1. fejezet Állapottér-reprezentálható problémák 1.1. Állati karácsony 1.1.1. A feladat A karácsonyra készülő Nagy családban a gyerekek (Botond, Emese, Karcsi, Orsi és Vanda) alaposan feladták a leckét a szülőknek. Úgy alakult ugyanis, hogy mind az öten konkrét kívánságot fogalmaztak meg ajándékuk kapcsán, történetesen valamennyien egy-egy kisállatra vágytak. A teknőssel és a hörcsöggel nem lett volna baja az ősöknek, s talán még a macskára is rá lehetett volna beszélni őket, ám a kutya és különösen a kakadu már végképp kiverte náluk a biztosítékot. Kivételezni azonban semmiképpen sem szerettek volna, így fájó szívvel kemény döntést hoztak: otthonukat kisállatmentes övezetté nyilvánították. Nem állíthatjuk, hogy a gyerekek egy cseppet sem csalódtak, ugyanakkor az is igaz, hogy a szerencsésen megválasztott ajándékokkal (bicikli, görkorcsolya, pipereasztal, PlayStation és villanyvasút) sikerült őket valamelyest kárpótolni, így igazán nem telt borús hangulatban az ünnep. Kérdésünk: az egyes gyerekek miféle kisállatra vágytak, mit kaptak helyette, s hányadikosok (elsősök, harmadikosok, ötödikesek, hatodikosok vagy nyolcadikosok)? 1. A nyolcadikos nagylány az új pipereasztalnak is szívből örült. 2. Orsi nem igazán rajong a teknősökért. Testvére, aki viszont kifejezetten egy páncélos kisállatra vágyott, egy PlayStationnel vigasztalódhatott. 3. A legkisebb gyerek hörcsögöt szeretett volna, Botond ugyanakkor egy kölyökkutyának örült volna igazán. 4. Az új bicikli gazdája idősebb Emesénél. 5. Vanda, aki öt évfolyammal jár Karcsi fölött, görkorcsolyát kapott, és sosem vágyott kakadura. A feladat eredeti szövege megtalálható a [9] folyóiratban. 1.1.2. Egy lehetséges állapottér-reprezentáció Problémánk lényeges jellemzői a gyerekek, valamint hozzájuk kapcsolódóan az, hogy milyen kisállatra vágytak, milyen ajándékot kaptak végül karácsonyra, és hogy hányadikosok. Ez a fajta megközelítés egyúttal azt is meghatározza, hogy a kisállatokat, az ajándékokat és az évfolyamokat a gyerekekhez próbáljuk meg majd hozzárendelni. 1 Hogy a későbbiekben sorrendet tudjunk értelmezni a gyerekek között, rendeljünk hozzájuk sorszámokat a következőképpen: Gyerek neve: Botond Emese Karcsi Orsi Vanda Sorszám: 1 2 3 4 5 1 Lehetne másképp is csinálni: megpróbálhatnánk például meghatározni azt, hogy az egyes kisállatokra melyik gyerek vágyott, az a gyerek éppen hányadikos, és végül milyen ajándékot kapott a kisállat helyett.
