Asbóth János, Oroszlány László, Pályi András Feladatgyűjtemény a Topologikus Szigetelők 1. c. tárgyhoz. A kutatás a TÁMOP 4.2.4.A/1-11-1-2012-0001 azonosító számú Nemzeti Kiválóság Program Hazai hallgatói, illetve kutatói személyi támogatást biztosító rendszer kidolgozása és működtetése országos program című kiemelt projekt keretében zajlott. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósul meg.
1. fejezet A Su-Schrieffer-Heeger-modell és a királis szimmetria
Lokalizált állapotok az SSH modellben Hol van(nak) lokalizált állapot(ok) az alábbi SSH-láncban? t=10 t=1 a) b) c) d)
SSH összeillesztve Vegyünk két nyílt végű SSH-láncot. Illesszük őket össze két-két végpontjuknál, hogy egy kört kapjunk. Az összeillesztés miatt a teljes rendszer élállapotainak száma... a) nem változhat b) nőhet c) csökkenhet d) nőhet is, csökkenhet is
Három site-os körlánc Melyik ábra lehet az alábbi, három site-os modell spektruma? Onsite potenciálok nincsenek, csak elsőszomszéd hopping. A pontozott vonal az energia nullszintjét jelöli. v v v a) b) c) d) 2 x deg. 3 x deg. E=0
Négy site-os kör 1. Melyik ábra lehet az alábbi, négy site-os modell spektruma? Onsite potenciálok nincsenek, csak elsőszomszéd hopping. A pontozott vonal az energia nullszintjét jelöli. v w w v a) b) c) d) E=0 2 x deg.
Négy site-os kör 2. Melyik ábra lehet az alábbi, négy site-os modell spektruma? Onsite potenciálok nincsenek, csak elsőszomszéd hopping. A pontozott vonal az energia nullszintjét jelöli. v w v w a) b) c) d) 2 x deg. E=0 2 x deg.
Zérus módus és kiralis szimmetria 1. Egy királis szimmetriával rendelkező egydimenziós rendszer 0 energiás sajátállapotai... a) saját maguk királis partnerei. b) sértik a királis szimmetriát. c) mindig páratlan számosságúak. d) saját maguk szimmetria partnerei lehetnek.
Zérus módus és kiralis szimmetria 2. Tekintsük az SSH modell nemtriviális fázisának teljesen dimerizált határesetét! Melyik állítás igaz az a 1 + b N állapotra? a) b) c) d) Mivel ez az állapot két energiasajátállapot lineáris kombinációja, ezért véges (nem nulla) az energiája. Mivel ez nulla energiás sajátállapot, ezért önmaga királis partnere. Ez egy olyan nulla energiás sajátállapot, mely önmagának nem királis partnere. Mivel ez egy véges rendszer, ezért az élállapotok ilyen kombinációja mindig pozitív energiájú. b N a 1
Komplex hopping 1. Engedjünk meg komplex értékű hoppingokat az SSH modellben! Az így bevezetett komplex fázisok milyen hatással vannak a rendszer topológiai tulajdonságaira? a) Komplex hoppingokat nem lehet fizikailag realizálni, a Hamilton-operátor nem lesz hermitikus b) A komplex hoppingoknak nemtriviális következményei vannak, őket hangolva topológikus fázisátalakulást idézhetünk elő. c) A komplex hoppingok hangolása nem idéz elő topológikus fázisátalakulást. d) Egy dimenzióban a komplex fázisok mindig kitranszformálhatóak egy jól választott mértéktranszformációval.
Komplex hopping 2. Engedjünk meg komplex értékű első- és harmadszomszéd hoppingokat az SSH modellben! Az így bevezetett komplex fázisok milyen hatással vannak a rendszer topológiai tulajdonságaira? a) b) c) A válasz ugyanaz, mint az előző feladatban, a harmadszomszéd hopping nem jelent semmi változást. A komplex hoppingoknak nemtriviális következményei vannak, őket hangolva topológikus fázisátalakulást idézhetünk elő. A komplex hoppingok hangolása nem idéz elő topológikus fázisátalakulást. d) Egy dimenzióban a komplex fázisok mindig kitranszformálhatóak egy jól választott mértéktranszformációval.
