0642. MODUL SZÁMELMÉLET A számok osztói, az oszthatósági szabályok KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A képességfejlesztés fókuszai Oszthatósági szabályok megállapítása a végződések valamint a számjegyek összege alapján. Összetett oszthatósági szabályok. 4 óra 6. osztály Számfogalom, helyiértékes írásmód és a műveletek elmélyítése. Matematikai szakszavak megfelelő használata. Induktív gondolkodás általánosítás. Szabály megállapítása, alkalmazása. Halmazszemlélet: részhalmaz, halmazok közös része, üres halmaz. Logika és, vagy kötőszavak helyes értelmezése, minden, van olyan helyes használata.
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 3 AJÁNLÁS Az oszthatósági feladatok megoldása során könnyebbséget jelent bizonyos oszthatósági szabályok ismerete. Az utolsó három számjegy, valamint a számjegyek összegének vizsgálatával állapítunk meg oszthatóságot. Fontosnak tartjuk, hogy a gyerekek maguk fedezzék fel a szabályokat, és tudatosítsuk bennük a szabályok működésének az indoklását, a miért? kérdésre ne a szabály megismétlése legyen a felelet. Tudatosan figyeljünk az osztója, osztható, többszöröse szavak változatos használatára. Az anyagrész remek alkalom a halmazábrák rajzolására, azok részeinek megnevezésére, a halmazműveletek alkalmazására. A számjegyek pótlásánál a kombinatorika kerül elő, a szorzási szabály. Nem foglalkozunk a 11-gyel való oszthatósági szabállyal. A 3 órában tanítóknak 4 órában a beosztás: 1. Oszthatóság az utolsó számjegy alapján. 2. Oszthatóság az utolsó két számjegy alapján. 3. Oszthatóság az utolsó három számjegy alapján. 4. Összetett oszthatósági szabályok 6-tal való oszthatóság. Semmiképpen ne hagyják ki az eldobós játékokat, mert ezekkel fejleszthető a gyerekek szemlélete. Kitekintésként megemlítünk más számrendszerekben oszthatósági szabályokat, amelyek segítenek tudatosítani a 10-es számrendszer szabályait, rugalmasabbá teszik a gyerekek gondolkodását. 5. osztályban már számoltak más számrendszerekben, most a 12-es számrendszerrel szeretnénk megmutatni a végződések alapján való oszthatóságot, ez pl. a 3-mal való oszthatóság tekintetében eltér a 10-estől, az 5-ös számrendszer pedig azért nagyon érdekes, mert páratlan alapú számrendszerben nem a páros számjegyre végződő számok a párosak. Az összetett oszthatósági szabályoknak a 6-tal oszthatóság utáni részét is azoknak ajánljuk, akiknek marad idejük körbejárni ezt a problémát. TÁMOGATÓ RENDSZER Feladatlapok, feladatgyűjtemény. ÉRTÉKELÉS A gyerekek munkájának megfigyelése, órai szereplés jutalmazása, egyéni feladatmegoldáskor a jó megoldások jutalmazása.
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 4 MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszközök, Feladatok I. Oszthatóság az utolsó számjegy alapján 1. 10-zel való oszthatóság Számolási képesség. Kombinatív képességek. Szabályalkotás. Számkártyák csoportonként, Feladatgyűjtemény: 1 3. 2. 2-vel való oszthatóság Kísérletezés. Rendszerezés, szabályalkotás Számkártyák táblára Feladatgyűjtemény: 4. 3. 5-tel való oszthatóság Általánosítás. 4. Gyakorlás Alkalmazás. 1. feladatlap, Feladatgyűjtemény: 5. 5. Oszthatóság a 12-es számrendszerben a végződés alapján Rugalmas gondolkodás. Általánosítás. 2. feladatlap II. Oszthatóság az utolsó két, három számjegy alapján 1. 100-zal, 1000-rel való oszthatóság Következtetés, analógia. 2. Eldobós játék 25-ös, majd 4-es maradékra 3. 100 osztóival való oszthatóság Szabályalkotás, alkalmazás. 3. feladatlap, Feladatgyűjtemény: 6 9. III. Oszthatóság az utolsó három számjegy alapján 1. Eldobós játék 8-ra Szabály felismerése. Kreativitás. 2. 1000 osztóival való oszthatóság Megkülönböztetés, rendszerezés. 4. feladatlap, Feladatgyűjtemény: 10 11.
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 5 IV. Oszthatóság a számjegyek összege alapján 1. Bumm játék Játék, kreativitás, szabály felismerése. 2. 9-cel és 3-mal való oszthatóság Megkülönböztetés, rendszerezés. 5. feladatlap, Feladatgyűjtemény: 12 16. 3. Oszthatóság 5-ös számrendszerben Modell alkalmazása. 6. feladatlap V. Összetett oszthatósági szabályok 1. 6-tal való oszthatóság, stb Megkülönböztetés, rendszerezés szabály felismerése. 2. Gyakorlás alkalmazás. Feladatgyűjtemény: 17 21. 3. Barkochba Játék, tapasztalatszerzés, szabály felismerése.
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 6 A FELDOLGOZÁS MENETE I. Oszthatóság az utolsó számjegy alapján 1. 10-zel való oszthatóság A gyerekek valójában ismerik a 10-zel való oszthatóság szabályát, ezért egy kártyás feladattal kezdjük, utána rögzítjük a szabályt. A gyerekek csoportonként kapnak 6-6 kártyát, amikor készen vannak, megbeszéljük közösen a megoldást. A megoldásban nemcsak a 10-zel való oszthatóság szabálya kerül elő, hanem a 10-zel való osztási maradék, valamint az összeg osztási maradéka. A problémát frontálisan adja fel a tanár, a gyerekek önállóan dolgoznak, jutalmazzuk azokat, akik a legtöbb lehetőséget találták. Feladat: A 0; 0; 2; 3; 7; 8 számkártyákból rakjatok össze két háromjegyű számot úgy, hogy összegük osztható legyen 10-zel. Keressetek minél több lehetőséget! Mindkét szám osztható 10-zel: 320 + 780; 320 + 870; 230 + 780; 230 + 870. 370 + 280; ebből is még 3 lehetőség. 380 + 270; ebből is még 3 lehetőség. Az egyik szám 2-re, a másik 8-ra végződik: 302 + 708; 702 + 308. Az egyik szám 3-ra, a másik 7-re végződik: 203 + 807; 803 + 207. Összesen 16 lehetőség. Figyeljük meg, hogy a 0-ra végződő számok 10 többszörösei: 320 = 32 10. Valamint a 10 többszörösei 0-ra végződnek: 78 10 = 780. Tehát a 0-ra végződő számok ugyanazok, mint a 10-zel oszthatók. TUDNIVALÓ: Ha egy természetes szám osztható 10-zel, akkor 0-ra végződik. Ha egy természetes szám 0-ra végződik, akkor osztható 10-zel. Ez a két állítás egy mondatban: Egy természetes szám pontosan akkor osztható 10-zel, ha 0-ra végződik. A Tudnivalóban a 10-zel való oszthatóság mellett a ha, akkor és a pontosan akkor típusú állítások jelentését is tanulják a gyerekek. Érdemes körbejárni a mondatok jelentését részletesen. Az első mondat arról szól, hogy ha egy szám nem 0-ra végződik, akkor nem osztható 10-zel. Így az első két mondat együtt segít a végződés alapján eldönteni, hogy a szám osztható-e 10-zel, ezt fogalmazza meg a harmadik mondat.
