Síklapú testek Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal Az előadás átdolgozott részleteket tartalmaz a következőkből: Gubis Katalin: Ábrázoló geometria Vlasta Szirovicza: Descriptive geometry
Síklapú testek Sokszöglapok által határolt testek. Mi csak gúlákkal és hasábokkal foglalkozunk. Gúla Egy síkbeli sokszög csúcsait egy olyan ponttal kötjük össze, amely nem illeszkedik a sokszög síkjára. Az így keletkezett gúlának az említett sokszög az alapsokszöge, a többi lapjai az oldallapok. Hasáb Egy síkbeli sokszöget a térben eltolva hasábot kapunk. A sokszög kiinduló helyzete az alaplap, a végső helyzete a fedőlap, melyeket az oldallapok kötnek össze.
Hasáb Az alap- és fedőlap távolságát a hasáb magasságának nevezzük. Ha az alap- és fedőlapokat összekötő oldalélek merőlegesek az alapsíkra, akkor a hasáb egyenes, különben ferde hasábról beszélünk. Négyzet alapú egyenes hasáb Négyzet alapú ferde hasáb
Gúla Az oldalélek közös kezdőpontjának az alapsíktól mért távolsága a gúla magassága. Ha a magasság talppontja éppen az alaplap középpontja, akkor a gúla egyenes, különben ferde gúláról beszélünk. Négyzet alapú egyenes gúla Négyzet alapú ferde gúla
Gúla (hasáb) metszése egyenessel Szerkesztés: Ha az alaplap konvex, akkor egy egyenesnek és egy gúlának (hasábnak) csak két közös pontja lehet. Ha az alaplap konkáv, akkor kettőnél több metszéspont is lehet. A metszéspontokat úgy határozzuk meg, hogy az egyenes egyik vetítősíkjával belemetszünk a gúlába (hasábba). Miután az egyenes és a metszet ugyanabban a síkban vannak, a közös pontok kijelölhetők. Ezek a pontok általában valamelyik lap belsejében keletkeznek, de ritkán előfordulhat az is hogy az egyenes az egyik oldalélen metszi el a testet. Láthatóság (ha a test belsejébe egyik képen sem látunk bele): A két metszéspont között az egyenes a test belsejében halad, így az a szakasz nem látszik. Ha az egyenes és a test közös pontja látható lapon van, akkor maga a metszéspont is látszik, illetve ebből indulva az egyenes testen kívüli része is. Ha az egyenes és a test közös pontja takart lapon van, akkor a metszéspont nem látszik, illetve ebből indulva az egyenes testen kívüli része egy darabig biztosan nem látszik.
Gúla metszése egyenessel = e 1 2 Az egyenes 2. vetítősíkja a gúlát elmetszi. Ekkor a 2. képen ezek a metszéspontok láthatók, Az 1. képeik rendezőkkel jelölhetők ki. A kapott pontokat a lapok bejárásának megfelelően összekötjük. A megrajzolt metszet és az e közös pontjai: 1 és 2. Rendezőkkel az 1 és 2 kijelölhető. 2 e 1 1: az ABM lapon van. 2: a CDM lapon van.
Egyenes hasáb metszése egyenessel e 1 2 Az egyenes hasáb oldallapjai 1. vetítősíkok. A keresett a metszéspontok az 1. képen láthatók, a 2. képeik rendezőkkel jelölhetők ki. 1: az ABFE lapon van. 2: a BCGF lapon van. e 1 2
Gúla (hasáb) metszése vetítő helyzetű síkkal Miért jó vetítő helyzetű síkkal metszeni? Mert jól látható, hogy a test mely élei metszik át a síkot. Ezek a pontok az egyik képen azonnal kijelölhetők, a másik képen rendezővel határozhatók meg. A kapott pontokat a test csatlakozó lapjait bejárva kell összekötnünk, így rajzolódik ki a sokszög a test felületén. (Nem léphetünk a test belsejébe.) Mi a különbség a síkkal és a síklappal történő metszés között? Ha síkkal metszünk, akkor a síkot minden irányban kellően nagynak képzeljük el, hogy a testet ketté tudja vágni. Ebben az esetben gyakran a test egyik felét (általában a kisebbet) eltávolítjuk. Ha síklappal metszünk, akkor a metszet pontjait ugyanúgy határozzuk meg, mintha a teljes síkkal metszenénk. De a lap általában elég kicsi, nem tudja kettévágni a testet, csak belevág, ezért a metszetnek csak az a része keletkezik, amely a lap belsejében van.
