Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 06 január 6 MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT ) Elvira a könyveit három polcon tárolja, az első polcon szépirodalmi könyveket, másodikon albumokat, harmadikon pedig műszaki jellegű könyveket tárol A szépirodalmi könyvek és az albumok száma úgy aránylik egymáshoz, mint 7 :5, továbbá tudjuk, hogy műszaki témát feldolgozó könyvből,8-szor annyi van, mint albumból Elvira egy antikváriumi akció során 5 új könyvet tervez vásárolni, amelyekből ha minden polcra ugyanannyit helyezne el, akkor az egyes polcokon lévő könyvek számának aránya 4: 3:5 lenne a) Hány szépirodalmi mű található Elvira első polcán? (8 pont) b) Hányféleképpen tud Elvira 3 albumot kölcsönadni Nikinek? ( pont) c) Összesen hány könyvet tárolna Elvira a három polcon, ha mind a 5 tervezett könyvet megvenné? ( pont) a) Jelöljük a szépirodalmi könyveket S-sel, az albumokat A-val, a műszaki könyveket M-mel! Így a következő egyenleteket tudjuk felírni: S 7 A 5 A,8 M 5 új könyv vásárlása után a következő arány írható fel: S 5 : A 5 : M 5 4 x :3 x :5x 5S 7A 7 S A 5 S 5 4 A 5 3 A5 4A 0 5 A 5; S 35; M 45 Elvira polcán 35 szépirodalmi könyv található b) A feladatot ismétlés nélküli kombinációval tudjuk megoldani: 5 300 3 Elvira 300 féleképpen tud kölcsönadni 3 albumot Nikinek c) 5 35 45 5 0 Ha Elvira mind a 5 tervezett könyvet megvenné, akkor összesen 0 könyvet tárolna a három polcon Összesen: pont - -
Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 06 január 6 ) Legyen A halmaz a sin x cos x sin x egyenlet gyökeinek halmaza, a B halmaz pedig a x x megoldásainak halmaza 0; intervallumba eső valós log 8 5 egyenlőtlenség valós Határozza meg az A B és az A B halmazokat! (4 pont) A halmaz elemei: A sin x cos x cos x cos x cos x sin x 0 Egy szorzat akkor és csak akkor 0, ha legalább az egyik tényezője 0 I eset: cos x 0 3 A 0; intervallumon az x és az x a jó megoldások II eset: cos x sin x tgx (ahol cos x 0) 5 A 0; intervallumon az x 3 és az x 4 a jó megoldások 4 4 B halmaz elemei: 5 B log x 8x log Kikötés a numerus miatt: x 8x 0 x ; 6; B log x 8x log 5 Az alapú logaritmus függvény szigorúan monoton csökkenő, úgy hagyhatjuk el a logaritmust, hogy a relációs jel megfordul x 8x 3 x 8x 0 0 x 0; x x ;0 Összevetve a megoldást a kikötéssel: x ; 6;0 AB ; 4 3 5 A B 4 ; ; 6;0 Összesen: 4 pont - -
Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 06 január 6 3) Egy 3 egység sugarú gömbbe olyan kúpot írunk, amely palástjának területe kétszer akkora a kúp alapköre területének Határozza meg a kúp térfogatának pontos értékét! ( pont) Szövegből az adatok felírása: R 3 T palást r a r T alapkör a r Pitagorasz-tétel alapján az ABC háromszögben: x R 4r r 3r ( pont) Újabb Pitagorasz-tétel az ABD háromszögben: x r R x 3r R 3r 3 r R R r R 4r r 0 r 4r 0 Egy szorzat akkor és csak akkor 0, ha legalább az egyik tényezője 0 I eset r 0; Mivel r hosszúságot jelöl, ezért ez nem jó megoldás II eset: 4r 0 r 3 M x R 3 3 R D x A C R D x A C R r r R r r B B T palást 8 ; T 9 alapkör V r M 3 3 9 3 e A gömbbe írt kúp térfogata 9 3 egységköb Összesen: pont - 3 -
Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 06 január 6 4) Adott az A; és a 6;4 B pont, továbbá az e : x y 9 egyenes Határozza meg az e egyenesnek azokat a pontjait, amelyekből az AB szakasz derékszög alatt látszódik! Megoldását ábrázolja! Ahhoz, hogy ábrázoljuk az egyenest, y-ra rendezzük: y x 9 y x 4,5 Ábra: (3 pont) ( pont) e B F A Ahhoz, hogy megállapítsuk, hogy az e egyenes mely pontjából látszódik derékszögben az AB szakasz, felírjuk az AB szakasz Thalész körét, mely definícióból adódóan csak olyan pontokat tartalmaz, amelyekből az AB szakasz derékszögben látszódik: ( pont) F ; 8 6 r 5 x y 5 x 9 y y y 7 5 49 8y 4y y y 5-4 -
Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 06 január 6 5y 30y 5 0 y 6y 5 0 y 5 ; x y ; x 7 Tehát a két pont, amelyekből derékszögben látszódik az AB szakasz: ;5 és 7; Összesen: 3 pont Maximális elérhető pontszám: 5 pont - 5 -
Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 06 január 6 5) Az ABC derékszögű háromszögben a két befogó hossza AC 3m, AB 4m Az A csúcsból húzzunk merőlegest a BC-re, így kapjuk az M pontot Az M pontból húzzunk merőlegest az AB oldalra, így kapjuk az N pontot Az N pontból húzzunk merőlegest a BCre, így kapjuk a P pontot Számolja ki a) az AM szakasz (3 pont) b) az MN szakasz (4 pont) c) az NP szakasz (4 pont) pontos hosszát, szögfüggvények használata nélkül! d) Ha ezt az eljárást végtelenségig folytatnánk, milyen hosszú lenne az így keletkezett törött vonal hossza? AM MN NP (5 pont) a) ABC háromszögben Pitagorasz-tétel: 3 4 BC BC 5 Ahhoz, hogy szögfüggvények használata nélkül oldjuk meg a feladatot, fel kell írnunk az ABC háromszögben egy befogó-, ill egy magasságtételt: ABC háromszögben befogótétel: C 9 6 3 5 CM CM,8; MB 3, 5 5 ABC háromszögben magasságtétel: AM MC MB AM,4 m 5 M b) MAB háromszögben befogótétel: P 6 4 NB 5 64 36 NB,56; AN, 44 5 5 A N B MAB háromszögben magasságtétel: 48 MN AN NB MN,9 m ( pont) 5 c) MNB háromszögben befogótétel:,9 MP 3, 44 56 MP,5; PB, 048 5 5 MNB háromszögben magasságtétel: 9 NP MP PB NP,536 m ( pont) 5 d) Ha megvizsgáljuk a kapott szakaszok hosszát, akkor felismerhetjük, hogy olyan mértani sorozatot alkotnak, melynek kvóciense: 48 9 5 5 4 q 48 5 5 5 A fent említett eljárást a végtelenségig folytatva egy végtelen mértani sorozatot kapunk melynek elemeit összeadva végtelen mértani sort kapunk A végtelen mértani sor összegképlete: - 6 -
Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 06 január 6 a S 5 méter q 4 5 Az eljárást a végtelenségig folytatva, az így keletkezett törött volna hossza méter lenne Összesen: 6 pont 6) a) Határozza meg azokat az a és b egész számokat, amelyekre teljesül, hogy a b 0 ab és az a; b; hosszúságú szakaszokból háromszög szerkeszthető! (8 pont) b) Egy dobókockával addig dobunk, míg hatos nem lesz Minek nagyobb a valószínűsége: négy dobásnál többször nem kell, vagy legalább ötször kell dobnunk a kockával? (8 pont) a b ( pont) a) Az adott egyenlet így alakítható át: Mivel a és b egész számok és egy háromszög oldalainak mérőszámai, pozitívak is, így 0a és 0b is teljesül (mivel szorzatuk ) ( pont) A -et kell tehát két pozitív egész szám szorzatára bontani: 3 7 Ebből a-ra és b-re a következő lehetőségek adódnak: a és b a a 4 és b 8 8 és b 4 3 3 ( pont) a4 és b4 Az a, b és számokra teljesülnie kell a háromszög-egyenlőtlenségnek, ezért csak az a ; b és az a ; b számpárok felelnek meg b) Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy nem kell négynél többször dobnunk Elsőre hatost dobunk: P elsőre hatost 6 5 Másodikra úgy dobhatunk hatost, ha elsőre mást dobtunk: P másodikra hatos 6 6 Harmadikra úgy, hogy az első kettő nem hatos volt: Pharmadikra hatos 5 6 6 Végül negyedikre úgy, ha előtte háromszor nem dobtunk hatost: Pnegyedikre hatos A valószínűség ezek összege: 3 3 5 6 6 5 5 5 P 0,577 6 6 6 6 6 6 6 A legalább ötször ennek a komplementere: P legalább ötször P max negyedszer 0, 483 Tehát annak nagyobb a valószínűsége, hogy négynél többször nem kell dobni Összesen: 6 pont - 7 -
Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 06 január 6 7) Az állam a fiatalok lakáshoz jutását a következő konstrukciójú bankszámlával támogatja A spórolást vállaló személy minden hónap első napján köteles 0000 Ft-ot betenni a számlájára A számlavezető bank minden hónap utolsó napján 0,3% kamatot fizet a számlán szereplő összeg után A kamaton felül az állam minden év utolsó napján az adott évben a számlatulajdonos által elhelyezett összeg 30%-át utalja a számlára Balázs január -jén nyit számlát a fenti feltételekkel, egy 4 éves konstrukcióban a) Összesen mennyi pénzt fizet be Balázs a 4 éves spórolási időszak alatt? ( pont) b) Számítsa ki, hogy mennyi pénz lesz Balázs számláján a számlanyitás évének december 3 napján, miután a bank a decemberi kamatot már jóváírta! A végeredményt százasokra kerekítve adja meg! (8 pont) 3n c) Igazolja, hogy n sorozat szigorúan monoton csökkenő és korlátos! 4n (6 pont) a) 0000 4 480000 Ft A 4 éves spórolási időszak alatt Balázs 480000 Ft-ot fizet be b) évben: hó vége: 0000, 003 hó vége: 0000, 003 0000, 003 0000, 003 0000, 003 hó vége: 0000,003,003,003 0000,003,003,003 0000 0,3 év végén: A zárójelben egy mértani sorozat van, melynek adatai: a,003; q,003 Első tag összege: Tehát év végén a kamatfizetés után: S, 003,003,4, 003 0000, 4 00000,3 58365,93 58400 Ft Balázs számláján 58400 Ft lesz a számlanyitás évének december 3 napján c) Egy sorozat akkor és csak akkor szigorúan monoton csökkenő, ha n n n 3 5 4 3 5 5 4 5 3 3 0 3 0 a n n n a n n n n n n a a n n A fenti hányados minden pozitív egész n esetén -nél kisebb és a sorozat minden tagja pozitív, ezért a sorozat szigorúan monoton csökkenő ( pont) Ebből következik, hogy a sorozat felülről korlátos Mivel a sorozat minden tagja pozitív, ezért alulról is korlátos, tehát a sorozat korlátos Összesen: 6 pont - 8 -
Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 06 január 6 8) Egy végzős középiskolai osztály egy limuzint szeretne bérelni, hogy a szalagavatójuk után körbeutazzák közösen a megyében található városokat Egy limuzin fogyasztását láthatjuk az alábbi táblázatban különböző sebességek esetén Sebesség (km/h) Fogyasztás (liter / 00 km) 50 5,5 00 3,0 50 8,5 a) Mekkora a fogyasztás 00 kilométeren 90 km h sebesség mellett, ha a 30-00 km h sebességtartományban a fogyasztás felírható az f v av bv c függvénnyel, ahol a v a limuzin sebessége? - 9 - (9 pont) b) A cég 3 fajta limuzinnal rendelkezik 60 fős, 35 fős és 0 fős A különböző fajta limuzinok különböző árakon bérelhetők Tudjuk, hogy ha a 60 fős limuzin árát p%-kal csökkentenénk, akkor a 35 fős limuzin árát kellene fizetni a 60 fős limuzinért Ha a 35 fős limuzin ára csökkenne p%-kal, akkor a 0 fős limuzin árába kerülne a 35 fős limuzin Ha a 60 fős limuzin ára 40,5%-kal csökkenne, akkor a 60 és a 0 fős limuzin bérlése ugyanannyiba kerülne Hány százaléka a 35 fős limuzin bérlésének ára, a 60 fős limuzin bérlése árának? (7 pont) a) Mivel a fogyasztás a sebesség másodfokú