III.A. Halmazok Megoldások 1. Az 1.2. és 1.6. feladatban felírt összességekben nem HJ\pUWHOP& KRJ\ PHO\ HOHPHN WDUWR]QDN D KDOPD]KR] $ W EEL definíció halmazt határoz meg. Az 1.4. és 1.7. feladat különlegessége, hogy a megadott halmaz üres, azaz nincsenek a IHOWpWHOHNQHNHOHJHWWHYREMHNWXPRN 2.2. B = {jobb, járó, Jani, jegy, } 2.3. C = { 2, 3, 5, 7, 9,11,13,17,19, 21,... } 2.4. D = { 3, 4, 5, 6} 2.5. Az E halmazt megadó feltételek ellentmondásosak, így E={} 2.6. F = { 3, 4, 5} 2.7. G = { 1,1} 2.8. H = { 2, 4, 6, 8,... } 2.9. I = {..., 4, 2, 0, 2, 4,... } 2.10. J = { 3, 5, 7, 9,11,... } K = 3, 7,11,15,19,.... 2.11. { } 3.1. A = {a tavaszi hónapok} B = x 3 x 5 x N 3.2. { } 3.3. C = { x x = 10 k k N} 3.4. D = { x x = k + 1 k N} 3 k 3.5. E = { x x = 10 k N} 3.6. F = { x x = k + 1 k Z} 3.7. 5 1 G = x x = x N. k 4. A = B = D és C = E. 5. Az A halmaz részhalmazai: {}. A 0 elemszámú halmaznak így 1 részhalmaza van. A B halmaz részhalmazai: {}, {} 1. Az 1 elemszámú halmaznak így 2 részhalmaza van. 44
A C halmaz részhalmazai: {}, {} halmaznak így 4 részhalmaza van. A D halmaz részhalmazai: {}, {} 1, { 2 }, {,2} 1. A 2 elemszámú 1, { 2 }, { 3 }, { 1,2}, { 1,3}, {,3} { 1,2,3}. A 3 elemszámú halmaznak így 8 részhalmaza van. Az E halmaz részhalmazai: {}, {} 1, { 2 }, { 3 }, { 4 }, { 1,2}, {,3} 2, 1, {,4} { 2,3}, { 2,4}, { 3,4}, { 1,2,3}, { 1,2,4}, { 1,3,4}, { 2,3,4}, {,2,3,4} 1, 1. A 4 elemszámú halmaznak így 16 részhalmaza van. Az F halmaz részhalmazait nem soroljuk föl. Összesen 32 részhalmaza van. $NLW OW WWWiEOi]DWDN YHWNH]NpSSHQDODNXO a halmaz elemeinek a száma a halmaz részhalmazainak a száma 0 1 2 3 4 5 n n 1 2 4 8 16 32 2 $ KDOPD]P&YHOHWHN GHILQtFLyMiW DONDOPD]YD XJ\DQDNNRU ILJ\HOHPEHYpYHDP&YHOHWHNVRUUHQGMpWDN YHWNH]WNDSMXN 6.1. A ( B C) = { a, b, c} { d} = { a, b, c, d} 6.2. ( A \ B) ( C \ A) = { b} { d, e} = { b, d, e} B C \ A B = a, c, d, e \ a, c = d, e 6.3. ( ) ( ) { } { } { } 6.4. A B \ C = { a, b, c, d} \ { d, e} = { e} \ { d, e}= {} 6.5. A B \ C = { a, b, c} { a, c} = { d, e} { b, d, e} = { b, d, e} 6.6. A B = {( a a), ( a c), ( a d), ( b a), ( b c), ( b ( c, a), ( c c), ( c d) } 6.7. ( B C) \ ( C B) = {( a ( a e),( c ( c e),( d ( d e) }\ \ {( d a),( d c),( d d),( e, a),( e c),( e d) } = {( a { a e}( c ( c e), ( d e) }. $ NpW ROGDO HJ\HQO (]W D] DOiEEL 9HQQ-diagramokról is le lehet olvasni a sötétített részek összehasonlításával. ( A B) C 45
( A C) ( B C) $NpWROGDOHJ\HQO ( B C) A \ ( A \ C) ( B \ C) $ NpW ROGDO QHP HJ\HQO PLYHO D] DOiEEL UDM]RNRQ QHP ugyanazok a halmazrészek vannak beárnyékolva. ( A B) \ C 46
