A GIMNÁZIUMOK ELSŐ OSZTÁLYA SZÁMÁRA

Átírás

1 Milan O. Raspopović FIZIKA A GIMNÁZIUMOK ELSŐ OSZTÁLYA SZÁMÁRA Értékelő bizottság:

2 prof. dr Jablan Dojčilović mr Svetomir Dimitrijević Saveta Divljaković Szerekesztők: Dragoljub Pećanac Žarko Jović Felelős szerkesztők: Nebojša Jovanović mr Nikola Stojanac A kiadó részéről: prof. dr Radoš Ljušić, igazgató és főszerkesztő ISBN A Szerb Köztársaság Oktatásügyi és Sport minisztere én kelt /03 számú végzésével engedélyezte a tankönyv használatát.

3 TARTALOMJEGYZÉK Előszó Hogyan tanuljuk a fizikát? BEVEZETŐ A fizika mint természettudomány A fizika tárgya A fizika feladata Kísérlet és elmélet Fizikai mennyiségek Alap- és származtatott mennyiségek Fizikai törvények Vektorok és alapvető műveletek a vektorokkal Skalári és vektoriális fizikai mennyiségek Vektorokkal történő műveletek KINEMATIKA Mechanikai mozgás A mozgás relativitása Vonatkoztatási rendszer Helyzetvektor Egyenletes és változó mozgás Pálya és út Elmozdulás Sebesség és gyorsulás Átlagsebesség értéke Pillanatnyi sebesség A sebességek összegezésének (összeadásának) klasszikus törvénye Átlaggyorsulás Pillanatnyi gyorsulás Merőleges (radiális) és az érintőirányú (tangenciális) gyorsulás Állandó gyorsulással történő egyenesvonalú mozgás Állandó gyorsulással mozgó testek által megtett út A sebesség és a megtett út összfüggése Az anyagi pont körpályán történő mozgása Szögelfordulás és a teljes szögelfordulás Szögsebesség A sebesség és a szögsebesség kapcsolata Szöggyorsulás Az érintőirányú és a szöggyorsulás kapcsolata Egyenletes körmozgás Periódusidő és a frekvencia Centripetális (merőleges gyorsulás) A haladó és a forgómozgás A testek mozdulatlan tengely körüli forgómozgása Szögelfordulás és a teljes szögelfordulás A szögelfordulás vektortermészete Szögsebesség Szöggyorsulás Hasonlóság a haladó és forgómozgás között Összefoglalás DINAMIKA A testek kölcsönhatása (interakció). Az erő Az erő A testek tömege A testek lendülete Newton első törvénye (A tehetetlenség törvénye) Newton második törvénye A dinamika alapegyenlete Newton harmadik törvénye (Hatás és ellenhatás törvénye) A tehetetlenségi vonatkoztatási rendszer Galilei-féle relativitási elv A nem-inerciális vonatkoztatási rendszerek A tehetetlenségi erő A körmozgás dinamikája Centripetális erő Centrifugális erő A vektorok skaláris és vektoriális szorzata A vektorok skaláris szorzata Két vektor vektoriális szorzata A forgómozgás dinamikája Erőnyomaték Tehetetlenségi nyomaték A testek perdülete 3

4 Az anyagi pont perdülete A forgómozgás dinamikájának alapegyenlete A haladó és a forgömozgás dinamikai mennyiségei és összefüggései közötti hasonlóságok Összefoglalás STATIKA Egyensúly Az anyagi pont egyensúlya Két párhuzamos, azonos irányú erők összegezése Két párhuzamos, ellentétes irányú erők összegezése A merev test egyensúlya Az egyensúly fajtái Emelők Összefoglalás Súrlódás. Súrlódási erő Statikai súrlódás. Nyugalmi állapotban lévő testek súrlódása A testek csúszásakor jelentkező súrlódás A levegő ellenállása és a határsebesség GRAVITÁCIÓ Kepler-törvények Newton-féle gravitációs erőtörvény A Földfelszín közelében ható nehézségi erő A Föld nehézségi ereje A szabadesés gyorsulása A testek súlya A tömeg és a súly A gravitációs mező A gravitációs térerősség Az anyagi pont gravitációs térereje Mozgások a Föld gravitációs terében Függőlegesen lefelé hajítás Szabadesés Függőlegesen felfelé hajítás Vízszintes hajítás Ferde hajítás Súlytalansági állapot Összefoglalás MUNKA ÉS ENERGIA Mechanikai munka Mozgási energia Forgási energia Munka és a mozgási energia Teljesítmény Helyzeti energia Konzervatív erők A gravitációs kölcsönhatás helyzeti energiája A Földfelszíntől nagy távolságban lévő testek helyzeti energiája A gravitációs tér (a Föld) potenciálja A rugalmas alakváltozások helyzeti energiája Összefoglalás A MECHANIKA MEGMARADÁS- TÖRVÉNYEI Bevezető Lendületmegmaradás törvénye Példák a lendületmegmaradás törvényére Reaktív mozgás Perdületmegmaradás törvénye A mechanikai energia megmaradási törvénye A haladó és forgómozgás energia-mennyiségei közötti hasonlóságok Kozmikus sebességek Névmutató Fogalomjegyzék Utószó 4

5 Tisztelt tanulók! A fizika számotokra nem új tudomány. Az elemi iskolában alkalmatok volt megismerni ennek a természettudománynak az alapelemeit. A gimnázium első három évfolyamán kiszélesítitek és elmélyítitek tudástokat a klasszikus fizika tárgykörében amely mint természetről szóló tudomány a XX. század kezdetéig alakult ki. Ez három hatalmas tárgykört foglal magába. Ezek a:mechanika (a mozgásokat leíró tudomány),a termodinamika (a hőjelenségekkel foglalkozó tudomány), és az elektrodinamika (az elektromos testekről-részecskékről, fizikai mezőkről szóló tudomány). A XX. század első felében történt korszakalkotó felfedezések megváltoztatták a világnézetünket. Ebben az időszakban alakult ki az új fizika, amit a klasszikus fizikával ellentétben modern fizikának nevezünk. a modern fizika alapjait majd a gimnázium befejező osztályában ismerjük meg. A tankönyv hét témakört tartalmaz: 1. BEVEZETŐ. KINEMATIKA 3. DINAMIKA 4. STATIKA 5. GRAVITÁCIÓ 6. MUNKA ÉS ENERGIA 7. MECHANIKA MEGMARADÁS-TÖRVÉNYEI Minden témakör végén rövid összefoglalás van az átvett tananyag áttekintéséről, majd kérdések és feladatok. Az összefoglalásban a fontosabb fogalmak, mennyiségek és törvények vannak megismételve. A kérdések és feladatok a tanulók önálló munkáját igénylik és az önálló tudásfelmérést teszik lehetővé. A feladatok az alapvető fizikai mennyiségeket kapcsolják egybe és megmutatják a törvények alkalmazását a gyakorlati problémák megoldásában. A tankönyvben néhány olyan témakör is fel van dolgozva, amely a fizika iránt érdeklődő tanulók, de a versenyeken résztvevő tanulók számára is hasznos. Ezek a természettudományi irányítottságú tanulók számára is ajánlottak. Az előadók a saját megítélésük szerint válogathatnak, hogy a felajánlott témák közül melyeket hagyják ki, vagy dolgozzák fel a rendes, illetve az emelt szintű tanítási órákon. A (*)-gal megjelölt kérdések és feladatok elsősorban a természettudományi szakirányú tanulók számára készültek. A fizika nagy lehetőségeket kínál az önálló tanulásra, mert olyan tudomány, amely felkelti a kíváncsiságot és érdeklődést a természet titkainak megismerésére. E redményei átszövik a modern technikát, amelyek nélkül elképzelhetetlen a mai ember élete. A mindennapi gyakorlati problémák megoldása szükségszerűen megköveteli ennek a tudománynak az ismeretét. A fizika tanulása nem csak kiszélesíti a természetről szerzett tudást és annak alkalmazási lehetőségét, hanem gazdagítja a logikus gondolkozás stílusát, a képzelőerőt, amely egészen a fantasztikum határáig terjed és ezzel nagy szerepe van a személyiség sokoldalú fejlődésében. 5

