Analitikus hierarchia eljárás Módszertani alapok, algoritmus és számpélda Készítette: Dr. Kiss Ferenc 2009.
Tartalom Az Analitikus Hierarchia eljárás...3 Alapelvek és a szempontrendszer kialakítása... 3 Az algoritmus lépései... 7 A konzisztencia mérése...8 Példa szempontrendszer... 10 Az iterációs számítás lépései... 11 A kapott modell értékelése... 15 Hasznossági függvények... 15 Irodalom... 17 2
Az Analitikus Hierarchia eljárás Alapelvek és a szempontrendszer kialakítása Az Analytical Hierarchy Process (AHP) eljárás kifejlesztése Saaty nevéhez fűződik. Azon az elven alapul, hogy amikor egy adott dologról döntünk, akkor valójában sok részlet információt, tényezőt veszünk figyelembe, és ezen a részletek, valamint a döntési feladat között egy információ-hierarchia húzódik meg. Ezen összefüggésrendszer ismerete segíti a döntés meghozatalát. Más megfogalmazásban: A döntéshozók amikor egy döntés meghozatalára készülve elemezniük kell a helyzetet és a lehetőségeket rendszerint egymással összefüggésben levő tényezők mint például rendelkezésre álló pénz és egyéb erőforrások, tervezett eredmények, piaci helyzet, árfolyamok sokrétű, bonyolult rendszerével találják szemben magukat. Amikor a szempontok, vagy a rendszer elemei és egymással való kapcsolatai túlzottan sokan vannak ahhoz, hogy egyszerre át lehessen tekinteni azokat, természetes módon csoportokba soroljuk őket egyes tulajdonságaik alapján. Ennek a folyamatnak a többszöri megismétlésével a csoportokat vagy még inkább az azokat meghatározó közös tulajdonságokat az ismeretrendszer újabb szintjének elemeiként vizsgáljuk tovább. Ezeket az elemeket más szempont szerint besorolva újabb, magasabb hierarchia szintet alkotunk, míg végül eljutunk a rendszer legfelső eleméhez, amely a döntési probléma általános megfogalmazását illetve a döntés átfogó célját takarja. Az így kialakított ismeretrendszer a valóság modellje, lehetővé teszi az egyes alkotóelemek teljes rendszerre gyakorolt hatásának vizsgálatát. A hierarchia elemzése során megválaszolandó legfontosabb kérdés az, hogy a legalsó szinten található elemek milyen módon hatnak a legfelső szintű tényezőre. Mivel ez a hatás általában nem azonos az összes tényező esetében, meg kell határozni a súlyukat, vagy más néven intenzitásukat, prioritásukat. Egy probléma hierarchikus struktúrába (gráfba) való rendezése az AHP leglényegesebb lépése. E modell építéséhez szakértők bevonására van szükség, akik meghatározzák a problémához leginkább illeszkedő leképezést. Egy általános probléma m-szintű hierarchiája látható a következő ábrán. 3
1. szint Döntési probléma 2. szint Döntési jellemző (-csoport) 1. Döntési szempont (-csoport) 2................... Döntési szempont (-csoport) n. 3. szint Részletezettebb döntési szempont (alcsoport) 1. Részletezettebb döntési szempont (alcsoport) 2................... Részletezettebb döntési szempont (alcsoport) k. : : m. szint Elemi döntési szempont 1. Elemi döntési szempont 2................... Elemi döntési szempont n. Döntési változat 1. Döntési változat 2................... Döntési változat l. 1. ábra. A Saaty-féle hierarchia egy általános problémára Az egyes csomópontok közötti kapcsolat erősségét egy-egy [0;1] intervallumba eső számérték jelzi. Ezek megállapításához a szakértőknek el kell végezniük az összes páros összehasonlítást, esetenként megítélve az adott két jellemző (szempont) egymáshoz viszonyított fontosságát, azaz hatásának erősségét a hierarchiában közvetlenül felettük állóra vonatkozóan. 