8 1. Állapottér-reprezentálható problémák Hasonlóan a kategóriákhoz is rendeljünk sorszámokat: Kategória neve: kisállat ajándék évfolyam Sorszám: 1 2 3 A továbbiakban a gyerekekre is és a kategóriákra is a sorszámaikkal fogunk hivatkozni. Ezek után definiáljuk azoknak a lehetőségeknek a halmazait, amelyek azt írják le, hogy az egyes gyerekekhez milyen kisállatokat rendelhetünk: H i,1 = { hörcsög, kakadu, kutya, macska, teknős } { 0 }, i { 1, 2, 3, 4, 5 } A 0 szimbólum itt azt fogja jelenteni, hogy az i-vel jelölt gyerekhez még nem rendeltünk hozzá semmilyen kisállatot sem. Ezt követően definiáljuk azoknak a lehetőségeknek a halmazait, amelyek azt írják le, hogy az egyes gyerekekhez milyen ajándékokat rendelhetünk: H i,2 = { bicikli, görkorcsolya, pipereasztal, PlayStation, villanyvasút } { 0 }, i { 1, 2, 3, 4, 5 } A 0 szimbólum itt azt fogja jelenteni, hogy az i-vel jelölt gyerekhez még nem rendeltünk hozzá semmilyen ajándékot sem. Végezetül definiáljuk azoknak a lehetőségeknek a halmazait, amelyek azt írják le, hogy az egyes gyerekekhez milyen évfolyamokat rendelhetünk: H i,3 = { 1, 3, 5, 6, 8 } { 0 }, i { 1, 2, 3, 4, 5 } A 0 szimbólum itt azt fogja jelenteni, hogy az i-vel jelölt gyerekhez még nem rendeltünk hozzá semmilyen évfolyamot sem. Képezzük a fenti halmazok Descartes-szorzatát! H 1,1 H 2,1 H 3,1 H 4,1 H 5,1 H 1,2 H 2,2 H 3,2 H 4,2 H 5,2 H 1,3 H 2,3 H 3,3 H 4,3 H 5,3 = = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, hörcsög 0 0 0 0 0 0 0 0 0, kakadu 0 0 0 0 0 0 0 0 0,..., 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 hörcsög 0 0 0 0 hörcsög teknős 0 0 0 0 0 0 pipereasztal 0,..., 0 0 0 pipereasztal 0,..., 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 hörcsög 0 0 0 hörcsög 0 0 0 macska 0 0 0 pipereasztal 0,..., PlayStation 0 0 pipereasztal 0,..., 5 3 1 8 6 8 0 3 0 1 hörcsög kakadu kutya macska teknős bicikli görkorcsolya pipereasztal PlayStation villanyvasút,..., 1 3 5 6 8 kutya teknős hörcsög kakadu macska bicikli PlayStation villanyvasút pipereasztal görkorcsolya,... 5 3 1 8 6 Ennek a halmaznak az elemei rendezett számtizenötösök (3 5-ös mátrixok, ha az elemeiket mátrix alakban rendezzük el). Sokan vannak, számuk 6 15 = 470 184 984 576. Ha azonban figyelembe vesszük azt, hogy ugyanazt a kisállatot, ajándékot, illetve évfolyamot nem rendelhetjük hozzá egyszerre több gyerekhez, rögtön kevesebb elemtizenötössel lesz dolgunk. Ráadásképpen tehetünk olyan megszorításokat is, melyek szerint a kisállatokat, az ajándékokat és az évfolyamokat ebben a sorrendben rendeljük hozzá a gyerekekhez, azaz először azt mondjuk meg, hogy ki milyen kisállatra vágyott, aztán azt, hogy ki milyen ajándékot kapott, végül pedig azt, hogy ki hányadikos. Még tovább szűkíthetjük az állapotok halmazát, ha a gyerekek között is felállítunk valamilyen sorrendet, például azt a sorrendet követjük, amelyet az
