KOVÁCS JUDIT NÉHÁNY GONDOLAT A MŰSZAKI FŐISKOLAI MATEMATIKA OKTATÁSRÓL SOME IDEAS ON MATHEMATICS TEACHING IN ENGINEERING A mérnök szakos hallgatók oktatásában így a mérnöktiszt képzésben is a matematika alapozó tárgy. A matematika tananyag strukturálásánál a fő szempont, hogy olyan módszereket adjunk, amelyek fejlesztik a hallgatók gondolkodási képességeit, és amelyeket későbbi tanulmányaikban és mérnöki munkájuk során is használni tudnak majd. Olyan alkalmazási lehetőségeket kell mutatni, amelyek nem igénylik a felsőbb szintű mérnöki ismereteket, egyszerűen érthetők és hasznosak. Egy ilyen új alkalmazási lehetőség például az emberi tényező matematikai modellezése. Mathematics is a basic subject for students of engineering. Structuring the topics the goal is to teach useful methods for future engineers. Methods of simple application are essential for the studies and the future work for the students. One of the possible new applications is the mathematical modelling of the human factor. 1. Bevezetés A mérnöktiszt képzésben a ZMNE-n, és más felsőoktatási intézmények mérnökképzésében a matematika alapozó tárgy. Galilei szavait idézve: A természet könyve a matematika nyelvén íródott. A mérnök hallgatók, így a mérnök tisztek matematika oktatásában a cél ennek a nyelv -nek a megtanítása. A matematika nyelvének betűi a jelölések, szavai a definíciók, mondatai a tételek, a beszéd pedig maga a matematika gondolatmenete. A tananyag strukturálásánál elengedhetetlen feltétel, hogy ne maradjanak ki egyes lépcsőfokok, ezért a középiskolai tanulmányokra alapozva lépésről-lépésre kell haladni az ismeretek elsajátításában. A matematika segítségével fejleszthető a hallgatók gondolkodási és feladatmegoldó képessége, amely a mérnöki munka elengedhetetlen része. Olyan alkalmazásokat érdemes mutatni, amelyek nem igénylik a felsőbb mérnöki tárgyak ismeretanyagát, mégis széleskörűen felhasználhatók. 244
2. A matematika tananyag felépítése Az alapozó matematika tananyag lényegében az alábbi témák köré épül fel: analízis, lineáris algebra, valószínűségszámítás. Az analízis alapjainak, például az integrálszámítással megoldható feladatoknak már az ókorban komoly hagyományai voltak. [1] A differenciálszámítás ma alkalmazott formáját Newton, Leibniz, Euler és más neves tudósok munkáját követően Cauchy és Weierstrass alakította ki. A matematika tudománya ma is fejlődik ezen a területen, de a mérnökképzésben szereplő szükséges tananyag lezárul a XIX. század közepénvégén felfedezett és pontosított fogalmakkal. Az integrálszámítással már Arkhimédész is behatóan foglalkozott, és a határérték fogalmát leszámítva minden olyan ismeretnek a birtokában volt, amely a határozott integrálszámításhoz szükséges. [1] A határozatlan integrálszámítás ( primitív függvény keresés, vagyis a differenciálszámítás inverz feladata ) alapvető kérdéseit a XVIII. században válaszolták meg. A határozott integrál elnevezést 1779-ben vezette be Laplace. A fogalom matematikai pontosítása Leibniz és Cauchy munkáit követően Riemann nevéhez fűződik. Történt mindez a XIX. század közepén. A határozott integrálszámítási feladatok megoldását határozatlan integrálásra visszavezető tétel, a Newton-Leibniz szabály szintén a XIX. század derekán született. Az integrálelmélet is folyamatosan fejlődött tovább, különösen Jordan, Lebesgue, Stieltjes, Kőnig Gyula és Riesz Frigyes munkásságának köszönhetően. Ez azonban a mérnök szakos hallgatók főiskolai alapozó matematika oktatásának általában nem része. A mérnöki munkához szükséges alapvető matematikai ismeretek ezen a téren a mintegy 200 évvel ezelőttiek. A komplex szám fogalmának kialakulása még korábbra tehető, a kezdetek Cardano-nál a