Négydimenziós téridomok szemléltetése Gévay Gábor 1 és Koji Miyazaki 2 1 Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézete, 6720 Szeged, Aradi vértanúk tere 1. gevay@math.u-szeged.hu 2 Graduate School of Human and Environmental Studies, Kyoto University, Sakyo-ku, Kyoto, 606-8501, Japan kojigen@borg.jinkan.kyoto-u.ac.jp Kivonat. Az elemi geometriából ismert 3-dimenziós szabályos és félig szabályos poliéderek 4- dimenziós analogonjai a szabályos és uniform politópok. Koji Miyazaki videofilmje ilyen alakzatok szemléltetésére készült. A jelen cikkben a film megértéséhez szükséges geometriai háttérismereteket tárgyaljuk röviden, lehetőség szerint szemléletes megközelítésben, az elvontabb matematikai részletek mellőzésével. Egyik eszközünk ehhez a tárgyalt 3- és 4-dimenziós testek közötti analógia hangsúlyozása. Az előadás során bemutatott videofilm egy számítógépes szemléltető programról készült, amelynek alkotói Koji Miyazaki professzor (szakmai irányítás) és Satoshi Yamaguchi PhD hallgató (programozás) a kyotói egyetemről. A program 4-dimenziós szabályos és uniform politópok szemléltetésére szolgál. Az alábbiakban a szükséges geometriai háttérismereteket tárgyaljuk röviden. Eközben igyekszünk elkerülni a hosszadalmasabb előkészítést igénylő pontos matematikai definíciókat, inkább a szemléletes fogalmazásra törekszünk. A konvex sokszögek, mint síkbeli, azaz 2-dimenziós alakzatok, illetve konvex poliéderek, mint térbeli, azaz 3-dimenziós alakzatok jól ismertek az elemi geometriából. Matematikailag analóg objektumok tetszőlegesen sokdimenziós térben is definiálhatók, ezeket (konvex) politópoknak nevezzük. (A dimenziószámtól független egyik lehetséges definíció értelmében egy konvex politóp nem más, mint véges sok pont konvex burka, vagyis az a legszűkebb konvex alakzat, amely ezeket a pontokat tartalmazza.) A konvex sokszögek és poliéderek lehető legmagasabb fokú szimmetriát mutató fajtái, a szabályos sokszögek és szabályos poliéderek már több mint 2000 évvel ezelőtt is matematikai vizsgálat tárgyát képezték [1, 2]. A szabályos politópok 4-dimenziós változatait először Ludwig Schläfli vizsgálta a 19. sz. közepén [3]. A szabályos poliéderekre sokféle egymással egyenértékű definíció ismeretes, nekünk azonban célszerű itt is egy dimenziószámtól független definíciót alkalmazni. Ehhez a szimmetriatulajdonságokat hívjuk segítségül. Egy (térbeli) alakzat szimmetrikus, ha különböző szimmetriaműveletekkel, pl. tengely körüli forgatással, síkra tükrözéssel vagy középpontos tükrözéssel önmagába transzformálható. Másképpen szólva, a szimmetriaművelet végrehajtásával az eredetitől meg nem különböztethető helyzetbe hozható. Egy alakzaton végrehajtható szimmetriaműveletek összessége matematikailag szimmetriacsoportot alkot [4]. Mármost, ha egy poliéder bármely két csúcsához van olyan (a poliéderen végrehajtható) szimmetriaművelet, amely egyik csúcsot a másikba viszi, akkor azt mondjuk, hogy a poliéder szimmetriacsoportja tranzitív a csúcsokon. Szemléletesen kifejezve, ez azt jelenti, hogy bármely két 1
