Elemi matematikai alkalmazások a

Átírás

1 Elemi matematikai alkalmazások a bevezető közgazdaságtanban és pénzügyben. Oktatási segédlet a Gazdaságinformatikus BSc képzés Gazdasági Matematika 1. kurzusához Készítette: Dr. Szikszai Márton Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Matematika Intézet Debrecen, 218.

2 1. Valós számsorozatok és számsorok Folytonos kamatozás (Euler határérték formula). Tekintsünk egy t időszakra szóló pénzügyi befektetést, melyben az induló tőke nagysága C, a piaci reál kamatláb egy időszakra vetítve r. A kamatos kamat számításának közismert képlete szerint a futamidő végére a teljes kapitalizáció C = C t = C (1 + r) t. Tegyük fel, hogy a kamatot egy időszakon belül n egyenlő hosszú időközben számítják. Ekkor az időszakok száma nt, az új százalékláb r/n lesz. A kamatos kamat formulája továbbra is alkalmazható, hiszen C = C nt = C ( 1 + r n) nt. Bizonyos befektetési formák esetén természetes igény, hogy a kamat folytonosan akkumulálódjon, azaz tetszőleges időpontban az eltelt időtartam arányában lássuk a növekményt. Másképpen fogalmazva n és így Felhasználva, hogy éppen adódik. ( C = lim C nt = C lim 1 + r nt. n n n) ( lim 1 + a ) n = e a n n C = C e rt Példa. Egy kötvény éves reál hozama 2%, az induló tőke nagysága 1 euró. Egy éves periódus végén C = C 1 = C (1 + r) 1 = 1(1 +.2) 1 = 12 a teljes kapitalizáció, ugyanakkor havi kamatszámítással ( C = C 12 = C 1 + r ) ( nt = ) , n 12 míg folytonos kamatozás esetén C = C e rt = 1e Annuitás (mértani sorozat részletösszege). Annuitáson olyan pénzáramlást értünk, melyben egy rögzített összeget meghatározott számú időszakon keresztül azonos jelenérték 1 mellett fizetnek ki. A legelemibb példa egy egyenlő részletekben törlesztett hitel. Legyen C az egy periódusra eső kifizetés, n az időszakok száma, r pedig a piaci reál kamatláb. Mivel a kifizetés konstans, így a k-adik kifizetés jelenértéke Az annuitás jelenértéke ezek alapján C (1 + r) k 1. C = C + C 1 + r + C (1 + r) C (1 + r) n 1. 1 Egy jövőbeli pénzáramlás jelenértéke annak az elvesztett kamattal korrigált értéke.

3 Felhasználva, hogy éppen ( 1 a + aq + aq aq n 1 = a qn 1 q 1 adódik. C = C ) n r (1 + r) n 1 = C r 1 r 1 + r = C (1 + r) n 1 r(1 + r) n Példa. Egy fiatal pár minden nyár elején 1 euró értékben költ utazásokra és tíz éven át nem terveznek ezen változtatni. A reál kamatláb 1%. Ahhoz, hogy költségeiket fedezni tudják a kapcsolódó annuitás jelenértékét kell befektessék, ami C = C (1 + r) n 1 r(1 + r) n 1 = Örökjáradék (mértani sor összege). A végtelen számú időszakra szóló annuitásokat örökjáradéknak nevezzük, ilyen például a nyugdíj. Ebben az esetben egyszerűen áttérhetünk az annuitásnál látott mértani sorozat n-edik részletösszegéről egy mértani sorra. A fenti jelölésekkel az örökjáradék jelenértéke Ismert, hogy q < 1 esetén a C = C + C 1 + r + C (1 + r) 2 + = C (1 + r) n. aq n mértani sor konvergens, összege a/(1 q). A jelenértékben q = 1/(1 + r) ], 1[, azaz C = n= C r = C r Példa. Egy művész halálát követően özvegye évenként 2 euro örökjáradékot kap növekmények nélkül. A piacon a reál kamatláb 5%. Az örökjáradék jelenértéke így n= C = C r = 2.5 = 4.

4 2. Differenciálszámítás Elaszticitás (differenciálhányados függvény). A kereslet árrugalmassága kifejezi, hogy az ár százalékos megváltozása hány százalékban változtatja meg a kapcsolódó termék keresletét a piacon. Tegyük fel, hogy egy p áron értékesített termék esetében a keresletet egy f(p) függvény írja le. Ekkor a kereslet árrugalmassága p ε p (p ) = f (p ) f(p ) módon írható le. Vegyük észre, hogy az f (p) differenciálhányados függvény önmagában nem elegendő, mivel az egységnyi megváltozást fejez ki és nem százalékos mennyiséget. Megjegyezzük, hogy a fenti formula valójában egy függvény adott változóban mért elaszticitása, így teljesen analóg módon értelmezhetjük például kínálat árrugalmasságát is Példa. Egy termék keresletét az ár függvényében az f(p) = 24 2p írja le. Az aktuális ár p = 25. A kereslet árrugalmassága p ε p (p ) = f (p ) f(p ) = , azaz az aktuális ár 1% történő növelése 2% csökkenést eredményez a termék keresletében. Baumol-Tobin modell (egyváltozós lokális szélsőérték meghatározása). Tegyük fel, hogy egy gazdasági szereplő kizárólag készpénzzel fizet, ugyanakkor pénzét egy banknál tartja. Ez a szereplő a készpénzfelvételek gyakoriságának meghatározása során a pénztartásból származó költségeit minimalizálja, melynek komponensei a bankbajárás költsége 2, illetve az elveszített kamat 3. Legyen jövedelme egy periódusban Y, melyet teljességgel felhasznál, a készpénzfelvét egységesen F költségű, a nominális kamatláb 4 pedig i. Meg kell határozzuk a perióduson belül hány alkalommal kell pénzt felvennie. A bankbajárások számát N-el jelölve a teljes költség ahol M az átlagos pénztartás. C(N) = F N + im, Ennek értéke könnyen meghatározható, hiszen egy periódusban Y jövedelemről indulva, azt teljesen elköltve, éppen Y/2 az átlagos pénztartás egy felvét esetén. alkalomra vetítve Így Differenciálva N szerint 2 Pl. készpénzfelvét díja, sorbanállás időköltsége, stb... M = Y 2N. C(N) = F N + iy 2N. C (N) = F iy 2N 2. 3 Pl. előjegyzett betéti kamat, megtakarítási számla, kötvény, stb... 4 Az előző példákban r reál kamatlábat jelölt, a nominális esetben az inflációval is korrigálni kell. N

5 Következésképpen iy Ñ = 2F stacionárius pont, továbbá 2iY C (Ñ) = 2Ñ > 3 miatt ez egyben lokális minimumhely is. Azaz egy fenti feltételeknek eleget tevő gazdasági szereplő egy periódusban Ñ = alkalommal vesz fel pénzt, míg átlagos pénztartása M = Y 2Ñ = iy 2F F Y 2i Példa. Egy család havi éves bevétele 3 euró. Az éves nominális kamatláb i = 7%, míg a pénzfelvétel egyszeri díja 3 euró. A Baumol-Tobin-modell alapján a család a jövedelmét iy.7 3 Ñ = 2F = részletben veszi fel, míg átlagos pénztartása F Y 3 3 M = = 2i

