Modellezés Gregorics Tibor Mesterséges intelligencia

Átírás

1 Modellezés

2 1. Állapottér-reprezentáció Állapottér: a probléma leírásához szükséges adatok által felvett érték-együttesek (azaz állapotok) halmaza az állapot többnyire egy összetett szerkezetű érték gyakran egy bővebb alaphalmazzal és egy azon értelmezett invariáns állítással definiáljuk Műveletek: állapotból állapotba vezetnek megadásukhoz: előfeltétel és hatás leírása invariáns tulajdonságot tartó leképezés Kezdőállapot(ok) vagy azokat leíró kezdeti feltétel Végállapot(ok) vagy célfeltétel

3 Állapottér-reprezentáció állapot-gráfja Állapottér modell Állapot-gráf o állapot ~ csúcs o művelet hatása egy állapotra ~ irányított él o művelet költsége ~ él költsége o kezdő állapot ~ startcsúcs o célállapot ~ célcsúcs Gráf-reprezentáció: állapot-gráf, startcsúcs, célcsúcsok o egy műveletsorozat hatása ~ irányított út o megoldás ~ irányított út a startcsúcsból egy célcsúcsba

4 Hanoi tornyai probléma Állapottér: Kezdőállapot Végállapot [3,3,3] [1,1,1] AT ={1,2,3} n megjegyzés : a tömb i-dik eleme mutatja az i-dik korong rúdjának számát; a korongok a rudakon méretük szerint fentről lefelé növekvő sorban vannak. Művelet: Rak(honnan, hova):at AT HA a honnan és hova létezik és nem azonos, és van korong a honnan rúdon, és a hova rúd üres vagy a mozgatandó korong (honnan rúd felső korongja) kisebb, mint a hova rúd felső korongja, AKKOR this[honnan legfelső korongja] := hova this:at az aktuális állapot 1..n intervallummal indexelt egydimenziós tömb, amely elemei az {1,2,3} halmazból származnak.

5 Implementáció template <int n = 3> class Hanoi { int _a[n]; // its elements are between 1 and 3 public : bool move (int from, int to) { if ((from<1 from>3 to<1 to>3) (from==to)) return false; bool l1; int i; // l1 ~ from is not empty, i ~ upper disc on from for(l1=false, i=0;!l1 && i<n; ++i) l1 = (_a[i]==from); if (! l1) return false; bool l2; int j; // l2 ~ to is not empty, j ~ upper disc on to for(l2=false, j=0;!l2 && j<n; ++j) l2 = (_a[j]==to) ; if ( l2 i<j ){ _a[i] = to; return true; } else return false; } bool final() const { bool l=true; for(int i=0; l && i<n;++i) l = (_a[i]==1); return l; } void init() { for(int i=0;i<n;++i) _a[i] = 3; } };

6 Hanoi tornyai [3,3,3] start állapot-gráfja csúcsok száma : 3 n csúcs ki-foka: 2, 3 körök hosszai: 2, 3, 6, 7, 9, [1,1,2] [1,1,3] [2,1,3] [2,3,3] [3,1,3] [3,2,3] [1,3,3] [1,2,3] [2,2,3] [2,2,1] [3,1,2] [2,1,2] [1,2,1] [3,2,1] [3,2,2] [2,3,2] [1,3,1] [3,1,1] [2,2,2] [1,2,2] [1,3,2] [3,3,2] [3,3,1] [2,3,1] [2,1,1] [1,1,1] cél

7 általános állapot n-királynő probléma 1. utófeltételnek megfelelő állapot Állapottér: AT = {, _ } n n invariáns: egy állapot (tábla) pontosan n darab királynőt tartalmaz Művelet: Áthelyez(x,y,u,v):AT AT (this:at) HA AKKOR 1 x,y,u,v n és this[x,y]= és this[u,v]=_ this[x,y] this[u,v] csere kétdimenziós tömb (n n-es mátrix), mely elemei {, _ } halmazbeliek

8 Állapot-gráf részlet csúcsok száma: csúcsok ki-foka: n*(n 2 n) n 2 n adott csúcsból induló k hosszú utak száma az oda-vissza lépések nélkül: (n*(n 2 n)) k