Királis szimmetria és sávszerkezet 1. A képen egy 1-dimenziós rendszer diszperziós relációját láthatod. A diszperziós reláció alapján mit tudsz mondani, van-e a rendszernek királis szimmetriája? E a) van -π π k b) nincs c) nem lehet eldönteni
Királis szimmetria és sávszerkezet 2. A képen egy 1-dimenziós rendszer diszperziós relációját láthatod. A diszperziós reláció alapján mit tudsz mondani, van-e a rendszernek királis szimmetriája? E a) van b) nincs -π π k c) nem lehet eldönteni
Királis szimmetria és sávszerkezet 3. A képen egy 1-dimenziós rendszer diszperziós relációját láthatod. A diszperziós reláció alapján mit tudsz mondani, van-e a rendszernek királis szimmetriája? E a) van b) nincs -π π k c) nem lehet eldönteni
Kváziegydimenziós rendszer 1. Az SSH-modellt kiegészíthetjük még egy sor atommal, ahogy az ábrán látod (3 sor atom, ABA stacking, csak átlós hoppingok). Az onsite energiákat továbbra is 0-nak vesszük, csak hopping van. Van-e ennek a rendszernek királis szimmetriája? a) van (mi az?) b) nincs (miért?) c) nem lehet eldönteni (mitől függ?)
Kváziegydimenziós rendszer 2. Az SSH-modellt kiegészíthetjük még egy sor atommal, ahogy az ábrán látod (3 sor atom, ABA stacking, csak átlós hoppingok). Az onsite energiákat továbbra is 0-nak vesszük, csak hopping van. Vázold a rendszer diszperziós relációját, ha a) minden hopping egyenlő b) staggered hopping van (piros és kék)
Kváziegydimenziós rendszer 3. Az SSH-modellt kiegészíthetjük még egy sor atommal, ahogy az ábrán látod (3 sor atom, ABA stacking, csak átlós hoppingok). Az onsite energiákat továbbra is 0-nak vesszük, csak hopping van. Láttuk, hogy a kvázi-egydimenziós rendszerünkben lesz egy lapos sáv, 0 energián. Mi ennek a következménye a vezetést illetően? a) A rendszer vezető, mert vannak állapotok 0 energián b) A rendszer szigetelő, mert a 0 energiás sávban a csoportsebesség 0.
Háromszínezhető rendszer A királis szimmetria fogalma tetszőleges dimenzióban alkalmazható. Egy kétdimenziós négyzetrácson ugráló részecske pl. királis szimmetriával bír. Mi a helyzet egy háromszögrácson ugráló részecskével? A háromszögrács háromszínezhető, itt van királis szimmetria? Az onsite energiákat továbbra is 0-nak vesszük, csak hopping van. a) Igen (mi a királis szimmetria operátora?) b) Nem (miért nem?)