XVI. század közepén fedezhetők fel. A XVII. század folyamán több neves tudós foglalkozott a problémával (a negatív számokból vont négyzetgyökvonás kérdésével), míg a XVIII. század közepén Euler tette fel az i-re a pontot. (A szó szoros értelmében, ugyanis i-nek nevezte 1 egy értékét.) Ezek után a komplex függvénytan kialakulása és fejlődése Cauchy, Weierstrass és Riemann nevéhez fűződik, és a XIX. század közepére tehető. [2] Megoldatlan problémák a matematika ezen területén is vannak még napjainkban is, ezek megoldása azonban a matematikusok ( és nem a mérnökök ) feladata. 245
A lineáris algebra kialakulása a XIX. századra tehető, elsősorban Hamilton és Grassmann felfedezéseinek köszönhetően. A mérnökök által is gyakran használt vektoranalízis fogalmai is Hamiltontól származnak, így ezek is 100-150 éves eredmények. A valószínűségszámítás elemi fogalmai az ősidők óta ismert szerencsejátékok kapcsán jelentkeztek; a XV. századból valók az első ismert dokumentumok. A valószínűség számítás tudományának születését egyesek Cardano nevéhez kötik, mások Pascal és a szerencsejátékos de Méré lovag párbeszédétől és ezt követően Pascal és Fermat eredményeitől (a XVII. század közepétől) datálják. [3] A valószínűségszámítás axiomatizálása Kolmogorov nevéhez fűződik, és ez viszonylag új eredmény: a XX. század első feléből való. A valószínűségszámítás kiváló magyar képviselői Rényi Alfréd és Jordán Károly, akiknek neve világszerte ismert. A valószínűségelméletből a XX. század során több fontos, önálló kutatási terület nőtt ki. 3. A matematika oktatás céljai A mérnök szakos hallgatók oktatásában azonban mint láttuk általában több száz éves matematikai eredmények szerepelnek, hiszen a mérnökképzés esetében a matematika alapozó tárgy és nem öncél, így hoszszadalmas és bonyolult matematikai bizonyításokra a hallgatóknak nem lesz szükségük. A definíciók és tételek matematikailag teljesen pontos és szabatos ismertetésén és szemléltetésén túl a fontosabb összefüggések felvázolása, a logikus gondolkodáshoz és az önálló ismeretszerzéshez szükséges képességek fejlesztése a matematika oktatás elsődleges célja. Az elméleti matematika tudáshoz szorosan és szervesen kapcsolódik a feladatmegoldás. Egy-egy egyszerű, szemléltető példa után a gyakorlati feladatok (példák) nehézségi fokozat szerinti emelkedő színvonala jellemző az oktatásban. Az elhangzott ismeretek alkalmazása mellett fokozott figyelmet kell fordítani a gyakorlat elméletformáló hatására is. Az adott tananyagot több oldalról megközelítve, lehetséges egyszerűsítések szemléltetésével jobban elmélyíthető a hallgatók ismerete és jobban fejleszthető gondolkodási képességük. Fontos, hogy a szükséges matematikai gondolkodást a hallgatók elsajátítsák és alkalmazni tudják a feladatmegoldásban. Ez a feladatmegoldó képesség az alapja a későbbi mérnöki tevékenységnek is. A mérnök szakos hallgatók számára az 246
elméleti tudás megszerzésén túl alapvető fontosságú és kikerülhetetlen a problémamegoldás és a problémamegoldó készség fejlesztése. [4] Mindez létrejön a matematika oktatásban, a hallgatókban azonban gyakran felmerül a kérdés: Ha a tanult matematikai módszerek és eredmények több száz évesek, akkor mire jó, mire használható ma a matematika? Péter Rózsa, a híres magyar matematikus, a matematikát népszerűsítő, 1945-ben laikusok számára írt művének bevezetőjében ezt írta: Én nem azért szeretem a matematikát, mert így mesélték nekem alkalmazni lehet a technikában, hanem azért, mert szép. Ez a mondat azonban az 1969-es negyedik kiadásban így hangzik: Én nem csak azért szeretem a matematikát, mert alkalmazni lehet a technikában, hanem főleg azért, mert szép. [5] A hallgatók viszont sajnos nem érik be a matematika szépségével. Új alkalmazási lehetőségeket kell mutatni, olyanokat, amelyekre munkájuk során szükségük lesz, amelyek érthetők, hasznosak, és nem utolsó sorban érdekesek is. Különösen fontos olyan alkalmazást keresni, amely középiskolai ismereteik birtokában megérthető és nem igényli a felsőbb évek mérnöki tudásanyagát, ezzel együtt azonban a mérnöki munkában is használható. 