Halmazok Érdekes feladat lehet, amikor bizonyos mennyiségű adatok között keressük az adott tulajdonsággal rendelkezők számát. A következőekben azt szeretném megmutatni, hogy a halmazábrák segítségével, ezek könnyedén megoldhatóak. Mielőtt tekintenénk a konkrét példákat, tekintsük át a halmazokkal kapcsolatos jelöléseket, illetve egy későbbiekben alkalmazandó fontos szabályt. Az A halmaz elemeinek számát (számosság) val, a különböző halmazműveleteket pedig a következőképpen jelöljük (az ábrákon a sötétített terület jelzi a megadott részeket): A és B különbsége: A \ B A és B metszete: A B A és B uniója: A B
Az A halmaz ellentettje (komplementere): A fentebb említett halmazműveleteket használjuk leggyakrabban, s ezeket alkalmazzuk később a feladatok során. Továbbá ismert a Logikai Szita formula, mely szintén megkönnyíti a megoldás kiszámítását. Ez a tétel a különböző számú halmazok uniójának számosságát adja meg, vagyis a halmazokba tartozó összes elemek számát: = + = + + +
A leírt szabály a halmazok ábrázolásával könnyedén belátható: amikor külön, egyenként összeadjuk a halmazokat, akkor a köztes részt, a metszetet kétszer számoljuk, ezért ezt utólag le kell vonnunk. Három halmaz esetén azonban ilyenkor a középső részt (az összes halmaz metszetét) kezdéskor háromszor számoltuk, majd a következő lépésben háromszor kivontuk, így most ezt hozzá kell adnunk az eddigiekhez. A Logikai Szita formula hasonlóan írható fel több halmaz esetén is. A szabályok és jelölések ismeretében a feladatok már könnyedén megoldhatóak. A következőekben a fentebb leírtak segítségével oldjuk meg a konkrét példákat. Első példa: Hány olyan 400-nál nem nagyobb pozitív egész szám van, mely nem osztható 3-mal, 5-tel és 7-tel sem? Megoldás: A könnyebb számolás érdekében tekintsük a következő halmazokat: A := {400-nál nem nagyobb, 3-mal osztható pozitív egész számok} B := {400-nál nem nagyobb, 5-tel osztható pozitív egész számok} C := {400-nál nem nagyobb, 7-tel osztható pozitív egész számok} Ebben az esetben mi éppen az \ részt keressük. Ekkor a 400-nál nem nagyobb számok számából kivonjuk a 3-mal, 5-tel és 7-tel osztható számok számát. Ez részletesen kibontva: - ( + + + ) = = - - - + + + -. A Szita formula alkalmazása után számoljuk ki az egyes halmazok számosságát:
= 400 = = 133,3 -> ebben az esetben 133 darab 3-mal osztható szám van = = 80 = = 57,1 -> 57 = = 26,6 -> ebben az esetben 26 darab 15-tel osztható szám van = = 11,4 -> 11 = = 19,04 -> 19 = = 3,8 -> 3 Végezetül számoljuk ki a megoldást az értékek behelyettesítésével: 400 133 80 57 + 26 + 11 + 19 3 = 183 Válasz: 183 olyan pozitív egész szám van, mely nem nagyobb 400-nál és nem osztható 3-mal, 5-tel és 7-tel sem. Második példa: Hány olyan 200-nál kisebb pozitív egész szám van, mely nem osztható 2-vel és 5-tel sem? Megoldás: Hasonlóan az előző feladathoz, a következőt kell kiszámolnunk: - - +.
