Logikák véges fákon. Iván Szabolcs Szegedi Tudományegyetem Számítástudomány Alapjai Tanszék

Átírás

1 Logikák véges fákon Iván Szabolcs Szegedi Tudományegyetem Számítástudomány Alapjai Tanszék

2 Fák Σ véges rangolt ábécé f gyökér a h f b a g a sorrend számít nincs változó címkék 1/csúcs magasság Σ 2 ={f,g} Σ 1 ={h} Σ 0 ={a,b}

3 Fanyelvek Legyen Σ 2 ={, } és Σ 0 ={0,1} és a többi 1 értékő fa

4 Faautomaták Faautomata: egy Σ-algebra, elemeinek egy kitüntetett F végállapot -halmazával Felismer egy fát, ha azt kiértékelve az eredmény F-beli Az L fanyelv reguláris, ha van hozzá faautomata

5 Faautomata példa Megint az 1 értékő fák: F={1}

6 Párhuzam: szavak A szavak valójában fák A klasszikus automaták speciális faautomaták aab b a a λ Σ 0 = {λ}, értéke q 0 Σ 1 : az input ábécé, megfelel az átmeneteknek

7 Lekérdezések n-változós lekérdezés (query): fákhoz n- változós relációkat rendel A reláció V n egy részhalmaza; itt V a fa csúcsainak halmaza 0-változós (boolean) lekérdezés: minden fára vagy igaz, vagy hamis Vagyis fanyelv Automata csak ilyet tud

8 Lekérdezések II. 1-változós lekérdezés: a fa bizonyos csúcsait adja vissza Ilyenek az XML Xpath kérései Manapság nagy rájuk az igény 2-változós lekérdezés: csúcspárok Mint pl. a gyereke tranzitív lezártja

9 Logikák Formalizmusok lekérdezésekre Változót tartalmazó logikák MSO FO és variánsai Változómentes logikák CTL * és fragmensei

10 Monadic Second Order Szintaxis: F p a (x) x < ch y x < sb y x X x = y F F F F x.f X.F Szemantika: x egy csúcs X csúcsok egy halmaza p a (x): x címkéje a < ch : gyerek < sb : jobbtestvér

11 MSO példák x < y: + ch X.(x X ( z.z X ( w.z < w (w X) (w = y)))) ch Root(x) : y. (y < ch x) Leaf (x) : y. (x < ch y) Sıt: Régi ismerıs X.( x. x X ( p 1 (x) p (x) ( y.x< ch y y X) p (x) ( y.x< ch y y X))) x. Root(x) x X )

12 A gyanú helyes Minden reguláris fanyelvhez van boolean MSO lekérdezés Sıt MSO Minden boolean MSO lekérdezés reguláris fanyelvet ad meg Konstruktív, de nem elemi!

13 Párhuzam: szavak A következı három nyelvosztály megegyezik: A reguláris nyelveké Az MSO mondattal kifejezhetıké Az MSO mondattal kifejezhetıké Ez tehát fákra is így van a bizonyítás is analóg

14 Az XML EDTD modellje Az XML DTD-k felfoghatók egy-egy módosított CFG-ként: Olyan (Σ,S,P,h) négyes, ahol a P átírási halmaz a e alakú szabályokból áll itt a Σ, e pedig Σ fölötti reguláris kifejezés h: (Σ )* (Σ)* homomorfizmus (technikai okok miatt) De itt az ábécé nem rangolt EDTD: Extended DTD, zártság miatt kell

15 Példa Könyvespolc (Könyv + Folyóirat) + Könyv Elılap Lap * Hátlap Folyóirat Lap + többi λ Könyv Polc Könyv h most id Elılap Hátlap Elılap Lap Elılap

16 EDTD MSO Minden EDTD-hez készíthetı MSO formula Automatához hasonló módon Elıször címkénként szétparticionáljuk Azután a gyerekek listáján végighúzunk egy megfelelı stringautomatát (ez megy MSO-val)

17 Nincs új a nap alatt Az MSO mondatokkal definiálható fanyelvek osztálya egybeesik az EDTD-vel definiálható (nem-rangolt) fanyelvekével

