Csillapított rezgmozgás Mérési feladatok Körmozgás: kúpinga Harmonikus rezgmozgás

Átírás

1 !!"

2 Tartalomjegyzék 1. BEVEZET Balesetvédelem a fizika laboratóriumban METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológiai alapfogalmak A hibaszámítás alapjai Méréssorozat kiértékelése Közvetett mérés hibája (hibaterjedés) Lineáris regresszió (a legkisebb négyzetek módszere) EGYENÁRAMÚ HÁLÓZATSZÁMÍTÁS Elektromos potenciál, feszültség, áram; ellenállás Elektromos áramkörök és alkotóelemeik Áram- ill. feszültségforrások Mszerek Kétpólusok soros és párhuzamos kapcsolása Kirchhoff-törvények Hálózatszámítás: a hurokmódszer Az elektromos teljesítmény VÁLTÓÁRAMÚ HÁLÓZATSZÁMÍTÁS Ellenállás, kondenzátor és önindukciós tekercs váltóáramú hálózatban Komplex mennyiségek bevezetése Hálózatszámítás komplex mennyiségekkel Váltóáramú teljesítmény számítása A jegyzkönyv tartalmi és formai követelményei MECHANIKA Elméleti bevezet Hossz- és idmérés. Változás és változási sebesség Körmozgás A harmonikus rezgmozgás mint a körmozgás vetülete A harmonikus rezgmozgás sebessége és gyorsulása Dinamika. Mozgásegyenlet A mozgásegyenlet megoldása rugalmas er esetén A differenciálegyenletek szerepe a mechanikában. Megoldásuk módszerei

3 Csillapított rezgmozgás Mérési feladatok Körmozgás: kúpinga Harmonikus rezgmozgás Torziós inga Matematikai inga OPTIKA Elmélet Geometriai optika A fény mint elektromágneses hullám Mérési feladatok Geometriai optika: visszaverdés és törés, teljes visszaverdés He - Ne lézer hullámhosszának meghatározása reflexiós ráccsal Bemutató: Polarizáció HMÉRSÉKLETMÉRÉS Elmélet Hmérséklet, hmérsékletmérés, hmérk A hmérk tehetetlensége Mérési feladat Ellenálláshmér tehetetlensége Mérés termoelemmel EGYENÁRAMÚ MÉRÉSEK Soros áramkörszabályozás Potenciometrikus feszültségszabályozás Kompenzáció VÁLTAKOZÓ ÁRAM Soros rezgkör Mérési feladat Soros rezgkör rezonanciagörbéjének mérése Soros rezgkör áramköri jellemzinek mérése

4 1. BEVEZET 1.1. Balesetvédelem a fizika laboratóriumban Tz esetén, vagy ha égésszagot érzünk, azonnal szóljunk a mérés vezetjének vagy a laborvezetnek, vagy az elkészítben ügyeletet tartó laboránsnak. A tzoltás a laboratórium személyzetének a feladata. Ha azonban saját magunk vagy társunk ruhája ég, azonnal kezdjük el az oltást: vagy tzoltópokrócba csavarva az ég személyt, vagy vízzel, zuhany alá állítva. Vizet ne locsoljunk szét, mert az elektromos berendezések között ez áramütést okozhat! A laboratóriumban halonnal és széndioxiddal oltó tzoltókészülékek vannak. Csak akkor kezdjük el használni ket, ha nincs személyzet a közelben és jártasnak érezzük magunkat a készülék mködtetésében. Tzoltókészülékkel embert oltani nem szabad. A laboratórium személyzetének értesítése után a lehet leggyorsabban hagyjuk el a laboratóriumot! Baleset esetén kisebb sérüléseknél az elkészítben kérjünk segítséget. Az elssegélynyújtó dobozban találunk kötszert, sebferttlenít szert és égési sebre Naksolt. Természetesen értesíteni kell minden balesetrl a mérés vezetjét és a laborvezett. Addig is, míg k intézkednek, balesetet szenvedett társunkat ültessük vagy fektessük le. Elektromos baleset esetén elször bizonyosodjunk meg arról, hogy a balesetes nincs már feszültség alatt. A feszültségmentesítés az els feladat! A baleset helyén kapcsoljuk le a kapcsolótáblán lév kapcsolókat. A balesetest mindenképpen fektessük le, és ha nincs eszméletnél, vizsgáljuk meg légzését és szívmködését. Ha nincs normális légzés, azonnal kezdjük meg a mesterséges lélegeztetést! Ha szívmködést sem észleltünk, a szívmasszázst is. A mentést azonnal meg kell kezdeni, ezalatt mások értesítsék az oktatót, illetve az orvost! Hogyan kerüljük el az elektromos baleseteket? Áramütést akkor szenvedünk, ha testünkkel zárunk egy áramkört egy feszültség alatt álló berendezés és a föld, vagy két különböz potenciálú felület között. Az áramütés súlyosságát elssorban a testen keresztülfolyó áram erssége határozza meg, valamint az árambehatás ideje, és függ attól, hogy az áram ért-e létfontosságú szervet (szívet, agyat, tüdt) vagy nem. A bioáramok befolyásolásával az áram bénítja illetve megzavarja a szívmködést és a légzést szabályozó idegeket, az izmok pedig az áram hatására görcsösen összehúzódnak. A szokásos hálózati feszültségnél (220 V) az áramütés legveszélyesebb következménye a szívkamralebegés (a szív percenként szor húzódik össze) és a légzésbénulás. Az izomgörcs miatt a balesetes képtelenné válhat a feszültség alatt álló vezeték vagy szerszám elengedésére, és a hosszabb id alatt bekövetkezik a légzésbénulás vagy kamralebegés, még viszonylag kis áramersségnél is. Váltóáramoknál 1-1,5 ma az az áramersség, amit már észlelünk, néhány ma-es áram rázásérzetet okoz. A veszélyességi küszöb ma, amikor már izomgörcs lép fel a végtagokban. 25 ma áramersség a légzizmok görcsét, 80 ma-es néhány tized másodperc alatt már halálos kamralebegést okoz. A veszélytelen áramersség fels határát, I v -t az árambehatás ideje a következ formula szerint határozza meg (közelítleg): I v (ma) = I e + 10 / t ahol I e az elengedési áramersség (amit még el tudunk engedni, kb. 10 ma) és t az árambehatás ideje másodpercekben. Adott feszültség esetén az emberi test ellenállása határozza meg az áramersséget. Ez az ellenállás az érintkez felületek közötti átmeneti ellenállásból, a br ellenállásából és a test belsejének ellenállásából tevdik össze. A test belsejének az ellenállása néhány száz ohm, a brfelületé kb. 20 kω/cm 2. Ezek és az átmeneti ellenállás határozzák meg lényegében az áram ersségét. Nedves brfelület, nagy felületen történ érintkezés csökkenti az ellenállást. Az elektromos balesetek elkerülhetk, ha betartjuk az érintésvédelmi szabályokat. Ezeket a Magyar Szabvány MSz 172 foglalja össze. 4

