IV.4. EGYENLŐTLENSÉGEK Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Egyenlőtlenségek megoldási módszerei, egyenlőtlenségekre vezető szöveges feladatok megoldása. A legalább és legfeljebb fogalma. Előzmények Egyenletek megoldási módszerei, egyenlőtlenségek alapvető megoldási módszerei (rendezés, egyenlőtlenségek negatív számmal való szorzása). Cél A tanulók az egyenlőtlenségek megoldásában szerzett jártasságukat mélyítsék el játékos formájú feladatok megoldásával. Szöveges feladatokon keresztül a modellalkotás és a szövegértés fejlesztése. A legkisebb, legnagyobb, legalább és legfeljebb fogalmának felismerése különböző gyakorlati szituációkban. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben + Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban + Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés + Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés + Ismeretek rendszerezése + A matematika épülésének elvei Ismerethordozók használata Felhasználási útmutató A feladatsor első két feladata az egyenlőtlenségek megoldási lépéseit gyakoroltatja, a relációs jelek beírásával a tanulóknak fel kell ismerniük, hogy a negatív számmal való szorzás mikor gyakorol hatást az egyenlőtlenségre, illetve a hibakeresés játékos formában az egyenlőtlenségek rendezésének típushibáira irányítja a figyelmet. A 3. és 4. feladat szöveges problémák algebrai megfogalmazását, valamint a legalább és a legkisebb fogalmak jelentésének megértését és algebrai megfogalmazását igényli. Szemléletesen felhasználható a maimum és minimum fogalma is, ha egyenlőtlenség helyett egyenletekkel kívánunk dolgozni. Ebben az esetben monotonitási megfontolások is szükségesek. A feladatok megoldásánál ügyeljünk arra, hogy kétszeres hiba a helyes eredményt adhatja, ezért mindenképpen szükségesnek tartjuk a megoldások közös megbeszélését. IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek IV.4. Egyenlőtlenségek.oldal/5
EGYENLŐTLENSÉGEK Feladat sor HIBAKERESÉS. A következőkben ugyanazt az egyenlőtlenséget oldottuk meg többféleképpen, de kihagytuk a relációs jeleket. Írd be az egyenlőtlenségek két oldala közé tett négyzetbe a megfelelő relációs jelet! a) + 5 > 2 + 2 b) + 5 > 2 + 2 7 + 5 2 5 7 + 2 7 7 7 7 c) + 5 > 2 + 2 5 2 2 7 5 2 7 7 7 7 2. A következőkben egyenlőtlenségek megoldási menetét írjuk le. Döntsd el, hogy melyikben van hiba! Ha hibát találsz, akkor javítsd ki végig a megoldás menetében leírt számításokat vagy relációs jeleket! Keresd meg egy-egy megoldásban az összes hibát (azaz az összes olyan esetet, amikor egy egyenlőtlenségből nem következik az utána levő egyenlőtlenség)! a) b) 7 3 < 2 0 7 3 < 2 0 7 3 < 2 3 < 2 7 7 < 8 34 < 7 8 < 7 2 < c) d) 3 3 3 2 6 6 2 4 8 5 IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek IV.4. Egyenlőtlenségek 2.oldal/5
SZÖVEGELÉS 3. Írd fel egyenlőtlenséggel az alábbiakban megfogalmazott állításokat! Az egyenlőtlenségek megoldásával válaszolj a kérdésekre! a) Pisti és Sanyi testvérek. Ha Pistinek háromszor annyi pénze lenne, mint Sanyinak és még kapna 0 forintot, akkor több mint 340 forintja lenne. Mit mondhatunk Sanyi pénzéről? Mit mondhatunk Pisti pénzéről? b) Péternek háromszor annyi pénze volt, mint öccsének, Lacinak. Elhatározták, hogy vesznek egy 3500 forintba kerülő, nagy doboz építőkockát. Ehhez még kaptak édesanyjuktól 500 forintot, de még így sem tudták megvenni a játékot. Mennyi pénze lehetett Lacinak és Péternek külön-külön? c) Zsófiék udvarán sok mogyorófa van, ezért Zsófi elhatározza, hogy zsebpénzét kibővíti azzal, hogy a kertben termő mogyorót összegyűjti, megszárítja és megtöri, majd a megtisztított mogyoróbelet eladja az ismerősöknek. Zsófinak jelenleg van 5200 forintja. Kemény munkával 2,5 kiló tisztított mogyoróhoz jutott. Legalább hány forintért kell eladnia egy kiló mogyorót ahhoz, hogy meg tudja venni az új íróasztalát, ami 500 forintba kerül, ha a mogyoró kilónkénti árát 00 forintra kerek összegben állapítja meg? 4. Pistiék fürdőszobáját fel kell újítani. A fürdőszoba 