37 Mikoa Sándor fizikaereny 08 Dönő Gyöngyö, 9 éfoya Gináziu c Megodáok Egy = 50 o -o középponi zögű, R = 0,8 ugarú, körí kerezezeű hengere áyú úgy an eheyeze a ízzine aajon, hogy feő égének érinőíkja függőege egyen Ennek a áyúnak egfeő ponjábó kezdőebeég nékü eengedünk egy kiéreű, = 0, kg öegű ee a) Mekkora erőe ha a áyú a ki ere, aikor éppen a páya egaó, A ponján haad á? b) Mekkora a ki ere haó eredő erő ugráa (hireen egáozáa) a B ponon aó áhaadá pianaában? c) Maxiáian iyen agara eekedik a ki e kényzerpáyájának egéyebb ponjának zinjéő ére a B ponon aó áhaadá uán? (Minden úródá é közegeenáá ehanyagohaó Száojunk g = 0 / -e!) Megodá a) Tekinük az ábrá! (dr Wiedeann Lázó, Budape) A ki ere ha a nehézégi erő, aain a keree kényzererő Ezek ekori özege okozza a cenripeái gyoruá Ezek egy egyenebe eő, eenée irányú erők, így a ozgáegyene F a cp egyzerűen feírhaó: K g, R ahonnan K g () R A e A ponbei ebeégének négyzee az energiaéebő adódik: gr gr, ()
ugyani a e üyedée éppen ugárnyi nagyágú ()- ()-be íra kapjuk a keree kényzererő nagyágá: gr K g 3g 30, kg 0 6 N R b) Meg ke haároznunk a B ponban haó eredő erő, aey annak ehagyáa pianaában a nehézégi erőre áozik A keree egáozá jeöjük -a! Az ábrábó ázik, hogy a hireen egáozá ( ugrá ) az eredő erő é a nehézégi erő küönbége, agyi a B-ponbei kényzererő eeneje Ennek a nagyágára agyunk kíánciak Kereük ehá az oani kényzererő nagyágá! A ozgáegyene zerin: B B KB g co KB g co (3) R R Az i zerepő zög az ábra aapján = 50 o 90 o = 60 o A B-ponbei ebeég négyzeé az energiaéebő kaphajuk: R g B B gr (4) (4)-e (3)-ba íra kapjuk: gr K g co g co 0, kg 0 co 60 3 N R c) A ki e a B ponban hagyja e a kényzerfeüee Innen ferde hajíái páyán foyaja újá A páya egaó ponjának zinjéő aó axiái eekedé H agaága a B pon agaágának é a ferde hajíá axiái agaágának özege A B pon éppen R/ agaan heyezkedik e, ugyani az ábrán áhaó BOA hározög egyenő odaú Ez köekezik abbó, hogy a jeze zög pózöge A hajíá eekedéi agaágá a B ponó záíjuk Ehhez zükégünk an a B ponbei piananyi ebeég függőege koponenének nagyágára, ui az eekedé agaága
y y ax g A e B ebeége az energiaéebő kaphaó: R gh B B gh g gr Ennek függőege koponene: co gr co By B Ezze a ferde hajíá agaágára kapjuk: gr co R y ax g Figyeebe ée, hogy a zög 30 o, a keree zinküönbég: co R R R R 0,8 H y co co co 30 0,7 ax Egy 40 c hozú ékony fonára fefüggezünk egy öegű keény goyó é a fonaa fezeen ara a függőegehez képe 60 0 -o zögben kiéríjük A kiéríe goyó eredei heyére, a ízzine aajra eheyezünk egy M öegű áik goyó é a rendzer agára hagyjuk A ké e ökéeeen rugaa üközé uán egyenő nagyágú, eenée irányú ebeégge indu a) Mekkora a M/ arány? b) Mekkorák az üközé uáni ebeégek? c) Üközé uán iyen agara eekedik az öegű e? d) Mekkora közeen az üközé eői é uáni pianaban a fonáerők aránya? (Száojunk g = 0 / -e!) M Megodá a) Az öegű e heyzei energiája E g co, ai eérkezékor ozgái energiáá aaku, ehá co, g ahonnan a ebeég eérkezékor: g co 0 0,4 co60 h (Dudic Pá, Debrecen) 3