5 Az érintésvédelmi óvintézkedések az üzemszeren feszültség alatt nem álló, de meghibásodás miatt feszültség alá kerül vezet anyagú testek ember által történ érintésébl származó veszélyek ellen védenek. Az érintésvédelem korlátozza a berendezést megérint ember testére jutó feszültséget, illetve az elektromos behatás idejét. Passzív érintésvédelemnél a feszültség van korlátozva (65 V, fokozott érintésvédelemnél 45 V), aktív érintésvédelemnél pedig az id (5 s ill. 2 s múlva a biztosító kiolvad, vagy az árammegszakító kikapcsol). Az elektromos berendezések aktív, feszültség álló részei el vannak szigetelve a háztól, a berendezés küls burkolatától. Utóbbi a gyárilag készült mszereknél, háztartási eszközöknél - melyek földelt dugós csatlakozóval vannak ellátva- a hálózat földjéhez csatlakozik. Ha a ház feszültség alá kerül, áram folyik a föld felé, és ha a ház és a föld közötti feszültség meghaladja a megengedett érintési feszültséget, a zárlati áram kiolvasztja a berendezés biztosítóját. Ha a hálózatban keletkezik zárlat, vagy a berendezés nem kapcsolódik ki idben, a hálózati árammegszakító kapcsol le. Vannak berendezések, melyek ketts szigeteléssel vannak ellátva. Ilyenek azok a háztartási berendezések, melyeket nedves helyen használunk, pl. hajszárító, konyhai robotgép. Oktatási intézményben a hallgatói berendezések törpefeszültséggel mködnek, ez 42 V vagy kisebb. A fizika laboratóriumban törpefeszültséggel (< 42 V) és kisfeszültséggel (220 V) mköd berendezéseket használunk. Azok az áramkörök és eszközök, melyekkel a hallgatók közvetlenül dolgoznak, törpefeszültséggel mködnek, melynek érintése nem okoz veszélyes áramütést. A 220 V-os hálózati feszültségrl mködnek a gyárilag elállított tápegységek, az oszcilloszkóp, a hanggenerátorok és a számítógépek. Ezeket az oktató a mérés elején a hálózathoz csatlakoztatja és bekapcsolja. A hallgatók ne nyúljanak a hálózati csatlakozókhoz, ne kapcsolgassák, ne állítsák át az eszközöket. Ne nyúljunk a gyári tápegységek kimenetéhez; az ide csatlakozó elosztóról vegyük le az áramkörök mködtetéséhez szükséges tápfeszültséget, ami általában 10 V alatti feszültség. A hallgatói áramköröket feszültségmentes állapotban állítsuk össze. Mutassuk meg a kész kapcsolást az oktatónak, és csak annak engedélyével kössük rá a tápfeszültséget. Ha változtatunk az áramkörön, elször kössük le a tápfeszültségrl. Általában puszta kézzel, szigeteletlen szerszámmal sohase nyúljunk elektromos áramkörhöz, amíg meg nem gyzdtünk arról, hogy feszültségmentes. Különösen vigyázzunk arra, hogy nehogy két kézzel nyúljunk egy berendezésbe! Gyakori, hogy sztatikus feltöltdés miatt kapunk elektromos ütést, pl. manyag padlón állva, ha hozzáérünk a vízcsaphoz. Ez nem veszélyes, csak kellemetlenül meglep. Elssegélynyújtás elektromos balesetnél A balesetest nyugalomba kell helyezni, betakarni és minden esetben orvost kell hívni! Ha eszméletlen a balesetes, ellenrizzük az alapvet életfunkciókat: emelkedik és süllyed-e a mellkas, a szívmködést pedig a nyaki verér tapintásával. Ha nincs lélegzés vagy szívmködés, az újraélesztésre 4-6 percig van esély. Mesterséges lélegeztetés: A balesetest hátára fektetjük, légutait szabaddá tesszük, fejét hátrahajlítjuk, gézt teszünk az orrára és száját kezünkkel zárva tartva mély lélegzetvétel után az orrába fújjuk a levegt. A befúvás után figyeljük meg a mellkasát. Ha nem észlelünk kilégzést jelz mellkas-süllyedést, ellenrizzük a légutakat, próbáljuk meg jobban hátrahajlítani a fejet. Különben a lélegeztetést a saját légzés megindulásáig folytassuk. Szívmasszázs: Fektessük jobb tenyerünket ujjakkal befelé a bal mellkasra, a mell alá, s másik kezünket helyezzük rá derékszögben (ujjakkal a fej felé). Gyakoroljunk lökésszeren nyomást a mellkasra jobb kezünkkel 8-szor; ezután két befúvás következik, majd újból a szívmasszázs. 5

6 1.2. METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológiai alapfogalmak A metrológia a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos ismereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamilyen tulajdonságáról számszer értéket kapunk. A mérési eredményt egy számmal (a mértékszámmal) és a mértékegységgel adjuk meg. A mérést megismételve általában nem kapunk azonos mérési eredményeket. Egyrészt, mert a mérend mennyiség változhat az idvel. De ha a mérend mennyiség állandó is, a mérési eredményt a mszer állapota és a megfigyelést végz ember is befolyásolja. Jelöljük a mérni kívánt mennyiség valóságos értékét x-szel, a mérési eredményt x m -mel. A mérés hibája, x a mért érték és a valóságos érték különbsége: x = x m - x és a relatív hiba: δx = x / x Hibatípusok Véletlen hiba: A mérési eredmények a valóságos értéktl mindkét irányban azonos valószínséggel, véletlenszeren térnek el. Nagy számú mérés átlagát véve a véletlen hiba tetszlegesen csökkenthet. Rendszeres hiba: A mérési eredmények a valóságos értéktl eltér érték körül ingadoznak. Oka a hibás vagy rosszul beállított mszer, de rendszeres hibát okoz az is, ha elhanyagolunk vagy rosszul veszünk figyelembe valamilyen, a mérést befolyásoló küls tényezt (pl. hmérsékletet vagy nyomást) A hibaszámítás alapjai A hibaszámítás a valószínségszámítás és matematikai statisztika felhasználásával a mérés során fellép véletlen hibák becslésére ad módot. A valószínségszámítás alapvet eszközei a valószínségi srség- és eloszlásfüggvény, melyekkel jellemezzük egy-egy sokaságon a vizsgált tulajdonság, a valószínségi változó eloszlását. Ezen függvények mellett gyakran használt mennyiségek egyes eloszlásparaméterek, melyekkel rövidebben lehet jellemezni az adott sokaságot: ezek elssorban a várható érték, mely a valószínségi változónak a sokaságra leginkább jellemz értéke, és a variancia, mely azt adja meg, mennyire térnek el az egyes értékek a várható értéktl (ill. ugyanezt jellemzi a szórás, a variancia négyzetgyöke). A matematikai statisztika módszereket ad arra, hogy egy bizonyos számú mérésbl álló méréssorozat alapján megbecsüljük ezeket a paramétereket adott valószínségi (ún. konfidencia- ) szinten a sokaság elemszámánál sokkal kisebb minta alapján Méréssorozat kiértékelése A várható érték, µ becslése: a sokaságból vett N elemszámú minta alapján az egész sokaságra vonatkozó átlagot, azaz a várható értéket, µ-t az egyes x i mért adatok x átlagával becsüljük: N 1 x = x i N i= 1 A variancia, azaz szórásnégyzet becslése: az N számú mérés átlagának szórását s x -gal, a középérték korrigált tapasztalati szórásával (standard deviációjával) becsülhetjük: s x = Σ(x i x) (N 1)N 2 x hibaintervallum megadása bizonyos konfidenciaszintre Mivel az átlagérték a várható értéknek csak becslése, fontos kérdés az, hogy mennyire jó ez a becslés. Az átlagérték körül megadhatunk egy intervallumot, amelyhez meghatározható a minta elemszámának ismeretében az, hogy mekkora valószínséggel esik bele a kijelölt intervallumba a tényleges várható érték. Fordítva pedig, egy bizonyos valószínségi (konfidencia-) szinthez 6