2 2,5 méter alapterületű, a lakás belmagassága 2,7 méter. A felújításkor a teljes falfelületet fogják valamilyen magasságig csempézni. A csempéből a csempézendő területhez képest +0% tartalékot kell vásárolni a csempék vágásakor keletkező törések, illetve a későbbi esetleges javítások miatt. Pistiék legfeljebb 60 000 forintot tudnak a csempére költeni. a) Legfeljebb mennyit költhetnek egy négyzetméret csempére, ha teljes magasságban akarják a falat csempézni? b) A boltban kapható fürdőszobai csempék legalább 2800 Ft-ba kerülnek négyzetméterenként. Legfeljebb milyen magasságig csempézhetik ki a fürdőszobát? (A csempézendő magasság egész cm.) c) Pistiék a konyha felújítását is el akarják végeztetni. A konyha alapterülete 4 méter, a belmagasság ugyanakkora, mint a fürdőszobában. Itt 80 000 forintot szánnak a padlólapra és a csempére összesen. A padlólap árát még nem tudják, de az biztos, hogy egy négyzetméter ára legalább annyi, mint a csempe egy négyzetméter árának,3-szerese. Pistiék itt megelégednek azzal, ha a fal 80 cm magasságig van csempézve. Ebben a helyzetben legfeljebb mennyi pénzt adhatnak egy négyzetméter csempéért? IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek IV.4. Egyenlőtlenségek 3.oldal/5
MEGOLDÁSOK. a) + 5 > 2 + 2 7 + 5 > 2 7 > 7 > b) + 5 > 2 + 2 5 > 7 + 2 7 > 7 < (a 7-tel való osztás miatt) c) + 5 > 2 + 2 5 < 2 2 [a ( )-gyel való szorzás miatt] 7 5 < 2 7 < 7 7 > 7 [a ( )-gyel való szorzás miatt] > 2. a) 7 3 < 2 0 7 3 < 2 7 < 8 Helyesen: 7 < 34 8 < Helyesen: < 2 7 b) Az utolsó sorban van a hiba, a 7-tel való osztásnál megfordul az egyenlőtlenség iránya, tehát az utolsó sor helyesen: 2 >. c) 3 3 3 2 6 6 A hiba a második sorban a beszorzásnál van. A zárójelet helyettesítő törtvonal elvételekor az előjele nem, hanem + lesz, továbbá az -et is meg kell szorozni 2-vel. Helyesen: 3 3 3 2 3 4 2 2 IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek IV.4. Egyenlőtlenségek 4.oldal/5
d) 2 4 8 5 A megoldásban három hiba van, bár a végeredmény helyes. Először a beszorzásnál a zárójelet helyettesítő törtvonalak elvételekor az és az előjele nem, hanem + lesz. Másodszor pedig az utolsó előtti sorból az utolsóra térve a 4-gyel való osztás a jobb oldalon -et eredményezne, és a relációs jel is megfordulna. Ezek a halmazati hibák azonban oda vezetnek, hogy összességében a helyes eredményt kapjuk! A megoldás helyesen: 2 4 8 5 4 3. a) Legyen Sanyi pénze. Az állítás egyenlőtlenségként megfogalmazva: 3 + 0 > 340. Innen -et kifejezve > 0. Tehát Sanyinak több mint 0 forintja van. Pisti pénzéről semmilyen információt nem ad a feladat! b) Legyen Laci pénze forint, Péter pénze ekkor 3. Az alábbi egyenlőtlenség írható fel: 4 + 500 < 3500. Rendezve < 750. Tehát Lacinak kevesebb mint 750 forintja volt, Péternek pedig kevesebb mint 2250 forintja. c) Legyen forint a mogyoró kilónkénti ára. Zsófi pénze 2,5 kiló mogyoró eladása után 2, + 5200 Ft lesz, amire teljesül, hogy 2, + 5200 > 500, innen > 2520. Mivel a mogyoró ára 00 Ft-ra kerek, ezért legalább 2600 Ft-ért kell adnia egy kiló mogyorót. 4. a) Legyen a csempe ára négyzetméterenként Ft. A fürdőszoba kerülete 9 méter, így a szükséges mennyiség 9 2,7, = 26,73 m 2. Tehát annak kell teljesülnie, hogy 26,73 < 60 000, így < 2244,67, azaz legfeljebb 2244 Ft-ot adhatnak egy négyzetméter csempéért. b) Ha a csempézendő terület magasságát -szel jelöljük, akkor a szükséges mennyiség 9,, így a teljes árra a 9, 2800 < 60 000 egyenlőtlenség írható fel. Innen < 2,645, tehát legfeljebb 26 cm-es magasságig csempézhetnek. c) A csempe ára legyen négyzetméterenként, a padlólap ára négyzetméterenként legalább,3. Csempéből 4,8, = 27,72 m 2, padlólapból 2, = 3,2 m 2 szükséges. A csempe megvásárlása után 80 000 27,72 forintjuk marad, és annak kell teljesülnie, hogy 80 000 27,72 > 3,2,3. Innen 80 000 > 44,88, azaz 782,53 >. Tehát legfeljebb 782 forintért vehetnek csempét a konyhába négyzetméterenként. IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek IV.4. Egyenlőtlenségek 5.oldal/5