1 Az összemérések során minden vizsgált páros egyik tagjához az 1, 2, 3,..., 9 pozitív egészszámok valamelyikét kell rendelni az alábbi táblázatnak megfelelően, míg a másik tagjához a kiválasztott érték reciprokát. 1. táblázat. A Saaty fontossági értékek értelmezése Fontossági érték abszolút skálán Értelmezés Magyarázat 1 Egyformán preferált Mindkét tényező egyformán fontos a cél szempontjából 3 Mérsékelten preferált A tapasztalatok alapján az egyik tényező kis mértékben preferált a másikhoz képest 5 Erősen preferált A tapasztalatok alapján az egyik tényező lényegesen preferált a másikhoz képest 7 Nagyon erősen preferált Az egyik tényező olyannyira erősen preferált a másikhoz képest, hogy ez a gyakorlatban is világosan megmutatkozik 9 Rendkívüli módon A gyakorlati példák alapján az egyik tényező a lehető preferált legnagyobb mértékben preferált a másikhoz képest 2,4,6,8 Köztes értékek A fenti preferenciák közti kompromisszumos 1 E vizsgálatok módszereiről, lebonyolításáról, kiértékeléséről bővebben lásd például [1]. 4
lehetőségek (Ez összhangban van Miller híres megfigyelésével is, hogy általában az emberek egyszerre 7±2 dologra tudnak egyszerre figyelni. Valójában azonban ezzel a trükkel egy 17 elemű skálán értékelünk, átlépve szubjektív megítélésünk korlátait!) A szakértők munkájához kérdőívek állíthatók össze, a Ross-féle keverési tábla segítségével. Az egyes számpárok azt jelentik, hogy milyen sorrendben melyik szempontokat kell összevetni és értékelni a fenti 1-9-ig terjedő értékkel úgy, hogy a fontosabb mellé írjuk az értéket, míg a kevésbé fontos mellé a reciprokot. 2. táblázat. Ross-féle keverési tábla Szempontszám Kevert szempontpárok 2 2 1 3 2 1, 3 2, 1 3 4 1 2, 4 1, 3 2, 1 3, 2 4, 3 4 5 1 2, 5 3, 4 1, 3 2, 4 5, 1 3, 2 4, 5 1, 3 4, 2 5 6 1 2, 6 4, 5 1, 3 2, 5 6, 1 3, 2 4, 6 1, 4 3, 5 2, 1 4, 3 5, 2 6, 4 5, 3 6 7 8 9 1 2, 7 3, 6 4, 5 1, 3 2, 4 7, 5 6, 1 3, 2 4, 7 5, 6 1, 4 3, 5 2, 6 7, 1 4, 3 5, 2 6, 7 1, 4 5, 3 6, 2 7 1 2, 8 4, 7 5, 6 1, 3 2, 5 8, 6 7, 1 3, 2 4, 8 6, 7 1, 4 3, 5 2, 7 8, 1 4, 3 5, 2 6, 8 1, 5 4, 6 3, 7 2, 1 5, 4 6, 3 7, 2 8, 5 6, 4 7, 3 8 1 2, 9 3, 8 4, 7 5, 6 1, 3 2, 4 9, 5 8, 6 7, 1 3, 2 4, 9 5, 8 6, 7 1, 4 3, 5 2, 6 9, 7 8, 1 4, 3 5, 2 6, 9 7, 8 1, 5 4, 6 3, 7 2, 8 9, 1 5, 4 6, 3 7, 2 8, 9 1, 5 6, 4 7, 3 8, 2 9 5
A kapott fontossági értékekkel minden hierarchia szintre felírható az úgynevezett S Saatymátrix az alábbi alakban: (1) S = w1 w1 w1... w w w 1 2 n w2 w2 w2... w w w 1 2 n, : : : wn wn wn... w w wn 1 2 ahol: w i jelenti az adott szinten elhelyezkedő n darab szempont közül az i. szempont relatív súlyértéket; n jelenti az adott hierarchia szinten elhelyezkedő szempontok számát. Az S egy pozitív reciprok mátrix, és jellemző tulajdonsága, hogy valamint Sij Sjk = Sik S w = n