4. Egy új alkalmazási lehetőség Például egy ilyen alkalmazási lehetőség az emberi tényező matematikai modellezésének kérdése. Az ipari nagyvállalatoknál a munkafolyamat tervezése mindig nagy kihívás. A versenyképes környezet folyamatosan változik, és a termékek olcsóbb, gyorsabb és jobb minőségű előállítására vonatkozó igény is folyamatosan nő. Ebben a környezetben azok az emberek, akik ismétlődő jellegű feladatokat végeznek, a siker kulcsfontosságú szereplői. [6] A gyártási folyamatok tervezőinek gyakran alig van elképzelésük arról, hogy milyen széles skálán mozognak azok a hatások, amelyek a gyárakban dolgozó emberek munkatevékenységének minőségét befolyásolják. Ez gyakran vezet arra a következményre, hogy a megfelelő elméleti tervezések ellenére a munkafolyamat nem az elvárásoknak megfelelően alakul. A mérnökök gyakran túlbecsülik az emberi munkavégzés hatásosságát és hatékonyságát. Azok a nézetek viszont, amelyek szerint csak az nem hibázik, aki nem dolgozik, az ember a leggyengébb láncszem a rendszerben, 247
vagy az ember által végzett folyamatokat automatizálni kell túlságosan leegyszerűsítik a kérdést. Az ember képes helytállni előre nem várt helyzetekben, képes olyan megoldásokra, amelyek a veszélyhelyzetek káros következményeit mérséklik. Az emberi beavatkozás nélkül több veszélyhelyzet váltana ki valós balesetet. [7] A biztonságra törekvő viselkedés nem a hibák és tévedések kizárását jelenti, hanem legfőképpen a megelőzés irányába történő elkötelezettséget. Éppen ezért, az emberi hiba fogalmát a lehető legnagyobb elővigyázatossággal kell kezelni. A mérnökök számára a megoldás kulcsa az, hogy egyre jobban megismerjék az emberi tényezőnek a mérnöki tervek kivitelezésénél lehetséges hatásait. Nagyon fontos már a tervezési folyamat elején tudatában lenni ezeknek a hatásoknak, minthogy ilyenkor még könnyen és kis költséggel módosíthatók a tervek megfelelő részletei. Az emberi tényező hatásainak megismeréséhez nyújthat alapvető segítséget a matematikai modellek felállítása, amely jelenlegi kutatásaim témája. Az eredmények felhasználásával nem csak a már gyakorló mérnökök munkája egyszerűsíthető és pontosítható, hanem a felsőoktatásban történő alkalmazás bevezetésével a leendő mérnökök számára is a mai kor kihívásaihoz alkalmazkodó és a matematika új felhasználását bemutató módszert adhatunk. FELHASZNÁLT IRODALOM [1] Sain Márton: Nincs királyi út! Gondolat, Budapest, 1986. [2] Ian Stewart: A matematika problémái. Akadémiai kiadó, Budapest, 1991. [3] Warren Weaver: Szerencse kisasszony. Gondolat, Budapest, 1979. [4] Kovács Judit: A matematika oktatás eredményességének kulcsa a nappali tagozatos villlamosmérnök szakos hallgatók képzésében; a minőségi oktatás fenntartásának lehetőségei a megnövekedett hallgatói létszám mellett is. Tanulmány a BMF KVK Mikroelektronikai és Technológiai Intézet felkérésére, 2005. [5] Péter Rózsa: Játék a végtelennel. Typotex, Budapest, 1999. [6] T. S. Baines R. Asch L. Hadfield J.P. Mason S. Fletcher J. M. Kay: Towards a theoretical framework for human performance modelling within manufacturing systems design. Simulation Modelling Practise and Theory 13, 2005, 486 504. o. [7] NEA (2003): Nuclear Regulatory Challenges Related to Human Performance. ISBN: 92-64-02089-6, OECD, Paris, 21 pages. 248