6 Démokritosz (i.e ) az ókori görög tudós és filozófus mondta: Inkább szeretnék felfedezni egy természettörvényt, minthogy Perzsia királya legyek. Kedves középiskolások! Az időszámításunk kezdetén élő filozófus Seneca gondolataival kívánok számotokra sok sikert: Az ember a képességeit csakis a tettein keresztül tudja ellenőrizni. A ti tetteitek kedves tanulók a tanulás, a mind több tudás megszerzése, a természet-mint a legnagyobb könyv és annak dísze- az ember megismerése. A szerző köszönettel tartozik dr. Jablan Dojčilovićnak a belgrádi Fizikai kar tanárának, Saveta Divjakovićnak az újvidéki Jovan Jovanović Zmaj gimnázium tanárának és mr Svetomir Dimitrijevićnek, a Szerb Köztársaság Tanügyi-és Sport Minisztérium tanácsosának, akik figyelmesen átnézték a kéziratot, sok értékes megjegyzést és ösztönzést adtak. A szerző hálás lesz azoknak a tanároknak, tanulóknak és szülőknek akik megjegyzéseikkel és tanácsaikkal elősegítik majd, hogy a tankönyv követekező kiadása jobb legyen. A szerző HOGYAN TANULJUK A FIZIKÁT? A fizikában szerzett ismeretek jórészt beépültek más természettudományokba is: vegytanba, biológiába, geológiába, asztronómiába. A technikában, orvostudományban és ökológiában ugyancsak alkalmazzák a fizika törvényszerűségeit. Alapjában véve a fizika jellemzője a mind nagyobb kötődés más tudományokkal, így a fizikát tanulva megismerünk más tudományokat is. A fizika tanítása többkomponensű. Egybekapcsolja az elméletet, a kísérletet és a matematika alkamazását. Ezenkívül a fizika nagyon élethű és dinamikus tudomány. A fizikusok egyetlen év alatt a tudományos folyóiratokban és könyvekben megjelentetnek többmillió oldalnyi új felfedezést. Ilyen körülmények között a tanulók és előadók előtt áll a kihívás: Hogyan tanuljuk a fizikát? A tanulónak mindenekelőtt el kell sajátítania az alapeszméket, törvényeket és elméleteket, amelyekben a fizika lényege rejtőzik. A mellékes dolgoknak nem szabad elhomályosítaniuk az alapokat. Jobb, ha egy anyagrészt teljesen értünk, mint ha az egészet részlegesen tudjuk. A fizika tanítása érthető, érdekes, szemléltető és meggyőző kell hogy legyen. Ezt előlegezi az elmélet és a kísérlet egyenlő aránya. A fizika tankönyvet figyelmesen kell olvasni és külön elidőzni az alapvető fogalmak, mennyiségek és törvények megszövegezésénél. Nem szabad semmit sem letisztázatlanul hagyni. Ezek később mindinkább kifejezésre jutva űrt képeznek, amelyek megszakítják a fizikatanulás kontinuitásának folyamatát. A megtanult ismeretek képezzék azt a saját tudást, amelyet még saját kreativitásunkkal kiszínezünk, így azt alkalmazhatjuk az új ismeretek elsajátításában és konkrétan a gyakorlati problémák megoldásában is. A cél tehát nem csak a tudás, hanem felkészítés az elkövetkező újabb ismeretek állandó elsajátítására. A fizikatanítás egyik fontos szerepe, hogy megtanítsa a tanulót tanulni, hogy az tudja használni a könyveket mint tudásforrást, hogy a szakirodalomból új ismereteket tudjon szerezni és azokat fel tudja dolgozni, és az elektronikus adatbázisból szükséges információkat tudjon nyerni. 6

7 BEVEZETŐ A FIZIKA MINT TERMÉSZETTUDOMÁNY Az ókori Görögországban a fizika (görög szó: természet) fogalma alatt a természetről (a földi és égi jelenségek) szerzett összes tudást értették. A fizikát általános természettudománynak (a természet filozófiának) tartották. A kísérleti eredmények fokozatos öszegyűjtésével, azok általánosításával és a kutatási módszerek fejlődésével az általános természettudományból kiváltak a különálló termászettudományok: csillagászat, fizika, vegytan, geológia, biológia, és mások. A mai értelemben vett fizika sikeres fejlődése Galilleo Galilei ( ) munkásságával kezdődött, akit a tudományos kutatás megalapítójaként tartanak számon. Galileo és követője Isaac Newton ( ) a mechanikai mozgások ismeretének megalapozói. Newton 1687-ben megjelent A természetfilozófia matematikai alapelvei című munkájában rendszerezte a klasszikus mechanikát. Ettől a periódustól számítva a fizika keretein belül kiválnak és fejlődnek a fizika többi területei (elektrodinamika, termodinamika, relativitáselmélet, kvantummechanika, atom- és nukleáris fizika...) A XIX. század második felében, de különösen a XX. században a fizika olyan gyors fejlődésnek indult és olyan eredményeket ért el, amelyet egyetlen más természettudomány sem tudott elérni. A XIX. század második felében alakult ki a gázok kinetikai elmélete és az elektromágneses térelmélet, felfedezték és áttanulmányozták az elektromágneses hullámokat. Ezekkel az ismeretekkel kezdődött el az elektrotechnika és a rádiótechnika fergeteges fejlődése. A XX. század eljén lefektették a kvantummechanika és a relativitáselmélet alapjait, amelyek az atom-és magfizika, szilárdtest fizika, lasserfizika és más modern fizikai területek elméleti alapjává váltak. A testek mechanikai mozgásai Melegítéssel a jég megolvad, víz lesz, a víz pedig pára 7

