EMIR azonosító: TÁMOP-3..8-09/-00-0004 MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 4 ÍRÁSBELI VIZSGA Ideje: 04. április 4. JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatási Hivatal Cím: H 055 Budapest, Szalay u. 0-4. Levelezési cím: 363 Budapest, Pf. 9. Tel: + 36 374-305, fax: + 36 374 386 www.oktatas.hu
Fontos tudnivalók Formai előírások:. A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, a tanári gyakorlatnak megfelelően jelölve a hibákat és a hiányokat.. A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsőben a feladatra adható maximális pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette levő téglalapba kerül. 3. Kifogástalan megoldás esetén elég a maximális pontszám beírása a megfelelő téglalapokba. 4. Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra. 5. Az ábrán kívül a ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti. Tartalmi kérések:. Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk. Amennyiben azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivel egyenértékű részeit, és ennek alapján pontozzon!. A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók, hacsak az útmutató másképp nem rendelkezik. Az adható pontszámok azonban csak egész pontok lehetnek. 3. Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, és a megoldandó probléma lényegében nem változik meg, akkor a következő részpontszámokat meg kell adni. 4. Elvi hibát követően egy gondolati egységen belül (ezeket az útmutatóban kettős vonal jelzi) a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont. Ha azonban a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel, mint kiinduló adattal helyesen számol tovább a következő gondolati egységben vagy részkérdésben, akkor erre a részre kapja meg a maximális pontot, ha a megoldandó probléma lényegében nem változott meg. 5. Ha a megoldási útmutatóban zárójelben szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor ennek hiánya esetén is teljes értékű a megoldás. 6. Egy feladatra adott többféle megoldási próbálkozás közül csak egy, a vizsgázó által megjelölt változat értékelhető. 7. A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális pontszámot meghaladó pont) nem adható. 8. Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel. 9. A vizsgafeladatsor II. B részében kitűzött 3 feladat közül csak feladat megoldása értékelhető. A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben feltehetőleg megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, amelynek az értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába. Ennek megfelelően a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani. Ha mégsem derül ki egyértelműen, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését nem kéri, akkor automatikusan a kitűzött sorrend szerinti legutolsó feladat lesz az, amelyet nem kell értékelni. írásbeli vizsga / 4
. a = pont Összesen: pont Megjegyzés: A sorozat első vagy harmadik tagjának kiszámításáért jár.. pont Összesen: pont Megjegyzés: Az a megállapítás, hogy 6 olyan tanuló van, aki mindkét fakultációra jár, ot ér. 3. első megoldás Az egyenes általános, y = mx + b alakjában b = 8. 0 = m 4 + 8 m = 3. második megoldás Ábra, melyen a vizsgázó jelöli azt a derékszögű háromszöget, amelyből az egyenes m meredeksége meghatározható. A háromszög két befogójának hossza, illetve 4 egység. m = I. 4. A vizsgázó által rajzolt gráfnak 7 éle van. A vizsgázó által rajzolt gráfban ötből négy csúcs mindegyikének a fokszáma 3. A csúcsok fokszámának összege 4. Nem egyszerű gráf is elfogadható. 5. A) hamis B) igaz C) hamis pont Összesen: pont jó válasz esetén, kevesebb jó válasz esetén 0 pont jár. írásbeli vizsga 3 / 4