7 kijelölhetünk egy bizonyos szélesség intervallumot az átlagérték körül. Az intervallum szélességének kiszámításához s x -ra, a középérték korrigált tapasztalati szórására és egy bizonyos paraméterértékre, az ún. Student-féle t-paraméter értékére van szükség, mely a minta elemszáma és a választott konfidenciaszint ismeretében kiolvasható az I. táblázatból. I. táblázat: A Student-féle t paraméter értékei P konfidenciaszintnél és N mérésszámnál 0,8 0,9 0,95 0,975 0,99 0, ,078 6,314 12,706 25,452 63, ,32 3 1,886 2,920 4,303 6,205 9,925 14, ,638 2,353 3,182 4,176 5,841 7, ,553 2,132 2,776 3,495 4,604 5, ,476 2,015 2,571 3,163 4,032 4, ,440 1,943 2,447 2,969 3,707 4, ,415 1,895 2,365 2,841 3,499 4, ,397 1,860 2,306 2,752 3,355 3, ,383 1,833 2,262 2,685 3,250 3, ,328 1,729 2,093 2,433 2,861 3,174 1,282 1,645 1,960 2,241 2,576 2,807 A x hibaintervallum s x és t szorzata: x = s x t A mérési eredményt a következ formában adjuk meg: ξ (mért mennyiség) = (x ± t s x ) [mértékegység] Ez azt jelenti, hogy a mérend mennyiség valóságos értéke a konfidenciaszintnek megfelel valószínséggel az [x - t s x, x + t s x ] intervallumba esik. Megadhatjuk a relatív hibaintervallumot is: ξ (mért mennyiség) = x [mértékegység] ± 100 t s x / x % Ha vásárolunk valamilyen elre csomagolt árut vagy alkatrészt, melyeknek valamilyen mennyiségi jellemzje van (pl. tömeg, ellenállás), akkor az áru tömegén, vagy az ellenállás névleges értékén kívül sokszor feltüntetik a trést is, mely a névleges értéktl való megengedett eltérést jelenti. Ez tulajdonképpen egy konfidencia-intervallum, és általában 95% konfidenciaszintre van megállapítva. Ha egy 100 darabos szállítmányból 3 darab kiesik a trésbl, még nem illik reklamálni a szállítónál, de ha 10 kiesik, akkor már lehet Közvetett mérés hibája (hibaterjedés) Tegyük fel, hogy meg akarunk határozni egy φ mennyiséget, melyet nem tudunk közvetlenül mérni, de φ függ az x,y,z,... mennyiségektl és az utóbbiak viszont megmérhetk; megbecsüljük azok várható értékét és varianciáját, azaz ismerjük az x, y, z,... átlagértékeket és a x, y, z,... hibaintervallumokat bizonyos konfidenciaszinten. Ezek alapján φ várható értéke kiszámítható az x, y, z,... átlagértékek φ(x,y,z,...) függvénybe való behelyettesítésével, és a φ hibaintervallum pedig a következ módszerrel: 2 φ( x, y, z,..) φ(x, y, z,..) φ(x, y, z,..) 2 φ = x y z ahol a parciális differenciálhányadosok az x = x, y = y, z = z,... helyen számítandók ( x) + ( y) + ( z)

8 Lineáris regresszió (a legkisebb négyzetek módszere) Sok esetben az a feladat, hogy két mennyiség közötti függvénykapcsolatot akarunk "kimérni", méréssel meghatározni. Ez azt jelenti, hogy a függvény alakját ismerjük, vagy ismertnek tételezzük fel, és a függvény paramétereit akarjuk a méréssel megállapítani. Tegyük fel, hogy x-et pontosan tudjuk szabályozni, illetve mérni, és N darab x i értéknél meghatározzuk az y i értékeket. Feltételezzük azt is, hogy y varianciája független x értékétl, a mérési intervallumban állandó. Az (x i, y i ) pontokra egy olyan görbét kell illesztenünk, mely azokhoz a "legközelebb" halad. A mérési pontoknak a görbétl való távolságát jellemezhetjük az y-beli eltérések négyzetösszegével: N ( i i ) S(α,β,...) = y f( x ) i= 1 2 Azt kívánjuk, hogy S minimális legyen. Ehhez az szükséges, hogy S-nek az α,β,... paraméterek szerinti parciális deriváltjai zérussal legyenek egyenlk: S / α = 0, S / β = 0 Ez a paraméterek számával azonos számú algebrai egyenletet jelent, melyekbl a paraméterek értéke meghatározható. Ha f lineáris függvény: y = a x + b, akkor két illesztend paraméter van, a és b: S a = 2 Σ (y i ax i +b) x i = 0 a Σx 2 i + b Σ x i = Σ x i y i S b = 2 Σ (y i ax i +b) = 0 a Σ x i + N b = Σ y i Bevezetve a következ átlagértékeket: x = 1/N Σ x i, y = 1/N Σ y i, xy = 1/N Σ (x i y i ), x 2 = 1/N Σ (x i ) 2 az egyenletrendszer megoldása: a = (x y-xy) / (x 2 - x 2 ), b = y - a x. 8

9 1.3. EGYENÁRAMÚ HÁLÓZATSZÁMÍTÁS Elektromos potenciál, feszültség, áram; ellenállás Azokban a hálózatokban, amelyekkel foglalkozni fogunk, létezik potenciál. A φ potenciál értéke a tér egy pontjában tetszlegesen választható. (Általában a végtelen távoli pont potenciálját tekintjük zérusnak, ill. a gyakorlatban a földet tekintik zérus potenciálúnak.) Az U AB = φ A - φ B potenciálkülönbség két pont között az elektromos feszültség. Ez egyenl azzal a munkával, amit a tér az egységnyi pozitív töltésen végez, míg az az A pontból a B pontba mozdul el. A feszültség additív; ha az A és B pontok között a feszültség U AB = φ A - φ B, a B és C pontok között U BC = φ B - φ C, akkor az A,C pontok közötti feszültség U AC = φ A - φ C = (φ A - φ B ) + (φ B - φ C ) = U AB + U BC. A feszültség és potenciál egysége a Volt [V]. Az elektromos áram a töltések rendezett mozgása. Vezetben az elektromos áram a pozitívabb potenciálú helyrl folyik a negatívabb potenciálú hely felé (az áramirány a pozitív töltéshordozók haladási irányával egyezik meg). Az elektromos áram nagysága, az elektromos áramersség az áramvezet eszköz vagy közeg keresztmetszetén egységnyi id alatt átfolyt töltésmennyiség. Q dq I = lim = t 0 t dt Az elektromos áram egysége az Amper [A]. Egy R ellenállású vezet két végére U feszültséget kapcsolva a rajta átfolyó áram I = U / R Ohm-törvény. Az ellenállás egysége az Ohm [Ω]. R = ρ / A, ahol A a teljes keresztmetszet területe, a hossz és ρ a fajlagos ellenállás. A fajlagos ellenállás nagysága alapján szigetelket, félvezetket és vezetket különböztetünk meg Elektromos áramkörök és alkotóelemeik Az elektromos áramkörökben különböz alkatrészek, kapcsolási elemek szerepelnek. A legegyszerbb áramkör energiaforrásból (generátor) és fogyasztóból áll, melyen az elektromos energia valamilyen más energiafajtává -mechanikai, h-, hang-, fény- stb.- alakul (villanymotor, elektromos fttest, hangszóró, izzólámpa). Ezen kívül egy áramkör tartalmazhat szabályozó és ellenrz elemeket (kapcsolók, elosztók, biztosítók, mér- és érzékel berendezések) átalakítókat (transzformátorok, egyenirányítók) és reaktív elemeket (kondenzátorok és önindukciós tekercsek), mindezeket elhanyagolható ellenállású vezetékek kötik össze egy zárt körré, melyben áram folyik a forráson és fogyasztón keresztül. Tágabb értelemben tetszlegesen összekötött elektromos alkatrészeket is szoktunk áramkörnek vagy hálózatnak nevezni. Ha van két kivezetés, melyhez újabb alkatrészek, generátor vagy egy másik áramkör csatlakoztatható, akkor kétpólusról beszélünk. A kétpólust a következképp fogjuk jelölni: A legalapvetbb kapcsolási elemek (ellenállás, kondenzátor, önindukciós tekercs, telep, biztosító, megszakító kapcsoló) kétpólusok. A potenciométer három pólusú. A tranzisztor szintén. Az olyan alkatrészeket, melyeknek bemenete és kimenete különböztethet meg, négypólusnak szokták nevezni akkor is, ha a kimenet és bemenet egy-egy pólusa közös, tehát tulajdonképpen hárompólusról van szó. A 3. Táblázatban összefoglaljuk a legegyszerbb kapcsolási elemekkel kapcsolatos tudnivalókat. 9

