MIKROÖKONÓMIA II.
ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. ÁLTALÁNOS EGYENSÚLYELMÉLET, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február
A tananyagot készítette: Jack Hirshleifer, Amihai Glazer és David Hirshleifer (2009) Mikroökonómia. Budapest, Osiris Kiadó, ELTECON-könyvek (a továbbiakban: HGH), illetve Kertesi Gábor (szerk.) (2004) Mikroökonómia el adásvázlatok. http://econ.core.hu/ kertesi/kertesimikro/ (a továbbiakban: KG) felhasználásával.
Vázlat 1 2 3
Parciális egyensúlyi elemzés Eddig parciális egyensúlyi elemzést folytattunk.
Általános egyensúlyi elemzés
Általános egyensúly Deníció Azt az elosztást és a hozzá tartozó árrendszert, amely mellett az egyéni keresleti-, kínálati-, tényez keresleti- és tényez kínálati-függvények egyéni optimalizálásból származnak, valamint minden termék és termelési tényez piacon az aggregált kereslet megegyezik az aggregált kínálattal általános egyensúlynak nevezzük. Megjegyzés Általános egyensúly nem csak tökéletes verseny mellett képzelhet el.
Tökéletes versenyz i gazdaság A termékek homogén, folytonosan osztható, magánjavak Nincs id dimenzió (nincs pénz) Nincs bizonytalanság Tökéletes, azonnali informáltság (a piaci szepl k között az információt CSAK az árak közvetítik) A piaci szerepl k között csak piaci cserekapcsolat van (nincsenek küls gazdasági hatások) A piaci szerepl k (fogyasztók és termel k) árelfogadók A termel vállalatok protját teljes egészében felosztják a fogyasztók között A piaci szterepl k racionálisak (a fogyasztók hasznomaximalizálók, a termel k protmaximalizálók)
Lehetséges modellek Egy szerepl, egy termék, nincs termelés (érdektelen) Egy szerepl, több termék, nincs termelés (érdektelen) Egy szerepl, egy termelési tényez, egy termék ( ) Egy szerepl, egy termelési tényez, több termék Egy szerepl, több termelési tényez, egy termék Egy szerepl, több termelési tényez, több termék Több szerepl, több termék, nincs termelés (tiszta ) Több szerepl, több termék, egy termelési tényez Több szerepl, egy termék, több termelési tényez Több szerepl, több termék, több termelési tényez (termeléssel b vített )
Egy szerepl, két termék, nincs termelés Készletek: ω 1, ω 2 NINCS PIAC, tehát nincs kivel cserélni Fogyasztói optimum ('ált. egyensúly'): x 1 = ω 1, x 2 = ω 2
1 szerepl (), 1 termék (kókuszdió), 1 termelési tényez (munka) kókuszdió fogyasztás (db): c szabadid 'fogyasztás' (óra) : l (megj.: 0 l l, pl. l =24) munkaid (óra): h (megj.: h = l l) U U hasznossági függvény: U(c, l) (felt.: > 0, c l > 0) termelési függvény: c = f (h) (felt.: f > 0, f < 0)
(folyt.) döntési feladata: célfüggvény: U(c, l) max c,l korlát: c = f (h) h = l l Lagrange-függvény: ERF: L = U c L = U h h L = U(c, l h) λ (c f (h)) λ = 0 c + λ df dh = 0 U/ h U/ c = df dh MU h MU c U h = MRS h,c = mp h < 0, U c > 0, df dh > 0
(folyt.) MU h MU c U h = MRS h,c = mp h < 0, U c > 0, df dh > 0
Feltevés 'Skizofrén' : Termel és fogyasztó énje kettészakad. Árelfogadóként hozza meg termel i és fogyasztói döntését külön-külön, majd a két énje a termék- és tényez piacon találkozik, hogy cseréljen. Feltevés Árelfogadó adottnak tekinti: kókuszdió árát: p munkabért: w
(folyt.) Algoritmus Megoldjuk a termel i és fogyasztói optimumfeladatokat (a termel protját kizetik a tulajdonosnak) Meghatározzuk a keresleti és kínálati, valamint tényez keresleti és tényez kínálati függvényeket. Felírjuk a piaci és tényez piaci egyensúlyi feltételeket. Meghatározzuk az egyensúlyi (termék és tényez ) árakat. A keresleti és kínálati függvények segítségével meghatározzuk az egyensúlyi mennyiségeket.
