Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Novák Lászlóné tanár Dr. Sümegi Lászlóné szaktanácsadó Zankó Istvánné tanár Matematika 7. PROGRAM általános iskola 7. osztály nyolcosztályos gimnázium 3. osztály hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST
Alkotó szerkesztô: DR. HAJDU SÁNDOR fôiskolai docens Az 1. kiadást bírálta: ELÔD ISTVÁNNÉ ny. felelôs szerkesztô DR. MAROSVÁRI MIKLÓSNÉ vezetôtanár Dr. Czeglédy István, Dr. Czeglédy Istvánné, Dr. Hajdu Sándor, Novák Lászlóné, Dr. Sümegi Lászlóné, Zankó Istvánné, 1994, 2007 Mûszaki Könyvkiadó Kft., 2007 ISBN 978-963-16-4221-6 Azonosító szám: MK 4221-6 Kiadja a Mûszaki Könyvkiadó Kft. Felelôs kiadó: Bérczi Sándor ügyvezetô igazgató Felelôs szerkesztô: Bosznai Gábor Mûszaki vezetô: Orgován Katalin Borítóterv: Bogdán Hajnal Mûszaki szerkesztô: Trencséni Ágnes Tördelôszerkesztés és számítógépes grafika: Köves Gabriella Terjedelem: 7,87 (A/5) ív A kiadvány tömege: 154 gramm 5., átdolgozott kiadás e-mail: vevoszolg@muszakikiado.hu www.muszakikiado.hu www. hajdumatek.hu Nyomta és kötötte: a Borsodi Nyomda Kft. Felelôs vezetô: Ducsai György ügyvezetô igazgató
Tartalom ltal nos m dszertani javaslatok... 5 Alaptanterv { Kerettanterv { program { helyi tanterv.... 5 A taneszk z kr l... 6 Atananyag s a k vetelm nyek rtelmez s r l... 7 Halmazok, logika, kombinatorika... 7 Sz mtan, algebra... 8 Rel ci k, f ggv nyek, sorozatok... 11 Geometria, m r sek... 13 Val sz n s g, statisztika... 15 raterv, tanmenet... 16 raterv... 16 Tanmenet... 20 1. Gondolkozz s sz molj!... 20 2. Hozz rendel s, f ggv ny... 22 3. Egybev g s g... 24 4. Algebra... 26 5. S kidomok, testek.......... 29 6. sszefoglal feladatok... 32 A tananyag feldolgoz sa... 33 1. Gondolkozz s sz molj!... 33 A tananyag-feldolgoz s csom pontjai..... 35 Kapcsol d si lehet s gek... 36 A tananyag-feldolgoz s ttekint se... 37 2. Hozz rendel s, f ggv ny... 42 A tananyag-feldolgoz s csom pontjai..... 45 Kapcsol d si lehet s gek... 46 A tananyag-feldolgoz s ttekint se... 47 3. Egybev g s g... 50 A tananyag-feldolgoz s csom pontjai..... 51 Kapcsol d si lehet s gek... 52 A tananyag-feldolgoz s ttekint se... 52 4. Algebra... 58 A tananyag-feldolgoz s csom pontjai..... 60 Kapcsol d si lehet s gek... 61 A tananyag-feldolgoz s ttekint se... 62 5. S kidomok, testek.......... 68 A tananyag-feldolgoz s csom pontjai..... 69 Dierenci l s....... 70 Kapcsol d si lehet s gek... 71 A tananyag-feldolgoz s ttekint se... 72 6. sszefoglal feladatok... 87 3
LTAL NOS M DSZERTANI JAVASLATOK Alaptanterv { Kerettanterv { program { helyi tanterv Oktat si t rv ny nk a m dszertani szabads g mellett biztos tja a tanszabads got is. A t rv ny alapj n a tananyag kialak t sa, a k vetelm nyek megfogalmaz sa, az oszt ly sz nvonal nak megfelel t rgyal sm d kidolgoz sa a tan rnak nemcsak joga, hanem k teless ge is. A tananyagot saj t rt krend nk alapj n, a helyi tanterv aj nl sait gyelembe v ve gy kell megv lasztanunk, hogy megfeleljen az oszt ly pillanatnyi tud sszintj nek, s optim lisan seg tse el minden egyes tanul fejl d s t. A t rv ny szerint az iskola helyi tanterv t a Nemzeti alaptantervet (a tov bbiakban NAT), illetve a Kerettantervet gyelembe v ve kellett kidolgoznunk. ANAT sakerettanterv jelenlegi v ltozata t bb bels ellentmond st tartalmaz, sem pedag giailag, sem tartalmilag nem alkot egys ges, h zagmentes rendszert. Els sorban a minimumk vetelm nyek kidolgoz sa elnagyolt. A matematik ban el rt k vetelm nyek s a matematikai alapoz st is ig nyl t rstant rgyak k vetelm nyrendszere t bb helyen nem illeszkedik egym shoz. Ez rt sem a NAT, sem a Kerettanterv nem tekinthet alaptantervnek", csup n tantervi alapnak". A helyi tanterv (esetleg a tank nyvszerz ), de els sorban a szaktan r feladata, hogy kik sz b lje a NAT-ban, illetve a Kerettantervben tal lhat hi nyoss gokat, s tartalmilag, pedag giailag egys ges rendszert dolgozzon ki. V geredm nyben az oszt ly k pess g nek gyelembev tel vel, a helyi tanterv alap j n a szaktan r d nti el, hogy melyik tanul csoportnak hogyan p ti fel a tananyagot. A tananyag v gs ssze ll t sakor gondoljuk v gig a k vetkez ket: Ink bb kevesebbet tan tsunk, de azt alaposan, alkalmaz sra k pesen tan tsuk meg. Minden anyagr szn l gondoljunk a sz veg rtelmez k pess g fejleszt s re. Helyezz nk nagyobb hangs lyt a tanultak mindennapi gyakorlati alkalmaz s ra. Foglalkozzunk a sz zal ksz m t ssal, kamatsz m t ssal, a statisztikai sz m t sokkal s vizsg latokkal, a m r sekkel, a zik ban s a k mi ban tanult fogalmakkal (vektor, sebess g, id - t diagram, s r s g, kever si feladatok). A tanul k legyenek ig nyesek a feladatok megold s nak teljes s pontos kidolgoz s ban. Tanul ink k pesek legyenek rtelmezni a fogalmakat, k vetni a t rsak, a tan r s a tank nyv gondolatmenet t. L ss k meg a fogalmak k zti sszef gg seket. A k z piskol ba k sz l tanul inknak fel kell k sz lni k a k z piskol ban elv rt dedukt v t ls ly ismeretszerz si folyamatra is. Tudniuk kell, hogy mit jelent egy fogalmat deni lni, meg kell rteni k a den ci k matematikai tartalm t, l tniuk kell a tapasztalatszerz sen alapul sejt s, illetve a bizony tott t tel k zti k l nbs get. 5
A taneszk z kr l Matematika 7. A (alapszint) tank nyv Tartalmazza azt a tananyagot, amelyet mindenkinek tan tanunk kell, s amely a matematika, illetve a t rstant rgyak tov bbi tanul s hoz elengedhetetlen. L tnunk kell, hogy az alapszint" a heti 3 matematika r ra reduk lt ratervhez igazodik, amely nem biztos tja azokat az alapokat, s nem fejleszti ki azokat a k pess geket, amelyeket majd a k z piskola elv r tanul inkt l. Matematika 7. B (b v tett v ltozat) tank nyv Az alapszinten t rgyalt tananyag mellett olyan kieg sz t anyagr szeket, feladatsorokat tartalmaz, amelyek els sorban sz nvonalukban s nem a tananyag mennyis g ben haladj k meg az alapszintet. Ezeknek az anyagr szeknek a feldolgoz sa felk sz theti atanul kat a k z piskolai matematikatanul sra. A tank nyvben nyomdatechnikai m dszerrel (sz rke s v, m s feladatsz moz s) v lasztjuk el a kieg sz t " anyagr szeket a t rzsanyagt l". A tank nyv b v tett v ltozat ban megadtuk az alapszint tank nyv megfelel oldalsz mait is. Ez rt a k t v ltozat ak r egy oszt lyban is haszn lhat. Matematika 7. Gyakorl A biztos eszk ztud s kialak t s hoz tartalmaz feladatsorokat, seg theti a kor bban tanultak feleleven t s t, a hi nyoss gok p tl s t, az j fogalmak s a tanultak begyakorl s t. Matematika 7{8. Feladatgy jtem ny Ez a feladatgy jtem ny a tehets ggondoz st s az emelt szint k pz st seg