

Statisztikai alapfogalmak i alapfogalmak statisztikai sokaság: a megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége 2 csoportja van: álló sokaság: mindig vmiféle állapotot, állományt fejez ki, adatai egy adott időpontban értelmezhetők

Részletesebben

Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja

Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja 2016/17 I. félév MATEMATIKA szóbeli vizsga 1 A szóbeli vizsga kötelező eleme a félév teljesítésének, tehát azok a diákok is vizsgáznak, akik a többi számonkérést teljesítették. A szóbeli vizsgán az alább

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok gyakorlat Pót zárthelyi dolgozat megoldás

Statisztikai programcsomagok gyakorlat Pót zárthelyi dolgozat megoldás Statisztikai programcsomagok gyakorlat Pót zárthelyi dolgozat megoldás A feladatok megoldásához használandó adatállományok: potzh és potolando (weboldalon találhatók) Az állományok kiterjesztése sas7bdat,

Részletesebben

Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt

Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt Galbács Gábor KIUGRÓ ADATOK KISZŰRÉSE STATISZTIKAI TESZTEKKEL Dixon Q-tesztje Gyakori feladat az analitikai kémiában, hogy kiugrónak

Részletesebben

térképet, és válaszolj a kérdésekre római számokkal!

térképet, és válaszolj a kérdésekre római számokkal! A római számok 1. Budapesten a kerületeket római számokkal jelölik. Vizsgáld meg a térképet, és válaszolj a kérdésekre római számokkal! Hányadik kerületben található a Parlament épülete? Melyik kerületbe

Részletesebben

Fényerősség. EV3 programleírás. Használt rövidítések. A program működésének összegzése

Fényerősség. EV3 programleírás. Használt rövidítések. A program működésének összegzése EV3 programleírás A 11- es program egy 60W- os hagyományos izzó fényerősségét méri (más típusú izzókkal is használható) tíz pontnál, 5 cm- es intervallumokra felosztva. Használt rövidítések ol Külső ciklus

Részletesebben

Önnek hány gyermeke van? Bevallott és elfelejtett gyermekek egyazon adatfelvételen belül 3-12 év távlatában

Önnek hány gyermeke van? Bevallott és elfelejtett gyermekek egyazon adatfelvételen belül 3-12 év távlatában Önnek hány gyermeke van? Bevallott és elfelejtett gyermekek egyazon adatfelvételen belül 3-12 év távlatában Makay Zsuzsanna Fókuszban a család konferencia, Pécs, 2015. május 14-15. Bevezetés Statisztikai

Részletesebben

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT II. 135 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT II. 135 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT II. 135 perc A feladatok megoldására 135 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II/B

Részletesebben

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

EGYENÁRAMÚ TÁPEGYSÉGEK

EGYENÁRAMÚ TÁPEGYSÉGEK dátum:... a mérést végezte:... EGYENÁRAMÚ TÁPEGYSÉGEK m é r é s i j e g y z k ö n y v 1/A. Mérje meg az adott hálózati szabályozható (toroid) transzformátor szekunder tekercsének minimálisan és maximálisan

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I. 1) Adott két pont: A ; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 10. KÖZÉP SZINT I. és B 1; Írja fel az AB szakasz 1 1 F ; F ;1 ) Az ábrán egy ; intervallumon

Részletesebben

Bérkülönbségtől a szerepelvárásokig: mik a magyar nők és férfiak problémái?

Bérkülönbségtől a szerepelvárásokig: mik a magyar nők és férfiak problémái? Bérkülönbségtől a szerepelvárásokig: mik a magyar nők és férfiak problémái? Az Integrity Lab elemzése Összefoglaló A nemek közti bérkülönbséget tartja a legnagyobb egyenlőtlenségi problémának a magyar

Részletesebben

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött

Részletesebben

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság Microsoft Excel 2010 Gyakoriság Osztályközös gyakorisági tábla Nagy számú mérési adatokat csoportokba (osztályokba) rendezése -> könnyebb áttekintés Osztályokban szereplő adatok száma: osztályokhoz tartozó

Részletesebben

STATISZTIKA. Gyakorló feladatok az első zh-ra

STATISZTIKA. Gyakorló feladatok az első zh-ra STATISZTIKA Gyakorló feladatok az első zh-ra A változás átlagos üteme év Kenyér Ft/ kg bázisindex % 2002 151 100,0 2003 156 103,3 2004 178 117,9 2005 173 114,6 2006 179 118,5 2007 215 142,4 I = n 1 l i

