I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan: Az ábra alapján a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) Adott: a(; 5) és b( 3; 4) a b(a 1 b 1 ; a b ) b a ( 3 ; 4 5 ) = ( 5; 1) Adott A (; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: AB ( 5; 1). Ha két pontból alkotsz vektort, akkor a második pont koordinátáiból vonod ki az első pont koordinátáit, megfelelő sorrendben! Például: BA (5; 1) 3. Vektor számmal való szorzása Általánosan: a(a 1 ; a ) ; λ, valós szám Adott: a(5; 4) 3 a(3 5; 3 ( 4) = (15; 1) λ a(λ a 1 ; λ a ) 4. Vektor hossza Általánosan: a(a 1 ; a ) Adott: a(5; 4) a = 5 + ( 4) = 5 + 16 = 41 6,4 a = a 1 + a 1
5. Két vektor skaláris szorzata Általánosan: a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) Adott: a(4; 1) és b(; 3) 1. definíció: a b = 4 + ( 1) 3 = 8 3 = 5 a b = a 1 b 1 + a b Adott: a = 5, b = és a közbezárt szögük α = 60. definíció: a b = 5 cos60 = 10 0,5 = a b = a b cosα Adott két vektor a(3; 5) és b(4; ). Mekkora szöget zár be a két vektor? 1. lépés : Az 1. definíció alapján kiszámolod a két vektor skaláris szorzatát. a b = 3 5 + 4 = 15 + 8 = 3. lépés: Kiszámolod a két vektor hosszát a = 3 + 5 = 9 + 5 = 34 5,83 b = 4 + = 16 + 4 = 0 4,47 3. lépés: Az 1. és a. definíciót egyenlővé teszed, és megoldod az egyenletet. 3 = 34 0 cosα 3 = 6,07 cosα :/6,07 0,880 = cosα /cos 1 α α = 8,11 6. Szakasz hossza (Két pont távolsága) Általánosan: A(a 1 ; a ) és B(b 1 ; b ) Adott: A(5; ), B(6; 1) d AB = AB = (6 5) + ( 1 ) = 10 3,16 AB = (b 1 a 1 ) + (b a ) 7. Szakasz felezőpontja Általánosan: A(a 1 ; a ) és B(b 1 ; b ) Adott: A(5; ), B(6; 1) F ( 5+6 ; +( 1) ) = ( 11 ; 1 ) F (a 1+b 1 ; a +b )
8. Háromszög súlypontjának koordinátái Általánosan: A(a 1 ; a ) B(b 1 ; b ) C(c 1 ; c ) A(1; 3) B(5; - ) C( - 4; - 6) S ( 1+5+( 4) 3 ; 3+( )+( 6) 3 ) = ( 3 ; 5 3 ) S (a 1+b 1 +c 1 3 ; a +b +c ) 3 II. Egyenes egyenlete 1. Az egyenes helyzetére jellemző adatok Adott az egyenes egy pontja P 0 és az egyenesre merőleges vektor, a normálvektor n Adott: P 0 (x 0 ; y 0 ) és n(a; B) e: A x + B y = A x 0 + B y 0 Adott az egyenes egy pontja P 0 és az egyenessel párhuzamos vektor, az irányvektor v Adott: P 0 (x 0 ; y 0 ) és v(v 1 ; v ) e: v x v 1 y = v x 0 v 1 y 0 Adott az egyenes két pontja Adott: A(x 1 ; y 1 ) és B(x ; y ) e: (x x 1 )(y y 1 ) = (y y 1 )(x x 1 ) Adott az egyenes egy pontja P 0 és az egyenes x tengely pozitív iránya által bezárt szöge, irányszög (α); meredeksége, m ( az egyenes irányszögének a tangense; m = tgα) Adott: P 0 (x 0 ; y 0 ) és α vagy m = tgα e: y = m(x x 0 ) + y 0 3