theti. Matematika 7. tank nyv feladatainak megold sa Atanul k nellen rz s t seg t kiadv ny. T maz r felm r feladatsorok, matematika 7. oszt ly A felm r feladatsorok els dleges c lja, hogy seg tse a szakmai munkak z ss gek munk j t a viszonylag egys ges k vetelm nyrendszer kidolgoz s ban. A tanul i p ld nyok A s B v ltozatban tartalmazz k a feladatsorokat (egyes feladatok k l n az alapszint vagy az emelt szint sz m ra k sz ltek). A tan ri p ld nyokban a feladatsorok mellett megtal lhat k a jav t si tmutat k s az rt kel si norm k is. N gy f zetben k sz l az alapszint C s D, illetve az emelt szint E s F v ltozat, s k l n f zetben ezek jav t si tmutat ja. Ezeket a v ltozatokat csak az iskol k rendelhetik meg, akereskedelmi forgalomban a tanul k nem v s rolhatj k meg. A C, ad, aze s az F v ltozatokban a t maz r feladatsorok mellett gynevezett t j koz d felm r feladatsorokat is kidolgoztunk. Ezekkel (els sorban diagnosztikus c llal) a tov bbhalad shoz n lk l zhetetlen eszk ztud st m rhetj k fel. 6
A tananyag s a k vetelm nyek rtelmez s r l Ebben a r szben a NAT, illetve a Kerettanterv fejezeteit k vetve tekintj k t a tananyagot s a k vetelm nyeket. A tananyag feldolgoz sa c m fejezetben sz ks g eset n konkr tabban is megfogalmazzuk, hogy az adott anyagr sz t rgyal sa sor n mit kell el rn nk. Halmazok, logika, kombinatorika A tank nyvben, tanmenetjavaslatban a halmaz, logika t mak r nem alkot n ll fejezetet, a Feladatgy jtem nyben azonban igen. Ennek oka, hogy a Feladatgy jtem ny els dleges c lja a jobb k pess g tanul k felk sz t se a k z piskol ra. Ezen az vfolyamon is igaz az, hogy nem halmazelm letet tan tunk, hanem halmazszeml letet fejleszt nk. Tanul ink ismerj k az alaphalmaz", igazs ghalmaz" fogalm t. Legyenek k pesek halmazokat tulajdons ggal megadni, ll t shoz igazs ghalmazt keresni (adott alaphalmazok eset n). Legyenek k pesek vizsg lni adott (ismert) halmazok egym shoz val viszony t. Tudj k k pezni a halmaz kieg sz t halmaz t (komplementer t) adott alaphalmaz eset n, alkalmazz k helyesen a halmaz komplementere s az ll t s tagad sa k zti kapcsolatot. Adott szempontok szerint tudj k k pezni a v ges vagy j l ismert v gtelen halmazok r szhalmazait (kapcsolat a kombinatorik val is). Legyenek k pesek k t vagy h rom halmaz k z s r sz t s egyes tettj t k pezni. Ismerj k a metszet, a logikai s", valamint az uni s a logikai vagy" kapcsolat t. Tudj k ezt alkot m don alkalmazni az j fogalmak, sszef gg sek vizsg lat ban. A matematikai logik nak is csak n h ny elem t t rgyaljuk. Aszeml letfejleszt s m s t mak r k konkr t feladatainak megold s val t rt nik. A tanul k az jonnan tanult ismeretekkel kapcsolatosan is fogalmazzanak meg igaz s hamis ll t sokat, legyenek k pesek ll t sok igazs g t eld nteni. rts k meg, s az j anyagr szek elsaj t t s ban alkot m don alkalmazz k az s", vagy" kifejez seket. Tudj k a ha, akkor ", pontosan akkor, ha " t pus ll t sok igazs g t eld nteni. Haszn lj k (helyesen) ezeket a kifejez seket. Az jonnan tanult ismeretekkel kapcsolatban is rts k meg, s ismert (konkr t) halmazok eset n helyesen haszn lj k a minden", van olyan" kifejez seket. Tudj k ezeket tagadni. Tudjanak minden " s van olyan " t pus ll t sokat tfogalmazni, igazolni vagy c folni. Az els dleges c l ilyenkor az ppen t rgyalt ismeret, sszef gg s meg rt se, az eddigi ismeretekbe val be p t se, a t bbi t mak rrel val sszesz v se. A logik val kapcsolatos feladatok sz haszn lata, a mondatok szerkezete sokszor elt r a mindennapi nyelvt l. P ld ul ha azt az ll t st (kijelent mondatot), hogy Lacinak van k t n v re" egy t rsas gban halljuk, akkor ezt nem rezz k pontatlan k zl snek. gy rtj k, hogy Lacinak nem egy, nem h rom, hanem pontosan k t n v re van. A matematik ban ezt a pontosant" ltal ban meg is kell fogalmaznunk. P ld ul: A pr msz mot az jellemzi, hogy pontosan k t oszt ja van a term szetes sz mok k r ben. Az sszetett sz mokra is igaz, hogy van k t oszt juk, csakhogy ann l t bb is. 7
Legink bb az s" s a vagy" k t sz k t bbf le jelent s re kell gyeln nk. Matematika r n is haszn lhatjuk k l nb z jelent ssel ezeket a k t sz kat. P ld ul: A 10-n l kisebb term szetes sz mok k z tt t kett vel oszthat s n gy h rommal oszthat sz m van. A 10-n l kisebb term szetes sz mok k z tt k t olyan sz m van (0 s 6), amely kett vel s h rommal oszthat. M g az els mondatban az s" n vel hat s, addig a m sodik mondatban logikai s" tulajdons gokat kapcsol ssze, ilyenkor cs kkent hat s. A sz mtan, algebra s a geometria t mak r k igen sok lehet s get ny jtanak a kombinatorikus szeml let fejleszt s re s a megfogalmazott k vetelm nyek el r s re. Az erre alkalmas feladatok megold sakor sor ker l az sszes eset megkeres s re valamilyen rend szerint. A rendez si s ma lehet fadiagram vagy t bl zat. A t bl zat sz mp rjai k zti sszef gg s meg llap t sa nem k vetelm ny. Ugyanakkor a tehets gesebb, illetve a k z piskol ba k sz l tanul inkt l elv rhat, hogy k pesek legyenek a kombinatorikai m dszereket alkot m don alkalmazni a matematika k l nb z t mak reiben (sz melm let, soksz gek vizsg lata stb.). Ha heti 3 r ban reduk lt program szerint tan tunk, akkor is adjunk fel feladatokat ezekb l a t mak r kb l, m g akkor is, ha minimumk vetelm ny nincsen bel le. Sz mtan, algebra 7. oszt lyban e t mak rben z mmel az el z vekben tanultakat fejlesztj k tov bb s szil rd tjuk meg. Ez rt a tan t s m dj t, atov bbl p s (norm lalak, algebrai kifejez s, azonoss gok) m rt k t s m lys g t er sen befoly solja, hogy hatodik oszt lyban mennyit, milyen szinten saj t tottak el a tanul k, egy-egy oszt lyon bel l (esetleg k pess gcsoportok szerinti bont sban) mennyire k l nb zik a tud suk, k pess g k, igyekezet k. A tank nyv, a Gyakorl s a Feladatgy jtem ny egy ttes haszn lata lehet s get biztos t mind a hi nyok p tl s ra, mind a jobbak, a k z piskol ba igyekv k fejleszt s re. v elej n m rj k f l, hogy kell en biztos-e tanul ink sz mfogalma: ismerik-e megb zhat an a t zes sz mrendszert, k pesek-e a sz mokat a mindennapi letben (m s tant rgyakban is) helyesen alkalmazni, tudj k-e a sz mokat k l nb z alakban fel rni: t rt- (esetleg vegyessz m), tizedest rt, sszeg-, k l nbs g-, szorzat-, h nyadosalak a k l nb z alak sz mok k z l ki tudj k-e v lasztani az egyenl ket, tudj k-e a sz mokat nagys g szerint rendezni, meg tudj k-e adni racion lis sz mok hozz vet leges hely t a sz megyenesen, k pesek-e ezt alkalmazni egyenl tlens gek megold s nak keres s ben s ellen rz s ben. Fontos a racion lis sz mokkal kapcsolatos fogalomrendszer tudatos t sa: term szetes sz m, eg sz sz m, t rtsz m pozit v, negat v sz m, nempozit v, nemnegat v sz m, ellentett, abszol t rt k, reciprok. 8