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 7 2. 2-vel való oszthatóság A páros számok tulajdonságairól az előző évfolyamokon már sok tapasztalatot szereztek a gyerekek. Most azt kell megvilágítani, hogy egyrészt ez azonos a 2-vel oszthatósággal, másrészt az okát annak, hogy elegendő az utolsó számjegyet nézni. Érdemes odafigyelni, hogy néhol nem biztosak a gyerekek benne, hogy a 0 páros szám (azt szokták mondani, hogy se nem páros, se nem páratlan), tisztázzuk, hogy 0 + 0 = 0 2 = 0, tehát a 0 osztható 2-vel! A következő kitalálós játékot közösen játsszuk, a tanár felrakja a táblára a kártyákat, a gyerekeknek meg kell állapítani, hogy melyik szám biztosan osztható 2-vel, biztosan nem osztható, és nem lehet eldönteni, hogy osztható vagy nem osztható. Tegyünk fel a táblára számkártyákból három,- négyjegyű számokat, úgy hogy bizonyos számjegyek látszanak, bizonyosak meg vannak fordítva. El kell dönteni a számokról, hogy oszthatók-e 2-vel. Melyekről tudom eldönteni (akkor is, ha nem ismerem a hiányzó számjegyeket), melyekről nem, és melyik kártyát kell feltétlenül visszafordítani, hogy el tudjuk dönteni. (A megfordított kártyákat -tel jelöljük.) 5 4 (biztos osztható 2-vel) 34 (meg kell fordítani az utolsó kártyát, hogy eldönthessük) 2 7 (biztos nem osztható 2-vel) 6 (meg kell fordítani az utolsó kártyát, hogy eldönthessük) 0 (biztos osztható 2-vel) 10 (meg kell fordítani az utolsó kártyát, hogy eldönthessük) 3 3 (biztos nem osztható 2-vel) 5 (biztos nem osztható 2-vel) 6 (meg kell fordítani az utolsó kártyát, hogy eldönthessük) Tegyük fel a kérdést: Miért elég az utolsó számjegy vizsgálata? Kártyákkal rakjuk ki a számokat és mutassuk meg, hogy pl. 4652 = 4650 + 2 = 465 10 + 2 A számot összeg alakban írjuk, külön az utolsó számjegyét. Az első tag osztható 10-zel, és mivel a 10 osztható 2-vel, így az első tag osztható 2-vel is. Az összeg pontosan akkor lesz 2- vel osztható, ha a második tagja, azaz az utolsó számjegye osztható 2-vel. 2-vel osztható számjegyek: 0; 2; 4, 6; 8. 2-vel nem osztható számjegyek: 1; 3; 5; 7; 9. A páros számok ugyanazok, mint a 2-vel osztható számok. TUDNIVALÓ: Ha egy természetes szám osztható 2-vel, akkor 2-vel osztható számjegyre végződik. Ha egy természetes szám 2-vel osztható számjegyre végződik, akkor osztható 2-vel. Ez a két állítás egy mondatban: Egy természetes szám pontosan akkor osztható 2-vel, ha 2-vel osztható számjegyre végződik. A Tudnivalóban a 2-vel való oszthatóság mellett a ha, akkor és a pontosan akkor típusú állítások jelentését is tanulják a gyerekek. Megint érdemes körbejárni a mondatok jelentését részletesen. Az első mondat arról szól, hogy ha egy szám páratlan számjegyre végződik, azaz 1, 3, 5, 7 vagy 9-re, akkor nem osztható 2-vel. A második mondat szerint pedig, ha 0, 2, 4, 6 vagy 8-ra végződik, akkor osztható 2-vel. Így az első két mondat együtt segít a végződés alapján eldönteni, hogy a szám osztható-e 2-vel, ezt fogalmazza meg a harmadik mondat.
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 8 3. 5-tel való oszthatóság A gyerekek már alsó tagozatban megfigyelték, mely számok oszthatók 5-tel, ezekre a tapasztalatokra érdemes támaszkodni. Az első feladatban az 5 többszöröseit elevenítjük fel, ezek a számok oszthatók 5-tel. A következő feladatban 5-tel nem osztható számokat keresünk, felírunk néhányat a táblára. Feladat: Mi lehet a szabály? Egészítsd ki a sorozatot a hiányzó számokkal! 0; 5; ; 15; 20; ; 30; 35; ; ; 50; Feladat: Írjatok fel számokat, melyeknek az 5 nem osztója! Játék: A tanár mond számokat vegyesen 5-tel oszthatót és nem oszthatót, és az 5-tel oszthatókra a gyerekeknek fel kell emelni a karjukat magas tartásba. A számok például: 0; 1; 4; 12; 25; 33; 40; 51; 64; 75; 100; 112; 140; 740; 551; 2364; 13975; A játék értékelése során szemeljünk ki néhány számot, ezeket írjuk fel összeg alakban, ezzel indokoljuk az 5-tel oszthatóságot, majd fogalmazzuk meg a szabályt! 5-tel osztható számok: 0; 40 = 40 + 0; 75 = 70 + 5; 13 975 = 13 970 + 5 5-tel nem osztható számok: 1; 51 = 50 + 1; 551 = 550 + 1; 4; 64 = 60 + 4; 2364 = 2360 + 4; A számot összeg alakban írjuk, külön az utolsó számjegyét. Az első tag osztható 10-zel, és mivel a 10 osztható 5-tel, így az első tag osztható 5-tel is. Az összeg pontosan akkor lesz 5-tel osztható, ha a második tagja, azaz az utolsó számjegye osztható 5-tel. 5-tel osztható számjegyek: 0; 5. 5-tel nem osztható számjegyek: 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9. TUDNIVALÓ: Ha egy természetes szám osztható 5-tel, akkor 0-ra vagy 5-re végződik. Ha egy természetes szám 0-ra vagy 5-re végződik, akkor osztható 5-tel. Ez a két állítás egy mondatban: Egy természetes szám pontosan akkor osztható 5-tel, ha 0-ra vagy 5-re végződik. 4. Gyakorlás A gyerekek önállóan megoldják az 1. feladatlapot, majd megbeszéljük közösen. Esetleg maradhat belőle házi feladatnak. Az 1. feladat kapcsán érdemes a halmazszemléletet erősíteni azzal, hogy a megoldás után megbeszéljük, melyek azok a számok, amelyek 2-vel és 5-tel oszthatók, ezek a 10-zel oszthatók, melyek 2-vel oszthatók, de 5-tel nem, melyek 2-vel nem oszthatók, de 5-tel igen, melyek azok, amelyek se 2-vel se 5-tel nem oszthatók. Hogyan lehet a 2-vel és 5-tel oszthatósággal megfogalmazni azt, hogy egy természetes szám nem osztható 10-zel: nem osztható 2-vel vagy nem osztható 5-tel.
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 9 1. FELADATLAP 1. Helyezd el az alábbi számokat a halmazábrában! 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 10; 12; 15; 20; 28; 30; 45; 54; 60. Írj további számokat a halmazábrába! 1 3 4 Osztható 2-vel 2 6 12 28 54 20 10 60 30 Osztható 5-tel 5 15 45 7 53 2. A halmazábra segítségével döntsd el az alábbi állításokról, hogy melyik igaz, melyik hamis! a) Van olyan 5-tel osztható szám, amelyik nem osztható 2-vel. Igaz, pl. 5 b) Minden 5-tel osztható szám osztható 10-zel is. Hamis, pl. 5 c) Nincs olyan 10-zel osztható szám, amelyik nem osztható 5-tel. Igaz, mert az 5 osztója a 10-nek. d) Ha egy számnak a 10 osztója, akkor a 2 is osztója. Igaz, mert a 2 osztója a 10-nek. 3. Töltsd ki a számkeresztrejtvényt! 1. 5 2. 9 3. 5 4. 5 9 8 5. 5 8 0 Vízszintes: 1. 5-tel osztható háromjegyű páratlan szám. 4. A legnagyobb páros szám, amely 600-nál kisebb. 5. Osztható 10-zel.
