Mechatronika Modul 1-4

Mechatronika Modul 1-4 Jegyzet (Elképzelés) Alapismeretek Interkulturális kompetencia Projektmenedzsment Folyadékok Elektromos meghatók És vezérlések EU-Projekt: 2005-146319 MINOS, 2005-2007 Európai elképzelés a globális ipari termelésben résztvevő szakemberek mechatronika témakörben történő továbbképzéséről Az Európai Bizottság támogatást nyújtott ennek a projektnek a költségeihez. Ez a kiadvány (közlemény) a szerző nézeteit tükrözi, és az Európai Bizottság nem tehető felelőssé az abban foglaltak bárminemű felhasználásért. www.minos-mechatronic.eu

A szakmai anyag elkészítésében és kipróbálásában az alábbi magáncégek és intézmények vettek részt Chemnitz-i Műszaki Egyetem, Szerszámgépek és Gyártási Folyamatok Intézete, Németország Projektvezetés Corvinus Egyetem, Információtechnológiai Intézet, Magyarország Stockholm-i Egyetem, Szociológiai Intézet, Svédország Wroclaw-i Műszaki Egyetem, Gyártástechnológiai és Automatizálási Intézet, Lengyelország Henschke Consulting Drezda, Németország Christian Stöhr Unternehmensberatung, Németország Neugebauer und Partner OHG Drezda, Németország Korff Isomatic sp.z.o.o. Wroclaw, Lengyelország Euroregionális Ipari és Kereskedelmi Kamara Jelenia Gora, Lengyelország Dunaferr Dunaújváros, Magyarország Knorr-Bremse Kft. Kecskemét, Magyarország Nemzeti Szakképzési Intézet Budapest, Magyarország Tartalom: Jegyzet, munkafüzet és oktatói segédlet az alábbi témakörökhöz Modul 1: Alapismeretek Modul 2: Interkulturális kompetencia, Projektmenedzsment Modul 3: Folyadékok Modul 4: Elektromos meghajtók és vezérlések Modul 5: Mechatronikus komponensek Modul 6: Mechatronikus rendszerek és funkciók Modul 7: Üzembehelyezés, biztonság, teleservice Modul 8: Távkarbantartás és távdiagnosztika További információ: Technische Universität Chemnitz Institut für Werkzeugmaschinen und Produktionsprozesse (Chemnitz-i Műszaki Egyetem, Szerszámgépek és Gyártási Folyamatok Intézete) Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Prof. E.h. Dr.-Ing. E.h. Reimund Neugebauer Prof. Dr.-Ing. Dieter Weidlich Reichenhainer Straße 70, 09107 Chemnitz, Deutschland Tel.: +49(0)0371 531-23500 Fax: +49(0)0371 531-23509 Email: wzm@mb.tu-chemnitz.de Internet: www.tu-chemnitz.de/mb/werkzmasch

Mechatronika Modul 1: Alapismeretek Jegyzet (Elképzelés) Készítették: Matthias Römer Chemnitz-i Műszaki Egyetem, Szerszámgépek és Gyártási Folyamatok Intézete, Németország Cser Adrienn Corvinus Egyetem, Információtechnológiai Intézet, Magyarország EU-Projekt: 2005-146319 MINOS, 2005-2007 Európai elképzelés a globális ipari termelésben résztvevő szakemberek mechatronika témakörben történő továbbképzéséről Az Európai Bizottság támogatást nyújtott ennek a projektnek a költségeihez. Ez a kiadvány (közlemény) a szerző nézeteit tükrözi, és az Európai Bizottság nem tehető felelőssé az abban foglaltak bárminemű felhasználásért. www.minos-mechatronic.eu

Alapismeretek - Jegyzet Minos Tartalom 1 Műszaki matematika...7 1.1 Alapműveletek...7 1.2 Törtek...10 1.3 További matematikai műveletek...13 1.4 A kettes számrendszer...17 1.4.1 Kettes számrendszer a számítógépben...19 1.5 Számolás változókkal...20 1.6 Százalékszámítás...22 1.6.1 Kamatszámítás...22 1.7 Geometria...24 1.7.1 Szögek...24 1.7.2 Négyszögek...26 1.7.3 Háromszögek...27 1.7.4 Szögfüggvények...31 1.7.5 A kör...32 1.7.6 Testek...33 2 Műszaki fizika...37 2.1 A fizika alapjai...37 2.1.1 Fizikai mennyiségek és mértékegységeik...37 2.1.2 Fizikai képletek...38 2.2 Erő...39 2.2.1 Erők összegzése...40 2.2.2 Erők komponensekre bontása...43 2.3 Forgatónyomaték...44 2.4 Erő- és nyomatékegyensúly...45 2.5 Emelő...46 2.6 Nyomás...47 2.6.1 Erőáttétel...49 2.6.2 Nyomásáttétel...51 2.6.3 Gáztörvény...52 2.6.4 Áramló közegek...53 2.7 Feszültség...54 2.8 Súrlódás...55 2.9 Út, sebesség és gyorsulás...57 3

Alapismeretek - Jegyzet Minos 2.9.1 Egyenletes mozgás...57 2.9.2 Gyorsuló mozgás...58 2.9.3 Mozgó testre ható erő...60 2.10 Forgó mozgás...62 2.10.1 Szögsebesség...64 2.10.2 Szöggyorsulás...64 2.11 Munka, energia és teljesítmény...65 2.11.1 Munka...65 2.11.2 Energia...68 2.11.3 Energiamegmaradás...70 2.11.4 Teljesítmény...70 2.11.5 Hatásfok...71 2.12 Hőtan...72 2.12.1 Hőmérséklet...72 2.12.2 Testek tágulása...73 2.12.3 Gázok tágulása...74 2.12.4 Hőenergia és hőkapacitás...75 3 Műszaki rajz...77 3.1 A műszaki rajz alapjai...77 3.1.1 A műszaki rajz, mint a technika kommunikációs eszköze...77 3.1.2 Rajzok...78 3.1.3 Papírméretek...80 3.1.4 Feliratok és darabjegyzék...82 3.1.5 Méretarány...83 3.2 Műszaki ábrázolás...85 3.2.1 Ábrázolás nézetekkel...85 3.2.2 Vonalfajták és vonalvastagságok...86 3.2.3 Ábrázolás metszetekkel...87 3.3 Méretmegadás...89 3.3.1 Méretvonalak, méretsegédvonalak, és méretszámok...89 3.3.2 A méretszám kiegészítő jelölései...90 3.4 Felületi minőség...91 3.4.1 A felületminőség feltüntetése a műszaki rajzon...93 3.5 Alak- és helyzet tűrések...95 3.5.1 Mérettűrés...98 4

Alapismeretek - Jegyzet Minos 3.5.2 Illesztés... 101 3.6 A műszaki rajz és a számítógép... 102 3.6.1 CAD... 102 3.6.2 Numerikusan vezérelt berendezések... 104 5

6 Alapismeretek - Jegyzet Minos

Alapismeretek - Jegyzet Minos 1 Műszaki matematika 1.1 Alapműveletek A matematikai alapműveletek az összeadás, a kivonás, a szorzás és az osztás. Fontos Az összeadás és a kivonás egyenrangú művelet. Ugyanígy, az osztás és a szorzás is egyenrangú, ám ez a két művelet magasabb rendű az első kettőnél, ezért az osztást és a szorzást az összeadás és a kivonás előtt kell elvégezni. A szorzás tekinthető azonos számok sorozatos összeadásának is: így tehát 3+3+3+3 eredménye megegyezik 4 3 eredményével. A szorzást néha, néha azonban * jelöli. Ez a két jel egyenértékű, és ugyanazt a műveletet jelzi. Ugyanazon szám többszöri összeszorzása megfelel a hatványozásnak: tehát 3 3 3 3 eredménye megegyezik 3 4 eredményével. Fontos A hatványozás magasabb rendű, mint a szorzás és az osztás, így azok előtt kell elvégezni. Fontos Ennél is magasabb rendű műveletet jelöl a zárójel. Mindig a zárójelben álló műveleteket kell először elvégezni! Példa 3 + 5 = 8 12 5 = 7 3 5 = 15 20:4 = 5 4 + 2 3 = 4 + 6 = 10 (4 + 2) 3 = 6 3 = 18 Megjegyzés Egyszerűbb műveleteket fejben is elvégezhetünk, azonban gyakran használunk számológépet is. Itt érdemes figyelembe venni, hogy a legtöbb egyszerűbb számológép a műveleteket egymás után végzi el, figyelmen kívül hagyva a műveletek rendjét, mely megváltoztathatja a műveleti sorrendet. Vannak azonban olyan számológépek is, melyek képletek feldolgozására is képesek. Ennek ellenére azonban a műveleti szabályok betartásáért végeredményben mégis az ember felel. Ismeretlen számológépek esetén ezért érdemes számítás előtt kipróbálni, vajon a készülék betartja-e a műveleti szabályokat, vagy egyszerűen egymás után kivitelezi a megadott utasításokat. Feladat Oldja meg a munkafüzet 1. feladatát! 7

