KRISTÁLYOK GEOMETRIAI LEÍRÁSA Kristály Bázis Pontrács Ideális Kristály: hosszútávúan rendezett hibamentes, végtelen szilárd test Kristály Bázis: a kristály legkisebb, ismétlœdœ atomcsoportja Rácspont: a kristálybázisokban azonos módon kiválasztott, azt reprezentáló geometriai pont Direkt Pontrács: az ekvivalens rácspontok együttese. A kristályokat a pontrácsuk, és a rácspontba helyezendœ bázisok geometriai leírásával adjuk meg.
A pontrács leírása a 2 a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 Elemi cella: olyan, a rácspontok geometriája által meghatározott mértani idom, amelynek hézag- és átfedésmentes ismétlésével a pontrács felépíthetœ. Primitív elemi cella: olyan parallelepipedon alakú elemi cella amely csak a csúcsain tartalmaz rácspontokat. Ezek cellába esœ részének összege 1. Centrált elemi cella: olyan elemi cella, ami a (lap-, vagy tér-) középpontjában is tartalmaz rácspontot Konvencionális cella: olyan (primitív, vagy centrált) elemi cella, ami a rács minden forgás-tükrözési (un. pontcsoport) szimmetriáját megmutatja. Wigner-Seitz cella: azon pontok mértani helye, amelyek egy kiválasztott rácsponthoz közelebb vannak, mint bármelyik másikhoz. (Szerkesztés: a legközelebbi szomszédokhoz húzott szakaszok felezœsíkjai által határolt idom. A felületekre esœ pontoknak csak a fele tartozik a cellához.)
A PONTRÁCS MEGADÁSA: A pontrács megadható a primitív cellájával. A primitív cellát az élvektorai: a 1 = a 1x e x + a 1y e y + a 1z e z = [a 1x, a 1y, a 1z ] a 2 = a 2x e x + a 2y e y + a 2z e z = [a 2x, a 2y, a 2z ] a 3 = a 3x e x + a 3y e y + a 3z e z = [a 3x, a 3y, a 3z ] az un. primitív bázis vektorok írják le. TetszŒleges rácspont megadható az ezek egészszámú lineárkombinációjával elœállított rácsvektorok segítségével: A BÁZIS MEGADÁSA: R l = l 1 a 1 +l 2 a 2 + l 3 a 3 = 3 l i a i A bázis tetszœleges primitív cellában megadható a primitív vektorok koordinátarendszerén: i=1 r j = ua 1 + va 2 + wa 3 ; u, v, w < 1 TetszŒleges ATOM MEGADÁSA A KRISTÁLYBAN: R l,j = ( l 1 +u)a 1 + ( l 2 + v)a 2 + ( l 3 + w)a 3 R (3,2),2 = (3+1/3)a 1 + (2+1/3)a 2
A primitív cella térfogata: V p = a 1 ( a 2 a 3 ) = V N megegyezik a Wigner-Seitz cella térfogatával. A primitív cellát úgy választjuk meg, hogy a bázisvektorok hoszsza a legközelebb legyen egymáshoz, és bezárt szögeik legközelebb legyenek 90 -hoz.
IRÁNYOK ÉS HÁLÓZATI SÍKOK A PONTRÁCSBAN Irányok mega dása rácsban: a legrövidebb párhuzamos rácsvektorral (l 1 = h, l 2 = k, l 3 = l, közös osztó nélküli egész számok): r hkl = ha 1 + ka 2 + la 3. Röviden ezt az irányt [ hkl] iránynak nevezzük. A negatív együtthatót felülvonással jelöljük (pl. [ h kl]). A szimmetriában ekvivalens irányok jelölése hkl. Hálózati síkok: a pontrácson számos különbözœ irányú, párhuzamos síksereg fektethetœ át, úgy, hogy - minden rácsponton átmegy legalább egy sík - minden sík átmegy legalább egy ponton. Ezek a síkok jellemezhetœk az origóhoz legközelebbi de azon át nem menœ sík és a konvencionális cella vektorainak metszetével. Ha ez a sík a vektorokat sorra 1/h, 1/k, 1/l -ben metszi (h,k, l, közös osztó nélküli egész számok), akkor a síksereget ( hkl)-lel jelöljük. A szimmetriában ekvivalens síkok jelölése { hkl}. Az ilyen síkseregek szomszédos síkjainak távolsága állandó, d hkl!
Pontrácsok szimmetria szerinti osztályozása Kristályrendszer háromhajlású (triklin) egyhajlású (monoklin) derékszögı (ortorombos) négyzetes (tetragonális) köbös (köbös) romboéderes (trigonális) Bravais-rácstípus Konvencionális cella alakja P ált. paralel-epipedon: a b c α β γ 90 o P C P C F I P I P F () I () P (R) paralelogramma alapú derékszögı hasáb: a b c α = β = 90 o γ 90 o téglalap alapú derékszögı hasáb: a b c α = β = γ = 90 o négyzet alapú derékszögı hasáb: a = b c α = β = γ = 90 o kocka: a = b = c α = β = γ = 90 o romboéder: a = b = c α = β = γ 90,109.5,120 o hatszöges (hexagonális) H = 3 x P hatszög alapú derékszögı hasáb: a = b c α = β = 90 o γ = 120 o
1 c α β triklin P b γ 6 trigonális P a 7 hexagonális H 2 monoklin P monoklin C 3 ortorombos P ortorombos C ortorombos F ortorombos I 4 tetragonális P tetragonális I 5 köbös P köbös I () köbös F ()
A leggyakoribb kristályszerkezetek Fémek Al Ca Ni Cu Sr Rh Pd Ag Ir Pt Au
A leggyakoribb kristályszerkezetek Fémek Li Na K V Cr Fe Rb Nb Mo Cs Ba Ta W
A leggyakoribb kristályszerkezetek Fémek Be Mg Sc Ti Co Zn Y Zr Tc Ru Cd Hf Re Os Tl
FCC n 1 =12 d 1 = a 2 2 n 2 = 6 d 2 = a 30 % BCC n 1 = 8 d 1 = a 3 2 n 2 = 6 d 2 = a 15 %