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 10 Függőleges: 1. Azonos számjegyekből álló 5-tel osztható háromjegyű szám. 2. A legnagyobb háromjegyű páros szám. 4. Vizsgáld a következő műveleteket: 485 + 34 = 1872 49 = 6203 + 56 = Írjál számjegyeket a jelek helyére úgy, hogy a művelet eredménye osztható legyen a) 2-vel b) 5-tel c) 10-zel. 485 + 341 485 + 340 485 + 345 485 + 343 485 + 345 485 + 345 485 + 347 485 + 349 1872 49 1872 490 1872 490 : Minden számjegy 1872 495 1872 495 lehet 0-9. 6203 + 561 6203 + 562 6203 + 567 6203 + 563 6203 + 567 6203 + 565 6203 + 567 6203 + 569 5. Oszthatóság a 12-es számrendszerben a végződés alapján A gyorsabban haladó gyerekek önállóan megoldják a 2. feladatlapot, majd megbeszéljük velük a tapasztalatokat. Előtte elevenítsük fel a nem tízes alapú számrendszereket! Mennyi egy tucat? (12) Mennyi egy tucat tucat? (12 12) Mondjunk ezekkel további számokat és számoljuk ki, mennyit érnek! Ez alapján készítsük el a 12-es számrendszer helyiérték táblázatát! Hol jelenik meg még a 12-es számrendszer? (év-hónap) Hány hónap a 3 év 5 hónap? Mondjunk további ilyen időtartamokat, számoljuk át hónapokba majd másokat hónapokból évekbe! 2. FELADATLAP 1. Rajzolj 12 cm hosszúságú szakaszokat, és oszd minél többféleképpen egész centiméter hosszú egyenlő részekre! Következtetés: A 12 osztói: 1; 2; 3; 4; 6; 12. 2. A 12-es számrendszer számjegyei: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A (= 10); B (= 11). Írjuk be a helyiérték-táblázatba a következő 12-es számrendszerbeli számokat és azok 10 12 = 12 10 -szeresét! 13; 42; 1A; 60; A 12-es számrendszer helyiérték táblázata:
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 11 100 12 = 144 10 10 12 = 12 10 1 1 3 1 3 0 4 2 4 2 0 1 A 1 A 0 6 0 6 0 0 Milyen szabályszerűséget tapasztalsz? Tetszőleges természetes szám 10 12 = 12 10 -szerese a 12-es számrendszerben 0-ra végződik. A 0-ra végződő 12-es számrendszerbeli természetes számok oszthatók 10 12 = 12 10 -vel. Sorold fel azokat a számokat, amelyekkel a számok 10 12 = 12 10 -szerese biztosan osztható: Ezek a 10 12 = 12 10 osztói: 1; 2; 3, 4; 6; 10 12 = 12 10. 3. Az alábbi táblázatban levő számokat írd fel összeg alakban, majd döntsd el, hogy mely számokkal osztható(írj + jelet ha osztható, jelet, ha nem osztható). Az első sor egy példát mutat be. A szám 4. Fogalmazd meg, hogy 12-es számrendszerben mely számokkal való oszthatóságot dönthetjük el az utolsó számjegy alapján. ÖSSZEGZÉS: Összeg alak Osztható 2-vel Osztható 3-mal Osztható 4-gyel Osztható 6-tal Egy 12-es számrendszerben felírt természetes szám pontosan akkor osztható 2-vel (3-mal, 4- gyel, 6-tal, 12-vel), ha 2-vel (3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel) osztható számjegyre végződik. 5. Írj12-es számrendszerbeli természetes számokat a feltételeknek megfelelően: a) Osztható 3-mal, de nem osztható 4-gyel: az utolsó számjegy: 3; 6; 9. b) Osztható 4-gyel, de nem osztható 6-tal: az utolsó számjegy: 4; 8. c) Osztható 2-vel, de nem osztható 4-gyel: az utolsó számjegy: 2; 6. d) Osztható 3-mal, de nem osztható 6-tal: az utolsó számjegy: 3; 9. Osztható 10 12 = 12 10 -vel 76 70 + 6 + + + 18 10 + 8 + + A2 A0 + 2 + 1B0 1B0 + 0 + + + + + 95 90 + 5 23 20 + 3 + 149 140 + 9 +
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 12 II. Oszthatóság az utolsó két, három számjegy alapján Az egyszerűsége miatt együtt nézzük a 100-zal és az 1000-rel való oszthatóságot, utána előbb az utolsó két számjegy alapján, majd az utolsó három számjegy alapján való oszthatóságot. Az elv ugyanaz, mint az utolsó számjegy esetén, így ez a két csoport akár egy órán is lehet, akkor több idő marad a végén arra, hogy egyben gyakoroljuk az oszthatósági szabályokat. 1. 100-zal, 1000-rel való oszthatóság Először mutassuk be a következő bűvészmutatványt, melyben azt használjuk ki, hogy a 100- zal osztható számok két 0-ra végződnek. A bűvész kimegy a teremből, amíg a gyerekek közösen megbeszélik, melyik számra gondoljanak. A bűvészmutatvány esetleg többszöri bemutatása után az a gyerek lehet a bűvész, aki sejti a trükköt. Addig folytatjuk, amíg a többség rájön a trükkre. 6. Bűvészmutatvány: Gondolj egy kétjegyű számra. Szorozd meg 4-gyel, a szorzathoz adj 24-et, majd ezt az összeget szorozd meg 25-tel. Az eredményből vond ki a gondolt számot. Mondd meg, mit kaptál, és kitalálom a gondolt számot. (x 4 + 24) 25 osztható 100-zal, ezért két 0-ra végződik, így ha ebből kivonják a gondolt kétjegyű számot, a különbség utolsó két jegyéből álló kétjegyű számot 100-ra pótolja a gondolt kétjegyű szám. A következő feladatot is frontálisan oldjuk meg, a gyerekek rajzoljanak helyiérték táblázatot millióig a füzetükbe, majd a tanár által hangosan felsorolt számokat írják be a helyiérték táblázatba. A helyiérték táblázat alapján írják le a számokat a következő formában: pl. 3846000 = 3846 1000, majd beszéljék meg, hogy ez alapján osztható 1000-rel, ugyanígy a többi számra. A halmazábrával szemléltetjük, hogy minden 100-zal osztható szám 10-zel is osztható, tehát a 100-zal osztható számok halmaza részhalmaza a 10-zel oszthatóknak, továbbá az 1000-rel osztható számok halmaza részhalmaza a 100-zal oszthatóknak. Ha a halmazábra elkészült, annak részeire mondjanak a gyerekek kijelentéseket. Először tegyen fel a tanár kérdéseket, pl. Melyik az a rész, ahol a 100-zal osztható, de 10-zel nem osztható számok vannak? Ezután a gyerekek mondjanak hasonló állításokat. Feladat: Helyezzük el a következő számokat helyiérték táblázatban, majd készítsünk halmazábrát a 10- zel, 100-zal, 1000-rel osztható számok halmazát ábrázolva a természetes számok részhalmazaként! 354200; 7821000; 26100; 920070; 384600; 5000; 20006; 8200; TUDNIVALÓ: Egy 10-es számrendszerben felírt természetes szám pontosan akkor osztható 100-zal (1000- rel), ha legalább két (három) 0-ra végződik.