Alapismeretek - Jegyzet Minos Kivonáskor előfordulhat, hogy a kivonandó (második tag) értéke nagyobb, mint az első érték. Ebben az esetben az eredmény negatív, ezt a szám előtti mínuszjel jelöli. A pozitív számokat jelölő pluszjelet ezzel szemben elhagyhatjuk. A kavarodás elkerülésére, ha egy műveleti jelet negatív szám, azaz mínuszjel követ, a negatív számot zárójelbe tesszük. Ugyanez érvényes a pluszjelre is, ha úgy döntünk, hogy kiírjuk a szám elé. Az összeadás és a kivonás esetén a két azonos előjelet egyetlen pluszjellé foglalhatjuk össze. Ha azonban a műveleti jel és az előjel különbözik, ezek mínusszá vonhatók össze. Ez minden zárójel esetén egyenként elvégzendő. Példa 8 14 = -6 4 + (+5) = 4 + 5 = 9 4 - (-5) = 4 + 5 = 9 5 - (+4) = 5 4 = 1 5 + (-4) = 5 4 = 1 Feladat Oldja meg a munkafüzet 2. feladatát! Ha egy zárójelen belül több összeadandó tag is található, a zárójel eltávolításakor minden előjelet egyenként kell meghatároznunk. Példa -(5 + 6) = -5 + (-6) = -5 6 = -11 -(5 6) = -5 + (+6) = -5 + 6 = 1 -(a+ b+ c) = -a + (-b) + (-c) = -a b c -(-a +b c) = +a + (-b) + (+c) = a b +c Feladat Oldja meg a munkafüzet 3. feladatát! A szorzás és osztás esetén két megegyező előjel szintén plusszá, két ellentétes előjel szintén mínusszá alakul. Példa (+5) (+6) = +30 (-5) (-6) = +30 (+5) (-6) = -30 (-18):(-6) = +3 (-18):(+6) = -3 Feladat Oldja meg a munkafüzet 4. feladatát! Az összeadás és a szorzás esetén a két tag sorrendje felcserélhető. Ezt nevezik kommutativitásnak. Általánosan kifejezve: 8

Alapismeretek - Jegyzet Minos a + b = b + a a b = b a Ezen kívül erre a két műveletre szintén érvényes, hogy több azonos művelet esetén ezek sorrendje tetszőleges. Ez az asszociativitás. Ebben az esetben a zárójelet el is hagyhatjuk. a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c Ha a zárójelben egy összeadás áll, és a zárójelet valamely értékkel megszorozzuk, a disztributivitás lép életbe. A zárójel minden értékét külön be kell szoroznunk. a (b + c) = a b + a c Ha két összeszorzandó zárójelben több összeadandó tag is áll, minden tagot minden másik taggal össze kell szoroznunk. Ha változókkal dolgozunk, gyakran el is hagyjuk a szorzás jelét. (a + b) (c + d) = a (c + d) + b (c + d) = ac + ad + bc + bd Ezt a számítást grafikusan is ábrázolhatjuk (1. ábra). Két szakasz (a + b) és (c + d) összeszorzása egy téglalap területét adja. Ez akkor is érvényes, ha a két szakasz egyenként két (vagy több) résszakaszból áll. A négy részterület együtt kiadja a nagy téglalap teljes területét. 1. ábra: A szorzás grafikus ábrázolása Ha a disztributivitás törvényét jobbról balra alkalmazzuk, ezt kiemelésnek nevezzük. Ha több összeg is tartalmaz azonos tagot, ezt kiemelhetjük egy zárójel elé, mely a maradék tagokat tartalmazza. 9

Alapismeretek - Jegyzet Minos Példa ab + ac = a (b + c) 15x 5y = 5 (3x y) Feladat Oldja meg a munkafüzet 5. feladatát! 1.2 Törtek Egy adott mennyiség azonos méretű csoportokra osztása nem mindig eredményez egész számokat. Például 6 almát oszthatunk 3 csoportba, itt minden csoport 2 almából áll majd, de egy alma három részre osztása már nem eredményez egész számot. Ezt felírhatjuk tört formájában is: 1 1 : 3 = 3 Ekkor a törtvonal felett található szám a számláló, alatta pedig a nevező helyezkedik el. A nevező adja meg, hány részre osztunk, a számláló pedig azt, hogy hányat osztunk. Az almás példára visszatérve lehetséges az is, hogy az almát 6 részre osztjuk, és minden csoportba két szeletet helyezünk. Matematikailag ekkor a számlálót és a nevezőt is megszoroztuk kettővel. Általánosan, ha a számlálót és a nevezőt azonos értékkel szorozzuk, azt törtbővítésnek nevezzük. A törtbővítés törtek összeadásánál és kivonásánál játszik fontos szerepet. Példa 1 3 = 2 6 = 3 9 = 10 30 A törtek egyszerűsítése ennek ellentéte, ekkor a számlálót és a nevezőt is ugyanazzal az értékkel osztjuk el. A bővítéshez hasonlóan ekkor sem változik a tört értéke, a változtatás csak formai, és a számítások megkönnyítésére irányul. Fontos A törteket nullával se nem bővíthetjük, se nem egyszerűsíthetjük! Feladat Oldja meg a munkafüzet 6. feladatát! Törteket csak akkor tudunk összeadni, illetve egymásból kivonni, ha nevezőjük megegyezik. Ha különböző nevezőjű törteket akarunk összeadni, bővítenünk kell az egyik, vagy mindkét törtet, hogy ne- 10

Alapismeretek - Jegyzet Minos vezőik megegyezzenek. Az így létrejövő nevező a közös nevező. Ekkor az egész számokat is tört formájában adjuk meg, ebben az esetben az egész szám a számláló, a nevező pedig 1. A közös nevezőre hozás után a törteket már összeadhatjuk, illetve kivonhatjuk egymásból. Ekkor a számlálókat adjuk össze, illetve vonjuk ki egymásból, a nevező pedig változatlan marad. Ha a közös nevező első ránézésre nem felismerhető, képezhető a két nevező összeszorzásával. Azonban az így létrejövő közös nevező nem feltétlenül a legkisebb közös nevező. Azonban az eredmény így is helyes. Példa 1 2 + 1 4 1 2 = + 2 2 1 4 = 2 4 + 1 4 2 + 1 = = 4 3 4 1 2 + 1 4 1 4 1 2 = + = 2 4 4 2 4 8 + 2 8 = 6 8 = 3 4 Az első esetben az első törtet 2-vel bővítettük, a közös nevező így 4 lett. Ezzel szemben a második példában a közös nevező 8, melyet a két nevező, 2 és 4 összeszorzásából kaptunk, majd a két törtet ennek megfelelően bővítettük. Végül az eredményt egyszerűsítettük. Mindkét példa eredménye, hogy egy fél és egy negyed alma összege egy teljes alma háromnegyede. Feladat Oldja meg a munkafüzet 7. feladatát! A törtek osztása és szorzása egyszerűbb, mint összeadásuk és kivonásuk, mert ekkor nem kell közös nevezőt meghatároznunk. A szorzáskor egyszerűen összeszorozzuk a két számlálót, és a két nevezőt, tehát egyszerűen összeköthetjük a két tört törtvonalát. Az összeszorzás előtt érdemes megvizsgálni, van-e lehetőség egyszerűsítésre, mivel kisebb számokkal egyszerűbb számolni. Példa 1 3 3 4 1 3 = = 3 4 1 4 Feladat Oldja meg a munkafüzet 8. feladatát! Az osztás a kivitelezés során szorzássá módosul: az osztó törtet invertálnunk kell, azaz egyszerűen megcseréljük a számlálót és a nevezőt. Az invertált törtet gyakran a tört reciprokának is nevezzük. Az osztáskor tehát az osztó reciprokával szorzunk. 11