mint termel célfüggvény: π = pc S wh D max cs,h D korlát: c S = f (h D ) Lagrange-függvény: L = pc S wh D λ T (c S f (h D )) ERF: L c S = p λ T = 0 L df h D = w + λ T dh D = 0 optimum feltétel: pmp h = w megoldás: mp h = w p kókuszdiókínálati függvény: c S (p, w) munkakeresleti függvény: h D (p, w) protfüggvény: π(p, w)
mint termel (folyt.) Ismer s optimumfeltétel pmp h = w mp h = w p
mint fogyasztó célfüggvény: U(C D, l) max cd,l korlát: pc D + wl = w l + π (π : t kejövedelem a vállalat tulajdonosaként) vagy célfüggvény: U(C D, h S ) max cd,h S korlát: pc D = wh S + π (wh S : munkajövedelem a vállalat munkásaként) Lagrange-függvény: L = U(C D, h S ) λ F (pc D wh S π ) ERF: L c D L h S = U c D λ F p = 0 = U h S + λ F w = 0 optimum feltétel: MU c MU h = MRS c,h = p w
mint fogyasztó (folyt.) megoldás: kókuszdiókeresleti függvény: c D (p, w) munkakínálati függvény: h S (p, w) szabaid keresleti függvény: l(p, w) = l h S (p, w)
mint fogyasztó (folyt.) Ismer s optimumfeltétel MU c MU h = MRS c,h = p w
Egyensúly a ban Termék (kókuszdió) piac: c D (p, w) = c S (p, w) Tényez (munka) piac: h D (p, w) = h S (p, w) Megoldás (általános egyensúly): p, w, c, h, l, π, U Megjegyzés Mivel a (termék- és tényez )keresleti és kínálat függvények nulladfokon homogének, azaz NINCS PÉNZILLÚZIÓ, az egyik termék, vagy tényez ármércének választható. Legyen pl. w =1. Következmény Az egyensúlyi feltételek nem alkothatnak független egyenletrendszert (két egyensúlyi egyenlet, egy ismeretlen ár). Tehát elég az egyik egyensúlyi egyelettel számolni.
Egyensúly a ban (folyt.)
Mérethozadéki problémák a ban
Mérethozadéki problémák a ban (folyt.)
Konvexitási problémák a ban Konvexitás hiányában az egyensúly nem feltétlenül létezik.
Példa: hasznossági függvénye: U(c, l) = c 2 l termelési függvénye: f (h) = h Megoldás: w = 1, p = 32, h = 8, l = 8, c = 8, π = 8
Felt.: két szerepl (A és B), két termék (1 és 2), Nincs termelés (nincsenek vállalatok) A fogyasztók a készleteiket cserélik El nyös-e a csere? Mikor el nyös és mikor nem?
Edgeworth-Box
Edgeworth-Box (folyt.)