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 13 2. Eldobós játék 25-ös, majd 4-es maradékra A korábbi eldobós játékhoz hasonlóan játsszuk frontálisan. Előbb érdemes 25-re játszani, mert abból könnyebb a 100 többszöröseire, mint biztosan eldobható részre rájönni, 4-nél több lehetőség is lenne. A 25 maradékainál rájönnek a gyerekek a 100-ra, mivel 100 = 25 4, így a 100 többszörösei alkalmasak arra, hogy eldobjuk a 4-es maradékok kitalálásakor is. A játék: A tanár sorban mondja a számokat, a gyerekek közül az nyer egy pontot, aki legelőször kitalálja a szám 25-tel való osztási maradékát. A végén a legtöbb pontot gyűjtő tanuló nyer. Számológépet tilos használni! Néhány próbálkozás után beszéljük meg a gyerekekkel, hogyan lehet gyorsan számolni: Keresünk a mondott számhoz közeli (de még nem nagyobb) többszörösét a 25-nek, és kivonjuk a számból, azaz eldobjuk. Így haladunk, amíg 25-nél kisebb számot nem kapunk. Szám 4 27 66 81 102 202 514 25-ös maradék 4 2 16 6 2 2 14 eldobandó többszörös 0 25 50 75 100 200 500 Szám 1212 35416 434309 718025 91660 25-ös maradék 12 16 9 0 10 eldobandó 718000 91600 1200 35400 434300 többszörös +25 +50 Beszéljük meg, hogy mi az, amit biztosan, könnyen elhagyhatunk, ezek a 100 többszörösei. Ugyanis 100 = 25 4. Ezek szerint, ha a 4-gyel való osztási maradékot keressük, a 100 akkor is jó elhagyható többszörösnek. Játsszuk le ezt is! Szám 7 42 83 102 142 1303 4-es maradék 3 2 3 2 2 3 eldobandó 100+ 4 40 80 100 többszörös 40 1300 Szám 37209 842634 93289 673018 4-es maradék 1 2 4 2 eldobandó többszörös 37200 +8 842600 +32 93200+ 88 673000+ 16 A 100 többszörösei mindig elhagyhatók, ezért az utolsó két számjegy alapján már meg tudjuk állapítani a 4-es osztási maradékot. Tehát a 25-tel, 4-gyel való osztási maradékot az utolsó két számjegy alapján megállapíthatjuk. 3. 100 osztóival való oszthatóság
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 14 Frontálisan oldjuk meg a következő feladatot. A tanár felírja a táblára az alábbi összegeket. A felírt összegek nem oszthatók 3-mal, 7-tel, 8-cal. Figyeljük meg, hogy az összegek 100-zal osztható részét elhagyva könnyen megállapíthatjuk a 4-gyel, 25-tel, 20-szal, 50-nel való oszthatóságot. Megbeszélhetjük a 10-zel, 2-vel, 5-tel való oszthatóságot is, de ezeket az előző részben vizsgáltuk, most éppen csak említsük meg. Állapítsuk meg, hogy mely számokkal oszthatók az alábbi összegek: 3400 + 75 25-tel, (5-tel) 2300 + 50 + 5800 50-nel, (10-zel, 5-tel, 2-vel) 23 500 + 28 4-gyel, (2-vel) 6500 + 40 + 133 000 20-szal, 4-gyel, (10-zel, 5-tel, 2-vel) Vonjuk le a következtetést, ahogy az utolsó számjegy alapján a 10 osztóival való oszthatóságot tudtuk eldönteni, az utolsó két számjegy alapján a 100 osztóival való oszthatóságot dönthetjük el. TUDNIVALÓ: Egy természetes szám pontosan akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegyből álló kétjegyű szám osztható 4-gyel. ÖSSZEGZÉS: Egy természetes szám pontosan akkor osztható 25-tel, 20-szal, 50-nel, ha az utolsó két számjegyből álló kétjegyű szám osztható 25-tel, 20-szal, 50-nel. Az utóbbi szabályok gyakorlására a gyerekek egyénileg oldják meg a 3. feladatlapot. Ezután megbeszéljük a megoldásokat. Házi feladatként, bár unalmas, érdemes leíratni az összes kétjegyű, 4-gyel osztható természetes számot. 3. FELADATLAP 1. Az alábbi szorzatok közül karikázd be azokat, amelyeknek a 100 osztója! A feladat megoldásához elvégezhetik a gyerekek a szorzást, ekkor a szorzatok végén levő nullák száma alapján válaszolhatnak. 5 4 15 = 300; 18 25 = 450; 8 15 35 = 4200; 125 14 = 1750; 20 12 = 240; 10 6 45 = 2700. Gyorsabb, ha azt vizsgálják, hogy a szorzat tényezői között a 4 és a 25 megtalálható-e, ez a fajta megoldás a 100 osztóit segít jól látni, valamint előkészíti a prímtényezős felbontást. Ha a gyerekek a szorzással dolgoznak, a megbeszéléskor érdemes erre is felhívni a figyelmüket.
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 15 2. Írd be az alábbi számokat a halmazábra megfelelő helyére! 4355; 12550; 2742; 9600; 3880; 113000; 67524; 4568; 9075; 2438; 4355 2742 Osztható 4-gyel 4568 3880 67524 9600 113000 Osztható 25-tel 12550 9075 2438 3. A 3 6 számba a jelek helyére írjál számjegyeket úgy, hogy a szám osztható legyen a) 4-gyel; = 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; = 0, 4; 8. A lehetőségek száma összesen: 3 10 = 30. b) 20-szal; = 0-9 = 0 A lehetőségek száma összesen: 10. c) 25-tel; = nincs =nincs megoldás A lehetőségek száma összesen: 0 d) Milyen számjegy kerüljön a 6 helyére, hogy találjunk megfelelő számjegyeket a jelek helyére úgy, hogy a szám osztható legyen 25-tel? A 6 helyére 0; 2; 5; 7 írható. 4. Kösd össze azokat a szám párokat, amelyek összege 4-gyel osztható! 2826 8321 5647 133502 4348 7939 8313 18756
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 16 Mivel az összeg páros kell legyen, vagy két páros vagy két páratlan számot lehet összekötni. Kiszámolhatjuk az összeg utolsó két számjegyét vagy megfigyelhetjük a 4-es osztási maradékokat, az alapján még könnyebb a párok megtalálása. A 4-gyel osztható összegek: 2826 + 133502; 4348 + 18756; 8321 + 7939; 5647 + 8313; 8313 + 7939; 8321 + 5647. III. Oszthatóság az utolsó három számjegy alapján 1. Eldobós játék 8-ra A tanár sorban mondja a számokat, a gyerekek közül az nyer egy pontot, aki legelőször kitalálja a szám ezekkel való osztási maradékát. A végén a legtöbb pontot gyűjtő tanuló nyer. Számológépet tilos használni! Néhány próbálkozás után beszéljük meg a gyerekekkel, hogyan lehet gyorsan számolni: Keresünk a mondott számhoz közeli (de még nem nagyobb) többszörösét a 8-nak, és kivonjuk a számból, azaz eldobjuk. Így haladunk, amíg 8-nál kisebb számot nem kapunk. Szám 22 100 200 605 1042 5686 61011 7231052 97335415 8-as maradék 6 4 0 5 2 6 3 4 7 eldobandó 16 80 200 600 1000 61000 7231000 többszörös +16 +40 +48 Beszéljük meg, hogy mi az, amit biztosan, könnyen elhagyhatunk. Mivel 100-nak a 8-as maradéka 4, páros darab 100-as biztosan osztható 8-cal, így eljutunk az 1000 többszöröseihez, amelyeket elhagyva az utolsó három számjegyből álló háromjegyű szám marad. Ugyanis 1000 = 125 8. (Ezek szerint, ha a 125-tel való osztási maradékot keressük, az 1000 akkor is jó elhagyható többszörösnek. Lejátszhatjuk ezt is!) A 100 többszöröse a 4-nek, az 1000 a 100-nak páros számú többszöröse, így osztható 8-cal. Tovább folytatva a 10 000 a 16-nak többszöröse, így a 16-tal való oszthatóságot az utolsó 4 számjegy alapján lehet eldönteni. Tehát a 125-tel, 8-cal való osztási maradékot az utolsó három számjegy alapján megállapíthatjuk. 2. 1000 osztóival való oszthatóság 5000 +600 +80 97335000 +400 1. Beszéljük meg közösen a következőket: Melyek az 1000 osztói, amelyek a 100-nak nem osztói? (8 125; 200; 250; 500, valójában a 8 érdekes főként számunkra.) Minden szám felírható a következő mintára: 56712 = 56000 + 712 Az összeg első tagja osztható 1000-rel, következésképpen 8-cal is, a 712-t kell megvizsgálni, osztható 8-cal, tehát az összeg is osztható 8-cal. Írjuk fel a táblára a következő számokat, írjuk fel összeg alakban, és döntsük el, hogy oszthatók-e 8-cal. 67354 = 67000 + 354 nem osztható 8-cal, mert 354 nem osztható 8-cal. 897 456 = 897 000 + 456 nem osztható 8-cal, mert 456 nem osztható 8-cal. 2 367 696 = 2367 000 + 696 osztható 8-cal, mert 696 osztható 8-cal. Azért érdemes egyre nagyobb számokat mondani, mert ezeken jobban látszik, hogy az összeg alak alapján gyorsabban eldönthető az oszthatóság, mint az osztás elvégzésével.