Alapismeretek - Jegyzet Minos Példa 1 : 3 3 4 1 = 3 4 3 1 4 = = 3 3 4 9 Feladat Oldja meg a munkafüzet 9. feladatát! Törtek számológéppel való számolásakor ügyeljünk arra, hogy az egyszerűbb gépek nem teszik lehetővé a tört formában való számítást, ezért a műveleteket egymás után kell elvégeznünk (az eredmény pedig gyakran kerekített érték). 3 Példa = 0, 3 2 5 Ha az alábbi sorrendben adjuk gépeljük be a számokat, hibás eredményt kapunk: 3 : 2 5 = 7,5 Ez a számítás törtként így nézne ki: 3 5 = 7,5 2 Ez pedig eltér az eredeti törtünktől. Helyes eredmény elérése érdekében a számológépbe az alábbiakat kell begépelnünk: 3 : 2 : 5 = 0,3 Az 5-el való osztás eredete, hogy az 5 a nevezőben (alul) szerepel. Természetesen kiszámíthatjuk az értéket másképpen is: kiszámolhatjuk először a teljes nevezőt, majd a számlálót elosztjuk az így kapott értékkel. Ez a számítási mód követendő akkor is, ha a nevezőben összeadás szerepel: 3 Példa = 0,428571... 2 + 5 Itt a nevezőbeli összeadást, mint zárójelet kell figyelembe vennünk, azaz az osztás előtt el kell végeznünk az összeadást: 3 : (2 + 5) = 0,428571... A tört kiszámított értékét tizedestörtnek nevezzük. A tizedestört értékét az egyes számjegyek elhelyezkedése (helyiértéke) határozza 12

Alapismeretek - Jegyzet Minos meg. A vessző előtt balra állnak az 1-es, 10-es, 100-as, stb. helyiértékű számok, a vesszőtől jobbra pedig a tizedek, századok, ezredek, stb. Vannak olyan törtek, mint azt a fenti példa mutatja, ahol a tizedesjegyek számát csak a kijelző mérete korlátozza. További tizedesjegyeket meghatározva észre vehetjük, hogy a tizedesveszsző utáni első hat számjegy végtelenül ismétlődik. Ennek jelölésére a periodikusan visszatérő számok fölé vonalat húzunk: 3 = 7 0,428571 A megkívánt pontosságtól függően a tört értékét kerekíthetjük is. Ekkor az utolsó megtartandó számjegy változatlan marad, ha az őt követő számjegy értéke 0, 1, 2, 3, vagy 4. Ha azonban az őt követő számjegy 5, 6, 7, 8, vagy 9, az utolsó megtartandó számjegy értékét 1-el növeljük. A példában használt tört két és három tizedesjegyre történő kerekített értéke tehát: 3 0,43 7 3 0,429 7 A kerekítés természetesen bizonyos hibát visz a számításba. Általánosságban ezért a kerekített értékeket egy vagy kettővel több tizedesre adjuk meg, mint a számításban szereplő más számokat. 1.3 További matematikai műveletek Amint azt az alapműveletek esetében láttuk, a megegyező értékek ismételt összeadása a szorzásnak felel meg. Egy adott érték ismételt, önmagával történő összeszorzása a hatványozás. A hatvány alapja az a szám, melyet ismételten összeszorzunk önmagával. A kitevő adja meg, hogy a szorzást hányszor végezzük el. A geometriában egy négyzet A területét a két egyenlő oldal hosszának (a) összeszorzásával számítjuk ki. Egy kocka esetén a négyzetes alapterületet megszorozzuk a harmadik ugyanolyan hosszúságú oldallal, a magassággal. Így kapjuk meg a kocka térfogatát (V). A = a a = a 2 13

Alapismeretek - Jegyzet Minos V = a a a = a 3 Ennek megfelelően a mértékegységeket is össze kell szoroznunk, így a területet és a felületet m 2 -ben, a térfogatot pedig m 3 -ben adjuk meg. Példa Egy kocka oldalhossza 3m. Mekkora a kocka térfogata? V=3m 3m 3m = 27m 3 A kitevő azonban lehet tizedestört is. Erre majd a gyökök számításánál térünk ki részletesebben. Ha a kitevő negatív, pozitívvá változtathatjuk, ha az egész hatványt egy tört nevezőjébe helyezzük. 3-2 = 1/3 2 = 1/9 Fontos Tetszőleges alapú, 0 kitevőjű hatvány értéke 1. Fontos Tetszőleges, 1 kitevőjű hatvány értéke megegyezik a hatvány alapjával, azaz az összeszorzandó számmal. Példa 2 6 = 2 2 2 2 2 2 6 2 = 6 6 6 0 = 1 6 1 = 6 6-2 = 1/6 2 = 1/36 Feladat Oldja meg a munkafüzet 10. feladatát! Kiemelten fontos szerepet játszanak a tudományokban a 10 különböző hatványai, melyek segítségével különösen nagy, vagy kicsi számokat fejezünk ki. A tíz hatványainak kiszámítása nagyon egyszerű. A kitevő azt adja meg, az 1-es után hány 0-t kell írnunk. Másképpen, az 1-estől elindulva a kitevő értékének megfelelően kell jobbra eltolnunk a tizedesvesszőt. Negatív kitevő esetén a tizedesvesszőt az 1-eshez viszonyítva balra toljuk el. 10 6 = 1000000 10 2 = 100 10 0 = 1 10-2 = 0,01 10-3 = 0,001 14

Alapismeretek - Jegyzet Minos A nagyon kicsi és nagyon nagy számok jobb kezelhetősége érdekében gyakran a tíz hatványaival kombinálva fejezzük ki őket. Ekkor maga a szám egyszámjegyű, természetesen a szükséges tizedesjegyekkel, a tízes hatvány pedig azt adja meg, mennyivel kell eltolnunk a tizedesvesszőt. Lehetőség van arra is, hogy olyan tízes hatványokat használjunk, melyek kitevője osztható 3-al, azaz 3, 6 vagy 9, ill. 3, -6 és 9. Ezeket helyettesíthetjük a görögből származó előtagokkal. Ilyenek a kilo, mega, giga illetve a milli, mikro és a nano (megfelelő sorrendben). Példa 125000 = 1,25 10 5 = 125 10 3 0,000125 = 1,25 10-4 = 125 10-6 1km = 10 3 m = 1000m 1nm = 10-9 m = 0,000000001m Feladat Oldja meg a munkafüzet 11. és 12. feladatát! Nem minden számológép tud hatványozni. Az olyan számológépeket, amelyek ilyen és hasonló műveleteket is el tudnak végezni, tudományos számológépnek nevezzük. A gyakran használt x 2 és x 3 hatványok kiszámításához gyakran külön billentyűk állnak rendelkezésre. Más kitevőket az x y gomb segítségével adhatunk meg. A tízes hatványok számításához az EXP gombot használjuk. A számológép típusától függően a tízes hatványok kijelzésére külön rész áll rendelkezésre. Feladat Ismerkedjen meg számológépe bonyolultabb matematikai műveleteivel, és vigye be az előző gyakorlat számait. A hatványok összeadása csak akkor lehetséges, ha a két összeadandó hatvány alapja és kitevője is megegyezik. Ezt gyakran használjuk, ha változókkal számolunk. 2x 2 + 5x 2 = 7x 2 1,5a 7 + 3,6a 7 = 5,1a 7 Hatványok szorzása csak akkor lehetséges, ha a két szorzandó hatvány alapja vagy kitevője megegyezik. Azonos alap esetén a kitevőket adjuk össze, azonos kitevő esetén pedig összeszorozzuk az alapokat. 15