csúcs egymáshoz képest,,szimmetrikus helyzetben van. Egy poliéder pontosan akkor szabályos poliéder, ha ugyanez a tranzitivitási tulajdonság nemcsak a csúcsokon, hanem az éleken és a lapokon is teljesül. Ezt az igen erős szimmetria-feltételt csak 5-féle poliéder teljesíti, másképpen szólva, 3 dimenzóban 5 szabályos poliéder létezik. Ezek a (platóni testeknek is nevezett) poliéderek a következők: (a) szabályos tetraéder, (b) kocka, (c) szabályos oktaéder, (d) szabályos dodekaéder és (e) szabályos ikozaéder (1. ábra). (a) (b) (c) (d) (e) 1. ábra Egy 4-dimenziós politóp,,oldallapjai 3-dimenziós poliéderek, ezeket hiperlapoknak is nevezzük. Ha az előbbiekhez hasonlóan - a 0-dimenziós határoló elemekre ( = csúcsokra) - az 1-dimenziós határoló elemekre ( = élekre) - a 2-dimenziós határoló elemekre ( = lapokra) és - a 3-dimenziós határoló elemekre ( = hiperlapokra) egyaránt megköveteljük a tranzitivitást, a 4-dimenziós szabályos politóp fogalmát kapjuk. (Általánosan, egy n-dimenziós politópot röviden n-politópot pontosan akkor nevezünk szabályos vagy reguláris n-politópnak, ha minden k egész szám esetén, ahol 0 k < n, a k-dimenziós,,lapokon a szimmetriacsoportja tranzitív.) A definícióból az is következik, hogy a 2- és 3-dimenziós határoló elemek szabályos sokszögek, illetve szabályos poliéderek. Négydimenziós szabályos politópokból 6-féle van, a felvételen ezek közül a következő hárommal találkozunk. 2
A hiperkockát 8 kocka határolja, 16 csúcsa, 32 éle és 24 (2-dimenziós) lapja van. Egy csúcsban 4 kocka találkozik, egy él három kocka közös élét képezi, és két szomszédos kocka hiperlap egy közös négyzetlap mentén érintkezik. A (szabályos) 120-cellát 120 szabályos dodekaéder határolja, 600 csúcsa, 1200 éle és 720 ötszöglapja van. Egy csúcsban 4 dodekaéder hiperlap találkozik, egy él három hiperlap közös élét képezi, és minden ötszöglapon két szomszédos dodekaéder osztozik. A (szabályos) 600-cellát 600 szabályos tetraéder határolja, 120 csúcsa, 720 éle és 1200 háromszöglapja van. Egy csúcsban 20 tetraéder találkozik, egy él mentén 5 tetraéder érintkezik, és minden háromszöglap 2 szomszédos tetraéder közös lapja. A regularitás feltétele sokféleképpen gyengíthető, így változatos újabb politóposztályokat kapunk. Ilyen az uniform politópok osztálya. Egy n-politóp pontosan akkor uniform, ha szimmetriacsoportja a csúcsokon tranzitív és hiperlapjai (n-1)-dimenziós uniform politópok. Három dimenzióban ekkor éppen a félig szabályos poliédereket kapjuk. Ha egy félig szabályos poliéder szimmetriacsoportja megegyezik egy szabályos test szimmetriacsoportjával, akkor arkhimédészi testnek nevezzük. Arkhimédészi testből 13 fajta van. (a) (b) (c) 2. ábra Uniform politópokat könnyen előállíthatunk szabályos politópokból csonkítással, így például a csúcsok alkalmas levágásával. A dodekaéderből például (2. ábra) első lépésben az (a) csonkítást kapjuk (arkhimédészi csonkított dodekaéder): a csúcsok helyén szabályos háromszögek keletkeznek, az eredeti ötszöglapok pedig szabályos tízszögekké csonkulnak. A metsző síkokat a poliéder középpontjához közelebb felvéve, egy bizonyos pozícióban azok éppen a dodekaéder eredeti élfelezőpontjaiban találkoznak: a keletkezett háromszöglapok a csúcsuknál fogva összeérnek, ikozidodekaédert kapunk (b). Tovább