18 Csakhogy Egy F MSO mondatra és egy T fára azt eldönteni, hogy T modellje-e F-nek, nagyon nehéz Vagy nincs olyan elemi f függvény, amire O(f( F ) T ) idı elég lenne vagy P=NP. Rögzített F-re egyébként elég O( T ) idı Kompromisszum: ETL (Efficient TL)

19 Efficient Tree Logic Cél: MSO-val megegyezı kifejezıerı, jobb model-checking korláttal Szintaxis (részletek is mindjárt): F p (x) x < y x < y x X x = y * a ch ch F F F F F y.(x < y F) y.(x < y F) ch * ch * ch F X.(( y.y X x < y) F) F e (x, y) e (x, X) ırök

20 ETL vs. MSO Egyrészt kvantifikálni csak ırzött (guarded) módon engedélyezett Másrészt nem használunk < sb relációt Harmadrészt vannak az útformulák: e (x,y): vertikális útformula e (x,x): horizontális útformula Egyéb szintaktikus megszorítások is vannak (a szabad változók halmazára)

21 Vertikális útformulák Legyenek F 1 (x,y), F 2 (x,y),, F k (x,y) ETL formulák és e egy reguláris kifejezés {1,,k} fölött x 0 F i1 (x 0,x 1 ) és i 1 i 2 i n e x 1 x 2 x n F i2 (x 1,x 2 ) F in (x n-1,x n ) e (x 0,x n )

22 Horizontális útformulák F 1 (x,x),, F k (x,x) ETL formulák, e egy reguláris kifejezés {1,,k} fölött x F i1 F i2 F in e (x,x) és i 1 i 2 i n e

23 ETL MSO Egyedül a kétféle útformula szorul magyarázatra De azokban <-utak regularitását és (indukció szerint) MSO teszteket kérjük Vagyis végig lehet húzni rajtuk egy megfelelı automatát (ami pedig MSO stringeken)

24 MSO ETL A (regularitás miatt létezı) faautomatából indulva már majdnem ETL formulát is kapunk Csak annyi a gond, hogy sok lesz a párhuzamosan szabad halmazváltozó Ezeket trükkösen lecserélhetjük egyetlen halmazváltozóra A halmaz elemei olyan csúcsok, amik körüli adott (2N+1) sugarú környezetek lefedik a fát Ezekre a környezetekre útformulákat alkalmazunk

25 ETL model checking ETL o : csak olyan ETL formulák, amik diszjunktív normálformájúk Nyilván ETL ekvivalens ETL o -val Model-checking bonyolultság ezekre: ETL o -ra 2 O( F ) T ETL-re emiatt duplán exponenciális már elég Nem ismert, hogy ez éles-e És: ETL és MSO kifejezıereje megegyezik a boolean és unáris lekérdezéseken!

26 First Order Logic Szintaxis F p a (x) x < ch y x < sb y x = y F F F F x.f Szemantika MSO megfelelı része

27 FO vs. FO(<) Láttuk, hogy MSO-ban kifejezhetı <-bıl < * és viszont FO-ban azonban csak < * -ból fejezhetı ki <, a másik irány nem oldható meg FO(<) az az elsırendő logika, ahol < helyett < * az alapformulák eleme FO(<) ezért kifejezıbb, mint FO

28 A szavak esete Szavak esetében tudjuk, hogy az FO(<) definiálhatósági problémája eldönthetı Az L string nyelv pontosan akkor definiálható FO(<)-ben, ha szintaktikus monoidja aperiodikus Egyébként FO(<) stringekre ekvivalens az LTL logikával (ezt késıbb tárgyaljuk) Sıt: ez egybeesik a csillagmentességgel is PSPACE-teljes kérdés

29 Különbség Fákra jelenleg nem ismert, hogy FO(<) definiálhatósági problémája eldönthetı-e vagy sem Annyit tudunk, hogy FO(<) bináris fákra ekvivalens CTL * -gal (amit késıbb tárgyalunk) Itt FO(<) gyengébb, mint a csillagmentesség

30 FO(<) és MSO között: MPL MPL: Monadic Path Logic Szintaxisa ugyanaz, mint MSO-é, a relációk tranzitív változatával Szemantikája azonban eltér: az X változók csak olyan csúcshalmazokat vehetnek fel értékül, melyek egy teljes gyökér-levél utat határoznak meg Ez hasonlít a temporális útformulákra