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 17 2. Készítsünk papírcsíkot, amelyre ráírjuk a 459867632 számot. Tegyük bele egy könyvbe úgy, hogy csak az utolsó számjegy látsszon. A gyerekek ezt látva mondják meg, mivel osztható biztosan az egész szám (2 osztható 2-vel). Húzzuk ki jobban a papírcsíkot, hogy az utolsó két számjegy látsszon! (32 osztható 4-gyel) Húzzuk ki még jobban a papírcsíkot, hogy az utolsó három számjegy látsszon! (632 osztható 8-cal). Végül mutassuk meg az egész számot, írjuk fel, és írjuk mellé, hogy osztható 2-vel, 4-gyel és 8-cal. Végezzük el ugyanezt a következő számokkal: 68435548 (2; 4) 25419 (páratlan, nem osztható 2-vel, így nem lehet osztható 4-gyel sem és 8-cal sem) 183514 (2-vel osztható, de 4-gyel nem, így 8-cal sem) 672625 (5; 25; 125) A hosszabb számok azért érdekesek, hogy lássák a gyerekek, mennyivel egyszerűbb az összeg alakkal okoskodni, mint elvégezni az osztást. Próbaképpen érdemes az osztást is elvégeztetni. 3. Fogalmazzuk meg és írjuk le a 8-cal való oszthatóság szabályát. TUDNIVALÓ: Egy természetes szám pontosan akkor osztható 8-cal, ha az utolsó három számjegyből álló háromjegyű szám osztható 8-cal. Mivel a 125, a 200, az 500 is az 1000 osztói, az ezekkel való oszthatóság is eldönthető az utolsó három számjegyből álló háromjegyű szám alapján. ÖSSZEGZÉS: Egy természetes szám pontosan akkor osztható 125-tel, 200-zal, 500-zal, ha az utolsó három számjegyből álló háromjegyű szám osztható 125-tel, 200-zal, 250-nel, 500-zal. 4. FELADATLAP Csoport munkában feldolgozzák a feladatlapot. A csoportban a szerepek: 2-vel osztható kék ceruza, 4-gyel osztható piros ceruza, 8-cal osztható sárga ceruza (ha több gyerek van, valamelyikre kettő jut). Mindegyik gyerek felírja az 1. feladatból a számára megfelelő számokat. Ezután a csoport együtt megbeszéli a megfelelő aláhúzásokat, és a halmazokba rendezést. A feladatlap (legalább az első három feladat, mert azok összetartoznak, a 4. maradhat házi feladat is) megoldása után közösen megbeszéljük a megoldásokat. Fontos észrevétel, hogy a 4-gyel osztható számok halmaza részhalmaza a 2-vel oszthatók halmazának, és a 8-cal oszthatók halmaza a 4-gyel oszthatók halmazának. Ezt jobban látják a gyerekek, ha személyesnek érzik a számokat, ez indokolja a csoport munkát, ezzel együtt figyeljünk, hogy mindegyik gyerek füzetében legyen kitöltve a teljes feladatlap. 1. A következő számok közül húzd alá kékkel a 2-vel oszthatókat, pirossal a 4-gyel oszthatókat, sárgával a 8-cal oszthatókat! 3451; 17828; aláhúzás: kék, piros 931752; aláhúzás: kék, piros, sárga 34168; aláhúzás: kék, piros, sárga 564392; aláhúzás: kék, piros, sárga 714576 aláhúzás: kék, piros, sárga
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 18 2. Készíts halmazábrát a 2-vel, 4-gyel, 8-cal osztható számokkal, és írd be a fenti számokat a megfelelő helyre! Osztható 2-vel Osztható 4-gyel 17828 564392 931752 34168 714576 3451 Osztható 8-cal 3. Döntsd el a következő állításokról, melyik igaz, melyik hamis! a) Minden 4-gyel osztható szám osztható 2-vel is. Igaz, mert a 4 a 2-nek többszöröse. b) Van olyan 8-cal osztható szám, amelyik nem osztható 4-gyel. Hamis, mert ha 8 = 2 4-gyel osztható, akkor 4-gyel is. c) Minden 8-cal osztható szám osztható 2-vel is. Igaz, mert 8 = 2 4. d) Ha egy szám nem osztható 4-gyel, akkor nem lehet osztható 8-cal sem. Igaz, mert 8 = 4 2. e) Egyetlen páratlan szám sem osztható 8-cal. Igaz, mert osztható kell legyen 2-vel. f) Nincs olyan 4-gyel osztható szám, amelyik nem osztható 8-cal. Hamis, mert pl. a 28 ilyen. 4. A táblázat felső sorában levő számok bizonyos számjegyeit letakartuk. Írd be a megfelelő helyre, mely számokkal osztható biztosan, melyekkel lehetetlen, melyekkel lehetséges, hogy osztható. (Azokra a számokra gondoljatok, amelyekkel való oszthatóságot eddig vizsgáltuk) 50 4 39 40 9 7 528 Biztosan 1; 2 1; 4; 5; 10, 20 1; 2; 4; 8 Lehetetlen 5; 25; 10; 100; 50; 20 25; 50; 100 5; 10; 20; 25; 50; 100 Lehetséges 4; 8 8 A megoldás megbeszélése során a lehetséges osztóknál mutassuk meg, milyen számjegy kerülhet a négyzet helyére, hogy osztható legyen a számmal és milyen számjegy esetén nem osztható. További gyakorlásként, vagy házi feladatnak adható a FGY 10-11. feladata.
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 19 IV. Oszthatóság a számjegyek összege alapján 1. Bumm játék Osszuk az osztályt három csoportra. Mondják sorban együtt a természetes számokat, az első csoport a 3-mal osztható számok helyett mond BUMM-ot, a második csoport azokra a számokra, melyekben van 3-as számjegy, a harmadik csoport azokra, amelyek számjegyeinek összege osztható 3-mal. Figyeljük meg, hogy ugyanazok a számok oszthatók 3-mal, amelyek számjegyeinek összege osztható 3-mal. Hogyan lehet ezt a tapasztalatot megmagyarázni? 2. 9-cel, 3-mal való oszthatóság Az 5. feladatlap megoldását 4-5 fős csoportokban végzik a gyerekek. Az 1. feladatban mindenki lát néhány négyjegyű számot. A számok 9-cel való osztási maradékát keresik a gyerekek úgy, hogy szétosztják a feladatot, az első gyerek az egyesek 9-es osztási maradékát állapítja meg, és ő lesz az összeadó, aki összegzi a sajátját a többiek maradékával. A második a tízesek, a harmadik a százasok, a negyedik az ezresek 9-es osztási maradékát mondja meg. Például: 5643-at szétosztják: 5642 = 5000 + 600 + 40 + 3. A 3-hoz hozzáadják a 40 maradékát, ami 4, a 600 maradékát, ami 6, az 5000 maradékát, ami 5, így 3 + 4 + 6 + 5 = 18- at kapnak. Ha az így kapott szám még nagyobb 9-nél, ennek is veszik a 9-es osztási maradékát, a példában ez 0. Ellenőrzésképpen osztással is kiszámolják az eredeti szám 9-es maradékát. Miután a példát megbeszéltük, a gyerekek megkeresik a további számok 9-es maradékát, utána közösen megbeszéljük a tapasztalatokat.
