VII.3. KISKOCKÁK Tárgy, téma Térgeometria, algebra (és számelmélet). Előzmények Cél A kocka térfogata és felszíne. A feladatsor jellemzői A térszemlélet fejlesztése. Invariancia felismerése. Módszerek térlátóknak és másoknak. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben + Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban + Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés + Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés + Ismeretek rendszerezése A matematika épülésének elvei + Ismerethordozók használata + Felhasználási útmutató A feladatsor megoldásához jól felhasználhatók kiskockák (esetleg csak a tanári asztalon, ahonnan a rászorulók bármennyit elvihetnek). Érdemes lenne mondjuk dobókockák öszszeragasztgatásával modelleket készíteni hozzá. Ha van az iskolának például kétféle színű kiskockája, akkor a lyukas ábrákat ki lehet rakni úgy, hogy az egyik színű kocka a lyuk. Lehet kockacukorral is dolgozni. Mivel a feladatok részben egymásra épülve nehezednek, így javasoljuk a diákoknak, hogy sorban oldják meg azokat. Lehet kiscsoportban (2 3 fő) is dolgozni. A 4. feladat, az 5.b) utolsó feladata és a 6. lehet házi feladat is. A feladatok beosztását a gyerekek igényeihez, felkészültségéhez és gyorsaságához érdemes igazítani. Az 1. feladat megoldásához sokféle gondolatmenet elvezethet. Lehetőség szerint a tanulók különböző gondolatmeneteit beszéljük meg, és esetleg egészítsük ki. Mivel a fontos gondolatok fokozatosan, a nehezedő feladatokon keresztül jönnek elő, így időben észre kell venni azt, ha valaki már az egyszerű feladatnál is megakad. Ilyenkor lehet, hogy még könnyebb példán keresztül kell eljutnia a horpasztási, a kanyarodási vagy az eltolási invarianciához (2., 3. és 4. feladat). Az 5. feladat a) része készíti elő a b) feladatot. A b) utolsó két kérdése nehéz, még a rétegelési stratégia is mély, alapos végiggondolást igényel, nem beszélve a logikai szitára hasonlító rudas megoldásról. Az 5.c), 6. inkább csak ízelítő, kedvcsináló az önálló keresgéléshez, kutatáshoz az interneten. A feladatok jól differenciálják majd a gyerekeket, de mindenki számára van megoldható feladat. A nagyon jóknak könnyű további nehezebb feladatot, általánosításra vonatkozó kérdést adni. VII. Térgeometria VII.3. Kiskockák 1.oldal/6
KISKOCKÁK Feladat sor A RÚD 1. Az alábbi testek 1 cm élhosszúságú kockákból állnak. a) Mekkora a testek felszíne? A 1 = A 2 = A 3 = A 4 = A 5 = b) Mekkora lenne a 20 kockából álló rúd felszíne? c) Írd le szövegesen, hogyan lehet kiszámolni a rúd felszínét, akármennyi kockából is áll! d) Add meg a számolást megkönnyítő képletet! Mekkora az n. rúd felszíne? e) Hány kockából áll az a test, aminek 2006 cm 2 a felszíne? f) András szerint van olyan rúd, amelynek 352 cm 2 a felszíne. Igaza van Andrásnak? VIVA LA CUBE 2. Az alábbi testek 2 cm élhosszúságú kockákból állnak. (A harmadik test az elsőből úgy készült, hogy egy kockát elvettünk, a negyedik test a másodikból úgy készült, hogy minden csúcsnál 1 kockát elvettünk.) Mekkora a testek térfogata és felszíne? K ÍGYÓ 3. Az alábbi testek 3 cm élhosszúságú kockákból állnak. Mekkora a testek felszíne? a) VII. Térgeometria VII.3. Kiskockák 2.oldal/6
b) c) 4. A testeket 6,38 cm élhosszúságú kiskockákból építettük. Melyiknek nagyobb a felszíne? K UKUCS 5. Az alábbi testek hány darab egységkockákból állnak? (A járatok egyenesen végigmennek a kockákban.) a) b) c) I. II. I. II. 6. Nézz utána, ki volt Oscar Reutersvärd (pl. az Interneten)! VII. Térgeometria VII.3. Kiskockák 3.oldal/6
MEGOLDÁSOK 1. a) A 1 = 6 cm 2, A 2 = 10 cm 2, A 3 = 14 cm 2, A 4 = 18 cm 2, A 5 = 22 cm 2. b) A 20 = 82 cm 2. c) d) Négy gondolatmenet, négy képlet: I. gondolatmenet A rudak felszíne rendre 4 cm 2 -rel nő. Ez azért van, mert egy újabb kocka hozzáillesztésével egy lap eltűnik, és 5 új lap beépül a felszínbe. Így például a 20 kockás rúd felszínét úgy lehet kiszámolni, hogy az eredeti 6 cm 2 -hez hozzáadunk 19-szer négyet. A n = 6 + 4 (n 1). II. gondolatmenet A rúd két végén álló kockának öt lapja, a belsőknek négy-négy lapja látszik. Így a felszínt mindig lehet úgy számolni, hogy a végfelszínhez (mindig 10 cm 2, kivéve az első testet) hozzáadjuk