Mindkét szerepl által preferált allokációk halmaza
Pareto-hatékony elosztás
Pareto-hatékony elosztások halmaza A szerz dési görbe
Adott indulókészlet mellett a végs allokációk halmaza
Pareto-hatékony elosztások meghatározása A társadalmi tervez feladata: célfüggvény: U A (x A 1, x A 2 ) max x A 1,x A 2,x B 1,x B 2 korlát: U B (x B 1, x B 2 ) = Ū B x A 1 + x B 1 = ω A 1 + ω B 1 x A 2 + x B 2 = ω A 2 + ω B 2 Lagrange-függvény: L = U A (x A 1, x A 2 ) λ ( U B (x B 1, x B 2 ) Ū B ) ( ) ( ) µ 1 x A + x B ω A ω B 1 1 1 1 µ2 x A + x B ω A ω B 2 2 2 2
Pareto-hatékony elosztások meghatározása (folyt.) ERF: 1 L x 1 A 2 L x 2 A 3 L x 1 B 4 L x 2 B = U A x A 1 = U A x A 2 = λ U B x B 1 = λ U B x B 2 µ 1 = 0 µ 2 = 0 µ 1 = 0 µ 2 = 0 MRS A = µ 1 µ 2 MRS B = µ 1 µ 2 A szerz dési görbe (implicit függvény formájában): MRS A (x A 1, x A 2 ) = MRS B (x A 1, x A 2 ) Megjegyzés Az x A + x B = ωa + ωb és x A + x B = ωa + ωb korlátozó 1 1 1 1 2 2 2 2 feltételeket felhasználva a szerz dési görbe felírható például x A = ϕ(x A) alakban. 2 1
Decentralizált döntések A fogyasztó cf.: B fogyasztó cf.: U A (x A 1, x A 2 ) max x A 1,x A 2 kf.: p 1 x A 1 + p 2x A 2 = p 1ω A 1 + p 2ω A 2 opt. felt.: MRS A = p1 p 2 keresleti függvények: x A 1 (p 1, p 2 ), x A 2 (p 1, p 2 ) U B (x B 1, x B 2 ) max x B 1,x B 2 kf.: p 1 x B 1 +p 2x B 2 = p 1ω B 1 +p 2ω B 2 opt. felt.: MRS B = p1 p 2 keresleti függvények: x B 1 (p 1, p 2 ), x B 2 (p 1, p 2 )
Decentralizált döntések (folyt.) MRS A = p 1 p 2, MRS B = p 1 p 2
Piaci egyensúly Egyensúlyi árak (p, p ) esetén a kereslet megegyezik a kínálkattal 1 2 minden piacon. x A 1 (p 1, p 2) + x B 1 (p 1, p 2) }{{} D 1(p 1,p 2 ) x A 2 (p 1, p 2) + x B 2 (p 1, p 2) }{{} D 2(p 1,p 2 ) A = ω + ω B 1 1 }{{} S 1(p 1,p 2 ) = ω A 2 + ω B 2 }{{} S 2(p 1,p 2 )
Piaci egyensúly (folyt.)
Általános egyensúly meghatározása Kéttermékes, kétszerepl s tiszta ban: ismeretlenek száma: p 1, p 2, x A, x A, x B, x B (2 db 1 2 1 2 termékár+2*2 db fogyasztott mennyiség=6 db) egyenletek száma (2+2+2=6 db): optimumfeltételek (MRS-feltételek): 2 db (2 szerepl, 2 termék) költségvetési korlátok: 2 db (két szerepl ) egyensúlyi feltételek: 2 db (két piac) Következmény Az egyenletek és az ismeretlenek száma megegyezik. Megjegyzés Mivel a keresleti függvények nulladfokon homogének, azaz NINCS PÉNZILLÚZIÓ, az egyik termék ármércének választható. Legyen pl. p 2 =1. Így az egyenletrendszer túlhatározottnak t nik (több az egyenlet, mint az ismeretlen).
Általános egyensúly meghatározása (folyt.) Állítás Walras-törvény: A piacokon keresett és kínált javak összértéke megegyezik, azaz az aggregált piaci túlkereslet azonosan (minden árrendszer mellett) zérus: p 1 z 1 (p 1, p 2 ) + p 2 z 2 (p 1, p 2 ) 0, ahol z 1 (p 1, p 2 ) = x A 1 (p 1, p 2 ) ω A 1 + x B 1 (p 1, p 2 ) ω B 1 és z 2 (p 1, p 2 ) = x A 2 (p 1, p 2 ) ω A 2 + x B 2 (p 1, p 2 ) ω B 2.