8 A FIZIKA TÁRGYA A fizika alapvető természettudomány amely tanulmányozza: - az anyag legáltalánosabb (alapvető) mozgási formáit (mechanikai mozgás, hőmozgás, elektromos jelenségek, mágnes, fény, stb.) - meghatározza ezen mozgások (jelenségek) törvényeit, egymás közti kapcsolatait és ezek feltételeit -az anyag szerkezetét és alaptulajdonságait A fizika által tanulmányozott anyagmozgásokat általánosan fizikai folyamatoknak vagy fizikai jelenségeknek hívják. A FIZIKA FELADATA Alégkör elektromos jelenségei A fizikának két alapvető feladata van: felfedezni a tudományos igazságot azokról az objektumokról vagy jelenségekről amit tanulmányoz, és hogy ezt a tudást a gyakorlatra és a mindennapi szükségletek megoldására irányítsa. A fizikai jelenséget tanulmányozni annyit jelent, hogy meg kell határozni mi okozta a jelenséget, milyen feltételek mellett jött létre és meghatározni azokat a törvényeket, amelyek szerint lejátszódik az adott fizikai jelenség. A fizika mindinkább olyan lehetőségeket formál és módszereket tár fel, amelyek a fizikai jelenségek törvényeinek és a testek tulajdonságainak ismeretét a gyakorlati problémák megoldására alkalmassá teszi. Ezeken az alapokon nyugszik az alkalmazott vagy műszaki fizika. A műszaki fizika gyors és sikeres fejlődésének köszönve, a fizika minden törvénye és területe, alpját képezi a műszaki berendezések (rendszerek) és más termelési ágazatok tökéletesítésének és fejlődésének. KÍSÉRLET ÉS ELMÉLET A jelenségek természetes környezetben történő közvetlen megfigyelései a fizika számára biztosítják a kezdeti ismereteket. Egyegy természeti jelenség közvetett és passzív megfigyelése azonban sűrűn hiányos és néha téves ismeretekhez és következtetésekhez vezet. A természetben előforduló jelenségek annyira átszövik egymást, hogy azokat egyszerűen nem lehet az adott természeti környezetben biztonsággal tanulmányozni. Ezért ezeket a jelenségeket el kell szigetelni az adott természeti környezetből, majd tervszerűen és renszeresen kell őket a külön e célra előkészített és szigorúan felügyelt feltételek (pl. laboratóriumi feltételek) mellett vizsgálni. A jelenségek Az elektromos égő ilyen tanulmányozását kísérleti kutatásnak nevezzük. fénye Fizikai kisérletnek (experimentum lat., kisérlet-a ford. megj.) nevezzük a jelenségek szigorúan előkészített és ellenőrzött feltételek mellett történő tanulmányozását. A jelenségek tanulmányozásának fizikai alapmódszere a kisérleti kutatás. E módszer kizárja a vizsgált jelenségre ható különféle mellékhatásokat. A megfigyelések és vizsgálatok 8

9 elsősorban is az adott jelenség és annak előidézője közötti kapcsolatra irányulnak, mivel ez lényegében (természetszerűen) behatással van annak lejátszódására. Láthatjuk például, hogy minden tetszőleges magasságból leejtett test a Föld felszínére esik. Ebből egyszerűen megállpítható, hogy a Föld vonzóereje hatására a testek szabadon esnek (a vonzóerő egyben a szabadesés okozója). Azonban megállapítást nyert, hogy a nehezebb testek gyorsabban, míg a könnyebbek lassabban esnek. Ennek alapján arra a téves megállapításra juthatunk, hogy a Föld a nehezebb testeknek nagyobb, a könnyebbeknek kisebb gyorsulást ad. Lássuk mit mutat az a kisérlet, amelyet bármely iskolai laboratóriumban el lehet végezni. Egy üvegcsőben (ugyanazon magasságról egyszerre) különféle testeket engedünk szabadon esni. Ha a csőben levegő van, akkor például a vasgolyó, előbb esik le mint a papírdarabka (vagy tollpihe), ami azt jelenti, hogy a golyócska gyorsulása nagyobb mint a papírdarabkáé. Ha viszont a csőből teljesen kiszivattyúzzák a levegőt, a golyócska és papírdarabka (tollpihe vagy bármely más test) azonos gyorsulással mozog és egyszerre érnek le a cső aljára. A laboratóriumban külön feltételeket biztosítottak, kizárták a levegő hatását, így lehetséges volt megfigyelni és tanulmányozni kizárólag a Föld vonzóerejének hatására történő mozgásokat (szabadesés). A kísérleti tanulmányozásnak nagy előnye van a közönséges közvetlen megfigyeléssel szemben. A kísérletet többször is meg lehet ugyanúgy ismételni így jól ellenőrizhetők a kapott eredmények. Azonkívül változtatni lehet azokat a feltételeket amelyek alatt a jelenség lejátszódik, így megállapíthatóak a különféle feltételek nehatásai a megfigyelt jelenségre. Ezek alapján megbízható minőségi és mennyiségi kapcsolatokhoz jutnak az adott jelenség, annak előidézője és azon feltételek között amelyek alatt a jelenség lejátszódik. A fizikatanításban két alapvető kísérletező munka létezik: a demonstrációs (demonstráció-lat. bemutatás) kísérletek, amelyeket főleg a tananyag feldolgozására készít elő és mutat be az előadó, és a laboratóriumi gyakorlatok, amelyeket az előadó felügyelete Műhold mellett végeznek a tanulók. Mindkét kísérletezési módszer kiegészíti egymást és ugyancsak kiegészítő hatásaik vannak a fizika tanításában is. Kísérleti feladatokat adnak házi feladatként is, vagy a tanítási órákon kívüli aktivitások keretében végzik el. A fizika tanulmányozásában a kísérletezési módszer mellett van még egy másik ugyancsak fontos az ún. elméleti módszer. A kísérleti eredményekre támaszkodó elméleti módszer célja, hogy tudományos elméleteket állítson fel. 9

10 Fizikai elméleteknek nevezzük a meghatározott csoportba tartozó hasonló jelenségekről, azok összefüggéseiről és kölcsönös feltételeiről rendszerezett ismeretek összességet. Fizikai elméletek: a klasszikus mechanika, relativitáselmélet, kvantumelmélet, atomelmélet, magfizikai elmélet, stb. Az elméletet általában nem a közvetlen kísérleti adatokból (tényekből ) vezetik le, hanem azért alkotják meg, hogy a kísérleti eredményeket megmagyarázzák. Például az ötlet, hogy az anyag atomokból áll, nem úgy született, hogy valaki atomokat látott, hanem az főleg az alkotó gondolkodás és az elméleti szerkesztések terméke, amelyeket később a kísérletek igazolnak. Az elmélet és a kísérlet egyformán fontos a fizika tanulmányozásában és ezeknek összhangban kell lenniük. Amit a kísérlet mutat azt az elmélet kell hogy megmagyarázza. És fordítva, amit az elmélet előrelát, azt a kísérletnek igazolnia kell. Ezek szerint a fizika kísérleti és elméleti tudomány. FIZIKAI MENNYISÉGEK A fizikai mennyiségeket a fizikában előforduló testek és jelenségek tulajdonságainak a leírására, tanulmányozására használják. Például a testek mozgásának a leírására a következő mennyiségeket használják: út, sebesség, gyorsulás, idő. A tömeggel meghatározzák a testek tehetetlenségét. Egy zárt edényben lévő gáz állapotát a nyomás, köbtartalom és hőmérséklet mennyiségekkel írják le. Fizikai mennyiségeknek nevezzük azokat a fogalmakat, amelyekkel a testek tulajdonságait, állapotát, mozgását, általában véve fizikai jelenségeket írnak le. A fizikai mennyiség kifejezhető egy számérték (mérőszám) és a megfelelő mértékegység szorzataként. Fizikai mennyiség = számérték x mértékegység. A szimbólikusan a val jelzettfizikai mennyiségre alkalmazva az előbbi összefüggés a = {a } [ a ],alakban adható meg, ahol {a }számértéket jelölik, míg [ a ] az a mértékegységét jelenti. Például a test tömege 10 kg. A számérték mellé odaírták a mértékegységet is kg ; a mennyiség számértékének a mértékegység nélkül nem lenne semmi értéke. Amikor a fizikai mennyiségeket kombinálják szorzással, vagy osztással, akkor a szokásos aritmetikai szabályokkat alkalmazzák a számértékre is és a mértékegységre is. A fizikai mennyiség számértékéhez mérés útján jutnak. Méréssel megállapítják, hogy az adott mennyiség számértéke hányszor nagyobb vagy kisebb az ugyanazon mennyiségből megegyezés szerint kiválasztott egységnél. Például, amikor a tábla hosszát mérik, akkor annak hosszát összehasonlítják az egy méter hosszú vonalzó hosszával: legyen a tábla hossza,5 szer nagyobb a vonalzó hosszánál. Ekkor azt mondjuk, hogy a tábla hossza,5 méter. ALAPMENNYISÉGEK ÉS SZÁRMAZTATOTT MENNYISÉGEK A fizikai mennyiségek két alapcsoportba sorolhatóak: alap és származtatott mennyiségek. Ez a felosztás érvényes a mértékegységekre is. Így vannak alapmértékegységek és származtatott mértékegységek. Hét alapmennyiség van. Az összes többi fizikai mennyiséget ezek segítségével ki lehet fejezni. 10