10 3. Táblázat: Elektromos hálózat-elemek Név Jel Rajzjel Karakterisztik a ellenállás R U = R I kondenzátor C U = Q / C önindukciós tekercs potenciométer helipot L P H U = L I változtatható ellenállás, feszültségosztó kapcsoló K be: U = 0 ki: I = 0 telep, feszültséggenerátor E G U = E - I R b Jellemzk névleges érték (Ω) trés (%) terhelhetség (W) kapacitás (F) maximális feszültség ohmos veszteség önindukciós együttható (H) veszteség névleges érték linearitás terhelhetség elektromotoros er (E) bels ellenállás (R b ) áramgenerátor G I = I g - U / R b generátoráram (I g ) bels ellenállás (R b ) váltóáramú generátor G frekvencia mérmszerek V A méréshatár érzékenység bels ellenállás (R b ) Áram- ill. feszültségforrások Elektromotoros er, kapocsfeszültség, bels ellenállás Zárt elektromos körben áram csak úgy folyhat tartósan, ha valamilyen nem elektromos hatás, egy "idegen er" a töltések folyamatos szétválását biztosítja. Pl. CuSO 4 vizes oldatába réz és cink elektródákat merítve a töltésszétválást az biztosítja, hogy a cink elektródból Zn 2+ ionok oldódnak be az elektrolitba, ahonnan a rézionok kiválnak a rézelektródon. Ezáltal a rézelektród (az elektrolithoz képest) pozitív, a cinkelektród negatív lesz (galvánelem). Ha az elektródákra valamilyen terhelést kapcsolva zárjuk az áramkört, a terhelésen az áram a pozitív pólustól a negatív felé folyik, de az elemen belül éppen fordítva, a pozitív rézelektródáról elvezetett töltés helyébe újabb pozitív töltések érkeznek az elektrolitból és a cinkelektródáról viszont újabb pozitív töltések mennek át az elektrolitba. A terheletlen elemen a kémiai folyamat egy id után leáll, illetve dinamikus egyensúly áll be. Az egyes elektródák és az oldat között olyan elektromos potenciálkülönbség alakul ki, mely pontosan kiegyensúlyozza a kémiai erk töltésszétválasztó hatását. A két elektród között terheletlen esetben kialakuló potenciálkülönbség az elektromotoros er. Az ellentétes töltések folyamatos szétválasztását biztosító eszközök a generátorok. (Áram- vagy feszültségforrás, telep elnevezés is használatos.) Ideális feszültséggenerátorról beszélünk, ha a generátor által a terhelésen biztosított feszültség független a terheléstl. Ideális áramgenerátorról, ha a terhelésen átfolyó áram erssége nem függ a terhel ellenállástól. A 10

11 valóságban a generátoroknak mindig van bels ellenállásuk, ezért a terheléstl függ feszültséget illetve áramot szolgáltatnak. Egy reális generátor feszültsége ill. árama küls terhelés esetén csökken. Ha a feszültség az áramersség lineáris függvénye, akkor a generátor két paraméterrel, a feszültség-áram karakterisztika tengelymetszeteivel jellemezhet. Ez a két paraméter az - az U ü üresjárási feszültség, melyet terheletlen esetben, I = 0 -nál kapunk; ez az elektromotoros er; - az I r rövidzárási áram, melyet U = 0 esetén, a generátor sarkait rövidre zárva (azaz zérus ellenállással terhelve) kapunk Mszerek Áramersséget ampermérvel, feszültséget voltmérvel mérünk. A voltmért arra a két pontra csatlakoztatjuk, melyek között mérni akarjuk a feszültséget. Árammérésnél meg kell szakítanunk az áramkört és a mszert abba az ágba kell beiktatnunk, amelyikben mérni akarjuk az áramersséget. Fontos, hogy a mszer ne változtassa meg az áramköri viszonyokat. Az ampermér akkor ideális, ha nem esik rajta feszültség, tehát a bels ellenállása zérus. Az ideális voltmérn viszont áram nem folyik, tehát a bels ellenállása végtelen. A valóságban a mszerek bels ellenállása véges érték. Ez a bels ellenállás árammérésnél sorba kapcsolódik azzal az elemmel, melynek az áramát mérjük; a feszültség mérésénél pedig párhuzamosan kapcsolódik ahhoz a két ponthoz, melyek között a feszültséget mérni akarjuk. A Deprez-rendszer ampermér mködési elve: a mérend áramersség egy meghatározott törtrésze átfolyik a mszer forgótekercsén, melyre egy állandó mágnes terében az áramersséggel arányos forgatónyomaték hat. Ezt a forgatónyomatékot egy spirálrugó megnyúlása ellensúlyozza, a megnyúlás a tekercs meghatározott szögelfordulásával ekvivalens, és ezt a szögelfordulást mutatja a tekercsre ersített mutató. A mszer használatánál vigyázni kell a polaritásra és arra, hogy ne kapjon a végkitérésének megfelel áramnál nagyobb áramot, mert a mutató kiakadhat, a mszer tönkremehet. Az analóg (mutatós) mszerekkel ellentétben, melyek az elektromos áram mágneses vagy hhatását felhasználva a mérend elektromos jelet a mutató elmozdulásává alakítják át, a digitális kijelzés mszerek az analóg feszültséget digitalizálják, számjellé alakítják, és ez a számjel vezérel egy -általában folyadékkristályos- kijelzt. Árammérésnél az áram által adott ellenálláson létrehozott potenciálesést digitalizálják. A digitális mszerek általában védve vannak túlfeszültség és túláram ellen. Ez azt jelenti, hogy ha a bemen jel nagyobb, mint a kiválasztott méréshatár, akkor a mszer kijelzjén "1" jelenik meg, de a mszer nem károsodik. A mszerek egy része többfunkciós, univerzális: áram-, feszültség- és ellenállásmérésre, vagy egyen- és váltóáramú mérésekre is alkalmas, és a mérend mennyiség több nagyságrendet kitev tartományában is használható a méréshatár változtatásával. Az áramkörbe úgy kötjük be a mszert, hogy az egyik csatlakozási pont a "COM" (közös) jel bemenet, a másikat pedig a mért mennyiségnek (és esetleg annak nagyságának) megfelelen válasszuk ki (feszültség- és ellenállásmérésnél a V - Ω/kΩ jel, árammérésnél a ma/10a jel bemenet; a jelölések mszertípusonként változóak). A megfelel kapcsolókkal ki kell még választani a kívánt funkciót és méréshatárt, valamint hogy egyen- vagy váltójel üzemmódot kívánunk-e használni. Mindig nagyobb méréshatárt válasszunk, mint a mérend mennyiség várható legnagyobb értéke, de azok közül a pontosság érdekében mindig a lehet legkisebb méréshatáron mérjünk. Mérési sorozat felvétele közben ne változtassuk a méréshatárt, mert ezzel megváltozik a mszer bels ellenállása, és ez befolyásolja a mérési eredményt! 11

