A kiadvány tól tankönyvi engedélyt kapott a TKV/3482-9/2018. számú határozattal.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A kiadvány tól tankönyvi engedélyt kapott a TKV/3482-9/2018. számú határozattal."

Átírás

1

2 A kiadvány tól tankönyvi engedélyt kapott a TKV/8-9/08. számú határozattal. A tankönyv megfelel az /0. (XII..) EMMI-rendelet:. sz. melléklet: Kerettanterv a gimnáziumok 9. évfolyama számára..0.;. sz. melléklet: Kerettanterv a gimnáziumok 7. évfolyama számára..0.;. sz. melléklet: Kerettanterv a gimnáziumok. évfolyama számára..0.;. sz. melléklet: Kerettanterv a szakgimnáziumok 9. évfolyama számára megnevezésű kerettanterv előírásainak és az érettségi vizsga követelményeinek [0/00. (V..)]. Lektorok: Füleki Lászlóné, Beck Zsuzsa Az ábrákat készítette: dr. Fried Katalin A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban kirendelt szakértők: dr. Várady Ferenc, Zarubay Attila Korom Pál, Eszterházy Károly Egyetem (Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt.), 009 ISBN Eszterházy Károly Egyetem 00 Eger, Eszterházy tér. Tel.: (+6-) Fa: (+6-) kiado@ofi.hu A kiadásért felel: dr. Liptai Kálmán rektor Raktári szám: NT-60/F Felelős szerkesztő: Tóthné Szalontay Anna Műszakiiroda-vezető: Horváth Zoltán Ákos Műszaki szerkesztő: Orlai Márton Grafikai szerkesztő: Görög Istvánné Terjedelem:, (A/) ív Tömeg: 0 gramm. kiadás, 09 Készült a Gyomai Kner Nyomda Zrt.-ben, 09-ben Magyar Könyvkiadók és Könyvterjesztők Egyesülésének tagja Az igazgatóság elnöke Balla László Vezérigazgató Erdős Tamás Telefon: 66/887-00

3 Tartalom Bevezető... Megoldások Hatvány és logaritmus feladatlap: Másodfokúra visszavezethető egyenletek feladatlap: Másodfokú egyenletrendszerek feladatlap: Racionális kitevőjű hatványok feladatlap: Eponenciális függvények feladatlap: Logaritmus fogalma feladatlap: Logaritmus azonosságai feladatlap: Logaritmusfüggvény feladatlap: Eponenciális egyenletek feladatlap: Logaritmusos egyenletek Trigonometria alkalmazása feladatlap: Két vektor skaláris szorzata feladatlap: Két vektor skaláris szorzata koordináta-rendszerben feladatlap: Szinusztétel feladatlap: Koszinusztétel feladatlap: Vegyes feladatok szinusz- és koszinusztétel alkalmazására feladatlap: Sokszögekre vonatkozó vegyes feladatok feladatlap: Trigonometrikus egyenletek feladatlap: Trigonometrikus egyenletek feladatlap: Trigonometrikus egyenlőtlenségek Koordinátageometria feladatlap: Helyvektor, vektor, osztópont feladatlap: Párhuzamos és merőleges vektorok feladatlap: Egyenes feladatlap: Egyenes és pont feladatlap: Egyenes iránytényezős egyenlete feladatlap: A párhuzamosság és merőlegesség feltétele feladatlap: Két egyenes metszéspontja feladatlap: Pont és egyenes távolsága feladatlap: Kör egyenlete feladatlap: Pont és kör viszonya feladatlap: Egyenes és kör kölcsönös helyzete feladatlap: Vegyes feladatok

4 Megoldások Gondolkodási módszerek feladatlap: Gráfelmélet feladatlap: Kombinatorika (permutáció, kombináció, variáció) n. feladatlap: Kombinatorika (az k tulajdonságai) feladatlap: Kombinatorika gyakorlása feladatlap: Valószínűség-számítás Megoldások... 90

5 Bevezető A feladatlap-gyűjtemény elsősorban a középiskolai matematika tananyag gyakorlására készült. A tematikus sorrendben felépülő feladatlapok segítik az órai munkát, a szakköri, illetve korrepetáló foglalkozást, az önálló gyakorlást vagy a középszintű matematika érettségire való felkészülést. A feladatlapok a. évfolyamos kerettanterv tananyagát követik. A feladatlapok feldolgozását két fontos egység segíti. Az első egységcsoport a minden nagyobb téma előtt a témához kapcsolódó elméleti emlékeztető. Ezek a részek az adott témához tartozó definíciókat, tételeket, illetve a fontosabb eljárásokat, módszereket tartalmazzák. A másik alapvető egység pedig a feladatlap-gyűjtemény végén található megoldások, amelyek az eredményeken túl az azokhoz vezető fontosabb lépéseket is magukban foglalják. A feladatlap-gyűjtemény készítésekor elsődleges cél volt, hogy lehetőleg minden feladatot a feladatlap oldalain oldjon meg a tanuló.

6 Hatvány és logaritmus. feladatlap Másodfokúra visszavezethető egyenletek EMLÉKEZTETŐ másodfokú egyenlet megoldóképlete: Az a + b + c 0 ( a 0) alakú másodfokú egyenlet megoldóképlete: b b ac ; ±. a a megoldások alakjai: A végtelen számú tizedesjegyre vezető változó értékét megadhatjuk pontosan és kerekítve is. pontos érték: A végtelen szakaszos tizedes törtet egyszerűsített tört alakban 0,, az irracionális számot pedig a megfelelő művelet megtartásával, ; 0, írjuk le. kerekített érték: Nagy pontosságú számoló eszköz, például számológép, segítségével kiszámoljuk az eredményt, majd a megadott számú értékes jegyig kerekítjük a kapott értéket. Például kerekített értéke három értékes jegy esetén 0,07; de 00, kerekített értéke három értékes jegy esetén,6. (Nem,6, mert ez a kerekítés öt értékes számjegyet tartalmaz. Az értékes jegyek és a tizedesjegyek száma nem feltétlenül egyezik meg.) n n a + b + c 0 alakú egyenlet megoldása: Az y n új változót vezetjük be, és az ay + by + c 0 másodfokú egyenlet már megoldható. Amennyiben az y változónak léteznek megoldásai ( y; y ), akkor az y n, y n egyenleteket még meg kell oldani. Például az + 0 egyenlet az y új változó bevezetésével y y+ 0 másodfokú egyenletté alakítható át, amelynek a megoldásai: y és y. Az y egyenlet megoldásai: ± Az y egyenlet megoldásai: ;. ; ±. Így az eredeti egyenlet megoldásai a valós számhalmazon: ; ; ;. másodfokúnál magasabb fokú egyenlet megoldása: Általános megoldóképlete a harmadfokú és a negyedfokú egyenletnek van, de ezeket a megoldóképleteket a középiskolában nem tanuljuk. A másodfokú egyenleteknél magasabb fokú egyenletek megoldásainál a feladatok jellegzetességeit kell észrevenni, például bizonyos tagok hiányoznak (hiányos egyenlet), vagy az együtthatók nagyon speciálisak, valamely azonosságra emlékeztetnek, vagy kiemelhetők. A megoldási trükkök jelentős részének az az alapja, hogy az egyenletet alacsonyabb fokú egyenletekre (például első- vagy másodfokúra) vezetjük vissza. A továbbiakban csak néhány módszert tekintünk át. n n p alakú egyenlet megoldása: A megoldása páratlan n esetén, p értékétől függetlenül a, páros n esetén, amennyiben p 0, n ; ± p. új változó bevezetése: Sok esetben a változó bonyolultabb kifejezése helyett érdemes új változót bevezetni, majd az új változó megoldásai után kiszámolni az eredeti változó értékeit. Például ( ) ( + + ) 8 egyenletnél bevezetjük az y + új változót. Ekkor az y ( y+ ) 8 másodfokú egyenletet kapjuk, amelynek megoldásai y ; y. A kapott értékeket behelyettesítve az új változó helyére, az + és a + egyenletekhez jutunk, amelyeknek megoldásai: ; ; ;. az egyenlet nullára redukálása és szorzattá alakítása: Sok esetben érdemes az egyenletet nullára redukálni (ekkor az egyenlet egyik oldalán csak a 0 szerepel), mert a másik oldal szorzattá alakításakor a tényezők az eredeti egyenleteknél kisebb fokszámú kifejezések lesznek, és figyelembe véve, hogy egy szorzat akkor és csak akkor lehet 0, ha valamelyik tényezője nulla, ezek a tényezők kisebb fokszámú egyenletek lesznek. Például az + 0 egyenletből csoportosítva lehet kiemelni ( + ) ( + ) 0. További kiemelés után az egyenlet alakja ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) 0. Az 0, + 0 és + 0 egyenletek megoldásai ; ;. 6 Hatvány és logaritmus