G'' Gúla metszése vetítő helyzetű síkkal x 1,2 A'' B'' F'' C'' E'' D'' F' E' A metsző sík párhuzamos az alaplappal. (most K 1 -gyel párhuzamos) Ebben az esetben a metszet az alaplaphoz hasonló sokszög lesz. A 2. képen láthatók azok a pontok, melyekben a gúla élei metszik a síkot, az 1. képük rendezőkkel kijelölhető. A kapott pontokat a lapok bejárásának megfelelően összekötjük. A' G' D' Végül a láthatóság egyik szempontja lehet az, hogy csak a gúla sík fölötti részét ábrázoljuk. B' C'
Gúla metszése vetítő helyzetű síkkal Az előbbi szerkesztés elvégzése után a láthatóság másik szempontja lehet az, hogy csak a gúla alsó részét ábrázoljuk. x 1,2 A'' B'' F'' C'' E'' D'' F' E' A' D' B' C'
G'' Gúla metszése vetítő helyzetű síkkal x 1,2 A'' B'' F'' C'' E'' D'' A' F' E' A metsző sík merőleges a K 2 -re. A metszet NEM lesz hasonló az alapsokszöghöz. A 2. képen láthatók azok a pontok, melyekben a gúla élei metszik a síkot, az 1. képük rendezőkkel kijelölhető. A kapott pontokat a lapok bejárásának megfelelően összekötjük. Végül a láthatóság egyik szempontja lehet az, hogy csak a gúla sík fölötti részét ábrázoljuk. G' D' B' C'
Gúla metszése vetítő helyzetű síkkal Az előbbi szerkesztés elvégzése után a láthatóság másik szempontja lehet az, hogy csak a gúla alsó részét ábrázoljuk. x 1,2 A'' B'' F'' C'' E'' D'' F' E' A' D' B' C'
G'' Gúla metszése vetítő helyzetű síkkal x 1,2 A'' B'' F'' C'' E'' D'' F' E' A metsző sík merőleges a K 1 -re. Az 1. képen láthatók azok a pontok, melyekben a gúla élei metszik a síkot, most két oldalél, és két alapél metszi a síkot. Az 2. képük rendezőkkel kijelölhető. Figyelem! Az alapélek a 2. képen éppen az x 1,2 -n látszanak. A 2. képen a kapott pontokat a lapok bejárásának megfelelően összekötjük. (A metszet egyik oldala az x 1,2 -re rajzolódik) A' G' D' A láthatóságot most úgy tüntettük fel, hogy a gúla sík előtti (kisebb) részét eltávolítottuk. B' C'
G'' Gúla metszése vetítő helyzetű síkkal x 1,2 A'' B'' F'' C'' E'' D'' F' E' A metsző sík merőleges a K 1 -re. Az 1. képen láthatók azok a pontok, melyekben a gúla élei metszik a síkot, most is két oldalél, és két alapél metszi a síkot. Az 2. képük rendezőkkel kijelölhető. Figyelem! Az alapélek a 2. képen éppen az x 1,2 -n látszanak. A kapott pontokat a lapok bejárásának megfelelően összekötjük. (A metszet egyik oldala az x 1,2 -re rajzolódik) A' G' D' A láthatóságot most úgy tüntettük fel, hogy a gúla sík mögötti (kisebb) részét eltávolítottuk. B' C'
1 x '' 2 x '' 4 x '' 3 x '' Ferde hasáb síkmetszete D 1 '' D 2 '' D 4 '' D 3 '' x 1,2 1'' 2'' 3'' 4'' 4' D 4 ' 1' a sík által takart hasáb-rész 3' D 3 ' 4 x ' D 1 ' 1 x ' 2' 3 x ' D 2 ' 2 x '