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 20 5. FELADATLAP 1. Állapítsd meg a számok 9-es osztási maradékát a táblázat kitöltésével! Szám Ezresek és maradékuk Százasok és maradékuk Tízesek és maradékuk Egyesek és maradékuk Maradékok összege Maradékok összegének maradéka Szám maradéka 5643 5000 5 600 6 40 4 3 3 18 0 0 2421 2000 2 400 4 20 2 1 1 9 0 0 3112 3000 3 100 1 10 1 2 2 7 7 7 8937 8000 8 900 9 30 3 7 7 27 0 0 4843 4000 4 800 8 40 4 3 3 19 1 1 Figyeljétek meg a maradékokat, milyen szabályosságot lehet észrevenni? Mi lehet a szabályosság oka? Figyeljük meg, hogy az ezresek maradéka éppen az ezresek száma, ugyanez a többi helyiértékre is igaz. Beszéljük meg, hogy mi ennek az oka! 5000 = 5 (999 + 1) = 5 999 + 5, mivel a 999 osztható 9-cel, a maradék 5. 600 = 6 (99 + 1) = 6 99 + 6, mivel a 99 osztható 9-cel, a maradék 6. 40 = 4 (9 + 1) = 4 9 + 4, mivel a 9 osztható 9-cel, a maradék 4. Az eldobható részek a 9, 99, 999, stb. a megmaradó rész éppen a megfelelő helyiértéken álló számjegy. Mivel összeg maradéka a maradékok összegének maradéka, ezért levonhatjuk a következtetést, hogy a természetes számok 9-es maradéka egyenlő a számjegyek összegének 9-es maradékával. A következő feladatban a fenti bontást gyakorolják a gyerekek, majd megállapítják a 9-cel való oszthatóság szabályát az alapján, hogy 0 maradék esetén a szám osztható 9-cel. 2. Írd be a megfelelő számjegyeket a -okba, hogy az egyenlőség igaz legyen, és állapítsd meg a számok 9-es osztási maradékát! a) 6738 = 6 999 + 6 + 7 99 + 7 + 3 9 + 3 + 8 9-es maradéka: 6 + 7 + 3 + 8 = alapján: 6 b) 2457 = 2 999 + 2 + 4 99 + 4 + 5 9 + 5 + 7
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 21 9-es maradéka: 2 + 4 + 5 + 7 = alapján: 0 c) 1323 = 1 999 + 1 + 3 99 + 3 + 2 9 + 2 + 3 9-es maradéka: 1 + 3 + 2 + 3 = alapján: 0 d) 9762 = 9 999 + 9 + 7 99 + 7 + 6 9 + 6 + 2 9-es maradéka: 9 + 7 + 6 + 2 = alapján: 6 TUDNIVALÓ: Egy természetes szám pontosan akkor osztható 9-cel, ha a számjegyek összege osztható 9-cel. ÖSSZEGZÉS: Egy természetes szám 9-es osztási maradéka egyenlő a számjegyek összegének 9-es osztási maradékával. 3. Állapítsd meg a számok 3-mal való osztási maradékát! Használd a fenti felbontást! 6738 6 999 + 6 + 7 99 + 7 + 3 9 + 3 + 8 3-as maradéka: 6 + 7 + 3 + 8 = alapján: 0 2457 2 + 4 + 5 + 7 = alapján: 0 1323 1 + 3 + 2 + 3 = alapján: 0 9762 9 + 7 + 6 + 2 = alapján: 0 Mivel a 9 osztható 3-mal, a 9, 99, 999 is osztható 3-mal, így a számjegyek összege alapján a 3-mal való osztási maradékot is megállapíthatjuk. A szabályszerűség kevesebb számjegy esetén nyilvánvalóan teljesül, több számjegyre meg folytatható: 9999 + 1 = 10000 TUDNIVALÓ: Egy természetes szám pontosan akkor osztható 3-mal, ha a számjegyek összege osztható 3- mal. ÖSSZEGZÉS: Egy természetes szám 3-as osztási maradéka egyenlő a számjegyek összegének 3-as osztási maradékával.
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 22 4. Az alábbi számok közül húzd alá kékkel a 3-mal oszthatókat, pirossal a 9-cel oszthatókat, majd ábrázold a számokat halmazábrában! 246 7812 4239 1752 67314 53127 Osztható 3-mal 6731 1752 246 Osztható 9-cel 5312 7812 4239 Kék: 246; 7812; 4239; 1752; 67314; 53127 Piros: 7812; 4239; 53127 5. Egészítsd ki a számokat (ha lehet többféleképpen) úgy, hogy oszthatók legyenek a) 3-mal; b) 9-cel. 3-mal osztható 9-cel osztható 6723 0, 3, 6, 9 0, 9 19 32 0, 3, 6, 9 3 7 61 1, 4, 7 4 64 2 0, 3, 6, 9 6 415 2, 5, 8 8 6. Az 1, 2, 3, 4, 5 számkártyákból húzz hármat, alkoss belőlük háromjegyű számot, és döntsd el, hogy osztható-e 3-mal, 9-cel. A tevékenység lényege, hogy ha egy háromjegyű szám osztható 3-mal, vagy 9-cel, akkor tetszőleges sorrendben írva a számjegyeit, a kapott számok is oszthatók lesznek 3-mal illetve 9-cel. További gyakorlásként adhatók a FGY: 12 16. feladatai, amelyek közül a 12. csoportban is megoldható, jól elkülönülő szerepekkel a csoport tagjai számára. 3. Oszthatóság 5-ös számrendszerben A gyorsabban haladó gyerekek foglalkozzanak a 6. feladatlappal, szükség esetén segítsünk nekik a szabály megalkotásában.
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 23 6. FELADATLAP 1. Írd fel sorban a természetes számokat az 5-ös számrendszerben, majd karikázd be a párosakat! Milyen érdekességet figyelsz meg? 1; 2; 3; 4; 10; 11; 12; 13; 14; 20; 21; 22; 23; 24; ha a számjegyek összege osztható 2-vel, akkor a szám is. 2. Írd fel az 5-ös számrendszerbeli számokat az alábbihoz hasonló bontásban, majd döntsd el, hogy osztható-e 4-gyel, 2-vel: 231 5 = 200 5 + 30 5 + 1 5 = 2 (44 5 + 1) + 3 (4 5 + 1) + 1 = 2 44 + 2 + 3 4 + 3 + 1 = = 2 44 + 3 4 + 2 + 3 + 1 Mivel a 2 44 + 3 4 osztható 4-gyel, a 2 + 3 + 1 pedig nem, a szám nem osztható 4-gyel. Mivel a 2 44 + 3 4 osztható 2-vel, a 2 + 3 + 1 is osztható 2-vel, a szám is osztható 2-vel. 121 5 = 1 44 + 1 + 2 4 + 2 + 1 osztható: 4-gyel, 2-vel. 422 5 = 4 44 + 4 + 2 4 + 2 + 2 osztható: 4-gyel, 2-vel. 123 5 = 1 44 + 1 + 2 4 + 2 + 3 osztható: 2-vel. 241 5 = 2 44 + 2 + 4 4 + 4 + 1 nem osztható. 141 5 = 1 44 + 1 + 4 4 + 4 + 1 osztható: 2-vel. V. Összetett oszthatósági szabályok 1. 6-tal való oszthatóság stb Csoportban dolgozunk a gyerekekkel. Felírjuk a táblára a következő számokat, a csoportban egy gyerek egy szám összes osztóját keresi meg, így mindegyik csoport minden szám osztóit megkapja. Utána a gyerekek segítségével melléjük írjuk a táblára is, hogy mely számokkal oszthatók. 12: 1; 2; 3; 4; 6; 12. 30: 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30. 78: 1; 2; 3; 6; 13; 26; 39; 78. 126: 1; 2; 3; 6; 7; 42; 63; 126. Mit veszünk észre? Vegyük észre, hogy a 2, 3, 6 osztók közösek mindegyik számban. Az a fontos ebben, hogy ha a 2 és a 3 szerepel, akkor már a 6-nak is szerepelni kell. Készítsünk halmazábrát a 2-vel és a 3-mal osztható számok halmazával, az alaphalmaz legyen a kétjegyű számok halmaza. Helyezzük el az eddigi számokat, figyeljük meg, hogy a két halmaz közös részébe kerültek. Ezután írjunk a további részekbe is számokat a gyerekek javaslatai alapján. Állapítsuk meg a 6-tal oszthatóság szabályát! Utána vegyük elő a 2-vel és 5-tel osztható számok korábban elkészített halmazábráját, a 4- gyel és 25-tel osztható számokét, és állapítsunk meg hasonló szabályt: Egy természetes szám pontosan akkor osztható 10-zel, ha osztható 2-vel és 5-tel. Egy természetes szám pontosan akkor osztható 100-zal, ha osztható 4-gyel és 25-tel. TUDNIVALÓ: Egy természetes szám pontosan akkor osztható 6-tal, ha osztható 2-vel és 3-mal.
