Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát. Tétel: Irányítsuk a háromszög oldalait az ábrán jelölt módon. Az "a" oldal a vektor, "b" oldal b vektor, c oldal c vektor. Itt az a, b és c vektorok abszolut értéke a háromszög megfelelő oldalának hosszával egyenlő. A c vektor az a és b vektorok különbsége, azaz c=a-b Emeljük négyzetre (c vektort szorozzuk önmagával skalárisan): c 2 =(a-b) 2 Formulával: (a bal oldali mellékelt ábra jelölései szerint) c 2 =a 2 +b 2-2 a b cosɤ Felhasználva, hogy a skaláris szorzásnál is érvényes a disztributív tulajdonság: c 2 =a 2-2ab+b 2 A skaláris szorzás definíciójából következik, hogy minden vektor önmagával vett skaláris szorzata egyenlő a vektor hosszának a négyzetével: c 2 =c 2, a 2 =a 2, b 2 =b 2. Ugyancsak a skaláris szorzásnál definíciója szerint: a b=a b cosɤ Így kapjuk az állítást: c 2 =a 2 +b 2-2 a b cos ɤ
Természetesen a tétel és a bizonyítás a háromszög bármelyik oldalára igaz. A koszinusz tételt felfoghatjuk a Pitagorasz tételének általánosításaként, amikor a háromszögnek a koszinusz tételben szereplő szöge éppen 90. Ekkor cos ɤ = 0 következtében a koszinusz tétel a Pitagorasz tételét adja: c 2 =a 2 +b 2. A koszinusz tétel jól alkalmazható a háromszög adatainak meghatározásában: 1. Ha ismerjük a háromszög bármely két oldalát és a közbezárt szögét, a koszinusz tétel segítségével kiszámíthatjuk a háromszög harmadik oldalát. 2. Ha ismerjük a háromszög mindhárom oldalát, akkor a koszinusz tétel segítségével kiszámíthatjuk bármelyik szögét. A koszinusz tételt szokás Carnot-tételnek is nevezni, a XVIII. századi francia matematikus után.
Bizonyítsa be, hogy n különböző elem k-ad osztályú kombinációjának száma: Hányféleképpen választhatunk ki n különböző tárgyból k darabot, ha a kiválasztás sorrendje közömbös? Ezt a kérdést így is megfogalmazhatjuk: Az n elemű halmaznak hány darab k elemű részhalmaza van. Definíció: Az n elem halmaz k elemű részhalmazait az n elem k-ad osztályú kombinációinak nevezzük és C n k -val jelöljük. Tétel: n különböző elem k-ad osztályú kombinációjának száma: Bizonyítás: Adott n elem k-ad osztályú kombinációjából úgy állíthatjuk elő a k-ad osztályú variációkat, hogy az egyes kombinációk elemeit sorbarendezzük, pemutáljuk. Ez azt jelenti, hogy. P k C n k =V n k. Azaz: Mivel V n k =n(n-1)(n-2)...(n-k+2)(n-k+1)=, és P k =k(k-1)(k-2)...3 2 1=k!, ezért:
A kapott kifejezésre bevezetünk egy új jelölést:, és n alatt k-nak olvassuk, és binomiális együtthatónak is nevezzük. Tehát: = Mivel n elemből k darabot ugyanannyiféleképpen lehet kiválasztani, ahányféleképpen n elemből (n-k) darabot nem kiválasztani. Ez a binomiális együtthatóknak a szimmetria tulajdonsága: és definíciójából következően: A). = n Mivel n darab tárgyból 1-t kiválasztani n féleképpen lehet. Másrészt: Szimmetria tulajdonság. B). =1 =1 Mivel n darab tárgyból mindet kiválasztani csak egyféleképpen lehet. Hiszen egyet sem kiválasztani szintén csak egyféleképpen lehet. C). =1 Definíció szerint.
Köregyenlet: Bizonyítsa be, hogy a C(u;v) középpontú, r sugarú kör egyenlete: (x-u) 2 +(y-v) 2 =r 2 A körvonal azoknak a pontoknak a halmaza a síkban, amelyek a sík egy adott pontjától, (a kör középpontjától) adott távolságban vannak. Ez a távolság a kör sugara. Adott a koordináta redszerben a C(u;v) középpontú, és r sugarú kör. A körvonal bármely P(x;y) pontja C(u;v) középponttól adott r távolságra van A C és P pontok távolságára felírva a két pont távolságára vonatkozó összefüggést: Ezt négyzetre emelve: (x-u) 2 +(y-v) 2 =r 2 Ezt az egyenéetet a C(u;v) középpontú, r sugarú körvonal minden pontjának koordinátái kielégítik, és más pont koordinátái pedig nem. Ez az egyenlet a kör egyenlete. Egy körön kívüli Q(x q ;y q ) pont esetén (x q -u) 2 +(y q -v) 2 >r 2 Egy körön belüli R(x q ;y q ) pont esetén (x q -u) 2 +(y q -v) 2 <r 2 Abban a speciális esetben, amikor a kör középpontja az origó, tehát C(0;0), akkor az egyenlet a következő alakban írható: x 2 +y 2 =r 2
Igazolja a következő azonosságot! Milyen kikötéseket kell tenni x-re, y-ra, a-ra és k-ra? ; A fenti azonosság bizonyításánál fel fogjuk használni a logaritmus definícióját, valamint a hatványozásra vonatkozó azonosságokat. Az azonosság azt mondja ki, hogy egy szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők ugyanazon alapú logaritmusának összegével. Formulával:. Feltételek: a, x, y R +, a 1. Azaz a, x, y pozitív valós számok, a nem lehet 1. Bizonyítás: A logaritmus definíciója szerint minden valós szám felírható ugyanazon alapú hatvány és logaritmus segítségével a következő módon: Írjuk fel az állításban szereplő x, y pozitív valós számokat és az xy szorzatot a logaritmus definíciója szerint:,, illetve alakban. Szorozzuk össze az x és az y változókat ebben az alakjukban:. Itt az utolsó lépésnél felhasználtuk a hatványozás azon azonosságát, hogy azonos alapú hatványok szorzásakor a közös alapot a kitevők összegére emelhetjük. Másrészt az xy szorzatot felírtuk a logaritmus definíciója segítségével is: Ez azt jelenti, hogy. Mivel ugyanazon a pozitív valós számok hatványai csak úgy lehetnek egyenlők, ha a kitevők egyenlők, ezért: