Miért van az, hogy a legtöbben a szöveges feladatokkal nem boldogulnak? Részletek a szövegértést fejleszt, kidolgozott feladatlapokból
Elszó 0 éves személyes tapasztalataim azt mutatják, hogy a tanulóknak egyre kevesebb idejük marad arra, hogy olvassanak. Az információt a legrövidebb id alatt kell megszerezniük, ezért a különböz online kereskbl egyszeren kimásolják a szükséges anyagokat és kész Azonban ha olyan helyzetbe kerülnek, hogy egy szöveg lényeges mondanivalóját megértsék, akkor Miért van az, hogy a legtöbben a szöveges feladatokkal nem boldogulnak? A válasz egyszer: nem alakult ki a megfelel szövegértés. (amikor valaki idegen nyelv szöveget olvas úgy, hogy a szavakat egymás után elolvassa, de semmit nem ért belle). A következ oldalakon néhány részletet találsz abból a több száz feladatlapból, amelyek a lazamatek.hu oldalon találhatók, és a szövegértés kialakítására szolgálnak. A feladatlapokat csak olvasni kell, a Négyjegy függvénytáblázat segítségével, majd lépésrl lépésre követni a levezetéseket úgy, hogy közben egy tollal vagy ceruzával a kezünkben jegyzetelünk. A példákhoz szükséges összes magyarázat és képlet is mellé van írva, amik a Négyjegy függvénytáblázatban is szerepelnek. Továbbá minden feladathoz vannak gyakorló példák, így más számokkal is lehet birkózni. Nincs több meglepetés a dolgozatírásnál sem! A dolgozatírásnál és az érettségin már a függvénytáblázat használata mellett a példamegoldás is rutin lesz, és ezzel a tudással már komoly eséllyel tudsz harcba szállni. Ne feledd: aki akar, az képes! Javaslatom: ne higgy el mindent, amit itt leírtam! Azonban azt kérem, hogy próbáld ki, hogy mködik e. Ha mködik, akkor használd, ha nem, akkor gyorsan felejtsd el! Sok sikert és jó tanulást kívánok! Kiss János
Részlet a Térgeometria 4 feladatlapból 1. Egy téglatest térfogata 5184 cm³, az egyik csúcsában összefutó éleinek aránya : 3 : 4. Mekkora a téglatest felszíne? Megoldás: 1. lépés: Nézzük a rajzot! Adatok: Az A csúcsot válasszuk a téglatest egyik csúcsának. A három él : a, b és c. Ezek valóban az A csúcsban futnak össze. A téglatest térfogata: V = 5184 cm³ Tudjuk, hogy a térfogat: V = alapterület testmagasság = At b At = a c (a fels téglalap területe, vagyis a téglatest teteje) V = a b c 5184 = a b c. lépés: Jelöljük az egységet -el! Akkor az oldalak: b = mert ez a legrövidebb a = 3 mert ez a közepes hosszúságú c = 4 mert ez a leghosszabb 3. lépés: Az így kapott mennyiségeket helyettesítsük be az 5184 = a b c egyenletbe!
5184 = 3 4 3 5148 = 4 : 4 16 = = 6 3 3 Az egység (vagyis az ) 6-al egyenl, tehát az oldalak: b = = 6 = 1 cm a = 3 = 3 6 = 18 cm c = 4 = 4 6 = 4 cm 4. lépés: A téglatest felszíne a határoló téglalapok területeinek az összege! Mivel minden lapból kett egyforma van, így a következ módon kell felírni az egyenletet: A = (A t + T 1 + T ) A téglatest tehát a következ: = ( t + 1 + ) = ( a c) ( a b) ( b c) A A T T = + + = ( ) ( ) ( ) ( ) = 18 4 + 18 1 + 1 4 = 43 + 16 + 88 = = 936 = 187 cm 3 A téglatest felszíne tehát 187 cm³ 1. Gyakorló feladat: a; Egy téglatest térfogata 3000 cm³. Az egyik csúcsában összefutó éleinek aránya: : 3 : 4. Mekkora a téglatest felszíne? (A = 1300 cm ; a = 15 cm; b = 10 cm; c = 0 cm)
b; Egy téglatest térfogata 0 580 cm³. Az egyik csúcsában összefutó éleinek aránya: 3 : 4 : 5. Mekkora a felszíne? (A = 4606 cm ; a = 8 cm; b = 1 cm; c = 35 cm) c; Egy téglatest térfogata 16 464 cm³. Az egyik csúcsában összefutó éleinek aránya: 1 : : 3. Mekkora a felszíne? ( A = 431 cm ; a = 8 cm; b = 14 cm; c = 4 cm) Részlet az Algebrai törtek 4 feladatlapból 5. Oldd meg a következ feladatot! 5 + 5 3 9 : =? Megoldás: 1. lépés: A törtek között álló osztás jel miatt, a jobb oldali tört reciprokát vesszük, vagyis megfordítjuk a törtet, és kicseréljük a számlálót a nevezvel, így a két kifejezés közé már szorzás jel kerülhet! 5 5 5 : + 9 = 3 9 3 + 5. lépés: A következkben már az elz feladathoz hasonlóan járunk el! Megnézzük a számlálókat és a nevezket, hogy milyen kiemeléseket illetve nevezetes szorzatokat használhatunk fel annak érdekében, hogy egyszerbb kifejezést kapjunk! Kezdjük elször az els tört számlálójával! Nevezetes azonosságot találtunk! 5 3 9 + 5 ( 5)( + 5) 5 = 5 = 3. lépés: Mi a helyzet az els tört nevezjével? Emeljünk ki et!