. Észrevételek Egy egyenes normálvektora és irányvektora merőleges egymásra Példa két vektor merőlegességére: n(5; ) v (; 5) vagy v( ; 5) m = v v 1, ahol az irányvektor v(v 1 ; v ) m = A, ahol a normálvektor n(a; B) B Két egyenes párhuzamos, ha normálvektoraik (irányvektoraik ) egyállásúak e: x + 3y = 5 n e (; 3) f: 4x + 6y = 0 n f (4; 6) Két vektor egyállású, ha koordinátáik megegyeznek, vagy ugyanannyival vannak megszorozva. Két egyenes merőleges egymásra, ha normálvektoraik (irányvektoraik) is merőlegesek egymásra e: x + 3y = 5 n e (; 3) f: 3x y = 0 n f (3; ) Két vektor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk nulla. (Itt: 3 + 3 ( ) = 0) 4
3. Két egyenes metszéspontja Koordinátageometria 11. Két egyenes metszéspontjának meghatározása a két egyenes egyenletéből álló egyenletrendszer megoldása, a kapott értékek a metszéspont koordinátái. Határozd meg az alábbi két egyenes metszéspontját! e: x + y = 1 { x = 1 és y = 1, tehát M(1; 1) f: x y = 5
4. Pont és egyenes távolsága Koordinátageometria 11. Számold ki a P(0; 8) pontnak az e: - x + y = - egyenestől való távolságát! 1. lépés: Vázlat készítése. lépés: A P pontból merőleges egyenest (f) állítunk az e egyenesre; f egyenes felírása Mivel n e ( ; 1) = v f, így f: x + y = 16 3. lépés: Legyen M az e és f egyenes metszéspontja; egyenletrendszerrel kiszámoljuk { e: x + y = f: x + y = 16 x = 4 és y = 6, azaz M(4; 6) 4. lépés: P és M pont távolságának kiszámítása PM = (4 0) + (6 8) = 16 + 4 = 0 4,47 6
5. Két párhuzamos egyenes távolsága Adott két párhuzamos egyenes e: x + 3y = 1 és f: x + 3y = 5. Milyen távol van egymástól ez a két egyenes? 1. lépés: vázlat készítése:. lépés: Az egyik egyenesen egy tetszőleges pont kiválasztása (P) A pont első koordinátáját tetszőlegesen válaszd meg, pl. x = 0 y kiszámítása e egyenletéből: 0 + 3 y = 1 y = 4, azaz A(0; 4) 3. lépés: előző feladat alapján a P pont távolságát kiszámoljuk a másik egyenestől. lásd előző feladat: A P pontból merőlegest állítunk az f egyenesre, legyen g egyenes. Az f és g egyenes metszéspontját az előbbi módon kiszámoljuk: M (-1,07;,38). Végül kiszámoljuk a két pont távolságát: PM 1,94 7
Tengelymetszetek Adott e: x + 5y= 0 egyenletű egyenes. Számold ki, hogy mely pontokban metszi az egyenes a koordinátarendszer tengelyeit! 1. lépés: x tengelymetszet Észrevétel: Az x tengelyen lévő pontok második koordinátája mindig nulla. y = 0-t behelyettesíted az egyenes egyenletébe: x + 5 0 = 0 x = 10 A metszéspont: (10; 0). lépés: y tengelymetszet Észrevétel: Az y tengelyen lévő pontok első koordinátája mindig nulla. x = 0-t behelyettesíted az egyenes egyenletébe: 0 + 5 y = 0 y = 4 A metszéspont: (0;4) 8
A háromszög súlyvonalának egyenlete (s) Adott egy háromszög három csúcspontja: A( - 6; ); B( 10; 0) és C( 1; 7). Írd fel a C csúcsból induló súlyvonal egyenletét! 0. lépés: Ha az adatok lehetővé teszik, készíts ábrát! 1. lépés: A C csúcsból induló súlyvonal átmegy az AB oldal felezőpontján (F) F ( 6+10 ; +0 ) = (; 1). lépés: Az ábrán látszik, hogy az CF vektor a súlyvonalon fekszik, azaz párhuzamos vele. CF ( 1; 1 7) = (1; 6) 3. lépés: Ismered a súlyvonal egyenesének egy pontját (C) és az irányvektorát (CF ). Behelyettesíted az egyenes irányvektoros képletébe, és kész. v x v 1 y = v x 0 v 1 y 0 6 x 1 y = 6 1 1 7 6x y = 13 s: 6x + y = 13 Vedd észre, hogy lehet egyszerűsíteni! 9
