JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE

JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE TEMATIKA: Koordináta-geometria (vektorok a koordináta-rendszerben, egyenes egyenlete, két egyenes metszéspontja, kör egyenlete, kör és egyenes metszéspontjai) Sorozatok (számtani- és mértani sorozatok, kamatszámítás) Térgeometria (hasáb, henger, gúla, kúp, csonka gúla, csonka kúp, gömb felszíne és térfogata) Logika A vizsgán függvénytáblázat és számológép használható! A TÉMAKÖRÖKHÖZ AJÁNLOTT ÉRETTSÉGI TÍPUSÚ FELADATOK KOORDINÁTA-GEOMETRIA: http://www.studiumgenerale.hu/images/erettsegi/matek_temakor/k%c3%b6z%c3%a9p%c3%b Aj/k_mat_kord_fl.pdf 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9/b, c, 15, 17, 20, 21/a, 22, 23, 27, 28, 30, 31, 34 SOROZATOK: http://www.studiumgenerale.hu/images/erettsegi/matek_temakor/k%c3%b6z%c3%a9p%c3%b Aj/k_mat_sorozatok_fl.pdf Számtani sorozatokhoz kapcsolódó feladatok: 2/a, 3, 5/a, 6, 7, 10, 12, 15, 17, 18, 22, 24, 25, 26, 39/a, 42 Mértani sorozatokhoz kapcsolódó feladatok: 1, 4, 8, 11/c, 13, 14, 19, 23, 29/a, 35, 38 Vegyes feladatok (számtani és mértani sorozat): 20, 21, 28, 37, 40/a,b, 43/a Kamatszámítás: 30, 32, 33, 34, 36 TÉRGEOMETRIA: http://www.studiumgenerale.hu/images/erettsegi/matek_temakor/k%c3%b6z%c3%a9p%c3%b Aj/k_mat_tergeo_fl.pdf Hasáb és henger felszínéhez és térfogatához kapcsolódó feladatok: 5, 6, 7, 10, 14, 16, 21, 22, 23, 24, 25/a, 26/b, 28/a Gúla és kúp felszínéhez és térfogatához kapcsolódó feladatok: 2, 3, 8, 18/a, 19/a Csonka gúla és csonka kúp felszínéhez és térfogatához kapcsolódó feladatok: 17, 32/a) A gömb felszínéhez és térfogatához kapcsolódó feladatok: 1, 11 Egymásba írt testek: 4, 12 Összetett feladatok: 15, 20, 29/c, 33/a LOGIKA: http://www.studiumgenerale.hu/images/erettsegi/matek_temakor/k%c3%b6z%c3%a9p%c3%b Aj/k_mat_logika_graf_fl.pdf 1/c, 15/b, 19, 20/c, 22, 25 A FELADATOK MEGOLDÁSAI ELLENŐRZÉS CÉLJÁBÓL MEGTALÁLHATÓAK: http://www.studiumgenerale.hu/hu-hu/erettsegik-temakor-szerint