9 Állapottér vs. problématér A problématér elemeit (lehetséges megoldásokat) a startcsúcsból induló különböző hosszúságú irányított utak szimbolizálják. Egy feladat állapottér-reprezentációja és problématere között szoros kapcsolat áll fenn, de az állapottér nem azonos a problématérrel. A Hanoi tornyai problémánál a megoldások a startcsúcsból célcsúcsba vezető irányított utak. Az n-királynő problémánál egy állapotot (célcsúcsot) keresünk, de ebben az esetben is egy alkalmas operátor-sorozat (azaz irányított út) vezet el ahhoz, azaz végsősoron ilyenkor is utat keresünk.

10 Állapot-gráf bonyolultsága Állapot-gráf bonyolultsága Problématér mérete Keresés számításigénye A bonyolultság a start csúcsból kivezető utak számától függ, amely nyilván függvénye a csúcsok és élek számának csúcsok ki-fokának körök gyakoriságának, és hosszuk sokféleségének

11 Csökkentsük a problématér méretét Ugyanannak a feladatnak több modellje lehet : érdemes olyat keresni, amely kisebb problémateret jelöl ki. o o o Az n-királynő probléma reprezentációjánál a problématér mérete, a lehetséges utak száma, óriási. Adjunk jobb modellt! Bővítsük az állapotteret az n-nél kevesebb királynőt tartalmazó állásokkal, és használjunk új műveletet : királynő-felhelyezést (kezdő állás az üres tábla). Műveletek előfeltételének szigorításával csökken az állapotgráf átlagos ki-foka: - Sorról sorra haladva csak egy-egy királynőt helyezzünk fel a táblára! - Ütést tartalmazó állásra ne tegyünk királynőt!

12 n-királynő probléma 2. kezdőállapot végállapot Állapottér: AT = {, _ } n n nincs már üres sor és nincs ütés invariáns: az első néhány sor egy-egy királynőt tartalmaz Művelet: Helyez(oszlop): AT AT (this:at) HA közbülső állapot 1 oszlop n és a this-beli soron következő üres sor n és nincs ütés a this-ben AKKOR this[a this-beli soron következő üres sor,oszlop] :=

13 csúcsok száma < (n n+1 1)/(n 1) csúcs ki-foka: n Állapot-gráf start ágak száma < n n cél

14 Művelet végrehajtásának hatékonysága A művelet kiszámítási bonyolultsága csökkenthető, ha az állapotokat extra információval egészítjük ki, vagy az invariáns szigorításával szűkítjük az állapotteret. Például o o Egy állapotban a tábla soron következő üres sorának sorszámát eltárolhatjuk a tábla mellett, így új királynő elhelyezésekor ezt nem kell kiszámolni, ugyanakkor egy művelet végrehajtásakor könnyen aktualizálhatjuk (eggyel növeljük). Ne engedjünk meg ütést létrehozni a táblán, hogy ne kelljen ezt a tulajdonságot külön ellenőrizni. Ennek céljából megjelöljük az ütés alatt álló üres (tehát már nem szabad) mezőket, amelyekre nem helyezhetünk fel királynőt. Egy mező státusza három féle lesz: szabad, ütés alatt álló vagy foglalt, amelyeket a művelet végrehajtásakor kell karbantartani.

15 n-királynő probléma 3. kezdőállapot: kövsor = 1 közbülső állapot: kövsor = 3 végállapot : kövsor = 5 Állapottér: AT = rec(t :{,, _ } n n, kövsor : N) invariáns: kövsor n+1, az első kövsor 1 darab sor egy-egy királynőt tartalmaz, királynők nem ütik egymást, jelölés : egy királynő által ütött üres mezőt jelöli, _ az ütésben nem álló (szabad) üres mezőt jelöli.