12 A mszer pontossága, érzékenysége, hibája A mszer leolvasásánál a leolvasási hiba a mszer számlapján a legkisebb skálarésznek, digitális kijelzés mszernél az utolsó számjegy helyiértékének megfelel mennyiség. A mszer érzékenysége: a kijelzés változása (mutató kitérésének megváltozása skálarészben) osztva a mért mennyiség értékének megváltozásával. Digitális kijelzés mszernél ez az utolsó digitnek megfelel mennyiség reciproka. (Pl. az ampermér érzékenysége A -1, ha skálája 1 ma beosztású, vagy ha az utolsó leolvasható digit 0,001 A. A mszerek a leolvasási hibától eltekintve sem abszolút pontosak. A mszer skáláján általában feltntetik a mszer pontossági osztályát. Ez 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 5 lehet. Ezek a számok a végkitérés (méréshatár) százalékában adják meg a mszer maximális abszolút érték hibáját. A hibahatárt a gyártó cég csak a referenciafeltételek fennállása esetén garantálja. A referenciafeltételekrl, melyek tartalmazhatják a hmérsékletet, a mszer helyzetét, váltóáram esetén a frekvenciát stb., az MSz 808 szabvány rendelkezik Kétpólusok soros és párhuzamos kapcsolása Kétpólusokat összekapcsolhatunk egymással úgy, hogy egy-egy pólusuk közös, és ehhez a közös pólushoz más nem csatlakozik. Ez a soros kapcsolás, az új kétpólust az A 1, B 2 szabad végek definiálják. A sorba kapcsolt kétpólusokon azonos az áramersség, mivel elágazási pont nincs közöttük. Sorosan kapcsolt ellenállások eredje az ellenállások összege: R e = Σ R i. Összeköthetünk kétpólusokat úgy is, hogy mindkét pólusuk közös: Az új kétpólust az A, B pontok határozzák meg. Ez a párhuzamos kapcsolás. A párhuzamosan kapcsolt kétpólusokon a feszültség azonos, ami a közös végpontjaik potenciálkülönbsége. Párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredjének reciproka az egyes ellenállások reciprokának összege: 1 R = 1 e R i. Sorba és párhuzamosan tetszleges számú kétpólus köthet, de nem minden kapcsolás soros vagy párhuzamos! Tekintsük pl. az alábbi hálózatot: A betvel jelölt pontok közül az A, C, D, F, I és J, illetve az E, H és K pontok az elektromos hálózat szempontjából azonosak, mivel egy-egy ellenállásmentesnek tekintett vezeték köti össze ket, potenciáljuk azonos. A C, D, E, F, G, H és J pontok csomópontok vagy elágazási pontok. Ezzel szemben pl. a B pont nem elágazási pont, így E 1, R 1 és E 2 sorosan vannak kötve. R 1 és R 2 viszont nincsenek sorosan kapcsolva, mivel az E pont elágazási pont. Két csomópont közötti elágazásmentes hálózatrész alkot egy ágat. Egy ágban ugyanaz az áram folyik minden kétpóluson keresztül. Az ág két végpontja közötti feszültség az egyes elemeken es feszültségek összege. 12

13 R 3 és R 5 párhuzamosan vannak kötve, mivel mindkett a C és D pontokhoz csatlakozik. A C és D pontok közötti ered ellenállás itt mégis zérus, mivel e pontokat összeköti egy rövidzár. (Az R 3 és R 5 ellenállásokon ezért nem is folyik áram, el is hagyhatjuk ket a hálózatból.) R 2 párhuzamosan van kötve R 6 -tal, de az összes többi viszony az ellenállások között se nem soros, se nem párhuzamos kapcsolás. Huroknak nevezünk a hálózatban egy önmagát nem metsz zárt utat. ABECA pl. egy ilyen hurok, és ez egy egyszer hurok, szemben ABEHGDCA-val, mely összetett. A fenti hálózat 5 hurokból áll Kirchhoff-törvények A hálózatban a feszültségekre és áramokra Kirchhoff törvényei érvényesek. Kirchhoff I. (csomóponti) törvény Egy csomópontba befolyó áramok ersségének összege megegyezik a kifolyó áramok ersségének összegével (a töltésmegmaradás miatt, és mivel töltés nem halmozódhat fel a csomópontban). Ha a befolyó áramokat pozitív, a kifolyó áramokat negatív eljellel vesszük, akkor a csomópontnál Σ I k = 0, k = 1,..., n ha n ág találkozik a csomópontban. Kirchhoff II. (hurok-) törvény A hurokban egy meghatározott körüljárási irányhoz viszonyított potenciálesések (feszültségek) összege zérus. Σ U k = 0, k = 1,..., n ha n áramköri elem van a hurokban Hálózatszámítás: a hurokmódszer Kirchhoff törvényeinek alkalmazásával bármely hálózatban meghatározhatók az egyes ágakban folyó áramok és a hálózat tetszés szerinti két pontja közötti feszültség. A hurokmódszer egyszersíti, gépiessé teszi az áramok meghatározását. Lényege az, hogy az áramokat a hurkokhoz rendeljük az ágak helyett. Tekintsük a következ áramkört: R 1 = 200 Ω R 2 = 300 Ω R 3 = 100 Ω R 4 = 400 Ω R 5 = 150 Ω R 6 = 250 Ω R 7 = 500 Ω R 8 = 600 Ω E 1 = 4 V E 2 = 10 V E 3 = 10 V E 4 = 46 V E 5 = 49 V Határozzuk meg az R 8 ellenálláson folyó áramot és az U AB feszültséget! Megoldás: Vegyünk fel minden egyszer hurokban egy-egy áramot. Célszer azonos körüljárási irányt választani, mint az ábrán látható. A szabad ágakon a hurokáram, azokon az ágakon viszont, melyek egy másik hurokkal közösek, a saját áram és az idegen áram különbsége folyik. Ezzel az áramfelvétellel Kirchhoff I. törvénye automatikusan teljesül. (Pl. az A pontnál befolyik I 2 áram és kifolyik I 1, az AB közös ágon viszont befolyik I 1 és kifolyik I 2, azaz az A csomópontban az áramok összege valóban zérus.) 13

14 Írjuk fel a hurokegyenleteket (azaz a potenciálváltozások összegét az egyes hurkokra) a felvett körüljárási irányokat követve! - R 1 I 1 - E 1 - R 3 I 1 + E 3 - R 4 (I 1 -I 3 ) - R 2 (I 1 -I 2 ) + E 2 = 0 - R 6 I 2 + E 4 - R 5 I 2 - E 2 - R 2 (I 2 -I 1 ) - R 7 (I 2 -I 3 ) = 0 - R 8 I 3 - R 7 (I 3 -I 2 ) - R 4 (I 3 -I 1 ) - E 3 - E 5 = 0 Rendezzük az egyenletrendszert az ismeretlen áramokra! (R 1 +R 2 +R 3 +R 4 ) I 1 - R 2 I 2 - R 4 I 3 = - E 1 + E 2 + E 3 - R 2 I 1 + (R 2 +R 5 +R 6 +R 7 ) I 2 - R 7 I 3 = - E 2 + E 4 - R 4 I 1 - R 7 I 2 + (R 4 +R 7 +R 8 ) I 3 = - E 3 - E 5 Behelyettesítve a számértékeket: 1000 I I I 3 = I I I 3 = I I I 3 = -59 Az áramok: I 1 = 0,01 A I 2 = 0,02 A I 3 = - 0,03 A Az R 8 ellenálláson I 3 = -0,03 A áram folyik, tehát a tényleges áramirány ellentétes a felvett áramiránnyal. Az AB ágban folyó áram 0,01 A, iránya A B, tehát az A pont potenciálja pozitívabb, mint a B ponté. Az E 2 telepen a potenciál 10 V-t, az R 2 ellenálláson 3 V-t esik, tehát U AB = 13 V Az elektromos teljesítmény Q töltés mozgatásával az elektromos tér W = Q U AB munkát végez, ha azt az A pontból a B pontba viszi. Ha ezt a munkát t id alatt végzi a tér, az átlagteljesítmény P = W / t. Határértékben P = lim W = t t 0 t 0 Q Q dq lim U AB = I U AB, mivel lim = = I t t 0 t dt Ha az A, B pontok egy R ellenállás végpontjait jelentik, U AB = I R és P = I 2 R = U AB 2 / R. az áram. Az elektromos munka révén az ellenállás felmelegszik. A környezeténél melegebb ellenállás ht ad át a környezetnek, "disszipálja" azt az energiát, melyet az elektromos tértl nyert. Az ellenállások káros túlmelegedés nélkül csak egy bizonyos határig képesek disszipálni a teljesítményt. Ez a maximális teljesítmény az ellenállás terhelhetsége. Aktív, disszipatív és reaktív kétpólusok A teljesítmény szempontjából a kétpólusok három típusát különböztetjük meg. a./ Az áramforrások (generátorok) leadnak teljesítményt, azaz teljesítményfelhasználásuk negatív: P < 0. Az ilyen kétpólusokat aktív kétpólusoknak nevezzük. b./ Az ohmikus ellenállás nem lead, hanem kap és felhasznál elektromos teljesítményt, itt P 0, és P=0 is csak I=0, U=0 esetben lehetséges. Az ilyen kétpólus disszipatív. c./ Az ideális kondenzátorban és önindukciós tekercsben az elektromos energia tárolódik. A kondenzátor energiája E C = ½ Q 2 /C, a tekercsé E L = ½ LI 2. Mindkét elem fel is vehet és le is adhat -saját energiájának rovására- elektromos energiát, azaz P pozitív és negatív is lehet. Az ilyen kétpólusokat reaktív kétpólusoknak nevezzük. A disszipatív és reaktív kétpólusok az aktív kétpólusokkal szemben passzív kétpólusok. 14