TOVÁBBI FELADATOK Árki Tamás, Konfárné Nagy Klára, Kovács István, Trembeczki Csaba, Urbán János: Sokszínű matematika feladatgyűjtemény 11. (Mozaik Kiadó) Koordinátageometria: Az egyenes egyenlete: 3641/b, 3644/d, 3657, 3658 Két egyenes metszéspontja: 3672/a, 3673/b, 3675/a, 3675/a A kör egyenlete: 3693/e, 3694/a, 3695/b, 3699/a Árki Tamás, Konfárné Nagy Klára, Kovács István, Trembeczki Csaba, Urbán János: Sokszínű matematika feladatgyűjtemény 12. (Mozaik Kiadó) Sorozatok: Számtani sorozat: 4085, 4087, 4088, 4091, 4102 Mértani sorozat: 4116, 4117, 4121 Kamatszámítás: 4135, 4137, 4138 Térgeometria: Területszámítás: 4245, 4246, 4277 A hasáb és henger felszíne és térfogata: 4304, 4306, 4307, 4312, 4314, 4317 A gúla és a kúp felszíne és térfogata: 4351, 4352, 4355, 4356, 4357 A csonka gúla és a csonka kúp felszíne és térfogata: 4389, 4397, 4398, 4408, 4409, 4413 A gömb felszíne és térfogata: 4423/a, 4424/a, 4427, 4433 A FELKÉSZÜLÉST SEGÍTIK MÉG: A tanórákon kiosztott segédanyagok és feladatlapok, valamint a Mozaik Kiadó: Sokszínű matematika 11. és 12. osztályos tankönyve. ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ KIDOLGOZOTT PÉLDÁKKAL KOORDINÁTA-GEOMETRIA Vektorok a koordináta-rendszerben: o Két vektor összegének koordinátái: legyen a (a 1 ; a 2 ) és b (b 1 ; b 2 ) ekkor a + b (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2 ) pl. a (1; 3) és b ( 2; 5), a + b ( 1; 8) o Két vektor különbségének koordinátái: legyen a (a 1 ; a 2 ) és b (b 1 ; b 2 ) ekkor a b (a 1 b 1 ; a 2 b 2 ) vagy b a (b 1 a 1 ; b 2 a 2 ) pl. a (1; 3) és b ( 2; 5), a b (3; 2) vagy b a ( 3; 2) o Vektorok számszorosának koordinátái: legyen a (a 1 ; a 2 ) és α R ekkor α a (α a 1 ; α a 2 ) pl. a (1; 3) és α = -2, ekkor 2 a ( 2; 6) Ellentett vektor a vagyis α = -1 pl. a (1; 3), ekkor a ( 1; 3)

o Vektor hossza: legyen a (a 1 ; a 2 ), ekkor a vektor hossza a = a 1 2 + a 2 2 pl. a ( 3; 4), ekkor a = ( 3) 2 + 4 2 = 25 = 5 o Két vektor skaláris szorzata: legyen a (a 1 ; a 2 ) és b (b 1 ; b 2 ) és a két vektort közös pontba felmérve, α az általuk bezárt szög (0 α 180 ) (1) definíció: a b = a b cos α ha két vektor merőleges egymásra, akkor skaláris szorzatuk 0, mivel cos 90 = 0. (2) koordinátákkal: a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 pl. legyen a (1; 3) és b ( 2; 5), mekkora szöget zár be egymással a két vektor? skaláris szorzat meghatározása a koordináták segítségével (2): a b = 1 ( 2) + 3 5 = 13 két vektor hosszának meghatározása, hogy az (1)-es összefüggéssel szöget tudjunk számolni: a = 1 2 + 3 2 = 10 és b = ( 2) 2 + 5 2 = 29 (1)-be helyettesítve: 13 = 10 29 cos α 0, 7634 = cos α α 40,24 o Adott két pont A(a 1 ; a 2 ) és B(b 1 ; b 2 ), az A pontból B-be, illetve B pontból A-ba mutató vektor koordinátái a következő módon számolható: AB (b 1 a 1 ; b 2 a 2 ) és a BA (a 1 b 1 ; a 2 b 2 ) ( végpont koordinátáiból vonjuk a kezdőpont koordinátáit) pl. A(-2; 3) és B(4;-1), ekkor AB (6; 4) és BA ( 6; 4) o Két pont távolsága: Az A és B pontok távolsága megegyezik az AB vektor hosszával. Azaz ha adott A(a 1 ; a 2 ) és B(b 1 ; b 2 ), akkor AB (b 1 a 1 ; b 2 a 2 ) és AB = AB = (b 1 a 1 ) 2 + (b 2 a 2 ) 2 pl. A(-2; 3) és B(4;-1), ekkor AB (6; 4) és AB = AB = 6 2 + ( 4) 2 = 52 o Szakasz felezőpontjának koordinátái: Adott A(a 1 ; a 2 ) és B(b 1 ; b 2 ) pontok által meghatározott szakasz. Legyen a szakasz felezőpontja F. F ( a 1 + b 1 2 pl. A(-2; 3) és B(4; 1), ekkor F(1; 2) ; a 2 + b 2 ) 2 o Szakasz harmadolópontjának koordinátái: Adott A(a 1 ; a 2 ) és B(b 1 ; b 2 ) pontok által meghatározott szakasz. A-hoz közelebbi harmadolópont koordinátái: H 1 ( 2a 1 + b 1 3 pl. A(-2; 3) és B(4; 1), ekkor H 1 (0; 7 ) 3 B-hez közelebbi harmadolópont koordinátái: H 2 ( a 1 + 2b 1 3 pl. A(-2; 3) és B(4; 1), ekkor H 2 (2; 5 ) 3 ; 2a 2 + b 2 ) 3 ; a 2 + 2b 2 ) 3