6. A kör középpontja: (3; ), a kör sugara 4 egység, a kör egyenlete: ( x 3) + ( y + ) = 6. 7. 40 pont Összesen: pont Szorzat alakban megadott megoldás is elfogadható. 8. A két idegen nyelv kétféleképpen következhet egymás után. A másik három tárgy lehetséges sorrendjeinek a száma: 3!(= 6). Így a feltételeknek megfelelő sorrendek száma: 3! =. Megjegyzés: Ha a vizsgázó az esetek felsorolásával adja meg a jó választ, akkor 3 pontot kapjon. Ha a felsorolásban egy hiba van (rossz sorrend szerepel, vagy kimarad egy jó sorrend), akkor pontot, ha két hiba van, akkor ot kapjon, kettőnél több hiba esetén nem jár pont. 9. BD = a + b pont Összesen: pont 0. b = 9 pont Összesen: pont Megjegyzés: b 4 = 6 vagy b 4 = 36 megállapításáért jár.. Ábra az adatok feltüntetésével. Ez a pont akkor is jár, ha a vizsgázó ábra nélkül jól dolgozik. 5 sin α = 300 α 0 írásbeli vizsga 4 / 4
. P ( A) = P ( B) = 0 P ( C) = = 8 4 Megjegyzés: Százalékban megadott válaszok is elfogadhatóak. II. A 3. a) Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve: 9x = 8x +, rendezve: 9x 8x = 0. A másodfokú egyenlet megoldásai: x =, x =. 9 A nem gyöke az eredeti egyenletnek, 9 az gyöke az eredeti egyenletnek. Ez a pont akkor is jár, ha a vizsgázó a négyzetgyökfüggvény értelmezési tartományára és értékkészletére hivatkozva kapja meg ugyanezt az eredményt. 3. b) (A logaritmus azonosságai alapján:) 8 log3 =. x + (A logaritmus definíciója alapján:) 8 = 9. x + Rendezve x =. Az egyenlet megoldásai x =, és x =. Ellenőrzés. írásbeli vizsga 5 / 4
4. a) Thalész tétele értelmében az A csúcsból a BE átmérő derékszög alatt látszik. pont OA = OB = OE = r. Az AOB és AOE háromszögek egyenlő szárú (és a szimmetria miatt) derékszögű háromszögek. A BCDE négyszög felbontható három szabályos háromszögre, ezért a C és a D csúcsnál lévő belső szögek nagysága γ = δ = 0. Az ABE háromszög derékszögű és egyenlő szárú, így az alapon fekvő szögeinek nagysága 45, azaz a B és E csúcsnál lévő szögek nagysága β = ε = 05. Megjegyzés: Ha a vizsgázó a kérdéses szögek nagyságát indoklás nélkül jól adja meg, akkor ezért összesen pontot kapjon. 4. b) Az ABE (derékszögű, egyenlő szárú) háromszög BE oldalához tartozó magassága,5 cm, 3,5 így területe t = ( =,5) (cm ). Az OBC szabályos háromszög területe:,5,5 sin 60 0,974. A BCDE trapéz BE alapja 3 cm, CD alapja,5 cm, magassága,5 3 m = (,99) (cm). A BCDE trapéz területe: t,93 (cm ). A BCDE trapéz területe ennek háromszorosa: ). Az ötszög területe (a kért kerekítéssel) t + t 5, (cm ). Megjegyzés: Ha a vizsgázó r = 3 cm-rel számol, akkor legfeljebb 5 pontot kaphat. írásbeli vizsga 6 / 4
5. a) A csoport létszámának 37,5%-a 6, így a csoport létszáma 6. A kettesek száma, a hármasok száma 4, a négyesek száma 4. 5. b) 3 + 9 3+ 8 4 + 0 5 Az osztályzatok átlaga: = 30 pont Összesen: 4 pont = 3,83. Az osztályzatok módusza 5, mediánja 4. Összesen: 4 pont jó válasz esetén, kevesebb jó válasz esetén 0 pont jár. Bármilyen, legalább egy tizedesjegyre kerekített helyes érték elfogadható. 5. c) A diagramon egy tanulónak egy -os középponti szögű körcikk felel meg. 0 tanuló 5-ös: 0, 8 tanuló 4-es: 96, 9 tanuló 3-as: 08, 3 tanuló -es: 36. Kész kördiagram, egyértelmű jelölésekkel és megközelítően pontosan ábrázolt középponti szögekkel. Ez a pont akkor is jár, ha ezek a gondolatok csak a megoldásból derülnek ki. pont Összesen: 4 pont írásbeli vizsga 7 / 4
