Kérdések és feladatok atom- és magfizikából Dr. Horváth András, Berta Miklós 0.2-es változat Tudnivalók Kedves Hallgató! Az alábbiakban egy válogatást közlünk az elmúlt évek vizsga- és ZH-feladataiból. Időnk és energiánk nincs egy lektorált, szerkesztett feladatgyűjtemény megjelentetésére, ezért a feladatok sorrendje önkényes. Több szak azonos témához tartozó feladatai is keverednek itt, így előfordulhat, hogy egy-egy témából van feladat, de a kedves Olvasó kurzusán az a téma nem kerül elő sem előadáson, sem vizsgán. Az azonban biztos, hogy ebben a formában is sokat könnyít a vizsgára való készülésben, mert a főiskolai szakokon a témakört szinte 100%-osan lefedi. A következő dolgokat figyelembe kell venni az olvasáskor: 1. Az elméleti és kidolgozott feladatok egy megoldását adjuk. Természetesen tartalmilag azonos, de más megfogalmazású, illetve a részeredményekhez más sorrendben eljutó megoldásokat is elfogadunk. 2. A kidolgozott feladatok megoldása csak a legfontosabb részleteket tartalmazza. Nincsenek pl. a részletszámítások, képletátrendezések lépései kiírva. (Elképesztően sok munka lenne begépelni.) A számonkérés során természetesen a részletszámításoknak rajt kell lenni a beadott papíron, azaz egy számolós feladat megoldása vizsgán vagy ZH-n az itt közölteknél bővebb kell legyen. 3. A számszerű végeredmények néha függenek a számítások során elkövetett kerekítési hibáktól. Kisebb-nagyobb eltérések ebből is adódhatnak. 4. A gyűjteményt időnként javítjuk és bővítjük. Érdemes néha utánanézni, van-e frissebb változat. A bővítéskor a feladatok sorszámozása átrendeződhet. Kérjük ezt figyelembe venni. Szigorúan tilos :-) 1.... bemagolni az itt közölt megoldásokat. Ez nem vezet a megértéshez, viszont több veszélye is van. Pl. a vizsgán szereplő kérdés lehet, hogy középtájon egyetlen szóban különbözik csak az itteni kidolgozott kérdéstől. Ekkor a bemagolt válasz teljesen rossz lehet. Másik veszély: a magolás nyomán leírt megoldás nem fogja tartalmazni a részletszámításokat. Ezek nélkül a megoldás értéke 0 pont, hisz a vizsgázó nem mutatja meg, hogy egyedül is képes megoldani a feladatot. 2.... puskát készíteni ebből a gyűjteményből. Ezt nem kell bizonygatni :-). 1
3.... szidni a tanárt, miért nem csak innen válogat a vizsgán. Ez a feladatgyűjtemény elősegíti a tanulást. Aki ez alapján megérti az adott témát, az minden feladatot képes megoldani. Az azonban elfogadhatatlanul csökkentené a színvonalat, ha csak ebből a gyűjteményből adnánk feladatokat. 4.... szidni a tanárt, miért nem dolgozott ki ilyen feladatgyűjteményt minden témához. Energiáink végesek. Ha látjuk a feladatgyűjtemény pozitív hatását a diákok tudására, akkor még jelen feltételek mellett (ingyenmunka) is folytatni fogjuk a munkát. Kérjük, jelezzék, ha hibát találnak a feladatgyűjteményben. Jó tanulást kívánnak a szerzők: Berta Miklós Dr. Horváth András Elméleti kérdések E-1.: Írja fel a hidrogénatom elektronjának mozgásegyenletét a Bohr-modell szerint! Válasz: m v2 r = e2 4πε 0 r 2 E-2.: Írja fel egy λ hullámhosszúságú foton impulzusát! Válasz: p = h λ E-3.: Hogyan keletkezik röntgensugárzás elektronnyaláb fémbe való becsapódásakor? Válasz: Fékezési: az anyagban a gyorsított külső elektron fékeződik. Mivel töltött részecske, így fékezési röntgensugárzás forrásává válik. Karakterisztikus: a gyors külső elektron az anyag atomjainak belső,,elektronpályáiról kötött