15 1.4. VÁLTÓÁRAMÚ HÁLÓZATSZÁMÍTÁS Ha a feszültség, illetve az áramersség idfüggése harmonikus, azaz U(t) = U 0 cos (ωt + ϕ U ) illetve I(t) = I 0 cos (ωt + ϕ I ) alakú, váltófeszültségrl, illetve váltóáramról beszélünk, melynek - körfrekvenciája ω = 2π ν (ν a frekvencia, ν = 1/T, T a periódusid), - amplitúdója U 0 ill. I 0, - fázisállandója ϕ U ill. ϕ I Ellenállás, kondenzátor és önindukciós tekercs váltóáramú hálózatban Egy tetszleges R ellenálláson a feszültség minden pillanatban arányos a pillanatnyi áramersséggel: U R (t) = R I(t), de kondenzátoroknál és tekercseknél nem. A kondenzátor feszültsége a rajta lév töltés pillanatnyi értékével arányos, ami a kondenzátoron átfolyó áram integrálja: U C (t) = 1 C Q(t) = 1 C I C(t) dt és ha beírjuk az idfügg áramot I C (t) = I 0 cos ωt alakban, akkor azt kapjuk, hogy az U C feszültség idfüggése (C a kondenzátor kapacitása egysége a Farad, F), U C (t) = 1 I 0 cos ωt dt = I 0 C ωc sin ωt = I 0 cos(ωt - π/2). ωc Látható, hogy a feszültség is harmonikus függvénye az idnek, frekvenciája megegyezik az áraméval, de a feszültség π/2 fázissal késik az áramersséghez képest. Az önindukciós tekercsen az indukált feszültség a fluxus változási sebességével, a fluxus pedig az áramersséggel arányos: dφ(t) di L (t) U L (t) = = L (L a tekercs önindukciós együtthatója, egysége a Henry, H) dt dt Váltóáram esetén a tekercsen a feszültség di0 cosωt U L (t) = L = I 0 ωl sin ωt = I 0 ωl cos (ωt + π/2), dt azaz önindukciós tekercsen a feszültség π/2 fázissal siet az áramersséghez képest. Mind a kondenzátornál, mind a tekercsnél a feszültség és az áram hányadosa idben változik, ezért az egyenáramú hálózatoknál használt Kirchhoff-törvények (csomóponti és huroktörvény) csak a pillanatnyi értékekre alkalmazhatók, az amplitúdókra nem. Az ered áramok ill. feszültségek amplitúdóját a rész-áramok ill. -feszültségek amplitúdójából csak a fázisok ismeretében lehet meghatározni, méghozzá elég hosszadalmas számításokkal. Formális hasonlóság hozható viszont létre a váltó- és egyenáramú hálózatszámítás között az alábbi módszerrel Komplex mennyiségek bevezetése Egy komplex számot megadhatunk az R valós és az X képzetes részével: Z ~ = R + X i, vagy a Z abszolút értékével és a ϕ fázisával: Z ~ = Z e iϕ (A ϕ fázis a valós tengellyel bezárt szög.) Az ábráról látható, hogy 2 2 Z = R + X R = Zcosϕ tgϕ = X / R vagyis Z ~ = Z (cos ϕ + sin ϕ i ). X = Zsin ϕ 15

16 Elvben feltételezhetjük, hogy a feszültség ill. az áramersség komplex függvénye az idnek: i( t U ) U ~ U ~ ω ϕ = e + ~ ~ i( ωt+ ϕi ), I = I e. 0 0 Bár ennek fizikai értelme nincs, ha vesszük U ~ ill. Î valós részét, az már a közönséges harmonikus idfüggés: Re ( U ~ ) = U 0 cos (ωt+ϕ U ), Re ( Î ) = I 0 cos (ωt+ϕ I ). Mindaddig, míg lineáris mveleteket (összeadást, konstanssal való szorzást, differenciálást és integrálást) hajtunk végre a feszültségen és áramokon, ezt elvégezhetjük a komplex függvényalakon, és azután vesszük az eredmény valós részét. ~ ~ i( ωt+ ϕi ) Tételezzük fel tehát, hogy az áramersség I = I0 e alakú, és határozzuk meg ennél az idfüggésnél a komplex feszültségeket az egyes áramköri elemeken: ~ ~ U ~ i( ωt+ϕi ) R = R I0 e = R I ~ 1 ~ ω +ϕ 1 I +ϕ 1 = = ω ~ U ~ i( t I ) 0 i( t I ) C I0 e dt e = I, C C iω ωci ~ d I e ~ ~ U ~ i( ωt+ϕi ) 0 i( ωt+ϕi ) L = L = L I0 iω e = ωli I. dt Látható, hogy a komplex alakban már a kondenzátor és a tekercs feszültségének és áramának hányadosa is egy-egy idtl nem függ (viszont komplex) szám. Ezeket a hányadosokat komplex impedanciáknak nevezünk: Z ~ 1 1 R = R, Z ~ C = = i, Z ~ L = ωli. ωci ωc Ha most ellenállásokból, tekercsekbl és kondenzátorokból tetszleges kétpólust építünk, ennek a két pólusán a komplex feszültség arányos lesz a komplex árammal, mert ez az arányosság minden egyes elemen fennáll. Egy kétpólus komplex feszültségének és áramának hányadosát a kétpólus komplex impedanciájának nevezzük és Z ~ -vel jelöljük: U ~ Z ~ = ~. I Hálózatszámítás komplex mennyiségekkel A komplex mennyiségekkel a váltóáramú hálózatszámítás visszavezethet az egyenáramú hálózatszámításra. 1. Tetszleges passzív kétpólusokból felépített kétpólus impedanciáját ugyanazokkal a módszerekkel tudjuk meghatározni, mint az ellenállások esetében. Így sorba kapcsolt impedanciák eredje az egyes komplex impedanciák összege Z ~ e = Z ~ i, párhuzamos kapcsolásnál pedig az impedanciák reciprokai (az admittanciák) összegzdnek: = Z ~1 e Z ~1. i 2. A komplex mennyiségekkel érvényes az Ohm-törvény: ~ U ~ = Z ~ I Komplex számok szorzásánál az abszolút értékek szorzódnak, a fázisok pedig összeadódnak. Így a feszültség amplitúdója az impedancia abszolút értékének és az áram amplitúdójának szorzata: U 0 = ZI 0, a feszültség fázisa viszont az impedancia és az áram fázisának összegével egyenl: ϕ U = ϕ + ϕ I, azaz U(t) = ZI 0 cos (ωt +ϕ+ϕ I ). 16