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 24 Magasabb óraszámban tanulóknak vagy gyorsabban haladóknak további összetett oszthatósági szabályokat mutathatunk, de a szabályalkotás (a-val és b-vel osztható számok oszthatók a b-vel) 6. osztályban a relatív prímek fogalma előtt korai és felesleges. Viszont fontos látni azokat a példákat, amikor a ki nem mondott szabály nem működik (ha a és b nem relatív prímek) 3. Készítsük el a 3-mal és 5-tel osztható számok halmazábráját, írjunk mindegyik részbe számokat! a) Mivel osztható mindegyik, a két halmaz közös részébe eső szám? 15-tel b) Van-e olyan 15-tel osztható szám, amely nem osztható 3-mal? nincs c) Van-e olyan 15-tel osztható szám, amely nem osztható 5-tel? nincs d) Mi a 15-tel oszthatóság szabálya? Egy természetes szám pontosan akkor osztható 15-tel, ha osztható 3-mal és 5-tel. 4. a) Az alábbi számok közül melyik osztható 12-vel, melyik nem? Hogyan lehet gyorsan eldönteni? 789; 552; 390; 464; 6274; 1236; 8172. 789 nem osztható, mert páratlan, a 12 többszörösének pedig párosnak kell lenni. 552 osztható. 390 nem osztható 12-vel, mert nem osztható 4-gyel, bár osztható 6-tal is és 2-vel is! 6274 nem osztható se 3-mal, se 4-gyel. 1236 nem osztható 3-mal, bár 4-gyel osztható. 8172 osztható 3-mal is és 4-gyel is, így 12-vel is. b) Mely számokkal kell feltétlenül osztható legyen egy természetes szám ahhoz, hogy osztható legyen 12-vel? (2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal) c) Mi lehet a 12-vel oszthatóság szabálya? Próbáljunk az előzőhöz hasonló szabályt találni! (Egy természetes szám pontosan akkor osztható 12-vel, ha osztható 3-mal és 4-gyel.) d) Igaz-e, hogy ha egy természetes szám osztható 2-vel és 6-tal, akkor osztható 12-vel? (nem, például a 6, 18 ilyen, mégsem oszthatók 12-vel) 2. Gyakorlás Hagyjuk a táblán a 2-vel és 3-mal osztható számok halmazábráját, és a gyerekek kezdjék önállóan megoldani a Feladatgyűjtemény: 17 18. feladatát. A 17. feladatot rögtön beszéljük meg, ha készen vannak. Azt gondolom, hogy itt szüksége van minden gyereknek arra, hogy lássa, hogy egyedül is boldogul. A 19 21. feladat gyakorlásként adható. Ha az összetett oszthatósági szabályokkal bővebben tudtunk foglalkozni, akkor erre is van két gyakorló feladat: 22 23. 3. Barkochba A következő barkochbát úgy játsszuk, hogy a tanár gondol egy tulajdonságra, például osztható 5-tel. A gyerekek sorban mondanak kétjegyű számokat, és a tanár azt mondja meg, hogy a gyerekek által mondott számnak megvan-e a tanár által gondolt tulajdonsága. Ebből a gyerekeknek ki kell találni, hogy melyik tulajdonságra gondolt a tanár. Néhány próbajáték után a gyerekek csoportban is játszhatnak, az gondolja a következő tulajdonságot, aki az előzőt kitalálta. Érdemes a táblára felírni a számokat két csoportba aszerint, hogy megvan-e a gondolt tulajdonsága vagy nincs, így könnyebb átlátni.
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 25 FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Hány 10-zel osztható természetes szám van, amely a) 1000-nél nem nagyobb? 101 b) 50 000-nél nem nagyobb? 5001 c) 1 000 000-nál nem nagyobb? 0 10; 1 10 100 000 10. Ez 100 001 darab szám. 2. Hány szám nem osztható 10-zel a) 100 és 300 között? 100 és 299 között 200 szám, abból 20 osztható 10-zel, tehát 180 b) 2000 és 5000 között? 2000-től 4999-ig összesen 3000 darab szám van, ezek közül minden tizedik osztható 10-zel, azaz 300 darab, a maradék 2700 szám nem osztható 10-zel. 3. Leírtuk egy-egy kártyára a pozitív kétjegyű számokat, és beletettük egy kalapba. Legkevesebb hány számkártyát kell kihúzni, hogy biztosan legyen köztük olyan, amelyik nem osztható 10-zel? A 10-zel oszthatók: 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90, tehát 9 számot kihúzhatunk úgy, hogy mind osztható legyen 10-zel, a tizedik már biztos nem osztható. 4. A kétjegyű számok között páros szám vagy páratlan szám van több? 10-11, 12-13, 98-99, párba állíthatók, tehát ugyanannyi páros, mint páratlan szám van. 5. Egy számról a következőket tudjuk: négyjegyű. az első és az utolsó számjegye megegyezik. a tízes helyiértéken álló számjegy 2-vel kisebb az egyes helyiértéken állónál. a százas helyiértéken a legkisebb páros számjegy áll. a szám osztható 5-tel. 5035 6. Keressük azokat a 4-gyel osztható, 6-ra végződő, ötjegyű természetes számokat, amelyek első három számjegye egyforma páros számjegy! Végződhet 16-ra, 36-ra, 56-ra, 76-ra és 96-ra, és 2; 4; 6; 8 közül bármelyik páros szám lehet az első három helyiértéken levő egyforma számjegy, így 5 4 = 20 lehetőség van. 7. Hány 8600-nál nem nagyobb, de 7500-nál nagyobb 25-tel osztható természetes szám van? 44. Számolhatjuk százasonként, 11 darab százas, minden százasban 4 db 25-tel osztható szám van. Az elején a 00-ra végződő nincs benne, a végén viszont igen, így rendben van. Azt is megnézhetjük, hogy hányszorosa a 25-nek a 7500 és a 8600. 7500 = 25 300, 8600 = 25 344, így 344 300 = 44 megfelelő szám van, mert a 7500 nem tartozik bele, a 8600 viszont igen. 8. Peti új perselyt kap a születésnapjára, amibe minden nap este beletesz 4 forintot. Melyik pénzösszeg lehet a perselyben és melyik nem, amikor feltöri, ha a persely kezdetben üres volt, és közben nem vett ki belőle? 5642 Ft; 4984 Ft; 8763 Ft; 9571 Ft. 4984 Ft lehetett benne, a többi összeg nem lehetséges.
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 26 9. Nyári Olimpia 2004-ben volt Athénban. Melyik olimpiai év, és melyik olimpia előtti év az alábbiak közül (tegyük fel, hogy semmi sem gátolja, hogy rendben folytatódjon a hagyomány)? 1968; 1975; 1984; 1997; 2012; 2036; 2025; 2017; 2052; 2111. olimpiai év:1968; 1984; 2012; 2036; 2052; olimpia előtti év: 1975; 2111. 10. Írd le azokat a 8-cal osztható összegeket, amelyek első tagja az első sorból, második tagja a második sorból való! 200; 300; 2500; 8600; 72; 28; 36; 56. 200 + 72; 200 + 56; 300 + 28; 2500 + 28; 2500 + 36; 8600 + 72; 8600 + 56. 11. Az alábbi számok közül válaszd ki azokat, amelyek a) oszthatók 4-gyel; 892; 652; 1728; 4560; 6872; 9432; 15 276; 2 527 816. b) oszthatók 8-cal; 1728; 4560; 6872; 9432; 2 527 816. c) 4-gyel oszthatók, de 8-cal nem; 892; 652; 15 276. d) a 2; 4; 8 közül pontosan két számmal oszthatók; Ezek csak a 2 és a 4 lehetnek, mert ha 8-cal osztható, akkor már 2-vel és 4-gyel is osztható. A 2-vel és 4-gyel oszthatók helyett elég azt mondani, hogy osztható 4-gyel, így ezek ugyanazok, mint az előző pontbeliek. e) a 2; 4; 8 közül legfeljebb egy számmal oszthatók. Ez az egy szám csak a 2 lehet, így azok a számok jók, amelyek nem oszthatók 2-vel vagy amelyek oszthatók 2-vel, de 4-gyel nem. Együtt azt mondhatjuk, hogy nem osztható 4-gyel, ebből ugyanis következik, hogy nem osztható 8-cal sem.(ezeket a meggondolásokat érdemes megbeszélni a gyerekekkel!) 2367; 594; 3714; 52 346; 128 783. 892; 2367; 594; 652; 1728; 4560; 6872; 3714; 9432; 15 276; 52 346; 128 783; 2 527 816. 12. Az alábbi számok közül melyek azok, amelyeknek osztója a a) 3; 2356; 4190; 53 827; 8822; b) 9; 2356; 9552; 4190; 53 827; 8822; c) 4; 4190; 53 827; 632 853; 8822; d) 8. 2356; 4190; 53 827; 632 853; 45 972; 8822; 2356; 6852; 18 648; 4190; 53 827; 632 853; 45 972; 8822; Ezekkel a számokkal tündérek játszanak. Az Ezres Tündér az ezres helyiértéken álló számjegyet változtathatja meg, a Százas Tündér a százas helyiértéken álló számjegyet, a Tizes Tündér a tizes helyiértéken álló számjegyet, az Egyes Tündér az egyes helyiértéken álló számjegyet változtathatja meg úgy, hogy a kapott szám már osztható legyen a megfelelő osztókkal! Végezd el a munkájukat! Keress több lehetőséget!