7 FELADATOK.. Számold ki négy értékes számjegy pontossággal a következő egyenletek megoldásait! a), 78; b) ; c) b ; d) ( y ) 0; e) 0; f) a Oldd meg az alábbi egyenleteket a racionális számok halmazán! a) 0; b) ; 8 c) + 0;. feladatlap 7

8 0 d) Oldd meg az alábbi negyedfokú egyenleteket! Hány megoldást találsz? a) 0; b) ; c) 00 0; d) + 0; e) Új változó bevezetésével oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) ( + 9+ ) ( ) ; 8 Hatvány és logaritmus

9 b) ( ) ( ) ; c) ; d) Szorzattá alakítással oldd meg a következő egyenleteket! a) + 0; b) ; c) + 0; d) feladatlap 9

10 .6. Erzsi egy egynél nagyobb irracionális számra gondolt. Ha a szám négyzetéhez hozzáadunk egyet és négyzetre emeljük, akkor a gondolt szám négyzetének négy és félszeresét kapjuk. Melyik számra gondolt Erzsi?.7. a) Melyek azok a számok, amelyeknek a harmadik hatványa megegyezik az eredeti számmal? b) Melyek azok a számok, amelyeknek a negyedik hatványa megegyezik az eredeti számmal? c) Melyek azok a számok, amelyeknek a negyedik hatványa egyenlő a második hatványuk kétszeresével?. feladatlap Másodfokú egyenletrendszerek EMLÉKEZTETŐ másodfokú egyenletrendszer megoldása: A másodfokú egyenletrendszer megoldásánál sok esetben használhatjuk az elsőfokú egyenletrendszer megoldásánál használható módszereket: az egyik ismeretlen kifejezését és a másik egyenletbe való behelyettesítését, vagy ha lehetőség van rá, az egyenlő együtthatók módszerét. másodfokú egyenletrendszer megoldása új ismeretlenek bevezetésével: Sok esetben a változók bizonyos kifejezései helyett új ismeretleneket vezethetünk be, és az így kapott kétismeretlenes egyenletrendszer már megoldható, és az új változók értékeinek ismeretében már az eredeti egyenletrendszer megoldásai is megadhatók. Például ( + y) y 7. Az új ismeretlenek ( + y)+ y u v 7 u + y, v y bevezetése után az egyenletrendszer alakú lett. Az egyenletrendszer megoldása u 9 + y, u+ v v 0 y. Az új egyenletrendszert például y 9 behelyettesítéssel oldhatjuk meg. Ekkor a megoldáspárok:, y ;, y. 0 Hatvány és logaritmus

11 FELADATOK.. Oldd meg a következő egyenletrendszereket a valós számok halmazán! a) + y 6 y 8 ; b) y y ; + y 7 c) y ; d) y. y 6.. Oldd meg a következő egyenletrendszereket a valós számok halmazán! a) + y 0 ; + y 8 y + y b) ; y 9. feladatlap

12 y + y + y c). y.. Új változók bevezetésével oldd meg következő egyenletrendszereket! (Az eredmény nem csak egész vagy racionális szám lehet!) a) ( + y) + y 79 ; ( + y) y 9 b) ( + y) y 0 ; ( + y) ( + y) + y 6 c) + y + y 9 ; ( + y) y 0, d) ( y) y. ( y) + y 68.. Egy derékszögű háromszög területe 8,8 cm, átfogója 8, cm. Mekkora a két befogója? Hatvány és logaritmus

13 . feladatlap Racionális kitevőjű hatványok EMLÉKEZTETŐ a hatványozásról tanultak: Az a n ( a, n ) hatványon n esetén olyan n tényezős szorzatot értünk, amelynek minden tényezője a. Megállapodás szerint a a, valamint a 0 ( a 0 ). Negatív kitevő esetén a a hatványozás azonosságai: a, b ; m, n +. n n n. a b ( a b);. a n a b racionális kitevőjű hatvány: Az a n n ( ). Mivel az a n n n n a m n m n b, b 0;. a a a + ;. a a m n n (a \ { 0 }, n ). n a m n a m n mn n m, a 0;. ( a ) a ( a ). ( n > ) jelenti azt a pozitív számot, amelynek n-edik hatványa a nemnegatív szám, n n n n vagyis a a meghatározása pontosan megegyezik a a meghatározásával, így elmondhatjuk, hogy a a, ahol a bal oldali kifejezést hatványalaknak, a jobb oldali kifejezést pedig gyökalaknak nevezzük. p q racionális kitevőjű hatvány: Az a ( a> 0; p Z; q N \{} 0 ) jelenti azt a pozitív számot, amelynek q-adik hatványa a p q p p nemnegatív szám, vagyis ( a ) q p a. A gyakorlatban jól használható azonosság az a q q a p a > 0; p Z; q N és q, ahol a bal oldali kifejezést hatványalaknak, a jobb oldali kifejezést gyökalaknak nevezzük. ( ) FELADATOK.. Számítsd ki a hatványok pontos értékét! a) 6 b) 7 c) 6 d) 0, e) 0, 0000 f) 0, 06.. Számítsd ki a hatványok pontos értékét! a) b) c) 6 6 d) 7 e) f) 8.. A gyökalakban megadott kifejezéseket alakítsd át hatványalakúvá! ( a 0; b > 0.) a) b). feladatlap

14 c) d) 7 e) a f) a b.. A gyökalakban megadott kifejezéseket alakítsd át hatványalakúvá úgy, hogy a kitevőben ne legyen negatív szám! ( a 0; b > 0.) a) b) c) a b.. A hatványalakban megadott kifejezéseket alakítsd át gyökalakúvá! ( a 0; b > 0.) a) 7 b) c) a d) e) 0, f) a b.6. A hatványalakban megadott kifejezéseket alakítsd át gyökalakúvá úgy, hogy a kitevőben ne legyen negatív szám! ( a 0; b > 0.) a) b) a c) b.7. A hatványozás azonosságainak alkalmazásával hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket, majd add meg őket gyökalakban! a) b) c) d) a a e) : Hatvány és logaritmus

15 f) : g) : h) a : a.8. A hatványozás azonosságainak alkalmazásával hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket, majd add meg őket gyökalakban! a) 0 0 b) c) a 0 a a d) a a 6 e) f) a a a a. feladatlap Eponenciális függvények EMLÉKEZTETŐ a alapú eponenciális függvény: Az f : +, a ( a > 0 ) függvényt a alapú eponenciális függvénynek nevezzük. Az alaptól függően a függvénynek három típusa lehetséges:. feladatlap

16 . a > esetén az eponenciális függvény szigorúan monoton növekedő;. a esetén az eponenciális függvény az f :, konstans függvény;. 0< a < esetén az eponenciális függvény szigorúan monoton csökken. y y y a, a a,0 a a, a FELADATOK.. A függvénytranszformációkkal kapcsolatos ismereteid segítségével ábrázold az f :, + függvényt, és a grafikon alapján válaszolj a következő kérdésekre! a) Mi az értékkészlete a függvénynek? b) Mi a zérushelye a függvénynek? c) Hol metszi a függvény az y tengelyt? d) Pontja-e a grafikonnak a ( ; 0, ) koordinátájú pont? 6 Hatvány és logaritmus

17 .. A függvénytranszformációkkal kapcsolatos ismereteid segítségével ábrázold az f :,, függvényt, és a grafikon alapján válaszolj a következő kérdésekre! a) Mi az értékkészlete a függvénynek? b) Monotonitás szempontjából milyen a függvény? c) Milyen függvényérték tartozik az helyhez? d) Hol veszi fel a függvény a értéket?.. A függvénytranszformációkkal kapcsolatos ismereteid segítségével ábrázold az f :, + függvényt, és a grafikon alapján válaszolj a következő kérdésekre! a) Mi az értékkészlete a függvénynek? b) Monotonitás szempontjából milyen a függvény? c) Milyen tartományban pozitív a függ vény? d) Az helyen milyen értéket vesz fel a függvény?. feladatlap 7

