II. Állapottér-reprezentáció

Átírás

1 II. Állapottér-reprezentáció 1

2 Állapottér-reprezentáció elemei Állapottér: a feladat homlokterében álló adategyüttes (objektum) lehetséges értékeinek (állapotainak) halmaza lényegében egyetlen típusérték-halmaz és annak összetett szerkezetű reprezentációja a típus invariánssal Műveletek: állapotból állapotba vezetnek megadásukhoz: előfeltétel és hatás-leírás Kezdő állapot(ok) vagy azokat leíró kezdőfeltétel Célállapot(ok) vagy célfeltétel 2

3 Megjegyzés Megoldás: műveletek sorozata Az állapottér általában nem azonos a problématérrel, mert a problématér elemei, azaz a lehetséges válaszok többnyire a kezdőállapotból induló műveletsorozatok, nem pedig az állapotok. A kiinduló válasz a kezdő állapotból induló nulla hosszú műveletsorozat Egy műveletsorozatnak (válasznak) szomszédjai azok a sorozatok, amelyek egy művelettel hosszabbak. 3

4 Hanoi tornyai probléma Kezdőállapot Célállapot Állapottér: Állás ={1,2,3} n megjegyzés : a rudakon lentről felfelé csökkenő méret szerint helyezkednek el a korongok. Egydimenziós, 1..n intervallummal indexelt n elemű tömb, amely elemeit az {1,2,3}-ból veszi Művelet: Rak(honnan, hová):állás Állás [3,3,3] [1,1,1] HA a-ban (a:állás) a honnan nem üres, és a hová üres vagy a legfelső korongja nagyobb, mint honnan legfelső korongja AKKOR a[honnan legfelső korongja] := hová 4

5 Implementáció Művelet: Rak(honnan, hová):állás Állás (a:állás) l1,i=search i 1..n (a[i]=honnan) i-t akarjuk mozgatni l2,j=search j 1..n (a[j]=hová) j-re akarunk rakni HA l1 és ( l2 vagy i<j) AKKOR a[i] := hová 5

6 Hanoi tornyai [3,3,3] start állapot-gráf [2,3,3] [1,3,3] [2,1,3] [1,2,3] [1,1,2] [1,1,3] [3,1,3] [3,2,3] [2,2,3] [2,2,1] [3,1,2] [2,1,2] [1,2,1] [3,2,1] [3,2,2] [2,3,2] [1,3,1] [3,1,1] [2,2,2] [1,2,2] [1,3,2] [3,3,2] [3,3,1] [2,3,1] [2,1,1] [1,1,1] cél

7 Állapottér-reprezentáció állapot-gráfja Állapot-gráf az állapottér-repr. reprezentációs gráfja állapot csúcs művelet hatása irányított él művelet költsége élköltség kezdő állapot startcsúcs célállapotok célcsúcsok műveletsorozat hatása irányított út Az útkeresés hatékonysága a problématér bonyolultságán múlik, ami az állapot-gráf bonyolultságától függ csúcsok és élek száma (3 n csúcs, 1 csúcsból kivezető él max: 3) utak száma, hossza (adott csúcsból kivezető k hosszú utak száma, ha a közvetlen visszalépést kizárjuk: 2 k ) körök gyakorisága és hossza 7

8 n-királynő probléma 1. általános állapot célfeltételnek megfelelő állapot kétdimenziós tömb (n n-es mátrix) Állapottér: Tábla = {, _ } n n amely elemeit a {, _ }-ból veszi invariáns: egy állapotban a királynők ( jelű mezők) száma = n Művelet: Áthelyez(x,y,u,v):Tábla Tábla HA (a[x,y]=) és (a[u,v]=_ ) (a:tábla) AKKOR a[x,y] a[u,v] 8

9 Problématér mérete Sok modellje lehet ugyanannak a feladatnak: keressük meg a legkisebb problématerűt o o o Most annyi állapot van, ahányféleképpen n királynőt elhelyezhetünk. Ennél jóval nagyobb a problématér, azaz egy adott állapotból kiinduló utak halmaza, hiszen egy állapotból n*(n 2 n) féleképpen lehet továbblépni, és egymás után végtelen sok ilyen lépést lehet tenni. Bővítsük az állapotteret az n-nél kevesebb királynőt tartalmazó állásokkal, de használjunk új műveletet : a királynő-felhelyezést. A problématér a legfeljebb n hosszú utakból áll majd, és a megoldást a pontosan n hosszúak között találjuk. Ezek száma: A műveletek előfeltételének szigorításával csökkenhet a problématér: - Sorról sorra csak egy-egy királynőt helyezzünk fel a táblára! Ekkor az n hosszú utak száma: n n - Ez tovább csökkenthető, ha ütést tartalmazó állásra nem rakunk fel újabb királynőt! 9