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 27 a) 3-mal oszthatók Ezres Százas Tízes Egyes 2356 1356; 4356; 7356 2256; 2556; 2856 2316; 2346; 2376 2352; 2355; 2358 4190 2190; 5190; 8190 4290; 4590; 4890 4110; 4140; 4170 4191; 4194; 4197 53 827 52 827; 55 827; 58 827 53 127; 53 427; 53 727 53 817; 53 847; 53 877 53 820; 53 823; 53 826; 53 829 8822 3822; 6822; 9822 8022; 8322; 8622; 8922 8802; 8832; 8862; 8892 8820; 8823; 8826; 8829 b) 9-cel oszthatók Ezres Százas Tízes Egyes 2356 4356 2556 2376 2355 9552 6552 9252 9522 9558 4190 8190 4590 4140 4194 53 827 55 827 53 127 53 847 53 820; 53 829 8822 6822 8622 8892 8820; 8829 c) 4-gyel oszthatók Ezres Százas Tízes Egyes 4190 4100; 4120; 4192; 4196 4140; 4160; 4180 53 827 53 820; 53 824; 53 828 632 853 632 852; 8822 8812; 8832; 8852 632 856 8820; 8824; 8828 d) 8-cal oszthatók Ezres Százas Tízes Egyes 2356 2256; 2656; 2856 2336; 2376 2352 4190 4120; 4160 4192 53 827 53 824 632 853 632 856 45 972 8822 8832; 8872 8824 A feladatot csoportban is megoldhatják a gyerekek, kiosztva egymás közt a tündérek szerepét, utána összesítjük az eredményeket. 13. A 2, 5 és 6 számjegyek egyszeri felhasználásával hányféle háromjegyű számot lehet készíteni, amelyik a) osztható 3-mal; Egyet sem, mert a számjegyek összege 13, nem osztható 3-mal. b) osztható 4-gyel; 256; 652 c) osztható 9-cel. Egyet sem, mert a számjegyek összege 13, nem osztható 9-cel. d) Vizsgáld meg a lehetőségek számát, ha mindegyik számjegyet többször is felhasználhatod! 3-mal oszthatók: 222; 225; 252; 522; 255; 525; 552; 555; 666
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 28 4-gyel oszthatók: 256; 556; 656; 252; 552; 652. 9-cel oszthatók: 225; 252; 522; 666. Nagyon tanulságos, hogy a 3-mal, 9-cel oszthatóság szempontjából a számjegyek sorrendje nem számít. 14. Hagyd el a legkevesebb számjegyet a 12 875 234 számból, hogy a megmaradt szám osztható legyen a) 3-mal; 1 875 234; 1 275 234; 1 287 234; 1 287 534 (figyeljük a számjegyek összegének 3-as maradékát, az alapján hagyjunk el számjegyet) b) 9-cel; 1 287 234 (figyeljük a számjegyek összegének 9-es maradékát, az alapján hagyjunk el számjegyet) c) 4-gyel; 1 287 524 d) 8-cal. 12 824 15. Az alábbi számok közül melyik osztható 3-mal, melyik 9-cel is? a) 576 892 611 748 235 számjegyeinek összege 74, annak számjegyeinek összege 11, tehát nem osztható se 3-mal, se 9-cel. b) 17 865 428 575 784 247 487 192 647 612 számjegyeinek összege 147, annak számjegyeinek összege 12, tehát osztható 3-mal, de 9-cel nem. c) 7 234 937 563 573 635 927 482 638 462 846 722 számjegyeinek összege 153, annak számjegyeinek összege 9, tehát osztható 3-mal is és 9-cel is. d) 140 darab 4-es számjegyből álló szám. Számjegyeinek összege 140 4 = 560, annak számjegyeinek összege 11, tehát nem osztható se 3-mal, se 9-cel. 16. Van-e olyan csupa 5-ös számjegyből álló szám, amely a) osztható 3-mal; 555 b) osztható 9-cel; 9 darab 5-ös számjegyből álló szám. c) osztható 6-tal? Nincs, mert nem lehet osztható 2-vel. 17. Döntsd el az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis. a) Ha egy természetes szám osztható 6-tal, akkor osztható 2-vel is. Igaz, mert a 2 osztója a 6-nak. b) Van olyan 2-vel osztható szám, amelyik nem osztható 6-tal. Igaz, pl. 8. c) Minden 3-mal osztható szám osztható 6-tal is. Hamis, pl. 9. d) Ha egy szám nem osztható 6-tal, akkor se 2-vel, se 3-mal nem osztható. Hamis, pl. 8 osztható 2-vel, a 9 pedig 3-mal, és egyik sem osztható 6-tal.
0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 29 e) Ha egy szám osztható 4-gyel és 6-tal, akkor osztható 4 6 = 24-gyel is. Hamis, pl. 12. Ez arra figyelmeztet, hogy ha két számmal osztható egy szám, attól még nem biztos, hogy osztható a szorzatukkal is, csak akkor, ha a két osztó relatív prím, de ezt még így nem kell tudni a gyerekeknek, csak azt, hogy vigyázni kell. 18. Milyen számjegyet jelölnek a betűk, ha a számok oszthatók 6-tal? a) 5AA A = 2; 8 b) B7B B = 4 c) CC2CC C = 1; 4; 7 d) 1DDD D = nincs megoldás 19. Mennyi a 3-mal osztható kétjegyű páros számok összege? Hatosával jönnek a számok: 12 + 18 + 24 + + 96 = (12 + 96) 15/2 = 810 alkalmazva a kis Gauss féle trükköt, hogy alá írjuk még egyszer az összeget, az egymás alatti párok összege mindig 12 + 96, és 15 darab ilyen pár van. 20. Hány olyan négyjegyű természetes szám van, amely csak 1 vagy 2 számjegyeket tartalmaz és osztható 6-tal? A szám 2-re kell végződjön és a számjegyek összege osztható kell legyen 3-mal, így a számjegyek csak 1, 1, 2, 2 lehetnek, melyeket 6-féleképpen lehet sorba rakni. Folytathatjuk ötjegyű, hatjegyű számokkal, ha megy a gyerekeknek. 21. Peti vásárolt 5 darab Túró rudit egyenként 45 forintért, 3 doboz 147 forintos tejet és 6 joghurtot darabját 38 forintért. A pénztáros 893 forintot kért tőle. Peti rögtön válaszolt, hogy a pénztáros biztosan tévedett. Hogyan jöhetett rá olyan gyorsan? Mindegyik tétel árának osztója a 3, így az összegnek is osztója kell legyen, de a 893 számjegyeinek összege 20, ami nem osztható 3-mal, tehát az összegnek a 3 nem osztója. 22. Döntsük el, a következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis! a) Ha egy szám osztható 45-tel, akkor osztható 6-tal is. Hamis, mert nem biztos, hogy páros. b) Ha egy szám osztható 45-tel, akkor osztható 3-mal is. Igaz, mert a 45-nek a 3 osztója. c) Ha egy szám osztható 45-tel, akkor osztható 15-tel is. Igaz, mert a 45-nek a 15 osztója. d) Ha egy szám osztható 3-mal és 15-tel, akkor osztható 45-tel is. Hamis, például a 30 osztható 3-mal és 15-tel, de nem osztható 45-tel. e) Ha egy szám osztható 5-tel és 9-cel, akkor osztható 45-tel is. Igaz. 23. Az alábbi számok egyikére gondolt három gyerek, és a következőket mondta róla: Anna: A szám osztható 3-mal. Bori: A szám osztható 15-tel. Csaba: A szám osztható 45-tel. 390; 495; 675; 530; 831; 923. Állításaik közül azonban csak egy igaz. Melyik számra gondoltak? Ha egy szám osztható 45-tel, akkor 15-tel és 3-mal is, tehát az egy igaz állítás Csabáé nem lehet. Ha egy szám osztható 15-tel, akkor 3-mal is, tehát az egy igaz állítás Borié sem lehet. Így Anna mondott igazat, a másik kettő hamisat. Arra a számra gondoltak, amelyik osztható 3- mal, de nem osztható 15-tel ( és így 45-tel sem), ezt legkönnyebben úgy ellenőrizhetjük, hogy nem osztható 5-tel. Ez a szám pedig a 831.