18 .. A függvénytranszformációkkal kapcsolatos ismereteid segítségével ábrázold az f : [ ; ], + függvényt, és a grafikon alapján válaszolj a következő kérdésekre! a) Mi az értékkészlete a függvénynek? b) Az alábbi pontok közül melyek illeszkednek a grafikonra? ( ) A 0, ; 0 ; B ( 0 ; ); ( ) C 0, ; ; ( ) D, ;,... A függvénytranszformációkkal kapcsolatos ismereteid segítségével ábrázold és jellemezd az f :, függvényt! Értelmezési tartomány: Értékkészlet: Zérushely: Növekedés: Csökkenés: Szélsőértékek: Páros: Páratlan: Periódus: 8 Hatvány és logaritmus

19 .6. Adott a függvény paraméteres alakja és a grafikonjának egy pontja. Számítsd ki a függvény paraméterét, és ábrázold a függvényt! a) f ( ) a + és P ( 0 ; ); + b b) g( ) és Q ( ; 0 ); c) h( ) c + és R ( ; 0 ).. feladatlap Logaritmus fogalma EMLÉKEZTETŐ b pozitív szám a alapú logaritmusa: A b pozitív szám a (a > 0 és a ) alapú logaritmusának nevezzük azt a kitevőt, amelyre az a alapot emelve a b számot kapjuk. Például a log (ejtsd -es alapú logaritmus ) jelenti azt a kitevőt, amelyre -t emelve -at kapunk, vagyis l o g. 0-es alapú logaritmus: Mivel az általunk használt számrendszer alapja 0, ezért a 0-es alapú logaritmust (log b 0 ) megkülönböztetett módon, lg b -vel jelöljük. Például lg ; l g 0, 6. a alapú hatvány a alapú logaritmusa: Az a n hatvány a alapú logaritmusa pont a hatvány kitevője ( n ), mert a logaritmus definíciója alapján a-t n-re kell emelni, hogy a n n -t kapjunk. log a a n. Például log, mert -öt a. hatványra kell emelni, hogy -t kapjunk. log, mert. az a szám a alapú logaritmusa: log a a. Az a szám a alapú logaritmusa, mert a a. az tetszőleges alapú logaritmusa: log a 0. Az -nek akármilyen alapú logaritmusát vesszük, akkor 0-t kapunk, mert bármely pozitív szám 0. hatványa. Például log 0, l g 0. FELADATOK.. A logaritmus fogalma alapján add meg a következő kifejezések pontos értékét! a) l o g b) 0 l g 6. feladatlap 9

20 c) log 7 d) 9 log 90 e) 0 lg f) log Határozd meg a következő logaritmusokat! a) log 8 b) log 9 c) log d) log e) log f) log g) log 6 h) log i) log.. Határozd meg a következő logaritmusokat! a) log b) log 9 c) log d) log 0, e) log 7 f) log 0, g) log 0, h) log 8 i) log 0, 0.. Számítsd ki a következő kifejezésék pontos értékét! a) lg 00 b) lg c) l g 0, 0 d) lg 0, Hatvány és logaritmus

21 e) lg ( 0, 0 00) f) l g 0, 0.. Határozd meg a következő logaritmusokat! ( a, b, c, d, m, n 0, a, b, c, d. ) a) log n b) log m c) log a a d) log b b e) log c c f) log d d.6. Számítsd ki a következő logaritmusos kifejezések pontos értékét! ( a > 0, a. ) a) log 6 b) lg 0 c) log d) lg 0 e) log f) lg 0 g) log a a h) log a 9 a 8.7. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! ( > 0.) a) log 7; b) log ; c) lg ; d) log ;. feladatlap

22 e) log a ; f) log a ; g) log ; h) log ; i) lg..8. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! ( > 0,.) a) log 6 6 ; b) log 6 ; c) log 6 ; d) log 6 ; e) log 6 ; f) log 6 ; g) log ; h) log ; Hatvány és logaritmus

23 i) log Számítsd ki a logaritmus definíciója és a hatványozás azonosságainak segítségével a következő kifejezések pontos értékét! ( > 0,.) a) + log b) + log 6 c) log d) 7 log7 e) log log f).0. Számológép segítségével határozd meg a következő logaritmusok közelítő értékét három értékes jegy pontossággal! a) l g, b) l g, c) l g, 6 d) lg0, 76 e) l g 0, f) l g 0,.. Számológép segítségével oldd meg a következő egyenleteket három értékes jegy pontossággal! a) lg 0, ; b) lg, 6 ; c) lg, ; d) lg 0, ; e) lg, 6 7 ; f) lg, feladatlap

24 6. feladatlap Logaritmus azonosságai EMLÉKEZTETŐ szorzat logaritmusa: Szorzat logaritmusa a tényezők logaritmusának összegével egyenlő. loga y loga + log a y, ahol > 0, y > 0, a > 0 és a. Például lg000 lg, 0 lg, + lg0 lg, +. tört logaritmusa: Tört logaritmusát megkapjuk, ha a számláló logaritmusából a nevező logaritmusát levonjuk., loga loga log a y, ahol > 0, y > 0, a > 0 és a. Például lg 0, 000 lg lg, lg0 lg,. y 0 n hatvány logaritmusa: Hatvány logaritmusa egyenlő a kitevő és a hatványalap logaritmusának szorzatával. loga n log a, ahol n, > 0, a > 0 és a. Például lg lg. áttérés új logaritmusalapra: Egy szám új alapú logaritmusának és a régi alap új alapú logaritmusának hányadosa egyenlő a szám logb lg régi alapú logaritmusával. loga, ahol > 0, a > 0, a, b > 0, b. Például log logb a lg. nem tízes alapú logaritmusok közelítő értékének kiszámítása: Tízes alapú logaritmusra való áttéréssel számológéppel lg kiszámíthatjuk a nem tízes alapú kifejezések közelítő értékét. Például log lg, 0 0,, FELADATOK 6.. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! a) lg8 + lg b) log + log 6+ log 8 c) log + log 7 log d) log 60 log log Hatvány és logaritmus

25 6.. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! ( a 0, ). 00 a) lg( 0) + lg b) log ( a) + log a c) log ( ) log a a d) log log Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! a) log + log b) log + log c) log 000 log 6 6 d) log 8 log 6. feladatlap

26 6.. Határozd meg értékét! a) lg lg 7 lg8+ lg ; b) lg lg6 + lg8 lg ; c) log log log ; d) lg lg lg+ lg Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! log a) log 6 b) log + log log76 c) log, log 06, + log 00, d) log log log 6 Hatvány és logaritmus

27 6.6. Számológép segítségével számítsd ki a következő kifejezések közelítő értékét három értékes jegy pontossággal! a) log 6 b) log 0,, 6 c) log 9 d) log 0, Számológép segítsége nélkül számítsd ki a következő kifejezések közelítő értékét, ha tudjuk, hogy log, 8! a) log 6 b) log 9 c) log d) log 8 7. feladatlap Logaritmusfüggvény EMLÉKEZTETŐ logaritmusfüggvény: Az f : +, f( ) log a ( a > 0, a ) függvényt a alapú logaritmusfüggvénynek nevezzük. Az alaptól függően a függvénynek két típusa lehetséges: 7. feladatlap 7

28 . a > esetén a logaritmusfüggvény szigorúan monoton nö;. 0< a < esetén az logaritmusfüggvény szigorúan monoton csökken. y y log a, a 0 0 log a,0 a a logaritmusfüggvény értelmezési tartománya: A logaritmusfüggvényben lévő kifejezés csak pozitív lehet. A függvény értelmezési tartományát ezen feltétel alapján határozhatjuk meg. Például f( ) log ( ) szögfüggvényben lévő kifejezés pozitív ( > 0 ), ha >,. FELADATOK 7.. Mely valós -ekre értelmezhetők a következő kifejezések: a) l g ; b) l g ( +, ) ; c) log ( ); d) lg ; e) log ( ); f) log 0, ( ) ; ( ) h) lg ( + + ). g) lg + ; 8 Hatvány és logaritmus

29 7.. Ábrázold közös koordináta-rendszerben az + halmazon értelmezett alábbi függvényeket! a) log ; b) log ; c) log ; d) log. 7.. A függvénytranszformációkkal kapcsolatos ismereteid segítségével ábrázold és jellemezd az f : +, log függvényt! Értelmezési tartomány: Értékkészlet: Zérushely: Növekedés: Csökkenés: Szélsőértékek: Páros: Páratlan: Periódus: 7. feladatlap 9

30 7.. A függvénytranszformációkkal kapcsolatos ismereteid segítségével ábrázold és jellemezd az f : ] ; [, log ( + ) függvényt! Értelmezési tartomány: Értékkészlet: Zérushely: Növekedés: Csökkenés: Szélsőértékek: Páros: Páratlan: Periódus: 7.. A függvénytranszformációkkal kapcsolatos ismereteid segítségével ábrázold az f : ] 0, ; [, log ( 0, )+ függvényt, és a grafikon alapján válaszolj a következő kérdésekre! a) Mi az értékkészlete a függvénynek? b) Az alábbi pontok közül melyek illeszkednek a grafikonra? A( ; ) ; B( 00, ;, ); C( 0 ; ) ; D(, ; ). 0 Hatvány és logaritmus