16 n-királynő probléma 3. folytatás Művelet: új királynő elhelyezése a soron következő sorba Helyez(oszlop): AT AT HA (this:at) 1 oszlop n és this.kövsor n és this.t[this.kövsor,oszlop]=_ AKKOR this.t[this.kövsor,oszlop] := i [this.kövsor+1.. n] : this.t[i, oszlop]:= ha (i n+this.kövsor oszlop) this.t[i, i this.kövsor+oszlop]:= ha (i this.kövsor+oszlop 1) this.t[i, this.kövsor+oszlop i]:= this.kövsor := this.kövsor+1 Kezdőállapot: this.t egy üres mátrix, this.kövsor:=1 Végállapot: this.kövsor>n előfeltétel számításigénye: konstans hatás számításigénye: lineáris célfeltétel nagyon egyszerű lett

17 start Állapot-gráf cél

18 Kezdőállapot: tetszőleges Tologató játék (8-as, 15-ös) Állapottér: AT = rec(mátrix :{0..8} 3 3, üres :{1..3} {1..3}) invariáns: egy állapot mátrixának sorfolytonos kiterítése a számok egy permutációja, az üres hely a 0 elem mátrixbeli sor és oszlopindexe. Művelet: HA AKKOR Tol(irány): AT AT koordinátánként értendő irány {(0,-1),(-1,0),(0,1),(1,0)} és (1,1) this.üres+irány (3,3) (this: AT) this.mátrix[this.üres] this.mátrix[this.üres +irány] this.üres := this.üres +irány Végállapot: szokásos

19 start Állapot-gráf cél

20 2. Probléma dekompozíció Egy probléma dekomponálása során a problémát részproblémákra bontjuk, majd azokat tovább részletezzük, amíg nyilvánvalóan megoldható problémákat nem kapunk. Sokszor egy probléma megoldását akár többféleképpen is fel lehet bontani részproblémák megoldásaira. probléma részprobl 11 részprobl 12 részprobl 21 részprobl 22 részprobl23 rész 1 rész 2 rész 3 rész 4

21 Integrálszámítás (5 x 2 +x e x )dx + 5 x 2 dx x e x dx x 2 dx x e x e x dx ⅓ x 3 e x Probléma általános leírása: szintaktikusan helyes kifejezés Kiinduló probléma: adott integrál-kifejezés Egyszerű probléma: integráljel nélküli kifejezés Dekomponáló operátorok: integrálási szabályok ½ x 2 e x ½ x 2 e x dx * ½ x 2 e x dx Megoldás gráf: alternatívákat nem tartalmazó levezetés egy olyan részfa, amelynek belső csúcsaiból egyetlen élköteg indul ki, levelei egyszerű megoldható problémák Megoldás: a megoldó részfa leveleit balról jobbra haladva kötjük össze a dekomponálások algebrai műveleteivel

22 Hanoi tornyai probléma megoldása H(3, 3 1, 2) dekompozícióval H(2,3 2,1) H(2,2 1,3) H(1,3 1,2) H(1,3 1,2) H(1,3 2,1) H(1,1 2,3) H(1,2 3,1) H(1,2 1,3) H(1,3 1,2) Probléma általános leírása: H(n, i j, k) n korongot vigyünk át az i. rúdról a j. rúdra a k. rúd segítségével Kiinduló probléma: H(3, 3 1, 2) Egyszerű probléma: H(1, i j, k) eldönthető, hogy megoldható-e Dekomponálás: H(n, i j, k) <H(n 1,i k, j), H(1, i j, k), H(n 1, k j, i)> Megoldás gráf: kiinduló problémát egyszerű problémákra visszavezető fa Megoldás: a részfa leveleit kell balról jobbra haladva összeolvasni

23 Dekompozíciós reprezentáció fogalma A reprezentációhoz meg kell adnunk: a feladat részproblémáinak általános leírását, a kiinduló problémát, az egyszerű problémákat, amelyekről könnyen eldönthető, hogy megoldhatók-e vagy sem, és a dekomponáló műveleteket: D: probléma probléma + és D(p)=<p 1,, p n >