1 x '' 2 x '' 4 x '' 3 x '' Ferde hasáb síkmetszete A metsző sík párhuzamos az alap- és fedőlap síkjával, ezért a metszet egybevágó az alap-és fedőlappal. D 1 '' D 2 '' D 3 '' D 4 '' x 1,2 1'' 2'' 3'' 4'' 4' D 4 ' 1' a sík által takart hasáb-rész D 1 ' 3' 1 x ' 4 x ' D 3 ' 2' 3 x ' D 2 ' 2 x '
B' Gúla metszése vetítő helyzetű síklappal Az XYZ lap merőleges a K 2 -re. Mivel a metsző sík 2. vetítősík, a gúla oldaléleinek a síkkal alkotott közös pontjai a 2. képen látszanak, az 1. képeik rendezővel jelölhetők ki. Előfordulhat, hogy a kapott metszéspontok a lapon kívülre kerülnek! (Most három pont a lapon kívülre került, de midet megszerkesztjük!) x 1,2 A'' B'' D'' D' C'' Ha a síklap elég nagy volna, akkor a teljes metszet keletkezne. DE, most a metszetből csak az a rész keletkezik, amely az XYZ lap belsejében van! A' C'
Gúla metszése vetítő helyzetű síklappal A metszetből csak az a rész keletkezik, amely az XYZ lap belsejében van. (A lapon kívül eső részt most pontozott vonallal jelöltem.) AZ XYZ lap takarja az AB, BC és CD éleket középső részét.
Gúla (hasáb) metszése általános helyzetű síkkal Mi a teendő, ha általános helyzetű síkkal kell metszenünk? Célszerű egy transzformációval elérni, hogy a sík vetítősík legyen. Ezt a transzformációt CSAK A SÍK határozza meg, a sík egy első fővonalára merőlegesen kell kijelölni az x 1,4 tengelyt. Ekkor a transzformált képen a metszéspontokat ki lehet jelölni, és rendezőkkel, visszafelé történő transzformációval kapjuk a szükséges pontokat. Csak így oldható meg a feladat? Nem, transzformáció nélkül is lehet. Ekkor a test oldaléleivel, mint egyenesekkel, kell a síkot metszeni fedő egyenesek alkalmazásával. De ebben az esetben a szerkesztésnél használt segédvonalak miatt mindkét képen sok zavaró vonal keletkezhet. Nem kell transzformálni, ha egyenes hasábot metszünk általános helyzetű síkkal. Ekkor a test élei vetítőegyenesek, így az egyik képen a szükséges metszéspontok már látszanak, a másik képen a síkra való illesztéssel jelölhetők ki. Illetve a test oldallapjai vetítősíkok, így látszanak azok a pontok is, melyekben a síklap élei elmetszik azokat.
Egyenes hasáb metszése általános helyzetű síklappal X 1 2 3 4 5 Y Z e Az egyenes hasáb oldallapjai a K 1 képsíkra merőlegesek. Az 1. képen láthatók, ahogy az XY és XZ élek átmetszik a hasáb lapjait. Ezeket a pontok: 1, 2, 3, 4. A 2. képen rendezőkkel jelölhetők ki. Az 1.képen látszik, hogy a CG él belemetsz a háromszöglapba. Ez a pont legyen az 5. X 1 2 3 4 5 Y Z e Az 5 pont 2. képét a síkra történő illesztéssel kapjuk. Az e segédegyenes a 3 és 5 pontokat köti össze a síkon. Rendezőkkel meghatározható az e. A 2. képen e és a C G metszi egymást az 5 pontban.
