Informatka alapja-1 Bevezetés, számábrázolás 1/6 Bevezetés Nem törekszünk pontos defnícókra! Informácó: a valóság képe Informácó lehet: - kép (rajz, fénykép) - szöveg (beszéd, írás) - zene (Ez mlyen valóság képe? Megjelenhet nformácó, mnt a tudat képe, nformatka szempontból ekkor tudatunk a valóság) - ember által nem olvashatóan tárolt - általában elektronkus- nformácó: számítógép memórájában, művelet egységeben. Valóság leképezése: pl. fényképezés, valamnek a leírása (Elképzelt valóság leképezése: az összes tervezés) Valóság vsszaállítása: tervek megvalósítása, pl. CNC szerszámgép programmal egy munkadarab elkészítése, vagy zene lejátszása hangszeren. Informatka: Az nformácó létrehozása, feldolgozása, továbbítása. Ebbe nagyon sok mnden beletartozk, pl. telefon, rádó, TV. Szűkebben az, am technka értelemben az nformácóhoz tartozk. Általában leszűkítk a dgtáls nformácó kezelésére, azon belül s a számítógépes nformácókezelésre. Számábrázolás, artmetka műveletek (Szám: valamlyen mennység reprezentácója, tpkus nformácó) Általánosan u.n. helyértékes ábrázolás. Mndennap életben: Egész szám: 1.. lakos Tzedes szám: 1,86m magas. Előjeles szám: -12 C Alapvető ábrázolás forma: szabad formátumú [előjeles] [tzedes] decmáls szám: N = 123,45 = ( 1) (1*1 + 2*1 + 3*1+ 4*1/1 + 5*1/1) = ( 1) (1*1 Általánosan: k d = j N = ± * 1 2 1 1 2 + 2*1 + 3*1 + 4*1 + 5*1 )
Informatka alapja-1 Bevezetés, számábrázolás 2/6 k: egész jegyek száma j: tzedesjegyek száma. j és k az ábrázoln kívánt számtól függ. Gyakran a jegyek száma kötött. Például Autó nap Km számláló...99999.9. Pénzügy elszámolásokban gyakran 2 tzedesjegy. Exponencáls (tudományos) forma : N * 1 e N: Az előzőekben megsmert decmáls szám e: exponens. Főleg akkor használják, ha a szám túl nagy vagy túl kcs, és nem fér el a rendelkezésre álló helyen. Gyakran használt esete: Normalzált exponens, például 1 <= N < 1. Bármlyen szám normalzálható. Szokásos megadás: 123,45 = 1,2345E2 = 1,2345*1 2 Tpkus példa: Kcst jobb kalkulátor (pl. 1 jegyű). Ha a szám nem fér el 1 jegyen, átvált exponencáls formára. A programok numerkus kmenet adatanál s ezt a módszert használják, hacsak nncs másképpen beállítva. Más számrendszerek A számrendszer alapja nem csak 1 lehet. Mellette a leggyakorbb a 2, de bnárs adatok ábrázolására gyakran használnak hexadecmáls számokat (16-os számrendszer, a számjegyek: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), régebben gyakor volt az oktáls számábrázolás (8-as számrendszer, a számjegyek:,1,2,3,4,5,6,7). A számrendszer jelölhető a szám után ndexben: 1A5 16 (számítástechnkában 1A5h vagy $1A5) 172 8 Számrendszerek között konverzó: Másk számrendszerből decmálsba A. a defnícó alapján. N = 1A5 16 = 1 * 16 2 + 1 * 16 1 + 5 * 16 = 256 + 16 +5 = 421 B. Vesszük a legnagyobb jegyet. Ha van még jegy, az eddg összeget szorozzuk a számrendszer alapjával, és hozzáadjuk a következő jegyet. Ez csak egész számok esetén működk: 1A5 16 : 1 * 16 + A = 26 27 * 16 + 5 = 421.