Részletesebben

Diagramok elemzése. egy kozmetikai termékcsalád hatóanyagösszetételét

Diagramok elemzése. egy kozmetikai termékcsalád hatóanyagösszetételét Diagramok elemzése 1. Egy cég közös grafikonban ábrázolja a teljesítményét és az alkalmazottak létszámát. Le tudná-e olvasni, mekkora volt a cég teljesítménye és a dolgozók létszáma 2000-ben, ha csak az

Részletesebben

AZ EGÉSZSÉGESEN ÉS A FOGYATÉKOSSÁG NÉLKÜL LEÉLT ÉVEK VÁRHATÓ SZÁMA MAGYARORSZÁGON

AZ EGÉSZSÉGESEN ÉS A FOGYATÉKOSSÁG NÉLKÜL LEÉLT ÉVEK VÁRHATÓ SZÁMA MAGYARORSZÁGON AZ EGÉSZSÉGESEN ÉS A FOGYATÉKOSSÁG NÉLKÜL LEÉLT ÉVEK VÁRHATÓ SZÁMA MAGYARORSZÁGON DR. PAKSY ANDRÁS A lakosság egészségi állapotát jellemző morbiditási és mortalitási mutatók közül a halandósági tábla alapján

Részletesebben

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA)

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Vargha András Károli Gáspár Református Egyetem Budapest

Vargha András Károli Gáspár Református Egyetem Budapest Vargha András Károli Gáspár Református Egyetem Budapest Kötelező irodalom a kurzushoz Vargha András: Matematikai statisztika pszichológiai, nyelvészeti és biológiai alkalmazásokkal (2. kiadás). Pólya Kiadó,

Részletesebben

Szerb Köztársaság OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUM OKTATÁSI ÉS NEVELÉSI MINŐSÉGELLENŐRZŐ INTÉZET

Szerb Köztársaság OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUM OKTATÁSI ÉS NEVELÉSI MINŐSÉGELLENŐRZŐ INTÉZET Szerb Köztársaság OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUM OKTATÁSI ÉS NEVELÉSI MINŐSÉGELLENŐRZŐ INTÉZET FELADATOK AZ ÁLTALÁNOS OKTATÁS ÉS NEVELÉS ZÁRÓVIZSGÁJÁRA a 2011/2012-es tanévben TESZT 3 matematikából

Részletesebben

Merev vagy rugalmas nyugdíjkorhatárt?

Merev vagy rugalmas nyugdíjkorhatárt? Simonovits András: Bevezetés Merev vagy rugalmas nyugdíjkorhatárt? A kedvezményes nyugdíjazásról szóló népszavazási kezdeményezés a 2011-ben nők számára bevezetett kedvezményt kiterjesztené a férfiakra

Részletesebben

I. Internetes keresési feladatok (ajánlott idő: 20 perc)

I. Internetes keresési feladatok (ajánlott idő: 20 perc) I. Internetes keresési feladatok (ajánlott idő: 20 perc) A talált oldalak internet címét (URL) másold ki egy szöveges dokumentumba és mentsd Csapatnev_internet néven! A konkrét válaszokat ide a papírra

Részletesebben

MATEMATIKA KISÉRETTSÉGI Ponthatárok: (5) (4) (3) (2) (1) Pontszám. I. rész - A rendelkezésre álló idő: 45 perc

MATEMATIKA KISÉRETTSÉGI Ponthatárok: (5) (4) (3) (2) (1) Pontszám. I. rész - A rendelkezésre álló idő: 45 perc MATEMATIKA KISÉRETTSÉGI 2014. Ponthatárok: (5) 83-100 (4) 65-82 (3) 47-64 (2) 30-46 (1) 0-29 Név, osztály Pontszám I. rész - A rendelkezésre álló idő: 45 perc I. rész 30 pont Érdemjegy II. rész 70 pont

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test

Részletesebben

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció

Részletesebben

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df )

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df ) 1. feladat. Egy erdőben az egy fészekben levő tojásszámokat vizsgáltuk egy madárfajnál. A következő tojásszámokat találtuk: 1, 1, 1,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7. Mi a mintának a minimuma, maximuma,

Részletesebben

Prímszámok statisztikai analízise

Prímszámok statisztikai analízise Prímszámok statisztikai analízise Puszta Adrián 28. április 18. Kivonat Munkám során a prímszámok és a páros prímek eloszlását, illetve különbségét vizsgáltam, majd ebből következtettem a véletlenszerű

Részletesebben

Sta t ti t s i zt z i t k i a 3. előadás

Sta t ti t s i zt z i t k i a 3. előadás Statisztika 3. előadás Statisztika fogalma Gyakorlati tevékenység Adatok összessége Módszertan A statisztika, mint gyakorlati tevékenység a tömegesen előforduló jelenségek egyedeire vonatkozó információk

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

Méréselmélet és mérőrendszerek 2. ELŐADÁS (1. RÉSZ)

Méréselmélet és mérőrendszerek 2. ELŐADÁS (1. RÉSZ) Méréselmélet és mérőrendszerek 2. ELŐADÁS (1. RÉSZ) KÉSZÍTETTE: DR. FÜVESI VIKTOR 2016. 10. Mai témáink o A hiba fogalma o Méréshatár és mérési tartomány M é r é s i h i b a o A hiba megadása o A hiba

Részletesebben

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető!

