O k t a t á si Hivatal

O k t a t á si Hivatal A 01/013. Tanévi FIZIKA Orszáos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és meoldásai I. kateória A dolozatok elkészítéséhez minden seédeszköz használható. Meoldandó az első három feladat és a 4/A és 4/B sorszámú feladatok közül ey szabadon választott. Csak 4 feladat meoldására adható pont. A 4/A és 4/B feladat közül a több pontot elérő meoldást vesszük fiyelembe. 1. Lépcsőzetes kialakítású merev, súrlódásmentesnek tekinthető felület lefelső foka felett h = 1,5 m maassából, vízszintesen, v = 0,6 m/s sebesséel eldobunk ey abszolút rualmas olyót a lépcső élére merőlees irányban. Az eyes lépcsőfokok maassáa h = 0,5 m, szélesséük eltérő. A olyó mindi az eymást követő lépcsőfokok vízszintes felületének szélére esik. a) Milyen széles az ötödik lépcsőfok (d 5 )? b) Írjuk fel általánosan az n-edik lépcsőfok szélesséét (n > 1)! Meoldás. Mivel (súrlódás hiányában) az eneria, és a vízszintes lendület memarad, a olyó nem kezd foroni az ütközések után, és minden ütközést követően az eredeti maassába pattan vissza. Az eymás utáni ütközések közti idő azonban eyre növekszik, hiszen mindi hosszabb esési utat kell metennie a olyónak, ezért az állandó vízszintes sebesséel eyre nayobb lesz a vízszintes elmozdulása is. Az eymás után következő lépcsőfokok szélesséei ey növekvő sorozatot alkotnak. Az ötödik lépcsőfok szélesséének mehatározásához azonban nem kell az összes közbenső lépcső szélesséét kiszámítani. Felhasználjuk azt, hoy mind a felszálló á mind a leszálló á metételéhez szüksées idő h, ahol h a felszálló, ill. a leszálló á füőlees elmozdulása. Az eymás utáni ütközések közötti időket általánosan a következőképpen lehet felírni: b) h n h h n 1 h tn tnfel tnle. Az n-ik lépcsőfok szélessée általánosan: d n v h n h h n 1 h. Alkalmazva esetünkre (n = 5):

a) t 5 h h h h 3 4. Ezzel az ötödik lépcsőfoknak d 5 5 h h h h 3 4 vt v m 1,5m 30,5m 1,5m 40,5m 0,6 s 0,78 m m m 10 10 s s hosszúnak kellett lennie.. Az ábrán látható α = 15 o -os hajlásszöű lejtőre két, eymással L=1,5 m hosszúsáú feszes fonállal összekötött testet helyeztek. A felső test tömee m = 0,5 k, közte és a lejtő között mind a csúszási, mind a tapadási súrlódás eyütthatója μ 1 = 0,3. Az alsó test tömee m, közte és a lejtő között mind a csúszási, mind a tapadási súrlódás eyütthatója μ = 0,. a) A testek elenedése után mekkora a fonálerő? b) A testek elenedése után mennyi idő múlva kerül a felső test az alsó indulási helyére? Ezt követően felcseréljük a két testet (az alsó a felső, a felső az alsó eredeti helyére kerül), s eyszerre enedjük el a testeket. c) Mekkora a fonálerő a testek elenedése után? d) Mennyi idő múlva kerül a felső test az alsó helyére? Meoldás. Bontsuk fel a testekre ható erőket a lejtővel párhuzamos és merőlees összetevőkre. Ha a testek külön-külön vannak a lejtőre téve, akkor lefele a nehézséi erő msinα összetevője hat, felfele pedi a súrlódási erő, melynek tapadás esetén μmcosα a maximuma. E kettő viszonyától fü, hoy a test mecsúszik-e, vay állva marad. 01/013 OKTV 1. forduló