Alapismeretek - Jegyzet Minos a n a m = a (n+m) a n b n = (a b) n Ennek megfelelően az osztáskor az azonos alapú hatványok kitevőit kivonjuk egymásból, illetve az azonos kitevőjű hatványok alapjait elosztjuk egymással. a a a b m n n n = a (m n) a = b n A hatványok hatványozásakor a két kitevőt szorozzuk össze. Ily módon nagyon nagy, vagy nagyon kis számokat is írhatunk nagyon kompakt alakban. (a m ) n = a mn Példa x 2 x 3 = (x x) (x x x) = x (2+3) = x 5 X 5 x -2 = x (5-2) = x 3 X 5 y 5 = (x y) 5 12 a (12 ( 8)) 20 = a = a 8 a (10 10 ) 10 = 10 10 10 = 10 100, azaz egy 1-es 100db nullával. Feladat Oldja meg a munkafüzet 13. feladatát! Ha egy ismert területű négyzet oldalának hosszát szeretnénk kiszámítani, gyököt kell vonnunk. Ha a négyzet területe például 4m 2, oldalainak hossza 2m. Ebben az esetben a négyzetgyököt határoztuk meg. Ezt a számítást a következőképpen jelöljük: 4 = 2 A négyzetgyök meghatározásához tehát azt kell kiderítenünk, mely számot kell önmagával megszoroznunk ahhoz, hogy az adott értéket kapjuk. Mivel ez a művelet kézzel nehezen végezhető el, minden számológépen találunk gombot kiszámítására. A gyököt hatvány alakban is kifejezhetjük. A gyökjel helyett a kitevőt, mint a hatvány törtjét fejezzük ki. A kitevő tehát bármilyen tört lehet. Kitüntetett szerepe van a köbgyöknek, mivel ennek segítségével határozzuk meg egy ismert térfogatú kocka oldalhosszát. 3 27 = 27 1 3 = 3 Feladat Oldja meg a munkafüzet 14. feladatát! 16

Alapismeretek - Jegyzet Minos 1.4 A kettes számrendszer Az általunk használt tízes számrendszerben a 0 tól 9-ig terjedő 10 számjegyet használjuk. A 9-nél nagyobb számokat több számjegyből konstruáljuk, amikoris fontos ügyelnünk arra, mely számjegy hol helyezkedik el. Jobbról balra haladva nő a helyiérték: egyes, tízes, százas, stb. A százas helyiértéken álló szám értékét megszorozzuk 100-al, és ehhez hozzáadjuk a tízes helyiértéken álló szám tízzel megszorzott értékét, majd az egyes helyiértéken álló számot. Ez adja ki a szám végső értékét. Tehát: 325 = 3 100 + 2 10 + 5 = 3 10 2 + 2 10 1 + 5 10 0 Ez a számrendszer számunkra magától értetődő, hiszen 10 ujjunk van, melyek segítségével számolni tudunk. A tízes számrendszer mellett azonban más számrendszerek is lehetségesek. Például egy tucat 12 darabból áll. A nap kétszer 12 órából, egy óra 60 percből, egy perc pedig 60 másodpercből. A számítógépek belső számításai során a kettes számrendszert alkalmazzuk. Ekkor csak két számjegy, azaz állapot létezik, a 0 és az 1. A tévedések elkerülése érdekében az 1-et néha L-nek is írják. A kettes számrendszer nagy előnye, hogy a két állapotot nagyon könnyű fizikailag előidézni: folyik elektromos áram, vagy nem. Aktíve egy adott tárolóelem, vagy nem. Más lehetőség nem létezik. Mivel a kettes másképpen bináris számrendszer számai csak kétféle számjegyből állnak, hosszuk gyorsabban nő, mint a tízes számrendszer számai esetén, mint azt az alábbi példa mutatja: Tízes számrendszer Kettes számrendszer 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 10 1010 17

Alapismeretek - Jegyzet Minos 11 1011 12 1100 13 1101 14 1110 15 1111 A kettős számrendszer számai esetén is a számjegy helyzete adja annak helyiértékét, azonban itt a helyiérték a kettő hatványainak felel meg. A tízes számrendszerbeli 6-os kettes számrendszerbeli megjelenítése tehát: 110 = 1 2 2 + 1 2 1 + 0 2 0 = 1 4 + 1 2 + 0 1 Tehát a helyiértékek az 1, 2, 4, 8, 16, stb. Ha egy tízes számrendszerbeli számot kettes számrendszerre szeretnénk átszámítani, az eredeti számot elosztjuk 2-vel, és felírjuk a maradékot. Ezt addig folytatjuk, amíg az osztás eredménye 0 nem lesz. A feljegyzett számok a bináris szám fordított sorrendbeli megjelenítése. A 29 tehát: 29 osztva 2-vel 14 maradék: 1 14 osztva 2-vel 7 maradék: 0 7 osztva 2-vel 3 maradék: 1 3 osztva 2-vel 1 maradék: 1 1 osztva 2-vel 0 maradék: 1 A 29 kettes számrendszerbeli megjelenítése tehát 11101. Látható, hogy a páratlan tízes számrendszerbeli számok utolsó számjegye mindig 1. Ez abból adódik, hogy a páratlan számok 2-vel való osztása után a maradék mindig 1. Feladat Oldja meg a munkafüzet 15. feladatát! Fordítva, egy kettes számrendszerbeli szám tízes számrendszerbe való átírásakor meg kell határoznunk minden foglalt helyiérték értékét. Ezután a nem nulla értékeket összeszorozzuk helyiértékükkel, majd összeadjuk őket. A 11001 tízes számrendszerbe történő átszámítása tehát: 1 2 4 = 16 16 1 2 3 = 8 8 0 2 2 = 4 0 0 2 1 = 2 0 1 2 0 = 1 1 Az összeg: 25 Feladat Oldja meg a munkafüzet 16. feladatát! 18

Alapismeretek - Jegyzet Minos 1.4.1 Kettes számrendszer a számítógépben A számítógépek mindennapos használata során nemigen kerülünk kapcsolatba a kettes számrendszerrel. Más a helyzet azonban, ha magunk írunk programot, vagy programozható vezérlést (SPS) használunk. Ezért néhány alapismeret nem haszontalan. Egy egyetlen számjegyből álló kettes számrendszerbeli számot bitnek nevezünk. Egy bit értéke 0 vagy 1 lehet. Nyolc bit alkot egy bájtot (vagy angolosan írva byte-ot). Ez a nyolc számjegy tízes számrendszerből nézve 0 255 közötti értékeket írhat le. Kettes számrendszerben ez nyolc darab nullától nyolc darab egyesig terjed. A számítógépen belül minden szám és betű bájtként jelenik meg. Azt, hogy az egyes betűket mely bináris szám jelzi, az ASCII-kód (American Standard Code for Information Interchange, azaz az amerikai szabvány az információk kódolására) határozza meg. Például a nagy A kódja 01000001, tízes számrendszerben kifejezve tehát a 65. Mivel azonban a bináris számok nagyon hosszúak lehetnek, a számítástechnika egy másik számrendszert is használ. Ehhez egy bájtot két négytagú bitté osztunk fel, ezeket a négyes csoportokat hívjuk nibble -knek. Egy nibble, azaz négy bit, összesen 16-féle értéket írhat le. A nibblek egyetlen jellel való ábrázolása érdekében a hexadecimális (tizenhatos) számrendszert használjuk. Itt a számrendszer alapja ellentétben a tízes számrendszerbeli 10-el - a 16. Mivel azonban a hexadecimális számrendszer esetén 16 jelre van szükség, a 0 9 mellett az A F betűket is bevonjuk. A más számrendszerekkel való keverés elkerülése érdekében a szám után gyakran egy kis h betűt írunk. Az egy bájttal leírható számok tehát a különböző számrendszerek esetén: Bináris 0000 0000-től 1111 1111-ig Hexadecimális 00 tól FF-ig Tízes 0-tól 255-ig A kettes számrendszer használatából adódóan a számítástechnika területén gyakran használatosak a kettő különböző hatványai: 2 6 64 2 7 128 19