Ekkora ebeégge üközik az M öegű goyóa A ökéeeen rugaa üközé uán indké e azono nagyágú ebeégge indu az ábra zerin jobbra, i bara A rugaa üközére onakozó ipuzu (endüe) é energia egaradáának éee zerin: M M, (I) M é M M (II) (I) -bő a ebeége (II)-be íra kapjuk: M M Egyzerűíe: M M Rendeze: M M M M 3 M, azaz M 3 b) Az üközé uáni ebeége ennek (I)-be aó beheyeeíéée kapjuk: M 3 c) Ezze a ebeégge indua a e h 0,05 g 0 agara eekedik d) Az üközé eő a cenripeái (eredő) erő a nehézégi erő é a keree fonáerő ekori özege: K g K g haonóképpen üközé uán: A keő aránya:, K K K g 4 g 0 0,4 0,6 0,5 g 0,4 4
3 Moorkerékpáro R = 0 ugarú körpáyán nyugai áapobó indua indégig egyeneeen nöekő ebeégge haad Az eő = 4 aa = 8 ua e eg Induáó záía ennyi idő aa é ekkora ú egéee uán kézerezi eg gyoruáá? (Hoic Lázó, Budape) Megodá A feadazöeg zerin a oorkerékpáro kerüei (érinőege) gyoruáa 8 a áandó 4 A keree időpianaban a gyoruá a = a 0 = a = / A norágyoruá (cenripeái gyoruá): a R a n R Az ábrán uao geoeriai izonyokbó: 3 3 an a a Beíra a norá-gyoruá kifejezéé: Innen a keree idő: a a 3, R Ezaa ege úja R 3 0 3 5,89 a a 5,89 7,35 4 Egy V = kéezer iere, =,5 éer aga, függőege engeyű, nyio eejű, körhenger aakú aráy zínüig an ízze Éppen ekezd eni az eő, aikor kiyukad a aráy odaa A kerek yuk áérője d =,6 Óránkén 5 eő eik a) Az ajáó ére iyen agaan yukad ki a aráy, ha benne a ízzin ne áozik, aíg az eő eik? b) Ho ér föde a yukon kiöő íz? (A aaj ízzine) c) Hogyan keene egáozani a feadaban az óránkéni eőennyiége, hogy a yukon kiáraó íz a aráyó a eheő egáoabb érjen föde? d) Mekkora ez a áoág? (A yukon kiáraó íz páyájá az eő ne zaarja eg Az eőceppek ki ebeégge érkeznek g = 9,8 / ) (dr Ki Mikó, Gyöngyö) 5
Megodá: A aráy erüee a érfogaábó é agaágbó 3 V V A A 0,8,5 6 A e 5 6,94 0 h -6 ebeégű eő 6,94 0 ízzin-eekedéi ebeége jeenene a aráy eejéné Az ábra jeöéei haznáa: a) A Bernoui-örény, agy az energia-egaradá aapján a kiáraó íz ebeége: Az eő áa hozo ízennyiég: gy V A e Ez a íz áozik a yukon (foyonoági egyene), ezér: A kiöőnyíá kerezezee A A e,6 0 A r,0 0 4 4 erüeű Ezze a kiöéi ebeég: 6 0,8 6,94 0 A e,76 6 A,00 A ebeégre kapo képebő: 3 d 6,76 y 0,39, g 9,8 ezér a yuk h y,5 0,39, agaágban keekeze b) A kiáraó íz ebbő a agaágbó h idő aa ér föde Ez aa ízzineen g kerü arrébb h x gy yh 0,39,,84 -re g c) Az x yh a záani-érani közép egyenőenég aapján akkor a egnagyobb, ha yh,5, azaz 6
,5 yh y h,5 Ehhez gy 9,8,5 4,95 kiöéi ebeég arozik Vizazáoa a foyonoági egyenebő: 6 A,00-5 e 4,95,44 0 = 44,8 A 0,8 h Vagyi ha egaább 44,8 eő eik óránkén, akkoró ju e a íz a egezebbre Enné ezebb ne juha A feeege íz kifoyik a aráy pereéné d) A áoág ebben az eeben: h x gy yh, 5, 5,5 g 7