Dice lattice A háromszögrácson bizonyos hoppingok 0-ra állításával visszaállíthatjuk a királis szimmetriát. Az így kapott rács a T3-lattice (dice lattice). Ha csak hopping tagok vannak, onsite potenciálok nem, vannak-e itt garantált 0 energiás állapotok? a) b) c) d) Nem Igen, de csak ha minden hopping azonos (0 energiás lapos sáv) Igen, sőt, staggered hopping esetén is van 0 energiás lapos sáv Igen, tetszőleges hopping amplitúdók mellett egy 3N site-ot tartalmazó rácson N db. 0 energiás állapot
2.fejezet A Berry-fázis és az elektromos polarizáció
Berry-fázis definiíciója 1. Adott egy háromparaméteres Hamilton-operátor, H(R 1,R 2,R 3 ), és tegyük fel, hogy ennek energiaspektruma semmilyen paraméterértékek esetén nem degenerált. Ekkor az n-ik energiasajátállapot Berry-fázisa egy leképezés... a) a paramétertér zárt görbéinek halmazáról a [0,2π[ intervallumra b) a paramétertér pontjainak halmazáról a valós számok halmazára c) a paramétertér nyílt görbéinek halmazáról a [0,2π[ intervallumra d) a paramétertér nyílt görbéinek halmazáról a valós számok halmazára
Berry-fázis definíciója 2. Vegyünk egy folytonos R paraméterrel jellemezhető kvantumrendszert, mely teljesíti a H(R) n(r) =e n (R) n(r) Schrödinger-egyenletet. Mit jellemezhetünk egy adiabatikus fázissal? a) b) c) d) a H(R) Hamilton operátort a paramétertér egy zárt görbéje mentén az e n (R) sajátértékeket a paramétertér egy adott R 0 pontjában egy n(r) állapotvektort a paramétertér egy folytonos görbéje mentén az n(r), m(r) állapotvektorok lineárkombinációját a paramétertér két folytonos görbével összeköthető R 1 és R 2 pontjában
Berry-fázis definíciója 3. Adott egy háromparaméteres Hamilton-operátor, H(R 1,R 2,R 3 ), amelynek energiaspektruma a paraméterek megengedett értékeinél nem degenerált. Tekintsük az alapállapotok által alkotott "sávot". Melyik leképezés rendel a paramétertér pontjaihoz 3D vektort? a) A Berry-fázis b) A Berry-konnexió c) A Berry-görbület d) A fentiek közül több is.
Berry-fázis, mértékinvariancia Az alábbi mennyiségek közül melyik mértékinvariáns? a) az adiabatikus fázis b) a Berry-konnnexió c) a Berry-görbület
Zak-fázis ssh Valós v és w milyen értékei mellett lesz a H(k) Hamilton-operátorral jellemzett rendszer vegyértéksávjának (kisebb energiás sáv) Zak-fázisa nem zérus? a) v>w b) v=w d) v<w d) nem dönthető el
Körfolyamat 1. Egy 1-dimenziós potenciált (piros vonal) lassan (adiabatikusan) összenyomunk (kék vonal), majd ugyanúgy kiengedjük az eredeti formájára. V(t+T,x)=V(t,x) V(T/2-t,x)=V(T/2+t,x) Mekkora Berry-fázist kap a legalacsonyabb energiás kötött állapot (pontozott vonal) a körfolyamatban? V a) A kérdés értelmetlen b) 2π x c) 0 d) nem lehet eldönteni
Körfolyamat 2. Egy 1-dimenziós potenciált (piros vonal) lassan (adiabatikusan) felemelünk (kék vonal), majd ugyanúgy visszaeresztjük az eredeti formájára. V(t,x)=V(0,x) + V 0 (t) V(T/2-t,x)=V(T/2+t,x) Mekkora Berry-fázist kap a legalacsonyabb energiás kötött állapot (pontozott vonal) a körfolyamatban? V a) b) Mivel a "felemeléssel" a kötött állapot energiája bőven meghaladja az eredeti potenciálgödör mélységét, a részecske kiszabadul a potenciálgödörből 2π x c) d) 0 nem lehet eldönteni
3. fejezet A Chern-szám a Berry-fázisból és alkalmazása rácsrendszerekre
Chern: Gömb és tórusz Adott az alábbi Hamilton-operátor: h z h y Tekintsük ennek alapállapotát. Melyik gömbön ugyanakkora az alapállapot Chern-száma, mint az ábrázolt tóruszon? h x a) b) c) d) origó középpontú, 1 sugarú (0,0,+1) középpontú, 1 sugarú (+1,+1,0) középpontú, 1 sugarú egyiknek sem, mert a gömb topológiailag nem ekvivalens a tórusszal
Chern-szám globális Adott egy kétdimenziós, kétsávos rácsrendszer Hamilton-operátora A vegyértéksáv Chern-számának meghatározásához a h(k) függvényt elég mintavételezni... a) b) az origó, k=0, kis környezetében azon k pontok kis környezetében, amikre c) azon k pontok kis környezetében, amikre d) e) azon k pontok kis környezetében, amikre h z (k)=maximum a Chern-szám globális paraméter, csak a h(k) függvény teljes (teljes Brillouin-zónán) való ismeretében számolható ki.