31 FO(<) és MSO között? Az világos, hogy minden FO(<)- formulához létezik ekvivalens MPL formula Visszafelé is van átalakítás: X.F a t.(leaf (t) F') x Xa x < t * ch Tehát MPL nem más, mint FO(<)

32 Lokális küszöbtesztelés Adott d és k egészekre és T 1, T 2 fákra fennáll a T 1 d,k T 2 reláció, ha véve bármely legfeljebb d magasságú t fát : mindkét fában ugyanannyiszor fordul elı t vagy mindkét fában legalább k-szor Az L fanyelv lokálisan küszöbtesztelhetı (LTT - locally threshold testable), ha valamely d-re és k-ra d,k szaturálja

33 LTT példa Kedvenc nyelvünk pl. nem LTT: tesztmélység

34 FO és LTT? Az LTT nyelvek FO-definiálhatóak FO-ban tudunk beszélni véges fákról és max k különbözı ill. legalább k különbözı formulákat is tehetünk Az FO-definiálható nyelvek LTT nyelvek Belátható, hogy ha két csúcs távolsága a Gaifman-gráfban több, mint 3 k, akkor legalább k további változó kell ıket összekötni

35 FO és LTT: párhuzam Stringekre is: egy fanyelv pontosan akkor definiálható FO-ban, ha lokálisan küszöbtesztelhetı Ez még önmagában nem ad eldöntési algoritmust

36 FO (azaz LTT) eldöntése T 0 : fák; T 1 : contextek; T 2 : két változó e T 1 idempotens, ha e A = ee A Széltében csere (ilyen stringeken nincs): e e e e

37 Széltében csere Ha L FO-definiálható, akkor invariáns a széltében cserére e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e idempotens lokalitás idempotens

38 Hosszanti csere e f e f polcolhatunk e-t és f-et ismét Erre is invariáns e f e f

39 Aperiodicitás Létezik n, amire t t t : n n+1 t t t t : t t LTT miatt ez is stimmel

40 Másik irány Vagyis, ezek a tulajdonságok szükségesek az FO-definiálhatósághoz Belátjuk, hogy elégségesek is

41 Fa felbontása Elég nagy fában biztos van idempotens Ha N állapot van, akkor N N magas fa már elég nagy Így a nagy fák szétszedhetık blokkokra, amiket idempotensek kötnek össze Alkalmazva a három ekvivalenciát mint átírást, két blokk-fa átvihetı egymásba, ha az olyan blokkjaik száma megegyezik, amikbıl egyiküknek kevesebb van, mint n Végeredmény LTT lesz kész vagyunk

42 FO+TC FO és egyfajta tranzitív lezárás operátor Szintaxis ugyanaz, mint FO-é, plusz: F [TC x,y F(x,y)](s,t) Itt a négy változóvektor k-k darab szabad változóból áll; ennek szabad változói (s,t) Szemantika: akkor igaz, ha (s,t) benne van az F által megadott reláció tranzitív lezártjában

43 FO+TC példa FO(<)-ben: y.(x < ch* y p a (y)) FO+TC-ben: y.( [TC u,v ( u < ch v)](x,y) p a (y)) Innen látszik, hogy FO(<) FO+TC

44 FO+TC vajon mi Az FO+TC-ben kifejezhetı lekérdezések osztálya egybeesik az NL-ben kiszámítható lekérdezésekével Ha determinisztikus tranzitív lezárásunk van, arra FO+dTC = dptw

45 FO+TC FO+posTC: olyan FO+TC, amiben TC csak páros sok negáció hatáskörében áll FO+TC = FO+posTC = PTW

46 Vége az elsı résznek Benedikt and Segoufin: Regular tree languages definable in FO LNCS vol. 3404, p , 2005 Geerts and Kuijpers: Deciding termination of query evaluation in transitive-closure logics for constraint databases LNCS vol. 2572, pp , Libkin: Logics for unranked trees an overview LNCS vol. 3580, p , Neven: Automata, logic, and XML Invited talk at CSL Neven and Schwentick: Expressive and efficient pattern languages for tree-structured data PODS 2000: p , Rabinovich: Expressive power of temporal logics LNCS vol 2421, p , Walukiewicz: Automata and logic Walukiewicz: Monadic second order logic on tree-like structures TCS vol. 275, p , 2002.