37 Mikoa Sándor fizikaereny 08 Dönő Gyöngyö, 9 éfoya Szakgináziu Megodáok Egy =, - zöggyoruáa áó heyzebő induó, r = ugarú, ízzine íkú forgó árca zéére egy ki ee heyezünk a) Miyen irányban repü e a ki e, é b) iyen irányú a ere haó erők eredője a egcúzá pianaában az induái irányához képe, ha a e é a árca közöi apadái együhaó = 0,457? (Cányi Sándor, Szeged) Megodá: a) A e érinőege (angenciái) gyoruáa: Piananyi ebeége: Cenripeái gyoruáa: Az eredő gyoruáa: a r a a cp r r cp a a a a r A e akkor cúzik eg, ha a ráhaó erők eredője eghaadja a apadái erő axiuá F a F 0 ny, azaz áaakía: ahonnan az ee idő: Az ehhez arozó zögeforduá: a r 0 r a r g 4 4 0, g, 0,457 0, 4 0g a 4 4 4 r,,75,,75,838 rad 05,3 8
A (ne érearányo) ábra aapján Innen F F cp g r r,,75 3,675 r r r A bezár zög kb 75 fok arcg3,675 80,97 748 b) A e érinő irányban áozik, azaz 05,3 foko zöge bezára az induái irányához képe, a ere haó erők eredője 05,3 fok + 74,8 fok = 80, fokka fordu e D D Az ábrán áhaó öegű rúd az azono hozúágú é D direkció erejű rugóka x = 5 c-re nyújoa eg a rendzer nyugai áapoában A rúdra bizonyo agaágbó ráejeünk egy zinén öegű ee Az üközé cenrái o, é a ki e ráapad a rúdra Ez köeően a rugók egnagyobb egnyúáa négyzereére nő a) Miyen agaró ejeük a ki ee? b) A e é a rúd ozgáa orán ekkora o a egnagyobb ebeég? (Suhajda Jáno, Kikőrö) Megodá a) A kezdei egyenúyi áapoban a rúd úya é a rugóerő nagyága azono o: g Dx () A echanikai energia-egaradá örénye zerin: gh, ahonnan gh () D D A rugaaan üközére a endüe-egaradá örényé h írjuk fe: u x Innen 3x u 0,5 gh (3) Az együozgó eek eeén a egnagyobb egnyúáná a unkaée zerin W E kin, agyi a nehézégi erő é a rugóerők özunkája a ozgái energia egáozááa egyenő: g 3x D 4x Dx 0 u 9
6g x D6 x Dx 0 u (3)-bó u kifejezéé beheyeeíe, rendeze: 6g x 0,5 gh 5Dx (4) Az () egyene figyeebeéeée: D g, x ai (4)-be íra kapjuk: g 6g x gh x 6 gh gx x 0,5 5 g x 0,5 7,5 Egyzerűíe é rendeze:,5 x 0,5 h, Innen a keree agaág: h = 3x = 3 5 c = 5 c b) Az együozgó eek az üközé pianaáó kezde efeé gyoruak indaddig, aíg a rájuk haó erők eredője efeé irányu Az új egyenúyi heyzeen aó áhaadá pianaában: ()-e figyeebe ée: A unkaée akaaza a x egnyúára: Egyzerűíé é rendezé uán: g Dy 0 g g 0 y x y x gx D x Dx ax u ax gx D3x u (3) egyene figyeebe éeée, aho h = 3x egyenee fehaznájuk: Egyzerűíé é rendezé uán kapjuk: g gx 5x ax 0,5g3 x x g gx 3x ax 0,5g 3 x gx,5 gx ax 0,5g 3x, x ahonnan a keree egnagyobb ebeég: gx 0 0,05 ax 0
3 Vízzine aajon ozgó M = 0,5 kg öegű haábra h = 0 c agaágbó = 0, kg öegű gyurá ejünk A haáb ebeége az üközé kezdeekor 0 = 3 / A ké e = 0 időaraú üközé orán özeapad a) Mekkora áago nyoóerő fej ki a gyura a haábra az üközé aa? b) Mekkora ez közeenü az üközé uán a közö ebeég, ha a haáb é a aaj közöi cúzái úródái együhaó ehanyagohaó? éréke 0,4? (Szkadányi Andrá, Baja) Megodá a) A gyura függőege irányú ebeége az üközé eői pianaban: y gh 0 0, A gyura áa kifeje áago nyoóerő az üközére függőege irányban feír endüeée aapján haározhaó eg (pozií irány fefeé): F y F g y ny ny g 0, kg 0 N 0 b) Ha a úródá ehanyagohaó, akkor a közö ebeég az üközére ízzine irányban feír endüe-egaradá aapján: ahonnan M M, 0 k M 0,5 kg k 0 3 M 0, kg 0,5 kg,5 c) Ha a úródá ne hanyagohaó e, akkor az üközére ízzine irányban feír endüeée zerin (pozií irány a haáb eredei haadái iránya): rézeeze: MV F, M F Mg k k 0 ny Innen a közö ebeég közeenü az üközé befejeződée uán: M 0,5 kg 3 0, 4 N 0,5 kg 0 0 0 Fny Mg k,33 M 0, kg 0,5kg
