Sűrűségérés. Szilárd test sűrűségének érése A sűrűség,, definíciój hoogén test esetén: test töege osztv test V térfogtávl: V A sűrűség SI értékegysége kg/, hsználtos ég kg/d, kg/l és g/c Ne hoogén testnél z /V hánydos test átlgsűrűségét dj eg. A sűrűség értéke függ hőérséklettől és nyoástól. Gondos éréseknél indig eg kell dni hőérséklet és nyoás értékét. Ugynkkor, h isert ezek htás, lklzhtunk hőérsékleti, illetve nyoás szerinti korrekciót is. Példák sűrűség értékekre norál nyoáson (05 P) név sűrűség, kg/ levegő,98 ( 0 C) víz 999,868 ( 0 C) etil-lkohol 789 (8 C) fenyőf 50-600 (8 C) üveg 400-400 (8 C) réz 890 (8 C) l 70-890 (8 C) burgony 50 (8 C) Sűrűség eghtározás töeg és térfogt érésével Bárilyen nygnál lklzhtó ódszer. Gázok és folydékok esetén egy dott térfogtú edény töegét egérjük üresen és egérjük érendő nyggl teletöltve, ebből két töegből és z edény térfogtából keresett sűrűség eghtározhtó. A szbályos lkú szilárd testeknél térfogt száíthtó. A szbálytln lkú szilárd testeknél térfogt egyszerűen eghtározhtó vízkiszorítás ódszerével, h test nyg ne oldódik vízben. Zöldségek és gyüölcsök sűrűségének eghtározásához egérjük töeget egy érleggel. A térfogtot úgy érjük eg, hogy egy beosztássl ellátott érőhengerbe dott jelig desztillált vizet öntünk. A érendő sűrűségű nygot belehelyezzük érőhengerbe és leolvssuk vízszint eelkedését (.ábr).. ábr Szilárd nyg térfogtérése vízkiszorítás ódszerével
A érés enete Egy burgony, vgy répszelet töegét egérjük tárérleggel, vgy digitális érleggel. Ezután vizet öntünk egy 00 l-s, vgy 50 l-s érőhengerbe. Leolvssuk vízszint értékét. Beletesszük vízbe szeletet, és újr leolvssuk vízszint értékét. A két vízszint közötti térfogt érendő szelet V térfogt. A töeg és térfogt hánydos dj sűrűséget. Többször (leglább hároszor) érjük eg egyetlen szelet térfogtát, ill. töegét. A térfogt hároszori éréséhez indig újr töltjük érőhengert vízzel, leolvssuk vízszintet, és szelet behelyezésével egállpítjuk z új vízszint értéket. A háro (n) érésből először kiszáítjuk térfogt és töeg átlgértékét, szórását és z átlgok szórását: V + V + V + + V σ σ V V i i ( V V ) i ( V V ) i ( ) σ σ i i ( ) i ( ) i ( ) Mjd egdjuk szelet sűrűségét hánydossl. V Ezután eghtározzuk szelet sűrűségének hibáját hibterjedés törvénye lpján: V + V V σ és V σv felhsználásávl. A háro térfogt és háro töeg értékből száíthtunk háro sűrűség értéket. Ezek átlg értékét érdees összehsonlítni z átlg töeg és z átlg térfogt hánydosávl., + + és V V V? Vjon ilyen jel áll z átlg sűrűség és z átlgokból száított sűrűség között? Száítsuk ki háro sűrűségből sűrűség szórását és hsonlítsuk össze hibterjedés lpján száolt sűrűség hibávl! σ?σ i ( i ) Sűrűség eghtározás Archiédesz törvénye lpján
Egy szbálytln lkú test V térfogtánk és sűrűségének eghtározáskor eljárhtunk következőképpen: testet egy sűrűségű folydékb erítve test egtrtásához szükséges erő Ft, egy sűrűségű folydékbn, pedig Ft (. ábr).. ábr. Úszó test egyensúly Mind két folydékbn súlyerő egyensúlyt trt felhjtó erő (F fel ) és trtó erő (F t ) összegével: G F fel + Ft és G F fel + Ft. Felhsználv, hogy felhjtó erő indkét esetben kiszorított folydék súlyávl egyenlő: F fel Vg és F fel Vg. Beírv felhjtó erők kifejezését fenti összefüggésekbe, kpjuk, hogy: G Vg + Ft és G Vg + Ft. Mivel bloldlk egegyeznek, ezért jobb oldlk is egyenlők egyássl: Vg + Ft Vg + Ft. Ebből z egyenletből V-t kifejezve: Ft Ft V. ( ) g Tehát iserve két sűrűséget és érve két trtó erőt, szilárd test térfogt eghtározhtó. H test súlyát, G-t térfogtávl (V), sűrűségével ( ) és nehézségi gyorsulássl (g) írjuk fel: Vg Vg + Ft és Vg Vg + Ft. Mind két összefüggésből kifejezzük V-t, egyenlővé tesszük két kifejezést és egkpjuk test sűrűségét: Ft Ft. F F Feldtok A kidott zöldség vgy gyüölcs sűrűségének eghtározás töeg és térfogt érésével. t t
