ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 2.

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 2. 3. rajz 3. feladat (2013/14. tavasz) Ábrázolja egy 3,60 m szintkülönbség áthidalására szolgáló, orsótér nélküli, 2,00 m átmérőjű csavarhengeren belüli csigalépcső (jobbra csavarodó, zárt, laposmenetű torzcsavarfelület 18 fellépéssel és 1,5 fordulattal) felület axonometrikus képét ábrázolja madárvetületben (qz=1/2). Szerkessze meg a felület alkotóit láthatóság szerint, a kontúrgörbét, valamint alkalmasan választott fénysugárral az összes árnyékát! 1

A szerkesztés lépései 1. Csavarfelület alkotóinak megszerkesztése a. A megfelelő axonometrikus rendszer felvétele után tekintsük az O középpontú, 5 cm sugarú kört, amely a csavarfelület merőleges vetülete. Osszuk fel az alapon fekvő kört 12 egyenlő részre. A másfél fordulathoz tartozó magasság az axonometrikus képen 9 cm-nek látszik. A 18 db lépcsőfok miatt a z tengelyt 0,5 cm-enként kell felosztani. b. A csavarfelület alkotói az [x,y] koordinátasíkkal párhuzamosak, vetületük az alapon lévő kör sugarai. Ennek figyelembevételével szerkesszük meg az alkotókat, végpontjaikat 0-tól 18-ig elnevezve. A végpontokat összekötve a csavarfelület záró csavarvonalát kapjuk. (A továbbiakban amennyiben mást nem mondunk az adott sorszámú végponthoz tartozó alkotót a sorszám szerint nevezzük el, pl. 8-as alkotó.) 2. A csavarfelületre írható csavarvonalak iránykúpjainak közös csúcspontjának meghatározása a. Tekintsük azokat a felületre írható csavarvonalakat, melyek tengelye a csavarfelület tengelyével egybeesik. Belátható (a menetmagasság egyezése miatt), hogy ezen csavarvonalak iránykúpjait* tekintve, azok csúcspontja közös. Az alapkör minden esetben a felületre írt csavarvonal alapra eső merőleges vetületével egyezik meg. Emiatt elegendő egyetlen z tengelyű, a felületre írt csavarvonal iránykúpját (pontosabban annak csúcspontját) megszerkeszteni. (Magának a csavarfelületnek az iránykúpját ebben az esetben nem tudjuk értelmezni, mert ha az M-be eltoljuk az összes alkotó egyenesállását, síkot kapunk eredményül.) b. Fejtsük le a záró csavarvonal felét, amelyre most azért van szükségünk, hogy az iránykúpjának csúcspontjának magasságát meghatározzuk. Az alapkör félkerületét a 2 pontból kiindulva határozzuk meg: 2 -ben érintőt húzunk a körhöz. Az O középpontból 30 -kal elforgatjuk az O2 egyenest, amely az érintőt az A-ban metszi. Az A-ból az érintőre 3r hosszúságú szakaszt mérünk fel, melynek végpontja a B pont. A 8 B szakasz hossza megközelítőleg r π ( r 3,1415). Ezután mérjük fel a 8 B szakaszra az egyik végpontjából merőlegesen a menetmagasság felét, amelynek végpontja a C pont. A BC szakasz a lefejtett fél-csavarvonal valódi hossza. A 8 BC szög a csavarvonalhoz tartozó érintőegyenesek alappal bezárt szöge, azaz a csavarvonal emelkedési szöge (β). A B pontból az r sugarat felmérve, a kisebb háromszög másik befogója az iránykúp magassága (d). c. Mérjük fel a kapott d magasságot az O-ból a z tengelyre: M. (Ne felejtsük el, hogy a z tengely rövidülése 1/2.) d. Az iránykúp megadásával például a 7-es ponthoz tartozó felületi érintősík szerkeszthető. Az érintősíkot