4 Egy ponzerűnek ekinheő, = 0,5 kg öegű ee = 30 c hozú fonára erőíeünk, aeynek áik égé ízzineen rögzíe zöghöz kööük Ezuán a fonaa egyenenek ara az így kapo ingá a ízzineig kiéríeük a) Legaább ekkora függőege, efeé irányuó kezdőebeégge ke egökni az inga göbjé, hogy az égig haadjon a körpáyáján? b) Mekkora a fonáerő a páya egaó ponjában? c) Az a) -ban záío iniái ebeég hány zázaékáa indíouk efeé az inga göbjé, ha a foná 0 o -o eforduá pianaában azu eg? (Hoic Lázó, Budape) Megodá a) A egkiebb ebeég az jeeni, hogy aikor az inga göbje eéri a háronegyed forduao, a fonában égig haon (az egyre cökkenő) fonáerő, é a páya egfeő ponjában ájon cak zéruá (Ezuán a fonáerő ié nöekedni fog, agyi az inga göbje oább foyaja körpáyán a ozgáá) Ha aaekkora in ebeégge eindíouk a ki ee, féfordua egéee pianaában ebeége a echanikai energia egaradá örénye zerin ié az indíái ebeég nagyágáa haad, cak fefeé A keree iniái ebeége a oábbiakban záíhajuk úgy, inha innen indíouk ona a ki ee A unkaée, aain a Newon-örény adja eg a áaz a kérdéünkre A unkaée zerin: in g aho a egfeő ponbei ebeég g g in in Newon örénye aapján a egfeő ponban a körozgához arozó cenripeái gyoruá éppen a g nehézégi gyoruá, er ebben a pianaban ei á erő ne ha az inga göbjére, in a nehézégi erő Így ez kifejeze a piananyi ebeégge é a körpáya ugaráa: g Innen g Ez a iniái indíái ebeég kifejezéébe íra kapjuk az eredény: in 3 g in 3g 30 0,3 3 b) A páya egaó ponjában Newon II örénye zerin: ax K g, aho a axiái ebeég a unkaéebő: Ezze a fonáerő: ax in g ax g in g 3g 5 g ax 5g K g g 6g 6 0,5 kg 0 30 N
c) Ha 0 foko fordu e a foná az induáó kezde, akkor abban a pianaban 30 foko zöge zár be a ízzinee Mie ekkor a foná egazu, eő kezde cak a nehézégi erő ha az inga göbjére A keree új indíái ebeége jeöjük x -ze! A ebeég- é gyoruá-izonyoka az ábrábó áhajuk: g g 60 o 30 o 0 o x Mie a fonáerő egzűn, a ere cak a nehézégi erő ha, a ozgához arozó cenripeái erő i cak a nehézégi erő ugár irányú koponene zogáahaja Az ábrábó ázik, hogy a foná egazuáa pianaában a cenripeái gyoruá éppen g/, ugyani egy 60 foko ( zabáyo ), g odaú hározög egyik odaának a fee Ez, in cenripeái gyoruá a piananyi ebeégge a köekező kapcoaban an: g g Ekkora ebeégge haad i az inga göbje Az ábrán a zabáyo hározög-rézere ekine áhajuk, hogy a ízzine heyzeő aó eekedé agaága éppen / A unkaée ié egadja a áaz kérdéünkre: x g x g Beíra a foná azuákori ebeég kifejezéé kapjuk: A kérdeze zázaékarány: x g 3 g g p 3 g x 00 0 0 00 0 0 0,5 00 0 0 70,7 0 0 in 3g 3