1.1 Állati karácsony 9 alaphalmazok definiálásánál is megadtunk: először Botondhoz rendelünk adatot, aztán Emeséhez, később Karcsihoz, ezt követően Orsihoz, befejezésképpen pedig Vandához. Az előzőekben megfogalmazottak alapján egy H 1,1 H 2,1 H 3,1 H 4,1 H 5,1 H 1,2 H 2,2 H 3,2 H 4,2 H 5,2 H 1,3 H 2,3 H 3,3 H 4,3 H 5,3 elemtizenötös a probléma állapota, ha teljesülnek rá a következő kényszerfeltételek: két tetszőleges gyereket kiválasztva, ha mindkettejükhöz rendeltünk kisállatot, akkor azok különbözőek: két tetszőleges gyereket kiválasztva, ha mindkettejükhöz rendeltünk ajándékot, akkor azok különbözőek: két tetszőleges gyereket kiválasztva, ha mindkettejükhöz rendeltünk évfolyamot, akkor azok különbözőek: a mátrixot felülről lefelé, az egyes sorokon belül pedig balról jobbra töltjük ki (ez azt jelenti, hogy ha a mátrix egy eleme már nem 0 értékű, akkor a tőle balra lévő elemek, valamint a felette lévő sorokban lévő elemek sem 0 értékűek): a nyolcadikos gyerek lány: a nyolcadikos gyerek ajándéka csak a pipereasztal lehet: (1) (2) (3) (4) (5) Orsi (a 4-es sorszámú gyerek) kedvenc kisállata nem a teknős: (6) Orsi (a 4-es sorszámú gyerek) ajándéka nem a PlayStation: (7) aki a PlayStationt kapta, az teknősre vágyott: (8) a legkisebb gyerek (aki első osztályba jár) kedvenc kisállata a hörcsög: (9) (10)
10 1. Állapottér-reprezentálható problémák ha ismerjük Botond (az 1-es sorszámú gyerek) kedvenc kisállatát, akkor az csak a kutya lehet: Emese (a 2-es sorszámú gyerek) nem biciklit kapott ajándékba: (11) ha már tudjuk, hogy Emese (a 2-es sorszámú gyerek) hányadikos, akkor annak a gyereknek az évfolyama, aki a biciklit kapta ajándékba, vagy nem ismert még, vagy nagyobb, mint Emeséé: (12) ha már ismert Vanda (az 5-ös sorszámú gyerek) évfolyama, akkor az 5-tel nagyobb, mint Karcsié (a 3-as sorszámú gyereké): ha tudjuk, hogy Vanda (az 5-ös sorszámú gyerek) mit kapott ajándékba, akkor az csak a görkorcsolya lehet: Vanda (az 5-ös sorszámú gyerek) kedvenc kisállata nem a kakadu: (13) (14) (15) Ezeknek a kényszerfeltételeknek mindössze 381 értéktizenötös tesz eleget, így problémánk állapotterét ennyi állapot alkotja: A = h h 1,1 h 2,1 h 3,1 h 4,1 h 5,1 kényszerfeltétel(h), ahol kényszerfeltétel(h) = (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16). A kezdőállapot az a helyzet, amikor még senkihez nem rendeltünk hozzá semmit: (16) kezdő = (17) A célállapotok halmazának azok az állapotok lesznek az elemei, amelyekben már azt is meghatároztuk, hogy Vanda hányadikos (azaz a mátrix jobb alsó elemének az értéke nem 0): (18) Az operátorok halmazát a következő, beszédes nevű operátorazonosítókkal definiáljuk: O = { Állat(gy, állat), Ajándék(gy, ajándék), Évfolyam(gy, évfolyam) },
1.1 Állati karácsony 11 ahol gy { 1, 2, 3, 4, 5 } állat { hörcsög, kakadu, kutya, macska, teknős } ajándék { bicikli, görkorcsolya, pipereasztal, PlayStation, villanyvasút } évfolyam { 1, 3, 5, 6, 8 } Az Állat(gy, állat) operátor akkor alkalmazható egy állapotra, ha teljesülnek a következő alkalmazási előfeltételek: a gy sorszámú gyerekhez még nem rendeltünk hozzá állatot: ha nem Botondról van szó (azaz nem az első gyerekhez próbálunk hozzárendelni kisállatot), akkor az eggyel kisebb sorszámmal rendelkező gyerekhez már rendeltünk kisállatot: (19) az állat ot még nem rendeltük hozzá egyetlen olyan gyerekhez sem, akinek gy-nél kisebb a sorszáma: (20) Orsihoz (a 4-es sorszámú gyerekhez) nem rendelhetjük a teknőst: (21) Botondhoz (az 1-es sorszámú gyerekhez) a kutyát kell hozzárendelni: (22) Vandához (az 5-ös sorszámú gyerekhez) nem rendelhetjük a kakadut: (23) (24)