Alapismeretek - Jegyzet Minos 2 8 256 2 9 512 2 10 1024 Ezek a számok különösen gyakran fordulnak elő tárhelymegjelölések esetén, ezért kaphatók a különböző adathordozók is ilyen méretekben, pl. 512MB-os méretben, és nem 500MBként. További különlegesség a nagy számok előtagja. A tízes számrendszerben az 1000 esetén a kilo előtagot használjuk. Így tehát 1000 méter 1 kilométer. Az adatfeldolgozás esetén azonban egy kilobyte 1024 bájt. A tévedések kizárásának érdekében a bináris számrendszerbeli kilo és mega jelölésére használhatjuk a kibi és mebi megjelöléseket, azonban a gyakorlatban ezzel ritkán találkozunk. Kétség esetén tehát érdemes pontosan ellenőrizni, hogy példának okáért a kilo előtag az adott esetben 1000-t vagy 1024-et jelent. Általában kiindulhatunk abból, hogy bitek esetén a kilo 1000-t, bájtok esetén azonban 1024-et jelent. Példa Egy ISDN telefoncsatorna átviteli sebessége 64 kbit/s. Ez pontosan 64000 bit/s, nem pedig 65536 bit/s, mely az 1024-el való szorzásból adódna. Egy 400 gigabájtos merevlemez kapacitása 400 milliárd bájt. Mivel azonban a számítógépen belül kettes számrendszerben számolunk, csak 372,5 GiB-et mutat. A merevlemezek gyártói azonban inkább a 400-at, mint a 372,5-öt használják. 1.5 Számolás változókkal Változók segítségével általános érvényű törvényszerűségek önthetők képletalakba. A változókat betűk jelölik. Az eredményt így a konkrét számolandó esetre érvényes értékek a változók (betűk) helyére történő behelyettesítésével kapjuk. Például egy négyszög területének kiszámításához szükséges képlet: T = a b Itt T a terület, a és b pedig az oldalak hosszát jelöli. A téglalap területét az a és b értékek behelyettesítésével kapjuk. 20

Alapismeretek - Jegyzet Minos Az a és b (vagy bármely más) változóval ugyanúgy számolunk, mint a számokkal. Ekkor is érvényes a műveleti sorrend, a zárójelek elé történő kiemelés, stb. Az eredményt természetesen azonban csak akkor kapjuk meg, ha a változók helyére konkrét értékeket helyettesítünk. Ha egy egyenletet akarunk megoldani, az egyértelmű eredményhez csak egyetlen ismeretlen érték szerepelhet. A fenti példában például az oldalak hossza ismert, a terület pedig ismeretlen, ezt akarjuk kiszámítani. Azonban előfordulhat az is, hogy a terület, és az egyik oldal hossza ismert, és a másik oldal hosszát akarjuk kiszámolni. Ebben az esetben a képletet úgy kell átrendezni, hogy a kiszámítandó (ismeretlen) változó az egyik oldalon egyedül álljon. A számok vagy változók és a műveleti jelek egy oldali egymásutánját tagnak nevezzük. Az ismeretlent általában x jelöli. Az egyenlőség vagy képlet átrendezését x-re való rendezésnek nevezik. Ezt megtehetjük, ha az egyenlőségjel mindkét oldalán, azaz mindkét tag esetén elvégezzük ugyanazokat a matematikai műveleteket. Ezt a műveletet az egyenlőség mellé jobb oldalra, egy függőleges vonal után feljegyezzük. A kiszámítandó x érték a rendezés után egyedül áll az egyenlet bal oldalán. Példa a = b + x -b a b = x x = a b a = b x +x a + x = b -a x = b a x : a = b a x = b a a : x = b x a = b x :b a : b = x x = a : b Feladat Oldja meg a munkafüzet 17. feladatát! 21

Alapismeretek - Jegyzet Minos 1.6 Százalékszámítás A mindennapi életben gyakran találkozunk százalékosan megadott értékekkel. Megadják, hogy egy ár hány százalékkal nőtt vagy csökkent, vagy a népesség hány százaléka adott korú. Ekkor azt az értéket, melyre a százalékos érték vonatkozik, 100-nak tekintjük, és a százalék ennek a 100-nak a részaránya. Az abszolút érték nincs megadva. Példa Egy 1 liter űrtartalmú üveg 60%-ig van tele. Egy másik, 2 liter űrtartalmú üveg csak 40%-ig van tele. Azonban ennek ellenére a második üvegben abszolút értékben több folyadék található, mint az elsőben. Az első, 1 literes üveg esetén annak teljes tartalmát tekintsük 100%- nak. Ennek 60%-a 0,6 liter. 1 liter : 100% = 0,6 liter : 60% A második, 2 literes üveg ugyan csak 40%-ig van tele, azonban mivel itt a teljes, 2 literes tartalmat tekintjük 100%-nak, ennek 40%-nyi része 0,8 liter. 2 liter : 100% = 0,8 liter : 40% A százalékszámításkor csak a 100% érték van minden esetben rögzítve. A feladattól függően a másik 3 érték valamelyike ismeretlen, és az egyenlet átrendezése után kiszámítható. Feladat Oldja meg a munkafüzet 18. feladatát! 1.6.1 Kamatszámítás Ha az ember pénzt kér kölcsön (hitelt vesz fel), általában ezért a kölcsönért kamatot kell fizetnie. A kamatot százalékosan adják meg. Ez a százalékos arány adja meg, 100 forintra egy évre mennyi kamatot kell fizetni. Példa Hány százalék a kamat, ha 100 000 Ft hitel után 12 000 Ft kamatot kell fizetnünk? A kölcsön teljes összege, azaz 100%-a 100 000 Ft. 12 000 Ft százalékos arányát kell kiszámítanunk. 100% : 100 000 Ft = x% : 12 000 Ft Az egyenlet átrendezése után a kamat 12%. 22

Alapismeretek - Jegyzet Minos Az egyszerűség kedvéért a 100% el is hagyható, ekkor a kamat aránya maga a kamat értéke osztva a hitel összegével: x = 12 000 Ft : 100 000 Ft = 0,12 Az eredményt a végén még meg kell szoroznunk az elhagyott 100%-al, így kapjuk meg az előbb megállapított 12%-ot. Ha számológéppel dolgozunk, a 100%-al való szorzást úgy végezhetjük el, hogy az osztás után az egyenlőségjel helyett a százalék gombot nyomjuk meg. Ismeretlen számológépek esetén azonban a biztonság kedvéért egy egyszerű példán érdemes ellenőrizni ezt a funkciót. A kamatoskamat számítása a több éven keresztül fizetendő kamatot veszi figyelembe. Példa Ha egy takarékkönyvben 1000 Ft félretett pénzünk van, melyet 5 éven keresztül évi 3% kamatra tartunk a bankban, az egy évre kiszámított, és 5-el megszorzott kamat alaptőkéhez adása után 1150 Ft-unk lenne. Azonban az első év után 1030 Ft-unk lesz, a 3% kamatot pedig már erre az összegre kell kiszámítanunk, nem az eredeti 1000 Ft-ra. A számítás tehát általában az alábbi képlet alapján történik, ahol T 0 a kiinduló tőke, T n pedig az n év után rendelkezésre álló tőke. A kamat mértékét k, n pedig az évek számát jelöli. Tn = T0 1 + k 100 n 5 éves futamidő és 3% kamat mellett tehát: T 5 = 1000 Ft (1+3/100) 5 T 5 = 1000 Ft (1+0,03) 5 T 5 = 1000 Ft (1,03) 5 T 5 = 1159,27 Ft Az első, hibás ámde gyakran kézenfekvőnek tűnő számítástól való eltérés ebben az esetben nem túl nagy, azonban hosszabb futamidő és magasabb kamat mellett már nagy különbségek léphetnek fel. 23