elektront lök ki. Ennek helyére a magasabb pályák valamelyikéről elektron ugrik át, miközben a pályák közti energiakülönbséget egy foton formájában kisugározza. Ennek az átugró elektronnak a helyére megint csak egy magasabb pályáról elektron ugrik át... Az átugrásokkor keletkező fotonok a karakterisztikus röntgensugárzás fotonjai. E-4.: Írja fel Bohr posztulátumait! Válasz: Lásd a tankönyvben az Atomszerkezet című fejezetet. E-5.: Mit határoz meg fémek esetében a kilépési munka? Válasz: Azt a minimálisan szükséges külső munkamennyiséget, amivel a fém elektronját a fémből ki lehet szakítani. 2
E-6.: Mit jelent az a megállapítás, hogy a hidrogénatom spektruma vonalas? Válasz: Azt, hogy a hidrogén csak bizonyos frekvenciájú fotonokat tud kibocsátani vagy elnyelni. E-7.: Mekkora a perdület kvantuma (egységnyi adagja) a kvantummechanikában? Válasz: h 2π E-8.: Mire szolgál az atomerőművekben a moderátor? Válasz: A hasadáskor keletkező gyors neutronokat lassítja. E-9.: Mi a szükséges feltétele annak, hogy a nukleáris láncreakció szabályozható legyen? Válasz: A reaktor prompt neutronokra ne legyen kritikus, de ha beszámoljuk a késő neutronokat is, akkor már igen. E-10.: Milyen kettős szerepe van egy nyomottvizes reaktorban a víznek? Válasz: A víz a moderátor és a hűtőközeg is. E-11.: Mely két alapelv alapján magyarázható a periódusos rendszer szerkezete? Válasz: Az energiaminimum elve és a Pauli-elv alapján. E-12.: A paksi reaktorokban a hűtővíz hőmérséklete kb. 300 C. Hogy lehetséges, hogy még mindig folyékony halmazállapotú? Válasz: Úgy, hogy az egész reaktor egy zárt rendszer, amiben kb. 130 atmoszféra nyomás uralkodik. E-13.: Írja le, mit jelent a félév során tanult E = hν képlet három betűje. Mit mond ez a formula az elektromágneses sugárzásról? Válasz: E: foton energiája. h: Planck-állandó. ν: fény frekvenciája. Fizikai tartalom: az elektromágneses sugárzás ekkora adagokra, fotonokra csoportosítható pl. keletkezésekor és elnyelődésekor. E-14.: Fémre eső fotonok onnét elektronokat löknek ki. A fény melyik jellemzőjét kell változtatni, és milyen irányban, ha azt szeretnénk, hogy a kilépő elektronok sebessége csökkenjen? Miért? Válasz: Mivel egy foton egy elektronnal hat kölcsön, ezért a kilépő elektronok sebességét a belépő fotonok energiájának csökkentésével csökkenthetjük. Ez viszont az E = hν formula miatt a fotonok frekvenciájának csökkentésével (vagy hullámhosszának növelésével) érhető el. E-15.: Írja le, hogy a természetes radioaktivitás 3 fő fajtája esetében hogyan változik a bomló mag rendszáma és tömegszáma. Válasz: α: rendszám 2-vel csökken, tömegszám 4-gyel csökken. β: rendszám 1-gyel nő, tömegszám nem változik. γ: egyik sem változik. E-16.: Miért nem tapasztalható a Compton-effektus a látható fény fotonjainál? Válasz: A látható fény fotonjai sokkal kisebb tömegűek az elektronoknál. Ezért az elektronokon szóródva azokat csak kis mértékben gyorsítják fel, azaz kevés energiát vesztenek, így viszont energiájuk és frekvenciájuk csak elhanyagolható mértékben változik meg. Ezért a látható fény kimutatható frekvenciaváltozás nélkül szóródik az elektronokon, azaz a Compton-effektus nem mutatható ki. 3
