MATEMATIKÁT, FIZIKÁT ÉS INFORMATIKÁT OKTATÓK XXXV. KONFERENCIÁJA TUDOMÁNYOS KÖZLEMÉNYEINEK KÜLÖNKÖTETE SZOLNOKI FŐISKOLA SZOLNOK 2011. AUGUSZTUS 29-31.
PROGRAMBIZOTTSÁG Elnök: Tiszteletbeli elnök: Elnökség: Dr. Molnár Sándor főiskolai tanár Budapes Gazdasági Főiskola Dr. Kispéter József egyetemi tanár Szegedi Tudományegyetem Dr. Sebestyén Doroya főiskolai docens Óbudai Egyetem Nyira László főiskolai adjunktus Kodolányi János Főiskola Dr. Walter József egyetemi adjunktus, Kaposvári Egyetem TÉMAFELELŐSÖK Matemaka: Fizika: Informaka: Dr. Klincsik Mihály főiskolai tanár Pécsi Tudományegyetem Dr. Klebniczki József főiskolai tanár Kecskemé Főiskola Dr. Jánosa András főiskolai tanár Budapes Gazdasági Főiskola A KONFERENCIA SZERVEZŐBIZOTTSÁGA Elnök: Titkár: Tagok: Madaras Lászlóné Dr. főiskolai tanár Libor Józsefné Dr. főiskolai docens Dr. Túróczi Imre főiskolai tanár Dr. Kóródi Márta főiskolai tanár Dr. Dudás Péter főiskolai docens Dr. Miskolczi Ildikó főiskolai adjunktus Dr. Szűcs Sándor főiskolai tanár Handl Gyula kontrolling osztályvezető Viplakné Kánai Piroska kommunikációs és rendezvény menedzser Szegedi András informakus Hernyák Gábor informakus OSZK: ISBN 978-963-89339-2-8 Matemakát, fizikát és informakát oktatók XXXV. Konferenciája a Szolnoki Főiskolán
Pokorádi László: A Monte - Carlo szimuláció és szemléltetése Matemaka szekció A Monte - Carlo szimuláció és szemléltetése Pokorádi László a műszaki tudomány kandidátusa, dr. habil, egyetemi tanár, Debreceni Egyetem Műszaki Menedzsment és Vállalkozási Tanszék pokardi@eng.unideb.huv Pokorádi, László: The Monte-Carlo Simulaon and its Demonstraon. The Monte-Carlo Simulaon is a widely used system invesgaon method, which is based on the generaon of random numbers. This system is used from basic sciences through complex system s risk assessment to economics. In this paper I demonstrate this method through an everyday example, by the help of which the petrol consumpon of cars can be determined. In this example the queson is what distance we can cover consuming only one tank fuel. Key words: mathemacal model, system model, simulaon. Összefoglalás: A Monte-Carlo szimuláció igen széles körben az alaptudományoktól a komplex rendszerek kockázatanalízisén át a pénzügyi éleg alkalmazo numerikus eljárás, amely véletlen számok generálásán alapul. A tanulmányban a módszer szemléltetésére egy egyszerű példát ragado ki a Szerző a hétköznapokból, amellyel a gépkocsik fogyasztását lehet meghatározni, és a szemléltetésre szolgáló feladat során azt próbálja megválaszolni, hogy mekkora távolságot tudunk megtenni egyetlen tankolással? kulcsszavak: matemakai modell; rendszermodell; szimuláció 1. B A Monte-Carlo módszer egy igen széles körben (a pénzügyi éleől a bonyolult rendszerek kockázatanalízisén át az alaptudományokig) alkalmazo eljárás, amely a vizsgált rendszer vagy folyamat bemenő jellemzői véletlen generálásán alapul. Ezen széles alkalmazási területet szemléltek a (M-, 2010); (P, 2000); (P, 2007) és (T., 2008) irodalmak. Egy fizikai (matemakai) rendszer, annak bemenő jellemzői gyakran jellemezhető valószínűség- eloszlásokkal. Ha ismerjük ezeket, az eloszlásokat, a Monte-Carlo szimuláció véletlen mintavételezéssel végezhető el. A Monte-Carlo módszer legnagyobb előnye, hogy nincs szükség a sokszor igen bonyolult analikus vagy numerikus eljárásokkal történő modellmegoldásra, hanem csupán véletlen számok gyors és hatékony generálásával, és a matemakai modell lefuatásával megválaszolhatók a felte kérdések. A mintavételezést sokszor elvégezve a kapo eredményeket meghatározhatjuk, megbecsülhetjük a várható rendszerválaszok valószínűségi eloszlásait. Ezen elemzési módszert és annak sajátosságait már korábbi tanulmányaiban értelmezte és elemezte a Szerző (P, 2008) (P, 2009). A tanulmányban a módszer szemléltetésére egy egyszerű példát ragadtunk ki a hétköznapokból, melynek során azt próbáljuk megválaszolni, hogy mekkora távolságot tudunk megtenni egyetlen tankolással? A tanulmány az alábbi részekből áll: A 2. fejezet a Monte-Carlo szimulációt és annak alkalmazási lehetőségeit mutatja be. A 3. fejezet egy egyszerű, hétköznapi példán keresztül szemlélte a Monte-Carlo szimuláció módszerét. Végül a 4. fejezetben összegzi a tanulmány elkészítésekor szerze tapasztalatokat és megfogalmazza a szerző jövőbeli célkitűzéseit. 76 ECONOMICA KÜLÖNSZÁM, 2011.