függvénye, ezért az f v av bv c egyenletet keressük, ahol a v a limuzin sebessége A következő három egyenletet tudjuk felírni: I egyenlet: f 50 5,5 5,5 a50 b50 c 5,5 500a 50b c II egyenlet: f 00 3 3 00 a 00b c 3 0000a 00b c III egyenlet f 50 8,5 8,5 50 a 50b c 8,5 500a 50b c III egyenletből kivonva az I egyenletet a következőt kapjuk: 3 0000 a 00b III egyenletből kivonva a II egyenletet a következőt kapjuk: 5,5 500a 50b Az egyenletet 00b-re rendezve: 5000 a 00b Behelyettesítés: 3 0000 5000a a ; b 0,; c 6 ( pont) 500 Tehát a fogyasztás másodfokú függvénye: f v v 0, v 6 500 Tehát km 90 h sebesség mellett 00 km-en a fogyasztás: f 90 90 0, 90 6 =,66 liter 500,66 liter lesz a limuzin fogyasztása
Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 06 január 6 b) Jelölések: 60 fős limuzin: a 35 fős limzin: b 0 fős limuzin: c A szöveg alapján felírható a következő három egyenlet: p I egyenlet: a b 00 p II egyenlet: b c 00 III egyenlet: a0,595 c II egyenletbe beírjuk b-t és c-t kifejezve: p p a 0,595a 00 00 Leoszthatunk a-val, hiszen tudjuk, hogy a 0 p p 0,595 00 00 Megoldva az egyenletet, p-re két értéket kapunk: p 35 p 5 p -et behelyettesítve az egyenletünkbe, a szöveg szerint nem kapunk jó megoldást p -t behelyettesítve: 5 0,85 00 Tehát 85%-a a 35 fős limuzin bérlésének ára a 60 fős limuzin bérlése árának Összesen: 6 pont - 0 -
Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 06 január 6 9) Egy Hallgatói Önkormányzati közgyűlésen a jelen lévő 3 képviselő három kérdésben dönthetett igennel vagy nemmel Tartózkodás nem volt, minden képviselő mindhárom kérdésben szavazott Az első kérdésre 5-en, a második kérdésre 6-an, a harmadik kérdésre -en szavaztak igennel A pontosan két igennel szavazó képviselők száma 6 a) Hányan szavaztak mindhárom kérdésre igennel? (6 pont) b) Hányan vannak, akik pontosan egy kérdésre szavaztak igennel? (3 pont) A közgyűlés előtt megkérdeztük a képviselőket hány éve tagjai a választmánynak Az adatokat feljegyeztük és elemzést készítünk belőle A feljegyzett éveket minden esetben lefele kerekítettük egész számra Tudjuk még, hogy a legtapasztaltabb képviselő 3 hónapja tagja a választmánynak c) Lehet-e a feljegyzett adatok mediánja 0, ha az átlaguk,5? (7 pont) a) Készítsünk Venn-diagramot, és használjuk annak jelöléseit az adatok felírásában! A szöveg alapján felírható egyenletek: I a b c x y z h 3 II a x z h 5 III b x y h 6 IV c y z h V x y z 6 ( pont) Adjuk össze a II, III és IV egyenletet, és vonjuk ki belőle az I -t! x y z h 0 ( pont) Ide behelyettesítjük az V -et: 6h 0 h ember szavazott mindhárom kérdésre igennel I egyenletbe a már ismert adatokat: b) Behelyettesítve az abc6 3 abc 4 ( pont) 4 ember szavazott pontosan egy kérdésre igennel c) Mivel az éveket minden esetben lefele kerekítjük, és a maximum érték a 3 hónaphoz tartozik, ami kerekítve 3,58, így az adatsorunk csupán a 0; ; értékeket veheti fel Indirekt módon tegyük fel, hogy a medián lehet 0 A növekvő sorba rendezett sokaságban a 6 és 7 szám (és így az első 5 szám is) 0 Ekkor összesen legfeljebb 5 szám lehet vagy A 3 szám összege tehát legfeljebb 30 lehet Így az elérhető legnagyobb átlag pedig 0,9375 Mivel ez kisebb, mint,5 ezért ellentmondásra jutottunk, azaz nem lehet a medián 0 Összesen: 6 pont Maximális elérhető pontszám: 64 pont A próbaérettségi során szerezhető maximális pontszám: 5 pont a z x h c y b - -