Az átlag és a szórás. 4. fejezet 1. BEVEZETÉS

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Az átlag és a szórás. 4. fejezet 1. BEVEZETÉS"

Átírás

1 4. fejezet Az átlag és a szórás Nehéz megérteni, hogy a statisztikusok miért korlátozzák vizsgálódásaikat rendszerint az átlagokra, és nem lelik örömüket egy átfogóbb szemléletben. Szellemük oly tompának tűnik a változatosság varázsával szemben, mint Angliánk egyik sík vidékének azon szülöttéé, aki Svájcra visszatekintve úgy nyilatkozott, hogy ha a hegyeket be lehetne lökni a tavakba, egy csapásra két kellemetlenség is megszűnne. SIR FRANCIS GALTON (ANGLIA, ) 1 1. BEVEZETÉS Hisztogram segítségével terjedelmes mennyiségű adatot összesíthetünk. Sokszor ennél drasztikusabb összefoglalást is alkalmazhatunk: csak a hisztogram középpontját, valamint a centrum körüli szóródást adjuk meg. (A középpont és a szóródás itt köznapi szavak, pontos matematikai jelentés nélkül.) Az 1. ábrán két hisztogram vázlata látható; bejelöltük a középpontot és a szóródást is. A középpont mindkettőnél ugyanaz, de a második szórtabb nagyobb terület esik a középponttól messzebbre. A statisztikusi munkához pontos definíciókat kell megadnunk, aminek többféleképpen is nekiláthatunk. A középpont megragadására gyakran használjuk az átlagot, de a mediánt is sokszor használjuk.2 Az átlag körüli szóródást méri a szórás nevű mennyiség; a szóródás egy másik mérőszáma az interkvartilis terjedelem. Az 1. ábrán látható hisztogramokat összegezhetjük a középpont és a szóródás megadásával, a dolog azonban nem működik mindig ilyen jól. A 2. ábra például a földfelszín tengerszinthez viszonyított magasságának megoszlását mutatja. A tengerszinthez viszonyított magasság szerepel a vízszintes tengelyen, mérföldben mérve a tengerszint alatt (-), illetve felett (+). A hisztogram alatti terület két magasságérték között megadja, hogy a föld felszínének hány százaléka esik ezen két magasságérték közé. Egyértelmű csúcsok láthatók ezen a hisztogramon. A földfelszín túlnyomó részét vagy tenger borítja, mintegy 3 mérfölddel a tengerszint alatt; vagy pedig kontinentális síkság teszi ki, nagyjából a tengerszint körül. Ha erről a hisztogramról csak a középértéket és a szóródást adnánk meg, nem vennénk észre a két kicsúcsosodást.3

2 78 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA 1. ÁBRA. Középérték és szóródás. A két hisztogram középpontja azonos, de a jobb oldali jobban szóródik. 2. ÁBRA. A föld felszínének megoszlása a tengerszinthez viszonyított magasság szerint a tengerszint fölött (+), illetve alatt (-). 2. AZ ÁTLAG Témánk most az átlag (számtani középnek is nevezik) áttekintése; de beszélni fogunk a keresztmetszeti és a longitudinális kérdőíves felvételek közötti különbségről is. Egy között folytatott, az egészségi állapottal és a táplálkozással foglalkozó amerikai kutatás, a HANES* adatait fogjuk felhasználni. Ennek keretében az 1-74 éves amerikaiak fős reprezentatív mintáját vizsgálta a szövetségi Közegészségügyi Hivatal. A cél az volt, hogy alapvető adatokat szerezzenek demográfiai változókról, amilyen az életkor, az iskolázottság, a jövedelem; fiziológiai változókról, mint a testmagasság, a testsúly, a vérnyomás, a koleszterinszint; az étkezési szokásokról; a vérben kimutatható ólom és rovarirtószer szintjéről; különféle betegségek előfordulásáról. A begyűjtött adatok elemzése a változók közötti összefüggésekre összpontosított, és jelentősen befolyásolta az egészségpolitikát is. Például a kutatott időszak végére a HANES adatai szerint 37%-kal csökkent az emberek vér-ólomszintje. A Közegészségügyi Hivatal ennek okát az ólmozatlan üzemanyagok elterjedésében határozta meg. Az ólomadalékokat ezután betiltották.4 Nekünk most csak az a célunk, hogy rövid pillantást vessünk a mintára, miközben átismételjük az átlag fogalmát. * Health and Nutrition Examination Survey

3 4. fejezet: Az átlag és a szórás 79 Egy számsor átlaga: a számok összege elosztva azzal, ahány számunk van. A 9, 1, 2, 2, 0 számokból álló listában például 5 szám szerepel, az első közülük a 9es, az átlaguk pedig = 14 = 2, Vajon hogyan néztek ki a mintában szereplő (18-74 éves) nők és férfiak? A férfiak átlagos testmagassága 5 láb 9 hüvelyk (175,25 cm) volt, átlagos testsúlyuk 171 font (kb.77,5 kg). A nők átlagos testmagassága 5 láb 3,5 hüvelyk (kb. 161 cm), átlagos testsúlyuk 146 font (közelítőleg 66 kg). Kissé dundik voltak. Vajon hogyan függ össze a magasság és a testsúly az életkorral? A 3. ábrán láthatjuk a Közegészségügyi Hivatal által vizsgált különböző korcsoportok magasságés testsúlyátlagát külön a férfiakra és külön a nőkre; az ábrán az átlagokat egyenes vonalakkal kötöttük össze. Hasznos eszköz az átlag az adatok összegzésére ebbe a négy görbébe is sok-sok hisztogramot sűrítettünk bele. Ám ezt a sűrítést csak úgy érthettük el, hogy figyelmen kívül hagytuk az egyéni eltéréseket. A éves férfiak magasságátlaga például 5 láb 10 hüvelyk (178 cm), 10%-uk viszont 6 láb 1 hüvelyknél (185 cm-nél) magasabb; 10%-uk pedig 5 láb 6 hüvelyknél (168 cm-nél) alacsonyabb. Ezt a sokféleséget az átlag elrejti. 3. ÁBRA. Az életkor-specifikus testmagasság- és testsúlyátlagok a HANES mintájában szereplő éves férfiakra és nőkre. A bal oldali ábra a testmagasságokat, a jobb oldali a testsúlyokat ábrázolja. (Az eredetileg hüvelykben és fontban mért adatokat itt centiméterben és kilogrammban adjuk meg. A szerk.) FORRÁS: Az adatokat mágnesszalagon az Inter-University Consortium for Political and Social Research bocsátotta rendelkezésünkre.

4 80 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA Egy pillanatra most visszatérünk a kutatási elrendezés kérdéséhez (2. fejezet). A 3. ábra szerint a férfiak átlagos testmagassága a 20 éves életkor után csökken, 50 év elteltével körülbelül 5 centiméterrel (2 hüvelykkel). Hasonlót láthatunk a nők esetében is. Azt jelenti ez vajon, hogy az átlagember ilyen mértékben összemegy? Nem igazán. A HANES keresztmetszeti, nem pedig longitudinális vizsgálat. Egy keresztmetszeti vizsgálatban különböző alanyokat hasonlítunk össze egyazon időpillanatban. Longitudinális vizsgálatnál az alanyokat követjük az időben, és saját korábbi adataikkal hasonlítjuk össze őket a különböző időpontokban. A 3. ábrán szereplő évesek egészen mások, mint a évesek. Az első csoport 1955 körül született, a második 1905 táján. Minden jel arra utal, hogy az idők során az emberek egyre magasabbra nőnek. Akcelerációs tendenciának nevezzük ezt, melynek hatása a 3. ábrán egybemosódik az öregedés hatásával. Az öt centiméter magasságcsökkenés nagy része az akcelerációnak tulajdonítható: a éves emberek mintegy 50 évvel korábban születtek a éveseknél, és ez az oka, hogy néhány centivel alacsonyabbak náluk.5 Ha egy vizsgálatban az életkor hatásáról vonnak le következtetéseket, figyeljünk oda arra, hogy keresztmetszeti vagy longitudinális adatokkal dolgoztak-e. A feladatsor 1. (a) Az alábbi vízszintes tengelyen bejelöltük a 3-as és az 5-ös számot. Mennyi a két szám átlaga? Jelölje meg egy nyíllal! (b) Ismételje meg ugyanezt a 3, 5, 5 számokra! (c) Bejelöltünk két pontot az alábbi tengelyen. Rajzoljon a két szám átlagához mutató nyilat! szám szerepel egy listán. A számok értéke 1, 2 vagy 3 lehet. Hogyan néz ki a lista, ha a számok átlaga 1? És ha 3? Lehet-e 4 az átlag? 3. A következő számsorok közül melyiknek nagyobb az átlaga? Vagy ugyanaz? Próbáljon meg számolás nélkül válaszolni! (i) 10, 7, 8, 3, 5, 9 (ii) 10, 7, 8, 3, 5, 9, 11