11 A Nemzetközi mértékegység- rendszerben (SI), amelynek használata törvényerejű rendelettel a mi országunkban is kötelező, a következő fizikai mennyiségeket és azok mértékegységeit tartalmazza: I. TÁBLÁZAT A mennyiség neve Szokásos jele Mértékegység Mértékegység jele IDŐ t MÁSODPERC s HOSSZÚSÁG l,s,r MÉTER m TÖMEG m KILOGRAM kg HŐMÉRSÉKLET T KELVIN K ELEKTROMOSSÁG I AMPER A FÉNYERŐSSÉG J CANDELLA cd ANYAGMENNYISÉG n m MOL mol A többi fizikai mennyiség levezethető e hét alapmennyiség segítségével, így azokat származtatott mennyiségeknek nevezzük. Ezek mértékegységei az alapmértékegységek segítségével fejezhetők ki. Származtatott mennyiségek például a sebesség és a gyorsulás, amelyek mértékegységeit a hosszúság és az idő mértékegységeivel fejezik ki: a sebesség m mértékegysége, a gyorsulásé s s m tömeg, hosszúság és az idő mértékegységeivel: N=kg stb. s m. Az erő mértékegysége a newton (N). Ez kifejezhető a FIZIKAI TÖRVÉNYEK A fizika alapfeladata az, hogy megállapítsa azokat a szabályokat, amelyek szerint a fizikai jelenségek lejátszódnak. Ezeket a szabályokat fizikai törvényekkel fejezik ki. A fizikai törvények mennyiségileg fejezik ki a fizikai mennyiségek közötti kapcsolatot, amelyek leírják a testek tulajdonságait, meghatározott jelenséget, vagy a jelenségek összességét. A fizikában a törvényeket általában a kísérleti eredmények általánosításával határozzák meg. Van olyan lehetőség is, hogy a fizikai törvényhez elméleti úton jutnak. Ekkor az elméleti úton kapott törvényt kísérletekkel kell igazolni, hogy az tudományosan is törvénnyé váljon. A fizikai törvényt a matematikai forma, meghatározott szimbólum és megfogalmazás jellemzi. Példaként említhető a Föld gravitációs terében eső testek a szabadeséstörvénye mint fizikai törvény. Ezzel összekapcsolják azt a magasságot, amelyről a testet ejtették a gravitációs gyorsulással és az esési idővel. Képlettel leírva: h = 1 gt 11

12 Másik példaként említhető Newton mechanikára vonatkozó második törvénye: a testek tömegének és gyorsulásának szorzata egyenlő a testre ható erők eredőjével. Matematikai alakban ez így írható: m a = F A fizikai törvények lehetnek egyediek és általánosak. Az egyedi törvényre tipikus példa az elektromos áramkör egy részére vonatkozó Ohm- törvénye. Ezt már az általános iskolában megismertük. Ez a törvény összekapcsolja az adott vezetőn (amely az áramkör része) átfolyó elektromos áramot a vezető végei közötti feszültséggel és a vezető elektromos ellenállásával. I = R U. Az ellenálláson átfolyó elektromos áram egyenesen arányos a vezető végein mért feszültséggel és fordítottan arányos a vezető ellenállásával. Az általános törvények az összes természeti jelenségekre érvényesek, és az összes természettudomány alapját képezik. E törvények közé tartoznak: az energia-megmaradás, lendület, elektromos mennyiség megmaradási törvények. VEKTOROK, ALAPMŰVELETEK A VEKTOROKKAL SKALÁRIS ÉS VEKTORIÁLIS FIZIKAI MENNYISÉGEK A fizikai mennyiségek különböző természetűek lehetnek. Mi csak a skaláris és vektoriális mennyiségekkel foglalkozunk. Azokat a fizikai mennyiségeket amelyek a mérőszámmal és a megfelelő mértékegységgel teljesen meghatározhatók, skaláris mennyiségeknek vagy röviden skalároknak nevezzük. A skaláris mennyiség értéke mérőszámmal és a mértékegységgel van meghatározva. Az ilyen mennyiségek csoportjába tartoznak például: a hosszúság, felszín, köbtartalom, hőmérséklet, tömeg, idő, munka, energia, stb. A mikor azt mondják hogy két test között a távolság öt méter, akkor azzal teljesen meghatároztak egy fizikai mennyiséget- a hosszúságot, amely kifejezi a két test közötti távolságot. Vagy például az az információ, hogy egy test tömege 10 kg, mindent elmond a test tömegét illetően. A másik csoportba tartoznak azok a fizikai mennyiségek amelyek csak a számértékükkel (intenzitásukkal) nincsenek teljesen meghatározva, hanem még két adatot: irány és irányítottság kell tudnunk ahoz, hogy ezeket a mennyiségeket teljesen meghatározzuk. Ilyen mennyiségek például: a sebesség, gyorsulás, erő, lendület, stb. Például, ha tudjuk, hogy egy autó 80 km/h sebességgel mozgott, még nem tudunk mindent a sebességéről: tudni kell még az autó mozgásának az útvonalát és az útirnyát. Nem mindegy, hogy pl. a Belgrád Nis úton, vagy valamilyen más úton (hatásvonal) haladt az autó. Ez mellett tudni kell még azt is, hogy Belgrádtól Nis felé, vagy Nis felől Belgrád felé haladt az autó (irányítás). Azokat a fizikai mennyiségeket, amelyek nagyságukkal (intenzitás) hatásvonalukkal (irányuk) és irányításukkal teljesen meghatározhatóak, vektormennyiségeknek, röviden vektoroknak nevezzük. 1

13 A vektormennyiségeket (vektorokat) grafikusan irányított szakasszal szemléltetik. E távolság mértéke (hossza) meghatározza a vektor számértékét (intenzitás, abszolút érték vagy modulusz). Az egyenes amelyhez a távolság tartozik meghatározza a vektor hatásvonalát (irányát), a nyíl pedig az irányítását. Az A és B pontok a vektor kezdetét és végpontját jelölik (1.1 ábra) hatásvonal (irány) nagyság (intenzitás) irányítás 1.1ábra. A vektor grafikus ábrázolása A vektorokat leginkább latin beűkkel jelölik és azok fölé egy vízszintes nyilat tesznek. Például: v (sebesség), a (gyorsulás), F (erő) stb. A vektorokat más módon is jelölhetik. A vektor értékét (intenzitását) ugyanazzal a betűvel jelölik mint magát a vektort, csak nyíl nélkül, például: v (a sebesség nagysága), a (a gyorsulás nagysága), F (az erő nagysága) stb., vagy a másik jelölésmód, ha a bektor szimbolikus jelét két párhuzamos vonalka közé helyezik, például: v, a, F stb. Két vektor 1.. akkor ábra. Az egyenlő, ha nagyságú, nagyságaik párhuzamos (számértékeik) irányú és és irányításuk megegyeznek, hatásvonalaik pedig azonos párhuzamosak. irányítású vektorok Ilyenek például az 1..ábrán látható vektorok. Összehasonlíthatóak az azonos természetű (azonos fizikai dimenziójú) vektorok, ha azok iránya és irányítása megegyezik. Ezek összehasonlítását a nagyságaik összehasonlítására vezetik vissza. Az ábrán két test sebessége van feltüntetve. Az első test sebessége v 1, a másodiké v. sebessége: Látható, hogy az első test sebessége kétszer akkora mint a második test v 1 = v azokat a vektorokat amelyek azonos irányúak, nagyságaik megegyeznek, irányításaik pedig ellentétesek, ellentétes vektoroknak nevezzük. ilyenek az 1.3.ábrán látható vektorok. Szimbolikusan: a ellentettje - a és fordítva. 13