Legk s bb a kor bbi anyagr szek tism tl se ut n a tanul k legyenek tiszt ban a t rt fogalm val: a t rt mint az egys g t rtr sze, mint k t sz m h nyadosa s mint k t sz m ar nya. Tudj k adott mennyis g t rtr sz t s adott t rtr szb l az egys gnyi mennyis get kisz m tani. Legyenek k pesek a t rtek egyszer s t s re, b v t s re. Akor bban tanultakat kieg sz tve, tudatosabb t ve (legal bb a k z piskol ba k sz l tanul k) saj t ts k el a sz melm let elemeit, tudj k alkalmazni az oszt r l, a t bbsz r sr l, asz mokt rzst nyez kre bont s r l, az oszthat s gi szab lyokr l, a legnagyobb k z s oszt r l, a legkisebb k z s t bbsz r sr l tanultakat. Biztos aritmetikai tud s n lk l bizonytalan lesz a r p l algebrai, f ggv nytani, geometriai ismeretrendszer is. Ez rt a m veletfogalom s a m veletv gz s fejleszt s re 7. oszt lyban is oda kell gyeln nk, hiszenakor bban megszerzett (esetleg h zagos) tud st csak tervszer gyakorl ssal tudjuk megszil rd tani s a tanul k letkor nak megfelel begyakorlotts gi szintre emelni. M rj k fel, hogy tanul ink tudj k-e rtelmezni s elv gezni a n gy alapm veletet b rmilyen alak racion lis sz mok k r ben ismerik-e a m veleti azonoss gokat, k pesek-e azokat alkalmazni a sz m t sok sszer s t s ben, konkr t feladat megold sakor a t bbf le kisz m t si m d k z l ki tudj k-e v lasztani az egyszer bbet rtik-e a pozit v eg sz kitev j hatv ny fogalm t, kisz m t si m dj t t bb m veletet tartalmaz kifejez sben meg tudj k-e llap tani a helyes sorrendet rtik-e az ar ny fogalm t, k pesek-e azt alkalmazni az egyenes s a ford tott ar nyoss g, a sz zal ksz m t s k r ben, ki tudj k-e sz m tani a sz zal k rt ket, az alapot, a sz zal kl bat a m sik kett ismeret ben tudnak-e ar nyos oszt ssal kapcsolatos feladatokat megoldani, tudj k-e a tanultakat alkalmazni statisztikai sz m t sokban. A fentiek miatt is fontos a folyamatos ism tl s megtervez se (h zi feladatok megv laszt sa, ellen rz se n h ny perces ra eleji bemeleg t ", j t kos feladatok a sz beli sz mol s gyakorl s ra a kor bban tanultak rendszeres alkalmaz sa, sszesz v se az j anyagr szekkel stb.). Szinte minden anyagr szben lehet s g ny lik a sz mfogalom, m veletfogalom er s t s re, a m veleti tulajdons gok alkalmaz s ra, egyszer kapcsolatok aritmetikai vagy algebrai lejegyz s re, egyszer algebrai kifejez sek sz m rt k nek kisz m t s ra, az ar nyoss gi k vetkeztet sekre, sz zal ksz m t sra. Amelyik oszt lyban a tanul k sz mfogalma s sz mol si k pess ge megb zhat, fokozatosan megtan thatjuk a zsebsz mol g p haszn lat t a racion lis sz mk rben. A sz mol g p haszn lat n l gondolnunk kell a pontos rt k s a k zel t rt k k zti k l nbs gre. Atanul knak m r a kor bbi ismeretekre t maszkodva tudniuk kell eg sz s tizedest rt alakban adott sz mokat adott nagys grendre kerek teni, kerek tett rt kekkel sz molva r sban vagy zsebsz mol g ppel v gzett m veletek eredm ny t megbecs lni. Gyakran el fordul, hogy a tanul k a kerek tett rt kkel val sz mol s eredm ny nek sszes 9
sz mjegy t pontosnak tekintik. A k zel t sz m t s szab lyait nem tan tjuk, de arra gyelmeztess k ket, hogy az eredm ny pontoss ga igazodjon a legkev sb pontos adathoz. P ld ul ha egy t glalap oldalai 13,4 cm s 32,2 cm, akkor a ter lete: T =13,4 32,2 cm 2 = 431,48cm 2 Azonban az adatok mindegyik ben k t rt kes jegy van, rt kes jegyre k v natos kerek ten nk: T 430 cm 2 ez rt az eredm nyt is k t Az el bbin l pontosabb megold st kapunk, ha kisz m tjuk a lehets ges maxim lis hib t. A ter let legal bb: T = 13,35 32,15 cm 2 = 429,2025 cm 2 legfeljebb: T = 13,45 32,25 cm 2 = 433,7625 cm 2 A sz m t sok alapj n: T = (431,5 2,3) cm 2 A hatv nyokkal, norm lalakkal val sz mol st a tank nyv l nyegesen hangs lyozottabban t rgyalja, mint ahogyan az az alaptanterv alapj n elv rhat. gy konkr t p ld kon (ha futja az id nkb l s a tanul erej b l), hossz t von tudjuk el k sz teni a hatv nyoz s m veleti azonoss gait. A norm lalakkal sz mol s l nyegesen megk nny theti a gyakorlati jelleg feladatok (m rt kegys g- tv lt s, k miai, zikai feladatok) megold s t. Tudatoss tehetj k a zsebsz mol g pen nagy (vagy kicsi) sz mokkal v gzett m veleteket. Ezzel els sorban a k z piskol ba k sz l ket, illetve k z piskolai tagozaton tanul kat k sz thetj k f l a k s bbi tananyag meg rt s re s befogad s ra. A reduk lt program szerint a norm lalakkal esetleg csak 8. oszt lyban foglalkozzunk. S lyos hi nyoss gokat tapasztalunk a tanul k besz dk szs ge, a matematikai gondolatok elmond sa s le r sa ter let n. Ez rt min l t bb alkalmat biztos tsunk a tanul knak a sz beli szerepl sre (den ci k, sszef gg sek, tletek, megold si tervek, bizony t sok n ll megfogalmaz sa, lejegyz se). A hib kat k vetkezetesen jav ttassuk, jav tsuk. Anemzetk zi s a hazai felm r sek egyar nt azt mutatj k, hogy rendk v l gyenge a tanul k sz veg rtelmez k pess ge. Ez rt a sz veges feladatok megold sa sor n - gyelj nk arra, hogy tanul ink milyen szintre jutottak ezen a t ren. Tudnak-e matematikai sz veget rtelmezni? K pesek-e a sz veges feladatokban l v probl m t meg rteni, az adatok k z l a sz ks geseket s feleslegeseket megk l nb ztetni, az adatokat lejegyezni, a k zt k l v kapcsolatot meg llap tani, ezt a matematika nyelv n megfogalmazni, a megold st megtervezni, az eredm nyre becsl st adni, azt meghat rozni, ellen rizni s rtelmezni a sz veg alapj n? Az erre alkalmas feladatok megold sa sor n v rjuk el a tanul kt l: a feladat pontos rtelmez s t, az adatok lejegyz s t az sszef gg sek megfogalmaz s t a matematika nyelv n a megold si terv elk sz t s t, lejegyz s t az eredm ny megfelel becsl s t a feladat megold s t, a kivitelez s pontoss g t az eredm ny sz veg alapj n t rt n ellen rz s t, rt kel s t a diszkusszi t. L nyeg ben j anyag az algebrai kifejez sek t rgyal sa, b r a sz m-sz m f ggv nyek hozz rendel si szab ly t kor bban is kifejez s seg ts g vel adtuk meg, ilyen form - 10