( A C) \ ( B C) $ NpWROGDO QHPHJ\HQO$NLYRQiVQHPDVV]RFLDWtYD]D] nem társítható.) ( A \ B) \ C ( B C) A \ \ 8. Természetesen itt nem csak egyetlen megoldás létezik. Az DOiEELDNEDQDOHJNp]HQIHNYEEPHJROGiVRNDWN ] OM N 8.1. A B 8.2. A \ B \ C vagy A \ ( B C) 8.3. ( B C) \ A vagy ( B \ A) ( C \ A) 8.4. ( A C) \ ( B C) 8.5. B ( A C) vagy ( B A) ( B C) A B A C B C \ A B C. 8.6. [( ) ( ) ( )] ( ) 47
9.1. Rajzoljunk a feladathoz számegyenest! Jelöljük be rajta a 3- mal és a 4-gyel osztható számokat! Az ábrán négyzetekkel jelöltük a 3-mal, körökkel pedig a 4-gyel osztható számokat. Látható, hogy 10 szám kapott valamilyen jelölést, tehát 10 szám osztható 4-gyel vagy 3-mal. Próbáljunk meg általános eljárást kidolgozni a bejelölt számok számának megállapítására! Mivel minden harmadik szám osztható 3-PDOtJ\D]HOV20 szám között 6 hárommal osztható szám van, ugyanis ennyiszer van meg a 3 a 20-ban (maradékosan). Ugyanígy okoskodva 20 : 4 = 5 szám van, amely 4-gyel osztható. Ha a 6- ot és az 5-öt összeadjuk, akkor 11-et kapunk. Ez azért tér el a NRUiEEDQNLV]iPROWHUHGPpQ\WOPHUWD12-t, amely 3-mal is és 4- gyel is osztható, kétszer számoltuk. Így a 11-EO NL NHOO YRQQL azoknak a számoknak a számát, amelyek mindkét számmal, 3- mal is és 4-gyel is oszthatók. 20-ig egy ilyen szám van, a 12. 3 4 6 8 9 12 16 15 20 18 A fenti Venn-diagramon az A halmaz, melyben a 3-mal osztható számok vannak, számossága 6, a 4-gyel osztható számokat tartalmazó B halmaz számossága 5. A két halmazban összesen található elemek száma: A B = A + B A B = 6 + 5 1 = 10. $] HO] IHODGDW PHJROGiViEDQ EHYH]HWHWW MHO OpV pv számolás alapján A = 33, B = 25 és A B = 12. Ez utóbbi számot a 100 : 12 hányados egészrészeként kaptuk. Az A B = A + B A B képletet alkalmazva kapjuk: 33 + 25 12 = 46. 48
9.3. Jelölje A a 3-mal, B az 5-tel osztható számok halmazát. Ekkor D N YHWNH] V]iPRVViJRNDW NDSMXN A = 33, B = 20 és A B = 6. Ez utóbbi halmaz a 15-tel osztható számokat tartal- PD]]DLO\HQEO100-ig pedig éppen 6YDQ$]HUHGPpQ\D]HO]ekben használt képlet alkalmazásával: 33 + 20 6 = 47. 9.4. Jelölje A a 4-gyel, B az 6-tal osztható számok halmazát. Ekkor D N YHWNH] V]iPRVViJRNDW NDSMXN A = 25, B = 16 és A B = 8. Ez utóbbi halmaz a 12-vel osztható számokat tartal- PD]]D LO\HQEO 100-ig pedig éppen 8 van. Az eredmény az HO]HNEHQKDV]QiOWNpSOHWDONDOPD]iViYDO 25 + 16 8 = 33. 9.5. Jelölje A a 3-mal, B a 4-gyel és C az 5-tel osztható számok KDOPD]iW (NNRU D N YHWNH] V]iPRsságokat kapjuk: A = 33, B = 25 és C = 20. Mivel az A és a B halmaz metszetében a 12- vel, a B és a C metszetében a 20-szal, az A és a C metszetében a 15-tel és mindhárom halmaz metszetében a 60-nal osztható V]iPRN YDQQDN tj\ D N YHWNH] V]iPRVViJRNDW NDSMXN A B = 8, B C = 5, A C = 6 és A B C = 1. Az eredményt az A B C = A + B + C A B B C A C + A B C képlet adja. Behelyettesítve a számosságokat: 33 + 25 + 20 8 5 6 + 1 = 60. Az alábbi Venn-diagramon jelöltük az egyes halmazrészek számosságát. 19 7 13 5 1 4 9 49