w, ahol: S a Saaty mátrix; w a súlyszámok vektora. Megmutatható, hogy egy pozitív reciprok mátrixban az együtthatók kis perturbációja a sajátértékeknek csak kis perturbációját okozza, ezáltal a sajátvektor érzéketlen a bírálatban bekövetkező kis változásokra [1]. Az S mátrix L max legnagyobb sajátértékéhez tartozó w sajátvektor elemei megadják a hierarchia összeköttetéseinek súlyait. A w vektor értéke az (S ni) = 0 egyenlet megoldásaként adódik. Az AHP-re alapuló modell e súlyszámoknak a csomópontokra történő kiszámításával nyerhető. 6
Az algoritmus lépései 1. Azonosítsuk S mátrix méretét, azaz n-et. 2. Vegyünk fel egy tetszőleges ε > 0 számot. ε-nal írjuk elő a λ max hibáját. Ez az algoritmus leállítója olyan értelemben, hogy ha az iterálásnál a λ max utolsó két közelítésének különbségének abszolút értéke kisebb mint ε, akkor az utolsó közelítést fogadjuk el λ max -nak. 3. Vegyünk fel egy n méretű csupa egyest tartalmazó 1 1 v = 1 2 vektort. M M 1 n 4. Szorozzuk meg a v vektorral az S mátrixot jobbról, ekkor egy y 1 vektort kapunk: y 1 = Sv 5. λ 1 max = max y 1, (azaz a λ max első közelítése), amely egyenlő az y 1 eredményvektor maximális elemével. Legyen k=1. 6. Legyen v 1 k k = y egy vektor. (Ez y k vektortól annyiban különbözik, hogy k λmax maximális eleme 1. Erre a maximum normára csak azért van szükség, hogy az iteráció gyorsabb legyen.) 7. Szorozzuk meg az S mátrixot jobbról a v k vektorral ekkor y k+1 vektort kapunk eredményül: y k+1 =Sv k. k 8. Legyen λ + 1 max = max y k + 1 9. Hasonlítsuk össze az előbbi sajátérték közelítéssel az előírt ε>0 hibakorlát figyelembe vételével. Ha λ k + 1 λ k < ε, akkor hajtsuk végre a 10. pontban leírtakat, ha a max max feltétel nem teljesül, akkor pedig k=k+1 legyen és menjünk vissza a 6. pontra. 1 10. λ = λ k + azaz a k+1. közelítést fogadjuk el az S mátrix sajátértékének. max max Sajátvektorát, w-t pedig úgy kapjuk meg, hogy az y k+1 elosztjuk elemeinek összegével, azaz w = 1 k + 1 y n k + 1 yi i= 1 7
A konzisztencia mérése Megmutatható, hogy minden lehetséges esetben L max n, és bevezethető az alábbi mérőszám a döntési konzisztencia mérésére: Lmax n CI =. n 1 Saaty és Mariano megmutatta, hogy a CI 10% nagyon jó értéknek tekinthető [5]. Azonban a következő évek gyakorlati tapasztalatai, valamint más szerzők publikációi alapján bevezethető az alábbi pontosítás. CI CR =, RI ahol RI a véletlenszerű konzisztencia index, melynek értéke a mátrix méretétől függ, és nagyszámú szimuláció lefuttatásával került becslésre. A 2. táblázatban található a véletlenszerű konzisztencia index 1 és 10 közti méretű mátrixokra Saaty 500 fős mintán végzett kísérletei alapján. 3. táblázat. Átlagos véletlenszerű konzisztencia index (Saaty, 2000 alapján) A mátrix mérete (n) Véletlenszerű konzisztencia index (RI) 1 0 2 0,15 3 0,52 4 0,89 5 1,11 6 1,25 7 1,35 8 1,4 9 1,45 10 1,49 Az elfogadható konzisztencia érték (CR) a mátrix méretén múlik; egy 3x3-as mátrix estén az érték felső határa 0,05, egy 4x4-es mátrix estén 0,08, míg ennél nagyobb mátrixok esetén (n>= 5) az elfogadható érték maximuma 0,1 (Saaty, [5], Cheng and Li,[1] ). Amennyiben CR értéke kisebb vagy egyenlő ezen határértékkel, a mátrixon belüli bírálatok elfogadhatóak, azaz konzisztensek. Ezzel szemben amennyiben a CR meghaladja az elfogadható értéket a mátrixban szereplő bírálatok közt olyan mértékű inkonzisztencia lépett, amely szükségessé teszi a becslési folyamat áttekintését, átszervezését és javítását. A páronkénti összehasonlításokat újra kell értékelni. 8