Ha msinα > μmcosα, vayis tα > μ, akkor a test mecsúszik, ellenkező esetben állva marad. Az m tömeű test esetén (jelöljük ezt 1-essel, a másikat -essel) t15 o = 0,68 < 0,3, tehát a lejtőn állva maradna, a másik esetén t15 o = 0,68 > 0,, vayis mecsúszna. Az alsó test vay elhúzza a felsőt, vay me sem moccan. a) Teyük fel, hoy a két test elindul, K > 0 kötélerő lép fel, a közös yorsulás a > 0 lefele. A mozáseyenletek az eyes testekre vonatkozóla m(sinα μ cosα) K = ma m(sinα μ 1 cosα) + K = ma A második eyenletet kettővel szorozva, és a kettőt eyenlővé téve K b) Adjuk össze a két eyenletet mcos 1 3 0,3 N. 3ma = m(sinα μ cosα) + m(sinα μ 1 cosα) a 0,334m / s. 33sin 1 cos (Vayis az alsó elhúzza a felsőt.) Akkor kerül a felső az alsó helyére, ha ezzel a yorsulással s = L utat tesznek me. A néyzetes úttörvényből t s 1,5 s 3s a 0,334 c) Ha a testeket felcseréljük, akkor az alulra kerülő m tömeű test állva marad, mivel a fonál nem tud nyomni, vayis a fonálerő nulla. d) A felső test a = (sinα μ cosα) = 0,656m/s yorsulással t s 1,5 ' s a 0,656 melöki, majd a helyére kerül.,14 s idő alatt kerül a másik helyére, ha ott nem állna. Íy 3. Füőlees tenelyű, A keresztmetszetű, hener alakú tartályban d vastasáú duattyú azonos, n anyamennyiséű, T hőmérsékletű leveőt zár el eymástól. A súrlódásmentesen mozó duattyú alatt l 1, felette l hosszúsáú leveőoszlop van. a) Milyen eynemű anyaból készülhetett a duattyú? b) A tartály és a duattyú tömee eyenlő. Eyszer csak a tartály alátámasztását meszüntetjük. Mekkora lesz a duattyú, illetve a tartály yorsulása az elenedést követő pillanatban? Adatok: n = 0,00 mol, d = cm, A = 100 cm, T = 34 C, l 1 = 7,8 cm, l = 8,5 cm. Meoldás. a) Írjuk fel a duattyú eyensúlyának dinamikai feltételét! m p 1 p A Beírva a nyomásokat az állapoteyenletből, és kifejezve a tömeet: 01/013 3 OKTV 1. forduló

nrt nrt 1 1 A nrt m 0,564 k. l1 A la l1 l A sűrűséet a töme és térfoat hányadosa szoláltatja: m m 0,564 k k 63. 3 V da 10 m 10 m m A füvénytáblázat alapján valószínűsítjük, hoy a hener anyaa alumínium. b) A duattyúra ható erők nem változnak, ezért annak yorsulása továbbra is nulla. A tartályra a ázon kívül a külső leveő is erőt fejt ki, alulról felfelé p k A-t, felülről lefelé uyanennyit. Ezek eredője nulla. Íy a tartályra vonatkozó mozáseyenlet: p1a m p A ma, azaz p p A m ma viszont p p A m ezzel m = ma, ahonnan 1, a tartály yorsulása a =. 1, 4/A Az ábra szerinti elrendezésben kezdetben mindkét kapcsoló nyitva van. R 1 = 300 k, R = 00 k, R 3 = 400 k, R 4 =100 k, C 1 = 40 μf, C = 10 μf, U = 300 V. a) A K 1 kapcsolót zárjuk. A zárást követő két másodpercben hány elektron és merre halad át rajta? b) Majd zárjuk a K kapcsolót is. Hány elektron és merre halad át rajta, amí a kondenzátorok feszültsée állandósul? c) Ezt követően a K 1 kapcsolót nyitjuk. Hány elektron és merre halad át a K kapcsolón, amí a kondenzátorok feszültsée ismét állandósul? Meoldás. a) A K 1 kapcsoló zárása után az eyes és a kettes, valamint a hármas és a néyes foyasztó páronként eymással párhuzamosan lesz kapcsolva. Például az eyes és a néyes foyasztón átfolyó áramok erősséének különbsée lesz a kapcsolón áthaladó áram erőssée. Ekkor a főá eredő ellenállása a sorosan kapcsolt R 1 és R 34 ellenállások összee, ahol: RR 1 30000 RR 3 4 400100 R1, k 10 k, és R3,4 k 80 k.. R R 300 00 R R 400 100 1 3 4 Íy a főá eredő ellenállása: R e = R 1, + R 3,4 = 10 k+ 80 k = 00 k. A főában folyó áram erőssée tehát: U 300 V I 1,5 ma. R 00 k Az eyes és a néyes számú foyasztón átfolyó áram erőssée tehát: e I I R 1,5 ma 10 k I R 1,5 ma 80 k 0,6 ma és I 1, ma. 300 k 100 k 1, 3,4 1 4 R1 R4 01/013 4 OKTV 1. forduló