31 8. feladatlap Eponenciális egyenletek EMLÉKEZTETŐ + eponenciális egyenlet: Eponenciális egyenletről beszélünk, ha az ismeretlen a kitevőben fordul elő. Például. az alapegyenlet megoldása: Az eponenciális alapegyenlet a b alakú, ahol ab, +. Az egyenletet megoldhatjuk pontosan és közelítő módon. Amennyiben a jobb oldalon álló b kifejezés átírható a bal oldalon szereplő a alap valamely hatványára, úgy megkaphatjuk pontos értékét, mert az eponenciális függvény kölcsönösen egyértelműségéből következik, hogy a kitevők egyenlők. + Például 8, vagyis +, innen 0. Amennyiben a jobb oldal nem írható fel hatványalakban, úgy vegyük mindkét oldal 0 alapú logaritmusát: lga lg b, alkalmazva b a megfelelő azonosságot lga lg b, innen lg, amely közelítő érték tetszőleges pontossággal meghatározható. lg a Fontos szabály az eponenciális egyenletek megoldásánál: törekedni kell az egyenletek megoldásának pontos megadására! Amennyiben ez nem lehetséges, akkor következik a közelítő megoldás alkalmazása. FELADATOK 8.. Add meg a következő eponenciális egyenletek pontos megoldását! a) 8; b) 96; c) 6; d) ( ) ; e) + 0,; f) ; g) + ( + ) ( ) ; h) ; i) 9; j) feladatlap

32 8.. Add meg a következő eponenciális egyenletek pontos megoldását! a) ; b) ; c) 7 ; d) 9 ; e) 6 9 ; 8 f) Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! + a) + ; b) ; + + c) ; d) Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) + 0; b) + 0; c) ; d) 8 0; e) + 0; f) Hatvány és logaritmus

33 8.. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) ; + b) ; c) ; d) feladatlap Logaritmusos egyenletek EMLÉKEZTETŐ logaritmusos egyenlet: Olyan egyenlet, amelyben az ismeretlen logaritmusfüggvényben fordul elő. logaritmusos alapegyenlet megoldása: Az log a b alakú egyenlet a logaritmusos alapegyenlet. Az egyenlet megoldása a b. Például lg egyenlet megoldása az loga loga b alakú egyenlet megoldása: Mivel csak az egyenlő számok logaritmusa egyenlő, ezért az egyenlet megoldása b. A kiemelt szövegrészletet ennél a lépésnél fel kell tüntetni! Például lg ( + ) lg ( + ) egyenlet esetén. (Kikötés: > ) Az egyenlet átalakítása után lg ( + ) lg ( + ), mivel csak az egyenlő számok logaritmusa egyenlő, ezért ( + ) ( + ). A másodfokú egyenlet megoldásai: ;, melyek közül csak az megoldása az eredeti egyenletnek. feltétel (vagy kikötés): A logaritmusfüggvényben lévő kifejezés csak pozitív lehet. Több logaritmusfüggvényt tartalmazó egyenlet esetén több egyenlőtlenség közös megoldása adja meg az egyenlet értelmezési tartományát. Az értelmezési tartományt az egyenlet megoldása előtt érdemes meghatározni. Sok esetben előre kiderülhet, hogy nincs az egyenletnek megoldása, vagy a lehetséges megoldások közül kiszűrhetjük a hamisakat. Például. lg ( ) + lg ( ) egyenletnek nincs megoldása, mivel > 0 és > 0 egyenlőtlenségrendszernek nincs közös megoldása ( > vagy < 0).. A lg ( ) lg ( + ) egyenlet értelmezési tartománya az > 0, + > 0 egyenlőtlenségrendszer közös megoldása, az >. Az egyenletet megoldva: lg, + + 0,,. Az így kapott megoldás nem esik bele az egyenlet értelmezési tartományába, így nem megoldás, hamis gyök. ellenőrzés: A megoldások visszahelyettesítése az eredeti egyenletbe, egy másik lehetséges szűrési módja a hamis megoldásoknak. FELADATOK 9.. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! (Ne felejtsd el a feltételeket!) a) lg lg ; b) lg ; c) lg ; d) lg( ) ; 9. feladatlap

34 e) lg ; + f) lg( ) lg( + ). 9.. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) log + log ; 6 6 b) log log ; 6 6 c) lg( ) lg ; d) lg + lg. 9.. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) log ( ) + log ( + ) ; b) log + log ( ). 9.. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) log ( ) log ( ); b) log ( ) log ( + ) 0; c) log ( ) ; log ( + ) d) log ( ). log ( + ) 9.. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) logloglog 0; Hatvány és logaritmus

35 b) logloglg ; ( ) c) log log (log + ) + 7 ; ( ) d) log lg(log 09, ) Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) lg lg + 0 0; b) lg lg 0; c) 6lg + lg 0; d) log + log Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) lg lg ( +6); b) lg( + 6) lg ( 6); c) lg lg ( + ); d) lg ( ) lg ( + 7) Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) lg ( ) + lg ( + ) ; b) log ( + 9) + log ( + ) ; c) log ( + + ) ; d) log ( + + 6). 9. feladatlap

36 Trigonometria alkalmazása 0. feladatlap Két vektor skaláris szorzata EMLÉKEZTETŐ két vektor skaláris szorzata: Két vektor skaláris szorzatán a két vektor abszolút értékének és hajlásszögük koszinuszának szorzatát értjük. a b a b cos γ. (Ez egy valós szám.) b FELADATOK a 0.. Adott a két vektor abszolút értéke és hajlásszöge, számítsd ki a skaláris szorzatukat! a b γ a b a),, 0 b) 0 0 c),, 0 d) 0 8 e) 90 f) 6 60 g) h) 6 0 i) Az előző feladat segítségével válaszolj az alábbi kérdésekre! a) Milyen esetben lehet a skaláris szorzat 0? b) Milyen esetben lesz a skaláris szorzat negatív? c) Milyen esetben pozitív a skaláris szorzat? d) Ha az a vektor egységvektor, akkor mit jelent a b cosγ szorzat? e) Milyen közbezárt szög esetén lesz maimális a két vektor skaláris szorzata? f) Milyen közbezárt szög esetén lesz minimális a két vektor skaláris szorzata? 6 Trigonometria alkalmazása

37 0.. A táblázat egy-egy sorában két vektor skaláris szorzata és a szorzat tényezői szerepelnek. Töltsd ki a táblázat üresen maradt celláit! a b γ a b a) 6 b) 0 c) 6 0 d) 9 0,6 0.. Mekkora munkavégzés árán lehet 0 N nagyságú erővel elhúzni egy ládát 0 m úton, ha az erő 0 -os szöget zár be az elmozdulással? 0.. Egy paralelogramma AB oldala egység hosszúságú, a két oldal által közbezárt szög 6. Tudjuk, hogy A B A D 0. Mekkora a másik oldal? 0.6. Egy rombusz oldala 6 egység hosszúságú, a két oldal által közbezárt szöge 7. Mekkora a közös csúcsból induló két oldalvektor skaláris szorzata? 0. feladatlap 7

38 0.7. A következő paralelogrammákról döntsd el, hogy melyik rombusz, melyik téglalap, melyik négyzet! a A B b A D A B A D A négyszög típusa a) b) 0 c) 6 d) 0. feladatlap Két vektor skaláris szorzata koordináta-rendszerben EMLÉKEZTETŐ két vektor skaláris szorzata: Két koordinátáikkal megadott vektor skaláris szorzata egyenlő a megfelelő koordináták szorzatának összegével. Ha aa ( ; a ) és bb ( ; b ), akkor a b ab + ab. Például a( ; ) és b( ; ) esetén a két vektor skaláris szorzata a b + ( ). Fontos tudnivaló, hogy egy vektor önmagával vett skaláris szorzata az pont a vektor abszolút értékének négyzetével egyenlő. a a a a + a a a + a a. Vagyis a vektor hossza (abszolút értéke) egyenlő az önmagával vett skaláris szorzatának a négyzetgyökével. a a a a + a. FELADATOK.. Adott a( ; ), b( ; ) és c( ; 0 ) vektor. Számold ki a következő műveletek eredményeit! a) a b b) a ( b+ c) c) b ( a+ c) d) ( a b) ( a+ c).. Határozd meg a két vektor hosszát, skaláris szorzatát és hajlásszögét! aa ( ; a ) a bb ( ; b ) b a b cosγ γ a) ( ; ) ( ; ) b) ( 0 ; ) ( 8 ; 6 ) c) ( ; 6 ) ( ; 0, ) d) ( ; ) ( ;, ) 8 Trigonometria alkalmazása