14 A skaláris mennyiség állandó, ha annak értéke időben nem változik. Hogy a vektormennyiség állandó legyen, a nagysága mellett az irányának és irányításának is állandóknak kell lenniük. Például egy autó állandó v=60 km/h sebességgel halad görbe vonalú pályán (1.4.ábra). Az autó sebessége, mint vektor nem állandó, mert ennek iránya és irányítása időben változik. Így felírható: v 1 =v =v 3 és v1 v v 3 Az 1.5.ábrán látható golyócska a lejtőről gurul le, majd a vízszintes alapon gurul egészen az akadályig, onnan visszapattan és ugyanolyan nagyságú sebességgel gurul visszafelé mint az ütközés előtt.a v és a v3 vektorok egyenlőek. Szimbolikusan: v = v 3. A v3 és v4 vektorok ellentétesek. Szimbolikusan: v 3 = - v 4. Azokat a vektorokat, amelyek párhuzamos (azonos egyenes) egyeneseken fekszenek, ugyanolyan, vagy ellentétes irányításúak, kollineáris vektoroknak nevezzük.az ugyanolyan nagyságú és irányítású kollineáris vektorok egyenlőek, míg az egyforma nagyságú de ellentétes irányításúak egymástól előjelben különböznek. Az ábrán látható vektorok között a következő összefüggések érvényesek: A = B = - C A=B=C, vagy A = B = C A VEKTOROK VETÜLETEI. Legyenek az A, B és C vektorok az xoy síkban. Ezek vetületeit a koordinátayengelyekre úgy kapják meg, hogy a vektorok kezdő és végpontjaiból merőlegeseket bocsátanak 14

15 az x és az y tengelyre (1.6. ábra). A vetületeket ugyanazzal a betűvel jelölik mint a vektoroka azzal, hogy a betűjel indexeként annak az egyenesnek (tengelynek) a jelét tesszük ki, amelyre az adott vektor vetítve van. Ha a vektor az adott egyenessel (tengellyel) hegyes szöget alkot, akkor a vetülete pozitív. Ha a vektor a tengellyel tompa szöget zár be, a vetülete negatív. Amikor a vektor merőleges az adott egyenesrs (tengelyre) a vetülete 0. 15

16 MŰVELETEK VEKTOROKKAL A vektorokkal végzett matematikai műveletek különböznek a közönséges számokkal való műveletektől. Ez a vektorok összeadásánál azonnal észrevehető. A VEKTOROK ÖSSZEGEZÉSE. Két tetszőleges vektor összeadására a paralelogramma szabályt alkalmazzák. A két a és b vektorokra (összetevők) paralelogrammát szerkesztenek. Az összegezés eredményét egy olyan vektor adja meg, amely a paralelogramma átlójával megegyezik (1.7.ábra). Másszóval, ez a két vektor eredője rezultánsa. Az összetevő vektoroknak és az eredőnek közös kezdőpontjuk van. A vektorok összegezését szimbolikusan a következőképpen lehet bemutatni: R = a + b hol R - az eredő, a és b - az összetevő vektorok. Az eredő nagysága, nem csak az összetevő vektorok nagyságától függ, hanem az általuk bezárt szögtől is. Ha ez a szög 0 0 -os, az eredő nagysága a legnagyobb és ez egyenlő az összetevő vektorok nagyságainak az összegével. R = a + b A szög növekedésével kisebbedik az eredőpont. Amikor ez a szög os, akkor ezt kapják. R= a b. Például a képen: R= a b = 3 cm 4 cm = 5cm. A közbezárt szög továbbnövelésével az eredő méginkább csökken nál a lehető legkisebb és az erdő ekkor az összetevő vektorok különbségével egyenlő. R=a - b a 16

17 Két vektort összegezhetnek úgy is, hogy az egyik vektor végpontjába kötik a másik vektort. A két vektor eredője az a vektor, amelynek támadáspontja az első összetevő támadáspontjával, míg a végpontja a másik vektor végpontjával egyezik meg. ez a háromszögszabály (1.8.b ábra). Általában a kettőnél több vektor összegezésére a sokszögszabályt használják: öszekötik a következő vektor támadáspontját az előző vektor végpontjával és így sorban. Az adott vektorok erdői összeköti a törtvonal kezdőpontját a végpontjával (1.9.ábra). Ki kell emelni, hogy az erdmény nem függ az alkalmazott módszertől. Az eredő vektor vetülete valamely egyenesre (tengelyre) egyenlő az összeadandó vektorok ugyanazon egyenesen (tengelyen) levő vetületeinek összegével. Ez látható az 1.10.ábra alapján. az adott példára felírható: E x =A x +B x +C x +D x VEKTOROK KIVONÁSA. Ez visszavezethető a vektorok összeadására szem előtt tartva az ellentett vektor meghatározását. Szimbolikusan: a - b = a +(- b )= R A vektorok kivonását az ábrán látható rajz szemlélteti. VEKTOR SZORZÁSA SKALÁRRAL. A k skalár és az a vektor szorzata, szimbolikusan ka, olyan eredményre vezet amely a k értékétől függ. 1. Ha k=0, akkor k a egyenlő 0 (nulvektor, melynek értéke 0, hatásvonala és iránya meghatározhatatlan). Ha k 0, akkor a. k a ugyanolya irányú mint az a ; 17

18 b. a k>0 esetén k a vektor irányítása ugyanaz mint az a vektoré, ellentétes irányítású, ha k<0. 3. A k a vektor értéke egyenlő az a vektor nagyságának és a k skalár abszolút értékének szorzatával. k a = k a = AZ a VEKTOR OSZTÁSA k SKALÁRRAL: a 1 k a, k Ez visszavezethető az a vektor szorzására a negatív kitevőjű skalárral. A vektor skalárral történő szorzatának eredménye nem mindig ugyanaz a fizikai mennyiség, mint ami volt a művelet elvégzése előtt. Például a gyorsulást és sebességet az idővel összekapcsoló összefüggéssel. m m a ( ) t (s) = v ( ). s s A skalárral történő szorzás előtti és utáni vektorok kollineárisak, de lehetnek más-más természetűek. VEKTOROK FELBONTÁSA A különféle problémák megoldásánál sűrűn szükséges az adott vektor helyett annak összetevőit figyelembe venni. Az összetevők meghatározásának eljárását a vektor felbontásának nevezzük (1.1.ábra). A vektor felbontását egy ismert átfogójú paralelogrammának szerkesztésére vezetik vissza (az átló az adott vektor). Mivel nagyon sok paralelogrammát szerkeszthetünk, amelyeknek az átlója egyforma, így a feladatnak végtelen sok megoldása lehet. Hogy az erők felbontásának feladata meghatározott legyen, azaz csak egyetlen megoldása legyen, a felbontandó erő mellett ismerni kell az összetevők határvonalait is. Általában egymással os szöget bezáró egyenesekre történik a felbontás. A vektor ilyen felbontását szemlélteti az ábra. Más vektor-műveletek is léteznek, amelyekről majd a későbbiek folyamán lesz szó. KÉRDÉSEK ÉS FELADATOK 1. Melyek a fizika alapmeghatározásai? Mit tanulmányoz a fizika?. Léteznek-e a tudományok között természetes határok? 3. Írjátok la röviden a fizika kapcsolatait más tudományokkal! 4. Miért fontos tudomány a fizika? 5. Melyek az anyag két megjelenési formája a fizikában? 6. Mi a különbség a testek és a szubsztancia között? 18