5 9 3 + 5 ( ) 3 = 3 4. lépés: Következ lépésként, a második tört számlálóját vizsgáljuk! Alkalmazzuk a. lépében bemutatott azonosságot! 5 9 3 + 5 = = 9 3 3 ( )( + 3) 5. lépés: Mi a helyzet a második tört nevezjével? Szintén emeljünk ki et! 5 9 3 + 5 ( ) + 5 = + 5 6. lépés: Az eredeti kifejezésbe, annak is a szorzattá alakított formájába, helyettesítsük be, az elz lépésekben kapott, kerettel ellátott kifejezéseket! ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 5 + 5 3 + 3 5 9 = 3 + 5 3 + 5 7. lépés: Keresztben tudunk egyszersíteni! Gyakorló feladatok ( 5) ( + 5) ( 3) 5. Oldd meg a következ feladatot! ( 3) ( + 3) ( + 5) A feladatot tehát megoldottuk! = ( 5)( + 3) + a.) : =? 49 7 5 5 + b.) : =? 64 8 7 49 9 + 3 c.) : =? 4 ( 7)( + 5) ( 8)( + 7) ( 3)( + )
Részlet az Koordináta geometria 3 feladatlapból 3. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái A(- 4 ; 6), B(3 ; -4) és a C(5 ; 6). Hol metszi a C csúcsból induló magasságvonal a koordináta tengelyeket? Megoldás: 1. lépés: El kell készítenünk a feladat megoldásához szükséges ábrát! Az ábrából láthat, hogy az m c magasságvonal merleges az AB oldalra. Az elz feladathoz hasonlóan itt is elállítjuk az AB irányvektort: A( 4 ; 6) és B(3 ; 4) AB 3 4 ; 4 6 dinátáit AB 7 ; 10 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ). lépés: Tehát az AB( 7 ; 10) { A végpont B koordinátáiból kivonom a kezdpont A koor } irányvektor lesz az m c normálvektora! n ( 7 ; 10) A normálvektor els száma (koordinátája) lesz az A, míg a második a B!
3. lépés: Ismerjük most már a magasságvonal normálvektorát, és ha megnézzük az ábrát, az átmegy a C(5 ; 6) csúcsponton (hiszen onnan indul ki), ezért a Négyjegy függvénytáblázat -ban is megtalálható, egyenes normálvektoros egyenletébe be tudunk helyettesíteni! A + By = A + By 0 0 A + By = A + By 0 0 ( ) y ( ) 7 + 10 = 7 5 + 10 6 7 10y = 35 60 7 10y = 5 Az "m " magasságvonal egyenlete! c 4. lépés: Most nézzük meg, hogy a magasságvonal hol metszi az y tengelyt! Ilyenkor az a lényeg, hogy ott van a metszéspont, ahol az koordináta egyenl 0 -val! Tehát az y tengely metszéspontja, amit elneveztünk M -nek, a következképpen írható fel: 5. lépés: Most pedig az m c magasságvonal egyenletébe( 7 10y = 5) helyettesítsük be az M ( ) y 0 ; y metszéspont koordinátáját, azaz a 0 -át! 7 10y = 5 7 0 10y = 5 6. lépés: Ebbl az egyismeretlenes egyenletbl kiszámítható az y! 7 0 10y = 5 0 10y = 5 10y = 5 : 10 5 y = =,5 y =,5 10
Tehát az M y metszéspont a függleges tengelyt az y =,5 pontban metszi! Ennek koordinátái: M y (0 ;,5) 7. lépés: Most nézzük meg, hogy ugyanez a magasságvonal, hol metszi az tengelyt! Ennek a pontnak a koordinátái a következképpen írhatók fel: Ilyenkor tehát az a lényeg, hogy ott van a metszéspont, ahol az y koordináta egyenl 0 -val! Megint behelyettesítünk az m c magasságvonal egyenletébe( 7 10y = 5) : 7 10y = 5 7 10 0 = 5 Ebbl az egyismeretlenes egyenletbl kiszámítható az! 7 10 0 = 5 7 0 = 5 7 = 5 : 7 5 5 = = 7 7 5 Tehát az M c metszéspont a vízszintes tengelyt az = pontban metszi! Ennek 7 5 koordinátái: M ; 0 7 E két metszéspont tehát a feladat megoldásai! 3. Gyakorló feladatok Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái a következk: a; A( - ; 5 ) ; B( 0 ; 1 ) ; C( 5 ; 6 ) { M(-7 ; 0) } { M(0 ; 3,5) } b; A( -5 ; 6 ) ; B( -1 ; ) ; C( 3 ; 6 ) { M(-3 ; 0) } { M(0 ; 3) } c; A( -4 ; 3 ) ; B( - ; 5 ) ; C( 6 ; 6 ) { M(1 ; 0) } { M(0 ; 1) } Mindhárom esetben számítsd ki, hogy hol metszi a C csúcsból induló magasságvonal a koordinátatengelyeket!