E-17.: Miért? Mi történne a magreakciókkal egy atomerőműben, ha a moderátoranyag hirtelen eltűnne? Válasz: A moderátor nélkül a hasadáskor keletkező gyors neutronok nem lassulnánk le, ezért kisebb valószínűséggel hasítanának újabb magokat. Ez viszont a magreakciók leállását eredményezné. E-18.: Két atom magjának rendszáma megegyezik, de tömegszáma különbözik. Mondjon egy fontos szempontot, mely szempontjából azonosan és egy másikat, amely szempontjából különbözően viselkedik a két atom. Válasz: A két atom kémiai tulajdonságai lényegében megegyeznek. A két atom radioaktivitás szempontjából lényegesen eltérhet egymástól. (Vagy: az atomból képzett vegyületek forrás- és olvadáspontja térhet el kissé.) E-19.: A He, Fe és U atomok közül melyiknek a legnagyobb az egy nukleonra jutó kötési energiája? Nagyságrendileg mekkora ez az érték? Válasz: A Fe környékén a legnagyobb a kötési energia az összes atom közül, így az első kérdésre a válasz: a Fe körül. Itt egy nukleonra kb. 8,5 MeV kötési energia jut. (5 és 15 MeV között elfogadható a válasz.) E-20.: Írja fel azt a formulát, amelyik megadja, mekkora energiájú adagokban történik a fény kibocsátása! A használt betűknek adja meg a magyarázatát pár szóban! Válasz: ahol: E: foton energiája. h: Planck-állandó. ν: fény frekvenciája. E = hν E-21.: Fotonok ütköznek szabad elektronokkal. A szóródó fotonok frekvenciáját számottevően kisebbnek tapasztaljuk, mint a bemenőkét. Mit tudunk ez alapján mondani a fotonokról? Válasz: A fotonok tömege összemérhető kell legyen az elektronokéval. Ez csak röntgensugárzás esetén valósul meg. (A jelenség a Compton-effektus.) E-22.: Két foton közül az elsőnek nagyobb az energiája, mint a másodiknak. Melyiknek nagyobb a tömege? Melyiknek nagyobb a hullámhossza? Miért? Válasz: A nagyobb energia E = mc 2 miatt nagyobb tömeget is jelent, tehát az elsőnek nagyobb a tömege. A nagyobb energia E = hν miatt nagyobb frekvenciát is jelent, de az c = νλ miatt kisebb hullámhossznak felel meg. Tehát a másodiknak nagyobb a hullámhossza. E-23.: Ismertesse röviden, miért nem lép ki egy elektron sem a fémekből fény hatására, ha a fény hullámhossza egy kritikus értéket meghalad! Válasz: A fémekből való kilépéshez egy bizonyos energiára szükség van, amit kilépési munkának nevezünk. Ha a fény fotonjainak energiája ezt nem éri el, akkor nem történik kilépés. Márpedig a fotonok energiája fordítottan arányos a hullámhosszal (E = hc/λ), ezért nagy hullámhosszhoz kis energia tartozik. E-24.: Miért aranyfóliát használt Rutherford híres kísérletében? Válasz: Mert aranyból igen vékony fólia készíthető, ami nem nyeli el az alfa-sugárzást. 4
E-25.: A 90 foknál jobban eltérülő alfa-részecskékből miért lehetett az atommag létére következtetni a Rutherford-kísérletben? Válasz: A számítások szerint ilyen nagy eltérítést csak olyan erős elektromos tér tud okozni, mely csak akkor lép fel, ha az atom pozitív töltése igen kis helyre van koncentrálva. E-26.: Miért helytelen az atomot úgy elképzelni, mintha a klasszikus fizika törvényei szerint pontszerű elektronok keringenének az atommag körül? (1 ok elegendő.) Válasz: Ilyen méretskálán már nem hanyagolható el az elektron hullámtulajdonsága, ezért határozott pálya nem tulajdonítható neki. Vagy: A klasszikus fizika törvényei szerint a keringő elektronnak sugározniuk kellene és a számítások szerint az ebből fakadó energiaveszteség miatt a másodperc törtrésze alatt az elektron a magba zuhanna. E-27.: Az atomok színképvonalainak frekvenciájából az elektronszerkezet milyen számszerű jellemzőire lehet következtetni? Válasz: Az elektronok energiaszintjeinek távolságára. E-28.: A modern fizika szerint minden test rendelkezik hullámtulajdonsággal is. Mondjon egy okot, miért nem érzékelhető ez egy porszemnél! Válasz: Még a porszemek tömege is olyan nagy, hogy a hőmozgásból adódó mozgási sebesség esetén is hullámhosszuk sokkal kisebb, mint a fény hullámhossza. E-29.: Mit mutat meg a hullámfüggvény abszolút értékének négyzete? Válasz: A részecske megtalálási valószínűségét. E-30.: Sorolja fel az atomon belüli elektronokat jellemző kvantumszámokat! Válasz: főkvantumszám, mellékkvantumszám, mágneses kvantumszám, spinkvantumszám. E-31.: Az n = 3 fő- és l = 2-es mellékkvantumszámú állapotban legfeljebb hány elektron tartózkodhat egy atomon belül? Válasz: l = 2 miatt m = 2, 1, 0, 1, 2 állapotok megengedettek, mindegyikük esetén s = ±1/2 lehet. Ez összesen 5 2 = 10 lehetőség. E-32.: Mindenfajta részecskére vonatkozik Pauli-elv jellegű megszorítás? Ha nem, mondjon példát! Válasz: Nem, például a fotonokra nem érvényes. E-33.: Milyen kapcsolatban van az atom rendszáma és elektronjainak száma? Válasz: Megegyezik. E-34.: Milyen fizikai jelenség áll a mögött, amit úgy fejezünk ki szemléletesen, hogy Az atomok törekednek betöltött elektronhéjakat kialakítani.? Válasz: Az energiaminimum-elv. E-35.: Milyen az elektronszerkezete a nemesgázoknak? Válasz: A legkülső elektronhéjuk is teljesen betöltött. E-36.: Nagyságrendileg mekkora a magerők hatótávolsága? Válasz: 10 15 m. E-37.: Mi a szerepe az elektronoknak az atommag szerkezetének kialakításában? Válasz: Gyakorlatilag semmi. 5
E-38.: Mit lehet meghatározni a tömegdefektus mértékéből? Válasz: A mag kötési energiáját. E-39.: Írja fel, hogyan változik egy atommag rendszáma és tömegszáma β-bomláskor! Válasz: A tömegszám nem változik, a rendszám eggyel nő. E-40.: Miért kíséri gyakran γ-sugárzás az α-sugárzást? Válasz: Mert az α-sugárzás után visszamaradó mag általában nincs energiaminimumban. A minimális energiájú állapotra törekvő magban pedig az alacsonyabb energiaszintekre kerülő nukleonok a közben felszabaduló energiát γ-sugárzás formájában sugározzák ki. E-41.: Nagyságrendileg mekkora egy α-részecske energiája? Válasz: 1 20 MeV E-42.: Hányadrészére csökken egy radioaktív anyag aktivitása 3 felezési idő alatt? Válasz: Nyolcadrészére. E-43.: Két radioaktív anyagdarabban pillanatnyilag azonos mennyiségű radioaktív atom van, de az első felezési ideje kétszerese a másodikénak. Hogyan viszonyulnak egymáshoz az aktivitások? Miért? Válasz: Tudjuk, hogy A = λn = (ln 2/T 1/2 )N. Azonos mennyiségű mag esetén tehát A és T 1/2 fordítottan arányosak. Ezért a feladatbeli második anyagdarab aktivitása kétszer nagyobb, mint az elsőé. E-44.: Mit értünk a láncreakciószerű maghasadás esetén kritikus tömeg alatt? Válasz: Azt a tömeget melynek együttléte szükséges az önfenntartó láncreakcióhoz. E-45.: Miben különbözik a dúsított urán a természetestől? Válasz: Több benne a 235-ös tömegszámú izotóp. E-46.: Milyen tulajdonságokkal kell rendelkezzen egy anyag, hogy jó moderátor legyen belőle maghasadáson alapuló láncreakciókhoz? (3 tulajdonság.) Válasz: 1. Kis valószínűséggel nyelje el a neutronokat. 2. Kicsi legyen a tömegszáma. 