24 A dekompozíció modellezése ÉS/VAGY gráffal Dekompozíciós modell ÉS/VAGY gráf o részprobléma ~ csúcs o dekomponáló művelet hatása ~ irányított hiper-él o művelet költsége ~ hiper-él költsége o kiinduló probléma ~ startcsúcs o megoldható probléma ~ célcsúcs Gráf-reprezentáció: ÉS/VAGY gráf, startcsúcs, célcsúcsok o egy dekompozíciós folyamat ~ hiper-út o megoldás ~ megoldás-gráf: hiper-út startcsúcsból célcsúcsok sorozatába

25 Hiper-él Egy csúcsból kivezető éleknek egy kötege, a hiperél jeleníti meg egy dekomponáló művelet hatását: a dekomponált probléma csúcsából a dekomponálással előállított részproblémák csúcsaiba vezet. a hiperél élei között ÉS kapcsolat van: egy dekomponált problémának minden részproblémáját meg kell oldani; egy csúcsból több hiperél is indulhat, ha egy probléma többféleképpen dekomponálható. Két ilyen hiperél egyegy éle között VAGY kapcsolat áll fenn: választhatunk, hogy melyik dekomponálást alkalmazzuk a problémára.

26 ÉS/VAGY gráfok 1. Az R=(N,A) élsúlyozott irányított hiper-gráf, ahol az N a csúcsok halmaza, A (n,m) N N + 0 M < } a hiper-élek halmaza, M a hiper-él rendje a (c(n,m) az (n,m) költsége) 2. Egy csúcsból véges sok hiper-él indulhat 3. (0< c(n,m)) c b f g d e i j h

27 Megoldás-gráf Az eredeti problémát egyszerű problémákra visszavezető dekomponálási folyamatot az ÉS/VAGY gráf speciális részgráfja, az ún. megoldás-gráf jeleníti meg, amelynek része a startcsúcs minden csúcsába vezet közönséges út a startcsúcsból, és minden csúcsából vezet közönséges út egy olyan célcsúcsba, amely a megoldás-gráf része egy éllel együtt az összes azzal ÉS kapcsolatban álló él is (azaz a teljes élköteg) része a megoldás-gráfnak nem tartalmaz VAGY kapcsolatban álló él párokat A megoldás ebből a megoldás-gráfból olvasható ki.

28 Az n csúcsból az M csúcs-sorozatba vezető irányított hiper-út fogalma Az n M hiper-út (n N, M N + ) egy olyan véges részgráf, amelyben M csúcsaiból nem indul hiper-él, M-en kívüli csúcsokból csak egy hiper-él indul, minden csúcs elérhető az n csúcsból egy közönséges irányított úton. A megoldás-gráf egy olyan hiper-út, amely a startcsúcsból csupa célcsúcsba vezet. c b f g d e i j a h a <d,e>

29 Az n M hiper-út egy bejárásán a hiper-út csúcsaiból képzett sorozatoknak a felsorolását értjük: első sorozat: <n> Hiper-út bejárása a C sorozatot a C k K sorozat követi (ahol a k C, és k minden C-beli előfordulása helyén a K sorozat szerepel) feltéve, hogy a hiper-útnak van olyan (k,k) hiper-éle, ahol k M. c d Így egy hiper-utat közönséges irányított útnak foghatunk fel, igaz többféleképpen, mert több bejárása is lehet: <n> <a,b> <n> <a,b> <a,a> < c,d,c,d > <c,d,b > <c,d,a> < c,d,c,d > n b

30 Útkeresés ÉS/VAGY gráfban ÉS/VAGY gráfbeli megoldás-gráf keresése visszavezethető egy közönséges irányított gráfban történő útkeresésre. A startcsúcsból induló hiper-utakat (köztük a megoldásgráfokat is) a bejárásukkal ábrázolhatjuk, és ezek a bejárások egy közönséges irányított gráfot határoznak meg. Ebben a csúcsok az eredeti ÉS/VAGY gráf csúcsainak sorozatai, a startcsúcs az ÉS/VAGY gráf startcsúcsából álló egy elemű sorozat, a célcsúcsok az ÉS/VAGY gráf célcsúcsainak egy részét tartalmazó sorozatok. A megfeleltetett közönséges irányított gráf megoldási újai az eredeti ÉS/VAGY gráf megoldás-gráfja.