Segíthet a probléma megoldásában a hierarchia átszervezése is; például az érintett elemek egy másik (általánosabb) elem alá való csoportosítása (Crowe et al., [2] ). Az elfogadható konzisztencia index azt jelzi, hogy a bírálatok megalapozottak voltak, és segítenek annak biztosításban, hogy a végső súlyok tényleg a valóságnak megfelelő erőviszonyokat képviseljék. 9
Példa szempontrendszer Az alábbi számpélda az algoritmus működését mutatja egy egyszerű hitelképességi döntési modellen. A modellbe bevont szempontok a következők: 4. táblázat. Döntési szempontok hitelképesség elbírálása során Hitelképesség 1 Kérelmező pénzügyi 2 Referenciák 3 Személyes adatok 4 adatok 5 Egyéb adatok 6 felhasználási célja A fenti szempontcsoporthoz előállítható a szakértői értékelő kérdőív a szempontok súlyainak meghatározásához (kevert szempontpárok 6 szempontra a Ross-féle keverési tábla alapján: 1 2, 6 4, 5 1, 3 2, 5 6, 1 3, 2 4, 6 1, 4 3, 5 2, 1 4, 3 5, 2 6, 4 5, 3 6). A fent bemutatott kitöltési útmutató alapján egy szakértő ki is töltötte az alábbiak szerint. 5. táblázat. Kitöltött szakértői kérdőív 1. Szempont Fontosság 2. Szempont Fontosság Kérelmező pénzügyi 7 Referenciák felhasználási célja 1 adatok Egyéb adatok Kérelmező pénzügyi 4 Személyes adatok Referenciák 7 Egyéb adatok felhasználási célja 2 Kérelmező pénzügyi 5 Személyes adatok Referenciák adatok 7 felhasználási célja Kérelmező pénzügyi 6 adatok 1 Személyes adatok Egyéb adatok Referenciák 4 Kérelmező pénzügyi 4 adatok Személyes adatok Egyéb adatok 4 Referenciák 1 felhasználási célja adatok 2 Egyéb adatok Személyes adatok 3 felhasználási célja 10
Az iterációs számítás lépései Kérelmező adatok adatok adatok lási célja v0 y1 λ1max v1 w1 Kérelmező pénzügyi 1 7 5 4 4 6 1 27 27 1 38,50% Referenciák 0,142857 1 0,142857 0,142857 4 1 1 6,428571 0,238095 9,17% Személyes adatok 0,2 7 1 1 0,25 3 * 1 = 12,45 0,461111 17,75% adatok 0,25 7 1 1 2 1 1 12,25 0,453704 17,47% Egyéb adatok 0,25 0,25 4 0,5 1 0,5 1 6,5 0,240741 9,27% felhasználási célja 0,166667 1 0,333333 1 2 1 1 5,5 0,203704 7,84% ε=0,001 Kérelmező adatok adatok adatok lási célja v1 y2 λ2max v2 λmax w2 Kérelmező pénzügyi 1 7 5 4 4 6 1 8,972222 8,972222 1 18,02778 40,71% Referenciák 0,142857 1 0,142857 0,142857 4 1 0,238095 1,678307 0,187056 7,61% Személyes adatok 0,2 7 1 1 0,25 3 * 0,461111 = 3,452778 0,38483 15,67% adatok 0,25 7 1 1 2 1 0,453704 3,516667 0,39195 15,96% Egyéb adatok 0,25 0,25 4 0,5 1 0,5 0,240741 2,723413 0,303538 12,36% felhasználási célja 0,166667 1 0,333333 1 2 1 0,203704 1,697354 0,189179 7,70% 11