A K 1 kapcsolón áthaladó eredő áram erőssée: IK I4 I1 1, ma 0,6 ma 0,6 ma, 1 vayis másodperc alatt a K 1 kapcsolón QK IK t 0,6 ma s 1, mc töltés, azaz N 1 1 számú elektron halad át, az ábrán felfelé. Q 1, 10 C 7,5 10 e 1,6 10 C 3 K1 elektron 1 19 b) A K kapcsoló zárása után az eyes számú kondenzátor az eyes és kettes foyasztóval, illetve a kettes számú kondenzátor a hármas és néyes foyasztóval lesz párhuzamosan kapcsolva. Kellő idő elteltével kondenzátorok állandósult feszültsée az ellenállásokra jutó feszültséel fo meeyezni. A kondenzátorok belső lemezei az eredeti soros kapcsolásban csak meosztás útján töltődhettek fel. Íy a kapcsoló zárása után kialakuló különböző abszolút értékű Q 1 és Q töltések különbsée csak a K kapcsolón keresztül juthatott a belső lemezek által alkotott rendszerre. Itt és Q CU C IR 3 1 1 1, 1 1, 40μF 1,5mA 10 k 7,10 C 7, mc, Q C U C IR 3 3,4 3,4 10μF 1,5mA 80 k1, 10 C 1, mc. A kapcsolón átáramló töltések mennyisée tehát: QK Q1 Q 7, mc 1, mc 6 mc. A kapcsolón áthaladó elektronok száma: 3 QK 610 C 16 Nelektron 3,75 10. 19 e 1,6 10 C Az elektronok a kapcsolón itt is (az ábrán) felfelé haladnak át. c) A K 1 kapcsolót nyitása után a kondenzátorok már csak az R illetve R 3 ellenállással lesznek párhuzamosan kapcsolva. Az ellenállások arányának mefelelően U = 100 V ill. U 3 = 00 V. Ezzel a kondenzátorok töltései: Q CU 40μF 100 V 4mC, és Q C U 10μF 00 V mc. 1 1 3 A K kapcsolón átáramló töltés Q K Q Q 1 Q1 Q 4 mc. Az átáramló elektronok száma pedi: Q K 16 N elektron,5 10. e Az elektronok a kapcsolón (az ábrán) felfelé haladnak át. 15 01/013 5 OKTV 1. forduló

4/B Két azonos, A = 1 dm területű fémlemez közül az eyiket vízszintes asztallapra helyezzük, a másikat felette ey D = 6 N/m direkciós erejű csavarruón felfüesztjük és nyualmi állapotában szietelő foóval rözítjük. Ekkor a két lemez eymástól d = cm távolsában van. Ezután a rendszert mint kondenzátort Q = 8. 10 8 C töltéssel feltöltjük, majd a felfüesztett lemezt lökésmentesen elenedjük. a) Mekkora amplitúdójú rezés jön létre? b) Mekkora a lemez lenayobb sebessée, ha tömee m = 10? c) Mekkora a lemez lenayobb yorsulása? d) Adjuk me a rendszer elektrosztatikus eneriáját az idő füvényében! A közeellenállást ne veyük tekintetbe! Meoldás. Az állandó töltés miatt a lemezek közötti elektromos mező állandó marad, hasonlóképpen a ravitációs erőtér is. Feltöltés előtt a ruóra füesztett lemez eyensúlyban volt. Feltöltés után vonzóerő lépett fel az elektrosztatikus erők miatt, ha feloldjuk a rözítést, a lemez yorsulva elindul a másik lemez felé, közben a ruóerő eyre növekszik. Harmonikus rezőmozás alakul ki. A keletkező rezés amplitúdója leyen x! Mefelelő adatok esetén nem ütközik össze a két lemez, hanem x távolsá metétele után visszafordul, és a ruó hatására ismét eléri kiinduló helyzetét. (Az eneria-memaradás miatt tovább nem emelkedhet.) a) A rezés szélső helyzetből indul, tehát a keresett amplitúdónyi út metétele után a maximális pillanatnyi sebesséel, vayis a lemez yorsulásmentesen mozo. Ekkor a rá ható erők eredője zérus. Ezt felhasználva: F F F F rav ru el 0. A ravitációs erő F rav = m, a rualmas erő ebben a pillanatban F ru = D(l 0 + x), és az elektrosztatikus vonzóerő a lemezek közötti eredő térerősséel kifejezve (a füvénytáblázatból): 1 Fel QE. (A képletben meérthető az ½-es faktor mejelenése, uyanis a kiszemelt lemez töltéseire önmauk nem hatnak, csak a szemközti lemez terének a lemezek közé eső része hat, ami pedi éppen a fele az eredő térerőssének, hiszen az eredő mindkét lemez terének szuperpozíciójából áll elő. Más meondolással: a kiszemelt lemez töltései valójában az eredő mezőben vannak, a lemez felületének vékony réteében. A lemez szélén levő töltésekre valóban az eredő E térerősséű mező hat, azonban, mivel a fém többlettöltés nélküli belsejében 0 az 01/013 6 OKTV 1. forduló