5 4. fejezet: Az átlag és a szórás Egy szobában tíz ember tartózkodik, testmagasságuk átlaga 168 cm. Belép egy 195 cm magas férfi. Mennyi lesz most a 11ember magasságátlaga? 5. A teremben tartózkodó huszonegy ember átlagos magassága 168 cm. Belép egy 195 cm magas férfi. Mennyi lesz most a 22 ember magasságátlaga? Vesse össze a megoldást a 4. feladatéval! 6. A teremben tartózkodó huszonegy ember átlagos magassága 168 cm. Belép még valaki. Milyen magasnak kell lennie ahhoz, hogy a magasságátlag 2 centiméterrel megnőjön? 7. Hol található a Sziklás hegység a 2. ábrán: a vízszintes tengely bal széle körül, középen vagy a jobb szél tájékán? Hová esik Florida? És vajon az olyan mélytengeri árkok, mint például a Mariana-árok? 8. Szívproblémákkal kapcsolatban a szisztolés vérnyomásnál jobb indikátornak tekintik a diasztolés vérnyomást. Az alábbi ábrán a HANES felmérésében részt vett 1874 éves férfiak életkor-specifikus diasztolés vérnyomásátlaga látható. Igaz-e, hogy az adatok szerint a férfiak diasztolés vérnyomása nagyjából 55 éves korukig emelkedik, azután pedig csökken? Ha nem igaz: hogyan magyarázhatjuk a görbe menetét? (A vérnyomást higanymilliméterben mérjük.) 9. A munkaügyi statisztikával foglalkozó hivatal (a Bureau of Labor Statistics) havonta kiszámítja az átlagos órabéreket a gazdálkodó szervezetek által bejelentett adatok alapján. Kiszámolják az összes (alkalmazottaknak) kifizetett bért, és elosztják a ledolgozott órák teljes számával. Recesszió idején az átlagórabér tipikusan emelkedik. Ha véget ér a recesszió, az órabérek átlaga többnyire csökkenni kezd. Hogyan lehetséges ez?

6 82 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA 3. AZ ÁTLAG ÉS A HISZTOGRAM Ebben a szakaszban megmutatjuk, hogyan viszonyul az átlag és a medián a hisztogramhoz. Kezdjük egy példával! A 4. ábrán a HANES mintájában szereplő 6588 fő éves nő testsúlyának hisztogramját láthatjuk. Függőleges vonal jelöli az átlagot, ami 146 font (= 66,2 kg). Természetesnek tűnik az a tipp, hogy a nők felének súlya ez alatt volt, a felének meg fölötte. Ez azonban nem egészen stimmel. Valójában csak 41% volt súlyosabb az átlagnál, 59% súlya viszont átlagon aluli volt. Az arányok más esetben még ennél is jobban eltérhetnek az 50%-tól. 4. ÁBRA. A HANES mintájában szereplő éves nő testsúlyának hisztogramja. A testsúlyátlagot szaggatott vonal jelöli. Csak 41% testsúlya nagyobb az átlagosnál. (Az adatokat átírtuk font helyett kilogrammra. A szerk.) FORRÁS: L. a 3. ábránál Hogyan lehetséges ez? Az egyszerűség kedvéért kezdjük egy hipotetikus példával: legyen a számsorunk 1, 2, 2, 3. Ennek a sorozatnak a hisztogramja ( lásd az 5. ábrát) szimmetrikus a 2-es értékre. És az átlag is 2. Ha egy hisztogram valamely értékre szimmetrikus, akkor ez az érték az átlag; valamint a hisztogram alatti terület fele ettől az értéktől balra, fele jobbra helyezkedik el. (Hogy mit jelent az, hogy szimmetrikus? Képzeljük el, hogy függőleges vonalat rajzolunk a hisztogram középpontján keresztül, és ennek mentén félbehajtjuk az ábrát: a két félnek illeszkednie kell egymásra.) 5. ÁBRA. Az 1, 2, 2, 3 számsor hisztogramja. A hisztogram szimmetrikus a 2-es értékre nézve; a teljes terület 50%-a 2-től balra, 50%-a jobbra helyezkedik el.

7 4. fejezet: Az átlag és a szórás 83 Mi történik, ha az 1, 2, 2, 3 számokból álló listán a 3-as értéket nagyobbra, mondjuk 5-re vagy 7-re cseréljük? Mint a 6. ábrán látható, az ehhez az értékhez tartozó téglalap jobbra helyeződik, tönkretéve a szimmetriát. Nyíllal megjelöltük az átlagot az egyes hisztogramoknál; ez a nyíl is tolódik jobbra, követve a téglalapot. Hogy jobban átlássuk ezt, képzeljük el, hogy a hisztogram fa építőkockákból áll, melyeket súlytalan, merev deszkára erősítettek. Helyezzük a hisztogramot egy merev pálcára a 6. ábra alsó részén látható módon. Hisztogramunk az átlagnál lesz egyensúlyban.6 Az átlagtól jó messze eső kis téglalap kiegyensúlyozhat egy, az átlaghoz közel fekvő nagy területet, mivel a területek az alátámasztási ponttól mért távolsággal súlyozandók. 6. ÁBRA. Az átlag. Az ábra felső részében három hisztogram látható, az átlagokat nyilak jelölik. Ahogy a besatírozott téglalap tolódik jobbra, az átlagot is húzza maga után. Az átlagtól balra eső terület aránya felmegy 75%-ra. Az ábra alsó részében ugyanezen hisztogramokat merev súlytalan deszkára erősített fatömbökként ábrázoltuk. A hisztogramok az átlagnál alátámasztva lesznek egyensúlyban.

8 84 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA A hisztogram akkor lesz egyensúlyban, ha az átlagnál támasztjuk alá. A mérleghintán egy kicsi gyerek a középponttól távolabb ül, hogy egyensúlyt tartson a középponthoz közelebb ülő nagyobb gyerekkel. A hisztogram oszlopai is ugyanígy működnek. Ezért van, hogy az átlag egyik oldalára eső esetek aránya eltérhet az 50%-tól. Egy hisztogram mediánja az az érték, amelytől balra és jobbra is a terület fele található. A 6. ábrán szereplő mindhárom hisztogramnál 2 a medián. A második és a harmadik hisztogram esetében sokkal messzebb van a mediántól jobbra eső terület, mint az attól balra fekvő. Ebből következik, hogy ha a mediánnál próbálnánk meg alátámasztani a hisztogramot, akkor ledőlne jobbra. Általánosabban: az átlag mindig jobbra van a mediánhoz képest, ha a hisztogram jobbra elnyújtott, amint az a 7. ábrán látható. A testsúlyok hisztogramja (lásd a korábbi 4. ábrát) hosszan elnyúlik jobbra; ezért a 66,2 kg-s (146 fontos) átlag nagyobb a mediánnál, ami 62,5 kg (139 font). 7. ÁBRA. A hisztogram ferdesége

9 4. fejezet: Az átlag és a szórás 85 Vegyünk egy másik példát! 1992-ben a családi jövedelem mediánja dollár körül volt az USA-ban. A jövedelemhisztogram jobbra erősen elnyújtott, így ennél magasabb volt az átlag: dollár.7 Valamelyik irányban erősen elnyújtott megoszlás esetén érdemes lehet a mediánt használni az átlag helyett, amennyiben az átlagot túlságosan befolyásolják a távoli értékek. B feladatsor 1. Három számsor hisztogramját vázoltuk fel. Töltse ki az üresen hagyott helyet mindhárom esetben: Az átlag körül van. Válaszlehetőségek: 25, 40, 50, 60, Egybeesik-e a medián az átlaggal az előző feladatban szereplő hisztogramoknál? Vagy balra esik tőle? Netán jobbra? 3. Lapozzon vissza a cigarettafogyasztás hisztogramjához a 3. fejezetbeli C-4 feladathoz. A medián körül van. Töltse ki az üresen hagyott helyet az alábbi válaszlehetőségek valamelyikével: A cigarettafogyasztás hisztogramjánál 15, 20 vagy 25 körül van-e az átlag? 5. Az egyetemekre beiratkozott hallgatók körében melyik nagyobb vajon: az átlagos életkor vagy az életkorok mediánja*? 6. A következő listákon szereplő számok összességükben vajon 1, 5 vagy 10 körül szóródnak? Számolásra nincs szükség. (a) 1,3; 0,9; 1,2; 0,8 (b) 13; 9; 12; 8 (c) 7; 3; 6; 4 (d) 7; -3; -6; 4 * Ez utóbbit közepes életkornak is szokás nevezni, de mi most inkább kerüljük ezt a sokszor egyébként könnyedebb szóhasználatot. A ford.

10 86 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA Kiegészítő megjegyzés: Egy lista mediánját úgy definiáljuk, hogy a számok legalább fele (a fele vagy több) a mediánnál nagyobb vagy azzal egyenlő, és legalább a fele a mediánnál kisebb vagy azzal egyenlő. Négy számsoron mutatjuk be ezt: (a) 1, 5, 7 (b) 1, 2, 5, 7 (c) 1, 2, 2, 7, 8 (d) 8, -3, 5, 0, 1, 4, -1 Az (a) esetben 5 a medián: a három szám közül kettő nagyobb vagy egyenlő 5-tel, kettő pedig kisebb vagy egyenlő 5-tel. A (b) esetben bármely 2 és 5 közötti szám medián; ha egyetlen számot kell megneveznie, a statisztikusok zöme a 3,5-et (a 2 és 5 között félúton lévő számot) választja a mediánnak. A (c) lista esetében a medián 2: az öt közül négy szám 2-nél nagyobb vagy azzal egyenlő, három pedig 2-nél kisebb vagy egyenlő. A (d) lista mediánjának meghatározásához rendezzük nagyság szerinti sorba a számokat: -3, -1, 0, 1, 4, 5, 8 Hét számunk van: négy nagyobb vagy egyenlő 1-gyel, négy kisebb vagy egyenlő 1gyel. A medián tehát A NÉGYZETES KÖZÉPÉRTÉK Fejezetünk következő fontos témája az ún. szórás, melyet a szóródás mérésére használunk. Ebben a szakaszban némi matematikai bevezetőt nyújtunk ehhez a 0, 5, -8, 7, -3 számokból álló lista segítségével. Mekkora ez az öt szám? Az átlaguk 0,2, de ez még elég gyengén jelzi a nagyságukat. Annyit jelent csak, hogy a pozitív számok nagyrészt kioltják a negatívakat. A legegyszerűbben úgy járhatnánk el ezzel a problémával, ha elhagynánk az előjeleket, és úgy vennénk az átlagot. A statisztikusok azonban valami mást tesznek: a lista négyzetes középértékét (rövidebben: négyzetes közepét) használják. Némi fantáziával már az elnevezésből is kitalálható, hogyan kell ezt kiszámolni: A számokat NÉGYZETRE emeljük, megszabadulva így az előjelektől. Kiszámoljuk a négyzetek ÁTLAGÁT. Az átlag NÉGYZETGYÖKÉT vesszük. Képletszerűen is kifejezhetjük ezt: egy lista négyzetes közepe = a számok négyzeteinek átlaga

11 4. fejezet: Az átlag és a szórás 87 1.példa. Határozzuk meg a 0, 5, -8, 7, -3 számokból álló lista átlagát, a számok abszolút értékeinek átlagát (az előjelek figyelmen kívül hagyásával számított átlagot) és a lista négyzetes középértékét. Megoldás: Átlag = = 0,2 5 Abszolút értékek átlaga = Négyzetes középérték = = 4, (- 8) ( 3)2 = 29,4 5,4 5 A négyzetes közép valamivel nagyobb az előjelek figyelmen kívül hagyásával képzett átlagnál. Ez mindig így alakul kivéve azt a triviális esetet, amikor minden szám ugyanakkora abszolút értékű. A négyzetre emelés és a négyzetgyökvonás nem semlegesítik egymást, hiszen a kettő között elvégezzük az átlagolás műveletét. Hogy 5,4 és 4,6 közül melyiket válasszuk a példában szereplő számok nagyságának átfogó jellemzésére, arra nincsenek nyilvánvaló érvek. A statisztikusok azért használják a négyzetes közepet, mert jobban illeszkedik az általuk végzendő számításokhoz.8 Akár elégedett az Olvasó ezzel a magyarázattal, akár nem ne aggódjon! Elsőre mindenki utálja a négyzetes közepet, azután nagyon gyorsan megszokja. C feladatsor 1. (a) Mennyi az átlaga és a négyzetes közepe a következő számoknak? 1, -3, 5, -6, 3. (b) És a most következőknek? -11, 8, -9, -3, , 10 vagy 20 körül van inkább a következő számsorok négyzetes középértéke? Számolásra nincs szükség. (a) 1, 5, -7, 8, -10, 9, -6, 5, 12, -17 (b) 22, -18, -33, 7, 31, -12, 1, 24, -6, -16 (c) 1, 2, 0, 0, -1, 0, 0, -3, 0, 1 3. (a) Mennyi a négyzetes középértéke a következő számsornak: 7, 7, 7, 7? (b) És ennek: 7, -7, 7, -7? , 96, 101, 104. Mind a négy szám értéke 100 körül van, de valamivel eltérnek attól. Mennyi az eltérések négyzetes közepe?

12 88 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA 5. Mennyi a következő számsor átlaga: 103, 96, 101, 104? Mindegyik szám valamelyest eltér az átlagtól. Mennyi az eltérések négyzetes közepe? 6. Egy számítógépes programnak az a feladata, hogy megjósolja a teszteredményeket, összehasonlítsa ezeket a tényleges pontszámokkal, és kiszámolja a kettő közötti eltérések (a becslési hibák) négyzetes középértékét. A kinyomtatott listára pillantva azt látjuk, hogy a becslési hibák négyzetes közepe 3,6, az első tíz vizsgázó pedig a következő pontszámokat érte el: Becsült pontszám: Elért pontszám: Hihetőnek tűnik az eredmény, vagy valami hiba lehet a programmal? 5. A SZÓRÁS Sokszor érdemes úgy gondolkodnunk, hogy egy listában szereplő számok az átlaguk körül szóródnak amint azt a fejezet elején szereplő idézet is sugallja. Ezt a szóródást többnyire a szórásnak nevezett mennyiséggel mérjük. A szórás az átlagtól való eltérések nagyságát méri: egyfajta átlagos eltérés az átlagtól. A következőkben először valós adatok esetében fogjuk értelmezni a szórást, azután majd megnézzük a kiszámítás módját is. A HANES mintájában 6588 fő éves nő szerepel (lásd a 2. szakaszt). Átlagos testmagasságuk 161cm (63,5 hüvelyk), a szórás pedig 6,3 cm (2,5 hüvelyk). Az átlagból megtudjuk, hogy a nők többségének magassága valahol 161 cm körül volt. De akadtak eltérések az átlagtól. Voltak az átlagosnál magasabb, és az átlagosnál alacsonyabb hölgyek is. Mekkorák voltak ezek az eltérések? Na, itt jön be a szórás. A szórás megmutatja, milyen messze esnek egy lista számai az átlaguktól. A számok többsége nagyjából egy szórásnyi távolságon belül van az átlagtól. Csak nagyon kevés esik két vagy három szórásnyi távolságnál messzebb. Abból, hogy a szórás 6,3 cm, megtudjuk, hogy a HANES vizsgálatában résztvevő nők közül sokan 2-8 cm-rel tértek el az átlagtól: 2 cm fél szórásnál kevesebb, a 8 cm egy és két szórás között van. Kevesen tértek el 13 cm-nél (két szórásnál) jobban az átlagtól. Létezik egy gyakorlatban alkalmazott szabály, amely számszerűsíti ezt a gondolatot, és sok adatsorra érvényes: Egy lista számainak durván 68%-a (háromból kettő) az átlagtól egy szórásnyin belül esik, a többi 32% ennél távolabb. Durván 95% (20-ból 19) az átlagtól két szórásnyin belül esik, a maradék 5% van ennél távolabb. Sok adatsorra igaz ez, de nem mindegyikre.

13 4. fejezet: Az átlag és a szórás 89 A 8. ábrán láthatjuk a HANES-ben résztvevő éves nők magassághisztogramját. Függőleges vonal jelzi az átlagot, és besatíroztuk az átlagtól egy szórásnyin belül eső területet. Ez a satírozott terület jelenti azokat a nőket, akik legfeljebb egy szórásnyival tértek el az átlagtól. A terület 67% körül van. A nők körülbelül 67%-a legfeljebb egy szórásnyival tért el az átlagtól. 8. ÁBRA. A szórás és a hisztogram: a HANES vizsgálatában résztvevő 6588 fő éves nő testmagassága. Szaggatott függőleges vonal jelzi az átlagot (161 cm). Az egy szórásnyin belüli területet besatíroztuk: a nők 67%-a tért el legfeljebb egy szórásnyival (legfeljebb 6,3 cm-rel) az átlagtól. (A hisztogram adatait hüvelyk helyett centiméterben adjuk meg. A szerk.) A 9. ábrán ugyanezt a hisztogramot láthatjuk. Most a két szórásnyin belüli területet satíroztuk be. Ez a besatírozott rész azokat a nőket jelenti, akik legfeljebb két szórásnyival tértek el az átlagtól. A terület nagyjából 94%. A nők körülbelül 94%-a tért el legfeljebb két szórásnyival az átlagos testmagasságtól. (A hisztogram adatait hüvelyk helyett centiméterben adjuk meg. A szerk.)

14 90 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA 9. ÁBRA. A szórás és a hisztogram: a HANES vizsgálatában részt vevő 6588 fő éves nő testmagassága. Szaggatott függőleges vonal jelzi az átlagot (161 cm). A két szórásnyin belüli területet besatíroztuk: a nők 94%-a tért el legfeljebb két szórásnyival (legfeljebb 13 cm-rel) az átlagtól. Röviden összegezve: a nők körülbelül 67%-a legfeljebb egy szórásnyival, 94%-a legfeljebb két szórásnyival különbözött az átlagtól. Mindössze egyetlen nő akadt a mintában, aki négy szórásnyinál többel tért el az átlagtól. Erre az adatsorra egész jól működik a 68%-95%-os szabály. De vajon honnan jön ez a 68 és 95%? A kérdésre a következő fejezetben válaszolunk.9 A HANES felmérésben résztvevő nők kétharmada legfeljebb egy szórásnyival tért el az átlagtól

15 4. fejezet: Az átlag és a szórás 91 D feladatsor 1. A Közegészségügyi Hivatal számításai szerint a HANES felmérésében részt vevő 11 éves fiúk átlagos magassága 146 cm volt, a szórás pedig 8 cm. Töltse ki az üresen hagyott helyeket! (a) Az egyik fiú 170 cm volt. Ő az átlagnál szórásnyival volt magasabb. (b) Egy másik fiú 148 cm magas volt. Ő az átlagnál szórásnyival volt magasabb. (c) Egy harmadik fiú 1,5 szórásnyival alacsonyabb volt az átlagnál. Ő cm magas volt. (d) Ha egy fiú magassága az átlagtól vett 2,25 szórásnyin belül volt, akkor legalább cm és legfeljebb cm magas volt. 2. Az 1. feladat folytatása. (a) Íme négy fiú testmagassága: 150 cm, 130 cm, 165 cm, 140 cm. Melyik leírás illik rájuk az alábbiak közül? (Van olyan leírás, amely kettőre is illik.) szokatlanul alacsony nagyjából átlagos szokatlanul magas (b) A vizsgálatban szereplő 11 éves fiúknak körülbelül hány százaléka volt cm között? Hány százalék volt cm között? 3. A következő listák mindegyikének 50 az átlaga. Melyiknél a legnagyobb a szóródás az átlag körül? Melyiknél a legkisebb? (i) 0, 20, 40, 50, 60, 80, 100 (ii) 0, 48, 49, 50, 51, 52, 100 (iii) 0, 1, 2, 50, 98, 99, A következő listák mindegyikének 50 az átlaga. Tippelje meg mindegyiknél, hogy 1, 2 vagy 10 körül van-e inkább a szórás! (Számolásra nincs szükség.) (a) 49, 51, 49, 51, 49, 51, 49, 51, 49, 51 (b) 48, 52, 48, 52, 48, 52, 48, 52, 48, 52 (c) 48, 51, 49, 52, 47, 52, 46, 51, 53, 51 (d) 54, 49, 46, 49, 51, 53, 50, 50, 49, 49 (e) 60, 36, 31, 50, 48, 50, 54, 56, 62, A HANES mintájába bekerült emberek életkorának szórása körül volt. Töltse ki az üresen hagyott helyet az alábbi válaszlehetőségek valamelyikével. Adjon rövid magyarázatot is! (A felvételről részletesebben szóltunk a 2. szakaszban; az életkorok 1-74 év között voltak.) 5 év 20 év 50 év 6. Felvázoltuk három adatsor hisztogramját. Melyik leírás tartozik az egyes ábrákhoz? (Nem lehet mindegyiket felhasználni.) Adjon magyarázatot is mindegyik esetben!

16 92 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA (i) átlag 3,5; szórás 1 (ii) átlag 3,5; szórás 0,5 (iii) átlag 3,5; szórás 2 (iv) átlag 2,5; szórás 1 (v) átlag 2,5; szórás 0,5 (vi) átlag 4,5; szórás 0,5 7. (Kitalált példa). Klinikai vizsgálatoknál az adatgyűjtés általában azzal kezdődik, hogy véletlenszerűen kísérleti, és kontrollcsoportba sorolják a részt vevőket. Az adatgyűjtés az utókövetés befejezéséig folyik. Két, a szívinfarktus megelőzésével foglalkozó klinikai kísérlet vezetői beszámolnak a kiinduló testsúlyadatokról, az alábbiak szerint. Az egyik kísérletnél rosszul sikerült a véletlenszerű besorolás. Melyiknél? Miért? (i) Kísérleti Kontroll Személyek száma Átlagos testsúly 83 kg 64 kg Szórás 11 kg 11,5 kg (ii) Kísérleti Kontroll kg 73 kg 12 kg 11 kg 8. Egy kutató 100 fős mintát vesz egy bizonyos város éves férfi lakosai közül. Egy másik kutató 1000 fős mintát vesz ugyanezen sokaságból. (a) Melyik kutató mintájában lesz nagyobb a férfiak magasságátlaga? Vagy nagyjából ugyanakkora lesz? (b) Melyik kutató mintájában lesz nagyobb a testmagasságok szórása? Vagy nagyjából ugyanakkora lesz? (c) Melyik kutató mintájában fog szerepelni valószínűleg a legmagasabb férfi? Vagy mindkét kutatónak egyforma az esélye erre? (d) Melyik kutató mintájában fog szerepelni valószínűleg a legalacsonyabb férfi? Vagy mindkét kutatónak egyforma az esélye? 9. A HANES mintájában a férfiak magasságátlaga 175 cm volt, a szórás pedig 7,6 cm. Mondjuk holnap véletlenszerűen kiválasztunk egy férfit a mintából. Önnek meg kell tippelnie a magasságát. Hogyan tippelne? Nagyjából háromból egy az esélye annak, hogy centiméternél többet téved. Töltse ki az üresen hagyott helyet! Válaszlehetőségek: 1 cm, 8 cm, 13 cm. 10. A 9. feladathoz képest most annyi a különbség, hogy egy egész sor férfit választunk ki véletlenszerűen. Ahogy egy férfi megjelenik, összevetjük tényleges testma-

17 4. fejezet: Az átlag és a szórás 93 gasságát a tippel, és megnézzük, mekkora az eltérés. Az eltérések négyzetes középértéke lesz. Töltse ki az üresen hagyott helyet! (Javaslatunk: Vessen egy pillantást a 6. szakasz bekeretezett mondatára!) 6. A SZÓRÁS KISZÁMÍTÁSA Egy számsor szórásának kiszámításához nézzük egyenként a számokat. Valamilyen mértékben mindegyik eltér az átlagtól, esetleg 0-val: átlagtól való eltérés = szám átlag A szórás ezeknek az eltéréseknek a négyzetes középértéke. szórás = az átlagtól való eltérések négyzetes középértéke 2. példa. Mennyi a következő számsor szórása: 20, 10, 15, 15? Megoldás: Az első lépés az átlag kiszámítása: átlag = = A második lépés az átlagtól való eltérések kiszámítása: egyszerűen kivonjuk az átlagot a számokból. Az eltérések: Az utolsó lépés az eltérések négyzetes középértékének kiszámolása: szórás = = = 52 + (-5) = 4 12,5 3,5 Ezzel kész is a számítás. A szórásnak ugyanaz lesz a mértékegysége, mint amiben az adataink vannak. A testmagasságot mondjuk centiméterben mértük. A köztes lépésben, amikor négyzetre emelünk, a mértékegység négyzetcentiméterre változik, de a gyökvonással az eredmény újra visszakerül az eredeti mértékegységbe.10 Ne keverjük össze egy számsor szórását a számok négyzetes középértékével! A szórás az átlagtól vett eltérések négyzetes közepe, nem pedig az eredeti számoké!

18 94 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA E feladatsor 1. Tippelje meg, melyik számsor szórása nagyobb! Ellenőrzésképpen számolja is ki a szórásokat! (i) 9, 9, 10, 10, 10, 12 (ii) 7, 8, 10, 11, 11, Következőképpen mondja el valaki, hogyan kell kiszámítani az 1, 2, 3, 4, 5 számsor szórását: Az átlag 3, az átlagtól való eltérések tehát: Hagyjuk el az előjeleket. Az átlagos eltérés = 1,2 5 Ez a szórás. Igaza van-e? Magyarázza is meg a válaszát! 3. Következőképpen mondja el valaki, hogyan kell kiszámítani az 1, 2, 3, 4, 5 számsor szórását: Az átlag 3, az átlagtól való eltérések tehát: A 0 nem számít, tehát az eltérések négyzetes középértéke = 1,6 4 Ez a szórás. Igaza van-e? Magyarázza is meg a válaszát! 4. Három oktató összehasonlítja a vizsgájukon elért pontszámokat; mindegyiküknek 99 hallgatója volt. Az A csoport hallgatói közül egy diáknak 1 pontja volt, egy másik 99 pontot kapott, a többiek 50 pontot. A B csoportban 49 hallgató kapott 1 pontot, egy fő 50 pontot, 49 pedig 99 pontot. A C csoportban egy diák kapott 1 pontot, egy másik 2 pontot, egy harmadik 3 pontot, és így tovább, egészen 99 pontig. (a) Melyik csoportban a legmagasabb az átlag? Vagy egyformák az átlagok? (b) Melyik csoportban a legnagyobb a szórás? Vagy ugyanakkorák? (c) Melyik csoportban a legnagyobb a pontszámok terjedelme? Vagy ugyanakkorák?

19 4. fejezet: Az átlag és a szórás (a) Az alábbi számsorok mindegyikére számítsa ki az átlagot, az átlagtól való eltéréseket és a szórást! (i) 1, 3, 4, 5, 7 (ii) 6, 8, 9, 10, Hajtsa végre az 5. feladat utasításait a következő számsorokra is: 1, 3, 4, 5, 7 3, 9, 12, 15, Hajtsa végre az 5. feladat utasításait a következő számsorokra is: 5, -4, 3, -1, 7 5, 4, -3, 1, (a) Kalifornia állam kormányzója azt javasolja, hogy minden állami alkalmazott kapjon egységesen havi 70 dollár fizetésemelést. Hogyan befolyásolná ez az állami alkalmazottak átlagjövedelmét? És a szórást? (b) Hogyan befolyásolná az átlagjövedelmet és a szórást, ha 5%-os fizetésemelést kapna mindenki? 9. Mekkora a következő számsor négyzetes középértéke: 17, 17, 17, 17, 17? Mennyi a szórása? 10. A 107, 98, 93, 101, 104 számsor esetében melyik a nagyobb: a négyzetes középérték vagy a szórás? Számolásra nincs szükség. 11. Lehet-e negatív szám a szórás? 12. Vegyünk egy pozitív számokból álló számsort! Nagyobb lehet-e a szórás az átlagnál? Kiegészítő megjegyzés: A szórás kiszámításának van egy másik módja is, mely bizonyos esetekben kényelmesebb lehet:11 szórás = a számok négyzetének átlaga a számok átlagának négyzete 7. A SZÁMÍTÁS STATISZTIKAI FUNKCIÓKKAL ELLÁTOTT SZÁMOLÓGÉPPEL A statisztikai funkciókkal ellátott számológépek többsége nem a szórást számítja ki, hanem egy másik, picivel nagyobb mennyiséget: a korrigált szórást. (A szórás és a korrigált szórás közti különbséget gondosan elmagyarázzuk majd a 26. fejezet 6. szakaszában.) Ha ki akarjuk deríteni, hogy saját kalkulátorunk melyiket számolja, üssük be a 1, 1 számokat; ha a gép 1-et ad eredményül, akkor szórással dolgozik; ha 1,41...-et ír ki, akkor korrigált szórással. Ha a korrigált szórást kapjuk meg, de mi