= 199 = = 99,5 -> 99 = = 39,8 -> 39 = = 19,9 -> 19 Behelyettesítés után kapjuk, hogy 199 99 39 + 19 = 80. Válasz: 80 olyan pozitív egész szám van, mely kisebb 200-nál és nem osztható 2-vel és 5-tel sem. Harmadik példa: Egy 36 főből álló csoporttal teszteltek három terméket, legyenek ezek A, B és C. Húsz főnek tetszett az A és a C termék, nyolcnak a B és a C termék. Csak az A, illetve csak a B termék 2-2 tesztelőnek felelt meg. Az A vagy a B terméket viszont 29-en tartották jónak. A C termék szintén 29 embernek felelt meg. Mindhárom termék csupán 3 embernek tetszett. a) Hány tesztelőnek tetszett pontosan két termék? b) Hozzájuk képest többen vagy kevesebben voltak, akiknek csak egy termék volt jó? c) Mennyien vannak azok, akiknek egyetlen termék sem volt megfelelő? Megoldás: Készítsünk halmazábrát, majd töltsük ki az egyes tartományokat a szövegnek megfelelően. A:= {A-t jónak ítélők} B:= {B-t jónak ítélők} C:= {C-t jónak ítélők}
A kitöltés során mindig belülről haladunk kifelé: (5) -> (2), (4), (6) -> (1), (3), (7), (8). Miután beírtunk néhány adatot az ábrába, újra átolvassuk az eddig fel nem használt információkat, mert a beírt adatok segítségével újabb tartományokat tudunk kitölteni. A szöveg alapján biztosan tudjuk: (5) ös tartományba 3 kerül. (1) - es és (3) - as tartományba 2 kerül. Ezt követően az üresen hagyott tartományok is kitölthetőek a következő sorrendben: (4) - be 17 kerül: 20 = (4) + (5) = (4) + 3 (6) - ba 5 kerül: 8 = (5) + (6) = 3 + (6) (7) - be 4 kerül: 29 (4) (5) (6) = 29 17 3 5 = 4 (2 )- be 0 kerül: 29 = (1) + (2) + (3) + (4) + (5) + (6) = 2 + (2) +2 + 3 + 3 + 5 (8)-ba 3 kerül: 36 = (1) + (2) + (3) + (4) + (5) + (6) + (7) + (8) = 2 + 0 + 2 + 3 + 3 + 5 + 4 +(8)
Az ábra kitöltése után a kérdésekre a válaszok: a) (2) + (4) + (6) = 0 + 17 + 5 = 22 22-en tartottak jónak pontosan két terméket. b) (1) + (3) + (7) = 2 + 2 + 4 = 8 Kevesebben vannak, akiknek csak egy termék felelt meg. c) (8) = 3 3-nak nem jő egyetlen termék sem. Negyedik példa: Egy 35 fős osztályból 15 tanuló beszél franciául, 13 oroszul, 14 németül. 3-3 -3 tanuló beszél két nyelvet, minden tanuló beszél legalább egy nyelven. Hány olyan tanuló van, aki mindhárom nyelvet beszéli? Megoldás: Készítsünk halmazábrát, majd töltsük ki az egyes tartományokat a szövegnek megfelelően. A:= {franciául beszélők} B:= {oroszul beszélők} C:= {németül beszélők}
A szöveg alapján tudjuk, hogy a (8) - as tartományba 0 kerül. A többi adat alapján további tartományokról nem tudjuk eldönteni egyértelműen az elemszámot. Ezt követően jelöljük x - szel a keresett adatot, tehát (5) - be x kerül. Ekkor azonban a szöveg alapján adódik, hogy: (2) - (4) - (6) - ba 3 - x írható. Végezetül kitölthetőek az eddig üresen hagyott tartományok is: (1) - be 9 + x kerül: 15 - (2) (5) (4) = 15 (3 x) x (3 x) = 9 + x; (3) - ba 7 + x kerül: 13 (2) (5) (6) = 13 (3 x) x (3 x) = 7 + x; (7) be 8 + x kerül: 14 (4) (5) (6) = 14 (3 x) x (3 x) = 8 + x. A különböző tartományok összege egyenlő az osztály létszámával, ezért a következőt kapjuk: 35 = (1) + (2) + (3) + (4) + (5) + (6) + (7) + (8) 35 = 9 + x + 3 x + 7 + x + 3 x + x + 3 x + 8 + x + 0 35 = x + 33 x = 2 Válasz: 2 tanuló beszéli mindhárom nyelvet.
Ötödik példa: Egy matematikai versenyen három feladatot tűztek ki, a 184 versenyző közül mindenki megoldott legalább egy feladatot. Az első példát 90, a másodikat 80, a harmadikat 50 induló oldotta meg helyesen, pontosan két jó feladatmegoldása 32 diáknak volt. a) Hány olyan versenyző volt, aki az első feladatot nem oldotta meg? b) Hány olyan versenyző volt, aki mindhárom feladatot megoldotta? c) Ha azt is tudjuk, hogy 60 olyan diák volt, aki csak az első, és 50 olyan diák volt, aki csak a második feladatot oldotta meg, akkor hányan voltak azok, akik csak a harmadik feladatott oldották meg? Megoldás: Készítsünk halmazábrát, majd töltsük ki az egyes tartományokat a szövegnek megfelelően. A:= {elsőt megoldók} B:= {másodikat megoldók} C:= {harmadikat megoldók} A feladat szövege alapján tudjuk, hogy a (8) - as tartományba 0 kerül. Mivel, nem tudunk többet biztosan kitölteni, ezért haladjunk belülről kifelé. Legyen az (5) - ben x, ekkor még mindig nem tudunk újabb tartományt kitölteni ennek segítségével, ezért tovább haladunk. Legyen (2) - ben y, s mivel itt is hasonló a helyzet, mint előbb, ezért még legyen (4) - ben z. Ekkor azonban már a megadott információkkal ki tudjuk tölteni az üresen maradt tartományokat.