Chern-szám és Brillouin-zóna k y Vegyünk egy kétdimenziós négyzetrácson értelmezett Hamilton-operátort. A négyzet alakú Brillouin-zóna négy sarka A,B,C,D. Ha a Chern-szám nem 0, akkor... A B k x D C a) A Brillouin-zóna belsejében legalább egy k pontban divergál a Berry-görbület. b) A Berry-konnexió integrálja a A-tól B-ig nem ugyanaz, mint D-től C-ig. c) H(k) nem teljesítheti a periodikus határfeltételt Brillouin-zónában d) A Brillouin-zóna határán mindenhol értelmes (és egyértékű) a Berry-görbület.
Chern-szám egy sávra Mennyi az ábrán látható vegyértéksáv Chern-száma? a) 0 b) +1 c) -1 d) Nem eldönthető
Mennyi a Chern-szám? Egy kétdimenziós rácsmodell Hamilton-operátora a k-térben ahol Mennyi az alapállapoti (azaz vegyérték-) sáv Chern-száma? a) 0 b) 1 c) 2 d) Nem lehet eldönteni
Mennyi a Chern-szám? 2. Egy kétdimenziós rácsmodell Hamilton-operátora a k-térben ahol Mennyi az alapállapoti (azaz vegyérték-) sáv Chern-száma? a) 0 b) 1 c) 2 d) Nem lehet eldönteni
4. fejezet Élállapotok Chern-szigetelőkben és a "fél-bhz-modell"
Felületi állapotok spektruma Melyik ábrán lehet egy rendszer felületi állapotainak spektruma? a) b) c)
Felületi állapotok spektruma 2. Melyik lehet egy Q=2 Chern-számmal rendelkező rendszer felületi spektruma? a) b) c) d)
Tömb és él Egy kétdimenziós transzlációinvariáns szigetelő rácsrendszerből kivágunk egy szalagot, az x irány mentén. A szalag formálisan szétválasztható k x -szel paraméterezett egydimenziós láncokra. Ezen láncok energiasajátállapotai alkotják a szalag diszperziós relációját. Mennyi a tömbi kétdimenziós rendszer Chern-száma? energia a) 0 b) 2 c) egyik sem d) mindkettő lehet
Két tömb, Q=0, Q=1 Egy rácsmodell (pl. fél BHZ) két különböző Chern-számú változatát csatoljuk össze. Q 1 =0, Q 2 =1. A két tartomány határán... Q 1 =0 Q 2 =1 a) van élállapot, de nem topologikusan védett b) van egy topologikusan védett élállapot c) infinitezimálisan kicsi csatolás hatására is eltűnik az élállapot d) lehetnek topologikusan védett élállapotok, de számuk nem meghatározott.
Két tömb, Q=1, Q=2 Egy rácsmodell (pl. fél BHZ) két különböző Chern-számú változatát csatoljuk össze. Q 1 =1, Q 2 =2. A két tartomány határán... Q 1 =1 Q 2 =2 a) van élállapot, de nem topologikusan védett b) van egy topologikusan védett élállapot c) infinitezimálisan kicsi csatolás hatására is eltűnik az élállapot d) lehetnek topologikusan védett élállapotok, de számuk nem meghatározott.