A háromszög magasságvonalának egyenlete (m) Adott egy háromszög három csúcspontja: A( - 6; ); B( 6; 1) és C( ; 8). Írd fel a C csúcsból induló magasságvonal egyenletét! 0. lépés: Ha az adatok lehetővé teszik, készíts ábrát! 1. lépés: A C csúcsból induló magasságvonal merőleges az AB oldalra, így az AB vektort a magasságvonal normálvektorának választhatjuk. AB (6 ( 6); 1 ) = (1; 1). lépés: A magasságvonal egyetlen ismert pontja a C csúcs, amin áthalad. 3. lépés: Ismered a magasságvonal egyenesének egy pontját (C) és a normálvektorát (AB ). Behelyettesíted az egyenesnormálvektoros képletébe, és kész. A x + B y = A x 0 + B y 0 1 x + ( 1) y = 1 + ( 1) 8 m: 1x y = 16 10
A háromszög oldalegyenesének egyenlete Adott egy háromszög három csúcspontja: A( - ; 3); B( 6; 1) és C( ; 8). Írd fel az AB oldal egyenletét! 0. lépés: Ha az adatok lehetővé teszik, készíts ábrát! 1. lépés: Az ábrán látszik, hogy az AB vektor az oldalon fekszik, azaz párhuzamos vele. AB (6 ( ); 1 3) = (8; ) 3. lépés: Ismered az oldal egyenesének egy pontját (A vagy B) és az irányvektorát (AB ). Behelyettesíted az egyenes irányvektoros képletébe, és kész. v x v 1 y = v x 0 v 1 y 0 x 8 y = ( ) 8 3 x 8y = 0 f: x + 4y = 10 Vedd észre, hogy lehet egyszerűsíteni! 11
A háromszög középvonalának egyenlete (k) Adott egy háromszög három csúcspontja: A( - ; 3); B( ; - 1) és C( ; 7). Írd fel az AB oldallal párhuzamos középvonal (k) egyenletét! 0. lépés: Ha az adatok lehetővé teszik, készíts ábrát! 1. lépés: A középvonal áthalad az AB és BC oldal felezőpontjain, ezek közül legalább az egyik koordinátáit szükséges meghatározni: F BC ( + ; 1+7 ) = (; 3). lépés: Az ábrán látszik, hogy az AC vektor párhuzamos a középvonallal. AC ( ( ); 7 3) = (4; 4) 3. lépés: Ismered az oldal egyenesének egy pontját (F 1 vagy F ) és az irányvektorát (AB ). Behelyettesíted az egyenes irányvektoros képletébe, és kész. v x v 1 y = v x 0 v 1 y 0 4 x 4 y = 4 4 3 4x 4y = 4 f: x + y = 1 Vedd észre, hogy lehet egyszerűsíteni! 1
A háromszög oldalfelező merőlegesének egyenlete (f) Adott egy háromszög három csúcspontja: A( - 4; - ); B( 10; 4) és C( -1; 6). Írd fel az AB oldal felezőmerőleges egyenletét! 0. lépés: Ha az adatok lehetővé teszik, készíts ábrát! 1. lépés: Az oldalfelező merőleges az AB oldalra, így az AB vektort a magasságvonal normálvektorának választhatjuk. AB (10 ( 4); 4 ( )) = (14; 6). lépés: A magasságvonal egyetlen ismert pontja az AB oldal felezőpontja (F), amin áthalad. F AB ( 4+10 ; +4 ) = (3; 1) 3. lépés: Ismered az oldalfelező egyenesének egy pontját (F) és a normálvektorát (AB ). Behelyettesíted az egyenesnormálvektoros képletébe, és kész. A x + B y = A x 0 + B y 0 14 x + 6 y = 14 3 + 6 1 14x + 6y = 48 f: 7x + 3y = 4 13