Hároszor érjük eg szelet töegét és térfogtát. Htározzuk eg z átlgokt, szórásokt és z átlgok szórásit! Száítsuk ki sűrűséget töeg és térfogt átlgából, djuk eg sűrűség hibáját hibterjedés törvénye lpján! Száítsunk háro sűrűséget háro térfogt és háro töeg értékkel, jd száítsuk ki z átlg sűrűséget és sűrűség szórását! Hsonlítsuk össze kétféle ódon száított sűrűséget! Hsonlítsuk össze sűrűség hibáját sűrűség szórásávl!. Folydék sűrűségének érése Archiédesz törvénye lpján (Areoéter) Az reoéter (úszó sűrűségérő) nehezékkel, esetleg ég hőérővel is ellátott, üvegből készült test (. ábr), elynek z lsó része szélesebb, felső része egy keskeny, skálávl ellátott cső.. ábr Areoéter és folydék sűrűségének érése reoéterrel H folydékb erülve z reoéter úszik, kkor z reoéterre htó felhjtó erő (F fel ) éppen egegyezik test G súlyávl. H z reoéter térfogt V, átlgos sűrűsége, vlint z reoéter folydékb erülő térfogtrésze V, kkor felhjtó erő kiszorított folydék súly ' F V g fel folydék hol folydék folydék sűrűsége, és z reoéter súly pedig G V g, Ezek nyugli állpotbn egyenlők egyássl ' F fel G, ill. V g V g folydék H felső üvegcső keresztetszete A, és l hosszúságú drb áll ki folydékból, kkor ' V V Al kifejezést beírv fenti összefüggésbe és folydék -t kifejezve V folydék V la A l V Ebben kifejezésben folydék sűrűsége és kiálló hossz között egyértelű tetiki összefüggés vn Ez tetiki függvény egyszerűsíthető, h z l A V ennyiség elég
kicsi. Hitelesítéssel eghtározhtó, hogy különböző sűrűségű folydékokhoz ilyen l, zz ilyen osztás trtozik. H z osztást sűrűségre klibrálják, kkor beerülés élységéből rögtön sűrűség olvshtó le. A skálát lehet szeszfokr, tej százlékos zsírtrtlor, stb. klibrálni. Sóoldt sűrűségének eghtározás reoéterrel Az oldtot 50 l-s érőhengerbe öntjük, belehelyezzük z reoétert, és leolvssuk z oldt sűrűségét. H különböző koncentrációjú sóoldtok sűrűségét egérjük, kkor eghtározhtjuk ( C ) függvényt, zz hogyn függ sűrűség z oldt koncentrációjától, C-től. Kis koncentrációtrtoánybn sűrűség és koncentráció között z összefüggés lineáris: + C o o és konstnsok. A érés enete Négy különböző koncentrációjú sóoldt sűrűségét egérjük, null koncentrációjú oldt sűrűsége víz sűrűsége z dott hőérsékleten. Az összetrtozó érték párokt grfikonon ábrázoljuk; vízszintes tengelyen koncentrációt, függőlegesen sűrűséget. Lineáris regresszió segítségével eghtározzuk z egyenes prétereit: o és -t. Az iseretlen koncentrációjú oldt sűrűségét is egérjük. o és konstnsok iseretében kiszáítjuk z iseretlen koncentrációt. Feldtok Htározzuk eg kidott oldtok sűrűségét reoéterrel! Az dtokt foglljuk tábláztb! Az oldtok koncentrációját djuk eg g/l, kg/, ól/l értékegységekben! Ábrázoljuk sűrűség értékeket koncentráció függvényében! Illesszünk regressziós egyenest z öt pontr! Htározzuk eg regressziós egyenes konstnsit, jd ezekkel száítsuk ki z iseretlen koncentrációt! Az eredényt következő grfikonhoz hsonlón kell ábrázolni. ss density, kg/ Sodiu-chloride solution t 0 Celsius y 0,6x + 00, 00 50 00 50 00 050 000 950 0 00 00 00 400 500 ss concentrtion, kg/ 4. ábr. Sóoldt összetételi rányánk és sűrűségének összefüggése
. Folydék sűrűségének érése Mohr Westphl érleggel A Mohr Westphl érleg egyfjt speciális érleg, elyen egy G súly trt egyensúlyt levegőben egy V térfogtú üvegtesttel. A érleg egyik krj hosszú és tíz egységre vn osztv (5. ábr), ennek végén helyezkedik el z üvegtest. H z üvegtest folydékb erül, kkor z egyensúly felbolik, ivel z üvegtestre felhjtó erő ht (6. ill. b ábr). Aennyiben 0 C-s desztillált vízbe erül z üvegtest, kkor z egyensúlyt helyre lehet állítni z l hosszúságú érlegkr 0-ik osztásár helyezett U-lkú L lovssl, elynek súly egyenlő 0 C hőérsékletű, V térfogtú desztillált víz súlyávl. A lovs súly lefelé ht, felhjtó erő felfelé ht z l hosszúságú érlegkr végén 0-ik osztásnál. 5. ábr. A Mohr Westphl-érleg képe Megjegyzés: víz sűrűségének közisert értéke 4 C-r vontkozik. A lbortóriui eszközöket viszont szobhőérsékletre, hsználti hőérsékletre szokás hitelesíteni. H z üvegtest víz sűrűségénél ngyobb sűrűségű folydékb erül, kkor felhjtó erő is ngyobb lesz (6. b ábr). A érleghez trtozik egy speciális súlysorozt: z L súlyú lovs 0., 0.0 és 0.00 súlyánk egfelelő súlyú lovs.: 0.L, 0.0L és 0.00L. Ezeket érlegkr különböző osztásir helyezve visszállítjuk z egyensúlyt. Ilyenkor felhjtó erő eghtározásához fel kell írni érlegkrr htó forgtónyotékokt. Felfelé forgt felhjtóerő, lefelé forgtnk lovsok. A 6. b ábrán például z L lovs forgtó krj érlegkr teljes l hossz, 0.L lovs krj 0.l, 0.0L lovs krj 0.8l és 0.00L lovs krj 0.5l. 6. ábr Mohr Westphl-féle érleg. Egyensúly levegőben.
6. ábr 6. b ábr Egyensúly vízben Egyensúly folydékbn A felhjtó erők: Ffelvíz vízvg Ffelfolydé k folydékvg A forgtónyotékok 6. és b ábrán szeléltetett péld esetén F felvíz l Ll F l k Ll + 0.L0.l + 0.0L0.8l + 0.00L0. l felfolydé 5 Egyszerűsítve l-lel egkpjuk felhjtó erők értékét z L -lel kifejezve: F felvíz L F L. 085 felfolydé k Beírv felhjtó erők kifejezését, zz kiszorított víz súlyát, ill. kiszorított folydék súlyát, kpjuk, hogy L Vg.085L Vg víz folydék Elosztv egyássl ezt két kifejezést és egyszerűsítve L-lel, g-vel és V-vel.085 folydék víz és kpjuk, hogy. 085 folydék víz Tehát folydék sűrűségét úgy kpjuk eg, hogy víz sűrűségét egszorozzuk folydékbn fellépő felhjtó erő kiegyensúlyozáskor lovsok helyének egfelelő szál. A Mohr Westphl érleggel érés úgy történik, hogy először kiegyensúlyozzuk desztillált vízben, jd érendő sűrűségű folydékbn felhjtó erőt lovsokkl. Ezután lovsok helyéből leolvshtó, hogy ennyivel kell víz sűrűségét egszorozni, hogy egkpjuk folydék sűrűségét. H érendő sűrűség ngyobb, int.víz, kkor kiegyensúlyozáshoz ég egy, vgy több L súlyú lovst lehet hsználni. H desztillált víz ne 0 C-s, kkor benne fellépő felhjtó erő se pontosn L. Ilyenkor vízben fellépő felhjtó erőt is z összes lovs felhsználásávl egyensúlyozzuk ki, és folydék sűrűségét úgy kpjuk eg, hogy víz ktuális sűrűségét két négyjegyű szá hánydosávl szorozzuk eg. 4. Folydék sűrűségének érése Bernoulli törvénye lpján Bernoulli törvénye értelében z ideális közeg (összenyohttln gáz vgy folydék) stcionárius, veszteségentes (súrlódás nélküli) árlásár igz következő összefüggés v + gh + p v + gh + p Ez z összefüggés z energi egrdás törvényét dj árló közegekre: p szttikus nyoás, v közeg sebessége, közeg töege, közeg sűrűsége, h egy válsztott vontkozttási szinthez képest ért gsság és g nehézségi gyorsulás (7. ábr). A 7. ábr különböző keresztetszetű és különböző gsságbn elhelyezkedő csőszkszokbn történő árlást szeléltet.
7. ábr Két különböző csőszksz egy árlásnál, Bernoulli törvényéhez Szokás ég egységnyi térfogtr felírni Bernoulli egyenletet ( V lpján): v + gh + p v + gh + p Mindegyik tg nyoás értékegységű: v z ún. torló nyoás, gh hidroszttiki nyoás és p szttikus nyoás. Kísérleti összeállításunkbn vízszintes levegő árot állítunk elő porszívó és vízsugár légszivttyú segítségével. Mivel légár vízszintes, ezért h értéke indenütt zonos, és így h h, tehát z egyenlet két oldlán szereplő két h-t trtlzó tg szintén egyenlő, ezért elhgyhtó: p + v p + v. 8. ábr Árlási cső A és A keresztetszettel, ill. v és v sebességgel Stcionárius árló közegekre érvényes folytonossági tétel, vgy kontinuitási tétel A v Av, hol z A keresztetszetnél z árló közeg sebessége v, A keresztetszetnél közeg sebessége v. 9. ábr Vízsugár légszivttyú Kísérleti összeállításunknál levegő árot hozunk létre porszívóvl. A légárot egy vízsugár légszivttyún (9. ábr) engedjük át. A szivttyú szűk keresztetszetében levegő
sebessége ngyon egnő, és ekkor szttikus nyoás csökken. H z lcsony nyoású térhez egy üvegcsővel cstlkozunk (0. ábr), elynek z lj egy folydékot trtlzó edényben áll, kkor folydék feleelkedik csőben h gsságr. Ilyenkor folydék p h hidroszttiki nyoásánk és csőben levő levegő p szttiki nyoásánk összege egyensúlyt trt külső levegő p 0 nyoásávl. A légköri nyoást p 0 jelöli: p p + h p 0 0. ábr Sűrűség érése Bernoulli törvénye lpján Az árló levegőre felírhtjuk Bernoulli törvényét és folytonossági tételt. Az egyik hely légszivttyú összeszűkülő keresztetszete, ásik kísérleti helység légtere, ely 0 /s sebességgel ozog, és sttikus nyoás egegyezik külső légnyoássl, p 0 -vl. Az összeszűkülő keresztetszetben levegő árlási sebessége v levegő, sűrűsége levegő, és szttikus nyoás p. p + levegő p0 Összevetve z előbbi egyenlettel ph + p levegő + p Ebből ph levegő A csőben feleelkedett folydék hidroszttiki nyoás (g nehézségi gyorsulás): p h g h folydék folyhék Így folydék h folydék g levegő Ez kifejezés lkls isert sűrűségű folydék esetén levegő sebességének eghtározásár, ill. levegő sebességének iseretében egy iseretlen sűrűség eghtározásár. H pl. vízzel végezzük kísérletet, kkor víz és levegő sűrűségének iseretében, vízoszlop gsságánk leérésével levegő sebessége kiszáíthtó: vízhvíz g H egy iseretlen sűrűségű ( x ) folydék h x gsságr eelkedik fel, ikor levegő v levegő sebességgel árlik, kkor levegő x h g x levegő
A levegő állndó sebességét úgy tudjuk biztosítni, hogy porszívór kpcsolt feszültséget állndó értéken trtjuk. Különböző levegő sebességeket porszívór kpcsolt feszültség változttásávl lehet beállítni. Ne szükséges levegő sebességének iserete hhoz, hogy iseretlen sűrűséget érjünk. Először vízbe álltjuk csövet és zután ugynolyn levegő sebességnél iseretlen sűrűségű folydékb, kkor: vízhvíz g levegő és xhx g levegő. Ezen két egyenletből bloldlk egyenlőségével kpjuk, hogy hvíz vízhvíz g xhx g, ill. x víz. hx Ezzel lényegében sűrűség érését hosszúság érésére vezettük vissz: víznél és z iseretlen sűrűségű folydéknál z eelkedés gsságát leérve és iserve víz sűrűségét, fenti egyenletből z iseretlen sűrűség eghtározhtó. A érés enete. A légár előállításához porszívót hsználunk. A porszívór dott feszültség változttásávl változtthtó légár sebessége. A porszívór kpcsolt feszültség értékét digitális voltérővel érjük. Egy pohárb először vizet öntünk. A vízsugár légszivttyúhoz cstlkozó függőleges űnygcsövet hozzáerősített vonlzóvl együtt vízbe állítjuk. Óvtosn elkezdjük porszívór kpcsolt feszültség értékét egy toroid trnszforátor segítségével növelni. 0 V 60 V feszültségtrtoánybn 0 V-onként növeljük feszültség értékét. A négy beállított feszültségnél űnygcsőben feleelkedett vízoszlop gsságát leolvssuk. Ezt feszültség lecsökkentésével, jd újr eelésével ég kétszer egisételjük. Ezután érendő sűrűségű folydékb állítjuk űnygcsövet vonlzóvl együtt. Az előbbi feszültségeket állítjuk be újr (ezzel biztosítjuk, hogy légár sebessége ugynz), és csőben feleelkedett folydékoszlop gsságát egérjük, szintén inden feszültségnél hároszor. Az egy feszültséghez trtozó vízoszlop gsságokt, illetve folydékoszlop gsságokt átlgoljuk, ezek lesznek h víz és h x. Ezekkel z értékekkel hvíz x víz képlet segítségével kiszáítjuk folydék sűrűségét. A víz sűrűségét dott hx hőérsékleten tábláztból keressük ki. A víz sűrűségét különböző hőérsékleten következő táblázt trtlzz: t C, kg/ t C, kg/ t C, kg/ 5 999,0 0 998, 5 997,06 6 998,95 998,0 6 996,79 7 998,75 997,777 7 996,5 8 998,6 997,546 8 996,4 9 998,4 4 997,0 9 995,95 A h víz értékek iseretében z egyes feszültségeknél eghtározhtjuk levegő árlási sebességét vízhvíz g levegő összefüggéssel. A levegő sűrűsége,9 kg/. A p + levegő p0 összefüggésből csőben kilkuló nyoást htározhtjuk eg. A pillntnyi légnyoás, p o, értékét nyoásérőről olvssuk le. H légköri nyoás ktuális
értéke ne iseretes, kkor helyettesítsük nnk konvencionális vlódi értékét: 05 P. (A Nezetközi Metrológii Értelező Szótárbn: Conventionl true vlue of quntity). Feldtok Htározzuk eg kidott oldt sűrűségét négy különböző feszültségértéknél! Egy-egy feszültségnél hároszor érjük eg vízoszlop, ill. folydékoszlop gsságát! Száítsuk ki z átlgot, szórást és z átlg szórását! Egy-egy feszültségnél z átlgértékek felhsználásávl száítsuk ki z oldt sűrűségét! Htározzuk eg z így kpott négy sűrűség átlgát, szórását és átlgszórását! Htározzuk eg négy különböző feszültségnél légár sebességét és csőben urlkodó nyoást! Ábrázoljuk villos feszültség és ért sűrűség összefüggését! A érőfeszültséget vízszintes tengelyre vegyük fel. Tekintettel rr, hogy feszültség ne befolyásolj sűrűséget, ez z összefüggés cskis vízszintes egyenes vonlll közelíthető. H sűrűség és s szórás, kkor további vízszintes vonlt húzunk +s és -s értékeknél. A érési eredények kéthrd ezen sávon belül helyezkedik el, h sűrűség értékek norális eloszlást követnek. 5. Folydék sűrűségének érése rezgő kpillárissl H egy töeg hronikus rezgőozgást végez, kkor rezgés periódus ideje, T következőképpen dhtó eg T π D D ruglsságr jellező állndó, értékegysége N. A periódusidő és z f frekvenci, ill. z ω körfrekvenci között következő összefüggések állnk fenn: π f, ω πf T T H z u egy U-lkú cső töege (. ábr) üresen és s töegű folydékot öntünk bele, kkor folydékkl telt cső rezgés ideje T π U + D s. ábr Rezgő cső folydék sűrűségének éréséhez H folydék sűrűsége s és térfogt V T, ely z U-lkú cső belső térfogt, kkor z s svt lpján rezgésidő négyzete: U + VT T 4π s D Ebből kifejezve folydék sűrűségét: T D U D 4π U T s V V 4π V T D T 4π T Bevezetve két jelölést:
A folydék sűrűsége D A 4π és B V T A T s ( B) 4π D U Az A és B z eszközre jellező állndók. Kísérletileg úgy lehet eghtározni (. ábr), hogy két isert sűrűségű folydékot töltünk csőbe és érjük rezgésidőket. A rezgésidők négyzetének függvényében ábrázoljuk sűrűséget. Egy egyenest kell kpnunk, elynek eredeksége A és vízszintes tengelyt B-nél etszi.. ábr A rezgőcsöves sűrűségérő konstnsink eghtározás Ez sűrűségérő ódszer lkls folytok során folydékok sűrűségének eghtározásár.