Pokorádi László: A Monte - Carlo szimuláció és szemléltetése 2. A M-C A Monte-Carlo szimulációt mi, magyarok gyakran Neumann Jánoshoz kötjük, bár, őt megelőzően már alkalmaztak staszkai mintavételezési elemző módszereket a természeudományokban. Például, Lord Kelvin már 1901-ben a klasszikus rendszerek belső energiaegyensúlyát vizsgálta az atomok és molekulák véletlen ütközéseinek modellezésével (N B, 1999). A Monte-Carlo szimuláció lényege az, hogy az egyes bizonytalan tényezőkhöz rendelt valószínűség-eloszlások alapján véletlenszerűen választjuk ki azok értékeit. Az így kiválaszto kiinduló adatokat a szimulációs vizsgálat egy-egy kísérletében (a modell gerjesztéseként) használjuk fel. Monte-Carlo módszereknek nevezzük a matemakai feladatok megoldásának véletlen mennyiségek modellezését felhasználó numerikus módszereit és azok jellemzőinek staszkus értékelését. A Monte-Carlo egy olyan matemakai eszköz, mely alkalmas arra, hogy véletlen események sorozatával oldjunk meg determiniszkus problémákat. A szimuláció során a gerjesztések meghatározásához az úgyneveze kiszorításos módszert alkalmazhatjuk. Az eljárás lényege az 1. ábrával szemléltethető, és az alábbiak szerint írható le: Az egyenletes eloszlású véletlen szám generátor (ezzel minden programnyelv rendelkezik) felhasználásával kiválasztunk a gerjesztési tartományon belül egy x értéket, majd ehhez hozzárendelünk egy yx véletlen értéket. Az előre meghatározo sűrűség függvény alapján döntünk a generált x számról: ha, y x f ( x ) elvetjük az ado x értéket (A pont); ha, y x f ( x ), megtartjuk és a szimuláció során, mint input érték alkalmazzuk az ado x értéket (B pont). 1. ábra. Kiszorításos véletlen szám generálás szemléltetése Nézzünk röviden egy-két példát a Monte-Carlo szimuláció alkalmazására: Pásztor szerint a részecskefizikában használt berendezések, mérések tervezésekor, illetve később, az összegyűjtö adatok feldolgozásakor az egyik legfontosabb eszköz a Monte-Carlo szimuláció (P, 2000). Póserné tanulmányában leírja, hogy a kockázatkezelést nagyban segík a különböző komplex kockázatbecslési, kockázatkezelési és szimulációs stratégiák, mint például a Monte-Carlo szimuláció, melyek megkönnyík az opmális informakai védelmi tervek kidolgozását. Véleménye szerint a Monte-Carlo szimuláció a kockázatelemzés egyik alternav módszere, amikor is a rendszer megfelelő modellezése után számítógépes szimulációk fuathatók a rendszernek megfelelő véletlen ECONOMICA KÜLÖNSZÁM, 2011. 77
MAFIOK XXXV. Konferenciája Matemaka szekció értékekkel (P, 2007). Takács a megtérülési kockázatot vizsgálta egy közepes magyarországi település környezetében a neó jelenérték számításával a gazdálkodáshoz szükséges eszközök beruházási igényének, illetve a gazdálkodásba vont terület termelési szerkezetének függvényében (Takács et al., 2008). Molnár Boglárka dolgozatában a parametrikus modellbizonytalanságok elemzési módszereit vizsgálta (M, 2010). 