növelve a csonkítás mélységét, a háromszöglapok már egymást is csonkítják, hatszöglapok keletkeznek. A keletkezett idom neve arkhimédészi csonkított ikozaéder, mivel a (most már kisméretűvé zsugorodott) ötszöglapok úgy is felfoghatók, mintha,,ellenkező irányból, az ikozaéderből indult volna a csonkítás, és annak csúcsai helyén kaptuk volna ezeket a lapokat (nem nehéz észrevenni, hogy gömbbé,,felfújva" ezt az idomot, a futball-labda jól ismert alakját kapjuk). Tulajdonképpen a dodekaéder és az ikozaéder között elhelyezkedő csonkítási sorozatot kaptunk [3, 5]. A sorozat 2 szélső tagja egymás duálisa: a dodekaédernek ugyanannyi csúcsa van, mint az ikozaédernek, és megfordítva (egyúttal, a csúcsok, élek és lapok egymáshoz való illeszkedésének rendje is fordított a két poliéderen). (Ez abban is megnyilvánul, hogy a fenti 3 lépéses csonkítási műveletsort fordított irányban is elvégezhettük volna: az ikozaéderrel kezdve, és a dodekaéderhez megérkezve, hiszen a csúcsokat metsző síkok éppen a duális ellenpár lapsíkjaival megegyező helyzetűek, ha eltekintünk a poliéder középpontjától való távolságuktól.) 3
Tekintsük most e poliéderek szemléltetési módját. Előző ábráink mindegyike merőleges vetítéssel készült: a vetítősugarak egymással párhuzamosak és merőlegesek a képsíkra (jelen esetben az ábra síkjára). A poliéder képe egy síkbeli konvex sokszögtartomány, amelyet az egyes lapok képei osztanak fel résztartományokra (e kisebb tartományok az eredeti poliéderlap helyzetétől függően kisebb-nagyobb torzulást szenvednek a vetítés során: a szabályos sokszögek affin képe keletkezik.) Megállapodás szerint pl. azon lapok képeit tüntetjük fel az ábrán, amelyek a poliédernek a képsíkkal átellenes oldalán helyezkednek el. Egy 4-dimenziós politóp egyik legegyszerűbb szemléltetése ennek analógiájára a következő [6]. A merőleges vetítés egy 3-dimenziós hipersíkra történik: ahol a vetítősugarak döfik ezt a hipersíkot, ott lesz a vetített pont képe. (Egy ilyen hipersík lényegében megegyezik egy közönséges 3-dimenziós euklideszi térrel; a hipersík, mint a 4-dimenziós tér egy altere egy rá merőleges egyenessel jelen esetben egy vetítősugárral együtt kifeszíti a 4-dimenziós teret.) Az eredmény az analógia alapján egy (3-dimenziós térbeli) konvex poliédertartomány, amelyet az eredeti hiperlapok (jelen esetben platóni vagy arkhimédészi poliéderek) affin képei osztanak fel kisebb tartományokra. (a) (b) 3. ábra A 600-cella esetén az így előálló alakzatot a 3/a ábra szemlélteti (pillanatkép a videofelvételből). A jobb láthatóság érdekében a tetraéder hiperlapok között hézagok vannak, és maguk a tetraéderek csak váz alakban láthatók, hogy az alakzat belsejébe is bepillanthassunk. A 3/b ábra hasonló módon a 120-cellát szemlélteti (az ábra nem konvex alakzatot mutat, aminek oka, hogy a legkülső, a vetítés miatt már igen lapossá torzult dodekaéderek a jobb szemléltetés érdekében el lettek hagyva). Ez a két politóp egymás duálisa, így az ikozaéder-dodekaéder pár kapcsán említett módon itt is létrehozható egy csonkítási sorozat a csúcsok alkalmas levágásával. Így 5 új uniform politópot kapunk, amelyek egyikét a 4. ábra mutatja. Jól látszanak az arkhimédészi csonkított tetraéder, illetve ikozaéder alakú hiperlapok (az előbbiek egy példánya külön is látható az 5. ábrán). A csonkított tetraéderek hatszöglapjukkal egymáshoz, háromszöglapjukkal pedig az ikozaéderekhez csatlakoznak. Jelenlétüket tekinthetjük úgy, mintha a 600-cella tetraédereiből jöttek volna létre (a csúcsoknál történő csonkítás eredményeként), de úgy is, mintha a 120-4