elektromos térerőssé, a réte lebelső töltéseinél már 0-ra csökken az eredő tér. Íy az átlaosan ható térerőssé éppen a fele a lemezek közötti eredő térerőssének.) Ezt felhasználva az elektrosztatikus vonzóerőre valóban írhatjuk: 1 1 1 Q 1 1 Q F el QE Q A 0 A 0, m A ruó menyúlása az eyensúlyi (indulási) helyzeti: l0, amit a ruóerő fenti kifejezésébe írva: Fru D x m Dx. D D m Ezzel mozáseyenletünk az eyensúlyra: azaz innen a keresett amplitúdó: 11 0 Q m m Dx 0, A 11Q Dx 0, A 0 16 1 1 Q 6410 C -3 x 6,06 10 m 6,03 mm. 0 AD 1 As N 8,85 10 10 m 6 Vm m Érdekes, hoy az eredmény füetlen a lemez tömeéről és a lemezek kezdeti távolsáától. (Nayobb töme esetén nyílván nayobb a ruó kezdeti menyúlása.) Látható, hoy a rezés táassáa (kétszeres amplitúdója) csak x = 1,06 cm < d = cm, vayis a lemezek nem ütköznek össze, íy a rezés valóban létrejöhet. b) A lemez maximális sebessée a kinematikából íy írható: v Ax max, N 6 D m 1 4,5 1 ahol a körfrekvencia 4,5, (a rezésszám: n 3,9 m 10 k s ) s ezzel a maximális sebessé: -3 1 m cm v max 6,06 10 m4,5 0,148 = 15. s s s c) A lemez lenayobb yorsulása: 3 1 m amax A 6,06 10 m4,5 3,6. s s (Természetesen ezt mekaphatjuk a mozáseyenletből az indulási szakaszra felírva: a F 3,6.) 8,85 10 10 m 10 k Vm 16 1 1 Q 6410 C m max m 0 Am 1 As s 01/013 7 OKTV 1. forduló

d) A rendszer elektrosztatikus eneriája az eneriasűrűsé és térfoat szorzata: 1 Wel elv 0E Ah, ahol h a lemezek pillanatnyi távolsáa. A rezés (mivel szélső helyzetből indul) koszinuszos füvénye az időnek, a pillanatnyi maassá az eyensúlyi helyzettől való kitérés füvényében: D h d x x cost d x cos t 1. m Ezzel a rendszer elektrosztatikai eneriája az idő füvényében: számértékile: cos 1 cos 1, 1 D Q D Wel 0E A d x t d x t m 0A m N 16 6410 C 6 3 m Wel 10 m 6, 0610 mcos t1 1 As 8,85 10 10 m 10 k Vm 4 4 1 7, 310 J,17910 J cos4, 49 t 1. s (Érdekessé kedvéért az amplitúdó mehatározásának másik útja is lehet. A maximális x süllyedés értékét az eneria-memaradásból is mehatározhatjuk. Jelöljük az eneriákat W-vel! A rendszer konzervatív, vayis az elektromos, a ravitációs és a rualmas eneriák meváltozásának összee zérus. (Ezzel eyenértékű: a munkatétel szerint az összes munkák összee a kinetikus eneria meváltozásával eyenlő. A lemélyebb helyzetben és a kezdőhelyzetben 0 volt a sebessé, vayis az összes munkák összee 0.) Wel Wrav Wru 0. A kondenzátor elektrosztatikai eneriája (mivel d << térfoat szorzata, íy ennek meváltozása: 1 Wel 0E Ax, a ravitációs helyzeti eneria meváltozása W m x, a rualmas eneria meváltozása: rav A ) az eneriasűrűsé és a 01/013 8 OKTV 1. forduló