39 .. Adott a derékszögű háromszög három csúcspontja. A skaláris szorzat segítségével határozd meg, hogy az A csúcsnál található-e derékszög! Aa ( ; a) Bb ( ; b) Cc ( ; c) A B A C A B A C Derékszögű-e? a) ( 0 ; 0 ) ( ; ) (, ; ) b) ( 0 ; 0 ) ( ; ) ( ; 6) c) ( ; ) ( ; ) ( ; ).. Mely érték esetén zár be a két vektor derékszöget egymással? a) a( ; ) és b( ; ) ; b) a( ; ) és b( ; ) ; c) a( ; ) és b( 6 ; ) ; d) a ( ; ) és b ( ; ).. feladatlap Szinusztétel EMLÉKEZTETŐ szinusztétel: Egy háromszögben két oldal aránya egyenlő a velük szemben lévő szögek szinuszának arányával. a b sin α ; sin β a c sin α sin γ ; b c sin β sin γ. szinusztétel használata: A szinusztételt érdemes használni, ha a háromszögben adott két szög (a harmadik már kiszámolható) és egy oldal; két oldal és az egyikkel szemközti szög. (Ha a nagyobb oldallal szemközti szög az ismeretlen, vigyázni kell, mert a háromszög tompaszögű is lehet.) FELADATOK.. A háromszög egyik oldala 0 cm, a rajta fekvő két szög és. Mekkora a háromszög másik két oldala?. feladatlap 9

40 .. Adott a háromszög két szöge, 0 és 6. A kisebb szöggel szemközti oldal cm nagyságú. Mekkora a másik két oldal?.. Egy háromszög két oldala 7 cm és cm. A nagyobb oldallal szemközti szög 6. Mekkora a másik két szög és a harmadik oldal?.. Egy szigeten a hajótörött a következőképpen akarta lemérni, hogy a szemközti sziget legnagyobb pálmafája milyen messze van. Kijelölt a saját szigetén egymástól 0 méterre lévő két pálmafát, és mind a kettőnél megmérte a másik pálmafa és a szomszédos sziget pálmafája által bezárt szöget. 8 6, és 7 9, adódott. Milyen messze volt a 8 6, -os szög csúcsában lévő pálmafa a másik szigeten lévő pálmafától?? m.. A háromszög kerülete 0 cm, két szöge pedig 7 és 9. Mekkora a háromszög három oldala? 0 Trigonometria alkalmazása

41 .6. A háromszög szögeinek aránya : :. A legnagyobb szöggel szemközti oldal 0 cm. Mekkora a másik két oldal?. feladatlap Koszinusztétel EMLÉKEZTETŐ koszinusztétel: Egy háromszög egyik oldalának négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetösszegéből kivonjuk a két oldal és a közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát. c a + b abcos γ. koszinusztétel használata: A koszinusztételt érdemes használni, ha a háromszögben adott két oldal és az általuk közbezárt szög; három oldal. FELADATOK.. Egy háromszög két oldala 0 cm, 0 cm, az oldalak által közbezárt szög. Mekkora a harmadik oldal?.. Egy háromszög három oldala cm, cm és 8 cm. Mekkorák a háromszög szögei?. feladatlap

42 .. Egy pontszerű testre 0 N és N nagyságú erő hat. Mekkora a két erő eredője, ha a vektorok által bezárt szög a), ; b),? F N F N F 0 N F 0 N.. Mekkorák a cm és cm oldalú paralelogramma átlói, ha az oldalak által közbezárt szög 67?.. Egy háromszög két oldalának aránya :, a két oldal által közrezárt szög 60. Mekkorák a háromszög oldalai, ha a háromszög kerülete 0 cm?.6. Mekkora az ábrán látható négyszög ismeretlen oldala? 80 0 cm cm 9 cm? Trigonometria alkalmazása

43 . feladatlap Vegyes feladatok szinusz- és koszinusztétel alkalmazására FELADATOK.. Egy háromszög két oldala 8 cm és cm, a két oldal által közbezárt szög 6. Mekkora az ismeretlen oldal és a másik két szög?.. Egy háromszög egyik oldala cm. Az oldalon fekvő két szög és 6. Milyen hosszú az oldalhoz tartozó súlyvonal?.. Az ábra adatai alapján határozd meg az ismeretlen szakaszok hosszát! z? y??.. Az ábra adatai alapján határozd meg értékét! 0 cm 6 0 cm 0 c?. feladatlap

44 . feladatlap Sokszögekre vonatkozó vegyes feladatok EMLÉKEZTETŐ háromszög területe: A háromszög területe az alábbi összefüggésekkel számolható ki: a m t a ; a b t sin γ ; t s( s a)( s b)( s c); t r s; abc t, R a b c ahol s a háromszög kerületének a fele: s + +, R a háromszög köré írható kör sugara, r a háromszögbe írható kör sugara. FELADATOK.. A háromszög 8 cm és cm-es oldala által közbezárt szöge. Mekkora a háromszög kerülete, területe?.. A háromszög kerülete 6 cm, oldalainak aránya : :. Mekkora a háromszög területe? Mekkora a háromszög köré és a háromszögbe írható kör sugara?.. A háromszög egyik oldala cm. A rajta fekvő két szög 8 és 9. Mekkora a háromszög kerülete, területe? Mekkora a háromszög köré és a háromszögbe írható kör sugara? Trigonometria alkalmazása

45 .. Egy trapéz két alapja cm, 8 cm. A 6 cm-es szár a hosszabb alappal 60 -os szöget zár be. Mekkora a trapéz kerülete és területe?.. A paralelogramma oldalai cm és cm, és az egyik közbezárt szög 6 8. Mekkora a paralelogramma területe?.6. A rombusz oldala 6 cm, az egyik szöge. Mekkora a területe? 6. feladatlap Trigonometrikus egyenletek. EMLÉKEZTETŐ legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek: Négyféle legegyszerűbb trigonometrikus egyenletet különböztetünk meg: sin a; cos a; tg a; ctg a. Az egyenleteknek a valós megoldásait keressük, tehát a szögeket minden esetben radiánban kell megadni! Az egyenletek megoldásának fontos közös vonása, hogy ha van megoldásuk, akkor végtelen sok megoldásuk van. A sin a és cos a egyenleteknek csak a esetén van megoldásuk. Például a sin, egyenletnek nincs megoldása. A sin a és cos a egyenletek megoldásánál a periódus π. Például cos 0,. Az egységkörben tüntessük fel az első koordinátát (koszinusz jelentése), és ábrázoljuk a hozzá tartozó egységvektorokat! A 0, értékhez tatozó hegyesszög π. Az első π π egységvektorhoz tartozó megoldások π + kπ +kπ, ahol k. A másik π π megoldás π + + kπ +kπ. A tg a; ctg a egyenleteknél minden a esetén van megoldás, és a függvények periódusa π. Például tg,. A megoldás, 89 + kπ, ahol k. Fontos, hogy a tg és a ctg függvénynél mindig ki kell kötni, hogy mely -re értelmezett a függvény! 6. feladatlap

46 FELADATOK 6.. Oldd meg a következő trigonometrikus egyenleteket a valós számok halmazán! π a) sin ; π b) cos + ; 6 π c) tg + ; π d) ctg. 6.. Oldd meg a következő trigonometrikus egyenleteket a valós számok halmazán! a) sin cos ; b) sin cos ; c) s i n c o s ; π d) sin + cos. + π 6.. Oldd meg a következő trigonometrikus egyenleteket a valós számok halmazán! a) sin sin ; b) cos cos. 6.. Oldd meg a következő trigonometrikus egyenleteket a valós számok halmazán! a) s i n c o s ; b) c o s s i n. 6 Trigonometria alkalmazása

47 7. feladatlap Trigonometrikus egyenletek. FELADATOK 7.. Oldd meg a következő trigonometrikus egyenleteket a valós számok halmazán! a) sin sin ; + 0 b) cos cos + 0; c) tg Oldd meg a következő trigonometrikus egyenleteket a valós számok halmazán! a) cos cos + 0; b) tg + tg Oldd meg a következő trigonometrikus egyenleteket a valós számok halmazán! a) sin cos + sin 0; b) cos sin + cos 0; c) cos + sin 0; d) sin cos Oldd meg a következő trigonometrikus egyenleteket a valós számok halmazán! a) sin + cos ; b) cos sin. 7. feladatlap 7

48 8. feladatlap Trigonometrikus egyenlőtlenségek FELADATOK 8.. Az egységkör vagy a grafikon segítségével oldd meg a következő trigonometrikus egyenlőtlenségeket! a) sin > ; y y 0 0 b) sin ; y y 0 0 c) cos ; y y Trigonometria alkalmazása

49 d) cos 0. y Az egységkör vagy a grafikon segítségével oldd meg a következő trigonometrikus egyenlőtlenségeket! a) < sin ; y b) y y 0 0 cos. y y feladatlap 9

50 Koordinátageometria 9. feladatlap Helyvektor, vektor, osztópont EMLÉKEZTETŐ adott pont helyvektora: A koordináta-rendszer origójából az adott pontba mutató vektor. Az adott pont helyvektor koordinátái megegyeznek az adott pont koordinátáival. Jelölése: a O A, a pont betűjelének kisbetűs megfelelője. szakaszra írt vektor: A szakasz végpontjaiba mutató helyvektorok különbsége. Amerre mutat, annak a pontnak a helyvektora lesz a kisebbítendő vektor. A B b a. szakasz hosszának kiszámítása: A szakaszra felírt vektor hossza megegyezik a szakasz hosszával. AB A B ( ) + ( y y ), B A B A helyvektorok koordinátái a ( ; y), b ( ; y). A A B B ahol a végpontokba mutató felezőpont: Az AB szakasz F felezőpontjába mutató f helyvektor koordinátáit az f a b + összefüggéssel számolhatjuk ki, ahol a az A pontba, b pedig a B pontba ( ) mutató helyvektor. Például az A( ; ) és B ; végpontú szakasz felezőpontjának a b helyvektora f + (; ) + ( ; ) + ( ) ( ) + ( ) ; ;. osztópont: Az AB szakaszt m : n arányban felosztó pont p helyvektorának koor- na mb dinátáit a p + összefüggéssel számolhatjuk ki, ahol a az A pontba, b pedig a B pontba mutató helyvektor. Például az A( ; ) és B( ; ) m+ n végpontú szakasz A-hoz közelebbi harmadolópontjának helyvektora n a m b p + ( ; ) + ( ; ) + ( ) ( ) + ( ) m+ n + ; ;. háromszög súlypontja: A háromszög S súlypontjába mutató s helyvektor a b c az s + + összefüggéssel számolható ki, ahol a, b, c rendre a háromszög A, B és C csúcspontjába mutató helyvektorok. Például az A( ; ), A S c C a b c B( ; ) és C( 0; 0) háromszög súlypontjának koordinátái s + + ( ; ) + ( ; ) + ( 0; 0) ; ( ) ( ) ( 0 ) 7 ;. a O s b B FELADATOK 9.. A koordinátasíkon adott a következő négy vektor: A( ; ), B( ; ), C( ; 0 ) és D( ; ). Számítsd ki a következő vektorok koordinátáit és hosszát! a) C A C A 0 Koordinátageometria

51 b) A B A B c) C D C D d) B D B D 9.. Adott az A( ; ), B( 0 ; ), C( ; 0 ) háromszög. Mekkora a háromszög kerülete? 9.. Adott az A(, 6 ;, ), B( 0 ;, ), C( ;, ) háromszög. Határozd meg az oldalfelező pontok koordinátáit! 9. feladatlap

52 9.. Adott az A( ; ), B( ; ), C( ; 6 ) háromszög. Határozd meg az A AF b F a háromszög kerületét! F b C F a B 9.. Határozd meg az A( ; ), B( ; ), C( ; 7 ) csúcspontú háromszög súlyvonalhosszainak összegét! 9.6. a) Határozd meg a A( ; ), B( 9 ; ), C( 7 ; 8 ), D( ; ) csúcspontú négyszög F Fb a és F Fd c középvonalvektorainak a koordinátáit! F a Fb F c Fd b) Az a) pont eredményei alapján indokold, hogy az FFFF a b c d négyszög paralelogramma! Koordinátageometria

53 9.7. Egybeesik-e az A( ; ), B( 6 ; ), C( ; 9 ) háromszög és az E( ; ), F( ; ), G( ; ) háromszög súlypontja? 9.8. Írd fel az A( 7 ; ), B( ; ) végpontú szakasz harmadoló- és ötödölőpontjainak a koordinátáit! 0. feladatlap Párhuzamos és merőleges vektorok EMLÉKEZTETŐ v vektorral párhuzamos vektor megadása: Ha egy vv ( ; v) vektort megszorzunk egy pozitív λ számmal, akkor a vektorral párhuzamos, vele egyirányú, a vektor hosszához képest λ-szoros hosszúságú vektort kapunk. Például ha a v( ; ) vektorral párhuzamos, vele egyirányú, de kétszeres hosszúságú vektort szeretnénk kapni, akkor a v vektort -vel kell megszorozni, így a keresett vektor v ( 6; ). Amennyiben a vektor irányát meg szeretnénk fordítani, úgy a v vektort negatív számmal kell megszorozni. v vektorra merőleges vektor megadása: A vv ( ; v ) vektor koordinátáit megcseréljük és az egyik előjelét megváltoztatjuk,. akkor az eredeti vektorra merőleges és vele egyenlő hosszúságú vektort kapunk. Két ilyen vektor lehetséges: ( v; v ) vagy ( v ; v ). ( ; ) ( ; ) ( ; ) FELADATOK 0.. Add meg az a( ; ) vektorral párhuzamos vektor koordinátáit, ha az a) egyirányú vele és háromszoros hosszúságú; 0. feladatlap

54 b) egyirányú vele és fele olyan hosszú; c) ellentétes irányú és két és félszeres hosszúságú; d) ellentétes irányú és a hossza -szoros! 0.. a) Hova mutat az a vektor, amely a P( ;) pontból indul és egyirányú az a( ; ) vektorral, csak négyszer olyan hosszú? b) Hova mutat az a vektor, amely a P( ;) pontból indul és ellentétes irányú az a( ; ) vektorral, de a hossza,-szeres? 0.. Egy paralelogramma csúcsai A( ; ), B( ; ), C( ; ). Határozd meg a negyedik csúcsot, ha a CD oldal párhuzamos az AB oldallal! 0.. Egy trapéz egyik alapjának csúcsai A( ; ), B( ; ). Melyek a trapéz másik két csúcsának koordinátái, ha a másik, kétszeres hosszúságú alap felezőpontja F( ; )? Koordinátageometria

55 0.. Határozd meg a v vektorra merőleges vektorokat! a) ( ; ) b) ( ; ) v w (pozitív irányú forgatott) w (negatív irányú forgatott) c) ( ; ) d) ( 0 ; ) 0.6. A négyzet szimmetria-középpontja O( ; ), az egyik csúcspontja A( ; ). Határozd meg a négyzet többi csúcspontját pozitív körüljárási irány szerint! 0.7. A rombusz szimmetria-középpontja O( ; ), a nagyobb átlója kétszerese a rövidebb átlójának. Az rövidebb átlóhoz tartozó egyik csúcspont A( ; 6 ). Határozd meg a rombusz többi csúcspontját pozitív körüljárási irány szerint! 0.8. A négyzet két szomszédos csúcspontja pozitív körüljárási irány szerint A( ; ), B( ; ). Mi a koordinátája a másik két csúcspontnak és szimmetria-középpontnak? 0. feladatlap