3. A M-C A tanulmány elsődleges célja a Monte-Carlo szimuláció szemléltetése olyan formában, hogy az példaként feldolgozható és bemutatható legyen a BSc, MSc, és PhD képzések rendszertechnikához kapcsolódó tantárgyak oktatásakor. A mintapélda kiválasztásánál több szempontot veünk figyelembe. Ezek: A példa legyen egyszerű, mindenki számára könnyen érthető; A különböző előképzeségű hallgatók nem rendelkeznek egy közös szakmai plaormmal, így feltétlen hétköznapi példát kell választanunk. A példa két független és egy függő változóval rendelkezzen; Mert egy háromdimenziós példa axonometrikusan látványosan szemléltethető Az eseanulmány szemléltetése technikailag megoldható legyen hagyományos szoverekkel. Ez lehetővé teszi, hogy gyakorlalag mindegyik számítógépen való fuatását, így és a tanórai bemutatása sem okozhat számítástechnikai problémát. A fen megfontolásokból adódo az ötlet, hogy a szemléltető példa egy gépjármű fogyasztásának meghatározását mint modellt mutassa be, és válaszoljunk a következő kérdésre: mekkora távolságot tudunk megtenni egyetlen tankolással? Manapság kevés embernek ismeretlen a gépkocsi tüzelőanyag fogyasztás meghatározásához használt úgyneveze tele tank módszer. Lényege az, hogy minden egyes üzemanyag feltöltésnél teletankoljuk az autót, majd a napi kilométeróra nullázásával le tudjuk mérni a megte kilométereket, és meghatározhatjuk az aktuális fogyasztást. Az evidens, hogy a fogyasztás mértéke több befolyásoló tényezőtől függ. A kérdésben felmerült problémát elemezve méréseket végeztünk, aminek a lényege az volt, hogy egy általános helyzetet felállítva, minden mérési adat pontos felvételével és feldolgozásával megvizsgáltuk ezt a szituációt. 2. ábra. Az aktuális és átlagfogyasztás változása a futo kilométerek függvényében 78 ECONOMICA KÜLÖNSZÁM, 2011.
Pokorádi László: A Monte - Carlo szimuláció és szemléltetése Az aktuális fogyasztások eloszlását, melynek várható értéke (átlaga): 6,74 liter/100 km, a 2, 6 2 5 0 ha x 5 x5 (1) f f ( x ) 1, 6 2, 6 x 5 e 2 ha x 5 2 2 háromparaméteres Weibull-eloszlással közelítheünk (lásd 5.b ábra, 80. o.) Következő lépésként meg kell vizsgálnunk a tüzelőanyag tartály V kapacitását. A gyakorlatban azt tapasztalhatjuk, hogy ugyanabba a gépkocsi tartályba úgy mond legalább plusz mínusz egy liter eltéréssel lehet tankolni, a gépkocsi térbeli helyzete (Merre lejt a töltőállomás? Van-e kisebb bucka vagy gödör a kerekek ala? Mennyire terhelt a gépkocsi? stb.), valamint a kútkezelő slusa alapján. Ezt figyelembe véve a gépkocsi tartály 45 literes névleges kapacitásával és a fen pontatlansággal számolva veük fel a töltö tüzelőanyag mennyiség 45 liter várható értékű és 0,333 liter szórású normális eloszlását (5.a ábra lásd 80. o.). Ezt követően a vizsgált rendszer matemakai modelljét kell felállítanunk, ami esetünkben nagyon egyszerű: V T, (2) f ahol: T a megtehető távolság, kilométerben megadva (lásd 5. ábrát, 80. o.). 3. ábra. A mintapélda sémája A Monte-Carlo szimulációs program mely Turbo Basic v. 1.1. programnyelven íródo futási eredményeit szemlélte a 4.ábra (lásd 80. o. )10; 100; 1.000; valamint 10.000 gerjesztés szám esetén. (A hisztogramok elkészítéséhez és a későbbi staszkai elemzésekhez MINITAB Release 14.12.0 szovert alkalmaztunk, melyek illeszkedésvizsgála eredményeinek ismertetésétől i eltekintünk.) A 10.000 gerjesztés eredménye alapján staszkai elemzéssel a megtehető távolságok eloszlását az 0 x490, 34 ft ( x ) 1, 69 2, 69 x 490, 34 e 208, 53 208, 53 208, 53 x490, 34 F ( x ) 1 e 208, 53 T 2, 69 ha x 490, 34 2, 69 ha x 490, 34 ha x 490, 34. (4) ECONOMICA KÜLÖNSZÁM, 2011. 79
MAFIOK XXXV. Konferenciája Matemaka szekció háromparaméteres Weibull függvénnyel közelíthetjük (5.c ábra). 4. ábra. A Monte-Carlo szimuláció részeredményei 5. ábra. A Monte-Carlo szimuláció futási eredményei (Gerjesztések száma: 10.000) a) TÖLTÉS [LITER] c) TÁVOLSÁG [KM] b) FOGYASZTÁS [L/100 KM] d) VÁLASZPONT HALMAZ 80 ECONOMICA KÜLÖNSZÁM, 2011.