17 (Ellenrizhetjük, hogy kapjuk vissza ellenállásra, kondenzátorra és tekercsre az pontban levezetett fázisviszonyokat: - ellenállás impedanciája R, annak fázisa 0, a feszültség és az áram azonos fázisban vannak; - kondenzátor impedanciája (1/ωC)i, annak fázisa π/2, a feszültség π/2-vel késik; - tekercs impedanciája ωli, annak fázisa π/2, a feszültség π/2-vel siet az áramhoz képest.) 3. Ugyanígy a Kirchhoff-törvények is érvényesek maradnak a komplex áramokra és feszültségekre. A komplex mennyiségeket a komplex számsíkon ábrázolva kapjuk a váltóáramok, feszültségek, impedanciák vektorábráját: Im U ~ ~ U ~ = Z ~ I ϕ ~ I ϕ U ϕ I Re Váltóáramú teljesítmény számítása Periodikusan változó áram és feszültség esetén a pillanatnyi teljesítmény helyett az átlagteljesítménynek van gyakorlati jelentsége. Az átlagteljesítmény a pillanatnyi valós feszültség és áram szorzatának (a pillanatnyi teljesítménynek) az idátlaga egy periódusra. Számoljuk ki szinuszos idfüggés esetén az átlagteljesítményt. Legyen az áram fázisa ϕ I = 0, így ϕ U = ϕ, a feszültség fázisa egyenl az impedancia fázisával, ϕ-vel: P = 1 T T 0 U 0cos( ωt + ϕ) I0 cos( ωt) dt = U I T T cos(2ωt + ϕ) + cosϕ dt 2 = U I cos ϕ Effektív értékeket bevezetve U 0 I0 U eff =, Ieff = 2 2 a teljesítmény az alábbi alakba írható: P = U eff I eff cos ϕ, vagyis a teljesítményben megjelenik az impedancia fázisa. Ohmos ellenállásnál cos ϕ = 1, kondenzátornál és tekercsnél cos ϕ = 0, azaz teljesítmény csak az ellenállásokon disszipálódik. 17

18 1.5. A jegyzkönyv tartalmi és formai követelményei Minden egyes mérésrl minden hallgatónak külön jegyzkönyvet kell készíteni. A mérés kiértékelését és a jegyzkönyvet akkor is egyedül kell elkészíteni, ha a mérést két hallgató együtt végezte és az adatok közösek. Nem fogadjuk el az olyan jegyzkönyvet, amelyben másolást észlelünk. Alaki követelmények: A jegyzkönyvet dupla A4-es kockás v. franciakockás papírra írjuk kék v. fekete tollal (nem ceruzával és nem pirossal). A diagramokat, szerkesztett ábrákat milliméterpapírra készítsük, melyeket be lehet ragasztani, vagy elég hozzátzni a jegyzkönyvhöz (ám ekkor névvel, csoportszámmal). A jegyzkönyv els oldalára készítsünk fejlécet: A mérés dátuma Név Csoportszám A mérés száma, címe A mérésvezet neve A jegyzkönyvnek tartalmaznia kell: - a mérés elvének tömör leírását kb. 1 oldalban; - a mérési elrendezés rajzát, a kapcsolási rajzokat; a fentieket elre otthon kell elkészíteni! - a mérésnél használt eszközök, mszerek adatait, azonosító számát; - a mérés menetének leírását; - a mérési eredményeket (táblázatosan); - a mérési eredmények kiértékelését a jegyzetben elírtak szerint: a számítások menetét követheten, a végeredményt és annak hibáját (aláhúzva), a szükséges diagramokat, grafikonokat. A grafikonokon mindig legyen cím. A tengelyeken szerepeljen az ábrázolt mennyiség neve vagy jelölése, mértékegysége; a tengelyek legyenek beskálázva. Ha több görbét ábrázolunk ugyanabban a koordinátarendszerben, azok legyenek jól megkülönböztethetk, és legyen mindegyikhez magyarázat. A jegyzkönyvet nem lehet számítógéppel készíteni, mivel a laboratóriumi gyakorlat célja többek között a jegyzkönyv-vezetés elsajátítása, a mérések kiértékelésének gyakorlása. A diagramokat is kézzel (vonalzóval) kell megrajzolni. A számítógép felhasználható persze ellenrzésre, vagy a kötelez feladatokon kívül egyéb kiértékelésre (esetleg jutalompontokért). 18

19 2. MECHANIKA Periodikus mozgások: körmozgás, rezgések, lengések A mérés célja A címben szerepl mozgásokat mindennapi tapasztalatainkból jól ismerjük, és középiskolai tanulmányainkban is foglakoztunk velük. Ezt figyelembe véve ennek a mérési gyakorlatnak ketts célja van. Egyrészt az, hogy ezeket a mozgásokat kísérletileg tanulmányozva még több közvetlen tapasztalatot szerezzünk róluk. Másrészt viszont ez a mérés arra is lehetséget teremt, hogy átismételjük a mechanika néhány fogalmát és módszerét, pl. azt, hogy miként nyerhet, és mit is jelent MOZGÁSEGYENLET. A konkrét mérési feladatok leírása eltt tehát egy kis elméleti bevezetéssel kezdjük Elméleti bevezet Hossz- és idmérés. Változás és változási sebesség A hosszúságmérésnél a mérszalagot (amelyen egyenletes beosztás van) a kérdéses a tárgy mellé fektetve állapítjuk meg annak a hosszát. Az idméréshez valamilyen periodikus jelenségre van szükségünk (pl. ingamozgás, kvarckristály vagy ammónia molekula rezgése), amelynél feltételezhet, hogy mindegyik periódus egyforma módon zajlik le. Egy jelenség kezdete és vége között eltelt id alatt tulajdonképpen azt értjük, hogy az óraként használt periodikus jelenség hányszor zajlott le a kiindulási és a végállapot között. A másodperc a földi átlagnap (a Föld forgása is periodikus jelenség, tehát óraként használható) ad részeként lett kezdetben meghatározva, de most már vannak ennél sokkal pontosabb etalonjaink is (jelenleg ez a cézium 133-as izotópjával mköd atomóra). Tekintsünk valamilyen M mennyiséget, amelyet mérni tudunk, és amely az idben változik. (M lehet pl. a hmérséklet, egy kémiai komponens koncentrációja, egy növekv élesztsejt tömege, avagy egy mozgó pont távolsága az origótól, szóval bármi). Vizsgálataink kezdetén a mért mennyiség értékét jelöljük M 1 -el, a vizsgálat egy késbbi idpontjában M 2 -vel. Ekkor az M változása alatt az alábbi különbséget értjük: M = M 2 M 1. Sokszor azt is számításba akarjuk venni, hogy ez a változás milyen gyors, azaz hogy mennyi id alatt jött létre. Ilyenkor a változást elosztjuk a hozzá szükséges idvel, így kapjuk az átlagos változási sebességet: V ÁTLAG = M / t ahol t a változás létrejöttéhez szükséges id. (Látható, hogy ebben a hányadosban az id ugyanolyan fontos szerepet játszik, mint a változás. Hiába nagy a változás, ha ez hosszú idbe telik, akkor a változási sebesség kicsi lesz, jelezve, hogy lassú folyamatról van szó.) Gyakran van szükség a pillanatnyi változási sebességre is. Ezt az átlagsebességbl kiindulva úgy közelíthetjük, hogy a t idt egyre kisebbre választjuk, határértékben nullának: V PILLANATNYI = M dm lim =. t 0 t dt A kinematikában gyakran használt fogalom a (pillanatnyi) sebesség, amely pl. egy dimenzióban mozgó pont esetén nem más, mint az x koordináta változási sebessége: v = dx/dt. A sebesség is változhat, ennek a változási sebességét nevezzük gyorsulásnak: a = dv/dt = d 2 x/dt 2. Ha tehát meg van adva az x = x(t) függvény, akkor ebbl deriválással nyerhet a v = v(t) függvény, amibl pedig újabb deriválással az a = a(t) függvény Körmozgás Itt csak az egyenletes körmozgással foglalkozunk. Kinematikai leírással élve egy anyagi pontnak olyan síkmozgásáról van szó, amely egy R sugarú körön történik, mégpedig úgy, hogy eközben sem ennek a körnek a sugara, sem pedig a mozgás szögsebessége nem változik. Ha a mozgást pl. az x-y koordinátarendszerben tárgyaljuk, és az α szög alatt a rádiuszvektornak az x tengellyel bezárt (idben változó) szögét értjük, akkor az ω szögsebesség (az α szög változási sebessége) értelemszeren: ω = dα/dt. 19