Kérelmező pénzügyi Referen-- felhasználási ciák adatok adatok adatok célja v2 y3 λ3max v3 λmax w3 Kérelmező pénzügyi 1 7 5 4 4 6 1 8,150568 8,150568 1 0,821655 40,44% Referenciák 0,142857 1 0,142857 0,142857 4 1 0,187056 1,844213 0,226268 9,15% Személyes adatok 0,2 7 1 1 0,25 3 * 0,38483 = 2,929592 0,359434 14,53% adatok 0,25 7 1 1 2 1 0,39195 3,132427 0,38432 15,54% Egyéb adatok 0,25 0,25 4 0,5 1 0,5 0,303538 2,430186 0,298162 12,06% felhasználási célja 0,166667 1 0,333333 1 2 1 0,189179 1,670205 0,204919 8,29% Kérelmező adatok adatok adatok lási célja v3 y4 λ4max v4 λmax w4 Kérelmező pénzügyi 1 7 5 4 4 6 1 8,340487 8,340487 1 0,189919 40,01% Referenciák 0,142857 1 0,142857 0,142857 4 1 0,226268 1,872941 0,22456 8,99% Személyes adatok 0,2 7 1 1 0,25 3 * 0,359434 = 3,216928 0,3857 15,43% adatok 0,25 7 1 1 2 1 0,38432 3,378873 0,405117 16,21% Egyéb adatok 0,25 0,25 4 0,5 1 0,5 0,298162 2,337085 0,28021 11,21% felhasználási célja 0,166667 1 0,333333 1 2 1 0,204919 1,698308 0,203622 8,15% Kérelmező adatok adatok adatok lási célja v4 y5 λ5max v5 λmax w5 Kérelmező pénzügyi 1 7 5 4 4 6 1 8,463462 8,463462 1 0,122975 40,28% Referenciák 0,142857 1 0,142857 0,142857 4 1 0,22456 1,804852 0,213252 8,59% Személyes adatok 0,2 7 1 1 0,25 3 * 0,3857 = 3,243657 0,383254 15,44% adatok 0,25 7 1 1 2 1 0,405117 3,37678 0,398983 16,07% Egyéb adatok 0,25 0,25 4 0,5 1 0,5 0,28021 2,43352 0,287532 11,58% felhasználási célja 0,166667 1 0,333333 1 2 1 0,203622 1,688952 0,199558 8,04% 12
Kérelmező adatok adatok adatok lási célja v5 y6 λ6max v6 λmax w6 Kérelmező pénzügyi 1 7 5 4 4 6 1 8,352448 8,352448 1 0,111014 40,31% Referenciák 0,142857 1 0,142857 0,142857 4 1 0,213252 1,817546 0,217606 8,77% Személyes adatok 0,2 7 1 1 0,25 3 * 0,383254 = 3,14556 0,376603 15,18% adatok 0,25 7 1 1 2 1 0,398983 3,299626 0,395049 15,93% Egyéb adatok 0,25 0,25 4 0,5 1 0,5 0,287532 2,423133 0,290111 11,69% felhasználási célja 0,166667 1 0,333333 1 2 1 0,199558 1,681277 0,201291 8,11% Kérelmező adatok adatok adatok lási célja v6 y7 λ7max v7 λmax w7 Kérelmező pénzügyi 1 7 5 4 4 6 1 8,354648 8,354648 1 0,002201 40,22% Referenciák 0,142857 1 0,142857 0,142857 4 1 0,217606 1,832433 0,219331 8,82% Személyes adatok 0,2 7 1 1 0,25 3 * 0,376603 = 3,171299 0,379585 15,27% adatok 0,25 7 1 1 2 1 0,395049 3,326409 0,398151 16,02% Egyéb adatok 0,25 0,25 4 0,5 1 0,5 0,290111 2,399096 0,287157 11,55% felhasználási célja 0,166667 1 0,333333 1 2 1 0,201291 1,686369 0,201848 8,12% Kérelmező adatok adatok adatok lási célja v7 y8 λ8max v8 λmax w8 Kérelmező pénzügyi 1 7 5 4 4 6 1 8,385561 8,385561 1 0,030912 40,25% Referenciák 0,142857 1 0,142857 0,142857 4 1 0,219331 1,823769 0,217489 8,75% Személyes adatok 0,2 7 1 1 0,25 3 * 0,379585 = 3,190386 0,380462 15,31% adatok 0,25 7 1 1 2 1 0,398151 3,339215 0,39821 16,03% Egyéb adatok 0,25 0,25 4 0,5 1 0,5 0,287157 2,410329 0,287438 11,57% felhasználási célja 0,166667 1 0,333333 1 2 1 0,201848 1,686839 0,20116 8,10% 13