56 . feladatlap Egyenes EMLÉKEZTETŐ az egyenes normálvektora: Egyenes normálvektorának tekintünk bármely nem nullvektort, amely az egyenesre merőleges. az egyenes normálvektoros alakja: Ha adott az egyenes egy n( AB ; ) normálvektora és egy P ( ; y ) pontja, akkor az egyenes normálvektoros n(a; B) e P(; y) P 0 ( 0 ; y 0 ) egyenlete a következő alakú: A + By A0 + By. 0 Például a P 0 ( ; ) ponton átmenő n( ;) irányvektorú egyenes egyenlete + y ( )+, vagyis + y. az egyenes irányvektora: Egyenes irányvektorának tekintünk bármely nem nullvektort, amely az egyenessel párhuzamos. az egyenes irányvektoros alakja: Ha adott az egyenes egy vv ( ; v) irányvektora és egy P ( ; y ) pontja, akkor az egyenes irányvektoros ( ; ) egyenlete a következő alakú: v vy v 0 vy 0. e P(; y) P 0 ( 0 ; y 0 ) Például a P 0 ( ; ) ponton átmenő v( ; ) irányvektorú egyenes egyenlete y ( ) 7, vagyis y 7. a koordinátatengelyekkel párhuzamos egyenesek: Az tengellyel párhuzamos egyenes normálvektora az y tengellyel párhuzamos, n( 0 ; B) alakú, így a normálvektoros egyenlete By By 0 y y vagy y 7, egyenes az tengellyel párhuzamos, és n( 0 ; ), illetve y n( 0 ; ) a normálvektoruk. Az y 0 egyenletű egyenes maga az tengely. Az y tengellyel párhuzamos egyenes normálvektora az tengellyel párhuzamos, na ( ; 0 ) alakú, így a normálvektoros egyenlete A A0. Például vagy 7 egyenes az y tengellyel párhuzamos, és n( ; 0 ), illetve n( ; 0 ) a 0 normálvektoruk. Az 0 egyenletű egyenes maga az y tengely. FELADATOK.. Az egyenes egyenletéből állapítsd meg az egyenes egy normál- és egy irányvektorát! Egyenes egyenlete () e Normálvektora ( n e ) Irányvektora ( v e ) a) y 6 b) y c) + 0, 6 y d) y+ 6 Koordinátageometria

57 .. Írd fel az egyenes egyenletét, ha adott egy normálvektora és egy pontja! Normálvektora n e ( ) Az egyenes egy pontja P y a) n( ; ) P 0 ( ; ) b) n( ; 0 ) P 0 ( ; 0 ) c) n( ; ) P 0 ( ; ) d) n( ; ) P 0 ( 0 ; 0 ) ( ; ) Egyenes egyenlete () e Írd fel az egyenes egyenletét, ha adott egy irányvektora és egy pontja! Irányvektora Egy normálvektora Az egyenes egy pontja Egyenes egyenlete ( v e ) ( n e ) P y ( ; ) () e a) v( ; ) P 0 ( ; ) b) v( ; 0 ) P 0 ( ; 0 ) c) v( ; ) P 0 ( ; ) d) v( ; ) P 0 ( 0 ; 0 ).. Írd fel az A és B pontokon átmenő egyenes egyenletét! A B Egy irányvektora Egy normálvektora Egyenes egyenlete a) ( ; ) ( ; ) b) ( 0 ; 0 ) ( ; ) c) ( 0 ; ) ( ; 0 ) d) ( ;) (, ;, ) ( v e ) ( n e ) () e.. Írd fel az AB szakaszra merőleges és az A ponton átmenő egyenes egyenletét! A B Egy normálvektora ( n e ) Egyenes egyenlete () e a) ( ; ) ( ; ) b) ( ; ) ( ;) c) ( 0 ; ) ( ; 0 ) d) (, ; ) (, ;, ). feladatlap 7

58 .6. Írd fel az AB szakasz felezőmerőlegesének az egyenletét! A B Felezőpont Egy normálvektora Egyenes egyenlete ( F) ( n e ) () e a) ( ; ) ( ; ) b) ( ; ) ( ; ) c) ( 0 ; ) ( ; 0 ) d) (, ; ) (, ;, ). feladatlap Egyenes és pont EMLÉKEZTETŐ pont illeszkedése az egyenesre: A sík egy adott pontját akkor és csak akkor tartalmazza az adott egyenes, ha az egyenes egyenletébe behelyettesítve a pont koordinátáit, egyenlőséget kapunk. Például az A ; ( ) pont illeszkedik a y 8 egyenletű egyenesre, mert koordinátáinak behelyettesítése után, ( ) ( ) 6 + 8, egyenlőséget kapunk. A B( ; ) pont nem illeszkedik a y 8 egyenletű egyenesre, mert a koordinátáinak behelyettesítése után, () ( ) , nem kapunk egyenlőséget. abszcissza: Egy pont koordinátája. ordináta: Egy pont y koordinátája. FELADATOK.. A felsoroltak közül hány egyenesnek pontja az A( ;, )? Karikázd be a megfelelő egyenesek betűjelét! e: y 7, ; f: y, ; g:, y 7, ; h: 6. 8 Koordinátageometria

59 .. A felsoroltak közül mely pontok találhatók a + y egyenesen? Karikázd be a megfelelő pontok betűjelét! A ; ; B( ; ); C 9 ; ; D 7 ;... Hol metszi az tengelyt és az y tengelyt a következő egyenes? a), +, y 8 b), +, y 8, c) + y 6 d) 0, 06, y 8, Egyenes tengelymetszet y tengelymetszet. Adott az e: y és az f: + y egyenes. Mennyivel nagyobb az f egye- nes abszcisszájú pontjának ordinátája az e egyenes abszcisszájú pontjának ordinátájánál?. feladatlap Egyenes iránytényezős egyenlete EMLÉKEZTETŐ egyenes irányszöge: Az a forgásszög, melyet az egyenes az tengely pozitív irányába mutató félegyenesével zár be. egyenes iránytényezője: m tg a. az egyenes iránytényezős egyenlete: Az egyenes iránytényezős egyenlete y m + b alakú, ahol m az egyenes iránytényezője, b pedig az y tengely és az egyenes metszéspontja. Az y tengellyel párhuzamos egyenesnek nincs iránytényezős egyenlete. a normálvektor és az iránytényező közötti kapcsolat: Az egyenes normálvektoros alakjából levezethető az y A B + b iránytényezős alak. Innen A leolvashatjuk, hogy m. Például ha egy egyenes normálvektora n( ; ), akkor az iránytényezője m B. v az irányvektor és az iránytényező közötti kapcsolat: Az egyenes irányvektoros alakjából levezethető az y v + b iránytényezős alak. Innen leolvashatjuk, hogy m v. Például ha egy egyenes irányvektora v( ; ), akkor az iránytényezője m. v. feladatlap 9

60 FELADATOK.. Adott az egyenes irányszöge és az y tengelymetszet. Írd fel az egyenes iránytényezős egyenletét! α P ( 0 ; 0 b ) m y m + b a) 0 ( 0 ; ) b) ( 0 ; ) c) ( 0 ; 0 ).. Az egyenes iránytényezős egyenlete alapján add meg az egyenes egy irányvektorát és egy normálvektorát! y m + b v n a) y + b) y + c) y 6 d) y 6.. Az egyenes normálvektoros alakjából állapítsd meg az egyenes iránytangensét és az irányszögét! A + By A0 + By m α 0 a) y b) y 0 c) + y 0.. Mekkora szöget zár be az tengellyel a + y egyenes? 60 Koordinátageometria

61 .. Mekkorák a e: + y 0 egyenes, az f: + y egyenes és az tengely által határolt háromszög belső szögei?.6. Számítsd ki, hogy mekkora szöget zár be az A( ; ) és a B( ; ) pontokon áthaladó egyenes az y tengellyel!. feladatlap A párhuzamosság és merőlegesség feltétele EMLÉKEZTETŐ párhuzamosság feltétele:. Két egyenes (e és f ) párhuzamos, ha a normálvektoraik párhuzamosak, vagyis a vektorok megfelelő koordinátáinak aránya egyenlő. Ae A f Be. B f. Két egyenes (e és f ) párhuzamos, ha az irányvektoruk párhuzamos, vagyis a vektorok megfelelő koordinátáinak aránya egyenlő. v v e f ve. v f. Két (e és f ) egyenes párhuzamos, ha az iránytényezőjük egyenlő: m m. merőlegesség feltétele:. Két egyenes (e és f ) merőleges egymásra, ha a normálvektoruk merőleges egymásra, vagyis a vektorok skaláris szorzata 0. n e n 0. f. Két egyenes (e és f ) merőleges egymásra, ha az irányvektoruk merőleges egymásra, vagyis a vektorok skaláris szorzata 0. v e v 0. f. Két (e és f ) egyenes merőleges egymásra, ha az iránytényezőjük szorzata. m m. e. feladatlap 6 f e f

62 FELADATOK.. Döntsd el, hogy az alábbi egyenesek közül melyek párhuzamosak egymással és melyek merőlegesek egymásra! a: y ; b: + 0, y ; c:, y ; d: + y ; e: 0, 6 0, y 9 ; f: y 9. Egymással párhuzamos egyenesek: Egymásra merőleges egyenesek:.. Add meg a p paramétert úgy, hogy az egyenes párhuzamos, illetve merőleges legyen az + y egyenletű egyenessel! a) + py ; b) p y ; c) 0+ y p. Párhuzamos: p p p Merőleges: p p p.. a) Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a P( ; ) ponton és párhuzamos a y egyenessel! 6 Koordinátageometria