3. Nagy mennyiségben előállítható legyen. E-47.: Az atomerőművek biztonsági rúdjai hogyan viselkednek a neutronokkal szemben? Válasz: Elnyelik őket. E-48.: Mi a magas hőmérséklet szerepe a fúziós kísérletekben? Válasz: Az erős hőmozgás adja a magoknak azt az energiát, mely segítségével legyőzik egymás elektrosztatikus taszítását. Így tudnak olyan közel kerülni egymáshoz, hogy a magerők működésbe tudjanak lépni. E-49.: Az asztalon, tőlünk 5 m-re egy α-sugárzó anyagdarab van. Félnünk kell-e, hogy közvetlen sugárfertőzést kapunk? Miért? Válasz: Nem, mivel az α-sugárzást már 10 cm-es levegőréteg is szinte teljesen elnyeli. E-50.: Miért okoz erős kémiai roncsolást egy kis radioaktív anyagdarab is? Válasz: Azért, mert egy mag elbomlása során MeV nagyságrendű energia szabadul fel, míg a kémiai kötések energiája az ev nagyságrendjébe esik. Így egy radioaktív részecske milliós nagyságrendű kémiai kötést tud felbontani, miközben lefékeződik illetve elnyelődik az anyagban. 6
Kidolgozott feladatok K-1.:Régészek egy őskori lelet 14 C-izotópos vizsgálatakor megállapították, hogy a leletben a 14 C izotóp mennyisége az eredeti érték tized része. Határozza meg a lelet korát! (A 14 C izotóp β-bomlással bomlik, és felezési ideje 5 730 év.) Megoldás:A feladat szövegéből adódik, hogy a 14 C-izotóp radioaktív bomlással bomlik, tehát érvényes a bomlási törvény: N(t) = N 0 e λt = N 0 e t ln 2 T 1/2 Mivel: ezért: A lelet tehát kb. 20 000 éves. t = T 1/2 N(t) N 0 = 0,1, ln 0,1 ln 2 = 19 035 év K-2.:Becsülje meg, hogy a 12 6 C szén 1 kilogrammjában hány szénatom található! Megoldás:Az Avogadro-szám definíciójából következik, hogy 1 mól anyag N A = 6 10 23 db alkotóelemet tartalmaz. Tehát elegendő meghatározni, hogy 1 kg 12 6 C szén hány mól. Továbbá ismert az anyagmennyiség definíciója, amelyből következik, hogy 1 mól 12 6 C szén 12 g. Tehát 1 kg 12 6 C szén anyagmennyisége: n = 1000/12 mól. n mól 12 6 C szénben tehát: N = n N A = 5 10 25 atom van. K-3.: Becsülje meg mekkora a térfogata egy 235 U atommagnak! (A proton sugara 1,2 10 15 m.) Megoldás: Mivel az atommagok jó közelítéssel gömbnek tekinthetők, így csak egy R sugarú gömb térfogatát kell kiszámítani. Tudjuk, hogy az atommagok sugara és nukleonszáma között fennáll a következő összefüggés: R = r 0 A 1/3 Tehát: V = 4 3 πr3 = 1,7 10 42 m 3 7
K-4.:Számolja ki, milyen hullámhosszúságú az a foton, amelyik még éppen képes kiszakítani a hidrogén második gerjesztett állapotából az elektront! (A hidrogénbeli elektron energiája alapállapotban E 1 = 13,4 ev) Megoldás: A második gerjesztett állapotban az elektronállapot fő kvantumszáma n = 3. Tehát ebben az állapotban az elektron energiája: E 3 = E 1 = 1,5 ev n2 A fotonnak legalább ekkora abszolút értékű energiával kell rendelkeznie ahhoz, hogy az elektront kiszakítsa az atom kötelékéből. E ν = 1,5 ev = 2,4 10 19 J Tehát a hullámhossz: λ = h c E ν = 800 nm K-5.: Egy radioaktív anyagdarab egyféle izotópból áll. Minden bomláskor 10 MeV energia szabadul fel. A felezési idő 56 nap, a pillanatnyi aktivitás 9,2 10 9 Bq. Mekkora teljesítménnyel adja le most az energiát az anyagdarab? Hány atommag van benne most? Összesen mennyi energiát fog szétsugározni mostantól kezdve? Megoldás: Számoljuk ki előbb a bomlási állandót: λ = ln 2 T 1/2 = 0,6931 56 24 60 60 = 1,43 10 7 1 s 1 s alatt A = 9,2 10 9 bomlás mindegyike E = 10 MeV energiát szabadít fel, így a teljesítmény nyilván: P = AE = 0,0147 W A másodpercenkénti bomlások szám épp az aktivitás: ahonnét a radioaktív magok száma: A = Nλ N = A λ = 6,43 1016 Az össz energia az N atom elbomlásából származik, azaz: Eössz = E N = 1,03 10 5 J K-6.: A rádium felezési ideje 1590 év, és egy mag bomlásakor 17 MeV energia szabadul fel. A rádium móltömege kb. 230 g/mol. Másodpercenként hány joule energia szabadul fel egy 1 g-os Ra-darabban? Megoldás: 1 g, azaz 0,001 kg Ra-ban található atomok száma: N = 0,001 kg 0,230 kg/mol = 0,00435 mol = 0,00435 6 1023 = 2,61 10 21 A bomlási állandó egyszerűen számolható: λ = ln 2 T 1/2 = 0,693 1590 365,24 24 60 60 = 1,38 10 11 1 s Az aktivitás így: A = Nλ = 3,60 10 10 Bq 8