Alapismeretek - Jegyzet Minos 3% kamat mellett kb. 24 év alatt kétszereződik meg a befizetett öszszeg. Ha azonban a számítások során nem vennénk figyelembe az előző évek kamatait, a megkétszereződés 33 évig tartana. Ha egy hitelt mindig azonos összeggel törlesztünk, eleinte a befizetések nagy része a kamatok kiegyenlítésére megy el, és csak egy kis rész csökkenti az alaptőkét. Csak a visszafizetés későbbi szakaszában csökken jelentősen a kamat, és csak ekkor fizetünk vissza nagyobb és nagyobb részeket az alaptőkéből. 1.7 Geometria Feladat Oldja meg a munkafüzet 19. feladatát! Bevezetésképpen néhány definícióval kell kezdenünk. Egy testnek három kiterjedése van: hossza, szélessége és magassága, tehát háromdimenziós. Egy felület csak kétdimenziós. Egy kocka felülete 6 négyzetlapból áll, melyek felületi elemek. A kocka éle egy egydimenziós vonal. Egy pont nem rendelkezik kiterjedéssel, mert végtelenül kicsi. Másképpen: egy pontot értelmezhetünk két vonal metszéspontjaként is. A pont mellett a geometria egy másik alapeleme az egyenes, mely két ponton halad keresztül, és nincs kezdete és vége. Két egyenes egy síkon legfeljebb egyetlen pontban metszheti egymást. Az egyetlen kivétel, amikor a két egyenes minden pontja megegyezik, ekkor pontosan fedik egymást. Ha két egyenes egy síkban nem metszi egymást, akkor párhuzamosnak nevezzük őket. A félegyenes szintén egy végtelen egyenes vonal. Ellentétben azonban az egyenessel, a félegyenesnek létezik kezdőpontja. A másik oldala a végtelenbe tart. 1.7.1 Szögek Egy szakasz az egyeneshez hasonlóan két ponton halad át, azonban ez a két pont behatárolja a szakasz hosszát. Így két pont között a legrövidebb út a szakasz. Egy adott pontból kiinduló két félegyenes szöget alkot. Ha az egyik félegyenest a közös pont körül elforgatjuk úgy, hogy fedje a másik félegyenest, a bezárt szöget ezen forgatás mértéke adja meg. A közös pont a szög csúcsa, a félegyenesek a szög szárai. 24

Alapismeretek - Jegyzet Minos Egy kört 360 részre osztunk, melyeket fokoknak nevezünk. A 360 a teljes szög. 0 és 90 között hegyesszögről, 90 és 180 között tompaszögről beszélünk. Ha a szög két szára merőleges egymásra, ezt derékszögnek nevezzük, melynek értéke 90. Ha a két félegyenes pontosan ellentétes irányba fut, egyenesszögről beszélünk. Ebben az esetben az általuk bezárt szög 180. A 180 és 360 közötti szögeket homorúszögnek nevezzük. 2. ábra: Szögek fajtái 3. ábra: Szögpárok Ha két egyenes metszi egymást, négy szög keletkezik. A két egymással szemben elhelyezkedő szög mindig egyforma méretű, a két egymás mellett található szög összege pedig mindig 180. Ha egy egyenes két párhuzamost metsz, 8 szög keletkezik. Az ekkor kialakuló egyállású szögek mindig egyformák. Ugyanez érvényes a váltószögekre is. A mellékszögek összege mindig 180. 25

Alapismeretek - Jegyzet Minos 1.7.2 Négyszögek Egy négyszöget négy pont határoz meg, ezek közül mindig csak kettő lehet egy egyenesen. Az oldalak elhelyezkedése és mérete alapján megkülönböztetünk néhány speciális négyszöget. Négyzetnek nevezzük a szabályos (azaz egyenlő oldalú és egyenlő szögű) négyszöget. A páronként egymással szemben elhelyezkedő oldalak párhuzamosak. A négyzet mind a négy szöge derékszög, azaz 90. A területet az oldalhossz négyzete adja, ahol T a terület, a pedig az oldalak hossza: T = a 2 A négyzet kerülete a négy egyenlő hosszúságú oldal hosszának összege: K = 4 a A téglalap annyiban különbözik a négyzettől, hogy itt csak az egymással szemben elhelyezkedő oldalak hossza egyezik meg. A területet a két különböző hosszúságú oldal összeszorzásából kapjuk: T = a b A kerület a négy oldal hosszának összege: K = 2a + 2b Példa Egy szobában padlószőnyeget akarunk lefektetni. A szoba 6m hosszú és 4m széles. Hány négyzetméternyi padlószőnyegre lesz szükségünk? Hány m szegélyre lesz szükségünk, ha az ajtókat is beleszámítjuk? T = a b T = 6 m 4 m T = 24 m 2 K = 2a + 2b K = 2 6 m + 2 4 m K = 12 m + 8 m K = 20 m 26

Alapismeretek - Jegyzet Minos Tehát 24 m 2 padlószőnyegre, és 20 m szegélyre lesz szükség. 4. ábra: Speciális négyszögek A négyzet és a téglalap mellett léteznek további speciális négyszögek is. Paralelogrammának nevezünk egy négyszöget, ha két-két oldala párhuzamos. Így a négyzet és a téglalap is paralelogramma, csak annak speciális esetei. Rombusznak nevezzük a négyzethez hasonlóan egyenlő oldalakkal rendelkező négyszöget, melynek szögei azonban nem derékszögek. A rombusz speciális trapéz, speciális paralelogramma, és speciális deltoid. Trapéznak nevezünk egy négyszöget, ha vannak párhuzamos oldalai. A két párhuzamos oldalt (a, c) a trapéz alapjainak, a másik két oldalt a trapéz szárainak nevezzük. Mind a négy oldal hossza különbözhet. Deltoidnak nevezzük a négyszöget, ha van szimmetriaátlója (papírsárkány). A deltoid két-két szomszédos oldala egyenlő hosszú, átlói merőlegesek egymásra. Párhuzamos oldalai nincsenek. Ezen kívül lehetséges, hogy egy négyszög konkáv, azaz az egyik sarka belül helyezkedik el. A négyszögek esetén a legegyszerűbb, ha a területet háromszögekre osztjuk, és azok területeit számoljuk ki, A kerület minden esetben a négy oldal hosszúságának összege. 1.7.3 Háromszögek Feladat Oldja meg a munkafüzet 20. feladatát! Egy háromszöget három pont határoz meg, melyek nem fekhetnek egy egyenesen. A három csúcsot A, B és C-vel jelöljük, a csúcsokkal szemben elhelyezkedő oldalakat pedig a, b, és c-vel. A háromszög szögeit görög betűk jelölik: α (alfa), β (béta) és γ (gamma). 27

Alapismeretek - Jegyzet Minos Fontos A háromszög belső szögeinek összege mindig 180. A háromszögeket formájuk alapján különböztetjük meg. A hegyesszögű háromszög minden szöge 90 -nál kisebb. A tompaszögű háromszög esetén az egyik szög 90 -nál nagyobb. A derékszögű háromszög egyik szöge derékszög. Az ilyen háromszögek esetén speciális törvényszerűségek érvényesek. Egy háromszöget egyenlő szárúnak mondunk, ha van két egyenlő oldala. Ha mindhárom oldala egyenlő, a háromszög egyenlő oldalú. Ekkor a belső szögek is egyenlők, azaz mindhárom szög 60 -os. A háromszög magassága a háromszög csúcsából a szemközti oldalra bocsátott merőleges egyenes. Mivel mindhárom csúcsból képezhető magasság, ezeket az adott oldal betűjelével indexeljük: m a, m b, m c. 5. ábra: Háromszögek Az egyenlőszárú háromszög a másik két oldaltól eltérő hosszúságú oldalára állított magassága ezt az oldalt két egyenlő részre osztja. A háromszög területe általánosan kifejezve az egyik oldal és az ahhoz tartozó magasság szorzatának fele: 1 1 1 T = ha a = hb b = hc c 2 2 2 Példa Egy háromszög c oldalának hossza 5 cm. A c oldalhoz tartozó h c magasság 4 cm. Mekkora a háromszög területe? 1 T = h 2 c c 28