ban jegyezt k le a geometriai ( s zikai) sszef gg seket, s az egyenletek megold sa sor n is algebrai kifejez sekkel dolgoztunk. Ebben a t mak rben {atan r egy ni rt krendj t, a heti rasz mot, a csoport sz nvonal t s a helyi tantervet gyelembe v ve { nagyon elt r k vetelm nyeket fogalmazhatunk meg az egyes oszt lyok sz m ra. A reduk lt program minimumszintj n is el kell rn nk, hogy a tanul k k pesek legyenek rtelmezni az egyenletekben, a line ris f ggv nyekben s a geometriai sszef gg sekben el fordul kifejez seket, tudj k ezeket egyszer bb alakra hozni, s biztosan ki tudj k sz molni a helyettes t si rt k ket. Ismerj k az algebrai kifejez sekkel kapcsolatban az egy tthat ", a v ltoz ", az egynem ", a k l nnem " elnevez seket, ismerj k fel az egynem kifejez seket. Jobb k pess g, k z piskol ba k sz l tanul inknak, term szetesen meg kell haladniuk ezt a minim lis eszk ztud st. Tudniuk kell alkalmazni a racion lis sz mokra tanult azonoss gokat egyszer algebrai kifejez sek k r ben is. A tanult azonoss gok: az sszeg tagjainak s a szorzat t nyez inek felcser lhet s ge (kommutativit sa), t rs that s ga (asszociativit sa) sszeg s k l nbs g szorz sa (disztributivit s) egytag kifejez ssel sszeg s k l nbs g hozz ad sa, kivon sa. A reduk lt program szerint a szorzatt alak t s nem k vetelm ny. K vetelm ny a line ris egyenletek, egyenl tlens gek megold sa a m rlegelv alkalmaz s val (n gy- t l p sben is). 7. oszt lyban egyszer bb esetekben az egyenletek, egyenl tlens gek megold s ban s a megold s ellen rz s ben elv rjuk a m veleti azonoss gok alkalmaz s t, p ld ul z r jelek felbont s t, t rtek k z s nevez re hoz s t. A reduk lt program szerint a nehezebben halad tanul kkal csak k t-h rom l p sben megoldhat egyszer egyenleteket oldassunk meg. A k z piskol ba k sz l tanul k legyenek k pesek a sz veges feladatok megold si terv t egyenlettel, egyenl tlens ggel is fel rni, az eredm nyre becsl st adni, a megold st megkeresni, a sz vegben megfogalmazott probl ma t kr ben ellen rizni, rtelmezni. A reduk lt programban csak a legjobbakt l v rhat el az egyenl tlens gre vezet egyszer sz veges feladatok terv nek fel r sa. Rel ci k, f ggv nyek, sorozatok A f ggv nyszeml let fejleszt se, a kapcsolatok s a v ltoz sok meggyel se, szab lyok megfogalmaz sa, le r sa nemcsak ebben a t mak rben t rt nik, hanem beh l zza a t bbit is. A halmazok, logika ismeretrendszerhez hasonl an sszesz vi az egyes matematikai t m kat. Ebb l az is k vetkezik, hogy 7. oszt lyban, alapszinten a f ggv nyekkel kapcsolatos biztos eszk ztud s igen fontos k vetelm ny, fontosabb, mint az egzakt fogalmak kialak t sa s a den ci k megtan t sa. Ford tsunk gondot a tapasztalati f ggv nyek br zol s ra, rtelmez s re, elemz s re, grakonok, t bl zatok k sz t s re, olvas s ra. Jegyeztess k le a sz veggel megadott egyszer f ggv nyeket k plettel, utas t ssal, grakusan is. (Kapcsolat a geometri val, zik val, k mi val.) Az itt szerzett ismereteket nemcsak a mindennapi letben s a 11
t rstant rgyak tanul sa sor n hasznos thatja a tanul (b r ez nmag ban is fontoss teszi ezt a t mak rt), hanem az igen absztrakt fogalmak kialakul s hoz is biztos szeml leti alapot szolg ltathat. Szeml letes szinten el k sz theti az elemi f ggv nyvizsg lat tan t s t. A tapasztalat alapj n nagyobb gondot kell ford tanunk a sz veggel megadott f ggv nyekre, az adatok lejegyz s re, a v ltoz k kifejez s re, ezzel seg tve a sz veges feladatok egyenlettel t rt n megold s t is. Konkr t p ld k elemz s vel k sz tj k el a f ggv ny fogalm t. K plettel, utas t ssal megadott hozz rendel sekhez t bl zatot k sz tenek a tanul k, fel rj k a t bl zattal megadott hozz rendel sek szab ly t. Megvizsg lj k, hogy az alaphalmaz elemei k z l melyeknek nem lehet k pe a hozz rendel sben. Megk l nb ztetik az egy rtelm s a t bb rtelm hozz rendel seket, kiv lasztj k a f ggv nyeket. Azonban a f ggv nnyel kapcsolatos fogalomrendszer felm r sekor ilyen el k sz t s ut n sem t rekedhet nk a teljess gre. A t mak r gerince a line ris f ggv ny. Az ltalunk javasolt t rgyal sm d szerint 6. oszt lyban el k sz tj k az egyenes ar nyoss g mint f ggv ny fogalm t, felismertetj k, hogy az egyenes ar nyoss g grakonja az orig n tmen egyenes. Szeml letre t maszkodva felfedeztetj k a grakon meredeks ge s az ar nyoss gi t nyez k zti kapcsolatot. Ha ez az alapoz s (id hi ny miatt) 6. oszt lyban nem t rt nt meg, akkor most kell erre sort ker ten nk. 7. oszt lyban a tanul k ismerj k a line ris f ggv ny fogalm t. Tudj k, hogy az egyenes ar nyoss g s a konstansf ggv ny speci lis line ris f ggv ny. K plettel, formul val adott line ris f ggv nyhez tudjanak t bl zatot k sz teni, tudj k azt grakusan br zolni (minimumszinten az sszetartoz rt kp rok ltal meghat rozott pontok seg ts g vel). rts k (konkr t p ld kkal kapcsolatosan), hogy x 7! ax + b eset n az a f ggv ny grakonj nak meredeks g t, b az y tengellyel val metsz spontj t hat rozza meg. Grakonnal megadott line ris f ggv ny sszetartoz rt kp rjait tudj k t bl zatban fel rni. Legyenek k pesek a t bl zattal, grakonnal adott line ris f ggv ny hozz rendel si szab ly t (k plet t) fel rni. A line ris egyenletek grakus megold s t a Kerettanterv el rja. Ha jut is r id, alapszinten csak 8. oszt lyban k vetelj k meg ezt tanul inkt l. Az alaptanterv szerint n h ny rdekes sorozat megismer s vel, vizsg lat val kell foglalkoznunk. A tanul k legyenek k pesek megkezdett sorozatokat folytatni adott, illetve felismert szab ly szerint. Ismerj k fel t bbf le szab ly megfogalmaz s nak lehet s g t. Atanultakat legyenek k pesek alkot m don alkalmazni sz melm leti, geometriai vizsg latokban. ANAT-ban el rt k vetelm nyekhez k pest a 7. oszt lyos tank nyv tfog bban s m lyebben t rgyalja ezt a t mak rt. Ez rt alapszinten agrakonnal, t bl zattal, sz veggel adott f ggv nyek rtelmez s t gyakoroltassuk. A fogalmak tudatos t s val elegend 8. oszt lyban foglalkoznunk. (A 8. oszt lyos tank nyv ism t teljes eg sz ben ttekinti, majd kieg sz ti a f ggv nyekkel, sorozatokkal kapcsolatos ismeretrendszert.) 12
Geometria, m r sek A 7. oszt ly geometria tananyag ra jellemz, hogy nagy r sz t az el z vfolyamokon intenz ven el k sz tett k. N h ny akkor szerzett ismeretet a gyermek letkor nak megfelel szinten, szeml letre t maszkodva igazoltunk" is (p ld ul a h romsz g bels sz geinek sszeg t parkett z ssal). Az el z vekben tanultakat gy gy jthetj k ssze, hogy feldolgoztatjuk abevezet feladatsorokat is. Ezek a tanul si m dszerekre is utalnak, s olyan kapaszkod knak tekinthet k, amelyek abban is seg thetnek, hogy a k l nb z tud s- s szeml letszint tanul kat eljuttassuk legal bb a tov bbhalad shoz sz ks ges szintre. A k vetelm nyek megfogalmaz s ban is utalunk a tananyag spir lis" p tkez s re, illetve a 6. s a 7. oszt lyos k vetelm nyrendszer k z tt megl v nagy tfed sre". K vetelm ny, hogy a tanul k rts k s helyesen haszn lj k az alapvet geometriai fogalmakat, begyakorlottan hajts k v gre az elemi szerkeszt seket, tudj k ezeket alkalmazni. Ismerj k a vektor szeml letes fogalm t, tudj k alkalmazni elmozdul