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető! BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály Budapest, 2012.. Név:... Neptun kód:... Érdemjegy:..... STATISZTIKA II. VIZSGADOLGOZAT Feladatok 1. 2. 3. 4. 5. 6. Összesen Szerezhető pontszám 21 20 7 22

Részletesebben

KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK

KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK web-lap : www.hild.gor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STATIKA 50. KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK A TARTÓK MÉRETEZÉSE SORÁN SZÁMOS ESETBEN SZÜKSÉGÜNK VAN OLYAN ADATOKRA,

Részletesebben

Érettségi feladatok: Sorozatok

Érettségi feladatok: Sorozatok Érettségi feladatok: Sorozatok 2005. május 10. 8. Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 2. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! 14. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a) Mekkora

Részletesebben

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak

Részletesebben

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (

Részletesebben

Statisztikai alapfogalmak

Statisztikai alapfogalmak Statisztika I. KÉPLETEK 2011-2012-es tanév I. félév Statisztikai alapfogalmak Adatok pontossága Mért adat Abszolút hibakorlát Relatív hibakorlát Statisztikai elemzések viszonyszámokkal : a legutolsó kiírt

Részletesebben

A Katedra Matematikaverseny 2013/2014-es döntőjének feladatsorai Összeállította: Károlyi Károly

A Katedra Matematikaverseny 2013/2014-es döntőjének feladatsorai Összeállította: Károlyi Károly A Katedra Matematikaverseny 2013/2014-es döntőjének feladatsorai Összeállította: Károlyi Károly 5. osztály 1. A MATEK szó minden betűjének megfeleltetünk egy-egy számjegyet a következők szerint: M + A

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

A hisztogram. 3. fejezet 1. BEVEZETÉS

A hisztogram. 3. fejezet 1. BEVEZETÉS 3. fejezet A hisztogram... a fölnőttek (...) szeretik a számokat. Ha egy új barátunkról beszélünk nekik, sosem a lényeges dolgok felől kérdezősködnek. Sosem azt kérdezik: Milyen a hangja? Mik a kedves

Részletesebben

5. Egy 21 méter magas épület emelkedési szögben látszik. A teodolit magassága 1,6 m. Milyen messze van tőlünk az épület?

5. Egy 21 méter magas épület emelkedési szögben látszik. A teodolit magassága 1,6 m. Milyen messze van tőlünk az épület? Gyakorlás 1. Az út emelkedésének nevezzük annak a szögnek a tangensét, amelyet az út a vízszintessel bezár. Ezt általában %-ban adják meg. (100 %-os emelkedésű a vízszintessel 1 tangensű szöget bezáró

Részletesebben

9. Laboratóriumi gyakorlat NYOMÁSÉRZÉKELŐK

9. Laboratóriumi gyakorlat NYOMÁSÉRZÉKELŐK 9. Laboratóriumi gyakorlat NYOMÁSÉRZÉKELŐK 1.A gyakorlat célja Az MPX12DP piezorezisztiv differenciális nyomásérzékelő tanulmányozása. A nyomás feszültség p=f(u) karakterisztika megrajzolása. 2. Elméleti

Részletesebben

Szerb Köztársaság OKTATÁSI, TUDOMÁNYÜGYI ÉS TECHNOLÓGIAI FEJLESZTÉSI MINISZTÉRIUM OKTATÁSI ÉS NEVELÉSI MINŐSÉGELLENŐRZŐ INTÉZET TESZT MATEMATIKÁBÓL

Szerb Köztársaság OKTATÁSI, TUDOMÁNYÜGYI ÉS TECHNOLÓGIAI FEJLESZTÉSI MINISZTÉRIUM OKTATÁSI ÉS NEVELÉSI MINŐSÉGELLENŐRZŐ INTÉZET TESZT MATEMATIKÁBÓL Szerb Köztársaság OKTATÁSI, TUDOMÁNYÜGYI ÉS TECHNOLÓGIAI FEJLESZTÉSI MINISZTÉRIUM OKTATÁSI ÉS NEVELÉSI MINŐSÉGELLENŐRZŐ INTÉZET TESZT MATEMATIKÁBÓL a 2013/2014-es tanévben UTASÍTÁS A TESZT MEGÍRÁSÁHOZ