Egyenes hasáb metszése általános helyzetű síklappal Láthatóság Az 1. képen a lap hasábon kívüli része biztosan látszik, az 14 és 23 szakaszok a hasáb belsejében vannak, így nem látszanak. A 2. képen az 1-es és 2-es pontok látható lapon vannak, így az 12X háromszög látszik, amely az AE él közepét takarja. A 3-es és 5-ös pontok látszanak, de a 4- es pont nem látszik. Emiatt a 35 szakasz látható lapon van, az 54 szakasz pedig hátsó lapon. A 4-es pont környékén a hasáb takarja a lapot, a 35-ös szakasz környékén a lap takarja a hasábot.
g g e Gúla metszése általános helyzetű síklappal Ebben az esetben egyik képen sem látjuk közvetlenül a lap és a gúla oldaléleinek metszéspontjait. Egy lehetséges megoldás, ha az MA, MB, MC, MD élek síkkal alkotott közös pontjait megszerkesztjük. A szerkesztést célszerű az 1. képről indítani, mivel az MA és MC élek egymás folytatásának látszanak, így közös lesz a fedőegyenesük, e. e Ehhez hasonlóan az MB és MD élek is egymás folytatásának látszanak, így közös lesz a fedőegyenesük, g. Ezen a felvételen kivételesen két rendező egybeesett.
Gúla metszése általános helyzetű síklappal A kapott pontokat a lapok bejárásának megfelelően összekötjük. Ezekből a szakaszokból csak azok a részek keletkeznek, melyek az 123 háromszög belsejében vannak. A láthatóságuk pedig attól függ, hogy a gúla megfelelő lapja látható-e az adott képen vagy sem.
Gúla metszése általános helyzetű síklappal A kapott pontokat a lapok bejárásának megfelelően összekötjük. Ezekből a szakaszokból csak azok a részek keletkeznek, melyek az 123 háromszög belsejében vannak. A láthatóságuk pedig attól függ, hogy a gúla megfelelő lapja látható-e az adott képen vagy sem.
Gúla metszése általános helyzetű síklappal
Gúla metszése általános helyzetű síklappal Ebben az esetben egyik képen sem látjuk közvetlenül a lap és a gúla oldaléleinek metszéspontjait. f Egy másik lehetséges megoldás, ha transzformációval olyan képet állítunk elő, ahonnan a metszéspontokat leolvashatjuk. f A transzformációt mindig a sík fogja kijelölni, azaz azt kell elérni, hogy a sík vetítősíknak látszódjon. x 14 x 14 merőleges a sík egy első fővonalára.
Gúla metszése síklappal Végrehajtjuk a transzformációt. Az 1 IV, 2 IV, 3 IV pontok egy egyenesre esnek. A gúláról nem kapunk speciális képet. 2 IV 3 IV 1 IV
Gúla metszése általános helyzetű síklappal A IV. képen a keresett metszéspontok leolvashatók, az 1. képen rendezőkkel kijelölhetők. A kapott pontokat az 1. képen összekötve megkapjuk a metszetet. Most két pont a lap belsejében, két pont pedig azon kívül van. Rendezőkkel a 2. kép is meghatározható.
Gúla metszése általános helyzetű síklappal A kapott pontokat a lapok bejárásának megfelelően összekötjük. Ezekből a szakaszokból csak azok a részek keletkeznek, melyek az 123 háromszög belsejében vannak. A láthatóságuk pedig attól függ, hogy a gúla megfelelő lapja látható-e az adott képen vagy sem.
Ferde hasáb normálmetszete C Normálmetszet: A metsző sík a hasáb oldaléleire merőleges. n 2. A B x 1,2 Transzfromációval elérjük, hogy a IV. képen a sík vetítősík legyen, majd a hasáb éleivel elmetszük azt. n 1. A C A kapott A, B, C pontokat az 1. és 2. képen rendezőkkel jelölhetjük ki. B. x 1, 4 A IV B IV. C IV n 4