sok megrajzol s ban s az eltol s rtelmez s ben. Legyenek k pesek egym ssal p rhuzamos vektorok sszeg nek s k l nbs g nek meghat roz s ra konkr t, gyakorlati jelleg feladatokban. (A nem p rhuzamos vektorok sszeg nek s k l nbs g nek megszerkeszt s t csak akkor v rjuk el, ha a helyi tantervben zik b l ez k vetelm ny.) Ismerj k a soksz gekkel kapcsolatos fogalomrendszert s elnevez seket. kisz m tani a soksz g ker let t. Tudj k Biztosan tudj k a sz gr l, sz gm r sr l, sz gfajt kr l tanultakat. Tudjanak sz get m solni, felezni, nevezetes sz geket szerkeszteni. br kon, alakzatokon ismerj k f l a sz gp rokat: egy ll s, ford tott ll s sz gek (speci lisan cs cssz gek), t rssz gek (speci lisan mell ksz gek). Ismerj k a k rrel kapcsolatos fogalmakat, elnevez seket. Tudj k meghat rozni a k r ker let t. Ismerj k a h romsz g fogalm t, tulajdons gait (a h romsz g-egyenl tlens g, a h romsz g bels s k ls sz geinek sszege, kapcsolat a k ls s a bels sz gek k z tt, kapcsolat az oldalak s sz gek k z tt), tudj k ezeket alkalmazni szerkeszt si, sz m t sos s bizony t si feladatokban. Tudj k a h romsz geket csoportos tani oldalaik s sz geik szerint. Ismerj k a h romsz g magass g nak fogalm t. Ismerj k a h romsz g egybev g s g nak alapeseteit. Tudjanak h romsz get szerkeszteni a tanult egybev g s gi esetek alkalmaz s val. Ismerj k a n gysz g, a trap z, a h rtrap z, a paralelogramma, a rombusz, a t glalap, a n gyzet fogalm t, tulajdons gait, e fogalmak egym shoz val viszony t. Tudj k a felsorolt n gysz geket megszerkeszteni a h romsz gszerkeszt sr l tanultak alkalmaz s val. Az egybev g s gi transzform ci kr l s a sz gp rokr l tanultakat tudj k alkot m don alkalmazni a speci lis n gysz gek tulajdons gainak felismer s ben, szerkeszt si, sz m t sos s bizony t si feladatok megold s ban. 13
Az sszetettebb szerkeszt sek v grehajt sa nem v rhat el mindenkit l. Atanul k t rszeml let nek fejleszt se rdek ben minden vben foglalkozzunk a t relemekkel, illetve a testekkel. Ennek a t mak rnek a feldolgoz s ra mindenk ppen biztos tsunk elegend id t. A k vetelm nyrendszer most is szerves tov bbfejleszt se az el z vek k vetelm nyeinek. Atanul k ismerj k fel a soksz glapokkal hat rolt testeket, tudj k rtelmezni az ezzel kapcsolatos alapvet fogalmakat ( l, lap, cs cs, lap tl, test tl ), legyenek k pesek e testek tulajdons gainak vizsg lat ra. Tudj k rtelmezni, megrajzolni a soksz glapokkal hat rolt testek fel l-, el l- s oldaln zet t. Ismerj k f l a has bot, illetve az egyenes k rhengert. Ismerj k a has bbal s a hengerrel kapcsolatos fogalomrendszert, elnevez seket, az egyenes has b s az egyenes k rhenger tulajdons gait, a speci lis has bokat (t glatest, kocka). Tudj k megszerkeszteni az egyenes has b s az egyenes k rhenger h l zat t. Tov bbra is fontosak azok a k vetelm nyek, mindennapok" geometri j val. amelyek szoros kapcsolatban vannak a A tanul k ismerj k a hossz s g, a t meg, az rtartalom s az id m rt kegys geit, tudj k a m rt kegys geket tv ltani. Ismerj k a ter let fogalm t, m rt kegys geit, tudj k a m rt kegys geket tv ltani tudj k kisz m tani a t glalap, an gyzet, a deltoid, a paralelogramma, a h romsz g, a trap z s a k r ter let t. A tanultakat legyenek k pesek alkalmazni tetsz leges n gysz g, tsz g, illetve a szab lyos soksz gek ter let nek kisz m t s ban (a sz ks ges adatok szerkeszt s vel, megm r s vel). Tudj k kisz m tani az egyenes has b s az egyenes k rhenger felsz n t. Ismerj k a t rfogat fogalm t, m rt kegys geit, tudj k a m rt kegys geket tv ltani. Ismerj k s tudj k alkalmazni a t rfogat- s az rm r s m rt kegys gei k zti kapcsolatot. Szerezzenek j rtass got az egyenes has b s az egyenes k rhenger t rfogat nak kisz m t s ban. Fontos, hogy a racion lis sz mokr l, a vel k v gzett m veletekr l s az algebrai kifejez sekr l tanultakat biztosan alkalmazz k a tanul k a geometriai sz m t sokban, aker let-, ter let-, felsz n- s t rfogatk pletek rtelmez s ben, haszn lat ban. A felm r sek szerint az elv rt szint alatt marad a ter let-, felsz n-, t rfogatsz m t ssal kapcsolatos ismeretek elsaj t t sa s a t rszeml let fejletts ge. Ez rt ( s a gyakorlati alkalmaz sra nevel s miatt is) tartjuk fontosnak, hogy behat an, a t bbi geometriai t mak rh z kapcsol dva foglalkozzunk ezekkel az anyagr szekkel. A geometriai transzform ci k fontos szerepet j tszanak a szeml let, a k pi gondolkod s fejleszt s ben. K vetelm nyek: K l nb z konkr t geometriai transzform ci k k z l a tanul k ismerj k f l az egybev g s gi transzform ci kat, a tengelyes s a k z ppontos t kr z st, az eltol st s az elforgat st (parkett z s, vizsg latok a der ksz g koordin ta-rendszerben). Tudj k, hogy az egybev g s gi transzform ci t vols g- s sz gtart. 14
Ismerj k a tengelyes t kr z s s a k z ppontos t kr z s fogalm t s tulajdons gait. Tudj k megszerkeszteni adott s kidom tengelyes, illetve k z ppontos t k rk p t. Ismerj k a tengelyes szimmetria s a k z ppontos szimmetria fogalm t, tulajdons gait. Ismerj k f l a szimmetrikus alakzatokat. A tanultakat legyenek k pesek alkalmazni egyszer szerkeszt sekben, soksz gek tulajdons gainak vizsg lat ban. A tanul i seg dletek feladatanyaga b ven ad lehet s get arra, hogy a geometriai ismereteket a t bbi t mak rrel sszesz hess k. A k vetelm nyekben ez a koncentr ci nem jelenik meg, de n lk le a megfogalmazott k vetelm nyek kev sb teljes thet k. Az sszesz v s lehet s ge a t bbi t mak rrel k lcs n s. P ld ul sokszor alkalmazhatjuk a der ksz g koordin ta-rendszert soksz gek el ll t s ra, vizsg lat ra, ter let k meghat roz s ra, geometriai transzform ci k v grehajt s ra. Ugyanakkor ezekkel a feladatokkal el k sz thetj k p ld ul a f ggv nytranszform ci tan t s t. Val sz n s g, statisztika A tank nyv els fejezet ben, a sz mtan, algebra ismeretek ism tl s hez, rendszerez s hez kapcsol dva tal lhat k t alfejezet ebb l a t mak rb l. A Matematika 7. Gyakorl 8. fejezete s a Matematika 7{8. Feladatgy jtem ny 5.2. Mi a val sz n bb? c m alfejezete is ennek a t mak rnek a feldolgoz s t t mogatja. Egyik legfontosabb oktat si-nevel si feladatunk annak a k pess gnek a fejleszt se, hogy a tanul k a matematika r n tanultakat a mindennapi letben is tudj k alkalmazni. Ez rt ebben a t mak rben rj k el, hogy tanul ink aktu lis statisztikai adatokat tudjanak gy jteni, t bl zatba foglalni, tudjanak vel k grakont, diagramot k sz teni. A t bl zattal, grakonnal adott adatokat tudj k elemezni, rtelmezni. A statisztikai vizsg latok (t bl zatok, grakonok, diagramok elemz se, k sz t se) a f ggv nyek t mak rh z is kapcsol dik. Ez rt a grakonok t rgyal sa sor n is t rj nk vissza ehhez az anyagr szhez, s aktu lis statisztikai adatgy jt ssel, vizsg latokkal eg sz ts k ki az ott tal lhat feladatokat. ANAT, illetve a Kerettanterv szerint a matematikai szeml let alak t s nak egyik fontos ter lete a val sz n s gsz m t s, ez rt ez a t mak r a kor bbiakhoz k pest nagyobb hangs lyt kap a tank nyvben. A t mak r feldolgoz sa sor n rj k el, hogy a tanul k tudjanak egyszer val sz n s gi k s rleteket v grehajtani, az esem nyeket lejegyezni, azok val sz n s g re (a nagy sz mok t rv ny nek megsejt s vel) becsl st adni. Ismerj k a relat v gyakoris g fogalm t, tudj k kisz m tani a meggyelt esem ny relat v gyakoris g t. Legyenek k pesek egyszer esetekben az esem ny val sz n s g t meghat rozni, azt a relat v gyakoris ggal sszehasonl tani. 15