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2010. Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

III. Népegészségügyi Konferencia, Megnyitó 2012. A 2011. év szűrővizsgálatainak eredményei. Dr. Barna István

III. Népegészségügyi Konferencia, Megnyitó 2012. A 2011. év szűrővizsgálatainak eredményei. Dr. Barna István III. Népegészségügyi Konferencia, Megnyitó 2012. A 2011. év szűrővizsgálatainak eredményei Dr. Barna István Vérnyomás A szűrésben részvevők 29 százalékának normális a vérnyomása; 23 százalék az emelkedett

Részletesebben

Országos Szakiskolai Közismereti Tanulmányi Verseny 2008/2009 MATEMATIKA FIZIKA

Országos Szakiskolai Közismereti Tanulmányi Verseny 2008/2009 MATEMATIKA FIZIKA Országos Szakiskolai Közismereti Tanulmányi Verseny 2008/2009 MATEMATIKA FIZIKA III. (országos) forduló 2009. április 17. Kecskeméti Humán Középiskola, Szakiskola és Kollégium Széchenyi István Idegenforgalmi

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem.

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem. Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1 ROC elemzések Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás szóhasználatával A riasztóberendezés érzékeli, ha támadás jön, és ilyenkor riaszt. Máskor nem. TruePositiveAlarm:

Részletesebben

ELEMZŐ SZOFTVEREK. A tanárok elemző munkáját támogatja három, egyszerűen használható, minimális alkalmazói ismereteket igénylő Excel állomány.

ELEMZŐ SZOFTVEREK. A tanárok elemző munkáját támogatja három, egyszerűen használható, minimális alkalmazói ismereteket igénylő Excel állomány. ELEMZŐ SZOFTVEREK A tanárok elemző munkáját támogatja három, egyszerűen használható, minimális alkalmazói ismereteket igénylő Excel állomány. FELADAT-ITEMELEMZÉS munkalap A munkalapon a feladatok, feladatelemek

Részletesebben

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL. Szóbeli vizsgatevékenység

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL. Szóbeli vizsgatevékenység KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL A vizsgarészhez rendelt követelménymodul azonosító száma, megnevezése: 2144-06 Statisztikai szervezői és elemzési feladatok A vizsgarészhez rendelt vizsgafeladat megnevezése:

Részletesebben

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. május 19. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint,

Részletesebben

A 4.m osztálynak gyakorlásra a statisztika felmérőre

A 4.m osztálynak gyakorlásra a statisztika felmérőre A 4.m osztálynak gyakorlásra a statisztika felmérőre 4. 2005. május, 8. feladat a), b) és c) része Az alábbi táblázat egy ország munkaképes lakosságának foglalkoztatottság szerinti megoszlását mutatja.

Részletesebben

HÁZI DOLGOZAT. Érmefeldobások eredményei és statisztikája. ELTE-TTK Kémia BSc Tantárgy: Kémia felzárkóztató (A kémia alapjai)

HÁZI DOLGOZAT. Érmefeldobások eredményei és statisztikája. ELTE-TTK Kémia BSc Tantárgy: Kémia felzárkóztató (A kémia alapjai) ELTE-TTK Kémia BSc Tantárgy: Kémia felzárkóztató (A kémia alapjai) HÁZI DOLGOZAT Érmefeldobások eredményei és statisztikája Készítette: Babinszki Bence EHA-kód: BABSAET.ELTE E-mail cím: Törölve A jelentés

Részletesebben

GYERMEKEK FIZIKAI FEJLŐDÉSE. Százalékos adatok és görbék. Fiúk Lányok Fiúk Lányok 1 72 76 81 69 74 79 8,8 10,5 12,6 8,1 9,7 11,6

GYERMEKEK FIZIKAI FEJLŐDÉSE. Százalékos adatok és görbék. Fiúk Lányok Fiúk Lányok 1 72 76 81 69 74 79 8,8 10,5 12,6 8,1 9,7 11,6 MAGASSÁG (cm) SÚLY (kg) Fiúk Lányok Fiúk Lányok min átlag max min átlag max min átlag max min átlag max 0 46 50 54 46 49 54 2,5 3,5 4,3 2,5 3,4 4,2 0,5 64 68 73 62 66 70 6,7 8,2 9,9 6,1 7,5 9,0 1 72 76

Részletesebben