II. B 6. a) 7π + sin = 6 = Összesen: pont Ez a pont akkor is jár, ha ez a gondolat csak a végeredményből derül ki. 6. b) 3π Az f függvény egy minimumhelye pl.. pont Ez a pont jár, ha a vizsgázó megadja a függvény összes minimumhelyét. Összesen: pont Megjegyzés: Ha a vizsgázó fokban adja meg a választ, akkor ezért ot veszítsen. 6. c) Az f függvény értékkészlete: [ ;3]. pont Összesen: pont Más helyes jelölés is elfogadható. 6. d) Keressük az + sin x = 0 egyenlet megoldásait. * sin x = * 7π Ebből x = + kπ, ahol k Z, pont 6 π vagy x = + kπ, ahol k Z. pont 6 Megjegyzések: Ha a vizsgázó a gyököket fokokban vagy a periódussal együtt vegyesen adja meg, akkor ezért összesen ot veszítsen. Ha a vizsgázó nem veszi figyelembe a periódust, akkor ezért pontot veszítsen. Ha egyszer sem tünteti fel k lehetséges értékeit, akkor ezért összesen ot veszítsen. A *-gal jelzett két pontot a következő gondolatmenetért is megkaphatja a vizsgázó: A vizsgázó (vázlatosan) ábrázolja az f : R R, f ( x) = + sin x függvény legalább egy periódusnyi részét, és jelöli a zérushelyeit. pont írásbeli vizsga 8 / 4
6. e) Az A és B halmaz számegyenesen történő helyes ábrázolása. - pont = 5 π A B ; π A \ B = π 5π ; 6 pont Összesen: 5 pont Ha a vizsgázó számegyenesen ábrázolva vagy egyenlőtlenségjeleket használva jól adja meg a műveletek eredményeit, akkor teljes pontszámot kapjon. írásbeli vizsga 9 / 4
7. a) (Jelölje a sorozat első tagját a, különbségét d.) A sorozat ötödik tagja: a + 4d 6, = + d = a tizenkettedik tag: a 37. A sorozat különbsége: d = 3, első tagja pedig a = 4. (Jelölje n a cseréhez szükséges hónapok számát.) 4 + ( n ) 3 Ez a 3 pont akkor is jár, Megoldandó az S n = n = 650 ha a vizsgázó egyenlet helyett egyenlőtlenséggel egyenlet. számol. Rendezve: 3n + 5n 300 = 0. pont 65 Ennek megoldásai: n = 0 és n =, 3 de ez utóbbi nem felel meg a feladat szövegének. 0 hónapig tart lecserélni az összes buszt. Összesen: 0 pont Megjegyzés: Ha a vizsgázó (a differencia és az első tag kiszámítása után) a sorozat tagjait felsorolva helyesen válaszol, akkor teljes pontszámot kapjon. 7. b) Annak valószínűsége, hogy a kiválasztott busz új: 30 = = 0,. 650 5 Annak valószínűsége, hogy a kiválasztott busz régi: 50 4 = = 0, 8. 650 5 Ha legalább négyszer választanak régi buszt, akkor vagy pontosan négy, vagy pontosan öt alkalommal teszik ezt. (A binomiális eloszlás képletét használva:) 4 5 4 P (4 alkalom) = ( = 0,4096 0,4), 4 5 5 5 0 Ez a pont akkor is jár, ha ezek a gondolatok csak a megoldásból derülnek ki. 5 4 P (5alkalom) = ( = 0,3768 0,33). 5 5 5 A kérdéses valószínűség a fenti két valószínűség összege, azaz 0,74. Összesen: 7 pont Ez a pont akkor is jár, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. Ez a pont akkor is jár, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. Más, helyes és ésszerű kerekítés vagy a valószínűség pontos értékének megadása is elfogadható. írásbeli vizsga 0 / 4
8. a) (A derékszögű háromszög AC befogójának hosszát a Pitagorasz-tétel segítségével számíthatjuk ki:) AC = 7 8 = 5 (dm). A keletkező test egy forgáskúp, Ez a pont akkor is jár, ha a vizsgázó az adatok melynek magassága 5 dm, alapkörének sugara feltüntetésével jó ábrát pedig 8 dm hosszú. készít. A kúp térfogata: V = 8 π 5 3 005 (dm 3 ). Összesen: 5 pont Más, ésszerű és helyes kerekítés is elfogadható. 8. b) A körcikk határoló körívének hossza a kúp alapkörének kerületével egyenlő, vagyis i = 8 π = = 6π ( 50,7) (dm). (A körcikk R sugarának hossza a kúp alkotójának hosszával egyenlő, így) R = 7 dm. A körcikk középponti szögét β-val jelölve, felírható a 6 β 6π következő aránypár: 360 = pont β = π (rad), 7 34π amiből a kérdéses szög β 69,4. Más, ésszerű és helyes kerekítés is elfogadható. 8. c) Kilenc embert egy hat- és egy négyszemélyes sátorban kétféle módon lehet elhelyezni: () a hatszemélyes sátorba 6-an, a négyszemélyesbe 3-an kerülnek vagy () a hatszemélyesbe 5-en és a négyszemélyes Ez a pont akkor is jár, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. sátorba 4-en kerülnek. 9 Az () esetben a lehetséges elosztások száma: = 6 = 84. 9 A () esetben a lehetséges elosztások száma: = 5 = 6. Összesen 0-féleképpen helyezkedhetnek el a sátrakban. Megjegyzés: Ha a vizsgázó csak az egyik esetben adja meg jól a lehetséges elhelyezkedések számát, akkor ezért 3 pontot kapjon. írásbeli vizsga / 4