RATERV, TANMENET raterv A matematika heti rasz m t az iskol k a helyi tanterv kben r gz tik. Az egyes tant rgyakra jut rasz mot az oktat si t rv ny sanat nem rja el k telez jelleggel. A Kerettanterv minim lis rasz mk nt heti 3, vi 111 matematika r t r el. Ett l az rasz mt l az iskola helyi tanterve csak felfel " t rhet el. A fentiek alapj n az iskol k egy r sz ben a 7. oszt lyban heti 3, vi 111 matematika- ra van. A sz mukra javasolt rasz mokat (az ratervben s a tanmenetben is) res keretbe rtuk. P ld ul: 01{24. ra Megjegyezz k, hogy ha ezekben az iskol kban a kor bbi vekben is reduk lt rasz mban tan tott k a matematik t, akkor 7. oszt lyban meg kell el gedn nk a reduk lt tananyagot, vagyis a kerettantervi minimumot tartalmaz alapszint tank nyv feldolgoz s val. Amennyiben a helyi tanterv nk nem biztos t kieg sz t r t a matematikaoktat s sz m ra, akkor nem tan thatunk annyit s olyan sz nvonalon, mint azok az iskol k, amelyeknek 33%-kal magasabb az rakeret k, mint a mi nk. Csak az lehet a c lunk, hogy a tov bbl p shez n lk l zhetetlen ismereteket, m veleti elj r sokat begyakoroltassuk, s az elv rt alapk szs geket kialak tsuk. Ennek a koroszt lynak az elm lt 140 vben Magyarorsz gon s Eur pa fejlett orsz gaiban ltal ban heti 4, esetleg 5 matematika r t biztos tottak s biztos tanak a tantervek. Ez 1985-ig n lunk vi 132, illetve 165 matematika r t jelentett, ami az tnapos tan t si h t bevezet se ut n heti 4, vi 148 matematika r ra m dosult. Matematik b l az orsz gos kompetenciam r sek feladatsorai kisz les tett k" a matematikatan t ssal kapcsolatos k vetelm nyrendszert, ha tartalmilag nem is b v tett k azt. Rugalmas, j l begyakorolt, szokatlan feladathelyzetekben, gyakorlati probl m k megold s ra is alkalmazhat ismereteket s k szs geket v rnak el a tanul kt l. Ezeknek a k vetelm nyeknek sem tudunk eleget tenni heti h rom r ban. (A kompetenciam r sre felk sz t feladatokra a tanmenetben k l n felh vjuk a gyelmet.) A matematikai alapoz st ig nyl t rstant rgyak m r a fels tagozaton, k s bb a k z piskol k matematika-, zika-, k miaoktat sa felt telezik azt a biztos alapoz st, amely csak heti 4 r ban val s that meg. A biztos matematikai ismeretek s k pess gek kulcsfontoss g szerepet j tszanak a tanul k tov bbi tanulm nyi sikereiben. Ez rt a kieg sz t rakeretb l legal bb heti 1 ra j r" a matematikatanul ssal kapcsolatos speci lis feladatok megold s ra, a tehets ggondoz sra, a versenyre val felk sz t sre, a felz rk ztat sra, a kieg sz t anyagr szek megtan t s ra stb. 16
Az iskol k t bbs g ben (k l nb z lehet s geket kiakn zva) a minim lisan el rt 3 r t legal bb 1 r val kieg sz tik. Ezekben az iskol kban javasoljuk a tank nyv b v tett v ltozat nak feldolgoz s t. Ugyanis a tank nyv b v tett v ltozat nak ssze ll t sakor 185 napos tan t si vet s vi 144 matematika r t vett nk gyelembe. Az ilyen helyi tanterv alapj n dolgoz oszt lyok sz m ra javasolt rasz mokat sz rk re sz nezett keretbe rtuk: 01{34. ra 1. Gondolkozz s sz molj! 01{24. ra 01{34. ra Aterm szetes sz mokr l, az eg sz sz mokr l, a t rtekr l s a tizedest rtekr l tanultak ism tl se, t j koz d s a sz megyenesen aracion lis sz mok fogalma racion lis sz mok nagys g szerinti sszehasonl t sa { Racion lis sz mok nemnegat v eg sz kitev j hatv nyai, a hatv nyoz s tulajdons gainak vizsg lata konkr t sz mfeladatokban { Egyn l nagyobb sz mok norm lalakja { Oszt, t bbsz r s, oszthat s gi szab lyok t rzssz mok, sszetett sz mok, pozit v eg sz sz mok t rzst nyez kre bont sa legnagyobb k z s oszt, legkisebb k z s t bbsz r s A t tel" s bizony t s" fogalma. A bizony t si ig ny felkelt se. Az oszthat s gi feladatokban alkalmazzuk a halmazokr l tanultakat. M veletek gyakorl sa a racion lis sz mok halmaz ban mennyis gek t rtr sze m veleti sorrend, z r jelek alkalmaz sa { Ar ny, ar nyos oszt s { Sz zal ksz m t s, kamatos kamat { Statisztikai sz m t sok grakonok, diagramok rtelmez se, k sz t se { Val sz n s gi k s rletek s sz m t sok Sz veges feladatok megold sa a sz mokr l, m veletekr l, illetve a m r sekr l, a ter let- s a t rfogatsz m t sr l kor bban tanultak alkalmaz sa gyakorlati jelleg feladatokban. Fontosak az olyan j t pus " sz veges feladatok, amelyek t bl zatok, diagramok rtelmez s hez, elemz s hez kapcsol dnak. Ezekkel a 8. oszt lyos orsz gos kompetenciam r sre k sz tj k fel a tanul kat. Gyakorl s { 1. dolgozat 2. Hozz rendel s, f ggv ny 25{36. ra 35{50. ra A rel ci, hozz rendel s fogalma, hozz rendel sek tulajdons gainak vizsg lata konkr t feladatokban { A f ggv ny fogalma, f ggv nyek grakonja f ggv nytulajdons gok vizsg lata a f ggv ny grakonj nak elemz se alapj n { Az egyenes ar nyoss g mint f ggv ny { A line ris f ggv ny rtelmez se, a line ris f ggv ny grakonj nak vizsg lata, a grakon br zol sa speci lis line ris f ggv nyek: az els fok f ggv ny, az egyenes ar nyoss g, illetve a konstans f ggv ny { A sorozat mint f ggv ny, sorozathoz szab ly keres se, sorozat tetsz leges tagj nak kisz m t sa adott szab ly alapj n { A ford tott ar nyoss g fogalma, grakonja. A f ggv nyekr l, sorozatokr l tanultak alkalmaz sa gyakorlati jelleg, jszer " feladatokban. A8. oszt lyos kompetenciam r sre k sz tj k fel a tanul kat, ha az ar ny, ar nyos oszt s fogalm t t rk pek, n zeti rajzok rtelmez s re, m szerek adatainak leolvas s ra stb. alkalmazzuk. A mindennapi jelens gek, t rt n sek vizsg lata grakon seg ts g vel ugyancsak a kompetenciam r s szempontj b l lehet fontos. Gyakorl s { 2. dolgozat 17