két felületi görbe feszíti fel. Egyik a pontbeli alkotó, a másik pedig a ponton áthaladó csavarvonal pontbeli érintője. A 7-es ponthoz a vízszintes helyzetű 7-es alkotó tartozik. Ez a helyzetéből adódóan az érintősík egy fővonala. A csavarvonal 7-beli érintőjének vetülete e 7. Az iránykúp tartalmazza az összes csavarvonalhoz tartozó érintő állását, az e 7 -vel párhuzamos az O4, melynek axonometrikus képe M4. M4 -vel párhuzamost húzva adódik a csavarvonal 7-beli érintőjének axonometrikus képe: e 7. Ennek nyompontja N 7, innen a nyomvonal már adódik (felhasználva, hogy ismerjük az érintősík egy fővonalát, a 7-es alkotót): n 7. 3. Kontúrgörbe meghatározása a. Elméleti háttér: adott iránnyal párhuzamos érintősíkok meghatározása. (Érdeklődőknek: a térbeli gondolatmentet lásd a dokumentum végén.) b. Az elméleti meggondolások alapján adott iránnyal párhuzamos érintősíkok érintési pontjai a következő algoritmussal kaphatók meg: I. Húzzunk párhuzamost az adott iránnyal a felületre írható (a felülettel közös tengelyű) csavarvonalak iránykúpjainak közös M csúcspontján keresztül. II. Ez a párhuzamos elmetszi az alapkör(ök) síkját egy N pontban. III. Forgassuk el az N pontot 90 -kal, a csavarfelület sodrásával megegyezően: N. IV. Írjunk Thalész-kört az ON szakasz fölé. Ez a kör tartalmazza az iránnyal párhuzamos érintősíkok érintési pontjainak vetületét. V. Válasszunk ki egy tetszőleges alkotót, amely metszi a most kapott kört egy K pontban. Az alkotóra felvetítve a K pontot adódik a keresett K pont. 2

c. Kontúr esetén az adott irány az axonometrikus vetítősugár iránya. Ezért az általános elvben található MN egyenes most vetítősugár, így lesz olyan pontja a kontúrgörbének, ahol annak érintőegyenese vetítőegyenes (az általános elvben az N-hez mint kontúrpont-vetülethez tartozó pontok). Emiatt csavarfelület axonometrikus kontúrja csúcspontokkal bír. (A kontúrgörbét tekintve, az iránykúp csúcspontjának axonometrikus képe az alapkörének axonometrikus képére esik. Az összeeső pontokhoz tartozó érintőállás axonometrikus vetítősugár, ehhez az érintőhöz tartozó görbepont a csúcspont.) d. Kövessük a 3.b. pontbeli algoritmust axonometrikus vetítősugár esetére: I. Az adott irány axonometrikus képe az M pont. II. A vetítősugár az [x,y]-t metszi egy pontban, melynek axonometrikus képe egybeesik M axonometrikus képével. (Az ábrán elnevezés nélkül.) III. A kapott pontot elforgatjuk 90 -kal az óramutató járásával ellentétesen. (Az ábrán a K pont.) IV. OK szakasz fölé Thalész-kört írunk. (Ez egyúttal a kontúrgörbe vetülete: k.) V. Tetszőleges alkotó ezt a kört a kontúrpontjának vetületében metszi. Például a 13-as alkotó vetülete K 13 -ben metszi, amelyből az alkotón a K 13 kontúrpont keletkezik. A kontúrgörbe csúcspontjainak vetülete a K pont, az alkotók közül 11-eshez tartozik ez a kontúrpont (K =K 13 ). e. A kontúrgörbe darabjai: K 0 -tól K 2 -ig, illetve K 8 -tól K 14 -ig, melyből a K 11 és K 14 közötti ív látszik. (Az ábrán a zsúfoltság elkerülése miatt nem szerepel minden pont elnevezése.) A többi alkotónál a kontúrpont a tengelyre illeszkedik. A kontúrpontok ismeretében az egyes alkotók látható részei kijelölhetőek, a felület láthatóság szerint megrajzolható. f. Megjegyzés: A kontúrgörbét úgy is megkaphatjuk, hogy elegendően sok alkotót megrajzolunk a felületből. Az alkotók axonometrikus képének burkológörbéje éppen a kontúrgörbe. 