Informatka alapja-1 Bevezetés, számábrázolás 3/6 Decmálsból másk számrendszerbe. A. Megpróbáljuk kvonn a másk számrendszer alapjának hatványat a számból. Pl. menny 335 bnársan? (kettő hatványa: 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1) 333 256 = 77 77 64 = 13 13 8 = 5 5 4 = 1 1 1= Kész. 333 = 256+64+8+4+1 333 = 256*1+128*+64*1+32*+16*+8*1+4*1+2*+1*1 = 11111 2 Hexadecmálsan először négyesével csoportosítjuk, majd a 4-es csoportot egy hexadecmáls jegyként adjuk meg: 333 = 1 1 111 = 1 4 D mert egy hexadecmáls számjegy pont 4 bnárs számjegynek felel meg (111 = 13 = Dh). B. A számot elosztjuk a másk számrendszer alapjával. A maradék a legksebb számjegy, a hányadost újra osztjuk, a maradék a következő számjegy, és így tovább, míg a szám el nem fogy. 333 átalakítása oktálsra: 333 : 8 = 41, marad 5 41 : 8 = 5, marad 1. 5 : 8 =, marad 5. Kész, mert elfogyott! 333 = 515 8 Ez bnársan: 5 1 5 11 1 11 mert egy oktáls számjegy pont 3 bnárs számjegynek felel meg. Természetesen az eredmény ugyanaz, mnt korábban. Bnárs számábrázolás Elektronkus dgtáls eszközökben gyakorlatlag mndg bnárs számábrázolást alkalmaznak. Az alkalmazott elemek kétállapotúak, ez a két állapot reprezentálja a és 1 számjegyet (btet). A gép bnárs számábrázolás formátuma többé-kevésbé kötött, azaz a szám ábrázolására használt btek száma meghatározott. Az IBM találta k sok-sok évvel ezelőtt a Byte (8 btes adat egység) fogalmát. Manapság a számokat általában n * 8 bten ábrázolják. A szokásos formák: Hossz Poztív neve Előjeles neve 8 Byte Short nteger 16 Word Small nteger 32 Long word Long Integer vagy csak Integer 64 Int64 32 Sngle float 64 Double float 8 Extended float (belső műveletvégzés formátum) 8 Ten bytes 1 vagy 2 jegyű BCD szám.
Informatka alapja-1 Bevezetés, számábrázolás 4/6 BCD számábrázolás 4 bten ábrázolunk egy decmáls számjegyet. 1 11 111 1 BCD = 8571 (1 = 8, 11 = 5, 111 = 7, 1 = 1) Előnyök pénzügy számításoknál: - nem kell Decmáls/bnárs konverzó - a tzedes számokat pontosan meg lehet adn. Már az 1/1 sem adható meg pontosan bnársan (mert 1 törzstényezős felbontása 5*2)! 8 btes bnárs tört ábrázolás esetén:.11 =.9375 <.1.111 =.115625 >.1 Bnárs számábrázolás lehetőségek: Előjel nékül egész n N: a szám = 1 N b *2 b az. bnárs jegy = Példa: 11 2 = 1 Előjeles egész A legnagyobb bt az előjel: poztív, 1 negatív. Két lehetőség: abszolutértékes Példa: 1 1 = -2 vagy Kettes komplemens n 2 n 1 1 *2 + * 2 = 2 N = b3 *8 + b * 2 = N = b n b Például n = 4-re: Bt 3 2 1 Súly -8 4 2 1 Kód Szám 111 +7 11 +6 11 +5 1 +4 11 +3 1 +2 1 +1 1111-1 111-2 111-3 11-4 111-5 11-6 11-7 1-8 A számtartomány -8... +7. A negatív számkör a poztív számkör folyatása egy 4 btes lefelé számlálón. Hasonlít egy decmáls számkerekes számlálóhoz, amelyket vsszafelé tekerve után 99 jelenk meg:
Informatka alapja-1 Bevezetés, számábrázolás 5/6 2 1 99 98 A kettes komplemens ábrázolás előnye: az összeadást (kvonást) előjeltől függetlenül lehet elvégezn: +3 11 +6 11 +3 11-3 111 +2 1-3 111-6 11-2 111 +5 11 +3 11-3 111-5 111 Bnárs összeadás ugyanúgy jegyenként átvtellel, mnt a decmáls esetben Az összeadás tábla: + = +1 = 1 1+ = 1 1+ 1 =, marad 1 Előjelváltás kettes komplemens számon: A szám btjet megfodítjuk, és hozzáadunk 1-et. Pl: +4 1-4 11-4 111 +4 11 +1 +1 11 1 Bnárs törtábrázolás Általában előjeles, a tzedesvessző az előjel után van. Pl.:,111 =1/2 + /4 + 1/8 + 1/16 = 11/16 = +,6875 (a negatív számok ekkor s kettes komplemensben szoktak lenn). Előny: a szorzás művelet nem csordul túl, ha a szorzó és szorzandó abszolut értéke ksebb, mnt 1. Úgynevezett jelfeldolgozó processzorokban használják. Lebegőpontos számábrázolás Amnt azt már láttuk, az exponencáls számábrázolásnak három összetevője van: előjel, mantssza és exponens, amhez hozzájön a szám előjele. Bnárs esetben: N = S * M * 2 E A számítástechnkában az ennek megfelelő belső ábrázolás módot lebegőpontosnak nevezk. A számítógépekben alkalmazott lebegőpontos ábrázolást szabványosították egy IEEE szabványban. A továbbakban csak ezzel foglalkozunk. Adatok tárolására 32 btes vagy 64 btes formátumot alkalmaznak, melyek csak a mantssza és exponens btszámában különböznek:
Informatka alapja-1 Bevezetés, számábrázolás 6/6 32 btes ábrázolás: S EEEEEEEE MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM Btszám 1 8 23 Btpozícó 31 3 23 22 64 btes ábrázolás: S EEEEEEEEEEE MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM Btszám 1 11 52 BtPozícó 63 62 52 51 Az ábrázolás összetevő: Az előjel + vagy Az exponens -128...127, ll. -124..123 Ha E = -128/-124, vagy E=127/123, ezek kvételek. A kvételeken belül a következők kezelhetők: o nagyon ks számok, bennük a (ezeket normalzált alakban nem lehetne megadn) o + és végtelen o sőt: nem számok s értelmezhetők (angolul Not a number ). A Mantssza normalzált: 1 <= M < 2, ezért legnagyobb btje mndg 1, amt nem s ábrázolunk (úgynevezett rejtett mantssza). Így az ábrázolható számtartományok: Típus Tartomány Értékes jegyek Méret Sngle 1.5 x 1-45.. 3.4 x 1 38 7-8 32 Double 5. x 1-324.. 1.7 x 1 38 15-16 64 Megjegyezzük, hogy a Double módban leírható szám nagyságrende sokkal nagyobbak, mnt a természetben leírható nagyságrendek, például, mnt a vlágegyetemben lévő atomok száma: Atoms n the Unverse 1 66 estmates the number of atoms n our galaxy to be n the area of 1 68 and, f dark and exotc matter are consdered, then ther numbers are possbly close to 1 69. There s a wde range of estmates gven for the number of galaxes n the unverse. Some put the number n the very low 1 bllons, others brng t much closer to the one trllon mark. The sze of other galaxes range from one mllon to hundreds of bllons of stars. The mass of some of the largest galaxes s trllons of tmes the mass of our sun. Agan, t s supposed that much of ths mass conssts of dark and exotc matter. If we consder our galaxy to be of average sze, and use the hghest estmates for both the number of atoms n our galaxy and the total number of galaxes, then the unverse would contan about one trllon tmes the number of atoms as our galaxy. Snce our galaxy probably has no more than 1 69 atoms, ths would mean that at most the unverse contans 1 69 x 1 12 atoms n all. Ths works out to be just under 1 81. If we use lower estmates for the number of atoms n our galaxy and total number of galaxes, then the total number of atoms would be as much as 2 tmes less, or wthn the area of 1 79. Hence, "atoms n the unverse" belongs on ths page whch spans from 1 78 to just under 1 81.