20 96 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA a szórást szeretnénk, akkor szoroznunk kell még egy tényezővel. Ennek nagysága attól függ, hány szám szerepel a listán. Tíz szám esetében 9/10 a faktor. Húsz szám esetén 19/20. Általánosságban: szórás = a listán szereplő számok száma 1 (korrigált szórás) a listán szereplő számok száma 8. ISMÉTLŐ FELADATSOR Az ismétlő feladatok a korábbi fejezetek anyagait is felhasználhatják. 1. (a) Mennyi az átlaga és a szórása a következő számsornak: 41, 48, 50, 50, 54, 57? (b) Mely számok esnek közülük az átlagtól 0,5 szórásnyin belül? Melyek 1,5 szóráson belül? 2. (a) A következő számsorok átlaga 50. Melyiknek kisebb a szórása? Miért? Számolásra nincs szükség. (i) 50, 40, 60, 30, 70, 25, 75 (ii) 50, 40, 60, 30, 70, 25, 75, 50, 50, 50 (b) Ugyanezek a kérdések a következő két listával kapcsolatban is: (i) 50, 40, 60, 30, 70, 25, 75 (ii) 50, 40, 60, 30, 70, 25, 75, 99, 1 3. Íme egy lista: 0,7 1,6 9,8 3,2 5,4 0,8 7,7 6,3 2,2 4,1 8,1 6,5 3,7 0,6 6,9 9,9 8,8 3,1 5,7 9,1 (a) Tippelje meg mindenfajta számolás nélkül, hogy az átlag inkább 1, 5 vagy 10 körül van-e! (b) Tippelje meg mindenfajta számolás nélkül, hogy a szórás inkább 1, 3 vagy 6 körül van-e! 4. A 25 éven felüli amerikai népesség jövedelmét tekintve vajon az átlag vagy a medián a nagyobb? És a befejezett iskolai osztályok számát nézve? 5. A HANES felmérésben részt vevő éves férfiak szisztolés vérnyomásának átlaga 124 hgmm, a szórás 14 hgmm volt.12 Az alábbi vérnyomásértékek szokatlanul magasnak, szokatlanul alacsonynak vagy nagyjából átlagosnak számítanak-e: 80 hgmm 115 hgmm 135 hgmm 210 hgmm

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Magyarország 1,2360 1,4622 1,6713 1,8384 2,0186 2,2043

Magyarország 1,2360 1,4622 1,6713 1,8384 2,0186 2,2043 370 Statisztika, valószínûség-számítás 1480. a) Nagy országok: Finnország, Olaszország, Nagy-Britannia, Franciaország, Spanyolország, Svédország, Lengyelország, Görögország, Kis országok: Ciprus, Málta,

Részletesebben

Andó Mátyás Felületi érdesség matyi.misi.eu. Felületi érdesség. 1. ábra. Felületi érdességi jelek

Andó Mátyás Felületi érdesség matyi.misi.eu. Felületi érdesség. 1. ábra. Felületi érdességi jelek 1. Felületi érdesség használata Felületi érdesség A műszaki rajzokon a geometria méretek tűrése mellett a felületeket is jellemzik. A felületek jellemzésére leginkább a felületi érdességet használják.

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

MINTAFELADATOK. 1. Az alábbi diagram egy kiskereskedelmi lánc boltjainak forgalomkoncentrációját szemlélteti:

MINTAFELADATOK. 1. Az alábbi diagram egy kiskereskedelmi lánc boltjainak forgalomkoncentrációját szemlélteti: 1. Az alábbi diagram egy kiskereskedelmi lánc boltjainak forgalomkoncentrációját szemlélteti: 100% 90% 80% 70% 60% 50% 2010 2011 40% 30% 20% 10% 0% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% a) Nevezze

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Vérnyomásmérés, elektrokardiográfia. A testhelyzet, a légzés, a munkavégzés hatása a keringési rendszerre. A mérési adatok elemzése és értékelése

Vérnyomásmérés, elektrokardiográfia. A testhelyzet, a légzés, a munkavégzés hatása a keringési rendszerre. A mérési adatok elemzése és értékelése Vérnyomásmérés, elektrokardiográfia A testhelyzet, a légzés, a munkavégzés hatása a keringési rendszerre. A mérési adatok elemzése és értékelése Pszichológia BA gyakorlat A mérést és kiértékelést végezték:............

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

Feladatmegoldások. I. rész. Kísérletek megtervezése 2. FEJEZET. MEGFIGYELÉSES VIZSGÁLATOK. A feladatsor

Feladatmegoldások. I. rész. Kísérletek megtervezése 2. FEJEZET. MEGFIGYELÉSES VIZSGÁLATOK. A feladatsor Feladatmegoldások I. rész. Kísérletek megtervezése 2. FEJEZET. MEGFIGYELÉSES VIZSGÁLATOK A feladatsor 1. Téves. A lakosság is nőtt. A halálesetek számát az összlakossághoz kell viszonyítani. 1990-ben az

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR : MATEMATIKA, EMELT SZINT

PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR : MATEMATIKA, EMELT SZINT 1. FELADATSOR Felhasználható idő: 40 perc I. rész 1.1.) Oldja meg grafikusan az alábbi egyenlőtlenséget! x + 1 + 1 x + x + 11 1..) Mekkora legyen az x valós szám értéke, hogy az alábbi három mennyiség

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. november 5. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint, jól követhetően

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

Statisztikai alapfogalmak

Statisztikai alapfogalmak i alapfogalmak statisztikai sokaság: a megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége 2 csoportja van: álló sokaság: mindig vmiféle állapotot, állományt fejez ki, adatai egy adott időpontban értelmezhetők

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok gyakorlat Pót zárthelyi dolgozat megoldás

Statisztikai programcsomagok gyakorlat Pót zárthelyi dolgozat megoldás Statisztikai programcsomagok gyakorlat Pót zárthelyi dolgozat megoldás A feladatok megoldásához használandó adatállományok: potzh és potolando (weboldalon találhatók) Az állományok kiterjesztése sas7bdat,

Részletesebben

EGYENÁRAMÚ TÁPEGYSÉGEK

EGYENÁRAMÚ TÁPEGYSÉGEK dátum:... a mérést végezte:... EGYENÁRAMÚ TÁPEGYSÉGEK m é r é s i j e g y z k ö n y v 1/A. Mérje meg az adott hálózati szabályozható (toroid) transzformátor szekunder tekercsének minimálisan és maximálisan

Részletesebben

Fényerősség. EV3 programleírás. Használt rövidítések. A program működésének összegzése

Fényerősség. EV3 programleírás. Használt rövidítések. A program működésének összegzése EV3 programleírás A 11- es program egy 60W- os hagyományos izzó fényerősségét méri (más típusú izzókkal is használható) tíz pontnál, 5 cm- es intervallumokra felosztva. Használt rövidítések ol Külső ciklus

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

Matematika feladatbank I. Statisztika. és feladatgyűjtemény középiskolásoknak

Matematika feladatbank I. Statisztika. és feladatgyűjtemény középiskolásoknak Matematika feladatbank I. Statisztika Elméleti összefoglaló és feladatgyűjtemény középiskolásoknak ÍRTA ÉS ÖSSZEÁLLÍTOTTA: Dugasz János 2011 Fapadoskonyv.hu Kft. Dugasz János Tartalom Bevezető 7 Adatok

Részletesebben

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság Microsoft Excel 2010 Gyakoriság Osztályközös gyakorisági tábla Nagy számú mérési adatokat csoportokba (osztályokba) rendezése -> könnyebb áttekintés Osztályokban szereplő adatok száma: osztályokhoz tartozó

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció

Részletesebben

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z

Részletesebben

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a

Részletesebben

térképet, és válaszolj a kérdésekre római számokkal!

térképet, és válaszolj a kérdésekre római számokkal! A római számok 1. Budapesten a kerületeket római számokkal jelölik. Vizsgáld meg a térképet, és válaszolj a kérdésekre római számokkal! Hányadik kerületben található a Parlament épülete? Melyik kerületbe

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött

Részletesebben

Diagramok elemzése. egy kozmetikai termékcsalád hatóanyagösszetételét

Diagramok elemzése. egy kozmetikai termékcsalád hatóanyagösszetételét Diagramok elemzése 1. Egy cég közös grafikonban ábrázolja a teljesítményét és az alkalmazottak létszámát. Le tudná-e olvasni, mekkora volt a cég teljesítménye és a dolgozók létszáma 2000-ben, ha csak az

Részletesebben

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT II. 135 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT II. 135 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT II. 135 perc A feladatok megoldására 135 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II/B

Részletesebben

Statisztikai alapfogalmak

Statisztikai alapfogalmak Statisztika I. KÉPLETEK 2011-2012-es tanév I. félév Statisztikai alapfogalmak Adatok pontossága Mért adat Abszolút hibakorlát Relatív hibakorlát Statisztikai elemzések viszonyszámokkal : a legutolsó kiírt

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető!