Élállapotok 1. Az ábrán három élen megjelöltük a topologikusan védett élállapotokat. Egyéb éleken is lehetnek topologikusan védett élállapotok. Q' Q'' Mennyi a kék anyag Q' Chern-száma? Q=1 a) b) c) d) Q'=0 Q'=1 Nem lehetséges ilyen konfiguráció Q' nem meghatározható (túl kevés az információ)
Élállapotok 2. Az ábrán két élen megjelöltük a topologikusan védett élállapotokat. Egyéb éleken is lehetnek topologikusan védett élállapotok. Mennyi a kék anyag Q' Chern-száma? Q' Q=1 a) b) c) d) Q'=0 Q'=1 Nem lehetséges ilyen konfiguráció Q' nem meghatározható (túl kevés az információ)
Konstrikció Az ábrán vázolt rendszer esetében mikor lesznek védettek az élállapotok? λ jelöli a felületi állapotok "behatolási mélységét" a tömb irányába. L Q=1 W λ a) W>>L és W>>λ b) Mivel a Chern-szám nem 0, ezért az élállapotok mindig védettek, a geometriától függetlenül. c) d) W>>L és L>>λ W>>λ
Egyszerűbb fél-bhz A fél-bhz modellben a hopping amplitúdók spinfüggőek: A spinfüggést kicsit leegyszerűsíthetjük, az alábbi módon: Melyik paraméterekkel lehet hangolni ennek a H rendszernek a Chern-számát? Feltételezzük hogy a rendszer szigetelő. a) b) c) d) v segítségével Δ segítségével A modell nem lehet szigetelő A modell Chern-száma mindig 0
Másodszomszéd fél BHZ A fél BHZ modellben az x irányú hoppingot cseréljük ki másodszomszéd hoppingra. Hogyan változik az élállapotok száma egy x, ill. egy y irányú él mentén? y x a) b) c) d) x irányú él mentén nem változik az élállapotok száma, csak gyorsabbak lesznek. Ennek megfelelően y irányú él mentén sem változik a számuk. y irányú él mentén megkétszereződik az élállapotok száma, mert két alrács alakul ki. Így az x irányú élek mentén is kétszer annyi élállapot lesz. x irányú él mentén nő az élállapotok száma, ezért y irányú élek mentén is. y irányú él mentén megkétszereződik az élállapotok száma, x irányú él mentén nem változik.
Töltéspumpa oda-vissza Vegyünk egy adiabatikus töltéspumpát egy egydimenziós rendszeren, mely ciklusonként 1 töltést pumpál, majd játsszuk le a pumpálási ciklust időben visszafelé. A Laughlin-érvelés értelmében "előléptethetjük" a t időt egy kétdimenziós rendszer k y impulzusává, így kapva a tömbi H(k x,k y ) Hamilton-operátort. Ha veszünk egy véges kétdimenziós mintát, aminek tömbi részét ez írja le, a minta élein... a) b) c) d) Az élállapotok oda-vissza mozgást kell leírjanak, mert a töltéspumpa is oda-vissza pumpál Nincsenek topologikusan védett propagáló élállapotok, mert a tömbi rész Chern-száma garantáltan Q=0. Egy élállapotpár van, melyek egymással szemben haladnak, mindkettő topologikusan védett. Nincsenek topologikusan védett propagáló állapotok, mert az oda-vissza pumpálás miatt a tömbi rész nem szigetelő
Töltéspumpa élállapotok Vegyünk egy Corbino-gyűrű geometriát: A külső élen körbefutó élállapot átkerül-e idővel a belső élre, és ha igen, mennyi idő után? Q=1 vákuum vákuum a) b) c) d) NEM, az élállapotok topologikusan védettek. IGEN, mert minden Chern-szigetelő mögött a Laughlin-érvelés értelmében van egy töltéspumpa. A szükséges idő egy pumpáló periódus ideje. NEM, a belső élen nem lehetnek élállapotok, mert a vastagság lassú, folyamatos növelésével a belső él megszűnik. IGEN, de a szükséges idő nagyon hosszú, a belső és külső él távolságát növelve exponenciálisan nő.
5. fejezet Kétdimenziós Dirac-egyenlet: burkolófüggvény-közelítés, élállapotok
Burkolófüggvény SSH Vegyük az SSH-modellt. Legyen az intracell hopping v = 1 rögzített, az intercell hopping pedig változzon a térben lassan a [ 2.2, 1.8] intervallumban. Ezt a lassú változást a w(x) függvény írja le. Add meg az alacsony energiás gerjesztéseket leíró burkolófüggvény (envelope function) - Hamilton-operátort v és w(x) segítségével! a) b) c) d)
Burkolófüggvény 0 Mi következik a burkolófüggvény-közelítésbol az SSH-modell teljesen dimerizált határesetére? Mit mondhatunk a különböző topológiájú tartományok határára lokalizált állapotok spektrumáról? a) b) c) d) Két különböző csavarodási számú tartomány határán lokalizált élállapotok vannak Mivel mindkét sáv csoportsebessége zérus, ezért mindkét oldalon a tömeg is zérus. tehát nincsenek élállapotok Mivel mindkét sáv csoportsebessége zérus, ezért az egyik oldalon + a másikon - a tömeg. Tehát a határon lokalizált topologikusan védett állapot van. A fenti állítások egyikét sem.
Burkolófüggvény Delta=1. A fél BHZ-modell Hamilton-operátora az alábbi alakú: Hogy fest Δ=2 esetén a kis energiás, burkolófüggvény-közelítésben kapott közelítés, H EFA? a) H EFA =q x σ x + q y σ y b) H EFA =- q x σ x - q y σ y c) egyik sem d) H EFA = q x σ x -q y σ y
Burkolófüggvény Delta=0 A fél BHZ-modell Hamilton-operátora az alábbi alakú: Hogy fest Δ=0 esetén a kis energiás, burkolófüggvény-közelítésben kapott közelítés, H EFA? a) H EFA =q x σ x + q y σ y b) H EFA =- q x σ x - q y σ y c) egyik sem d) az a) és a b) egyszerre
Corbino-gyűrű 1. Tekintsük a Dirac-egyenletet, ahol a tömeg a teljes síkon M=1, kivéve egy Corbino-gyűrű mentén, ahol M=0. Hol lesznek élállapotok? M=1 M=0 M=1 a) b) c) d) A pirossal jelölt belső és a pontozott külső élen, azonos irányban cirkulálnak A pirossal jelölt belső és a pontozott külső élen, ellentétes irányban cirkulálnak Sehol, mert az M=0 régióban mindkét irányban cirkulálhat az áram Kiterjedve a teljes gyűrűre.
Corbino-gyűrű 2. Tekintsük a Dirac-egyenletet, ahol a tömeg a teljes síkon M=1, kivéve egy Corbino-gyűrű mentén, ahol M=0. Hol lesznek élállapotok? M=1 M=0 M=-1 a) b) c) d) A pirossal jelölt belső és a pontozott külső élen, azonos irányban cirkulálnak A pirossal jelölt belső és a pontozott külső élen, ellentétes irányban cirkulálnak Sehol, mert az M=0 régióban mindkét irányban cirkulálhat az áram Kiterjedve a teljes gyűrűre.
Diabatikus változtatás M=0 Legyen kezdetben M 1 =+1, M 2 =-1. Tekintsünk egy kis energiás elektront, ami beesik az élállapotba, ami alulról felfelé halad. Miközben az elektron felfelé halad, változtassuk meg gyorsan (lehetőség szerint pillanatszerűen) M 1 és M 2 értékét, úgy, hogy végül M 1 =-1, és M 2 =+1 legyen. M=M 1 M=M 2 Mi történt az elektronnal eközben? a) Az elektron hirtelen irányt változtatott, a végén lefele halad. b) c) d) A változtatás nem tudja megváltoztatni a hullámszámot, ezért az elektron a változtatás végén is felfelé halad a ciklus közben szétfut a tömbi részbe, de energiamegmaradás miatt a ciklus végére visszakerül az élállapotba, fentről lefelé halad a ciklus közben annyi energiát kap, hogy a ciklus végére a tömbi részben terjed.