4. Önárnyékhatár-görbe meghatározása a. Tekintsünk egy fénysugárirányt, amelyet a tengely legmagasabb pontjában reprezentálunk: f, f. b. Önárnyékhatár-pontokat ott találunk, ahol az érintősík fénysík. Emiatt a 3.b.-beli, iránnyal párhuzamos érintősíkok érintési pontjainak megszerkesztésére szolgáló algoritmust itt is felhasználhatjuk. c. Jelen ábrában a fénysugár speciális, ugyanis az axonometrikus vetítősugár 90 -os elforgatottja. Innen következik, hogy az algoritmus lépéseit ki is hagyhatjuk, elegendő a k kört 90 -kal visszafelé forgatni, és megkapjuk az önárnyékhatár-görbe vetületét: ö. (Fontos! Más fénysugárirány esetében az algoritmus lépéseit végig kell szerkeszteni, mert tetszőleges fénysugárirány esetében az M vetülete, annak 90 -os elforgatottja nem ennyire speciális. Ráadásul az úgy keletkező Thalészkör sugara nyilvánvalóan különbözik a kontúrhoz tartozó Thalész-kör sugarától.) d. Az alkotók önárnyékhatár-pontjait a kontúrhoz hasonlóan kapjuk. Itt az önárnyékhatár-görbe nem tengelyre eső pontjai Ö 5 -től Ö 11 -ig és Ö 17 -től Ö 18 -ig tartanak. A csavarfelület helyzetéből adódóan most csupán az Ö 17 és Ö 18 közötti rész látható a önárnyékos felületdarabokból. e. Megjegyzés: Az önárnyékhatár pontjait hagyományos módon a vetett árnyékból is meghatározhatjuk. (Lásd a későbbi 5.d. pontot.) 5. Vetett árnyék megszerkesztése a. Az adott fénysugárirány mellett szerkesszük meg a 18 db alkotó vetett árnyékát. (A 0-s alkotó árnyéka önmaga.) b. A legkülső csavarvonal vetett árnyékát a 0 1 -től 18 1 -ig tartó ív adja. A csavarfelület tengelyének vetett árnyéka látszik azon a darabon, ahol más felületi alkotó nem takar rá. c. Vegyük észre, hogy bár a 17-es és 18-as alkotó között nem szerkesztettünk alkotókat, azonban a felület vetett árnyékára nyilvánvalóan hatással vannak. A vetett árnyékuk határa a (felületen lévő) önárnyékhatár-görbe segítségével határozható meg: a 17-es alkotó tengelypontjának vetett árnyékból indul, és az Ö 18,1 -ig tart. d. Az önárnyékhatár-görbéből megkaphatjuk meg a vetett árnyék határát, de az elv fordítva is működik. Amennyiben az összes alkotó vetett árnyékát meghatározzuk, azok burkológörbéje éppen az önárnyékhatár-görbe vetett árnyéka. (Innen a fénysugár irányával szállíthatjuk vissza a felületre az 3

önárnyékhatár pontjait.) Most azonban korábban már meghatároztuk az önárnyékhatár-görbét, ezért abból kiindulva szerkesszük meg annak vetett árnyékát, azaz az alkotók vetett árnyékainak burkológörbéjét (az ábrán a vetett árnyékon belül szaggatott vonallal jelezve). Ezen görbe pontjai például Ö 6,1 és Ö 8,1. 