19 7. Vajon a fizika elméleti vagy kísérleti tudomány? 8. Írjátok le az elmálet és a kísérlet kölcsönös kapcsolatát! 9. Mi a fizikai mennyiség? Soroljatok fel néhány fizikai mennyiséget! 10. Mi a fizikai törvény, és mi a fizikai elmélet? 11. Mely adatok határozzák meg a skaláris és vektoriális értékeket? 1. Lehet-e két skaláris mennyiség kombinációjával vektormennyiséget előállítani és fordítva? 13. A vektormennyiség vetülete skalár, vagy pedig vektor? 19

20 KINEMATIKA Kinematikának nevezzük a mechanika azon területét, amely leírja a mechanikai mozgásokat, de nem foglalkozik azzal, hogy mi okozza ezek keletkezését és létezését. A mechanikának még két alapterülete van: a dinamika és a statika. Mindhárom területet külön fogjuk tanulmányozni. Mozgása során a test (anyagi pont) időben változtatja a helyzetét. Ez azt jelenti, hogy változnak azon mennyiségek értékei amelyek az adott mozgást jellemzik. A mozgásra jellemző mennyiségeket összekötő képletek (mozgástörvények) lehetővé teszik, hogy az adott mozgást mennyiségileg is le lehessen írni, azmellett hogy a test térbeli helyzetét bármely pillanatban meghatározzák, még olyan mennyiségek értékei is meghatározhatók, mint a testek elmozdulása, út, sebesség, gyorsulás és mozgásidő (kinematikai mennyiségek). MECHANIKAI MOZGÁS Közvetlen megfigyeléssel láthatóak a testek különböző mozgásai. Lenyűgözőek a felhők ahogy úsznak az égen. Érdeklődéssel figyeljük a repülők útját, a költöző madarak vándorlását a melegebb égtájak felé. Türelmetlenül várjuk, vagy kísérjük ki a vonatokat és autóbuszokat. Mérgesek vagyunk azokra a gépkocsivezetőkre akik veszélyeztetik a közlekedés biztonságát az utakon. Megfigyeltük a földre pottyanó alma esését, a golyócskák mozgását a talajon, az elasztikus rugókra akasztott testek rezgéseit,stb. Mi a közös ezekben a felsorolt példákban? Az úszás, repülés, elmozdulás, rezgés szavakat egy általános elnevezéssel helyettesíthetjük a testek mozognak. Mindegyik példában általánosítható az, hogy a testek változtatják helyzetüket más testekhez képest. A felhő, a repülőgép, az autó és az alma változtatják helyzetüket a földön levő helyekhez képest. A fenti példák alapján a következő megállapítás vonható le: A testek mechanikai mozgása, nem más mint ezek helyzetének az időben történő megváltozása, bármely más testhez képest. 0

21 A MOZGÁS VISZONYLAGOSSÁGA A természetben minden valahol és valamikor történik: a térben (hol?) és időben (mikor?). Minden test meghatározott időben bármely pillanatben, helyet foglal el a térben más testekhez viszonyítva. Az hogy egy test mozog-e, és hogyan mozog,attól függ, hogy mely testhez viszonyítják a helyzetét. Az utas aki a vagonban ül, a vonathoz viszonyítva nyugalmi helyzetben van, de az állomáshoz viszonyítva a vonattal együtt mozog (.1.ábra). Egy másik vonathoz viszonyítva ez a mozgás másmilyen. Ebben áll a testek mozgásának viszonylagossága (relativitása). Ha a test helyzete nem változik ahhoz a testhez képest, amelyre nézve a megfigyelést végezzük, akkor az nyugalmi állapotban van. Ahhoz, hogy a test mozgását megismerjük, tudnunk kell hogyan változik a test helyzete a térben és időben, ahhoz a testhez viszonyítva, amekyhez képest a mozgást megfigyeljük. Kell-e ismerni a test minden egyes részecskéjének helyzetét? Ha a test minden részecskéje ugyanolyan módon mozog, elégséges egyetlen, bármely részecske (pont) mozgását ismerni ahhoz, hogy a test mozgása, mint a részecskék összessége ismert legyen. Ebben az esetben a test mozgását annak egyetlen részecskéjének anyagi pontnak a mozgása szemlélteti. Ekkor nem vesszük figyelembe sem a test alakját, sem a méreteit. Az anyagi pont jelenti azt a testet, amelynek az alakja és mérete az adott mozgásnál elhanyagolható. Anyagi pontnak tekinthető egy test akkor is, ha annak méretei elhanyagolhatóak a test által leírt úthoz viszonyítva. Például, amikor a Föld Nap körüli mozgását figyelik, a Föld anyagi pontnak tekinthető, mert annak átmérője tízezerszer kisebb mint a Nap körüli pályájának átmérője. Nem hanyagolható el a Föld alakja, sem mérete, amikor a Föld a pólusain áthaladó ún. sajáttengelye körüli forgást figyelik meg. Ezek szerint, ugyanaz a test egyes mozgásoknál anyagi pontként kezelhető, míg más mozgásoknál ez nem tehető meg. VONATKOZTATÁSI RENDSZER Hogyan lehet meghatározni a testek (anyagi pont) térbeli helyzetét? A testek helyzetéről, így a helyzetváltoztatásról mozgásról, csak akkor beszélhetünk, ha meghatározunk egy másik testet, vonatkoztatási testet, amelyhez képest az adott mozgást megfigyeljük. Azt a testet amelyhez képest a mozgást megfigyelik és leírják vonatkoztatási testnek nevezzük. Habár a vonatkoztatási test megválasztása tetszőleges, mégis azt a testet válasszák, amelyhez viszonyítva a testek (anyagi pontok) helyzete és mozgása a legegyszerűbben meghatározható. A testek a Földön, vagy annak közelében történő mozgásához éppen a Földet, valamely helyet, vagy testet a Föld felszínén (ház, fa, domb, hegy) választják vonatkoztatási testnek. A világűrben történő mozgásokat leggyakrabban a Naphoz, vagy az álló csillagokhoz képest figyelik meg, amelyeknek egymáshoz viszonyított helyzetei (gyakorlatilag) időben nem változnak. 1