20 Középiskolai tanulmányainkból azt is tudjuk, hogy az egyenletes körmozgás is gyorsuló mozgás, mert bár a sebesség abszolút értéke nem, annak iránya állandóan változik. A gyorsulás a kör középpontja felé mutat (centripetális gyorsulás), nagysága pedig a cp = R ω 2. Dinamikai szempontból ebbl az következik, hogy amennyiben egy m tömeg pont kering ezen a körpályán, akkor ez csak úgy valósulhat meg, ha a tömegpontra egy F cp centripetális (állandóan a kör középpontja felé irányuló ) er hat, aholis F cp = m a cp. Amennyiben egy bolygó körpályán kering a Nap körül (a Föld pályája közel ilyen), akkor a centripetális er a Nap által kifejtett tömegvonzás. [Megjegyezzük, hogy a centripetális er kifejezést kifejezetten körmozgással kapcsolatban szokás használni. A bolygók mozgása természetesen mindig olyan er hatására jön létre, amelyik a Nap mint vonzó centrum felé irányul. Ilyen centrális er hatására azonban nemcsak körpályán, hanem ellipszis, st parabola, avagy hiperbola pályán is mozoghat egy anyagi pont. A centripetális er tehát az általános értelemben vett centrális ernek az a speciális esete, amikor éppen körmozgás valósul meg.] A harmonikus rezgmozgás mint a körmozgás vetülete A középiskolából tudjuk, hogy a harmonikus rezgmozgás az egyenletes körmozgás vetületének fogható fel. Ez kinematikai szempontból teljesen kielégít magyarázat, hiszen tulajdonképpen csak annyit mond, hogy a vetület mozgását ezentúl harmonikus rezgmozgásnak fogjuk nevezni. Azt a kérdést azonban, hogy egy rugóra felfüggesztett tömegpont miért végez éppen ilyen mozgást, nemigen firtattuk. Mieltt azonban erre a kérdésre rátérnénk, ismételjük át röviden a kinematikai leírást. A körmozgás pályája legyen az x-y síkban elhelyezked R sugarú kör. A kör középpontja legyen az origó. Ezen a pályán állandó ω szögsebességgel mozogjon egy m tömeg anyagi pont: 2.1. ábra. Egyenletes körmozgás és vetülete Ez azt jelenti, hogy amennyiben a helyvektornak az x tengellyel bezárt szögét α-val jelöljük, akkor ez a szög egyenletes körmozgás esetén az idvel arányosan n: α = ω t +, ahol az α szög értéke a t = 0 idpillanatban. A helyvektor x és y komponense ennek megfelelen: x(t) = R cos(ω t + ) y(t) = R sin(ω t + ) Tekintsük most az x tengelyen vett vetület mozgását, az R sugárra utaló jelölést pedig váltsuk fel az A jelöléssel, ami a harmonikus rezgmozgás amplitúdója lesz. Így tehát x(t) = A cos(ω t + ), ami valóban a harmonikus rezgmozgás jól ismert egyenlete A harmonikus rezgmozgás sebessége és gyorsulása Tudjuk, hogy a mozgás sebessége a helyvektor id szerinti deriváltja. Jelen esetben a v sebességet az x komponens id szerinti deriválásával kaphatjuk meg: v(t) = dx/dt = A ω sin(ω t + ). Továbblépve az a gyorsulás a v sebesség deriválásával nyerhet, azaz az x második deriváltjaként: a(t) = dv/dt = d 2 x/dt 2 = A ω 2 cos(ω t + ). 20

21 Összefüggés a harmonikus rezgmozgás a gyorsulása és x kitérése között Most az a gyorsulást írjuk az alábbi formába: a = d 2 x/dt 2 = ω 2 [A cos(ω t + )]. Jól látható, hogy a kapcsos zárójelen belül szerepl mennyiség éppen az x. Vagyis felírható, hogy a = ω 2 x, avagy d 2 x/dt 2 = ω 2 x Dinamika. Mozgásegyenlet Szorozzuk meg az elz egyenlet mindkét oldalát a mozgó pont tömegével: m a = ω 2 m x. Ha ezek után a dinamika második axiómájának felhasználásával az m a szorzat helyébe az F ert írjuk, valamint az egy adott mozgás során állandó ω 2 m helyébe egy másik állandót írunk, amit k-val jelölünk, akkor az erre az alábbi egyenletet kapjuk: F = k x, ami nem más, mint a rugalmas er ertörvénye, amennyiben x a rugó deformációja. A visszahúzó er nagysága ugyanis egy ideális rugónál arányos a deformációjával, és avval ellentétes irányú, éppen úgy, ahogy a fenti formula mutatja. Látható tehát, hogy a rugóer valóban harmonikus rezgmozgást hoz létre. A mechanikai feladatok szisztematikus megoldásánál azonban általában fordítva merül fel a probléma, tehát nem egy mozgáshoz keresünk ertörvényt, hanem fordítva: adva van egy ertörvény, és a kérdés az, hogy ez milyen mozgást hoz létre. Ebben az esetben tehát ismerjük az ertörvényt, ami egy olyan kifejezés, amely megmondja, hogy az er miként függ a helytl, a sebességtl és az idtl. Tehát egydimenziós mozgást tekintve az ertörvény az alábbi alakban adható meg: F = F(x, dx/dt, t). Ezután ezt az ertörvényt beírjuk Newton második axiómájába: m d 2 x/dt 2 = F(x, dx/dt, t). A fenti egyenletet nevezzük a mozgás MOZGÁSEGYENLETÉNEK, ami a kezdfeltételeken kívül mindent elmond az adott ertörvénynek engedelmesked mozgásokról A mozgásegyenlet megoldása rugalmas er esetén A mozgásegyenlet megoldása néha bonyolult lehet, mivel az nem algebrai, hanem úgynevezett differenciálegyenlet. Az algebrai egyenlet megoldása az egyenlet gyökének vagy gyökeinek megtalálását jelenti. A differenciálegyenlet megoldása azonban egy függvény. A differenciálegyenletek ugyanis -az algebraitól eltéren- a függvényegyenletek osztályába tartoznak, vagyis amikor nem egy ismeretlen x értéket, hanem egy x = x(t) ismeretlen függvényt keresünk. Lássuk ezután a harmonikus rezgmozgás mozgásegyenletét, és annak a megoldását! A mozgásegyenlet ebben az esetben: m d 2 x/dt 2 = k x. Ha a tömeggel osztunk, és az egy adott rugó és tömeg esetén állandó k/m arányt ω 2 -el jelöljük, akkor a fenti differenciálegyenlet a következ alakba írható: d 2 x/dt 2 = ω 2 x, amelynek a megoldását viszont már jól ismerjük: x(t) = A cos(ω t + ). Tehát adott m tömeg és k rugóállandó esetén mindig olyan harmonikus rezgmozgás fog létrejönni, amelynek körfrekvenciája ω = k / m. Az egyes konkrét mozgások azonban különböznek az A amplitúdó és a kezdfázis szerint. Ezeket az ún. integrációs állandókat a kezdeti feltételek szabják meg: 21