Részlet a Szögfüggvények 1 feladatlapból 5. Egy derékszög háromszög rövidebb befogója a = 8cm. Az átfogó hossza c = 0cm. Határozd meg a háromszög szögeit és a hiányzó oldal hosszát! Megoldás: 1. lépés: készítsük el a megfelel ábrát a megfelel adatok feltüntetésével:. lépés: Látható, hogy az α -val szembeni befogó van megadva. a = 8cm. A szöggel szembeni befogó miatt a szinusz szögfüggvényt írjuk fel és ebbl kiszámítjuk az α -t. Nézzük a megadott β -ra vonatkozóan a szinusz szögfüggvény szabályát. A szinusz alapszabálya a következ: α szöggel szembeni befogó sin α = szsz átfogó α - val szembeni befogó a sin α = = átfogó c a 8 sin α = sin α = c 0 8 sin α = = 0, 4 α = 3,578 0 3. lépés: most használjuk fel az α koszinusz szögfüggvényét is a b oldal kiszámításához:
szög melletti befogó cos = α α átfogó = b c b b cos α = cos 3,578 = c 0 b cos 3,578 = / 0 0 0 cos3,578 = bb = 0 0,9165 18,33cm Természetesen kiszámolhatjuk az β szöget is, mert tudjuk, hogy a háromszög bels szögeinek az összege 180 : 5. Gyakorló feladatok α + β + 90 = 180 3,578 + β + 90 = 180 β +113,578 = 180 / -113,578 β = 66, 4 5. a. Egy derékszög háromszög rövidebb befogója a = 6cm. Az átfogó hossza c = 0 cm. Határozd meg a háromszög szögeit és a hiányzó oldal hosszát! (α = 17,457 ; b = 19,07 cm; β = 7,543 ) 5. b. Egy derékszög háromszög rövidebb befogója a = 14cm. Az átfogó hossza c = 46 cm. Határozd meg a háromszög szögeit és a hiányzó oldal hosszát! (α = 17,71 ; b = 43,819 cm; β = 7,9 ) 5. c. Egy derékszög háromszög rövidebb befogója a = 10cm. Az átfogó hossza c = 36 cm. Határozd meg a háromszög szögeit és a hiányzó oldal hosszát! (α = 16,17 ; b = 34,583 cm; β = 73,873 ) Részlet a Szögfüggvények 1 feladatlapból 5. Egy 545 cm hosszú kötelet szeretnénk fonni. Az els nap 3cm-t fonunk, majd minden nap az elz napinál 7cm-rel hosszabb darabot készítünk, akkor hány nap alatt készül el a kötél?