22 A kiválasztott vonatkoztatási testhez megfelelő koordináta-rendszert rendelnek. Vonatkoztatási rendszernek nevezzük azt a koordináta-rendszert, amelynek középpontjában a vonatkoztatási test van. Különféle koordináta-rendszerek vannak: Descartes-féle koordináta-rendszer, poláris, gömb, hengeres és mások. Mi csak a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszert fogjuk használni. Ezt három egymásra merőleges sík, azaz három egymásra merőleges (x,y,z) tengelyek alkotják, ezek metszéspontja O, a koordináta-rendszer kezdőpontját jelöli. Ebben a koordináta-rendszerben az A pont helyzete három szám segítségével határozható meg. A (x,y,z) amelyeket az A pont koordinátáinak neveznek. Ezek valójában az A pont tévolságai az zoy, zox és yox síkoktól mérve. A..ábrán a térbeli és a síkban levő Descartes- féle koordináta-rendszerek vannak feltüntetve. A testek háromdimenziós térben történő mozgására reális példaként vehető a repülők és a madarak repülése. HELYVEKTOR A Descartes-féle koordináta-rendszerben az anyagi pont helyzete a helyvektorral,vagy rádiusz-vektorral egyértelműen meghatározható. Az anyagi pont helyvektora az a vektor, amely összeköti a koordináta-rendszer kezdőpontját (origó) az adott ponttal és a koordináta-rendszer kezdőpontjától az adott pont felé irányul. Az A (x,y,z) pont helyvektora (..ábra) az x,y,z oldalú hasáb irányított átlója. Az A (x,y,z) pont térbeli, vagy síkban levő helyvektorának nagysága az x,y,z, vagy az x és y koordináták segítségével, Pythagorasz-tételének alapján számítható ki: r = x y z ; r = x y A test (anyagi pont) egyenes vonalon történő mozgásakor sűrűn ezt az egyenest veszik koordináta-rendszernek. A test helyzete ekkor egyetlen koordinátával meghatározott, és ez pedig az anyagi pontbak egy kiválasztott ponttól (koordinátakezdőpont O) mért távolsága ezen a tengelyen. (példánkban a B pontra, x=3) 0 B(3) x

23 EGYENLETES ÉS VÁLTOZÓ MOZGÁS PÁLYA ÉS ÚT Mozgása során a test (anyagi pont) szüntelenül változtatja helyét a térben. Hogy teljes képet kapjunk a test (anyagi pont) helyzetéről amelyeken mozgása során átment, bevezetjük a pálya fogalmát. Pályának nevezzük azt a vonalat, amelyet a test (anyagi pont) a mozgása során az adott vonatkoztatási rendszerben leír. A pálya az a vonal, amely összeköti a test (anyagi pont) által a mozgása során egymás után elfoglalt helyzeteit. A pályát (a test által hagyott nyom) némely esetekben közvetlenül megfigyelhetik. Ekkor a megfigyelőnek alkalma van egyidejűleg látni mindazon pontok összességét, amelyeken a test előzőleg áthaladt. Például, a derült égen sűrűn látható a nagy magasságokban látható repülő nyomvonala. A ceruza hegye is nyomoy hagy a papíron, a kréta pedig az iskolatáblán. Mindaz ami a füzeteinkben le van írva, valójában a ceruza hegyének, a jegyzeteléskor készített, nagyon összetett mozgásának a pályája. Különböző vonatkoztatási rendszerből nézve a test pályájának alakja eltérő lehet. Például a repülőből ejtett test a repülőhöz viszonyítva, a repülőben lévő megfigyelő számára, függőleges vonalon esik, míg a földön levő megfigyelő számára a test pályája görbe vonal. A kerék peremén lévő A pont pályája, a síma talajon gördülő kerék tengelyéhez viszonyított vonatkoztatási rendszerben körvonal. A talajhoz kötött vonatkoztatási rendszerben a pálya ciklois. (.5.ábra). Más példát is említhetünk. A műhold Földhöz viszonyított pályája körvonal. A Naphoz rögzített vonatkoztatási rendszerben a műbolygó pályája egy csavar-vonal, amely körülfogja a Föld pályáját.ez a csavar-vonal egy széthúzott fémrugóra emlékeztet (.6.ábra). A testek (anyagi pontok ) mozgásáról és pályájuk alakjáról csak egy meghatározott vonatkoztatási rendszer keretében lehet beszélni. A test (anyagi pont ) pályájának meghatározott időtartam alatt megtett szakasza az út. 3

24 Az utat a pálya mentén a mozgás irányában mérik. az út mértékegysége a méter (m). Az utak értékei csak pozitívak lehetnek. Például, ha a test egyenes pályán 50m-t halad egy irányba, majd ugyanazon a pályán a kiindulási pontba ér vissza, a megtett út 100 méter. Amikor a futó kétszer az egyik irányba, majd kétszer a másik irányba körülszaladja a futballpálya körüli atlétikapályát, akkor a megtett út az atlétika pálya hosszának a négyszerese. A pálya (út) alakjától függően a mozgások lehetnek: egyenes vonalúak és görbe vonalúak (.7.ábra). Egyenes vonalú az amozgás amelynél a test pályája egyenes vonal (a gépkocsi vízszinte és egyenes úton történő mozgása). Az egyenes vonalú mozgás lehet egyenletes és egyenlőtlen (változó). Az egyenes vonalú egyenletes mozgásnál a test (anyagi pont) egyenlő időközönként egyenlő távolságokat tesz meg, míg az egyenes vonalú változó mozgásnál, azonos időközönként különböző távolságokat. A görbe vonalú mozgás a testek (anyagi pont)görbe vonalon (kör, parabola, spirális, stb.) történő mozgása. Változó mozgást végeznek a járművek (vonatok, autóbuszok, gépkocsik) induláskor és megálláskor, a lejtőn lefelé mozgó szán és kiskocsi, a fegyverekből kilőtt robbanó töltetek (golyók), a műholdak és a Hold a Föld körül, a bolygók a Nap körül, stb. ELMOZDULÁS Az alapvető kinematikai fogalmak és mennyiségek ismerete lehetővé teszi elvben, hogy a test helyzetét minden pillanatban meghatározzák. Ezen fogalmak közé tartoznak: pálya, út, helyvektor, elmozdulásvektor (röviden: elmozdulás), sebesség és gyorsulás.megismertük a pálya, az út és a helyvektor fogalmát. Előttünk áll a többi fogalom (mennyiség) megismerése. A pálya és az út fogalmával szorosan összefügg az elmozdulásvektor (elmozdulás) fogalma. Tegyük fel, hogy a test az A pontból indult és meghatározott idő alatt a B helyzetbe jutott 4

25 (.8.ábra). Mozgása során a test ( pont ) s ívet írt le. Ennek az ívnek megfelelő elmozdulásvektor az AB. Az elmozdulás értéke megegyezik anak a húrnak a hosszával, amely összeköti azokat a pontokat amelyekben a test volt induláskor és a végső idő pillanatban. Az időköz, amelyben a mozgást megfigyelik, változhat (kisebbedhet). Például a kezdő pillanatban a test az A pontban volt és bizonyos (nagyon rövid ) idő alatt a B pontba került.az elmozdulás ebben az esetben az AB irányított szakasz.hasonló módon bármely időtartamra meg lehet találni az elmozdulást (.8. a.) és b.) ábra ). Határesetben, amikor már az időtartam annyira lecsökken, hogy az egy időpillanattal lesz azonosítható, az elmozdulás hatásvonala megegyezik a pálya megfelelő pontjába húzott érintő irányával. (.8.b.) ábra ). Az út és az elmozdulás között lényeges különbség van. Az út olyan mennyiség, amelynek csak pozitív értékei lehetnek, míg az elmozdulás (vektormennyiség) értékei lehetnek pozitívak és negatívak is. Két pont közötti utak különbüzőek lehetnek, de az elmozdulás nem változik (mindig ugyanaz marad). Az A pontból a B pontba a test különböző a,b, vagy c úton juthat; tehát az út a pálya alakjától függ. Mindez mellett az elmozdulásvektor ( AB = r )változatlan marad. Ennek irányítása az A-tól a B felé. Ha a test A-tól B felé mozgott, majd B-ből az A-ba, a megtett út az A és B távolság kétszerese, de az elmozdulás nulla. Amikor a test zárt úton mozgott, és visszajutott a kiindulási pontba, akkor az elmozdulása ugyancsak nullával egyenlő, míg az útja a pálya kerületének felel meg (.9.ábra ) Az egyenesvonalú mozgásnál, függetlenül attól, hogy egyenletes, vagy változó-e a mozgás, az elmozdulás hatásvonala és irányítása megegyezik a test mozgásának hatásvonalával és irányításával, és ekkor az elmozdulás értéke megegyezik a megtett úttal. Ha a test egyenes vonalon mozog, egyszer az egyik, majd az ellenkező irányba, akkor az elmozdulás és az út különböznek egymástól. Az út, amit a test az A pontból a B pontig megtesz, egyenlő a két pont között mért, a test által leírt pálya hosszával. Az út tehát nemcsak kezdő- és végpont helyzetétől függ, hanem a test által leírt pálya alakjától is. Az elmozdulás értékét a kezdő- és végpontok ( A-tól B-ig ) közötti legrövidebb távolság határozza meg, eltekintve attól, hogy melyik pályán mozgott a test. Ha a test az A pontból a B-be, majd a B-ből az A-ba jut, akkor a test a kiinduló pontba (helyzetbe ) ér vissza, így az összelmozdulásának értéke nulla lesz.tehát: r AB r BA 0 ami a.9. ábrán van szemléltetve. Az elmozdulás értékét is méterekben fejezik ki. PÉLDA: 5