6. Rávetett árnyék meghatározása a. A rávetett árnyék meghatározásához szükségünk van az önárnyékhatár-görbe vetületére, ez indokolja annak megszerkesztését. b. A rávetett árnyékot két görbe határolja. Egyrészt a külső csavarvonal árnyékot vet a felületre, ez az egyik határoló görbe. Másrészt a felület bizonyos (még ismeretlen) pontjai, amelyek nem feltétlenül alkotó-végpontok, szintén árnyékot vetnek a csavarfelületre. c. A vetett árnyék alul lévő határoló görbéjét a földre vetett árnyékból olvashatjuk le: a 11-es ponttól a 13-asig tartó ív rávetett árnyékát keressük, ahol köszönhetően a fénysugár speciális voltának a 11-es árnyéka a tengelyre, a 13-as árnyéka éppen a 3-as végpontra esik. A két pont közötti (felületre rajzolható) íven nyugszik a 2-es alkotó egy pontja. A földre vetett árnyékon a 2-es alkotó vetett árnyéka metszi a külső csavarvonal vetett árnyékát egy P 1 pontban. Fénysugárral a 2-es alkotóra visszavetítve kapjuk az ív P * pontját. A 12-es pont rávetett árnyéka közelítőleg megkapható, ha megszerkesztjük annak a 2-es és 3-as közötti alkotónak a vetett árnyékát, amely a 12 1 -en átmegy. (A közelítő végeredmény az ábrán szerepel.) Ezzel a vetett árnyék alsó határát megkaptuk. d. A vetett árnyék felső határoló görbéjét pontonként szerkeszthetjük meg. A részletes elvet egy kiválasztott alkotón mutatjuk be legyen ez a 6-os alkotó. (Az ötlet elmélyítésére ellenpéldát is bemutatunk, amely alkotón nem találunk látható pontot vetett árnyékból.) A 6-os alkotót mint szakaszt tekintve, az három részre osztható: világosban fekvő rész, rávetett árnyékban lévő rész és önárnyékos rész. Tekintsük a 6-os földre vetett árnyékát. A világosban fekvő rész földre vetett árnyéka olyan tulajdonságú, hogy nincs olyan alkotó, melynek földre vetett árnyéka metszi azt. Ezek a pontok csakis az önárnyékhatár-görbe vetett árnyéka előtt lehetnek. A 6-os földre vetett árnyéka az önárnyékhatár földre vetett árnyékát (azaz az alkotók földre vetett árnyékának burkológörbéjét) a Q 1 -ben metszi. A világosban fekvő rész földre vetett árnyéka a 6 1 Q 1 szakasz. A rávetett árnyékban lévő rész földre vetett árnyéka a Q 1 Ö 6,1 szakasz. Ezen a szakaszdarabon a 6-tól magasabban fekvő alkotók vetett árnyéka metszi a 6-os vetett árnyékát. Ezek a metszéspontok árnyék-fedőpontpárok. A legkülső ilyen árnyék-fedőpontpár földre vetett árnyéka éppen a Q 1 pont. Ezért a Q 1 pontot fénysugáriránnyal visszavetítve a 6-os alkotóra a 6 1 pontot kapjuk, amely a rávetett árnyék határának egy pontja. A 6-os alkotó önárnyékos része az Ö 6 -tól az alkotó tengelypontjáig terjedő szakasz. Összefoglalva: a 6-os alkotó földre vetett árnyékán a sorrend: világos rész rávetett árnyékos rész önárnyékos rész. A 6 1 -től indulva az alábbi pontok földre vetett árnyékát találjuk: 6 1 -től Q 1 -ig a világos rész pontjai, Q 1 -ben kezdődik a rávetett árnyékos rész és az Ö 6 önárnyékhatár-pontig tart. A rávetett árnyéknál a sorrend: Q 1, 9-es, 8-as, majd 7-es alkotóval lévő árnyék-fedőpontpár, végül az Ö 6 pont. Ö 6 -tól a tengelyig az alkotó önárnyékban van. Az imént vázolt elvet végezzük el az 5-ös, 7-es és 8-as alkotókon is. Az 5-ös alkotóra éppen a 11-es alkotó tengelypontja vet árnyékot. Attól a ponttól tovább a tengely vet árnyékot az 5-ös alkotóra. A 7-es alkotó ugyanolyan általános helyzetűnek tekinthető, mint a 6-os. A 8-as alkotó az utolsó, ahol a pontok sorrendje: világos-rávetett-önárnyék. Itt a rávetett árnyék legkülső pontja éppen az Ö 8 önárnyékhatár-pont. (Ez a földre vetett árnyékból