3. Egybev g s g 37{52. ra 51{70. ra A geometriai transzform ci fogalma, geometriai transzform ci k vizsg lata a kor bban (az als tagozatban is) tanultak feleleven t se j t kos feladatokban az egybev g s g fogalma, a k l nb z egybev g s gi transzform ci k fogalm nak szeml leti megalapoz sa Akompetenciam r sekben sok olyan feladattal tal lkozunk, amelyek megold s ra geometriai j t kokkal" (t kr kkel, pauszpap rral v gzett meggyel sekkel, parkett z ssal, s kidomok hajtogat s val stb.) k sz thetj k fel a tanul inkat. Az elmozdul s megad sa ir ny tott szakasszal, a vektor fogalma, p rhuzamos vektorok ered je A zik ban tanult egyes fogalmak (er, elmozdul s, sebess g) rtelmez s hez sz ks ges a vektor fogalma, ez rt fontos, hogy 7. oszt lyban a matematik ban is rtelmezz k ezt a fogalmat. A vektor fogalma a matematika r n is j l alkalmazhat egyes (elmozdul sokkal kapcsolatos) gyakorlati, illetve a t rszeml letet fejleszt probl m k megold s ban. Az eltol s fogalma, tulajdons gai, soksz g eltol ssal kapott k p nek megszerkeszt se { A tengelyes t kr z s fogalma, tulajdons gai (ism tl s), soksz g tengelyes t k rk p nek megszerkeszt se tengelyesen szimmetrikus alakzatok { A k z ppontos t kr z s fogalma, tulajdons gai, soksz g k z ppontos t k rk p nek megszerkeszt se, k z ppontosan szimmetrikus alakzatok { Az elforgat s fogalma, tulajdons gai { Sz gp rok Kieg sz t anyag: Az elfordul s jellemz se ir ny tott sz ggel soksz g elforgat ssal kapott k p nek megszerkeszt se, forg sszimmetrikus alakzatok Gyakorl s { 3. dolgozat { Az els f l v lez r sa 4. Algebra 53{72. ra 71{98. ra A m veleti tulajdons gokr l kor bban tanultak felid z se, tudatos t sa { Az algebrai kifejez s, az egy tthat, a v ltoz fogalma { Algebrai kifejez sek helyettes t si rt keinek meghat roz sa { Egynem s k l nnem algebrai kifejez sek { Egynem algebrai kifejez sek sszevon sa { Egytag kifejez s szorz sa, oszt sa egytag kifejez ssel { T bbtag kifejez s szorz sa, oszt sa egytag kifejez ssel Kieg sz t anyag: T bbtag kifejez s szorzatt alak t sa kiemel ssel Az algebrai kifejez sekr l tanultakat gy gyakoroltassuk be, hogy az egyenletek, egyenl tlens gek talak t sa, a megold suk ellen rz se, a sz veges feladatban adott sszef gg sek matematikai modellj nek fel r sa, illetve a geometri ban (zik ban) tanult k pletek alkalmaz sa ne jelentsen gondot. Egyenlet egyenl tlens g, azonoss g, azonos egyenl tlens g, alaphalmaz, megold shalmaz stb. fogalma { Az egyenletek megold sa a k t oldal egyenl v ltoztat s val (a m rlegelv) { Az egyenl tlens gek megold sa a k t oldal egyenl v ltoztat s val { Sz veges feladatok megold sa egyenlettel, egyenl tlens ggel Kieg sz t anyag: T rtegy tthat s egyenletek s egyenl tlens gek megold sa { Egyenletek, egyenl tlens gek grakus megold sa Gyakorl s { 4. dolgozat 18
5. S kidomok, testek 73{99. ra 99{132. ra Akor bban tanult geometriai fogalmak feleleven t se { A h romsz gekr l tanultak feleleven t se, kieg sz t se, rendszerez se a h romsz gek egybev g s g nak alapesetei, h romsz gek szerkeszt se { A n gysz gekr l tanultak kieg sz t se, rendszerez se a trap z, paralelogramma, sz rmaztat sa, tulajdons gai { A soksz gek ter lete, a ter let m rt kegys gei, a t glalap, paralelogramma, deltoid, trap z, h romsz g ter lete Kieg sz t anyag: Paralelogramm k szerkeszt se { Tetsz leges soksz g ter lete { Szab lyos soksz gek tulajdons gainak vizsg lata, bels sz geik nagys g nak meghat roz sa, ter let k kisz m t sa A k rrel kapcsolatos fogalomrendszer feleleven t se, rendszerez se a k r ker lete, a k r (k rgy r, k rcikk) ter lete { Soksz glapokkal hat rolt testek { A has b sz rmaztat sa, tulajdons gai, h l ja, felsz ne { T rfogatm r s, az egyenes has b t rfogata { Az egyenes k rhenger sz rmaztat sa, tulajdons gai, felsz ne, t rfogata Fontos feladat a k pi gondolkod s s a t rszeml let fejleszt se. Ez rt f lt tlen l adjuk a tanul k kez be a t glatest, kocka lv zmodellj t, k sz ts k el s vizsg lj k k l nb z has bok h l j t. Konzervdoboz seg ts g vel szeml ltess k a pal st kiter thet s g t". p ttess nk p ld ul j t kkock kb l alakzatokat, rajzoltassuk meg n zeti k peiket. Tov bbi fontos feladat a ter let{ s t rfogatsz m t sr l tanultak gyakorlati alkalmaz sa. Az ilyen jelleg feladatokkal a 8. oszt lyos kompetenciam r sre is felk sz tj k a tanul kat. Gyakorl s { 5. dolgozat 6. sszefoglal 100{111. ra 133{144. ra Sz mok r sa, olvas sa, norm lalak { Oszt t bbsz r s, oszthat s g { M veletek a racion lis sz mk rben { Grakonok { Ar ny, ar nyoss gok, sz zal ksz m t s { Line ris f ggv ny { Egyenletek, egyenl tlens gek { M r sek, m rt kegys gek { Geometriai sz m t sok { Egybev g s g Az v v gi sszefoglal skor gyakoroltassuk a Kislexikon, t rgymutat, illetve a tank nyv 6. s 8. oldal n tal lhat t bl zatok haszn lat t. 6. dolgozat, sszegz tan vz r rt kel s A k vetkez oldalt l tal lhat tanmenetjavaslatban csak ttekint st ny jtunk a felhaszn lhat feladatokr l. Javasoljuk a konkr t oszt ly szintj nek, saj t koncepci nknak s a helyi tanterv aj nl sainak megfelel feladatok sorsz m nak be r s t a tanmenetbe. C lszer k l n-k l n sz mon tartani azokat a feladatokat, amelyek a minimumk vetelm nyekhez kapcsol dnak a tehets ges tanul ink fejleszt s t szolg lhatj k az elk pzel seinknek megfelel koncentr ci t val s tj k meg m s fejezet tananyag hoz tartoznak, de a folyamatos ism tl s keret ben itt foglalkozunk vel k. A tanmenetjavaslatban a feladatok sorsz ma el tt felt ntetj k a fejezet sorsz m t is. P ld ul az els fejezet 5. feladat t 1.05., a b v tett r sz 5. feladat t B1.05. jel li. 19
Tanmenet 1. Gondolkozz s sz molj! 1{2. ra 1{2. ra Mit tanultunk a sz mokr l? Racion lis sz mok. Aracion lis sz mokkal kapcsolatos fogalomrendszer ttekint se az oszt ly tud sszintj hez igazodva. A racion lis sz mok r sa, olvas sa, nagys g szerinti sszehasonl t suk, br zol suk sz megyenesen. Kerek t s, pontoss g. Helyi rt kek rendszereat zes sz mrendszerben: alaki rt k, t nyleges rt k. Term szetes sz mok s tizedest rt alakban adott sz mok br zol sa sz megyenesen, nagys g szerinti sszehasonl t suk. T rtek tizedest rt alakja. Az el z vfolyamokon tanultak ism tl se s kiterjeszt se nagyobb helyi rt kekre. Kijelent sek logikai rt ke. Halmazm veletek. M rt kegys gek tv lt sa. Ahi nyoss gok p tl s ra szervezz nk korrepet l st. Tk. 1.01{1.14. Mgy. 1.01{1.44. Fgy. 2.1.04{2.2.13. 3{5. ra 3{5. ra Hatv nyoz s Hatv ny hatv nyok szorzatalakja, szorzatok hatv nyalakja. Sz mol s 10 (esetleg 0,1) hatv nyaival. Jobb k pess g csoportban: Azonos alap hatv nyok szorz sa, oszt sa, szorzat, h nyados hatv nyoz sa konkr t sz mfeladatokban. Az SI-m rt kegys gek el tagjainak rendszere (Tk. 6. oldal) M rt kegys gek tv lt sa. T rfogatsz m t s. Kombinatorika. Tk. 1.15{1.26. Mgy. 1.41{1.52., 1.66{1.85. Fgy. 2.3.01{14., 2.3.20. 6. ra 6{7. ra 1-n l nagyobb sz mok norm lalakja A helyi rt kek fel r sa 10 hatv nyainak seg ts g vel. A norm lalak rtelmez se. Reduk lt v ltozatban csak ismerked s szintj n dolgozzuk fel ezt az anyagr szt. Sz mol s 10 hatv nyaival. M rt kv lt s. Fizikai mennyis gek. Tk. 1.27{1.31. Mgy. 1.53{1.61., 1.86{1.87. Fgy. 2.3.15{19. 7{8. ra 8{10. ra Oszt, t bbsz r s, oszthat s gi szab lyok A 6. oszt lyban tanult oszthat s gi szab lyok feleleven t se, j oszthat s gi szab lyok (a 8-cal, 125-tel, 3-mal s 9-cel val oszthat s g) megismer se. Halmazok metszete, uni ja. T tel, bizony t s. Tk. 1.32{1.41. Mgy. 1.100{1.101., 1.108{1.125. Fgy. 1.1.01{02., 2.6.01{15. 20