Mivel az aktivitás az 1 s alatti bomlások számát adja meg, és ismerjük egy bomlás E 1 = 17 MeV energiáját, ezért a felszabaduló teljesítmény nyilván: P = AE 1 = 3,60 10 10 17 10 6 1,6 10 19 = 0,098 W K-7.: Egy uránmag hasadásakor kb. 200 MeV energia szabadul fel. Az urán móltömege kb. 230 g/mol. Becsülje meg, mennyi anyag alakul át a robbanás energiájává egy 20 kg-os urántöltetet tartalmazó bomba robbanásakor! Megoldás: 20 kg uránban levő magok száma: A felszabaduló energia tehát: N = 20 kg 0,23 kg 6 1023 = 5,22 10 25 E = N 200 MeV = 1,67 10 15 J Az ennek megfelelő tömeg: m = E = 0,019 kg c2 K-8.: Egy 4 He-atommag kb. 1,5%-kal könnyebb, mint két darab 2 H (nehézhidrogén). Mennyi energia szabadul fel 1 kg nehézhidrogénből, ha fúzióval 4 He-t gyártunk belőle? Hány napig tudna ebből egy feltételezett erőmű egy kisvárost energiával ellátni, ha a felszabaduló energiát 20% hatásfokkal tudnánk használhatóvá alakítani és a kisváros átlagosan 12 MW teljesítményt igényel? Megoldás: 1 kg nehézhidrogénből 1,5%, azaz m =0,015 kg tűnik el, pontosabban alakul át energiává. A felszabaduló energia tehát: E = mc 2 = 1,35 10 15 J A hasznosított energia ennek 20%-a, azaz E h = 0,2E és ezt P = 12 MW teljesítménnyel kellene felhasználni. P = E h /t miatt a kérdezett idő tehát: t = E h P = 2,25 107 s 260 nap K-9.: Protont gyorsítunk 2,5 MV feszültséggel, majd 0,14 T erősségű mágneses térbe lőjük. Itt 7000 fordulatot végeztetünk vele. Mennyi ideig tart az 7000 fordulat megtétele? Mekkora lesz a sebessége a fordulatok után? Megoldás: A mágneses térben tett fordulatok nem változtatják meg a proton sebességének nagyságát, hisz a mágneses tér nem végez munkát. A proton sebességét tehát a 2,5 MV-os gyorsítás határozza meg. Ez egyszerűen meghatározható a tanult összefüggés alapján: 1 v = c 1 (1 + qu m 0 ) = 0,0728 c = 2,2 m c 2 107 s 2 (Megjegyzés: mivel a sebesség kisebb, mint c/10, ezért jó közelítéssel alkalmazható a klasszikus fizikai közelítés, de ekkor a megoldásnak feltétlen tartalmaznia kell a klasszikus közelítés jogosságának indoklását.) 9
Ilyen kis sebesség esetén a tömegnövekedés elhanyagolható, így egy fordulat ideje: T = 2π ηb = 2πm 0 qb = 4,68 10 7 s Ezért a 7000 fordulat ideje: T 7000 = 7000 T = 0,00328 s K-10.: Egy radioaktív anyagdarab aktivitása pillanatnyilag 5,3 10 10 Bq, és azt is tudjuk, hogy 0,08 W teljesítménnyel adja le energiáját. Hány elektronvolt az egy mag elbomlásakor felszabaduló energia? Tudjuk, hogy 6,8 10 16 db radioaktív mag van jelenleg az anyagban. Mekkora a felezési idő? Megoldás: A feladat szövege alapján a másodpercenkénti bomlások száma 5,3 10 10, és ez 0,08 J energiának felel meg. Ezért az egy bomláskor felszabaduló energia: E 1 = P A = 0,08 J/s 5,3 10 10 1/s = 1,51 10 12 J = 9,4 MeV Az aktivitás, a magok száma és a bomlási állandó közt egyszerű kapcsolat van, amiből utóbbi könnyen kiszámolható: A = N λ ahonnét λ = A N Ebből viszont a felezési idő kapható meg könnyen: T 