leolvasható, mert a 8-as vetett árnyéka pontosan Ö 8,1 -ben lép be az önárnyékos rész földre vetett árnyékába. Az Ö 8 -ban metszi egymást az önárnyékhatár-görbe és a rávetett árnyék görbéje.) Végül tekintsük ellenpéldaként a 10-es alkotót, amelyen nem találunk kijelölhető rávetett árnyékos részt. A földre vetett árnyékból leolvasható, hogy erre az alkotóra csak a 10-es és 11-es alkotók közötti felületdarab vethet árnyékot. A 6-os alkotónál bemutatott elvet követve a 10-esen lévő pontok sorrendje a földre vetett árnyékon a következő: 10 1 -es ponttól az önárnyékhatár földre vetett árnyékkal alkotott látszólagos(!) metszéspontig a 10-es alkotó biztosan fényes. Azonban ezután a metszéspont után az önárnyékhatár-pontjáig csak olyan alkotók metszik a 10-es vetett árnyékát, amelyek alacsonyabban vannak attól. Ezért egészen az önárnyékhatár-pontjáig világosban van a 10-es alkotó. Az önárnyékos részén belül találhatók a magasabban fekvő alkotókkal lévő árnyékfedőpontjai. Röviden: a 10-es alkotó esetén a világos rész után az önárnyék következik, végül pedig a rávetett árnyék. e. Az alsó és a felső határoló görbe megrajzolásával a rávetett árnyékot meghatároztuk. 4

Kiegészítés: Iránnyal párhuzamos érintősík meghatározása zárt, laposmenetű torzcsavarfelülethez Korábban már beláttuk, hogy felület pontbeli érintősíkját a ponthoz tartozó alkotó és a ponton áthaladó (a felület tengelyével egyező tengelyű) csavarvonal érintője feszíti fel. Egy tetszőleges alkotót kiválasztva az adott irányt figyelembe véve az érintősík meghatározott, azonban az érintési pont még ismeretlen. Mindig, amikor az M-en át az i-vel párhuzamos síkot állítunk, a síkok közös egyenese MN lesz. Ebből következik, hogy az összes ilyen sík n nyomvonala N-on megy át. Minden alkalommal 90 -kal azonos irányba forgatunk, ezért az n nyomvonalak forgatottjai, az e -k mindegyike átmegy N-en. (Vesd össze a csavarvonal érintőjénél található magyarázó ábrával.) Az alkotó a vetülete metszi az e -t egy K pontban, amely a keresett érintési pont vetülete. Az OK N derékszögű, ahol tetszőleges pont esetén az O és az N fix. Így a összes ilyen derékszögű háromszög csúcsa az ON fölé írt Thalész-körön van. Az ON-nél pedig az N pont éppen egy olyan csavarvonal érintője, ahol az érintőegyenes megegyezik az iránnyal, a többi esetben csak tartalmazza az adott irányt az érintősík. Ha minden kontúrpont vetülete ON átmérőjű körön van, akkor a kontúrpontok egy hengerre írhatóak. Ezen henger és a zárt, laposmenetű torzcsavarfelület áthatási görbéje pedig egy hengeres csavarvonal. *A precíz szóhasználatban az iránykúp és az aszimptotikus kúp elnevezések a legtöbb esetben mást jelentenek. Aszimptotikus kúpot egy- és kétköpenyű forgáshiperboloid esetén értelmeztünk, amely a megforgatott hiperbola aszimptotáinak megforgatásával keletkezik. Továbbá minden olyan esetben aszimptotikus jelzőt használunk, amennyiben végtelen távolban érintés tényére utalunk. Iránykúp (amennyiben az értelmezhető) alatt olyan kúpot értünk, melynek alkotói egy adott térgörbe vagy felület érintőegyeneseinek, illetve alkotóegyeneseinek állását gyűjtik össze. Segédfájlok: SketchUp-modell és videó Pék Johanna 5