Általános egyensúly meghatározása (folyt.) Bizonyítás Adjuk össze a két fogyasztó költségvetési korlátját és rendezzük át: p 1 x A 1 + p 2 x A 2 p 1 ω A 1 + p 2 ω A 2 p 1 x B 1 + p 2 x B 2 p 1 ω B 1 + p 2 ω B 2 p 1 x A p 1 1 ω A + p 1 1 x B p 1 1 ω B + p 1 2 x A p 2 2 ω A + p 2 2 x B p 2 2 ω B 2 }{{}}{{} p 1z 1(p 1,p 2) p 2z 2(p 1,p 2) p 1 z 1 (p 1, p 2 ) + p 2 z 2 (p 1, p 2 ) 0
Általános egyensúly meghatározása (folyt.) Következmény A Walras-törvény miatt az egyensúlyi feltételek nem alkothatnak független egyenletrendszert (két egyensúlyi egyenlet, egy ismeretlen ár). Tehát elég az egyik egyensúlyi egyelettel számolni és a rendszer nem lesz túlhatározott. Következmény A Walras-törvény miatt, ha n 1 piac kitisztul (egyensúlyban van), akkor az n-edik is kitisztul (egyensúlyban van).
Tranzakciós (nettó) kereslet (kínálat) Deníció Tranzakciós (nettó) kereslet: x t(p i 1, p 2 ) =x i (p 1, p 2 ) ω i > 0 kínálat: x t(p i 1, p 2 ) =x i (p 1, p 2 ) ω i < 0
Teljes és tranzakciós egyéni kereslet (kínálat)
Teljes és tranzakciós piaci kereslet (kínálat) Az aggregált teljes kínálati görbe és az aggregált teljes keresleti görbe metszéspontja adja meg a jószágból elfogyasztott teljes mennyiséget a gazdaságban, amelynek egyenl nek kell lennie a jószág teljes kínálatával. Az aggregált tranzakciós kínálati görbe és az aggregált tranzakciós keresleti görbe metszéspontja pedig azt a menynyiséget jelöli ki, amelyet a jószágból az eladók és a vev k ténylegesen elcserélnek. A két görbepár metszéspontja ugyanannál az egyensúlyi árnál van.
Teljes és tranzakciós piaci kereslet (kínálat) (folyt.)
Egyensúlykeresési algoritmus tiszta ban Algoritmus Egyéni (fogyasztói) optimumfeladatok felírása Egyéni optimumfeladatok megoldása (keresleti függvények meghatározása) Piaci egyensúlyi feltételek felírása (kereslet=kínálat minden piacon) Ármérce jószág kiválasztása (keresleti függvények átírása úgy, hogy az áraránytól függjenek) Egyensúlyi árarány meghatározása (egy egyensúlyi egyenlet elhagyható) Egyénileg fogyasztott mennyiségek meghatározása
Egyensúlykeresési algoritmus tiszta ban (folyt.) Példa: U A = x A 1 x A 2, ωa 1 = 80, ωa 2 = 30 U B = x B 1 x B 2, ωb 1 = 20, ωb 2 = 70 Megoldás: Szerz dési görbe: x A 2 = x A 1 Versenyz i egyensúly: x A 1 = 55, x A 2 = 55, x B 1 = 45, x B 2 = 45
Egyensúlykeresési algoritmus tiszta ban (folyt.) Megjegyzés A fenti algoritmus N termékes, M szerepl s tiszta ban is alkalmazható.
Általános egyensúly meghatározása M szerepl és N termék esetén Ismeretlenek: M N (N db fogyasztási jószág, M db szerepl ) N db fogyasztási ár Ismeretlenek száma: M N + N Egyenletek: M N db egyéni optimum-feltétel (els rend feltételek+költségvetési korlátok a Lagrange-változókhoz) N db egyensúlyi feltétel: összkereslet=összkínálat (összkészletek) Egyenletek száma: M N + N Tehát az egyenletek és az ismeretlenek száma megegyezik. DE mivel csak a relatív árak számítanak (a keresleti függvények nulladfokon homogének), ármérce jószág (numéraire) választható (-1 ismeretlen). Azaz túlhatározottnak t nik a rendszer (több az egyenlet, mint az ismeretlen).