Pokorádi László: A Monte - Carlo szimuláció és szemléltetése 1. táblázat. A távolságok megtételének valószínűségei T [KM] 550 600 650 P [%] 96,62 83,77 61,44 T [KM] 700 750 800 P [%] 36,26 16,45 5,50 Gyakorla jelentése a következő: Ha F T ( x ) annak a valószínűsége, hogy ado távolság megtételekor kifogy a tüzelőanyag a tartályból, akkor valószínűséggel el tudunk a jutni az ado távolságra egy teljes tank tüzelőanyaggal: P( x ) 1 FT ( x ). Más szóval, meg tudjuk mondani, hogy mekkora az esélyünk, hogy a célállomásra eljutunk tankolás nélkül. Ezt szemlélte az 1. táblázat. 4. Ö A tanulmány röviden ismertee a Monte-Carlo szimulációt és bemutato egy egyszerű szemléltető Monte-Carlo szimulációs elemzést. Összegzésként elmondható, hogy ez az eljárás rendszermodellezési szempontból alkalmas arra, hogy megoldjuk egy matemakai modell determiniszkus problémáit. Az utóbbi években a Debreceni Egyetem Műszaki Karán oktato Rendszertechnika tantárgy keretein belül intenzív kutatómunka folyik annak feltárása céljából, hogy a széles értelemben ve modellezési bizonytalanság kezelés milyen módon oldható meg a leghatékonyabb formában. A Szerző munkája során olyan tanulmányok elkészítését tűzte ki célként, amelyek leírják a modellezési bizonytalanságokat, értelmezik, vizsgálják és szemléltek a matemakai modellek bizonytalanságainak elemzési módszereit, mint például a Monte-Carlo szimuláció. F MOLNÁR B. (2010), A parametrikus modellbizonytalanságok leírási módszerei, Műszaki Tudományos Füzetek, XV. Fiatal Műszakiak Tudományos Ülésszaka, (ISSN 2067 6808) Kolozsvár, 2010. március 25 26., pp. 217 220. NEWMAN M.E.J., BARKEMAN G.T (1999), Monte-Carlo Methods in Stascal Physics, Oxford University Press Inc., New York, 1999. pp. 475 PÁSZTOR G. (2000), Hol van a szuperszimmetria?, hp://www.sulinet.hu/termeszetvilaga/ archiv/2000/0015/08.html POKORÁDI L. (2008) Rendszerek és folyamatok modellezése, Campus Kiadó, Debrecen, pp.242. (ISBN 978-963-9822-06-1). POKORÁDI, L. (2009), Uncertaines of mathemacal modeling, Proceedings of the 12th Symposium of Mathemacs and its Applicaons, Politehnica University of Timisoara November, 5-7, 2009., (ISSN 1224-6069) p. 471-476. PÓSERNÉ O. V. (2007), IT kockázatok, elemzésük, kezelésük, Hadmérnök, II. Évfolyam 3. szám - 2007. szeptember, p. 206 214., hp://www.hadmernok.hu/archivum/2007/3/2007_3_poserne.pdf TAKÁCS I., ET AL. (2008), A veresenyképes virtuális (nagy)üzem, BULLETIN of the Szent István University, Gödöllő, 2008. p. 237-339. ECONOMICA KÜLÖNSZÁM, 2011. 81