10 kezdőállapot n-királynő probléma 2. célállapot Állapottér: Tábla = {, _ } n n invariáns: a királynők ( jelű mezők) száma n csak az első valahány sorban van egy-egy királynő Művelet: közbülső állapot Helyez(oszlop):Tábla Tábla HA a táblán (a:tábla) a királynők száma < n és nincs ütés és a sor a soron következő üres sort jelöli AKKOR a[sor,oszlop] := 10

11 Állapot-gráf 11

12 Művelet végrehajtásának hatékonysága A művelet előfeltételének kiszámítási bonyolultsága csökkenthető, ha o az állapotteret (vagy annak invariánsát) szigorítjuk és o a művelet hatását ennek megfelelően módosítjuk (ugyanaz a megszorítás vándorol a specifikáción belül) Például o o o A királynők számát eltároljuk az állapotban (ebből ismert lesz a következő üres sor is) ahelyett, hogy mindig kiszámolnánk. Ha tároljuk, hogy mely üres mezőket tartanak ütés alatt a királynők, (ezeket a művelet végrehajtásakor, egy újabb királynő elhelyezésekor kell bejelölni, akkor konstans időben eldönthető, hogy egy új királynő üti-e az előzőeket, és ezt a tényt egy logikai változóban rögzíthetnénk, amiből látni, hogy további királynőt nem szabad elhelyezni. Sőt (és ez már új megszorítás) ne is legyen ütés a táblán. 12

13 kezdőállapot: db = 0 n-királynő probléma 3. közbülső állapot: db = 2 célállapot : db = 4 Állapottér: Tábla = rec(m :{,, _ } n n, db : N) invariáns: csak az első db sorban van egy-egy királynő (), db n, királynők nem ütik egymást, egy királynő által ütésben álló (foglalt) üres mezőt, _ az ütésben nem álló szabad mezőt jelöli 13

14 n-királynő probléma 3. Művelet: új királynő elhelyezése a soron következő üres sor szabad mezőjére (invariáns tartó művelet) Helyez(oszlop):Tábla Tábla (a:tábla) HA a. db < n és a.m[a.db+1,oszlop]= _ AKKOR a.db:=a.db+1 a.m[a.db,oszlop] := minden megfelelő i,j -re: a.m[i,j] := Kezdőállapot: a.m üres mátrix, a.db=0 Célállapot: a.db=n 14

15 4-királynő állapot gráf 17

16 kezdőállapot: tetszőleges Tologató játék (8-as, 15-ös) Állapottér: Tábla=rec(m :{0..8} 3 3, ü :{1..3} {1..3}) invariáns: a mátrix sorfolytonos kiterítése a számok permutációja, az üreshely a 0 elem sor és oszlopindexe. Művelet: Tol(irány):Tábla Tábla (irány *(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)}) HA a.ü+irány egy érvényes pozíció (a:tábla) AKKOR a.m[a.ü] a.m[a.ü+irány] a.ü := a.ü+irány célállapot: szokásos a.ü+irány koordinátánként értendő 19

17 Mit lát egy keresés a problématérből? A keresés szempontjából egy reprezentációs gráfnak csak a startcsúcsból elérhető része érdekes (9!/2), ugyanis ez az, amit egy keresés felfedhet a gráfból. Ráadásul ezt a felfedett részt is sokszor csak torzultan látja a keresés: (keresési tér) Ha a keresés nem ellenőrzi, hogy egy általa elért állapotot már korábban felfedezett-e, akkor nem az eredeti reprezentációs gráfot, hanem annak fává kiegyenesített változatát látja. Nem feltétlenül baj, ha emiatt a keresési tér végtelen nagy lesz, ha cserébe nincsenek már benne körök. A szülőcsúcsba való visszalépést viszont érdemes direkt módon kizárni, hiszen ez egy egyszerű vizsgálat, amellyel a felesleges éleket, oda-vissza köröket hagyhatjuk el a keresési térből. 20

18 Keresési tér célállapotok duplikátumok

19 Fekete-fehér kirakó Egy n+m+1 hosszú sínen n fekete és m fehér lapka és egy üres hely van. Egy lapkát szomszédos üres helyre tolhatunk vagy a szomszéd felett üres helyre ugrathatunk. Kezdetben a feketék után jönnek a fehérek, majd az üres hely. Kerüljenek a fehérek a feketék elé! Állapottér: Sín=rec(v : {B, W,_} n+m+1, poz : [1.. n+m+1]) invariáns: egy üres hely, poz az üres hely indexe, n darab B és m darab W Műveletek: TolBal, TolJobb, UgrikBal, UgrikJobb: Sín Sín Például: TolBal (üres helyet toljuk balra) HA a.poz 1 (a : Sín) AKKOR a.v[a.poz-1] a.v[a.poz] ; a.poz :=a.poz-1 Kezdőállapot: [B,, B, W,, W, _ ] Célállapot: i,j [1.. n+m+1], i<j : (a.v[i]=b a.v[j]=w) 22

20 Fekete-fehér kirakó állapot gráfja start cél cél cél cél 23

21 C A B Kockavilág probléma Egy asztalon van néhány kocka (A,B,C, ), amelyeket egy robotkar mozgat: felemel, rátesz, levesz, lerak. Építsünk fel egy meghatározott alakzatot egy rögzített helyzetből kiindulva! Állapottér: Kockák= set(alapliterálok) Alapliterálok={az ontable(x), on(x,y), clear(x), handempty, holding(x) összes alapelőfordulása, azaz ontable(a), ontable(b), } invariáns: egy állapot ellentmondás mentes (pl.: nincs on(c,b) és clear(b)), de lehet hiányos (lásd célállapot) Például: Kezdőállapot: ontable(a), clear(a), ontable(b), on(c,b), clear(c),handempty Célállapot: on(a,b), on(b,c) 24

22 C A B HA Kockavilág probléma műveletei Teljes leírású állapotból teljes leírású állapotba vezetnek, de lehet alkalmazni hiányos állapotra is, Műveletek: sőt nemcsak alapliterálokkal leírt állapotokra is. Pickup(x): Kockák Kockák (h : Kockák) ontable(x),clear(x),handempty h AKKOR h := h {ontable(x),clear(x),handempty } {holding(x)} Putdown(x): Kockák Kockák HA holding(x) h (h : Kockák) AKKOR h := h {holding(x)} {ontable(x),clear(x),handempty} Stack(x,y): Kockák Kockák HA holding(x), clear(y) h (h : Kockák) AKKOR h := h {holding(x), clear(y)} {on(x,y),clear(x),handempty} Unstack(x,y): Kockák Kockák (h : Kockák) HA on(x,y),clear(x),handempty h AKKOR h := h {on(x,y),clear(x),handempty} {holding(x), clear(y)} 25

23 Kancsók problémája Három kancsóban, egy öt, egy három és egy két literesben, együttesen 5 liter bor van. Kezdetben az öt literes kancsó van tele. Töltögetéssel érjük el, hogy a két literesbe pontosan 1 liter bor kerüljön! Állapottér: Kancsók= vektor( [5,3,2];{0..5} ) invariáns: i [5,3,2] v[i] = 5 i [5,3,2]: v[i] i Kezdő állapotból elérhető állásokban egyik kancsó üres vagy teli. Művelet: Tölt(i,j): Kancsók Kancsók (v : Kancsók) HA AKKOR Kezdőállapot: [5, 0, 0] Célállapot: [x, y, 1] i,j [5,3,2] i j min(v[i], j-v[j])>0 v[i],v[j] := v[i]-min(v[i], j-v[j]),v[j]+min(v[i], j-v[j]) 26

24 Kancsók-probléma állapot gráfja cél cél cél cél start 27

25 Misszionárius - kannibál probléma Elég csak a bal partot jegyezni az átkelés nem külön állapot n misszionárius és n kannibál át akar kelni egy folyón egy h személyes csónakban Ha a bal parton nincs emberevés, akkor a jobb parton sincs Állapottér: Part = rec(m : [0..n], k : [0..n], c : 𝕃) invariáns: nincs emberevés, azaz I(m,k) m=k m=0 m=n Kezdőállapot: (n,n,igaz) (0,0,hamis) Ha Célállapot: az átevezés előtt és után nincs emberevés, akkor a csónakban sincs. Műveletek: Oda(x,y):Part Part és Vissza(x,y):Part Part (a:part) HA a.c x a.m y a.k HA a.c x n a.m y n a.k 0<x+y h I(a.m x, a.k y) 0<x+y h I(a.m+x, a.k+y) AKKOR a.c:=hamis : AKKOR a.c:=igaz : a.m:=a.m x: a.k:=a.k y a.m:=a.m+x: a.k:=a.k+y 29

26 Feladatok 1. Utazó ügynök probléma 2. Gráf színezési probléma 3. Sakktábla bejárása lóval 4. Rubik kocka 5. Bűvös négyzet ös mátrix 0,1-esekkel úgy, hogy minden 2 2-es más 7. Ábrarajzolás egy vonallal 8. Útvonal tervezés városban (egyirányú utcák) 9. Nagypapa játéka 34