(6) - ba 32 y z kerül: 32 = (2) + (4) + (6) = y + z + (6) (1) - be 90 x y z kerül: 90 = (1) + (2) + (4) + (5) = (1) + y + z + x (3) - ba 48 + z x kerül: 48 = (2) + (3) + (5) + (6) = y + (3) + x + 32 y z (7) - be 18 + y x kerül: 18 = (4) + (5) + (6) + (7) = z + x + 32 y z + (7) A tartományok összege egyenlő a résztvevők létszámával, ezért a következőt kapjuk: 184 = (1) + (2) + (3) + (4) + (5) + (6) + (7) + (8) 184 = 90 x y z + y + 48 + z x + z + x + 32 y z + 18 + y x + 0 184 = 188 2 x x = 2 A c kérdésnél megadott adatokat figyelembe véve a következőket kapjuk: (1) - be 60, a (3) - ba 50 kerül. Ezeket összevetve a fentebb számoltakkal, a következő egyenletek adódnak: 60 = 90 x y z 50 = 48 + z x Ekkor az x = 2 - t behelyettesítve a második egyenletbe kapjuk, hogy z = 4. Az x = 2 és z = 4 behelyettesítés után az első egyenletből azt kapjuk, hogy y = 24.
Ezeket visszahelyettesítve megkapjuk a következőket: (6) - ba 4 kerül: (6) = 32 y z = 32 24 4 = 4 (7) - be 40 kerül: (7) = 18 + y x = 18 + 24 2 = 40. Az ábra kitöltése után a kérdésekre a válaszok: a) (3) + (6) + (7) + (8) = 50 + 4 + 40 + 0 = 94 Az első feladatot 94 diák nem oldotta meg. b) (5) = 2 Mindhárom feladatot 2 versenyző oldotta meg. c) (7) = 40 40 diák oldotta meg csak a harmadik feladatot. Hatodik példa: A 35 fős 9.e. az osztálykiránduláson, amelyre mind a 35 tanuló elment, salátát rendelt vacsorára. A vacsora végén kiderült, hogy háromfélét ettek: gyümölcssalátát, kukoricasalátát, tonhalsalátát, és mindenki rendelt valamilyet a három közül. Kukoricasalátát 14-en, gyümölcssalátát 15-en, tonhalsalátát 13-an. Egy diák rendelt mindháromból. A kukoricasalátát rendelők közül 11-en nem kértek gyümölcssalátát. 9 olyan diák volt, aki sem kukoricás, sem gyümölcssalátát nem evett. A csak gyümölcssaláták rendelők eggyel többen voltak, mint a csak tonhalasat rendelők. a) Hány olyan tanuló volt, aki tonhalas és gyümölcssalátát is rendelt? b) Hány olyan tanuló volt, aki csak kukoricás salátát rendelt?
Megoldás: Készítsünk halmazábrát, majd töltsük ki az egyes tartományokat a szövegnek megfelelően. A:= {kukoricasalátát kérők}; B:= {gyümölcssalátát kérők}; C:= {tonhalsalátát kérők} A feladat szövege alapján tudjuk a következőket: (5) - be 1; (7) - be 9; (8) - ba 0 kerül. Ezek után további tartományok is kitölthetőek a következő sorrendben: (3) - ba 10 kerül: (3) = (7) + 1 = 9 + 1 = 10 (2) - be 2 kerül: 14 11 = 3 -> 3 = (2) + (5) = (2) + 1 (6) - ba 2 kerül: 15 = (2) + (3) + (5) + (6) = 2 + 10 + 1 + (6) (4) - be 1 kerül: 13 = (4) + (5) + (6) + (7) = (4) + 1 + 2 + 9 (1) - be 10 kerül: 14 = (1) + (2) + (4) + (5) = (1) + 2 + 1 + 1 Az ábra kitöltése után a kérdésekre a válaszok: a) (5) + (6) = 3 3tanuló rendelt tonhalas és gyümölcssalátát is. b) (1) = 10 10 tanuló rendelt csak kukoricasalátát. Brósch Zoltán