o Háromszög súlypontjának koordinátái: Legyen az ABC háromszög csúcsainak koordinátái: A(a 1 ; a 2 ), B(b 1 ; b 2 ) és C(c 1 ; c 2 ). Ekkor a súlypont koordinátái: S ( a 1 + b 1 + c 1 ; a 2 + b 2 + c 2 ) 3 3 pl. A(-2; 3), B(4; 1) és C(7; 2), ekkor S(3; 2) Egyenes egyenlete és két egyenes metszéspontja o Az egyenest meghatározó adatok a koordináta-rendszerben: Irányvektor: Egy egyenes irányvektora bármely, az egyenessel párhuzamos, nullvektortól különböző vektor. Jele: v (v 1 ; v 2 ) Normálvektor: Egy egyenes normálvektora bármely, az egyenesre merőleges, nullvektortól különböző vektor. Jele: n (A; B) Az egyikből a másik úgy kapható, hogy a koordinátákat felcseréljük és az egyiket ellentettjére változtatjuk. pl. legyen egy egyenes két pontja A(1; -2) és B(4; -1) az egyenes egy irányvektora pl. az v = AB (3; 1) vagy v = BA ( 3; 1) ezt ismerve az egyenes egy normálvektora: n (1; 3) vagy n ( 1; 3) o Az egyenes normálvektoros egyenlete: A koordináta-rendszerben elhelyezkedő egyenes egyenlete egy olyan kétismeretlenes egyenlet, amelyet az egyenes P(x;y) pontjainak koordinátái kielégítenek, más pontok koordinátái viszont nem elégítik ki. Ha adott az egyenes egy P 0 (x 0 ; y 0 ) pontja és egy normálvektora n (A; B), akkor az egyenes egynlete a következő alakban írható fel: A x + B y = A x 0 + B y 0. pl. legyen P 0 ( 3; 2) és n (4; 1), ekkor az egyenes normálvektros egyenlete: 4x + ( 1)y = 12 + ( 2) vagyis 4x y = 14 pl. legyen P 0 ( 3; 2) és v (4; 1), ekkor az irányvektor átírható normálvektorrá a korábbi módszerrel (koordinátákat felcseréljük és az egyik előjelét megváltoztatjuk) n (1; 4) pl., ekkor az egyenes normálvektoros egyenlete: x + 4y = 3 + 8 vagyis x + 4y = 5 pl. adott az egyenes két pontja A(1; -2) és B(3; 4). Az egyenesnek most két pontját is ismerjük, az egyenlet felírásánál tetszőleges, hogy melyiket használjuk fel. Viszont normálvektort nem ismerünk. Először irányvektort tudunk felírni, hiszen AB vektor az egyenes egy irányvektora, irányvektortból pedig tudunk normálvektort csinálni a korábbi módszerünkkel. AB (2; 6) = v n (6; 2) Az egyenes normálvektoros egyenlete ekkor, pl. A pont koordinátáit felhasználva: 6x 2y = 6 + 4 6x 2y = 10