63 b) Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a P( ; ) ponton és merőleges a y egyenesre!.. a) Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a P( ; ) ponton és párhuzamos az y + egyenessel! b) Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a P( ; ) ponton és merőleges az y + egyenesre!. feladatlap Két egyenes metszéspontja EMLÉKEZTETŐ két egyenes metszéspontja: Két egyenes metszéspontjának koordinátáit úgy számolhatjuk ki, hogy a két egyenes egyenletéből álló egyenletrendszert megoldjuk.. feladatlap 6

64 FELADATOK.. Határozd meg a két egyenes metszéspontját! a) e: y, b) ey : +, 6, f: y. f: + y 8, 0. c) e: y, d) e: y 6, f: + y. f: + y 6... Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az + y és a + y egyenesek metszéspontján és irányvektora v( ; )!.. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a + y és a + y egyenesek metszéspontján és a P( ; 0 ) ponton! 6 Koordinátageometria

65 .. Egy négyszög csúcsai pozitív körüljárás szerint A( ; ), B( ; ), C( ; ), D( 6; ). Határozd meg az átlók metszéspontját!.. A háromszög a oldalegyenesének egyenlete + y ; b oldalegyenesének egyenlete + y ; c oldalegyenesének egyenlete + y 0. Mekkora a háromszög kerülete? 6. feladatlap Pont és egyenes távolsága EMLÉKEZTETŐ egyenes és pont távolságának kiszámolása: A P0( 0; y0) pont távolsága az A + By + c 0 egyenletű egyenestől: d A0 + By0 + c A + By + c. Például a P 0 ( ; ) pont távolsága a + y 7 0 egyenestől d ( ) 7 A + B A + B +. párhuzamos egyenesek távolsága: Ha két párhuzamos egyenes egyenlete A + By + c 0 és A + By + c 0, akkor a távolságuk kiszámolható a d c c összefüggéssel. Például a + y 7 0 egyenletű egyenes távolsága a A + B + y+ 0 egyenletű egyenestől d c c ( 7) 0. A + B + FELADATOK 6.. Milyen távol van a + y egyenestől az A( ;) és a B( ; ) pont? 6. feladatlap 6

66 6.. A háromszög csúcsai A( ; ), B( ; ) és C( ; ). Mekkora az A csúcshoz tartozó magasság, és mekkora a területe a háromszögnek? 6.. Mekkora az e: y és az f: + y egyenletű egyenesek távolsága? 6.. Adott az e: + y és az f: + y 6 egyenes. Melyik egyeneshez van közelebb az A( 6 ; ) pont? 6.. A négyzet egyik oldalegyenesének egyenlete + y 0, az egyik csúcspontja A( ; 7). Mekkora a négyzet kerülete? 66 Koordinátageometria

67 7. feladatlap Kör egyenlete EMLÉKEZTETŐ kör egyenlete: A Cuv ( ; ) középpontú r sugarú kör egyenlete ( u) + ( y v) r. Például: a) Az O( 0 ; 0 ) középpontú, r egység sugarú kör egyenlete + y 9. b) A C( ; ) középpontú r egység sugarú kör egyenlete ( ) + ( y+ ) 6. a kör egyenletének általános alakja: A kör kéttagú kifejezéseinek felbontása után y a kör egyenlete + y + a + by + c 0 alakúra hozható, ez a kör egyenletének általános alakja. Csak az ilyen alakúra hozható egyenletek lehetnek köregyenletek! Például az + y + y 6 0 egyenlet nem köregyenlet, mert y tagot is tartalmaz. A + y 6 0 nem köregyenlet, mert nem egyenlő a négyzetes tagok r együtthatója. A négyzetes tagok együtthatóinak egyenlősége szükséges feltétel, de nem C(u; ) kötelező, hogy legyen az értékük. Például y + 0 köregyenlet, mert a -vel való osztás után + y köregyenletet kapunk. Abból, hogy egy egyenlet általános köregyenlet alakú még nem feltétlenül következik, hogy kör is tartozik hozzá. Például az + y + 0 egyenlet 0 megfelel az általános alaknak, de FELADATOK + y, és az r sugár számunkra értelmezhetetlen. 7.. A középpont és a sugár ismeretében írd fel a körök egyenleteit! A kör középpontja A kör sugara A kör egyenlete Cuv ( ; ) r a) C( 0 ; 0 ) b) C( ; ) 0 c) C( ; ) 7 d) C( 0 ; ) e) C( ; ) 7.. A kör egyenlete alapján állapítsd meg a kör középpontjának koordinátáit és a kör sugarát! a) + y b) + y A kör egyenlete A kör sugara r A kör középpontja Cuv ( ; ) c) ( ) + ( y+ ) d) ( + ) + ( y ) 0, 09 e) ( ) + ( y+ ) 6, 7. feladatlap 67

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás: Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, kulcsfogalmak/fogalmak 1. Év eleji szervezési feladatok 2.

Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, kulcsfogalmak/fogalmak 1. Év eleji szervezési feladatok 2. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI ELŐKÉSZTŐ 11. évfolyam Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, 1. Év eleji szervezési feladatok 2. A hatványozásról tanultak ismétlése, feladatok az n- edik gyök fogalmára, azonosságaira

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK

TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK TARTALOM Előszó 9 HALMAZOK Halmazokkal kapcsolatos fogalmak, részhalmazok 10 Műveletek halmazokkal 11 Számhalmazok 12 Nevezetes ponthalmazok 13 Összeszámlálás, komplementer-szabály 14 Összeszámlálás, összeadási

Részletesebben

Matematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport)

Matematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport) Matematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport) Műveltségi terület: MATEMATIKA Iskola, osztályok: Vetési Albert Gimnázium, 11.A, 11.B, 11.D (alap) Tantárgy: MATEMATIKA Heti óraszám: 4 óra Készítették:

Részletesebben

Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök

Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök I. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok Állítás (igazságérték), állítás tagadása, állítás megfordítása Halmazok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Matematika 11. évfolyam

Matematika 11. évfolyam Matematika 11. évfolyam Tanmenet Másodfokúra visszavezethető magasabb rendű egyenletek, másodfokú egyenletrendszerek 1. Másodfokú egyenletek (ismétlés) 2. Másodfokú egyenletrendszerek (behelyettesítő módszer)

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

TANMENET. a matematika tantárgy tanításához 11.E osztályok számára

TANMENET. a matematika tantárgy tanításához 11.E osztályok számára Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához 11.E osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján Használatos

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Tanmenet a évf. fakultációs csoport MATEMATIKA tantárgyának tanításához

Tanmenet a évf. fakultációs csoport MATEMATIKA tantárgyának tanításához ciklus óra óra anyaga, tartalma 1 1. Év eleji szervezési feladatok, bemutatkozás Hatvány, gyök, logaritmus (40 óra) 2. Ismétlés: hatványozás 3. Ismétlés: gyökvonás 4. Értelmezési tartomány vizsgálata 2

Részletesebben

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

2018/2019. Matematika 10.K

2018/2019. Matematika 10.K Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép, függvénytáblázat 2 órás, 4 jegyet ér 2019. május 27-31. héten Aki hiányzik, a következő héten írja meg, e nélkül

Részletesebben

I. A négyzetgyökvonás

I. A négyzetgyökvonás Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút

Részletesebben

NT Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17302 Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat A Dr. Gerőcs László Számadó László Matematika 11. tankönyv a Heuréka-sorozat harmadik tagja. Ebben a segédanyagban ehhez a könyvhöz a tizenegyedikes tananyag

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II. Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek

Részletesebben

OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY

OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Gráfok Betűk használata a matematikában Hatványozás. A

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x = . Az { a n } számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! a = 26 2. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;2;3;4;5;6}, A \ B = {;4} és A B = {2;5}. Sorolja fel

Részletesebben

Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:

Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: 7. Függvények: - függvények fogalma, megadása, ábrázolás koordináta- rendszerben - az elsőfokú függvény, lineáris függvény - a másodfokú függvény

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 08-09-07 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki.

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint TÁMOP-3.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette: Nagy András Vasvár, 2010.

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

NT-17312 Az érthető matematika 11. Tanmenetjavaslat

NT-17312 Az érthető matematika 11. Tanmenetjavaslat NT-17312 Az érthető matematika 11. Tanmenetjavaslat Idézet a 3.2.04. kerettantervből (11 12. évfolyam, bevezetés): Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka is, ezért a fejlesztésnek kiemelten fontos

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/487-/008. engedélyszámon 008..7. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási

Részletesebben