Alapismeretek - Jegyzet Minos 1 T = 4cm 5cm 2 2 T = 20cm Mivel a magasság mindig merőleges a hozzá tartozó oldalra, a háromszöget két derékszögű háromszögre osztja. Mivel a derékszögű háromszögekre speciális törvényszerűségek érvényesek, általában előnyös, ha egy területet derékszögű háromszögekre tudunk felosztani. Fontos Egy derékszögű háromszög két befogójának nevezzük a háromszög azon két oldalát, amely a derékszöget határolja. A harmadikat, a derékszöggel szemközti oldalt pedig átfogónak nevezzük. Derékszögű háromszögek esetén érvényes a Pitagorasz-tétel: A derékszögű háromszög befogóira emelt négyzetek területének összege egyenlő az átfogóra emelt négyzet területével. Képletként felírva: c 2 = a 2 + b 2 Példa Egy derékszögű háromszög két befogója 3 cm és 4 cm. Mekkora a háromszög átfogója? c 2 = a 2 + b 2 c 2 = 3 2 cm 2 + 4 2 cm 2 c 2 = 9 cm 2 + 16 cm 2 c 2 = 25 cm 2 c = 5 cm A háromszög átfogója 5cm hosszú. Feladat Oldja meg a munkafüzet 21. feladatát! 29

Alapismeretek - Jegyzet Minos 6. ábra: Pitagorasz-tétel Példa Egy egyenlőszárú háromszög két egyenlő oldala a és b 13 cm hoszszú. A c oldal 10 cm. Mekkora a háromszög területe? Elsőként ki kell számítanunk a magasságot. Ehhez az egyenlőszárú háromszöget felosztjuk két derékszögű háromszögre. Ekkor az egyik derékszögű háromszög átfogója 13 cm, az egyik befogó hoszsza pedig a c oldal hosszának fele, azaz 5 cm. Ezt a szakaszt d-vel jelöljük. Ezután a Pitagorasz-tétel segítségével már ki tudjuk számítani a magasságot: a 2 = h c 2 + d 2 h c 2 = a 2 - d 2 h c 2 = 13 2 cm 2-5 2 cm 2 h c 2 = 169 cm 2-25 cm 2 h c 2 = 144 cm 2 h c = 12 cm Most már a magasság és a c oldal hosszának segítségével ki tudjuk számítani a területet: 1 T = hc c 2 1 T = 12cm 10cm 2 2 T = 60cm 30

Alapismeretek - Jegyzet Minos 1.7.4 Szögfüggvények A derékszögű háromszögekkel való számolások során használhatjuk a szinuszt, koszinuszt és a tangenst. Ezeket szögfüggvényeknek nevezzük. Nem derékszögű háromszögek esetén ezeket derékszögű háromszögekre kell osztanunk, hogy a fenti függvényeket használhassuk. Az átfogó mellett a két befogó is rendelkezik saját elnevezéssel, mégpedig megkülönböztetjük a szög melletti, és a vele szembeni befogót. Egy szög szinusza a szöggel szembeni befogó hossza osztva az átfogó hosszával: sin α = szöggel szembeni befogó átfogó Régebben egy adott szög szinuszából magára a szögre csak táblázatok alapján tudtunk következtetni. Ma ez a feladat a zsebszámológépek segítségével sokkal gyorsabban elvégezhető. A trigonometrikus függvények azonban csak a tudományos számológépeken szerepelnek. 30 szinuszának kiszámításához adjuk meg a 30-as értéket, majd nyomjuk meg a SIN gombot. A számolás helyes, ha az eredmény 0,5. Az inverz művelet elvégzéséhhez, azaz a szinusz értékének szöggé való konvertálásához más, és számológépenként eltérő gombokat használunk. Általában a kiegészítő funkciók elvégzésére használatos gomb segítségével hajthatjuk végre ezt a műveletet, a gombon pedig az ARCSIN vagy a SIN -1 felirat szerepel. A 0,5 érték begépelése és a megfelelő gomb(kombináció) megnyomása után 30 -ot kapunk eredményként. 7. ábra: Szögfüggvények 31

Alapismeretek - Jegyzet Minos Példa Egy derékszögű háromszög átfogója 5 cm. A vizsgált szöggel szemben elhelyezkedő befogó hossza 3 cm. Mekkora a szög? sin α = 3cm sin α = 5cm sin α = 0,6 α 36,9 szöggel szembeni befogó átfogó Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50 -os. A vizsgált szöggel szemben elhelyezkedő befogó hossza 8 cm. Mekkora az átfogó? sin α = 8cm sin α = c 8cm c = sin50 c 10,44 cm szöggel szembeni befogó átfogó A másik szögfüggvény a koszinusz, mely a vizsgált szög melletti befogó és az átfogó arányaként van definiálva. szög mellettibefogó cos α = átfogó A harmadik fontos szögfüggvény a tangens. Egy szög tangense a vizsgált szöggel szembeni befogó és a szög melletti befogó hoszszának hányadosa. tan α = szöggel szembenibefogó szögmelletti befogó 1.7.5 A kör Feladat Oldja meg a munkafüzet 22. feladatát! A kört sugara definiálja. A sugár a kör középpontjától a kör széléig mért távolság. A kör átmérője pontosan a sugár kétszerese. Egy kör kerületének és átmérőjének aránya a π szám. Ezt a görög betűt pí-nek ejtjük. A szám irracionális, azaz a tizedesvessző után végtelen sok tizedesjeggyel rendelkezik, mégpedig ismétlődő cso- 32

Alapismeretek - Jegyzet Minos portok nélkül. Az első néhány tizedesjegy: 3,1415926535. A gyakorlatban gyakran 2 vagy 4 tizedest használunk. A kör kerületét a következőképpen számítjuk: K = π d = 2 π r A kör területének kiszámításához is szükségünk van a π-re: 1 T = π d 4 2 = π r 2 Példa Egy kör kerülete 20 cm. Mekkora az átmérője? Mekkora a területe? Az eredményt két tizedesjegyre pontosan adja meg! K = π d d = K π 20cm d = 3,1415 d 6,37cm 1 2 T = π d 4 1 T = 3,1415 6,37 4 2 T 31,87cm 2 cm 2 1.7.6 Testek Feladat Oldja meg a munkafüzet 23. feladatát! Egy test háromdimenziós, és felületek határolják. Tartalmát térfogatnak nevezzük. Egy kockát hat egyenlő méretű négyzet határol. Ebből következően a kocka felülete: A = 6 a 2 Mivel a kocka minden oldala azonos hosszúságú, térfogata: 3 V = a 33

Alapismeretek - Jegyzet Minos A kocka a téglatest speciális formája. A téglatest esetén a páronként egymással szemben elhelyezkedő lapok egyenlő nagyságú téglalapok. A téglatest felülete tehát a hat lap területének összege: A = 2 a ( b + a c + b c) A térfogat kiszámításához a három különböző hosszúságú él értékét kell összeszoroznunk: V = a b c A henger esetén két egymással szembeni oldal körlap, a körlapokat pedig a henger palástja köti össze. A henger felülete a két körlap és a palást területének összege. A palást területe a kör kerületéből és a henger magasságából számítható. A henger térfogata a körlap területének és a henger magasságának szorzata. Példa A henger átmérője 5 cm, magassága 20 cm. Mekkora a henger felülete és térfogata? Először a kör kerületét és területét határozzuk meg: 1 2 T = π d 4 1 T = 3,1415 5 4 2 T = 19,635 cm 2 cm 2 K = π d K = 3,1416 5cm K = 15,708cm A kör kerületéből és a henger magasságából kiszámítjuk a hengerpalást felületét: A p A p A = p = K m = 15,708 cm 20cm 314,16 cm 2 A teljes felület értékének kiszámításához a fenti értékhez hozzá kell adni a két körlap területét is: A = 2 T + A henger kör palást 2 A henger = 2 19,635 cm + 314,16 cm 2 34