12 1. Állapottér-reprezentálható problémák Az Állat(gy, állat) operátort egy állapotra alkalmazva a következőképpen definiált h = h 1,1 h 2,1 h 3,1 h 4,1 h 5,1 h 1,2 h 2,2 h 3,2 h 4,2 h 5,2 h 1,3 h 2,3 h 3,3 h 4,3 h 5,3 H 1,1 H 2,1 H 3,1 H 4,1 H 5,1 H 1,2 H 2,2 H 3,2 H 4,2 H 5,2 H 1,3 H 2,3 H 3,3 H 4,3 H 5,3 elemtizenötöst kapjuk: Az Ajándék(gy, ajándék) operátor akkor alkalmazható egy h 1,1 h 2,1 h 3,1 h 4,1 h 5,1 állapotra, ha teljesülnek a következő alkalmazási előfeltételek: Az Ajándék(gy, ajándék) operátort egy állapotra alkalmazva a következőképpen definiált h = h 1,1 h 2,1 h 3,1 h 4,1 h 5,1 h 1,2 h 2,2 h 3,2 h 4,2 h 5,2 h 1,3 h 2,3 h 3,3 h 4,3 h 5,3 Ezt a részt nem kell kidolgozni. H 1,1 H 2,1 H 3,1 H 4,1 H 5,1 H 1,2 H 2,2 H 3,2 H 4,2 H 5,2 H 1,3 H 2,3 H 3,3 H 4,3 H 5,3 elemtizenötöst kapjuk: Az Évfolyam(gy, évfolyam) operátor akkor alkalmazható egy h 1,1 h 2,1 h 3,1 h 4,1 h 5,1 állapotra, ha teljesülnek a következő alkalmazási előfeltételek: a gy sorszámú gyerekhez még nem rendeltünk hozzá évfolyamot: (25) (26) Botondhoz (az 1-es sorszámú gyerekhez) csak akkor rendelhetünk évfolyamot, ha Vandához (az 5-ös sorszámú gyerekhez) már rendeltünk ajándékot: (27) (28)
1.1 Állati karácsony 13 ha nem Botondhoz (az 1-es sorszámú gyerekhez) szeretnénk évfolyamot rendelni, akkor az eggyel kisebb sorszámmal rendelkező gyerekhez már rendeltünk évfolyamot: az évfolyamot még nem rendeltük hozzá egyetlen olyan gyerekhez sem, akinek gy-nél kisebb a sorszáma: a nyolcadikos gyerek lány (azaz a 2-es, 4-es vagy 5-ös sorszámú gyerekek egyike): (29) (30) ha a gy sorszámú gyerekhez a 8-as évfolyamot rendeljük, akkor a hozzá rendelt ajándéknak a pipereasztalnak kell lennie: ha a gy sorszámú gyerek ajándéka a pipereasztal, akkor ő csak nyolcadikos lehet: (31) (32) ha a gy sorszámú gyerekhez az 1-es évfolyamot rendeljük, akkor a hozzá rendelt kisállatnak a hörcsögnek kell lennie: ha a gy sorszámú gyerek hörcsögre vágyott, akkor ő csak elsős lehet: (33) (34) ha Emeséhez (a 2-es sorszámú gyerekhez) rendelünk évfolyamot, és már ismerjük annak a gyereknek az évfolyamát, akihez a biciklit rendeltük, akkor a biciklista évfolyamának az évfolyamnál nagyobbnak kell lennie: ha ahhoz a gyerekhez rendelünk évfolyamot, akihez a biciklit rendeltük, és már ismerjük Emese (a 2- es sorszámú gyerek) évfolyamát, akkor az évfolyamnak nagyobbnak kell lennie Emese évfolyamánál: (35) (36) ha az 5-ös sorszámú Vandához rendelünk évfolyamot, akkor az évfolyamnak a 3-as sorszámú Karcsi évfolyamánál 5-tel nagyobbnak kell lennie: ha tudjuk, hogy a 3-as sorszámú Karcsi hányadikos, és az évfolyam Karcsi évfolyamánál 5-tel nagyobb, akkor ez az érték csak az 5-ös sorszámú Vandához rendelhető: (37) (38) (39)
14 1. Állapottér-reprezentálható problémák Az Évfolyam(gy, évfolyam) operátort egy állapotra alkalmazva a következőképpen definiált h = h 1,1 h 2,1 h 3,1 h 4,1 h 5,1 h 1,2 h 2,2 h 3,2 h 4,2 h 5,2 h 1,3 h 2,3 h 3,3 h 4,3 h 5,3 H 1,1 H 2,1 H 3,1 H 4,1 H 5,1 H 1,2 H 2,2 H 3,2 H 4,2 H 5,2 H 1,3 H 2,3 H 3,3 H 4,3 H 5,3 elemtizenötöst kapjuk: Mivel operátorainkat úgy sikerült definiálni, hogy állapotból bizonyíthatóan állapotot állítanak elő, és a kezdőállapotunk állapot, ezért a megoldáskeresés során előállított elemtizenötösökre a kényszerfeltételek ellenőrzése elhagyható. Az állapottérnek, a probléma kezdőállapotának, a célállapotok halmazának, az operátorok alkalmazási előfeltételeinek és hatásának a definiálásával megadtuk az A, kezdő, C, O négyest, a probléma egy lehetséges állapottér-reprezentációját. (40)