Megoldás: 1. lépés: Ebben a feladatban a számtani sorozat szöveges alakban történ megadása látható. A megoldás kulcsfontosságú menete, hogy a szöveget megfelelen értelmezve az adatokat a számtani sorozat valamelyik elemével azonosítsuk. Magyarul: meg kell határoznunk, hogy a fenti adatok a számtani sorozat mely adatai! Ha az egyes napokon font kötéldarabok hosszát összeadjuk, akkor a kötél teljes hosszát kapjuk. Tehát az egyes napokon font darabok a számtani sorozat egymást követ tagjai. Az els napon font darab az els elem, a második napon font a sorozat második eleme. Mivel tudjuk, hogy naponta az elz napinál 7cm-rel többet fonunk, így a 7 lesz a differencia. A magyarázat alapján vegyük fel az adatokat: Az els elem: a 1 = 3, a differencia: d = 7, S n = 545.. lépés: Azt azonban nem tudjuk, hogy ez a sorozat hány elembl áll, ezért ez lesz az n. Vagyis, azt kell meghatározni, hogy 3-tól kezdve 7-tel növelve a számokat, mikor fogunk 545 t kapni! A számtani sorozat n darab elem összegére az alábbi definíciót használhatjuk: n Sn = a1 + n 1 d ( ( ) ) Helyettesítsük be azt ismert adatokat a fenti összefüggésbe: n 545 = ( 3 + ( n 1) 7) n 545 = ( 46 + 7n 7 ) / 1090 = n 39 + 7n ( ) 1090 = 39n + 7n Tehát a következ másodfokú egyenletet kell megoldani, 0 ra rendezés után: 7n + 39n 1090 = 0 3. lépés: A megoldó képlet segítségével megoldjuk az egyenletet: n 1 ( ) ( ) 39 + 39 4 7 1090 39 + 179 140 = = = = 10 7 14 14
Azért elegend csak a megoldó képlet összeadás jelével dolgoznunk, mert nekünk most csak a pozitív megoldás kell, mert az n a napok számát jelöli. S ugye negatív napok száma nem létezik. 4. lépés: A feladat megoldásaként 10 adódott. Tehát, ha a fenti ütemezés szerint fonjuk a kötelet, akkor 10 nap alatt készülünk el a munkával. A feladatot tehát sikeresen megoldottuk. 5. Gyakorló feladatok a; Egy sálat kötünk. Az els nap megkötünk 15cm-t, majd minden nap az elznél 5cmrel hosszabbat. A sál hosszát 315cm-re terveztük. Hány nap alatt lesz kész a sál? (n = 9 nap) b; Gyalogtúrán veszünk részt. Az els nap 3 km-t gyalogoltunk, majd minden nap az elz napi távnál 4 km-rel több utat teszünk meg. A túra teljes távja 96 km. Hány napos a túra? (n = 8 nap) c; Vízi túrán indulunk el. Az els napon 16 km-t eveztünk, majd minden nap az elz napi távnál 5 km-rel többet kajakoztunk. Összesen 451 km-t tettünk meg. Hány napos volt a túra? (n =11 nap) Részlet a Szögfüggvények 1 feladatlapból 3. Két zsebemben összesen 35 Ft van. Ha az egyik zsebbl átrakok 10 Ft-t a másikba, akkor a másik zsebemben 6-szor annyi pénz lesz, mint az elsben. Mennyi pénzem volt eredetileg a zsebeimben?
Megoldás: 1. lépés: minden esetben célszer készíteni egy rajzos vázlatot, amiben az egyes mveletek logikai sorrendjét tudjuk követni: Ha megvan, hogy összesen 35 Ft van a két zsebben, ezt így célszer jelölni:. lépés: az egyik zsebembl átrakok 10 Ft-t a másik zsebembe, ekkor az egyik zsebemben 10 Ft-tal kevesebb lesz, és a másik zsebemben 10 Ft-tal több lesz. Ezt így tudjuk jelölni: 3. lépés: szeretnénk egyenlvé tenni a két zsebben lev golyók számát azért, hogy egyenletet tudjunk megoldani. Ezt úgy tudjuk megtenni, hogy a többet elosszuk 6-al, vagy a kevesebbet megszorozzuk 6-al. Most azt válasszuk azt, hogy a kevesebbet szorozzuk 6-al: 4. lépés: végül oldjuk meg az egyenletet! ( ) = 35 6 10 + 10 ( ) 6 10 = 35 + 10 6 60 = 45 / + 7 60 = 45 / +60 7 = 105 / : 7 = 15 Tehát az egyik zsebemben 15 Ft volt, a másikban pedig 35 15 = 0 Ft.
3. Gyakorló feladat a.) Két zsebemben összesen 4 Ft van. Ha az egyik zsebbl átrakok 3 Ft-t a másikba, akkor a másik zsebemben -szer annyi pénz lesz, mint az elsben. Mennyi pénzem volt eredetileg a zsebeimben? (17Ft és 5Ft) b.) Két zsebemben összesen 80 Ft van. Ha az egyik zsebbl átrakok 6 Ft-t a másikba, akkor a másik zsebemben 3-szor annyi pénz lesz, mint az elsben. Mennyi pénzem volt eredetileg a zsebeimben? (6Ft és 54Ft) c.) Két zsebemben összesen 96 Ft van. Ha az egyik zsebbl átrakok 16 Ft-t a másikba, akkor a másik zsebemben 3-szor annyi pénz lesz, mint az elsben. Mennyi pénzem volt eredetileg a zsebeimben? (40Ft és 56Ft)