pl. adott egy szakasz két végpontja A(1; -2) és B(3; 4). Írjuk fel a szakasz felezőmerőlegesének egyenletét! Szükségünk van az egyenes egy pontjára, mivel felezi a szakaszt, így a felező pont pontja lesz az egyenesnek. F(2; 1) Szükségünk van továbbá az egyenes egy normálvektorára, az A pontból B-be mutató vektor megfelelő lesz, hiszen a szakasz és a felezőmerőleges derékszöget zár be egymással, tehát n = AB (2; 6). Az egyenes normálvektoros egyenlete tehát: 2x + 6y = 4 + 6 vagyis 2x + 6y = 10 o Két egyenes metszéspontjának koordinátái: A két egyenes metszéspontjának koordinátái mindkét egyenes egyenletét kielégítik, ezért a két egyenes egyenletéből álló kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert kell megoldani és a megoldás adja meg a metszéspont koordinátáit. (Lineáris egyenletrendszert kétféleképpen tudunk megoldani (1) a behelyettesítés módszerével, (2) az egyenlő együtthatók módszerével) pl. legyen az egyik egyenes egyenlete: 2x + 3y = 1, a másik egyenesé x 4y = -5. Keressük a két egyenes metszéspontjának koordinátáit: (1) módszerrel: a második egyenletből kifejezzük x-et: x = -5 + 4y és az első egyenletbe x helyére ezt a kifejezést helyettesítjük, ezzel elérjük, hogy csak egy ismeretlen szerepeljen az egyenletben, melyet meg tudunk oldani a korábbi módszereinkkel: 2(-5 + 4y) + 3y = 1, a zárójelet felbontva: -10 + 8y + 3y = 1, összevonva: -10 + 11y = 1, rendezve az egyenletet: 11y = 11, ahonnan y = 1. Visszahelyettesítve: x = -5 + 4 = -1 Tehát a metszéspont: M(-1; 1) (2) módszerrel: a második egyenletet végig szorozzuk 2-vel, hogy az x-es tag számszorzója a két egyenletben megegyezzen: 2x + 3y = 1 2x 8y = 10 } A két egyenletet kivonva egymásból az x-es tagok kiesnek és újra csak egy ismeretlennel kell dolgoznunk tovább: 2x + 3x (2x 8y) = 1 ( 10) 2y + 3y 2x + 8y = 11 11y = 11 y = 1 Visszahelyettesítve egy korábbi egyenletbe: x = -1 o A kör egyenlete: Mivel a kört a síkon egyértelműen meghatározza a középpontja és a sugara, ezért legyen adott a k kör K(u; v) középpontja és r sugara. A P(x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a körre, ha KP = r. A kör egyenlete: (x u) 2 + (y v) 2 = r 2 pl. Legyen egy kör középpontja K(1; -3) és sugara r = 4. Ekkor a kör egyenlete: (x 1) 2 + (y + 3) 2 = 16 pl. Legyen egy kör középpontja K(1; -3) és a kör egy további pontja P(2; 4).

A kör sugara meghatározható, ha kiszámítjuk a középpont (K) és a P pont távolságát. PK ( 1; 7) r = PK = ( 1) 2 + ( 7) 2 = 50 Tehát a kör egyenlete: (x 1) 2 + (y + 3) 2 = 50 pl. egy kör egy átmérőjének két végpontja A(-1, 3) és B(5; -5). A kör középpontja az átmérő felezőpontja (hiszen tudjuk, hogy d = 2r) K = F(2; -1) sugara: AF (3; 4) r = AF = 3 2 + ( 4) 2 = 5 Tehát a kör egyenlete: (x 2) 2 + (y + 1) 2 = 25 o A kör és egyenes metszéspontjai: Egy kör és egy egyenes metszéspontjának koordinátái mindkét alakzat egyenletét kielégítik, ezért a két alakzat egyenletéből álló kétismeretlenes egyenletrendszert kell megoldani és a megoldás(ok) adja(ák) meg a metszéspont(ok) koordinátáit. Ebben az esetben csak a behelyettesítő módszer alkalmazható a megoldáskor! Az egyenes a kört metszheti két pontban (ekkor az egyenes a kör egy szelője), az egyenes a kört érintheti egy pontban (érintő), és lehet, hogy a körnek és az egyenesnek nincs metszéspontja. Mivel a kör egyenlete másodfokú, így a behelyettesítés után egy egyismeretlenes, másodfokú egyenletet kell megoldani, melynek lehet két megoldása (két metszéspont), lehet egy megoldása (egy metszéspont) és lehet, hogy nincs megoldása (nincs metszéspont). SZÁMSOROZATOK: jelölések a1 (a sorozat eső tagja), a2 (a sorozat második tagja),, an (a sorozat n-edik tagja, ahol n 1 természetes szám). Számtani sorozat: - Bármely két szomszédos tag különbsége állandó, azaz a n+1 a n = d. d-t a sorozat különbségének vagy differenciájának nevezzük. - Definíció: Tehát az (an) sorozatot számtani sorozatnak nevezzük, ha van olyan a és d szám, hogy a1=a és an+1 = an + d, ha n 1 a 1 ; a 2 = a 1 + d; a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d; a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d, Általánosan: a n = a 1 + (n 1) d - A számtani sorozat első n tagjának összege: S n = a 1+a n n 2 vagy az an-re vonatkozó általános alakot behelyettesítve: S n = 2a 1+(n 1) d 2 - A sorozat bármelyik tagja felírható szomszédainak számtani közepeként: pl. Egy számtani sorozat első tagja 5, különbsége pedig 3. a) Számítsuk ki a sorozat 10. tagját, valamint b) az első 5 tagjának összegét! c) Tagja-e a sorozatnak a 305 és ha igen, akkor hányadik? a1 = 5, d = 3 a) a10 = a1 + (10-1)*d = a1 + 9d = 5 + 9*3 = 32 b) S 5 = 2 5+(5 1) 3 5 = 55 2 c) 305 = a1 + (n-1)*d 305 = 5 +(n-1)*3 300 = (n-1)*3 100 = n-1 101 = n Mivel egy n 1 természetes számot kaptunk megoldásnak, ezért tagja sorozatnak, méghozzá n

a 101. tagja. pl. Egy színházi nézőtéren a színpad felé haladva a székek száma soronként 4-gyel csökken. Az első sorban 15 az utolsó sorban 99 szék van. Hány szék van összesen a nézőtéren? a1 = 15, d = 4 Először határozzuk meg, hogy hány sor van a nézőtéren: an = a1+(n-1) d, azaz 99 = 15+(n-1) 4 / -15 84 = (n-1) 4 / :4 21 = n-1 / +1 22 = n A nézőtéren tehát 22 sor van. S 22 = 2 15+21 4 2 22 =1254 pl. Egy számtani sorozat 12. tagja 62, 21. tagja pedig 116. Határozzuk meg a sorozat különbségét és első tagját! a12 = 62 és a21 = 116. A 21. tag felírható a megadott 12. tag és a különbség segítségével a következő módon: a21 = a12 + 9d 116 = 62 + 9d 54 = 9d 6 = d a12 = a1 + 11d 62 = a1 + 11*6-4 = a1 Vagy a21 = a1 + 20d a12 = a1 +11d vagyis 116 = a1 + 20d 62 = a1 + 11d Ezt megoldva, mint egy kétismeretlenes (a1, d) lineáris egyenletrendszert a korábbi eredmények megkaphatóak. Mértani sorozat: - Azokat a sorozatokat, amelyekben a második tagtól kezdve minden tag az előző elem ugyanannyiszorosa, mértani sorozatnak nevezzük. - Definíció: Az (an) sorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan a és q szám, hogy a1 = a és a n+1 = a n q - Ha egy (an) mértani sorozat kezdőtagja a1, hányadosa (kvóciense) q, akkor a sorozat a 2 = a 1 q, a 3 = a 2 q = a 1 q 2, a 4 = a 3 q = a 1 q 3, a n = a 1 q n 1 - Ha q 0, akkor a mértani sorozat első n tagjának összege: S n = a 1 qn 1 - Ha q = 1, akkor az összegképletet nem tudjuk használni. Mivel q = 1 esetén a mértani sorozat minden tagja a1, így S n = n a 1. q 1

- A sorozat bármelyik tagjának négyzete megegyezik szomszédainak szorzatával: pl. a) b) Mennyi a sorozat első 5 tagjának összege? c) Tagja-e a sorozatnak a 3072, ha igen, akkor hányadik? a) a6 = a5*q tehát 192 = 96*q, azaz q = 2 a 6 = a 1 q 5 b) S 5 = a 1 q5 1 q 1 192 = a 1 32 a 1 = 6 S 5 = 6 32 1 = 6 31 = 186 2 1 c) 3072 = 6 2 n 1 512 = 2 n 1 exponenciális egyenlet!!! 2 9 = 2 n 1 (mivel az exp. függvény szigorúan monoton) 9 = n-1 10 = n Tehát tagja a sorozatnak, méghozzá a 10. tagja. Kamatszámítás: pl. Év elején 20000 Ft-ot helyezünk el a bankban évi 4%-os kamatra. a) Mennyi pénzünk lesz a bankban 5 év múlva? b) Mennyi idő alatt kétszereződik meg a pénzünk? a) q = 100+4 100 = 1,04 1 év múlva: 20000 1,04 2 év múlva: (20000 1,04) 1,04 = 20000 1,04 2 3 év múlva: (20000 1,04 2 ) 1,04 = 20000 1,04 3... 5 év múlva: (20000 1,04 4 ) 1,04 = 20000 1,04 5 = 24333,06 b) Az előbbi elgondolást folytatva: n év múlva: 20000 1,04 n Az akarjuk, hogy megkétszereződjön a pénzünk, tehát azt az n-t keressük, amire: 20000 1,04 n = 40000 / :20000 1,04 n =2 / exponenciális egyenlet, de nem tudjuk a 2-t 1,04 hatványaként felírni, tehát vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát lg1,04 n = lg2 A logaritmus azonosságainak felhasználásával: n lg1,04 = lg2 / :lg1,04 n = lg2/lg1,04 = 17,67 Azaz 18 év alatt kétszereződik meg a pénzünk.

TÉRGEOMETRIA FELSZÍN- ÉS TÉRFOGATSZÁMÍTÁS Területszámítás Ha a háromszög oldalai a, b és c, és ezekkel szemközti szögek rendre α, β és γ ma az a oldalhoz tartozó magasság γ, az a és b oldal által közre zárt szög R, a háromszög köré írt körének sugara s, a háromszög kerületének fele n - oldalú szabályos sokszög: felbontható egybevágó háromszögekre T = n T háromszög

A testek felszíne és térfogata T = T körcikk T háromszög

LOGIKA A kijelentés olyan mondat, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis. Az egyszerű kijelentések többnyire egyszerű kijelentő mondatok, amelyekben nincsenek logikai műveletek. Pl. Süt a nap./ Kati Zalában született. / Minden ember halandó./ Van gyűrűs bolygó a naprendszerben. Összetett kijelentések összetett mondatokban jelennek meg. Pl. Esik az eső és fúj a szél./ Kovács vagy Mészáros lőtt. Ezek olyan állítások, amelyeket az ÉS, illetve a VAGY szavak kapcsolnak össze. A tagadás olyan logikai művelet, amely egy kijelentés igazságértékét ellentettjére változtatja: a tagadás igazból hamisat, hamisból igazat csinál. Pl. Kijelentés: 3 osztója 2004-nek. (i) Tagadás: 3 nem osztója 2004-nek. (h) vagy Nem igaz, hogy 3 osztója 2004-nek. (h) vagy Nem áll fenn, hogy 3 osztója a 2004-nek. (h) vagy Nem teljesül, hogy 3 osztója a 2004-nek. (h) vagy Hamis az, hogy 3 osztója a 2004-nek. (h) Minden ember matematikus. Tagadás: Van olyan ember, aki nem matematikus. Van olyan kutya, amelyik nyávog. Tagadás: Minden kutyára igaz, hogy nem nyávog. Azaz: Egyik kutya sem nyávog. Pl. Minden fiú szereti a focit. Válassza ki a fenti állítás tagadását az alábbiak közül! A) Van olyan fiú, aki szereti a focit. B) Nincs olyan fiú, aki szereti a focit. C) A lányok szeretik a focit. D) Van olyan fiú, aki nem szereti a focit. E) A lányok nem szeretik a focit. Megoldás: D