1 1 1 Wru Wru Wru1 Dl0 x Dl0 Dl0 x 4 x. A kezdeti ruómenyúlás a lemez tömeével kifejezhető: m l0, D amit a rualmas eneriaváltozásba írva: 1 m D4x Wru D x 4x mx mx D x. D Eneria-eyenletünk ezekkel: 1 1 0. W 0E A x m x m x D x 0E A x D x Eyszerűsítés után: D x 0E A 0 Veyük fiyelembe, hoy a lemezek között kialakult (állandó) térerőssé a töltéssel íy fejezhető ki: 1 Q E. A Ezt eyenletünkbe írva: 0 1 Q Dx 0 A. 0 1 Q 6410 C 16 3 x 1, 0510 m. 0 DA 1 As N 8.8510 6 10 m Vm m -3 A létrejövő amplitúdó tehát: x 6,06 10 m 6,06 mm. Ez meeyezik előző eredményünkkel.) 01/013 9 OKTV 1. forduló

Oktatási Hivatal Pontozási útmutató a 01/013. Évi fizika OKTV első fordulójának feladatmeoldásaihoz I. kateória Minden feladat teljes meoldása 0 pontot ér. Részletes, eysées pontozás nem adható me a feladatok természetéből következően, uyanis eyey helyes meoldáshoz több különböző, eyenértékű helyes út vezethet. A feladat numerikus véeredményével meközelítően azonos eredményt kihozó meoldó erre a részfeladatra 0 pontot kap, amennyiben elvile helytelen úton jut el. Fizikaila értelmes ondolatmenet esetén a kis numerikus hiba elkövetése miatt (a részfeladat terjedelmétől füően) -3 pont vonható le. Ha a meoldó csak paraméteresen adja me a helyes ondolatmenettel kapott eredményt (kivéve, ha a feladat csak paraméteresen kéri a meoldást), pontot veszít. 1. feladat A jelensé lefolyásának helyes jellemzése A felszálló és leszálló áak menetidejének helyes leírása A menetidő mehatározása az n-edik lépcsőfoki A vízszintes sebessékomponens naysáánk mehatározása Az 5-ik lépcsőfok szélesséének kiszámítása. feladat A lejtőn való mecsúszás feltételének vizsálata A mozáseyenlet felírása az a) esetre A fonálerő mehatározása A yorsulás mehatározása A keresett idő mehatározása A fonálerő mehatározása a b) esetre A yorsulás mehatározása A keresett idő mehatározása Amennyiben a versenyző nem vizsálja a mecsúszás feltételét, hanem mindkét esetben a mozáseyenletek alapján jut a helyes eredményhez, akkor az ezen részre adható 4 pontot a b) esetre vonatkozó helyes mozáseyenletekért kell meadni. 4 pont 4 pont 6 pont pont 4 pont 4 pont 3+3 pont pont pont pont pont 3. feladat a) A dinamika alapeyenletének alkalmazása az eyensúlyban levő duattyúra 3 pont A ázok nyomásának kifejezése az állapoteyenlet seítséével 3 pont A duattyú tömeének kifejezése 3 pont A duattyú sűrűséének kifejezése és kiszámítása pont A duattyú anyaának menevezése b) A dinamika alapeyenletének alkalmazása a duattyúra 3 pont A duattyú yorsulásának mehatározása A dinamika alapeyenletének alkalmazása a tartályra 3 pont A tartály yorsulásának mehatározása 011/01 1 OKTV 1. forduló

4/A feladat a) A főá áramerősséének mehatározása 1pont Az eyes és a néyes (vay a kettes és hármas) számú foyasztó áramerőssée 1+ A kapcsolón áthaladó áram erősséének mehatározása pont A kapcsolón áthaladó töltés mennyiséének mehatározása Az elektronok számának kiszámítása Az elektronok haladási irányának helyes meadása b) Az 1. kondenzátor töltésének mehatározása A. kondenzátor töltésének mehatározása 1pont A kapcsolón átáramló töltés mennyiséének mehatározása pont A kapcsolón áthaladó elektronok számának mehatározása Az elektronok haladási irányának helyes meadása c) Az 1. és. kondenzátor feszültséének mehatározása Az 1. és. kondenzátor töltésének helyes meadása A kapcsolón átáramló töltés mennyiséének kiszámítása pont A kapcsolón áthaladó elektronok számának mehatározása Az elektronok haladási irányának helyes meadása 4/B feladat A mozáseyenletek helyes felírása a lemez eyensúlyára A rezés amplitúdójának helyes mehatározása A lemez maximális sebesséének meadása A lemez maximális yorsulásának mehatározása A rendszer elektrosztatikus eneriája időfüésének helyes meadása 4 pont 5 pont pont pont 7 pont 011/01 OKTV 1. forduló