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető! BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály Budapest, 2012.. Név:... Neptun kód:... Érdemjegy:..... STATISZTIKA II. VIZSGADOLGOZAT Feladatok 1. 2. 3. 4. 5. 6. Összesen Szerezhető pontszám 21 20 7 22

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

Vargha András Károli Gáspár Református Egyetem Budapest

Vargha András Károli Gáspár Református Egyetem Budapest Vargha András Károli Gáspár Református Egyetem Budapest Kötelező irodalom a kurzushoz Vargha András: Matematikai statisztika pszichológiai, nyelvészeti és biológiai alkalmazásokkal (2. kiadás). Pólya Kiadó,

Részletesebben

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Adott A( 1; 3 ) és B( ; ) 7 9 pont. Határozza meg

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 063 MATEMATIKA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Érettségi feladatok: Sorozatok

Érettségi feladatok: Sorozatok Érettségi feladatok: Sorozatok 2005. május 10. 8. Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 2. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! 14. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a) Mekkora

Részletesebben

I. Internetes keresési feladatok (ajánlott idő: 20 perc)

I. Internetes keresési feladatok (ajánlott idő: 20 perc) I. Internetes keresési feladatok (ajánlott idő: 20 perc) A talált oldalak internet címét (URL) másold ki egy szöveges dokumentumba és mentsd Csapatnev_internet néven! A konkrét válaszokat ide a papírra

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

9. Laboratóriumi gyakorlat NYOMÁSÉRZÉKELŐK

9. Laboratóriumi gyakorlat NYOMÁSÉRZÉKELŐK 9. Laboratóriumi gyakorlat NYOMÁSÉRZÉKELŐK 1.A gyakorlat célja Az MPX12DP piezorezisztiv differenciális nyomásérzékelő tanulmányozása. A nyomás feszültség p=f(u) karakterisztika megrajzolása. 2. Elméleti

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2010. Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Sta t ti t s i zt z i t k i a 3. előadás

Sta t ti t s i zt z i t k i a 3. előadás Statisztika 3. előadás Statisztika fogalma Gyakorlati tevékenység Adatok összessége Módszertan A statisztika, mint gyakorlati tevékenység a tömegesen előforduló jelenségek egyedeire vonatkozó információk

Részletesebben

1 m = 10 dm 1 dm 1 dm

1 m = 10 dm 1 dm 1 dm Ho szúságmérés Hosszúságot kilométerrel, méterrel, deciméterrel, centiméterrel és milliméterrel mérhetünk. A mérés eredménye egy mennyiség 3 cm mérôszám mértékegység m = 0 dm dm dm cm dm dm = 0 cm cm dm

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 063 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

11.3. A készségek és a munkával kapcsolatos egészségi állapot

11.3. A készségek és a munkával kapcsolatos egészségi állapot 11.3. A készségek és a munkával kapcsolatos egészségi állapot Egy, a munkához kapcsolódó egészségi állapot változó ugyancsak bevezetésre került a látens osztályozási elemzés (Latent Class Analysis) használata

Részletesebben

A hisztogram. 3. fejezet 1. BEVEZETÉS

A hisztogram. 3. fejezet 1. BEVEZETÉS 3. fejezet A hisztogram... a fölnőttek (...) szeretik a számokat. Ha egy új barátunkról beszélünk nekik, sosem a lényeges dolgok felől kérdezősködnek. Sosem azt kérdezik: Milyen a hangja? Mik a kedves

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

Merev vagy rugalmas nyugdíjkorhatárt?

Merev vagy rugalmas nyugdíjkorhatárt? Simonovits András: Bevezetés Merev vagy rugalmas nyugdíjkorhatárt? A kedvezményes nyugdíjazásról szóló népszavazási kezdeményezés a 2011-ben nők számára bevezetett kedvezményt kiterjesztené a férfiakra

Részletesebben

III. Népegészségügyi Konferencia, Megnyitó 2012. A 2011. év szűrővizsgálatainak eredményei. Dr. Barna István

III. Népegészségügyi Konferencia, Megnyitó 2012. A 2011. év szűrővizsgálatainak eredményei. Dr. Barna István III. Népegészségügyi Konferencia, Megnyitó 2012. A 2011. év szűrővizsgálatainak eredményei Dr. Barna István Vérnyomás A szűrésben részvevők 29 százalékának normális a vérnyomása; 23 százalék az emelkedett

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 22. KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 22. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI

Részletesebben

HÁZI DOLGOZAT. Érmefeldobások eredményei és statisztikája. ELTE-TTK Kémia BSc Tantárgy: Kémia felzárkóztató (A kémia alapjai)

HÁZI DOLGOZAT. Érmefeldobások eredményei és statisztikája. ELTE-TTK Kémia BSc Tantárgy: Kémia felzárkóztató (A kémia alapjai) ELTE-TTK Kémia BSc Tantárgy: Kémia felzárkóztató (A kémia alapjai) HÁZI DOLGOZAT Érmefeldobások eredményei és statisztikája Készítette: Babinszki Bence EHA-kód: BABSAET.ELTE E-mail cím: Törölve A jelentés

Részletesebben

GYERMEKEK FIZIKAI FEJLŐDÉSE. Százalékos adatok és görbék. Fiúk Lányok Fiúk Lányok 1 72 76 81 69 74 79 8,8 10,5 12,6 8,1 9,7 11,6

GYERMEKEK FIZIKAI FEJLŐDÉSE. Százalékos adatok és görbék. Fiúk Lányok Fiúk Lányok 1 72 76 81 69 74 79 8,8 10,5 12,6 8,1 9,7 11,6 MAGASSÁG (cm) SÚLY (kg) Fiúk Lányok Fiúk Lányok min átlag max min átlag max min átlag max min átlag max 0 46 50 54 46 49 54 2,5 3,5 4,3 2,5 3,4 4,2 0,5 64 68 73 62 66 70 6,7 8,2 9,9 6,1 7,5 9,0 1 72 76

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem.

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem. Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1 ROC elemzések Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás szóhasználatával A riasztóberendezés érzékeli, ha támadás jön, és ilyenkor riaszt. Máskor nem. TruePositiveAlarm:

Részletesebben

4. Lecke. Körök és szabályos sokszögek rajzolása. 4.Lecke / 1.

4. Lecke. Körök és szabályos sokszögek rajzolása. 4.Lecke / 1. 4.Lecke / 1. 4. Lecke Körök és szabályos sokszögek rajzolása Az előző fejezetekkel ellentétben most nem újabb programozási utasításokról vagy elvekről fogunk tanulni. Ebben a fejezetben a sokszögekről,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL. Szóbeli vizsgatevékenység

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL. Szóbeli vizsgatevékenység KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL A vizsgarészhez rendelt követelménymodul azonosító száma, megnevezése: 2144-06 Statisztikai szervezői és elemzési feladatok A vizsgarészhez rendelt vizsgafeladat megnevezése:

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

1.) Csaba egy 86 oldalas könyv 50 oldalát elolvasta. Hány nap alatt fejezi be a könyvet ha egy nap 9 oldalt olvas belőle? A) 6 B) 4 C) 3 D) 5

1.) Csaba egy 86 oldalas könyv 50 oldalát elolvasta. Hány nap alatt fejezi be a könyvet ha egy nap 9 oldalt olvas belőle? A) 6 B) 4 C) 3 D) 5 WWW.ORCHIDEA.HU 1 1.) Csaba egy 86 oldalas könyv 50 oldalát elolvasta. Hány nap alatt fejezi be a könyvet ha egy nap 9 oldalt olvas belőle? A) 6 B) 4 C) 3 D) 5 2.) Számítsd ki a végeredményt: 1 1 1 1 1

Részletesebben

Magyarország kerékpáros nagyhatalom és Budapest minden kétséget kizáróan elbringásodott: egyre többen és egyre gyakrabban ülnek nyeregbe a fővárosban

Magyarország kerékpáros nagyhatalom és Budapest minden kétséget kizáróan elbringásodott: egyre többen és egyre gyakrabban ülnek nyeregbe a fővárosban Magyarország kerékpáros nagyhatalom és Budapest minden kétséget kizáróan elbringásodott: egyre többen és egyre gyakrabban ülnek nyeregbe a fővárosban 2014. június 30. A Magyar Kerékpárosklub legfrissebb,

Részletesebben

Átlageredmények a 2011. évi Országos Kompetenciamérésen. matematikából és szövegértésből

Átlageredmények a 2011. évi Országos Kompetenciamérésen. matematikából és szövegértésből Átlageredmények a 2011. évi Országos Kompetenciamérésen Általános iskola 8. osztály matematikából és szövegértésből Matematika Szövegértés Iskolánkban Ált. iskolákban Budapesti ált. iskolákban Iskolánkban

Részletesebben

Alaphang tréning 2. rész - Családreform

Alaphang tréning 2. rész - Családreform Alaphang tréning 2. rész - Családreform Munkafüzet 2. Alaphang tréning 2. Családreform 2. rész Ideje másképp látni a világot és a gyereked 2. lecke Mintamókus 2. 1. Eszközök és az ő forrásuk azaz kinek

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

8.3. Az Információs és Kommunikációs Technológia és az olvasás-szövegértési készség

8.3. Az Információs és Kommunikációs Technológia és az olvasás-szövegértési készség 8.3. Az Információs és Kommunikációs Technológia és az olvasás-szövegértési készség Az IALS kutatás során felmerült egyik kulcskérdés az alapkészségeknek az egyéb készségekhez, mint például az Információs

Részletesebben

4. ábra: A GERD/GDP alakulása egyes EU tagállamokban 2000 és 2010 között (%) 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 2000 2001 2002 2003 Észtország Portugália 2004 2005 2006 2007 Magyarország Románia 2008

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

Országos Szakiskolai Közismereti Tanulmányi Verseny 2005/2006 SZÁMÍTÁSTECHNIKA

Országos Szakiskolai Közismereti Tanulmányi Verseny 2005/2006 SZÁMÍTÁSTECHNIKA Országos Szakiskolai Közismereti Tanulmányi Verseny 2005/2006 SZÁMÍTÁSTECHNIKA II. (regionális) forduló 2006. február 17... Helyszín fejbélyegzője Versenyző Pontszám Kódja Elérhető Elért Százalék. 100..

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Szerb Köztársaság OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUM OKTATÁSI ÉS NEVELÉSI MINŐSÉGELLENŐRZŐ INTÉZET

Szerb Köztársaság OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUM OKTATÁSI ÉS NEVELÉSI MINŐSÉGELLENŐRZŐ INTÉZET Szerb Köztársaság OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUM OKTATÁSI ÉS NEVELÉSI MINŐSÉGELLENŐRZŐ INTÉZET FELADATOK AZ ÁLTALÁNOS OKTATÁS ÉS NEVELÉS ZÁRÓVIZSGÁJÁRA a 2011/2012-es tanévben TESZT 1 matematikából

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 2011. Pontozási útmutató

VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 2011. Pontozási útmutató 1. feladat: VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 011. Pontozási útmutató Egy szöcske ugrál a számegyenesen. Ugrásainak hossza egység. A számegyenesen a 10-et jelölő pontból a 1-et jelölő pontba ugrással

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Érettségi feladatok: Statisztika

Érettségi feladatok: Statisztika Érettségi feladatok: Statisztika 2003. Próba 14. Bergengóciában az elmúlt 3 évben a kormány jelentése szerint kiemelt beruházás volt a bérlakások építése. Ezt az állítást az alábbi statisztikával támasztották

Részletesebben

Orvosi szociológia (1. szeminárium) KUTATÁSMÓDSZERTAN

Orvosi szociológia (1. szeminárium) KUTATÁSMÓDSZERTAN Orvosi szociológia (1. szeminárium) KUTATÁSMÓDSZERTAN (Babbie) 1. Konceptualizáció 2. Operacionalizálás 3. Mérés 4. Adatfeldolgozás 5. Elemzés 6. Felhasználás KUTATÁS LÉPÉSEI 1. Konceptualizáció 2. Operacionalizálás

Részletesebben

Tisztelt hallgatók! Farkas Péter egyetemi adjunktus, tananyagfejlesztõ, tutor (gyõri és pécsi csoport) egyetemi adjuntus, tutor (budapesti csoport)

Tisztelt hallgatók! Farkas Péter egyetemi adjunktus, tananyagfejlesztõ, tutor (gyõri és pécsi csoport) egyetemi adjuntus, tutor (budapesti csoport) Tisztelt hallgatók! E-LEARNING KÉZÉS Az alábbiakban a Gazdálkodási szakos, e-learning rendszerben mûködõ képzés tananyagához készült hibalistát olvashatja. A visszajelzések és az anyag folyamatos gondozása

Részletesebben

Populációbecslések és monitoring

Populációbecslések és monitoring Populációbecslések és monitoring A becslés szerepe az ökológiában és a vadgazdálkodásban. A becslési módszerek csoportosítása. Teljes számlálás. Statisztikai alapfogalmak. Fontos lehet tudnunk, hogy hány

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

A nők társadalmi jellemzői az észak-alföldi megyékben

A nők társadalmi jellemzői az észak-alföldi megyékben A nők társadalmi jellemzői az észak-alföldi megyékben Központi Statisztikai Hivatal 2012. március Tartalom Bevezető... 2 Demográfiai helyzetkép... 2 Egészségügyi jellemzők... 12 Oktatás és kutatás-fejlesztés...

Részletesebben

VÁLTOZÁSOK A SZEGÉNYSÉG STRUKTÚRÁJÁBAN

VÁLTOZÁSOK A SZEGÉNYSÉG STRUKTÚRÁJÁBAN Tematikus nap az egyenlőtlenség g vizsgálatáról, l, mérésérőlm Budapest,, 2011. január r 25. VÁLTOZÁSOK A SZEGÉNYSÉG STRUKTÚRÁJÁBAN Vastagh Zoltán Életszínvonal-statisztikai felvételek osztálya zoltan.vastagh@ksh.hu

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

FUSION VITAL ÉLETMÓD ELEMZÉS

FUSION VITAL ÉLETMÓD ELEMZÉS FUSION VITAL ÉLETMÓD ELEMZÉS STRESSZ ÉS FELTÖLTŐDÉS - ÁTTEKINTÉS 1 (2) Mérési információk: Életkor (év) 41 Nyugalmi pulzusszám 66 Testmagasság (cm) 170 Maximális pulzusszám 183 Testsúly (kg) 82 Body Mass

Részletesebben

1. Mennyi a dobókockák nem látható lapjain levő pontok ( számok ) összege? A ) 14 B ) 20 C ) 21 D ) 24

1. Mennyi a dobókockák nem látható lapjain levő pontok ( számok ) összege? A ) 14 B ) 20 C ) 21 D ) 24 . Mennyi a dobókockák nem látható lapjain levő pontok ( számok ) összege? A ) 4 B ) 20 C ) 2 D ) 24 2. Mennyi az alábbi művelet eredménye? 2 + 2 =? 5 6 A ) B ) C ) D ) 0. Egy könyvszekrénynek három polca

Részletesebben

PYTAGORIÁDA Súťažné úlohy okresného kola maďarský preklad 35. ročník, školský rok 2013/2014 KATEGÓRIA P 3

PYTAGORIÁDA Súťažné úlohy okresného kola maďarský preklad 35. ročník, školský rok 2013/2014 KATEGÓRIA P 3 KATEGÓRIA P 3 1. Misi két csomag rágógumiért 4 eurót fizetne. Írjátok le, hogy hány eurót fog Misi fizetni, ha mindhárom testvérének egy-egy csomag, saját magának pedig két csomag rágógumit vett! 2. Írjátok

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2009. május 5. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2009. május 5. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben