Lézerspektroszkópia ritkaföldfémekkel adalékolt egykristályokban

Sinkovicz Péter Lézerspektroszkópia ritkaföldfémekkel adalékolt egykristályokban Fizika BSc szakdolgozat Sinkovicz Péter az ELTE TTK Fizika BSc hallgatója Témavezetők: Tanszék: Kis Zsolt, Mandula Gábor MTA Szilárdtestfizikai és Optikai Kutatóintézet 111 Budapest, Konkoly-T. Miklós út 9-33. ELTE TTK Fizikai Intézet Komplex Rendszerek Fizikája Tsz. Budapest, 1 május

Tartalomjegyzék 1. Előszó 5 I. Atomi átmenetek külső tér hatására 7. Atomok mozgásegyenlete elektromágneses térben 9.1. Hatás elektromágneses térben............................ 9.1.1. Szabad részecske relativisztikus hatása.................. 9.1.. Részecske és elektromágneses tér kölcsönhatásának hatása........ 1.. Lagrange függvény elektromágneses térben.................... 1.3. Mozgásegyenlet elektromágneses térben...................... 11.4. Töltött részecske Hamilton-operátora elektromágneses térben........... 11.4.1. A kölcsönhatási tag dipól közelítése.................... 1.5. Rabi-modell..................................... 14 3. Elektromágneses tér kvantálása 1 3.1. Kvantált vektorpotenciál.............................. 1 3.. Kvantált tér energiája................................ 4. Fotonok abszorpciója és emissziója 5 4.1. Ĥ a+s kölcsönhatási képben............................ 5 4.. Emisszió....................................... 7 4..1.. közelítés................................. 8 4... 1. közelítés................................. 8 4..3. A Hfi kh mátrixelem kiszámítása...................... 8 4..4. Az emisszió valószínűsége......................... 9 4..5. Spontán emissziós ráta........................... 3 4.3. Abszorpció..................................... 31 4.4. Einstein-koefficiensek................................ 3 4.5. Weisskopf-Wigner elmélet............................. 33 II. Mérések, Szimulációk 35 5. A mérés összefoglalása 37 6. Akuszto-optikai modulátor 41 6.1. Elméleti összefoglaló................................ 41 6.. Mérés........................................ 43 6..1. Bragg szög meghatározása......................... 43 3

4 TARTALOMJEGYZÉK 6... Frekvencia-karakterisztika......................... 45 6.3. A mérés kiértékelés................................. 46 6.3.1. Lézer adatainak meghatározása...................... 46 6.3.. Számolt és mért Bragg-szög összehasonlítása............... 47 6.3.3. Szög-karakterisztika kísérleti ellenőrzése................. 47 7. Macskaszem összeállítás 49 7.1. Optikai elemek paraxiális közelítésben....................... 49 7.. Szabad terjedés átviteli mátrixa........................... 5 7.3. Vékony lencse átviteli mátrixa........................... 51 7.3.1. Ferde tükör átviteli mátrixa......................... 5 7.4. A szimuláció eredményei.............................. 53 7.4.1. Jól beállított tükör............................. 54 7.4.. Ferdén beállított tükör........................... 58 7.4.3. Teljes perturbáció.............................. 58 8. Szaturációs spektroszkópia 61 8.1. Elméleti háttér.................................... 61 8.1.1. Master-egyenlet............................... 61 8.1.. Master-egyenlet két-állapotú rendszerre.................. 6 8.1.3. Hullámterjedés polarizálható közegben.................. 66 8.. Mérés........................................ 67 8..1. A várható jelalak meghatározása...................... 67 8... T becslése Z-scan módszerrel....................... 68 8..3. T 1 becslése................................. 7

1. fejezet Előszó Előkészítve az MTA SZFKI Kristályfizikai Osztályán tervezett koherens kontroll kísérleteket, az erbium Er) egy adott spektrumvonalának kiszélesedését tanulmányoztam egy Er-mal adalékolt lítium-niobát LiNbO 3 ) egykristályban. Kristályszerkezetileg az adalékolás a következőképpen történt: a) A tiszta LiNbO 3 egykristály b) Tetszőleges ritka földfémmel R) adalékolt LiNbO 3:R 3+ egykristály Tehát az egykristály néhány minden 1 5 -dik ) Li + atomja helyett egy szubsztitúciós Er 3+ került, ami kötést létesített három elektronjával kettő külső és egy törzs elektron). Így egy háromszorosan töltött Er 3+ jelenik meg a kristályban az egyszeresen töltött Li + helyett, ami a töltéshiánya miatt kristályhibákat idéz elő. Az előbb említett adalékolt kristályszerkezetből adódó hatások az Er spektrumában is észrevehetőek, azaz az egykristályban kötött Er más spektrumot mutat mint a szabadon, mivel a kristálytér a degenerált energianívókat felhasítja, a természetes vonalszélességet kiszélesíti kölcsönhatás a fononokkal), és inhomogén vonalkiszélesedést is okoznak az Er ion körül kialakuló hibahelyek. Ez látható a következő ábrán, ahol pirossal van feltüntetve az általunk vizsgált átmenethez tartozó vonal, sárgára van festve az egyes nívók homogén vonalai és kékkel az inhomogén vonalkiszélesedés burkolója:

6 1. FEJEZET. ELŐSZÓ 1.8 absorbance.6.4. 5.5.5 5 detuning Az Er általunk vizsgált átmenete 98 nm-es tartományba esik, ebben a tartományban három átmenet található, ebből mi a 98.5 nm-es csúcshoz tartozó átmenetet gerjesztettük, egy diódalézer segítségével. A rezonancia feltételnek megfelelően a lézer és az átmenethez tartozó frekvencia közel azonos. Az Er vizsgált spektrum tartománya a következő ábrákon látható: áteresztõképesség ö. e.) 1..8.6.4. LiNbO 3 :Er spektruma áteresztõképesség ö. e.) 1..8.6.4. LiNbO 3 :Er elnyelési vonalai 98 nm körül. 965 97 975 98 hullámhossz nm). 979 98 981 hullámhossz nm) A diplomamunka célja, hogy a telítési lézerspektroszkópia kísérletet végezzünk LiNbO 3 -ban az adalék Er ionok 98.5nm körüli inhomogénan kiszélesedett spektrumvonalán. Ezen kívül megbecsüljük a gerjesztett állapot élettartamát.

I. rész Atomi átmenetek külső tér hatására 7

. fejezet Atomok mozgásegyenlete elektromágneses térben.1. Hatás elektromágneses térben Elektromágneses térben mozgó töltött részecskére a hatás két összetevőből származik: a szabad részecskére vonatkozó hatásból és a részecske és az erőtér közti kölcsönhatásból..1.1. Szabad részecske relativisztikus hatása S = S sz + S r+e..1) A fizikában megvalósuló folyamatok, a legkisebb hatás mentén történnek, így a hatásnak invariánsnak kell lennie a Lorenzt transzformációra [1]. A legegyszerűbb invariáns mennyiség az ívhossz, tehát tegyük fel, hogy a szabad részecske hatása arányos az ívhosszal, az arányossági tényezőt pedig jelöljük α-val: S sz = α b a ds..) Már csak az a dolgunk, hogy α-t meghatározzuk. Induljunk ki abból, hogy a Lagrange függvény idő szerinti integrálja megegyezik a hatással és alakítsuk át a.) összefüggést úgy, hogy abból leolvashassuk a Lagrange függvényt, t t 1 L t ) t dt = S = α t 1 ds dt dt..3) Felhasználva az ívhossz definícióját, miszerint: s,1 := c t t 1 ) x x 1 ) y y 1 ) z z 1 ),.4) a.3) kifejezésben elvégezhetjük a deriválást: t L t ) t dt = α c 1 v t 1 c dt..5) t 1 Kis sebességre v c) a négyzetgyök sorbafejthető: ) Lx,t) = αc 1 v v αc + αc c c..6)

.. Lagrange függvény elektromágneses térben 1 A fenti képletben szereplő konstans tag nem változtatja meg a mozgásegyenleteket. A második tagnak pedig, c határesetben a klasszikus Lagrange függvénybe kell átmennie, így: α = mc..7).1.. Részecske és elektromágneses tér kölcsönhatásának hatása Korántsem evidens, hogy miért írható fel a.9) módón a hatásnak ez a tagja, de a kísérletek, megfigyelések ezt alátámasszák. Legyen a négyes elektromágneses potenciálnak az első komponense a skalárpotenciál és az utolsó három komponense pedig a vektorpotenciál: A µ := [ φ, A] µ..8) A négyes potenciál segítségével a e töltésű részecske és erőtér kölcsönhatásának a hatása: S r+e := e Tehát az elektromágneses térben lévő töltött részecske hatásfüggvénye: S =.. Lagrange függvény elektromágneses térben b a A µ dx µ..9) mcds ea µ dx µ )..1) Számoljunk c = 1 egységekben. Hasonló meggondolások alapján mint az előbb most is meghatározhatjuk a rendszer Lagrange függvényét: S = A hatás.1)-ben leírt alakját alakítsuk át.11) alakra: S = m ds e ds dt dt e A µ dx µ = m Ldt,.11) ds e φdt + e Adx = m φdt + e A dx dt dt ) = m 1 v eφ + eav dt..1) Tehát a Lagrange függvény: L = m 1 v + eav eφ,.13) ami kis sebességekre ezt fogjuk majd használni, azaz nem relativisztikus mozgásoknál v 1), a gyökös kifejezés sorba fejthető és a konstans tag elhagyásával azt kapjuk: L = 1 mv + eav eφ..14)

. fejezet. Atomok mozgásegyenlete elektromágneses térben 11.3. Mozgásegyenlet elektromágneses térben A mozgásegyenleteinket, a Lagrange-féle, variációs elven alapuló egyenletek adják []: d L L =..15) dt ṙ i r i Ha ide behelyettesítjük a.14)-ban meghatározott Lagrange függvényt, akkor megkaphatjuk a Lorentz erővel kifejezett Newton egyenletet: mṙ + ea) = e[ φ ṙa)],.16) t a kifejtési tételt ) a b c = b a c) a ) b c,.17) felhasználva és Coulomb mértékben számolva A = ): m r + eȧ = e[ φ ṙa)] = e[ φ ṙa) ṙ A)] ] m r = e [ φ Ȧ + ṙ A) = ee + ṙ B) = F Lorentz..18).4. Töltött részecske Hamilton-operátora elektromágneses térben Klasszikus mechanikából ismert, hogy egy rendszer Hamilton-függvényét a következőképpen állíthatjuk elő a Lagrange függvényéből, általános-impulzusai és koordinátái segítségével: H = i ṙ i p i L,.19) ahol L-t a.14) összefüggést definiálja, és belőle származtathatjuk az általános impulzusokat: Így a Hamilton-függvény p i = L ṙ i = mṙ i + ea i..) ) 1 H = mṙ + ea) ṙ mv eφ + eṙa = 1 mv + eφ = 1 m p ea) + eφ..1) Most kvantáljuk a kanonikusan konjugált {r i,p i } dinamikai változókat, így megkapjuk a.1)- ből előállított Hamilton-operátort: Ĥ = 1 m ˆp ea) + eφ = 1 m i ea) + eφ..) Ezt írjuk be a Schrödinger egyenletbe hogy lássuk hogyan hat a ψ-re, és elvégezhessük a négyzetre emelést), amely megadja a rendszer mozgásegyenletét: i ψ = Ĥψ..3) t A Hamilton-operátorban szereplő négyzetes tagot kifejtjük:

.4. Töltött részecske Hamilton-operátora elektromágneses térben 1 Ĥψ = = [ ] 1 m ih ea) + eφ ψ [ 1 + e A + i ea + i ea ) ] + eφ ψ m = m ψ + e m A ψ + eφψ + i e A + A )ψ,.4) m amit egyszerűbb alakra hozhatunk, mivel az utolsó tag teljes divergenciás részében a Coulomb mérték miatt vannak további eltűnő tagok: Így a Schrödinger egyenlet: Aψ) + A ψ) = [A ψ) + A)ψ] + A ψ) = A ψ)..5) i ψ = i e e ψ + eφψ + A ψ) + m m m A ψ..6) Az utolsó tag arányos e A -tel, ezért elhanyagolható, ha nem túl erős elektromágneses teret vizsgálunk, így: i ψ ) Ĥa t = + Ĥa+s ψ,.7) ahol Ĥa a skalárpotenciálban mozgó részecske Hamilton-operátora H atom) és Ĥa+s a kölcsönhatási tag: Ĥ a = ˆp m + eφ,.8a) Ĥ a+s = e Aˆp..8b) m.4.1. A kölcsönhatási tag dipól közelítése Vizsgáljunk egy két-állapotú rendszert, ahol g jelölje az alapállapotot és e a gerjesztett állapotot. És jelöljük Ĥa sajátértékeit ezen a bázison a következőképpen: Számítsuk ki Ĥa+s mátrixelemeit. A diagonális elemek eltűnnek: Ĥ a g = ǫ g g,.9a) Ĥ a e = ǫ e e..9b) g Aˆp g A g ˆp g =,.3a) e Aˆp e A e ˆp e =,.3b) mivel feltesszük, hogy A az atomi méretekhez képest lassan változik továbbá, hogy a hullámfüggvények párosak vagy páratlanok, tehát a deriváltjuk páratlan/páros, így egy nulla körüli intervallumon kell egy párosszor páratlan függvényt integrálni, ami nullát ad. A nem-diagonális elemekre kapjuk: e Aˆp g A e ˆp g = A e mṙ + ea g A e mṙ g..31)

. fejezet. Atomok mozgásegyenlete elektromágneses térben 13 Tetszőleges fizikai operátor időbeli fejlődése felírható az operátor és a Hamilton-operátor kommutátorának segítségével. A Schrödinger és a Heinsenberg képben vett hullámfüggvények: ψr,t) S = e i Ĥt ψr,).3a) ψr,) H = e i Ĥt ψr,t).3b) Schrödinger képben egy B fizikai mennyiséget leíró operátort a következőképpen transzformálhatunk át Heinsenberg képbe: Így Ennek az időbeli megváltozása: ψ S ˆB ψ S = ψ S e i Ĥt e i Ĥt ˆBS e i Ĥt e i Ĥt ψ S i ˆB H t = i Ha ˆB S nem függ explicite az időtől, akkor = ψ H e i Ĥt ˆBS e i Ĥt ψ H..33) ˆB H = e i Ĥt ˆBS e i Ĥt..34) ) i Ĥ ˆB H i ˆB H Ĥ + e i Ĥt ˆB S t e i Ĥt..35) i ˆB H [ =,Ĥ] ˆBH..36) t Ezt alkalmazva a.31) egyenletben szereplő a ṙ-re: [ ] [ i ṙ = r,ĥa + Ĥa+s = r,ĥa ] e m [r,aˆp] = [ r,ĥa ] e i A,.37) m melyet átrendezve: ṙ = i [ ] r,ĥa e A..38) m Így tehát a nem-diagonális mátrixelemek a következőképpen írhatók: i [ ] A e mṙ g = A e m r,ĥa + e ) m A g,.39a) A e mṙ g = A e i ] [r,ĥa m + ea g..39b) Felhasználva, hogy A lassan változik, megint kiemelhető az integrál elé és a két állapot ortogonális egymásra, így a második tag járuléka, A e mṙ g = i ma e rĥa Ĥar g..4) Használjuk fel a.9a) és.9b)-ben leírt hatását a H a -nak A e mṙ g = i mar egǫ g ǫ e r eg ) = imaω eg r eg,.41)

.5. Rabi-modell 14 ahol ω eg = ǫe ǫg és d eg = e e r g. Tehát.8b)-ben szereplő H a+s mátrix: [ ] iω Ĥ a+s = eg Ad ge..4) iω eg Ad eg Egy másik lehetőség a dipól közelítés bevezetésére az elektromágneses tér potenciáljainak mértéktranszformációja. Legyen χr, t) egy differenciálható függvény. Ekkor a transzformációkkal a megfigyelhető E és B nem változnak, mivel A = A + χ,.43a) φ = φ χ t,.43b) E = E = φ A t, B = B = A..44a).44b) Dipól közelítésben a vektorpotenciál a töltött részecske hullámfüggvényének kiterjedésén lassan változik r-ben, tehát feltesszük, hogy A = AR, t), ahol R a rendszer tömegközéppontjának a koordinátája. Válasszuk a χr,t) = AR,t) r függvényt. Ekkor a transzformált A -re igaz, hogy A = A + χ =, valamint φ = φ + r A t = φ r E T,.45) ahol E T az elektromos térerősség transzverz komponense. A φ és A mennyiségeket behelyettesítve a.) Hamilton-operátorba kapjuk: Ĥ = ˆp m + eφ ere T..46) A továbbiakban használjuk a E T E jelölést. A fenti Hamilton-operátorban a kölcsönhatási tag mátrixa két-állapotú rendszer esetén a következő: [ ] Ed Ĥ a+s = ge..47) Ed eg A.4) és.47) kölcsönhatási mátrixok különbözőek. Később látni fogjuk, hogy forgó hullámú közelítésben, közel rezonáns gerjesztés esetén a kettő majdnem egybeesik..5. Rabi-modell Ebben a fejezetben való számolás során használjuk a hullámfüggvény együtthatóiból képzett bázisokat [ ] cg ψ = c g g + c e e,.48) és ebben írjuk fel a Schrödinger egyenletet: i [ ] [ cg ǫ = g t c e Ed eg Valamint térjünk át Schrödinger képről kölcsönhatásira c e Ed ge ǫ e ][ cg c e ]..49)

. fejezet. Atomok mozgásegyenlete elektromágneses térben 15 ψ kh := e i Ĥat ψ S..5) Vegyük ennek az idő deriváltját amiből meghatározhatjuk, hogy hogyan transzformálódott át a H a+s a kölcsönhatási képbe való áttérés során. i t e i Ĥat ψ S i = i kh Ĥaψ + e i Ĥat ) t ψs = Ĥaψ kh + e i Ĥat [ Ĥ a + Ĥa+s )e i Ĥat e i Ĥat ψ S] Ha a tér harmonikusan változik: akkor a Schrödinger egyenlet kölcsönhatási képben: = e i Ĥat dee i Ĥat ψ kh := H kh a+sψ kh.51) E := E cos ω k t) = 1 E e iω k t + e iω kt ),.5) i t [ bg b e ] = [ Ω cos ω k t) e iωegt Ω cos ω k t) e iωegt ][ bg b e ],.53) ahol Ω = dege a Rabi-frekvencia. Az egyenletet numerikusan, a Runge-Kutta módszerrel megoldva meghatároztam b g és b e időfüggését a b g ) = 1 és b e ) = kezdeti feltétel esetén. A P g = b g t) és P e = b e t) valószínűségeket mutatja a következő ábra: 1.9.8.7 b e és b g.6.5.4.3..1 4 6 8 1 t

.5. Rabi-modell 16 Forgóhullámú közelítés - fénnyel együtt forgó koordinátarendszer Mint ahogy azt láttuk, a teljes Hamilton-operátort egy atomi és egy tér és atom közti kölcsönhatást leíróra lehet bontani: Ĥ = Ĥa + Ĥa+s = Ĥa d E,.54) ahol E = 1 E e iω k t + e iω kt ). Térjünk át megint kölcsönhatási képre: Ha a Ha+s S a következő alakú: ψ kh = e i Ĥat ψ,.55) Ĥ kh a+s = e i Ĥat Ĥ a+s e i Ĥat..56) Ĥ a+s = 1 E e iω k t + e iω kt ) d ge g e + d eg e g ),.57) akkor a kölcsönhatási képben a következőképpen néz ki: Ĥ kh a+s = 1 E e iω k t + e iω kt ) d ge e iωegt g e + d eg e iωegt e g ),.58) Jelöljük -val az az atomi energiaszintek és a tér és közti elhangolást = ω eg ω k, és most végezzük el a forgóhullámú közelítést Rotating Wave Approximation, RWA), a közelítéssel nem okozunk nagy hibát, amennyiben,ω ω eg : a+s 1 E dge e i t g e + d eg e i t e g ) = [ Ω e i t ] Ωe i t..59) Ĥ kh A fénnyel együtt forgó koordinátarendszer bázisaiban kifejtett ψ-t jelöljük ψ RWA -vel. A hullámfüggvény és a Hamilton-operátor transzformációját hasonló összefüggések adják, mint amikor a kölcsönhatási képre tértünk át: ψ RWA = e i t e e ψ kh = Ûψkh.6) H RWA -t ugyanolyan módon határozhatjuk meg, mint ahogy az eddigi bázisváltásokkor. Ĥ RWA a+s = e e + ÛĤkh a+sû = e e + Ω g e + Ω e g.61) = [ ] Ω..6) Ω Ha most együtt ábrázoljuk a RWA és az előző módszer megoldását, akkor jól láthatjuk hogy míg teljesül a,ω ω eg feltételek addig a közelítés jónak bizonyul:

. fejezet. Atomok mozgásegyenlete elektromágneses térben 17 1.9.8.7 b e és b g.6.5.4.3..1 4 6 8 1 t ω eg =.1 és Ω ω eg =. Ha azonban elrontjuk ezt az arányt, azaz nem teljesítjük a feltételeket, akkor a közelítésünk értelmét veszti, ezt mutatják a következő ábrák: Először nézzük meg hogyan változik a két megoldás, ha külön-külön szegjük meg a közelítési feltételeket.

.5. Rabi-modell 18 1.9.8.7 b e és b g.6.5.4.3..1.5 1 1.5.5 t ω eg =.1 és Ω ω eg =.9 1.9.8.7 b e és b g.6.5.4.3..1 4 6 8 1 t ω eg =.5 és Ω ω eg =.

. fejezet. Atomok mozgásegyenlete elektromágneses térben 19 1.9.8.7 b e és b g.6.5.4.3..1.5 1 1.5.5 t ω eg =.5 és Ω ω eg =.9

.5. Rabi-modell

3. fejezet Elektromágneses tér kvantálása Az atom+fény csatolt rendszer leírásához térjünk át a tér kvantált leírására. Az elektromágneses tér dinamikáját a Maxwell-egyenletek írják le. Induljunk ki az üres anyag nélküli) teret leíró egyenletekből: H E T = µ t, H = ε E T E T =, H =, t, 3.1) ahol E T azt jelőli, hogy üres térben a az elektromos mezőnek csak transzverz komponense van. 3.1. Kvantált vektorpotenciál A két térerősség divergenciájára vonatkozó összefüggésből következik, hogy Ar, t) vektorpotenciál, ami segítségével felírhatjuk Er, t) és Hr, t)-t, a 3.) összefüggés teremt kapcsolatot a térerősségek és a vektorpotenciál között. E T = A t H = 1 µ A 3.) Ar, t)-t bontsuk fel k hullámvektorú síkhullámok szerint: Ar,t) = k,σ [ ] A k,σ t)e ikr + c.c., 3.3) ahol σ a két irányban lévő polarizáción fut, és a c.c. a komplex konjugált A k,σ t)e ikr) = A k,σ t)e ikr. 3.4) A tér kvantálását úgy valósítjuk meg, hogy a teret nagy téglatestekre bontjuk, a téglatestek határán periodikus határfeltételt szabunk. Az egyszerűség kedvéért legyen egy L oldalélű kockánk a téglatest helyett. Ekkor a periodikus határfeltétel azt jelenti, hogy Ar) = Ar + L), 3.5) Ezen feltételből adódik, hogy k csak diszkrét értékeket vehet fel, mégpedig: k i = π L n i, i = {x,y,z}, n i Z. 3.6)

3.. Kvantált tér energiája Coulomb transzverz) mértékben teljesülnie kell, hogy A =. Ez a síkhullám felbontásban azt jelenti, hogy [ ] ika k,σ t)e ikr + c.c. =. 3.7) k,σ Amiből következik, hogy A k k. A gerjesztési- és Faraday-törvényből következik, hogy Coulomb mértékben Ar, t)-nak ki kell elégítenie a Dalambert-féle hullámegyenletet: Ha most beírjuk Ar, t) 3.3) egyenletben felírt alakját a 3.8)-etbe: k,σ A 1 A c =. 3.8) t [ k ) A k,σ t)e ikr + c.c.] 1 [ ] c t A k,σ t)e ikr + c.c. =. 3.9) Az e ikr -ek bázist alkotnak minden k-ra más értéket vesznek fel), így a 3.9) egyenlet minden k-ra teljesül: k A k,σ + 1 c A k,σ t =. 3.1) Az 3.1) egyenletet megoldva és a diszperziós relációt ω k = kc) felhasználva, a következő exponenciális időfüggés adódik At)-ra: A k,σ t) = A k,σ e iω kt. 3.11) A - előjelet azért válasszuk, mert ekkor k irányba haladó síkhullámokra bontjuk A-t. Tehát Ar, t)-ra a követetkezőt kapjuk: Ar,t) = k,σ ) A k,σ e ikr iωkt + c.c.. 3.1) 3.. Kvantált tér energiája Ugyancsak a Faraday és a gerjesztési-törvényből következik, hogy a V térfogatban tárolt energiát a következőképpen számolhatjuk ki []: ǫ k = 1 V =L L L dv ǫ E k + µ H k, ), 3.13) ahol a felülvonás az időátlagot jelöli. A rövidség kedvéért bevezettük a k = { k,σ} jelölést. A térfogatban tárolt energiáját fejezzük ki a vektorpotenciál segítségével! Ehhez előtte határozzuk meg, hogy hogyan írható fel a térerősségek a vektorpotenciál segítségével. 1. A k módushoz tartozó elektromos térerősség a vektorpotenciállal kifejezve: E k = ) iω k A k e ikr iωkt + c.c. 3.14)

3. fejezet. Elektromágneses tér kvantálása 3. Mágneses térerősség a vektorpotenciállal kifejezve: H k = 1 i j k µ x y z A x A y A z = 1 y A z z A y z A x x A z µ x A y y A x = 1 iky A z e iωkt+ikr + c.c ) ik z A y e iωkt+ikr + c.c ) ikz A x e iωkt+ikr + c.c ) ik x A z e iωkt+ikr + c.c ) µ ikx A y e iωkt+ikr + c.c ) ik x A x e iωkt+ikr + c.c ) = 1 µ ik y A z e iω kt+ikr ik z A y e iω kt+ikr ik z A x e iω kt+ikr ik x A z e iω kt+ikr ik x A y e iω kt+ikr ik x A x e iω kt+ikr + c.c. 3.15) Vezessük be a következő jelölést, hogy tömörebben írhassuk a 3.15) kifejezést. Legyen: A +) k := A k e iω kt+ikr A ) k := A +) k ) 3.16) Így a 3.15) kifejezést a következőképpen írhatjuk fel: H k = ik A +) k + c.c. 3.17) Tehát a 3.14) és a 3.17) egyenlet segítségével a két térerősség négyzetének az időátlaga: A V térfogatban tárolt energia pedig: E k = ωk A+) k A ) k H k = k 1 µ µ 3.18a) A +) k A ) k, 3.18b) ) ǫ k = V ω k ε + k A +) k A ) k. 3.19) Felhasználva, hogy c = 1 ε µ és a diszperziós relációt, a 3.19) tovább alakítható: ǫ k = ε V A +) k A ) k ωk, 3.) Innen a kvantált tér Hamilton-operátorának megkapása már csak két lépés. Bontsuk fel a vektorpotenciált valós és képzetes részre és hajtsunk végre egy egyszerű átskálázást rajta, hogy a végső összefüggésünk az energiára szemléletesebb legyen. A +) k = 1 4ε V ωk ω k Q k + ip k ) e k, 3.1) ahol e k e k,σ egy polarizációs egységvektor, melyre teljesül, hogy k e k =. Így A +) k A ) k = 1 4ε V ω k A V térfogatban tárolt energia az új mennyiségekkel kifejezve: ǫ k = 1 ω k Q k + P k ). 3.) ω k Q k + P k ). 3.3)

3.. Kvantált tér energiája 4 A {Q k,p k } kanonikusan konjugált mennyiségeket operátorokra cseréljük és ezzel megkapjuk a kvantált tér Hamilton-operátorát: Ĥ sug = 1 Ĥ k = 1 ˆP k + ωk ˆQ k), 3.4) k A k módus Hamilton-operátora ekvivalens a harmonikus oszcillátor Hamilton-operátorával. Ezért, a harmonikus oszcillátorral analóg módon: [ 1. ˆQ, ˆP] = i. Ĥ k ψ k,n = ω k n + 1/) ψ k,n k

4. fejezet Fotonok abszorpciója és emissziója Legyen a vizsgálni kívánt rendszer két-szintű: ahol ω eg a két állapot közti átmenet frekvenciája, ω k a külső tér frekvenciája, az elhangolás. Az atom + kvantált tér zárt rendszert alkot, melynek teljes Hamilton-operátora: ahol az atom Hamilton-operátora, Ĥ tot = Ĥa + Ĥsug + Ĥa+s, 4.1) Ĥ sug = k,σ Ĥ a = p + eu 4.) m ω k a k a k + 1 ) 4.3) az elektromágneses tér 3.4) Hamilton-operátora, és a tér és atom dipól kölcsönhatása.47). Ĥ a+s = ˆdÊ 4.4) 4.1. Ĥ a+s kölcsönhatási képben A későbbi fejezetekben időfüggő perturbációszámítást fogunk végezni, így érdemes most áttérnünk. A dipól kölcsönhatásban szereplő elektromos teret a vektorpotenciállal kifejezve []: Ê = A t = i ] [Â, Ĥ sug = i a l e ilr + a ǫ V ω l e ilr) ê l, ) ω k a k a k + 1. 4.5) l l,σ k,σ

4.1. Ĥ a+s kölcsönhatási képben 6 A léptető operátorok, kommutációs tulajdonságát a 4.6) összefüggés írja le: [a k,a l ] = [ ] a k,a l = A 4.5)-ben szereplő léptető operátorok kommutátora: [ ] a l,a k = δ kl 4.6) [ ] a l,a k a k = = ) a l a k a k a l a k + a k a la k a k a l ) = a l a k a k a k a ka l = [ ] [ ] a l,a k a k + a k [a l,a k ] = a l,a k a k = δ k,l a k. 4.7) Így Ê = i k,l = i k,σ ω k a k δ k,l e ikr a ǫ V ω k δ k,le ikr) ê k k ωk a k e ikr a ǫ V k e ikr) ê k. 4.8) Most használjuk ki azt a tulajdonságát a rendszerünknek, hogy két állapota van, azaz a következő mátrixelemek lehetségesek: g ˆdÊ g = e ˆdÊ e = g ˆdÊ e = ˆd ge Ê e ˆdÊ g = ˆd eg Ê. 4.9) A diagonális elemek azért tűnnek el, mert dipól közelítésben Ê kiemelhető az integrálból és ˆd pedig páratlan függvénye a helynek. Így az atom és a sugárzási tér kölcsönhatását leíró Hamiltonoperátor a következő: H a+s = i k,σ ωk ǫ V a k e ikr a k e ikr) ê k ˆdeg e g + ˆd ) ge g e. 4.1) Most is célszerű áttérni kölcsönhatási képbe. Bontsuk fel két részre kölcsönhatás nélküli + kölcsönhatás a teljes Hamilton-operátort: Ĥ tot = Ĥa + Ĥsug + Ĥa+s = Ĥ + Ĥa+s. 4.11) A kölcsönhatási képbe való áttérést a 4.1) időfejlesztő operátor segítségével tehetjük meg: Û = e i Ĥt. 4.1) Az áttérés során a következőképpen transzformálódik a hullámfüggvény és a Hamilton-operátor: ψ kh = Û ψ S Ĥ kh a+s = Û H a+s Û. 4.13) A 4.1)-ben található módón felírt Ĥa+s operátor transzformációját nézzük meg hatásonként, és számítsuk ki először, hogy hogyan transzformálódik a â k e g. e i H t a k e g e i H t = e i Hsugt a k e i Hsugt e i Hat e g e i Hat 4.14)

4. fejezet. Fotonok abszorpciója és emissziója 7 Ha most felhasználjuk az ábra jelöléseit, azaz: H a e = ǫ e és H a g = ǫ g Û a k e g Û = a k e g e iωeq ω k)t. 4.15) A fenti kifejezésben az a k transzformációját a következőképpen kaptuk: Meghatároztuk a a k e i Hsugt szorzatot. Ehhez az exponenciálist sor alakba írjuk fel e i Hsugt = N iω k ) N a k a k) N t N N!. A k módusra, átrendezéssel kapjuk a k a k a k Ezt visszahelyettesítve az exponens kifelytésébe az eredmény ) N = 1 + a k a k) N ak. 4.16) a k e i Hsugt = e i Hsugt iω kt a k. 4.17) Ebből már következik a transzformációra kapott 4.15) képlet. A sugárzási tér és az atom közti kölcsönhatást leíró Hamilton-operátor kölcsönhatási képben: Ĥa+s kh = i ωk ǫ V k,σ â k e iω kt â k eiω kt ) ê k d e iωegt e g + e iωegt g e ) 4.18) Ha felbontjuk a zárójelet, akkor láthatjuk, hogy négy tagra esik a H a+s, mind a négy tag más és más folyamatot ír le: Ezeket a folyamatokat fogom részletesen bemutatni az elkövetkező néhány fejezetben. A két felső ábra, rendre, az abszorpciónak és emissziónak felel meg, és látni fogjuk, hogy az alsó két ábrán lévő folyamatok nem valósulhatnak meg. 4.. Emisszió Az atom + tér rendszert közösen egy ψ állapotvektorral írhatjuk le. A kezdeti állapotot leíró állapotvektor a következő: ψ i = e,n k, azaz kezdetben a tér k módusában n k db foton volt,

4.. Emisszió 8 az atom pedig gerjesztett állapotban excited state) volt. A 4.18) képletből következik, hogy ha kezdetben a k módusban n k foton van, akkor az alapállapotba való átmenet során ugyanebben a módusban 1 fotonnak keletkeznie kell. Ezért a végállapot állapotvektora: ψ f = g,n k + 1 azaz míg az atom alapállapotba ground state) került, ez alatt kisugárzott egy ω k energiájú fotont []. A folyamat során a rendszer állapotvektora felírható a kezdeti és végállapot szuperpozíciójaként: A kezdeti feltételek: c e t i ) = 1 és c g t i ) =. ψ = c e ψ i + c g ψ f. 4.19) 4..1.. közelítés Az időfüggő perturbációszámítás nulladik közelítésében nem írható fel átmenet, tehát a rendszer kezdeti állapotban marad, így a folyamatot leíró állapotvektor megegyezik a kezdeti állapotéval: azaz c ) e = 1 és c ) g =. ψ = 1 ψ i + ψ f, 4.) 4... 1. közelítés Az időfüggő perturbációszámítás első közelítés értelmében a következő differenciálegyenlet íható fel a c g együtthatóra: i c1) g t = ψ f H kh a+s ψ i c ) e, 4.1) ahol H kh a+s a sugárzás és az atomok közti kölcsönhatást leíró Hamilton-operátor kölcsönhatási képben: H kh a+s = i k V k a k e iω kt a k eiω kt ) e iω egt e g + e iωegt g e ), 4.) ahol V k := ωk ǫ V e k d, 4.3) és a k a térben lévő fotonok léptető operátora. a k fotont tüntet el, a + k pedig fotont kelt a térben. a k n k = n k n k 1, 4.4a) a k n k = n k + 1 n k + 1. 4.4b) 4..3. A H kh fi mátrixelem kiszámítása Az átmenet valószínűségének meghatározásához szükségünk lesz a H kh fi mátrixelemre:

4. fejezet. Fotonok abszorpciója és emissziója 9 H kh fi = ψ f H kh a+s ψ i = i g,n k + 1 l V l a k e iω lt a l eiω lt ) e iω egt e g + e iωegt g e ) e,n k Felhasználva a léptető operátorok előző fejezetben leírt tulajdonságát és az állapotok ortogonalitását, kapjuk: H fi = i n k + 1 l V l a l e iωeg ω l)t n k = i n k + 1 V k e iωeg ω k)t 4.5) 4..4. Az emisszió valószínűsége Az előzőek alapján a következőt egyenletet kapjuk c g t) megváltozására: i c1) g t = i n k + 1 V k e iωeg ω k)t c ) e. 4.6) Egy egyszerű integrálás után és megkaphatjuk c 1) g értékét c 1) g = n k + 1V k t e iωeg ω k)t c ) e dt = 1 e iωeg ω k)t n k + 1V k. 4.7) iω eg ω k ) Vezessük be k := ω eg ω k, ami az átmenet és gerjesztő tér közti elhangolását jelenti, így c 1) g = n k + 1V k e i k t e i k t e i k k i t ) ) = k n k + 1V k e i k t t k. 4.8) Tehát g,n k + 1 állapot betöltésének valószínűsége: Ha t, akkor P 1) g ) sin k P g 1) = c g = V k t n k + 1). 4.9) k ) V k n k + 1) J δx), ezt láthatjuk a következő ábrán:

4.. Emisszió 3 4 3.5 t=1 t=1.5 t=1.5 t=1.75 t= 3.5 [sinx)/x] 1.5 1.5-1 -5 5 1 J értékét a következőképpen határozhatjuk meg: Így a P 1) g J = x ) sin k t k ) d k = πt. 4.3) megváltozásának a rátája időegységre eső változás) a perturbációszámítás 1. rendjében 4..5. Spontán emissziós ráta w e g 1) = πω k e k d nk + 1) δ ω eg ω k ). 4.31) ǫ o V A spontán emisszió során n k +1) tényezőből a +1-es tag játszik szerepet. Ha az atom kezdetben gerjesztett állapotban volt, akkor a fotontér állapotától függetlenül, miközben az atom alapállapotba kerül a fotontér valamely módusában megjelenik plusz egy foton. Ezt úgy vesszük figylembe, hogy a 4.31) képletbe n k = -t helyettesítünk és összegzünk a fotontér összes lehetséges egy-fotonos végállapotára: k A = π ǫ V k,σ ω k ekσ d δ ωeg ω k ), 4.3) A szummáról k térjünk át integrálra, ezt a következőképpen tehetjük meg: Az L élhosszúságú kockában, ahol a teret kvantáltuk, a lehetséges hullámszám vektorokat a 3.6) képlet adja meg. Ez alapján a hullámszám vektor π/l egységekkel változhat. Ezért a hullámszám vektorok háromdimenziós tere π/l) 3 térfogatú cellákra osztható. Minden egyes cellába csak egy vektor mutat. Így kapjuk L3 π) 3 d 3 k = V π π π) 3 dϕ dϑ sinϑ) dkk 4.33) Így a spontán emisszió rátája integrál alakban:

4. fejezet. Fotonok abszorpciója és emissziója 31 A = σ 1 8π ǫ π π dϕ dϑ k dk sin ϑω k ekσ d δ ωeg ω k ). 4.34) Mellék számításként végezzük el a polarizációs írányokra vett összegzést: e kd ) ) ) ) = d e 1,k e 1,kd + d e,k e,kd = d e 1,k e 1,k )d + d e,k e,k ) d! σ 4.35) Transzverz tér esetén a polarizációs irányok és a hullám terjedési iránya páronként merőlegesek egymásra azaz így Ezzel a polarizációra történő összegzést meghatároztuk: A = d 8π ǫ e 1,k e 1,k + e,k e,k + k k = Î, 4.36) e kd = d 1 cos ϑ) ) 4.37) σ dϑdϕ dω c 1 cos ϑ ) ω ) sin ϑ ωδ ωeg ω). 4.38) c Végül elvégezve az integrálokat megkapjuk a spontán emissziós rátát: 4.3. Abszorpció A = ω3 eg d 3πε c 3. 4.39) Az előzőekkel megegyező számolások alapján a következő adódik egy foton elnyelésének rátájára: w g e 1) = πω k e k d nk δω eg ω k ). 4.4) ǫ V Itt jegyzem meg, hogy a lehetségesnek tűnő másik két folyamat nem valósulhat meg, ott a δ hasában a két frekvencia összege szerepel és mivel egyik se lehet negatív szám, a δ soha nem vesz fel -tól különböző értéket.

4.4. Einstein-koefficiensek 3 4.4. Einstein-koefficiensek Az előző fejezetek alapján kvantált atom + elektromágnese mezőből kiindulva le lehet írni egy fekete test üregében kialakuló sugárzást, mely egyensúlyban van a fallal. Mint ahogy azt az előbb láttuk: egy, a fekete test sugárzásbeli térbe helyezett két állapotú mikrórendszernél a következő kölcsönhatások lehetségesek [3]: 1. Abszorpció: a rendszer elnyel egy ω eg energiájú fotont és g állapotról e -ba ugrik. Mint ahogy azt az előzőekben láttuk; az abszorpciók száma arányos a g energia) szinten található atomok számával N g ), valamint az energiasűrűséggel ω eg ) = ωeg V, az arányossági tényezőt jelöljük: B eg és ezt abszorpciós Einstein-koefficiensnek nevezik. N absz. = B eg N g ω eg ) 4.41). Emisszió: A gerjesztett állapotban lévő rendszer a tér hatására ω eg foton kibocsájtásával kerül vissza alapállapotba. Az ilyen folyamatok száma arányos a ω eg ) és a gerjesztett nívón lévő atomok számával. Az arányossági tényezőt B ge -vel jelöljük és ez emissziós Einstein-koefficiensnek nevezik. N em. = B ge N e ω eg ) 4.4) 3. Spontán emisszió: A magasabb szinten lévő atomok, minden külső hatás nélkül is "alapállapotba" kerülhetnek, ezt írja le a 4.31)-ban szereplő +1. Tehát ezek a folyamatok száma független a tértől és csak a gerjesztett állapotban lévő atomok számával arányos, az arányossági tényezőt jelöljük A-val. N sp. = AN e. 4.43) Egyensúly esetén az időegység alatt lezajlódó abszorpciók számának meg kell egyeznie az emissziók számával: B eg N g ω eg ) = AN e + B ge N e ω eg ). 4.44) Termikus egyensúly esetén az atomok eloszlását a Boltzmann-törvény írja le: N e = N g e ωeg kt. 4.45) Ha a hőmérséklet magas akkor N e N g, továbbá nagy energiasűrűséget feltételezve a 4.44) egyenletben az egyensúly feltételére adódik: B ge = B eg = B, 4.46) ahol 4.31) és 4.4) alapján, átlagolva az atomi dipólus-momentumok irányára B = π d 3ε. 4.47)

4. fejezet. Fotonok abszorpciója és emissziója 33 4.5. Weisskopf-Wigner elmélet A 4..5. fejezetben megmutattuk, hogy perturbációszámítás 1. rendjében hogyan lehet meghatározni a spontán emissziós rátát. Azonban ez az időfüggést még nem adja meg. A Weisskopf- Wigner elmélet a spontán emisszó időfüggését írja le []. Oldjuk meg formálisan 4.18) által meghatározott Ĥ-operátorra felírt Schrödinger egyenletet. A Schrödinger egyenlet komponensei a következők a { e,, g,1 k bázisban: e, i t ψ i ċ e = e,hkh a+s ψ, = i k V k e i kt c g,k, 4.48) és g,1 k i t ψ i ċ g,k = g,1 k H kh a+s ψ, = i k V k e i kt c e, 4.49) ahol ψ = c e e, + k c g,k g,1 k. 4.5) A 4.48) egyenlet formális megoldását úgy kaphatjuk meg, hogy kifejezzük a 4.49)-ből c g,k -t c g,k = k és ezt behelyettesítjük a 4.48) egyenletbe: V k t c e t )e i kt dt 4.51) ċ e ċ e = k = k V k e i kt t c e t )e i kt dt t V k c e t )e i kt t ) dt 4.5) A fenti egyenletet a Laplace transzformáció módszerével oldjuk meg: fs) = e st ft)dt, Rs) >. 4.53) Laplace transzformáció után elvégezhetjük az integrálást. Áttérés során használjuk fel, hogy a rendszer kezdetben a ψ i = e, állapotban volt, azaz c e ) = 1. Legyen c e a transzformált együttható. Így sc e s) 1 = k = k t V k dte st dt c e t )e i kt t ) V k dt c e t ) dte st e i kt t ) t

4.5. Weisskopf-Wigner elmélet 34 = k = i k V k V k k + is c es) dt c e t ) e st i k s Ezt átrendezve kapjuk: 1 c e s) = s + i k Az inverz Laplace transzformáció a következő: V k k +is 4.54) ft) = 1 πi δ+i δ i e st fs)ds 4.55) Mivel a 4.54) integrálja nem triviális a reziduum tétel nem alkalmazható, mivel nem látszik az elsőrendű pólusának a helye), így nézzük meg hogy hova tart a nevezőben szereplő kifejezés: lim s i k V k k + is = lim s i k = i k V k k V k k + s k is) = i k + π k V k k V k + lim s k k + ss V k δ k ) 4.56) Jelöljük az első tagot i ω-val és a spontán emissziós ráta értéke alapján a második tag nem más mint A. lim s i k V k k + is = i ω + A 4.57) Így már látszik az elsőrendű pólus és elvégezhetjük az inverz Laplace-transzformációt: c e s) = 1 s + i ω + A 4.58) c kh e t) = e i ωt A t 4.59) c e t) = e iωe+ ω)t Γ t 4.6) Tehát most már látszik, hogy az atomi átmenet frekvenciája megváltozik ω-val, ez a Lambféle eltolódás. Γ pedig megegyezik a korábban meghatározott spontán emissziós rátával. A c e s) pólusának maghatározásánál történt az a kis csalás ami megszüntette a folyamatot reverzibilitását. Mivel a módusok igen sűrűn vannak, ezért a rendszer soha nem tér vissza a kezdeti állapotába, az energia szétfolyik.

II. rész Mérések, Szimulációk 35

5. fejezet A mérés összefoglalása A mérés célja, hogy megmérjük a LiNbO 3 :Er 3+ egykristályban az Er ionok 98.5nm körüli vonalának homogén vonalszélességét az inhomogénen kiszélesedett vonalon belül. Ezen kívül megbecsüljük a gerjesztett állapot élettartamát. A mérést a telítési lézerspektroszkópi módszerrel végeztem el. Az alábbi ábrán kékkel jelöltem az inhomogénen kiszélesedett vonalat, pirossal pedig a mérni kívánt homogén kiszélesedésű spektrumvonalat: 1.8 absorbance.6.4. 5.5.5 5 detuning A mérés két fő fázisból tevődik össze; egy kis vonalszélességű, beíró lézerimpulzus gerjeszti az Er ionok egy csoportját a mintában, majd egy kiolvasó lézerimpulzus kiolvassa a beírt populációinverziót a frekvencia függvényében. A kapott jelalakból következtetni lehet az Er ionok homogén vonalszélességére. A méréseket sokszor elvégezve és átlagolva kapjuk meg végül az eredményt. Ehhez a következőképpen kell modulálnunk a lézerfényt minden mérési ciklusban:

38 Az előbb leírtakat megvalósító mérési berendezés a következő volt: A diódalézerből kilépő, polarizált nyaláb átmérőjét egy nyalábszűkítő segítségével lecsökkentjük és utána egy polarizáló nyalábosztóra vezetjük, ami az egyik irányba polarizált fényt átengedi a másik irányban polarizáltat pedig visszaveri. A lézer fénye pont úgy volt polarizálva, hogy a polarizáló nyalábosztó visszaverje, így egy λ/4 lemezen átvezetjük, ahol cirkulárisan polarizált fénnyé alakul át. Aztán az akuszto-optikai modulátorral AOM) moduláljuk a fent leírt módon), majd a macskaszem segítségével újra visszavezetjük az AOM-be, és onnan a λ/4-es lemezen át a

5. fejezet. A mérés összefoglalása 39 polarizáló nyalábosztóba. Mivel most a λ/4-es lemezre egy cirkulárisan polarizált fény érkezett az most újra lineárisan polarizált fénnyé alakítja az eredeti fényhez képest egy π/ forgatást szenved), így a polarizáló nyalábosztón átjut és azon keresztül egy nyalábosztóba megy, ahol a fény egy részét detektorba vezetjük ez lesz a referencia), a másik része pedig fokuszálva a mintára érkezik és onnan a detektorba. Az összeállítás két elemét, a macskaszemet és az AOM-et külön-külön megvizsgáltam. Az AOM végezte a lézerfény modulációját a macskaszem pedig azt biztosította, hogy az AOM-en áthaladó fény a modulációtól függetlenül, mindig a mozdulatlan) mintára érkezzen. Szimuláció segítségével meghatároztam hogy adott kezdőértékek mellett milyen lesz a macskaszemből kijövő fény paraméterei. Felvettem az AOM szög- és frekvencia-karakterisztikáját, amiket összehasonlítottam az elméletből várttal és mérés segítségével megbecsülhettem az AOMen áthaladó lézerfény átmérőjét. Továbbá sikerült az előszóban kitűzött feladatot teljesíteni, azaz megbecsültem az Er ionok homogén vonalszélesség és a gerjesztett állapotok élettartamát.

4

6. fejezet Akuszto-optikai modulátor 6.1. Elméleti összefoglaló Az akuszto-optikai modulátor AOM) egy kristály TeO ) amiben longitudinális állóhullámokat keltünk, ezáltal sűrűség és törésmutató oszcilláció alakul ki. A beeső lézerfény a hullámfrontokkal közel párhuzamos [5]. A modulált kristály úgy viselkedik, mint egy Bragg-rács és a Bragg-feltételnek elegetéve szórja a lézerfényt. Tehát ha tudjuk vezéreli az AOM-ben kialakuló törésmutató hullámot, akkor ennek segítségével a lézerfény frekvenciáját és amplitúdóját is tudjuk változtatni, amit a szaturációs telítési) spektroszkópiában használunk ki olymódon, hogy az erbium ionok egy spektrumvonalát pásztázhazuk. A törésmutató változása, a hullámfrontokra merőleges x tengely) irányba, a következőképpen írható le: nx) = n n cos qx ϕ), 6.1) ahol n a perturbáció nélküli törésmutató n =.), a kristályban a fény terjedési sebessége v 4m/s, q a hullámszám q = π Λ v = Λ T = Λf 6.) ahol 85 MHz f 135 MHz frekvenciával rezgethető a valóságban ezt egy oszcillátorra adott 5V feszültség változtatással tehettem meg, de a fu) függvény elég jó közelítéssel lineárisnak tekinthető).

6.1. Elméleti összefoglaló 4 Az ábráról leolvasható, hogy az útkülönbséget a következőképpen írhatjuk fel: ahol k = π írják le: λ n = π s = k xsinϑ), 6.3) λ n a lézerre jellemző hullámszám. A reflexiót a TE polarizációs Fresnel-formula r = n 1 cos ϑ 1 n cos ϑ n 1 cos ϑ 1 + n cos ϑ 6.4) ahol n 1 = n + ) n, n = n, ϑ 1 = π ϑ és a Snellius-Descartes törvény alapján: ϑ = arcsin n1 n sinϑ 1 Ha elvégezzük a behelyettesítést és elhagyjuk a másodrendűen kis tagokat, akkor azt kapjuk a Fresnel-formulákra: Így tehát a reflexiós képesség: r = 1 n sin n 6.5) ϑ r = L L e i s dr = L A dn dr dx a 6.1)-ból és dn a 6.5)-ből határozható meg. 1 r = n sin ϑ q n Vezessük be a következő jelölést: L L L i s dr dn e dx 6.6) dn dx e ikx sinϑ sin qx ϕ) dx. 6.7) r 1 := n sin ϑ q n 6.8) és írjuk át sin a komplex számok segítségével: [ r = 1 L ] L ir e iϕ e ik sin ϑ q)x dx e iϕ e ik sinϑ+q)x dx 6.9) az integrálás elvégzése után: L L r = 1 ir L [e iϕsin k sin ϑ q) L π π) π k sin ϑ q) L π e iϕsin k sin ϑ + q) L π π) ] π k sin ϑ + q) L π 6.1) A Bragg-feltétel abból adódik, hogy az optimális visszaverődés ott van, ahol: Ha kicsi a szög akkor paraxiális közelítésben: k sinϑ B q = sinϑ B ϑ B = ± λ n Λ = ± λ n Λ 6.11) 6.1)

6. fejezet. Akuszto-optikai modulátor 43 gyors lecsengése miatt észlelhető intenzitást akkor kapunk, ha a két "első" zérushely közötti tartományban vagyunk, tehát a következő teljesül: k sin ϑ k sin ϑ B) L π 1 6.13) A sinx) x Paraxiális közelítéseben tehát a következő feltételnek kell teljesülnie: ϑ ϑ B λ n L 6.14) 6.. Mérés A következőkben felveszem az AOM karakterisztikáját, mintegy kalibrációs céllal és meghatározom a lézerfény jellemzőit. 6..1. Bragg szög meghatározása Az ábrán látható a kísérlet összeállítása ami segítségével meghatározható a különböző frekvenciákhoz tartozó Bragg szögek. Tehát a direkt nyaláb és az első rend közti d távolságokat kellett mérnem és ezek segítségével meghatározható volt a ϑ B arctan d L 1 +L ) ϑ B = n A mért eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza: = arctan ) d 375cm. f MHz) d cm) ϑ Bm mrad) 85 7.5 4.5 9 8. 4.8 95 8.5 5. 1 8.9 5.3 15 9.4 5.6 11 9.8 5.8 115 1.4 6.1 1 1.8 6.3 15 11.1 6.6 13 11.5 6.9 135 11.7 7. 6.15)

6.. Mérés 44 A mért adatokra egyenest illesztettem és így "tetszőleges" frekvenciához tartozó Bragg-szöget meghatározhatjuk. Az illesztett egyenes egyenlete: ϑ B = 5.3 1 5 f +.7 1 1, 6.16) ahol a frekvenciát MHz-ben mérem, a Bragg-szög pedig milli rad-ban adódik. Az illesztett egyenes és a mért pontok: 7.5 meresi pontok illesztett egyenes 7 6.5 Bragg urad) 6 5.5 5 4.5 8 9 1 11 1 13 14 f HMz) Összehasonlításképpen a 6.1) képletbe helyettesítve adódik ϑ B =.98µm. A mért és számolt frekvenciafüggés nagyon jól egyezik. f 4µm/µs = 5.333 1 5 f. 6.17)

6. fejezet. Akuszto-optikai modulátor 45 6... Frekvencia-karakterisztika A lézerre jellemző paramétereket meghatározása ennek a mérésnek a segítségével végezhető el. A mérési összeállítás a következő ábrán látható: A lézerfény egy dióda lézerből indul, amit egy chopper megszaggat, hogy a lock in számára feldolgozható periodikus jelet állítson elő. A megszaggatott jelet térszűrős nyalábtágító F > f) segítségével kiszélesítjük és a lézerfényben lévő kis divergenciát korrigáljuk. Az ilyen módón előállítót jelet két részre osztjuk egy nyalábosztó segítségével, a felét közvetlenül detektorba vezetjük ebből kapjuk majd a referencia jelet, hogy ne kelljen abszolút skálán mérnünk), a másik jel pedig az AOM-en keresztül a Bragg törvény értelmében a nullad rendtől különböző rendeket modulálja) a modulált jel első rend) detektorba érkezik. Az AOM vezérlő feszültségét -5)V között változtatható, azaz 85-135)MHz között változtatható a bent kialakuló törésmutató oszcillációt. A mérési pontokra, az elmélettel összhangba ) sin B f C) I = ampl. = A 6.18) B f C alakú függvényt illesztettem.

6.3. A mérés kiértékelés 46 18 A kuszto O ptikai M odulátor kalibrálása 16 14 1 A mért /A ref 1 8 6 4 85 9 95 1 15 11 115 1 15 13 135 f AOM MHz) A piros pontok jelölik a mért adatokat és feketével ábrázoltam az illesztett görbét. A referencia és az AOM-on keresztül a detektorba érkező nyalábok intenzitásából meghatározhattam, hogy hanyad részére csökken le az átmenő fény intenzitása. A mérés, szemmel 11 MHz volt kalibrálva, de a mérés során kiderült hogy nem teljesen sikerült pont eltalálni az intervallum közepét, így 18.44 MHz lett a maximum átvitel helye. 6.3. A mérés kiértékelés 6.3.1. Lézer adatainak meghatározása A mérési eredmények és a 6.1) összefüggés ismeretében megtudtam határozni a lézerfénynyaláb vastagságát L), a lézerfény hullámszámát k) és hullámhosszát λ n, λ ). Az előző pontban illesztett átviteli függvény paraméterei: A = 17.5 ±.1 B =.5531 ± 6 1 4 C = 5. ±.7 Jelölje q a maximum frekvenciához tartozó hullámszámot és q ±1 a két zérushelyhez tartozó frekvenciát. q = π v f max = π 4 m 18.44MHz =.16 ±.7) 1 s µm. 6.19) ennek alapján a lézer hullámszáma meghatározható: k sinϑ q = 6.) hiszen ez a maximumhely feltétele. ϑ az előző kalibrációs mérésben kapott egyenesből meghatározható, és így k = 14.9 ±.6) 1 µm -nak adódik. A lézer hullámhossza pedig: λ n =.45.)µm, λ =.98 ±.6)µm A két zérushelyhez tartozó hullámszám, pedig:

6. fejezet. Akuszto-optikai modulátor 47 Ezekből a lézernyaláb átmérője: q 1 =.77 ±.6) 1 µm, q +1 =.43 ±.9) 1 µm q ±1 = k sinϑ ± π L L = L +1 + L 1 = 75.8 ±.)µm 6.1) 6.3.. Számolt és mért Bragg-szög összehasonlítása A Bragg-szöget a következő összefüggés 6.1) segítségével határozhatjuk meg: ϑ Bsz = fλ n v =.46 1 6 m 4 m f 6.) s A számolt és mért Bragg-szögeket összehasonlító táblázat, tehát a következő: f MHz) ϑ Bm mrad) ϑ Bsz mrad) Relatív eltérés 85 4.54 4.51.8 % 9 4.85 4.77 1.5 % 95 5.15 5.4. % 1 5.39 5.3 1.6 % 15 5.7 5.57. % 11 5.94 5.83 1.7 % 115 6.3 6.1 3.3 % 1 6.54 6.36.8 % 15 6.73 6.63 1.4 % 13 6.97 6.89 1.1 % 135 7.9 7.16 1. % A diffrakciós kritérium 6.14) pedig: ϑ ϑ B λ n L =.46µm =.3 ±.5 6.3) 75.75µm Tehát 18.44 MHz-n a lézernyaláb beeső szögét 3 ϑ 3 mrad-al változtathatom a ϑ B körül. 6.3.3. Szög-karakterisztika kísérleti ellenőrzése Az AOM és a beeső fény szögét változtattam a AOM frekvenciája állandó 18.44 MHz-n) volt egy számítógép vezérelt forgó tartóval a tartó "szögfelbontása", azaz hogy milyen léptékekben tudta változtatni a szöget:.59 µrad volt). A mérési pontokra I = ampl. = A ) sinb f C 6.4) B f C

6.3. A mérés kiértékelés 48 függvényt illesztettem. Az illesztett görbe paraméterei: A = 17.3 ±.1 B = 36.4 ±.7 C = ± 1 3 Az ábrán egyben ábrázoltam a 6.1) összefüggés által megjósolt reflexiós függvény absz. négyzetét is. A képletben szereplő θ helyett n θ eltérítési szög függvényében ábrázoltam az átviteli függvényt az összehasonlíthatóság érdekében. 18 A kuszto O ptikai M odulátor kalibrálása 16 14 1 A mért /A ref 1 8 6 4.1.5.5.1 theta be rad) A két zérushely ±9.6mrad-nek adódott, amiből átskálázás után a kristáyon belül ±.mrad szög adódik a reflexiós fv. zérushelyére. Ez az érték közel áll a korábban kapott ±3mrad értékhez.

7. fejezet Macskaszem összeállítás A macskaszem összeállítás a szaturációs spektroszkópiai mérésben azt a szerepet fogja végezni, hogy azt a jelet amit AOM modulál a modulációtól függetlenül mindig egy helyben lássuk, azaz a modulációtól függetlenül mindig ugyan oda érkezzen be hogy a kristályt ne kelljen mozgatni). A szimuláció során meghatároztam, hogy ha az alábbi optikai összeállításba különböző paraméterű v be = ϑbe lézerfényt engedünk be ahol ϑ az optikai tengellyel bezárt szög és y az optikai tengelytől való távolsága), akkor hogyan változik meg a rendszerből való kilépésekor. A kilépő fény paraméterei: A mérés összeállítása: v ki = y be ϑki y ki ) 7.1) ). 7.) ahol, e és g egy kis perturbáció és F a lencse fókusztávolsága 1cm). 7.1. Optikai elemek paraxiális közelítésben Hengerszimmetrikus optikai rendszereknél használjuk ezt a közelítés, amennyiben a tengelytől mért távolság kisebb, mint az adott optikai eszköz lineáris paraméterei fókusztávolság,...), valamint kicsik a sugarak szögei [4]. Ekkor a következő egyszerűsítő közelítéssel élhetünk:

7.. Szabad terjedés átviteli mátrixa 5 sin ϑ tan ϑ ϑ, 7.3) azaz linearizálódnak az egyenleteink. Például a Snelliusz-Descartes-törvény: kis szögekre, pedig a következőkre egyszerűsödik le: n 1 sin α = n sinβ, 7.4) n 1 α = n β, 7.5) ahol n 1, n a két közeg törésmutatója, és α az 1 közeg törési szöge és β a másik közeg törési szöge. Ha a rendszer minden releváns mérete sokkal nagyobb, mint a fény hullámhossza, akkor geometriai optikával, fénysugarak terjedésével írhatjuk le a leképezéseket. Vezessük be a következő jelöléseket, legyen y a fénysugarak optikai tengelytől mért távolsággal és ϑ az optikai tengellyel bezárt szögük. y és ϑ előjeles mennyiségek, y-t pozitívnak tekintjük, ha az optikai tengely felett van, valamin ϑ-t is, ha az az óramutató járásával ellentétes irányba fordult el az optikai tengelytől. Továbbá azt a konvenciót használjuk Newton és Gauss nyomán), hogy a fénysugarak balról jobbra terjednek és a görbületi sugár akkor pozitív ha balra domborodik. Tehát folyamatok során ennek a két mennyiségnek a megváltozását fogjuk nyomon követni. A vizsgálódást a következő matematikai formalizmussal érdemes megtenni: foglaljuk oszlopvektorba a fénysugarat jellemző mennyiségeket, és így egy optikai elem hatását paraxiális közelítésben) egy úgynevezett átviteli mátrixszal jellemezhetjük. 7.. Szabad terjedés átviteli mátrixa Ha a fénysugár útját semmi nem téríti el, akkor beszélhetünk szabad terjedésről. Tehát terjedés közben a fénysugár szöge nem változhat meg, csak az optikai tengelytől mért távolsága. Az ábráról látszik y ki = y be + d tan ϑ be y be + d ϑ be ϑ ki = ϑ 7.6)

7. fejezet. Macskaszem összeállítás 51 Tömörebben az előző egyenletrendszert úgy írhatjuk fel: ) ϑki 1 d = 1 y ki Amiből a szabad terjedés átviteli mátrixa: ˆM szab = 1 d 1 7.3. Vékony lencse átviteli mátrixa ) ϑbe ) y be ) 7.7) 7.8) Egy vékony lencse két ellentétes előjelű görbületi sugarú törőfelületből áll, mivel eltekintünk a lencsén belüli szabad terjedéstől. Számítsuk ki külön-külön a két törőfelület mátrixát és aztán tegyük őket össze. Az ábráról leolvasható, hogy és a Snelliusz-Descartes-törvényből következik: A 7.1) és a 7.11) együtt azt adja: Így tehát a törési mátrix: y be = y ki, 7.9) α = y be 7.1) R n 1 ϑ be α) = n ϑ ki α). 7.11) n ϑ k i = n 1 n R y be + n 1 ϑ be 7.1) ˆM R> = 1 n 1 n R 1 ) 7.13) Az előzőekkel megegyező számolások alapján és figyelembe véve, hogy most n közegből az n 1 be terjed a fény és, hogy a görbületi sugár előjelt vált, azt kapjuk: ˆM R< = ˆM R> = 1 n 1 n R 1 ) 7.14)

7.3. Vékony lencse átviteli mátrixa 5 Így a vékony lencse átviteli mátrixa: ˆM L = ˆM R< ˆMR> = 1 n 1 n R 1 ) 7.15) Praktikus a lencse fókusztávolságával felírni, mivel a fókusztávolságot tudjuk közvetlenül mérni. A leképezési törvény alapján, ha párhuzamos nyalábokat vizsgálunk, akkor elegendő a képtávolságot mérni, ami megegyezik a fókusztávolsággal. Pontosabb eredményt kapunk, ha a Bessel-féle módszert válasszuk de az adott mérésnél elegendően pontos volt az első módszer is). Ehhez vizsgáljuk meg, hogy hogyan képez le egy vékony lencse. Amint azt az ábrán is láthatjuk a párhuzamos nyalábokat a fókuszpontba F y ki ϑ ki 7.16) képezi le. ˆM L ybe ) = y be n 1 n R y be ) = y ki M L ) 1 y be ) 7.17) Így a vékony lencse fókusztávolsága: F = y ki R = ϑ ki n 1 n ) = 1 7.18) M L ) 1 7.3.1. Ferde tükör átviteli mátrixa Határozzuk meg egy hibásan, azaz az optikai tengellyel π +ε szöget bezáróan felszerelt tükör átviteli mátrixát.