Alapismeretek - Jegyzet Minos A = henger 353,43 cm 2 A térfogatot a körlap területének és a henger magasságának szorzatából kapjuk: V V henger henger henger = T kör m = 19,635 cm V = 1392,7 cm 2 3 20cm A hengerrel ellentétben a hasáb nem kör-, hanem három, négy vagy még több szögű felületekkel rendelkezik. A téglalap tehát a hasáb speciális esete. A gömb olyan test, mely felületének minden pontja egyenlő távolságra helyezkedik el középpontjától. Ezt a távolságot nevezzük sugárnak. A gömb felületét a következőképpen számítjuk: A = 4 π r 2 Térfogata: 4 V = π r 3 3 Feladat Oldja meg a munkafüzet 24. feladatát! Természetesen ezeken a testeken kívül még számtalan más forma létezik, ezekre azonban itt nem térünk ki. 35

36 Alapismeretek - Jegyzet Minos

Alapismeretek - Jegyzet Minos 2 Műszaki fizika 2.1 A fizika alapjai 2.1.1 Fizikai mennyiségek és mértékegységeik Egy fizikai tárgy mérhető tulajdonságait fizikai mennyiségekkel írjuk le. Ezeket különböző fizikai számítások kapcsolják össze. A fizikai mennyiségek két részből, egy mérőszámból és egy mértékegységből állnak. A nemzetközi egységrendszer a fizikára hét bázismennyiséget definiál. Az alábbi táblázat ezeket az SI-egységeket (a franciából: Systèm International d Unités) tartalmazza: 1. táblázat: SI-egységek Mennyiség Egység Jel Hossz Méter m Tömeg Kilogramm kg Idő Másodperc s Áramerősség Ampére A Hőmérséklet Kelvin K Anyagmennyiség Mol mol Fényerősség Candela cd Ezekből a bázismennyiségekből természetesen további mennyiségek származtathatók. Példa A sebesség összetett mennyiség, a hosszból és az időből tevődik össze. Egy adott idő alatt egy adott távolságot teszünk meg. Ezért egysége m/s. A gyorsulás a sebesség adott idő alatt bekövetkező változása, mértékegysége ezért m/s 2. Mivel a számértékek néha nagyon nagyok, ill. nagyon kicsik is lehetnek, gyakran előtagot (prefixumot) használunk. Ezeket az előtagokat a mértékegység elé írjuk. Elsősorban ezres léptéket használunk (ám lehet más is, pl. 1 m = 100 cm). A legfontosabb előtagokat az alábbi táblázat tartalmazza: 37

Alapismeretek - Jegyzet Minos 2. táblázat: Az SI-egységek gyakori előtagjai Előtag Jele Faktor Nano n 0,000 000 001 Mikro µ 0,000 001 Milli m 0,001 Kilo k 1000 Mega M 1 000 000 Giga G 1 000 000 000 Példa Egy utca hossza 5,8 km. Egy kilométer 1000 m-nek felel meg. Az utca hossza tehát 5800 m. A fizikai mennyiségeket használatakor ügyelni szokás arra, hogy a tizedesvessző előtt lehetőleg kevés számjegy álljon. Feladat Oldja meg a munkafüzet 25. feladatát! A bázisegységekből matematikai képletek segítségével további egységek képezhetők. A képletek általános érvényességének érdekében a mennyiségeket meghatározott betűkkel jelöljük. Így például az erőt a nagy F, a tömeget a kis m jelöli. Ügyelnünk kell arra, hogy a tömeg jelét ne keverjük össze a méter (m) jelölésével! A dimenzió a mérőszámmal való kapcsolatot állítja elő. A szélesség és a sugár dimenziója a hossz, és a méter mértékegység tartozik hozzá. 2.1.2 Fizikai képletek Dimenzió nélkülinek nevezzük azokat a fizikai mennyiségeket, melyek esetén az egységet el lehet egyszerűsíteni, azaz azok az egyszerűsítés után 1-et eredményeznek. Ilyen dimenzió nélküli mennyiség például a légellenállás értéke. Az olyan matematikai egyenleteket, melyekben fizikai mennyiségek szerepelnek fizikai képleteknek nevezzük. Az erőt például az Erő = Tömeg Gyorsulás képlet alapján számítjuk. A megfelelő jelölések használatával: F = m a Ezután a betűk helyére a megfelelő értékeket behelyettesítve különböző erőket számolhatunk. Ügyelnünk kell arra, hogy minden 38

Alapismeretek - Jegyzet Minos mennyiséget mértékegységével együtt adjunk meg, melyet a számítás során figyelembe is kell vennünk. Ez segít a képlet eredményének ellenőrzésében, hiszen a várt eredmény mértékegysége ismert, így ennek kell kijönni a képlet végigszámolásakor is. Példa F = m a F = 1kg 10m/s 2 F = 10 kg m/s 2 F = 10N A fizikában nem fordul elő egység nélküli számítás, hiszen ebben az esetben az eredmény mindössze egyetlen szám, amiről ebben a formában nem eldönthető, minek az értéke. Például egy 10 értékű erőről nem eldönthető, ez vajon 10N vagy 10kN. 2.2 Erő Az erő jele a nagy F. Egysége Newton, melynek jele N. Az erő egy adott tömeg gyorsításához szükséges. Képletként tehát: F = m a 1kg tömeg 1m/s 2 ra gyorsításához 1N erő szükséges. F = m a F = m a F = 1 kg 1m/s 2 F = 1N Példa Mekkora tömegre hat az 1 N függőleges erő. A gravitációs gyorsulás 9,81 m/s 2. m = F / a m = 1N / 9,81m/s 2 m = 0,1019 kg Fontos Az erő teljes leírásához nagysága, helyzete és iránya is szükséges. 8. ábra: Az erő grafikus ábrázolása 39

Alapismeretek - Jegyzet Minos Az erőt grafikusan gyakran nyílként ábrázolják. Ekkor a nyíl hossza az erő nagyságát jelöli. A nyíl térbeli elhelyezkedése és iránya a nyíl helyzetének és irányának felel meg. Az erő vektoriális mivoltának (azaz azon tulajdonságának, hogy nagysága mellett iránya is van) jelzésére gyakran az F fölé kis nyilat rajzolunk. Az angol nyelvterületen ugyanezt az F betű aláhúzásával jelölik. Az erővektort hatóvonala, azaz a nyíl iránya mentén eltolhatjuk. Párhuzamos eltolás azonban nem történhet, mivel ez megváltoztatná a támadáspontot, azaz azt a helyet, ahol az erő hat. 2.2.1 Erők összegzése Az ábrán bemutatott F 1 erő hatása tehát megfelel az F 2 erő hatásának. F 3 azonban másként hat mint F 1, mivel támadáspontja máshol helyezkedik el. Több, ugyanarra a testre ható erő összefoglalható egyetlen eredő erőként. Az összegzés akkor a legegyszerűbb, ha az erők hatásvonala megegyezik, ekkor egyszerűen nagyságukat adjuk csak össze. Ekkor az eredő nyíl hossza a két összeadandó nyíl hosszának összege. Ha az erők éppen ellentétes irányokba hatnak, a kisebb abszolút értékű erőt levonjuk a nagyobb abszolút értékű erőből. Az eredő nyíl így kisebb, mint a két eredeti nyíl nagyobbika. 9. ábra: Erők összegzése A vektoriális írásmód használatával a vektorok között mindig egyszerű összeadásjel szerepel, még ha a különböző erők ellentétes irányba mutatnak is. Ennek oka, hogy a vektoroknak nem csak nagyságuk, hanem irányuk is van, tehát ez már magában a vektorban szerepel. 40