1/2 = ln 2 λ = N ln 2 A = 6,8 1016 0,6931 5,3 10 10 = 8,89 10 5 s (= 10,3 nap) K-11.: Egy radioaktív anyag felezési ideje 120 nap, pillanatnyi aktivitása 5,6 10 9 Bq. Mekkora lesz aktivitása 1000 nap múlva? Ha bomlásonként 9 MeV szabadul fel benne, akkor mekkora teljesítményt ad le kezdetben? Megoldás: t = 1000 nap múlva az aktivitás: A(t) = A 0 e λt A bomlási állandó a felezési időből számolható: λ = ln 2 T 1/2 = ln 2 1,04 10 7 s = 6,69 10 8 1 s Így a bomlási törvény már alkalmazható, azaz t = 1000 nap= 8,64 10 7 s múlva az aktivitás: A(t) = 5,6 10 9 e 5,78 = 1,74 10 7 Bq Mivel az aktivitás a másodpercenkénti bomlások számát adja meg, és bomlásonként E 1 = 9 MeV szabadul fel, ezért a kérdezett teljesítmény: P = A 0 E 1 = 5,6 10 9 1 s 9 106 1,6 10 19 J = 8,1 10 3 W 10
K-12.: Egy radioaktív anyagdarab aktivitása most 6,8 10 9 Bq, relatív atomtömege 129 g/mol, a radioaktív anyag össztömege 5,2 g. Hány el nem bomlott mag van benne most? Mekkora a felezési ideje? Mekkora lehetett aktivitása három felezési időnyivel a mérés pillanata előtt? Megoldás: Mivel 1 mól anyag 129 g tömegű, ezért 5,2 g nyilván 5,2/129 = 0,0403 mólnyi, azaz az el nem bomlott magok száma: N = 0,0403 6 10 23 = 2,42 10 22 A bomlási állandó most már megkapható, hisz tudjuk, hogy A = Nλ: Innen a kérdezett felezési idő: λ = A N = 6,8 109 2,42 10 22 = 2,81 10 13 1 s T 1/2 = ln 2 λ = 2,47 1012 s ( 78 000 év) Mivel egy felezési idő alatt az aktivitás feleződik, ezért három felezési idő alatt a nyolcadára csökken. Így két felezési idővel a mérés megkezdése előtt az aktivitás a pillanatnyinak a 8-szorosa kellett legyen, azaz: A = A 8 = 5,44 10 10 Bq /Ugyanez természetesen a bomlási törvényből is meghatározható, csak jóval bonyolultabban. Természetesen az a megoldás is jó!/ K-13.: Írja fel a 9-es rendszámú atom alapállapotában az elektronok kvantumszámait! Hány vegyértékelektronnal rendelkezik ez az atom? Megoldás: 2 elektron: n = 1, l = 0, m = 0, s = ±1/2; 2 elektron: n = 2, l = 0, m = 0, s = ±1/2; 2 elektron n = 2, l = 1, m = 0, s = ±1/2; 3 elektron az n = 2, l = 1, m = ±1, s = ±1/2 állapotok valamelyikében. Vegyértékelektronok száma: 7. (Ennyi van az n = 2-es, betöltetlen szinten.) K-14.: Egy radioaktív anyagdarab aktivitása pillanatnyilag 7,3 10 10 Bq, és azt is tudjuk, hogy 0,05 W teljesítménnyel adja le energiáját. Hány ev az egy mag elbomlásakor felszabaduló energia? Tudjuk, hogy 6,8 10 16 db radioaktív mag van jelenleg az anyagban. Mekkora a felezési idő? Mikor lesz aktivitása 10 8 Bq? Megoldás: Mivel másodpercenként A 0 = 7,3 10 10 bomlás történik, és az összesen 0,05 J energiát jelent, ezért 1 bomlás energiája: E 1 = Mivel A = Nλ, így a kezdeti időpontban: 0,05 J 7,3 10 10 = 6,85 10 13 J = 4,28 10 6 ev Ebből a felezési idő: A bomlástörvény: innét a kérdezett idő: λ = A 0 N 0 = 7,3 1010 6,8 10 16 = 1,07 10 6 1 s T 1/2 = ln 2 λ = 6,46 105 s ( 7,5 nap) A 1 = A 0 e λt t = 1 λ ln A 0 A 1 = 6,14 10 6 s ( 71 nap) 11
