Fontos a pontosság Miklós Ildikó Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok miklosildiko@komal.hu Amikor egy geometriai feladathoz megpróbálunk ábrát rajzolni, elıfordulhat, hogy nehézségekbe ütközünk: az ábra elsı nekifutásra nem felel meg minden feltételnek. Ha a GeoGebra programmal készítjük el az ábrát, kihasználhatjuk a dinamikus program elınyeit: a pontok mozgatásával készíthetünk szemre megfelelı illusztrációt. Ám ez nem pontos szerkesztés! Célunk legyen egy olyan ábra készítése, amely mindig magán hordozza a feladat követelményeit, akkor is, ha a pontokat elmozdítjuk. El kell sajátítani a helyes gondolkodásmódot egy ábra készítésekor. Úgy kell gondolkodnunk, mintha egy papír feküdne elıttünk és rendelkezésünkre állna egy körzı és egy vonalzó. A GeoGebra programmal is így kell dolgoznunk, kihasználva a program adta elınyöket, amelyek leegyszerősítik a szerkesztést. Nézzünk ehhez egy feladatot, amely a Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok (KöMaL) 2008. januári számában került kitőzésre: B. 4061. Adott az ABC és PQR háromszög úgy, hogy az A pont felezi a QR, a P pont a BC oldalt. A QR egyenes felezi a BAC, a BC egyenes a QPR szöget. Bizonyítsuk be, hogy AB+AC=PQ+PR. Anélkül, hogy a feladatot megoldanánk [2], készítsünk hozzá ábrát a GeoGebra segítségével, odafigyelve a geometriai gondolkodásmódra! Vegyünk föl egy tetszıleges ABC háromszöget a (Sokszög) ikon segítségével. Rajzoljuk meg a BC szakaszt felezı P pontot ( Felező vagy középpont), majd az A pontból kiinduló szögfelezıt ( Szögfelező) (1. ábra). Vegyünk föl egy tetszıleges R pontot a szögfelezın ( Új pont) ügyelve arra, hogy a pont valóban a szögfelezın legyen. Ezt úgy érhetjük el, hogy a pont felvételekor a szögfelezı fölé visszük az egérmutatót, ekkor a szögfelezıt vastagabbnak látjuk, az egérmutató pedig + jelbıl nyíllá alakul át. (Ez minden függı objektum felvételekor nagyon fontos: mindig figyeljünk oda, hogy valóban az a pont, egyenes stb. legyen vastagabb, amihez rendeljük az új alakzatot!) Ezután az R pontot mozgathatjuk ugyan, de csak a szögfelezın. Következı lépésként tükrözzük az R pontot az A pontra ( Centrális tükrözés), így megkapjuk a Q pontot (2. ábra).
1. ábra 2. ábra Ekkor már rendelkezésünkre áll a PQR háromszög három csúcspontja, a már ismert segítségével meg is rajzolhatjuk azt (3. ábra). ikon 3. ábra
Kérdés, hogy ekkor a kapott PQR háromszög megfelel-e a kitőzött feladat azon feltételének, mely szerint a BC egyenes felezi az RPQ szöget? Szemmel láthatóan nem, de ezt ellenırizhetjük is, ha megrajzoljuk a ikonnal az RPQ szög felezıjét. Még pontosabb eredményt kapunk, ha megjelöljük az RPB és BPQ szögeket ( Szög), ekkor a GeoGebra kiírja azok nagyságát is (4. ábra). 4. ábra Most már látjuk, hogy ez az ábra így nem megfelelı. Próbálkozhatunk a pontok mozgatásával annak érdekében, hogy úgy tőnjön, az ábránk mégis jó. Ennek érdekében a szabad pontokat (A, B, C), illetve a szögfelezıtıl függı R pontot mozgathatjuk ( Mozgatás). Ha az ábrát megfelelıképpen kinagyítjuk, elérhetjük, hogy szemre az A és a B pont az RPQ szög felezıjén legyen, sıt, a két szög nagyságát is két tizedes jegy pontosságra egyenlınek látjuk (5. ábra). Ezt leellenırizhetjük ( Kapcsolat két alakzat között), ekkor a látszólagos pontosság ellenére az egyenletekkel és koordinátákkal pontosan számoló GeoGebra közli velünk, hogy a két szög nem egyezik meg (6. ábra). Tehát az ábránk mégsem megfelelı, ráadásul, ha ekkor bármelyik mozgatható pont helyzetét megváltoztatjuk, már látszatra sem lesz az.
5. ábra 6. ábra Mi tehát a helyes út? Hol rontottuk el? Nyilvánvalónak látszik, hogy az R pont fölvételekor követtük el a hibát. Geometriai összefüggéseket kell keresnünk, hogy ábránk pontos legyen. Gondolkodjunk! Ábránk megrajzolását ugyanúgy kezdjük el, mint az elıbb (1. ábra); majd fölhasználunk két segédpontot. Rajzoljuk meg az ABC háromszög köré írt kört ( Köré írt kör), a BCA szög felezıjét ( ), valamint az AB szakasz felezımerılegesét ( Szakaszfelező); e két utóbbi egyenes metszéspontja ( Két alakzat metszéspontja) legyen az E pont (7. ábra). Az E pont rajta van a háromszög körülírt körén, mert a kisebbik AB ívet felezi az elıbb fölvett szögfelezı és szakaszfelezı is. A C-ben a szögfelezıre állított merıleges ( Merőleges, ez a háromszög külsı szögfelezıje) és az AB szakasz felezımerılegesének metszéspontja ( ) legyen I. A körülírt körben az EI egyenes átmérı, mert oldalfelezı merıleges. Az ECI szög derékszög, tehát a körülírt kör egyben az IEC derékszögő háromszög Thalész-köre is. Így az I pont is rajta van a körülírt körön.
7. ábra 8. ábra Keressünk most hasonló tulajdonságokkal rendelkezı pontokat a PQR háromszöghöz is. A PQR háromszögnek ismerjük egy csúcspontját (P), egy oldalfelezı pontját (A), és egy szögfelezıjét (BC szakasz). A P pontban a BC szakaszra állított merıleges ( ), és az A pontban az ABC háromszög szögfelezıjére állított merıleges ( ) T metszéspontja ( ) ugyanolyan tulajdonságú a PQR háromszögben, mint az I pont az ABC háromszögben, tehát rajta van a PQR háromszög körülírt körén. (A T pont mellesleg ugyanilyen tulajdonsággal rendelkezik az ABC háromszöggel kapcsolatban is, tehát rajta van e háromszög körülírt körén is.) A BC szakasz meghosszabbítása ( Egyenes két ponton keresztül) a PQR háromszög szögfelezıje, így ennek az A pontban az ABC háromszög szögfelezıjére állított merılegessel vett K metszéspontja ( ) ugyanolyan tulajdonságú a PQR háromszögben, mint az E pont az ABC háromszögben, tehát ugyancsak rajta van a PQR háromszög körülírt körén (8. ábra). A három pont (P, T, K) ismeretében a kört már meg tudjuk rajzolni ( ). Az ABC háromszög A-nál levı szögfelezıje a PQR háromszög oldalegyenese, így a körülírt körrel való két metszéspontja ( ) lesz a háromszög Q és R csúcspontja (9. ábra). Az eddigiek alapján a PQR háromszög megfelel a feladat feltételeinek, de hogy biztosak legyünk, ezt le is ellenırizhetjük
( Távolság, illetve ): QA = AR és RPB = BPQ (10. ábra). 9. ábra 10. ábra Most már azt is kihasználhatjuk, hogy a GeoGebra dinamikus: az A, B, C pontokat mozgatva mindig helyes ábrát fogunk kapni (11., 12. ábra).
11. ábra 12. ábra Ez természetesen csak egy példa volt a helyes szerkesztésre. További meggondolást igényel, hogy létezik-e olyan szerkesztés, amelynél nem az A, B, C pontok lesznek a szabad pontok, hanem esetleg a három szabad pont megoszlik a két háromszög között. Köszönetnyilvánítás. Köszönettel tartozom Nagy Gyulának, a Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok fıszerkesztıjének a megoldáshoz nyújtott szóbeli segítségéért. Hivatkozások [1] http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/hungarian. [2] B. 4061. feladat megoldása, Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok, 59(4) (2009. április), 211 214. http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=feladat&f=b4061&l=hu.