6 3. Kétváltozós függvények differenciálszámítása Határhaszon és helyettesítési határarány (kétváltozós függvények parciális deriváltjai). A klasszikus közgazdaságtanban egy fogyasztó termékek közötti választását a hasznosságfüggvényén keresztül tanulmányozzuk. Ha a piacon elérhető n termékek, akkor a fogyasztó hasznosságát azok x 1, x 2,..., x n mennyiségében egy U(x 1, x 2,..., x n ) többváltozós függvény írja le. A legegyszerűbb megközelítés, amikor egy terméket az összes többire fordítandó pénz mennyiségével vetünk össze, így U(x 1, x 2,..., x n ) = U(x 1, x 2 ) is írható, de általánosságban elmondható, hogy az elemi mikroökonómia nem foglalkozik több, mint két termék esetével. A fogyasztó i-edik termékre vonatkozó határhasznosság függvénye az parciális derivált. MU i = U(x 1, x 2 ) x i (i = 1, 2) Jelentése természetesen származik a differenciálhányadoséból, az i-edik termék mennyiséget egységnyivel növelve megadja a hasznosság növekedését. Az ebből származtatott MRS = MU 1 MU 2 fogyasztói határhajlandóság 5 azt fejezi ki, hogy milyen arányban cserélné el a fogyasztó egy adott pontban az egyik terméket a másik termékre Példa. Egy fogyasztó hasznossági függvénye két termékre vonatkozóan U(x 1, x 2 ) = 2x 1 + 3x 2. Határhasznosság függvényei MU 1 = 2 és MU 2 = 3. Következésképpen fogyasztói határhajlandósága MRS = 2 3. Az M RS értékéből könnyen leolvasható, hogy ez a két termék egymásnak tökéletes helyettesítője, méghozzá 2 : 3 arányban. Vállalati profit maximalizálása (kétváltozós lokális szélsőérték meghatározása). Rögtön az elején megjegyezzük, hogy az alkalmazások szempontjából klasszikus kétváltozós szélsőérték problémák rendszerint feltételes szélsőérték feladatok, így megoldásukhoz a hallgatók csak a Gazdasági Matematika II. tárgy során szerzik meg a szükséges ismereteket. Ezen felül az elemi mikroökonómiában érdekes kétváltozós feltételes feladatok sokszor átfogalmazhatók egyváltozósra a speciális alakú feltételek és függvényeke segítségével. Az alábbiakban egy végtelenül leegyszerűsített alkalmazást mutatunk, néhány észrevétellel a végén. Egy vállalat két terméket gyárt x 1 és x 2 mennyiségben. Kapcsolódó bevételét egy R(x 1, x 2 ) 5 A negatív előjel oka abban keresendő, hogy az egyik termék határhasznának előjeles megváltozása az ellenkező irányú változást váltja ki a másik termék hasznosságában.

7 alakú bevételi függvény, míg költségeit egy C(x 1, x 2 ) költségfüggvény írja le. A profitfüggvény értelemszerűen P (x 1, x 2 ) = R(x 1, x 2 ) C(x 1, x 2 ). Az optimális termékmennyiségek meghatározásához a P (x 1, x 2 ) függvény maximumhelyét kell megkeresnünk. Vegyük észre, hogy a feladat teljességében a bevételi- és a költségfüggvény alakjától függ. Ezeknek vannak klasszikus példái, így például R(x 1, x 2 ) = p 1 x 1 + p 2 x 2 és C(x 1, x 2 ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 1 x 2 + c 4 x c 5 x 2 2. Itt a költségfüggvény alakjában c 3 olyan költség, amely mindkét termeléstől együttesen függ, míg c 4 és c 5 jellemzően a kiugró termelés hatását hivatottak megjeleníteni, természetesen becsült formában Példa. Egy vállalat bevételi- és költségfüggvénye két előállított termékére vetítve R(x 1, x 2 ) = 5x 1 + 6x 2 és C(x 1, x 2 ) = 1x 1 + 1x 2 + 2x 1 x 2 + x x 2 2. A profitfüggvény tehát P (x 1, x 2 ) = x 2 1 2x 1 x 2 2x x 1 + 5x 2, melynek stacionárius pontja (x 1, x 2 ) = (15, 5). A másodrendű feltételt alkalmazva könnyen látható, hogy ez egyben maximumhely is, azaz (15, 5) éppen az optimális termelési kosár.