Általános egyensúly meghatározása M szerepl és N termék esetén (folyt.) DE a Walras-törvény miatt nem függetlenek az egyensúlyi egyenletek! Tehát az egyenletrendszer mégsem túlhatározott, egy egyensúlyi egyenlet elhagyásával az egyensúly meghatározható az algoritmus szerint. Megjegyzés Az egyenletszámlálás módszere nem feltétlenül vezet eredményre, mert negatív árak is adódhatnak, ugyanis valójában a költségvetési korlátok és az egyensúlyi feltételek egyenl tlenségek és nem egyenletek! Az egyensúly egzisztenciájának problémája (lásd kés bb).
Jóléti tételek tiszta ban Állítás A jóléti közgazdaságtan I. tétele: A versenyz i egyensúly Pareto-hatekony állapot (bizonyos technikai feltételek teljesülése mellett). Bizonyítás Kéttermékes, kétszerepl s tiszta ban láttuk, hogy a piaci egyensúlyban MRS A = p 1 p 2 és MRS B = p 1, mivel ott az p 2 egyéni döntések optimálisak. Tehát MRS A = MRS B, azaz az egyensúlyban fogyasztott jószágkosarak rajta vannak a szerz dési görbén, így Pareto-hatékony allokációhoz tartoznak. Ez az eredmény M-szerepl s, N-termékes gazdaságra is általánosítható.
Jóléti tételek tiszta ban (folyt.) Állítás A jóléti közgazdaságtan II. tétele: Ha a piaci szerepl k preferenciái konvexek, akkor bármely Pareto-hatékony allokációhoz találunk olyan árrendszert - megfelel en választott indulókészletek esetén - amely decentralizált döntések által (piaci mechanizmus) a fenti allokációhoz juttatja a piaci szerepl ket (bizonyos technikai feltételek teljesülése mellett).
Jóléti tételek tiszta ban (folyt.)
Jóléti tételek tiszta ban (folyt.) Bizonyítás Egy kéttermékes, kétszerepl s tiszta ban, ahol ω A 1, ωa 2, ωb 1, ωb 2 tetsz leges induló készletek, legyen x A 1, x A 2, x B 1, x B 2 egy Pareto-hatékony allokáció. Ekkor MRS A ( x A, x A) = MRS 1 2 B( x B, x B) = p0 1 alkalmas 1 2 p2 0 egyensúlyi áraránynak. Az ármérce legyen például p 0 =1. 2 Ha p 1 x 0 A + x A = 1 2 p0ωa + ωa (és ekkor a feltételek miatt 1 1 2 p 1 x 0 B + x B = 1 2 p0ωb + ωb ), azaz az allokáció rajta van a 1 1 2 (p 0, ) árakkal képzett csereegyenesen, akkor a versenyz i 1 p0 2 mechanizmus közvetlenül az x A, x A, x B, x B allokációt 1 2 1 2 valósítja meg versenyz i egyensúlyként.
Jóléti tételek tiszta ban (folyt.) Bizonyítás Ha p 1 x 0 A + x A 1 2 p0ωa + ωa, azaz az allokáció nincs rajta a 1 1 2 (p 0, ) árakkal képzett csereegyenesen, akkor osszuk újra az 1 p0 2 indulókészleteket a ω A =ω A ω A, ω A =ω A ω A, 1 1 1 2 2 2 ω B =ω B ω B, ω B =ω B ω B, 1 1 1 2 2 2 ( ω A + ω B = ω A + ω B, ω A + ω B = ω A + ω B ) 1 1 1 1 2 2 2 2 újraelosztásokkal úgy, hogy p 1 x 0 A + x A = 1 2 p0 ωa + ωa legyen. 1 1 2 Ekkor a készletek újraosztása után a versenyz i mechanizmus az x A, x A, x B, x B allokációt valósítja meg versenyz i 1 2 1 2 egyensúlyként.