a belsők felszínét, azaz a kockák darabszámánál kettővel kevesebbszer négyet. A n = 10 + 4 (n 2). III. gondolatmenet A rúd két vége az 2 cm 2, a rúd alja, oldalai és teteje ugyanolyan, területük annyi négyzet területe (annyi cm 2 ), ahány kockából áll a rúd. Így 4-szer kell venni a kockák számát és még hozzá kell adni kettőt. A n = 4n + 2. IV. gondolatmenet Ha a kockák külön állnának, akkor annyiszor 6 cm 2 lenne a felszín, ahány kocka van. Mivel az összeillesztésnél mindig 2 cm 2 elvész, így le kell vonni annyiszor 2 cm 2 -t, ahány illesztés van. Az illesztések száma pedig eggyel kevesebb a kockák számánál. A n = 6n 2 (n 1). Természetesen mind a négy képlet algebrailag ugyanazt adja. A III. a leghasználhatóbb. e) Akármelyik gondolatmenetet, képletet használhatjuk (visszafelé kell számolni, azaz egy kis egyenletet lebontogatni). A legkevésbé a IV. kényelmes. Például a III. összefüggéssel számolva: 2006 = 4n + 2, ahonnan n = 501. f) Direkt: A III. képlet alapján csak a néggyel osztva 2 maradékot adó felszínértékek jöhetnek szóba. A 352 nem ilyen, így ilyen test nincs. Andrásnak nem volt igaza. Indirekt: Ha a rúd n db kockából áll, akkor a 352 = 4n + 2-ből kiszámolva n = 87,5, vagyis n nem lesz egész szám, azaz feltéve, hogy van ilyen test ellentmondásra jutunk. Tehát nincs ilyen test. Andrásnak nem volt igaza. 2. A kockák éle rendre 4 cm és 6 cm. Használjuk az A = 6a 2 és a V = a 3 képleteket! V 1 = 64 cm 3, A 1 = 96 cm 2, illetve V 2 = 216 cm 3, A 2 = 216 cm 2. A sarokkockák elvétele a felszínt nem változtatja. Egy kiskocka térfogata 8 cm 3. V 3 = 56 cm 3, A 3 = 96 cm 2, illetve V 4 = (27 8) 8 = 152 cm 3, A 4 = 216 cm 2. VII. Térgeometria VII.3. Kiskockák 4.oldal/6
3. a) A kocka egy lapja most 9 cm 2 területű. A 9 kockából álló rúd felszíne 1. alapján 38 3 2 = 342 cm 2. Ez nem változik meg a kanyargásoktól. b) A 9 kockából álló első test felszíne A = 18 9 + 8 2 9 + 4 9 = 38 9 = 342 cm 2. Ez nem változik meg a tologatásoktól. Vagyis ugyanannyi, mint a 9 kockából álló rúdé. c) Mindegyik test felszíne ugyanakkora, mint a 13 kockából álló rúdé, azaz A = (4 13 + 2) 9 = 486 cm 2. 4. A két test felszíne egyenlő. A második test az elsőből olyan eltolások végrehajtásával származtatható, amelyek a felszínt nem változtatják meg. Mindenhol egy négyzetoldalnyi kapcsolódási terület áthelyezése történt csak. 5. a) I. Lehetséges megszámlálások: 6 2 + 1 = 13 vagy 5 + 4 2 = 13 vagy 3 5 2 = 13 db kiskocka. II. Lehetséges megszámlálások: 7 + 7 + 5 + 5 + 9 = 33 vagy 49 4 4 = 33 vagy 6 7 9 = 33 db kiskocka. (6 darab 7 hosszúságú rúd összeillesztve, az illesztésnél 1-1 kocka kipottyan kétszer számoltuk.) VII. Térgeometria VII.3. Kiskockák 5.oldal/6
b) I. Lehetséges megszámlálások: 3 3 6 1 = 20 db kiskocka vagy 12 3 8 2 = 20 db kiskocka. (12 három kockából álló rúd összeillesztve, az illesztésnél 2 2 kocka kipottyan a csúcskockákat ugyanis háromszor számoltuk.) II. 5 3 (3 5 2) = 112 db kiskocka. [Az a) feladat I. teste hiányzik a kockából.] c) Ilyen testeket (legalábbis, amit látni vélünk) kockákból nem lehet összeállítani (amenynyiben úgy záródnak, ahogy azt az ábra sejteti). Lehetetlen testek. 6. Lehetetlen alakzatokkal már korábban is foglalkozott a nyugati művészet, de igazán markánsan csak Oscar Reutersvärd munkáiban jelent meg 1934-től. Még középiskolás diák, amikor véletlenül rajzolt egy paradox ábrát. S noha matematikai enciklopédiákban nem talált semmiféle utalást erre a különleges geometriai alakzatra, a következő években folytatta a tér logikájának ellentmondó ábrák készítését. Eljátszott a paradox kombinációkban álló kockákkal, megalkotta a végtelen lépcsőt és az ördögvillát, ami kicsit különbözött a ma ismert alaktól. Az ördögvilla mai változata Reutersvärd: Végtelen lépcső 1958-ban vált tudatossá benne, hogy amiket kisfiúként rajzolt, valójában lehetetlen tárgyak. Ekkor szerzett ugyanis tudomást egy cikkből arról, hogy tőle függetlenül Lionel Penrose is felfedezte a végtelen lépcsőt. Elmélyedt hát a paradox alakzatok témájában, s azóta több mint 2500 lehetetlen ábrát rajzolt. (http://www.jgypk.u-szeged.hu/tanszek/matematika/speckoll/1999/escher/index.html) VII. Térgeometria VII.3. Kiskockák 6.oldal/6