4. ábra 5. ábra cella 600 levágott csúcsa helyén keletkeztek volna. A 120 ikozaéder ennek megfelelően keletkezhetett volna a 600-cella csúcsainak helyén, de ugyanígy a 120-cella dodekaédereiből is, a csúcsoknál történő csonkításból adódóan. Megjegyezzük, hogy uniform politópokat tetszőleges, de 2-nél nagyobb dimenzióban nemcsak a csúcsoknál történő csonkítással lehet létrehozni, hanem például éleknél, illetve lehetőség szerint 1-nél magasabb dimenziós,,lapoknál is. Ikozaéder-dodekaéder pár esetén ekkor 2 újabb arkhimédészi test keletkezik: a rombikozidodekaéder (6/a ábra), illetve a nagy (a) 6. ábra (b) rombikozidodekaéder (6/b ábra). 4 dimenzióban ez a lehetőség az előbbi 5 mellé még 8 újabb politóp konstrukcióját jelenti. Mindezeket a lehetőségeket a videofilm úgy jeleníti meg, hogy az éppen bemutatott politóp állandó forgásban van a 4-dimenziós térben. A (3-dimenziós) vetületi kép is állandóan változik ennek megfelelően, és a hiperlapok (az egyes platóni vagy arkhimédészi testek) képei is állandó mozgásban vannak (részint folyamatosan változtatják alakjukat a vetítésből adódó torzulás következtében, részint egy folytosan változó helyzetű tengely körül forognak). Eredményként a 4-dimenziós térgeometria izgalmas világáról egy dinamikus és (közvetlen s átvitt értelemben egyaránt) sokszínű képet nyerhetünk. A bemutatott alakzatok a 4-dimenziós térnek ugyan nem a legegyszerűbb alakzatai, mégis, ahogyan a poliéderek változatos világa 5
segít megérteni a térgeometriát és hozzájárulhat a térszemlélet fejlesztéséhez, úgy a szóban forgó politópok szemléletes megjelenítése is segítséget adhat a geometria egy elvontabb (a megszokott 3-dimenziós geometriára sokban hasonlító, de attól mégis eltérő) fejezetének megközelítéséhez. Végül, de nem utolsósorban hozzájárulhat a 4-dimenziós tér körül kialakult, nemegyszer misztifikált és áltudományos elképzelések [7, 8] visszaszorításához. Irodalom 1. Euklidész: Elemek. Gondolat, Budapest, 1983. 2. Struik, D. J.: A matematika rövid története. Gondolat Kiadó, Budapest, 1958. 3. Coxeter, H. S. M.: Regular polytopes. Methuen, London, 1948. 4. Coxeter, H. S. M.: A geometriák alapjai. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. 5. Bérczi Szaniszló: A szabályos és félig szabályos testek táblázatos összefoglalása. In: Weyl, H.: Szimmetria. Gondolat, Budapest, 1982, 209-212. o. 6. Miyazaki, K.: Variable polyhedric patterns on a sphere derived from regular and semiregular polytopes in four-dimensional space. Forma, 13 (2) (1998), 63-80. 7. Gévay Gábor: Folytonosság és dimenzió. Egy matematikus emlékére, aki összekapcsolta a kettőt. Természet Világa, 114(12) (1983), 562-563. 8. Gévay Gábor: Mire jó a négydimenziós krisztallográfia? Természet Világa, 117(6) (1986), 276-278. 6