8 4. Integrálszámítás Fogyasztói- és termelői többlet (határozott integrál). Egy fogyasztó adott termékre vonatkozó keresletét a termék p árának függvényében egy f(p) keresleti függvény írja le. A termelők kínálatát ezzel párhuzamosan egy g(p) kínálati függvény adja meg. A kereslet-kínálat egyensúlyának értelmében a két függvény egy pontban metszeni fogja egymást, meghatározva egy egyensúlyi árat. A piacon nyilvánvalóan lesznek szereplők, akik hajlandóak az egyensúlyi ár fölött vásárolni vagy éppen az alatt értékesíteni. Természetes igény annak mérése, hogy ilyen esetben mekkora a fogyasztó vagy éppen a termelő nyeresége, más szóval, fogyasztói-, illetve termelői többlete. Ha a fogyasztó q s mennyiséget vásárol p s áron, akkor fogyasztói többlete a következőképpen számítható ki. Egyrészt abszolút költsége p s q s, másrészt, mivel magasabb áron is hajlandó lett volna valamekkora mennyiséget vásárolni összességében költséggel 6, így nyeresége p s p s A termelői többlet analóg módon levezethető. f(p)dp f(p)dp p s q s Példa. Egy termék keresleti függvénye f(p) = 15.2p, egyensúlyi ára és kereslete pedig 25, illetve 1. A fogyasztói többlet ekkor p s f(p)dp p s q s = pdp 25 1 = 625. Lorenz-görbe és Gini-együttható (határozott integrál). Egy gazdaságban az anyagi javak elosztása rendszerint nem egyenletes. A klasszikus közgazdaságtan modelljeiben az egyenlőtlen elosztás a gazdasági növekedés egyik számottevő hátráltató tényezője. Ennek mérésére használják a Gini-együtthatót, melyet a Lorenz-görbéből származtatnak. Egy gazdaság Lorenz-görbéjén olyan L : [, 1] [, 1] függvényt értünk melyre L(x) azt fejezi ki, hogy a populáció legalacsonyabb jövedelmű x-edrésze az összes javak hanyadrészét birtokolja. Következésképpen L() =, L(1) = 1, illetve L monoton növekvő. Egy ideális gazdaságban a javak egyenletesen vannak elosztva, azaz L(x) = x. A G Gini-együttható azt fejezi ki, hogy mekkora az eltérés az ideális állapottól a gazdaság egészében, azaz 1 G = x L(x)dx. 6 Szokás fogyasztói hajlandóságnak is nevezni.

9 4.2. Példa. Egy gazdaság Lorenz görbéje L(x) =.3x +.7x 4. A Gini-együttható ekkor 1 1 G = x L(x)dx = x (.3x +.7x 4 )dx =.21. Átlagos output (kettős integrál). Egy vállalat Q(K, L) termelési függvénye a termelés output értékét adja meg a ráfordított K tőke és L humán erőforrás függvényében. Tegyük fel, hogy egy időszakban a tőke ráfordítás K 1 és K 2, míg a munkaerő teljesítőképessége L 1 és L 2 között ingadozik. Legyen R = [K 1, K 2 ] [L 1, L 2 ]. Ekkor a termelés átlagos Q nagysága megadható az átlagérték-formula segítségével, azaz Q = 1 Q(K, L)d(K, L), A(R) ahol az integrálási tartomány területe. R A(R) = (K 2 K 1 )(L 2 L 1 ) 4.3. Példa. Egy vállalat termelési függvénye Q(K, L) = 1K 2/3 L 1/3. A következő időszakban a tőke ráfordítás K 1 = 1 és K 2 = 15, míg a munkaerő teljesítőképessége L 1 = 5 és L 2 = 75 között fog ingadozni. A várható átlagos termelés Q = 1 A(R) R 1 Q(K, L)d(K, L) = (15 1)(75 5) K 2/3 L 1/3 dldk