26 Az anyagi pont síkbeli mozgása során az A(-,1) pontból a B(,4 ) helyzetbe jut.határozzátok meg az elmozdulás értékét hosszúság mértékegységekben! MEGOLDÁS Az ábrán látható, hogy az elmozdulás (AB távolság) Pythagorasz- tételével határozható meg: x r = 5 cm x1 y y1 cm 3 4 cm r = SEBESSÉG ÉS GYORSULÁS A sebesség a mechanikai mozgás egyik jellemzője. Ez kifejezi a mozgás lényegét, meghatározza azt a különbséget, ami az ugyanazon vonatkoztatási rendszerben nyugvó állapotban és mozgásban lévő testek között létezik. Az egyenesvonalú egyenletes mozgást végző testeknél (.10. ábra) a megtett út és a mozgásra szolgáló idő viszonyával határozzák meg. A szokásos jelek felhasználásával a sebességre v, az útra s és t az időre, kapjuk: v = t s A sebesség értéke ( nagysága ) az út és az idő hányadosával van meghatározva. A sebesség vektormennyiség, így mint a többi vektor, a nagyságával, hatásvonalával és irányával van meghatározva. Az egyenesvonalú egyenletes mozgásnál (ez a legegyszerűbb fajta mechanikai mozgás) a sebesség hatásvonala megegyezik azzal az egyenessel, amelyen a test ( anyagi pont ) mozog, iránya pedig a mozgás irányával azonos. Tegyük fel, hogy a test görbevonalú pályán mozog (.11. ábra). Ezt feloszthatjuk rövid s útszakaszokra, amelyeken a test t időszakaszok alatt halad át. Az ilyen rövid időszakaszokban történő sebességváltozások elhanyagolhatóak és így a test mozgása ezeken a kis útszakaszokon közelítőleg egyenesvonalú egyenletes mozgásnak vehető. Ebben az esetben felírható a következő összefüggés: 6

27 s v= t Ez a képlet csak a sebesség értékét határozza meg, a hatásvonala és iránya meghatározatlan marad. Mivel az út és az idő skaláris mennyiségek, ezek hányadosa ugyancsak skalár, de tudjuk, hogy a sebesség vektor mennyiség. A testek sebességének általánosabb kifejezése az elmozdulás segítségével határozható meg. Ez a kifejezés alkalmazható a testek összetettebb mozgásaira is, amelyek pályái görbe vonalak (.1.ábra). r v = Itt a sebesség vektoriális tulajdonsága közvetlenül az elmozdulás vektoriális természetéből következik. A testek sebességeinek értékeit az elmozdulások nagyságai és az erre szolgáló idők hányadosai határozzák meg. ÁTLAGSEBESSÉG A testek reális feltételek közt, a tetszőleges alakú pályán legtöbbször váltakozó mozgással haladnak. A szállító-járművek induláskor (a mozgás során) és megálláskor változtatják a sebességüket. A lejtőn lecsúszó szánkó, a függőlegesen feldobott test, vagy a szabadon eső test stb. sebessége változó. Az ilyen mozgások leírására vezették be az átlagsebesség (a sebesség átlagértéke) fogalmát. A Belgrád és Nis közötti 40 km távolságot az egyik autó 3 óra alatt, míg a másik óra alatt teszi meg. Az első autó átlagosan 80 km utat tesz meg óránként, míg a másik 10 km-t. Az autók mozgásuk során nem haladtak így állandóan. Induláskor gyorsítva mozogtak, megálláskor pedig lassulva. Megálltak a jelzőlámpák előtt, a fizetőkapuknál... Mit határoznak meg akkor az átlagsebességeik? Az átlagsebességek a mozgásaik összehasonlítására, azaz az általuk bizonyos idő alatt megtett utak kiszámítására szolgálhatnak. A testek (anyagi pontok) mozgásait a.13. ábra szemlélteti. A test t 1 idő alatt s 1 utat, t idő alatt pedig s utat tesz meg. A rajzon látható, hogy s s s1. Ez a test által a t t t1 időtartam alatt megtett út. Ennek alapján az átlagsebesség képlete a következő alakban írható fel: 7

28 s s1 s v á = =. t t1 Az átlagsebesség értéke a megtett út és a közben eltelt idő hányadosával egyenlő. Az átlagsebesség értéke meghatározható még a következőképpen is: A változó mozgás átlagsebességének értéke az a sebesség, amellyel a test egyenletesen mozogva, ugyanazt az utat ugyanannyi idő alatt tenné meg, mint változó mozgással. Az átlagsebesség olyan mennyiség, amelynek hatásvonaláról és irányításáról tárgytalan beszélni. Ha az átlagsebességről van szó, akkor mindig annak átlagértékére gondolunk. Tehát az átlagsebesség skaláris mennyiség. Az átlagsebesség értékének és az eltelt időnek a szorzata a megtett út hosszát adja meg: s vá. Megjegyzés.- A sebesség elnevezést amikor a sebesség értékéről van szó, gyakran tévesen használják. Azt mondják pl.,hogy a vonat 80km/h sebességgel mozgott, habár a vonat sebességének értéke 80 km/h volt. A különbség akkor lesz különösen szemmel látható, amikor a vonat görbe vonalú pályán mozog, ahol a sebesség hatásvonala és iránya állandóan változik, míg sebességének értéke állandó. Hasonlóan az átlagsebességet egybevetik az átlagsebesség értékével. PILLANATNYI SEBESSÉG A testek (anyagi pontok ) helyzetét egy adott pályán az átlagsebesség értéke alapján csak az eltelt időtartam végső pillanatában (végén) lehetséges meghatározni. Az átlagsebesség értékének ismerete nem teszi lehetővé a testek (anyagi pontok) bármely más pillanatban vett helyzeteinek meghatározását, mert a változó (egyenlőtlen) mozgásnál az átlagsebesség értékei más-más időtartamokban, az egyes útszakaszokon, eltérőek. A testek Anyagi pontok) helyzeteinek bármely pillanatban történő meghatározásához szükséges a pillanatnyi sebesség ismerete. A test (anyagi pont) pillanatnyi sebességének meghatározásához induljunk ki a sebességnek az elmozdulással megadott képletéből: r v = Az időtartam t csökkentésével, csökken az elmozdulás, r értéke is (.14.a ábra).határesetben, amikor az időtartam időpillanatra zsugorodik ( 0), megkapjuk a t pillanatban mérhető sebességet pillanatnyi sebességet (.14. b ábra). Ezt a következő alakban írhatjuk le: v = r, ha 0. 8