9{10. ra 11{13. ra T rzssz mok, sszetett sz mok. Legnagyobb k z s oszt, legkisebb k z s t bbsz r s A t rzssz m (pr msz m) sszetett sz m fogalma. Sz mok pr mt nyez kre bont sa. Eratoszthen sz szit ja. Halmazok metszete, uni ja. T tel, bizony t s. Tk. 1.42{1.51. Mgy. 1.102{1.107., 1.126{1.137. Fgy. 1.1.14., 1.2.02{10., 2.6.16{23. 11{12. ra 14{16. ra Racion lis sz mok sszevon sa Az sszevon s gyakorl sa a negat v t rtek s tizedest rtek k r ben is. Sz veges feladatok. Emelt szinten: A sz melm letben tanultak alkalmaz sa t rtek egyszer s t s ben, sszevon s ban. Sz mok kerek t se, becsl s. M rt kegys gek tv lt sa. Legnagyobb k z s oszt, legkisebb k z s t bbsz r s. Tk. 1.52{1.67., B1.01{B1.02. Mgy. 1.138{1.143. Fgy. 2.2.08., 2.2.10{12. Kompetenciam r s: Tk. 1.64{1.66. 13{15. ra 17{20. ra Racion lis sz mok szorz sa, oszt sa Aszorz s, oszt s gyakorl sa a negat v t rtek s tizedest rtek k r ben is. Sz veges feladatok. M veleti tulajdons gok. Mennyis gek t rtr sze, t rtr szb l eg szr sz kisz m t sa. M veletek sorrendje, z r jelek alkalmaz sa. M rt kv lt s, geometriai sz m t sok (ter let{, felsz n{ s t rfogatsz m t s). Sz gm r s. Egyenes s ford tott ar nyoss g. K rdiagram. Hatv nyoz s. Tk. 1.68{1.96. Mgy. 1.144{1.174., 9.01{9.07. Fgy. 2.2.13{24., 2.3.13{14. Kompetenciam r s: Tk. 1.77{1.78., 1.87., 1.93{1.96. 16. ra 21. ra Ar ny, ar nyos oszt s T rt, h nyados, ar ny, t rtr sz kapcsolata. Sz veges feladatok. Tk. 1.97{1.99. Mgy. 1.175{1.178. Fgy. 2.4.01{11. Kompetenciam r s: Tk. 1.97{1.88. 17{18. ra 22{26. ra Sz zal ksz m t s A 6. oszt lyban tanultak feleleven t se, gyakorl sa. Kamatos kamat. M veletek a racion lis sz mok k r ben. T rtr sz. Egyenes ar nyoss g. Tk. 1.100{1.110. Mgy. 1.179{1.196., 9.32{9.33. Fgy. 2.5.01{22. Kompetenciam r s: Tk. 1.106{1.107. 21
19{20. ra 27{28. ra Statisztikai sz m t sok Eloszl sok, sz mtani tlag, a sz r d s terjedelme, t bl zatok, diagramok, grakonok k sz t se, elemz se. M veletek a racion lis sz mok k r ben. T rtr sz. Egyenes ar nyoss g. A sz zal ksz m t s gyakorlati alkalmaz sa. Tk. 1.111{1.118. Mgy. 8.01{8.20., 9.25{9.26. Mindegyik feladat megold sa fontos a kompetenciam r s szempontj b l. 21. ra 29{30. ra Val sz n s gi k s rletek Gyakoris g, relat v gyakoris g. A nagy sz mok t rv ny nek s a val sz n s g fogalm nak megsejt se. T rtr sz. Kombinatorika. A sz zal ksz m t s gyakorlati alkalmaz sa. A val sz n s g-sz m t ssal kapcsolatos fogalmak (esem ny, konkr t kimenetel, biztos esem ny, lehetetlen esem ny, lehets ges, de nem biztos esem ny, relat v gyakoris g, val sz n s g) kialak t s hoz elengedhetetlen, hogy t nylegesen v geztess nk el val sz n s gi k s rleteket, j t kokat. Tk. 1.119{1.122. Mgy. 8.21{8.30. Kompetenciam r s: Tk. 1.119., 1.122. 22{24. ra 31{34. ra Gyakorl s, az 1. felm r s meg rat sa Gyakorl s, rendszerez s, ism tl s, a hi nyok p tl s nak megszervez se. Tk. B1.03{B1.23., 1.123. Kompetenciam r s: Tk. B1.19{B1.20., B1.23., 1.123. 2. Hozz rendel s, f ggv ny 25{26. ra 35{37. ra Hozz rendel sek vizsg lata. F ggv nyek rtelmez se, vizsg lata Halmaz, elem, eleme, rendezett elemp rok, rel ci, alaphalmaz, k phalmaz. A megfeleltet sek megjelen t se ny ldiagrammal, t bl zattal, grakonnal. A f ggv ny fogalma. Sz m-sz m f ggv ny. rtelmez si tartom ny, f ggetlen v ltoz, f ggv ny rt k, rt kk szlet. F ggv nyek jel l si m dja. A fogalmak elm ly t se 8. oszt lyban val sulhat meg, most fontos a jelens gek, folyamatok rtelmez se grakonok seg ts g vel. Halmazok, logika. Kombinatorika. M veletek racion lis sz mokkal. Sz melm leti fogalmak oszt k sz ma. Aktu lis kiadv nyokban szerepl grakonok rtelmez se, elemz se. Kapcsolat a zik ban tanultakkal ( t, id, sebess g k zti sszef gg s, halmaz llapot-v ltoz sok). Tk. 2.01{2.07. Mgy. 2.01{2.11. Kompetenciam r s: Tk. 2.05. 22
27{28. ra 38{40. ra Egyenes ar nyoss g Az egyenes ar nyoss g mint f ggv ny. Ar ny, ar nyoss g, ar nyos oszt s. Az egyenes ar nyoss g grakonja. sszef gg sek zikai mennyis gek k z tt. Sz zal ksz m t ssal, oldatok kever s vel, mozg ssal kapcsolatos sz veges feladatok. T bl zatok k sz t se, elemz se. Tk. 2.08{2.13. Mgy. 2.01{2.03., 2.26{2.28. Fgy. 2.4.12{13., 3.2.01{08. Kompetenciam r s: Tk. 2.10., 2.13. 29{31. ra 41{43. ra Line ris f ggv ny A line ris f ggv ny rtelmez se konkr t feladatokkal. Az egyenes ar nyoss g, az els fok s nulladfok f ggv ny mint speci lis line ris f ggv nyek. Az y = ax + b k plettel adott f ggv ny param tereinek jelent se. Line ris f ggv ny grakonj nak megrajzol sa. Pontok koordin t inak meghat roz sa a f ggv ny grakonj r l. M veletek, m veleti tulajdons gok. H m rs klet-v ltoz sok, id - t grakonok. Tk. 2.14{2.22. Mgy. 2.23{2.30. Fgy. 3.2.04{11. Kompetenciam r s: Tk. 2.16., 2.18., 2.22. 32. ra 44. ra Asorozat mint f ggv ny A sorozat mint a pozit v term szetes sz mok halmaz n rtelmezett f ggv ny. Sorozat elemeinek megad sa szab ly alapj n, n h ny elem vel adott sorozathoz szab ly fel r sa. N vekv, illetve cs kken sorozatok. Sz mol s t rtalakban, illetve tizedest rt alakban adott racion lis sz mokkal. Az algebrai kifejez sekr l tanultak el k sz t se. Tk. 2.23{2.24. Mgy. 2.38{2.39. 33{34. ra 45{46. ra Ford tott ar nyoss g A ford tott ar nyoss g mint f ggv ny. Ar ny, ar nyoss gi k vetkeztet sek. A ford tott ar nyoss g grakonja. Az egyenes ar nyoss g, a line ris f ggv nykapcsolat, illetve a ford tott ar nyoss g felismer se, megk l nb ztet se konkr t feladatokban. sszef gg sek zikai mennyis gek k z tt, mozg ssal kapcsolatos sz veges feladatok. Ter letsz m t s. Tk. 2.25{2.29. Mgy. 2.40. Fgy. 2.4.14{19. Akompetenciam r sre felk sz t s szempontj b l mindegyik feladat feldolgoz s t javasoljuk. 35{36. ra 47{50. ra Gyakorl s, a 2. felm r s meg rat sa Gyakorl s, rendszerez s, ism tl s, a hi nyok p tl s nak megszervez se. Tk. B2.01{B2.12., 2.30. Kompetenciam r s: Tk. B2.06., B2.09{B2.12., 2.30. 23