K-15.: Egy lézer 6,5 10 7 m hullámhosszúságú fotonokat bocsát ki 0,005 W teljesítménnyel. A kilépő nyaláb átmérője 5 mm. Legalább mekkora lesz a nyaláb átmérője 100 m út után? (A határozatlansági relációk szerint.) Mekkora lesz itt a fény intenzitása? (W/m 2 -ben mérve.) Megoldás: Alkalmazzuk a x p x h/(2π) határozatlansági relációt a lézersugár irányára merőlegesen! Ekkor x = d = 5 mm, ezért a nyalábra merőleges lendületbizonytalanság: A fotonok lendülete pedig: p x h 2πd p = h λ Ez azt jelenti, hogy a nyaláb irányában p a fotonok lendülete, a merőleges komponens pedig ± p x közt bármi lehet. Így irányuk bizonytalansága: tan α = p x p = λ 2πd 100 m utat megtéve ezért a nyaláb felfelé és lefelé egyaránt 100 m tan α-nyit fog kiszélesedni, az az új átmérő: D = d + 2 100 m tan α = d + 200 m λ 2πd = 0,0091 m = 9,1 mm Itt tehát A = (D/2) 2 π = 6,56 10 5 m 2 felületen oszlik meg a P = 0,005 W teljesítmény. Ezért az intenzitás: I = P A = 76,2 W m 2 Gyakorló feladatok Gy-1.: Milyen hullámhosszúságú foton keletkezik akkor amikor a hidrogénatom elektronja az n = 3 kvantumszámmal jellemzett állapotból az m = 2 kvantumszámmal jellemzett állapotba kerül? Gy-2.: Mekkora az ezüst felületéről λ = 1500 10 10 m hullámhosszúságú fotonok hatására kilépő fotoelektronok sebessége, ha a fotoelektronok az ezüst felszínéről λ kr = 2600 10 10 m hullámhosszúságú fotonok hatására kezdenek el kilépni? Gy-3.: Határozza meg a hidrogénatomok által kibocsátott azon fotonok hullámhosszát, amelyek az elektron 3-as főkvantumszámú pályájáról alapállapotba történő kvantumugráskor keletkeznek! Gy-4.: 55 kev feszültséggel gyorsított elektronok nagy rendszámú fém felületébe csapódnak. Mekkora a legnagyobb energiájú röntgenfotonok hullámhossza? Gy-5.: Mekkora a perdülete Bohr elmélete alapján a H atomban a második gerjesztett állapotban lévő elektronnak? Gy-6.: A rádium felezési ideje 1590 év, és egy mag bomlásakor 17 MeV energia szabadul fel. Másodpercenként hány joule energia szabadul fel egy 1 g-os Ra-darabban? Gy-7.: Egy radioaktív anyag aktivitását mérjük. A mérés kezdetekor ez 6,2 10 9 Bq, pontosan 3 nap múlva már csak 4,8 10 9 Bq. Mekkora a felezési ideje? Hány radioaktív atommag maradt meg a második mérés idejére? 12
Gy-8.: Egy ásatáskor előkerült csontvázban 0,35-ször annyi 14-es C-izotóp van, mint egy frissben. (A 12-eshez viszonyítva.) Milyen régi a lelet, ha a 14-es C-izotóp felezési ideje 5600 év? Gy-9.: Becsülje meg, mennyivel csökken 1 kg 235 92 U tömege, ha az összes mag elhasad benne! (Tegyük fel, hogy kb. 200 MeV szabadul fel minden hasadáskor.) Gy-10.: Egy virágporszem tömege 2 10 9 kg. Helyzetét egy mikroszkóp alatt 3 10 6 m pontossággal határozzuk meg. Mekkora sebességbizonytalanság következik a határozatlansági relációkból? Ekkora sebességgel mennyi idő alatt tenné meg a távolságmérés pontosságának megfelelő távolságot, ha egy irányba haladna végig? Gy-11.: Egy fényforrás 100 W teljesítménnyel 4 10 7 m hullámhosszúságú fotonokat sugároz. Hány foton hagyja el másodpercenként? Ha 3 m-re állunk tőle, hány foton lép 1 s alatt be egy szemünk pupilláján, ha a pupilla átmérőjét 3 mm-nek vesszük? 1 nap folyamatos működés alatt mekkora a kibocsátott fotonok össztömege? Gy-12.: Számolja ki, mekkora tömege van egy köbméter napfénynek, ha tudjuk, hogy merőleges beesés esetén a napfény 1368 W/m 2 intenzitású. Gy-13.: Egy felületet 1000 W/m 2 intenzitással 5 10 7 m hullámhosszúságú fotonokból álló fény ér merőleges beeséssel. Hány foton éri a felület 1 m 2 -ét egy másodperc alatt? Mekkora az egyes fotonok lendülete? Ha a felület teljesen visszaveri a sugárzást, akkor mekkora nyomás származik a fotonoktól? Gy-14.: Számolja ki, milyen hullámhosszúságú az a foton, amelyik még képes kiszakítani a hidrogénatom 3-as főkvantumszámú állapotban levő elektronját! Melyik színképtartományba esik ez a foton? 13