Kérelmező adatok adatok adatok lási célja v8 y9 λ9max v9 λmax w9 Kérelmező pénzügyi 1 7 5 4 4 6 1 8,374286 8,374286 1 0,011275 40,26% Referenciák 0,142857 1 0,142857 0,142857 4 1 0,217489 1,822497 0,21763 8,76% Személyes adatok 0,2 7 1 1 0,25 3 * 0,380462 = 3,176436 0,379308 15,27% adatok 0,25 7 1 1 2 1 0,39821 3,327133 0,397303 16,00% Egyéb adatok 0,25 0,25 4 0,5 1 0,5 0,287438 2,413343 0,288185 11,60% felhasználási célja 0,166667 1 0,333333 1 2 1 0,20116 1,685223 0,201238 8,10% Kérelmező adatok adatok adatok lási célja v9 y10 λ10max v10 λmax w10 Kérelmező pénzügyi 1 7 5 4 4 6 1 8,369333 8,369333 1 0,004953 40,25% Referenciák 0,142857 1 0,142857 0,142857 4 1 0,21763 1,825409 0,218107 8,78% Személyes adatok 0,2 7 1 1 0,25 3 * 0,379308 = 3,175782 0,379455 15,27% adatok 0,25 7 1 1 2 1 0,397303 3,32763 0,397598 16,00% Egyéb adatok 0,25 0,25 4 0,5 1 0,5 0,288185 2,409096 0,287848 11,59% felhasználási célja 0,166667 1 0,333333 1 2 1 0,201238 1,685644 0,201407 8,11% Kérelmező pénzügyi 40,25% CI= 0,473867 adatok 16,00% CR= 0,379093 > 0,1 14
A kapott modell értékelése Amennyiben az egyes csomópontokban számított súlyrendszer erősen szélsőséges, felvethető a modell egyszerűsítésének lehetősége. Ha egy szempont súlya az adott csoportban nem éri el az egyébként az adott csoportra számítható átlag súlyérték 10%-át, megvizsgálható, hogy e szempont elhanyagolásával járó modell egyszerűsödés okoz-e lényeges változásokat az összképben. (pl. egy 5 szempontot tartalmazó csomópontban az elmélet átlagsúly 100/5=20%, ha valamelyik érték 2% alatt van, vizsgálandó.) Hasznossági függvények A döntési modell teljes kidolgozásához az egyes szempontokhoz tartozó hasznossági függvények meghatározása szükséges. A hasznossági függvények az adott szemponthoz tartozó értékkészlet lehetséges elemeihez hozzárendeli a döntéshozó értékítéletét. Minden esetben legalább egy értékhez hozzárendeli a 100 pontos maximumot, és legalább egy értékhez a 0 pontos minimumot. Amennyiben a döntéshozók illetve a modellt fejlesztő szakértők ettől eltérő függvényt adnak meg, a függvényt normálni kell egységes, pl. a 0-100-as skálára. Természetesen a hasznossági függvény lehet folytonos vagy diszkrét a mérési skála függvényében A fenti példában szereplő felvétel célja szempont hasznossági függvénye az alábbi lehet egy áruhitelező cég üzleti céljainak megfelelően: 6. táblázat. A hasznossági függvény alap Konyhai gép 60 Hifi és elektronika 100 TV 70 Kerti eszköz 40 Bútor 30 Egyéb 0 15
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Konyhai gép Hifi és elektronika TV Kerti eszköz Bútor Egyéb 2. ábra: Példa hasznossági függvényre 16
Irodalom [1] Cheng, E.W.L. and Li, H.: Information priority-setting for better resource allocation using analytic hierarchy process (AHP). Information Management and Computer Security, 2001, Vol. 9 Iss. 2, pp. 61-70. [2] Crowe, T. J., Noble, J. S. and Machimada, J.S.: Multi-attribute analysis of ISO 9000 registration using AHP. International Journal of Quality and Reliability Management, 1998, Vol 15 Iss.2, pp. 205-222. [3] Kindler József, Papp Ottó: Komplex rendszerek vizsgálata. Műszaki Könyvkiadó, 1977. [4] Saaty, T.L.: The Analytic Hierarchy Process. McGraw-Hill, New York, 1980. [5] Saaty, T.L.: Fundamentals of Decision Making and Priority Theory. 2nd ed. Pittsburgh, PA: RWS Publications. 2000 [6] Saaty, T.L. and R.S. Mariano: Rationing Energy to Industries: Priorities and Input- Output Dependence. Energy Systems and Policy, 1979 Winter 17