Spinorkomponensek Tekintsük a kétdimenziós Dirac-egyenletet az alábbi inhomogén tömegprofillal. Az y=0 interfészre lokalizált élállapot hullámfüggvényének milyen a spinor felel meg?(m 0 pozitiv) a) (0,1) b) (-1,1) c) (1,0) d) (1,1)
6. fejezet Időtükrözésre invariáns topologikus szigetelők
TRI valós SSH Van-e a csupán elsőszomszéd hopping tagokat tartalmazó SSH-modellnek időtükrözési szimmetriája, ha minden hopping amplitúdó valós? a) Igen, de csak T 2 =1 típusú b) Igen, de csak T 2 =-1 típusú c) Mindkét típusú időtökrözési szimmetriája megvan d) Nincs
TRI 2 sáv Tekintsük a kétdimenziós, T 2 =-1 időtükrözésre invariáns, 2-elemű Bloch-spinorral leírható rácsmodelleket. Mi igaz rájuk? a) Minden ilyen modell topologikusan triviális b) Minden ilyen modell topologikusan nemtriviális c) Van köztük topologikusan triviális és nemtriviális is d) Ilyen rácsmodell nem létezik
TRI spin Egy kétdimenziós, szigetelő rácsmodellben vegyük figyelembe az elektronok spinjét. A modell legyen invariáns a feles spinű elektronok szokásos (T 2 =-1) időtükrözésére, és legyen a spinforgatásra invariáns. Mi igaz ekkor? a) Minden ilyen modell topologikusan triviális b) Minden ilyen modell topologikusan nemtriviális c) Van köztük topologikusan triviális és nemtriviális is d) Spinnel rendelkező rácsmodellre a Z2 invariáns nem jól definiált
Időtükrözés és fél BHZ Vizsgáljuk a fél-bhz modell egy adott k-hoz tartozó élállapotát (Chern-szám Q=1). Mely állítás igaz ekkor? a) b) c) d) Az állapot merőleges az időtükrözöttjére, amely ugyanazzal az energiával sajátállapota a rendszernek. Az állapot merőleges az időtükrözöttjére, amely az ellenkező oldalon propagál. Az állapot merőleges T-vel transzformáltjára, de ez nem sajátállapota a rendszernek. Mivel a rendszer sérti az időtükrözést (nemzérus a Chern szám) ezért az állapotot nem lehet T-vel eltranszformálni.
Időtükrözés és BHZ Vizsgáljuk a BHZ modell egy adott k-hoz tartozó élállapotát. Legyen a vizsgált rendszer nemtriviális. Mely állítás igaz ekkor? a) b) c) d) Az állapot merőleges az időtükrözöttjére, amely ugyanazzal az energiával sajátállapota a rendszernek. Az állapot merőleges az időtükrözöttjére, amely az ellenkező oldalon propagál. Az állapot merőleges T-vel transzformáltjára, de ez nem feltétlenül sajátállapota a rendszernek. Mivel a rendszer nem sérti az időtükrözést, ezért az minden állapot saját magának időtükrözöttje.
TRI élspektrumok a) b) Melyik lehet egy nemtriviális, időtükrözésre invariáns szigetelő felületi spektruma? Csak az egyik felületre lokalizált állapotokat vesszük figyelembe! c) d)
TRI offdiagonális tag Milyen H 12 (k x,k y ) függvény esetén lesz a Hamilton-operátornak időtükrözési szimmetriája? a) H 12 (k x,k y )= σ z b) H 12 (k x,k y )= sin 2 k x σ x c) egyik sem d) mindkettő
7. fejezet A szórási mátrix
Möbius-szalag Hajtogassunk egy kétdimenziós rácsrendszerből kivágott "szalagot" Möbius-szalag formájúra! Ehhez össze kell forrasztani (hopping amplitúdókkal) a szalag két végét. Az így kapott szalagnak csak egy éle van. Melyik állítások igazak? a) b) c) d) Ha a rácsrendszer Chern-száma 1 volt, a szalag éle mentén 1 királis élállapot megy körbe-körbe. Ha a rácsrendszer Z2-invariánsa -1 volt, azaz topologikusan nemtriviális, a szalag egyetlen éle mentén 2 "helikális" élállapot megy körbe-körbe. Ilyen szalagot nem lehet létrehozni, mert egy valódi rácsrendszernek mindig nemzérus a vastagsága. Valójában nem 2 élből lesz 1, hanem 4 élből 2. Ha az eredeti rácsrendszer időtükrözésre szimmetrikus volt is, a "forrasztás" miatt biztosan sérül ez a szimmetria.
Szórási mátrix, TRI Az ábrán egy szalag látható, amit egy topologikusan nemtriviális, időtükrözésre invariáns kétdimenziós rendszerből vágtunk ki. A fekete doboz egy szóró tartományt jelöl. Az élállapotokat nyilak jelzik. Melyik mátrix biztosan NEM a szóró tartomány S-mátrixa? a) b) c) d)
SSH-lánc S-mátrixa Vegyünk egy SSH-láncot valós hoppingokkal, az elektronspint ne vegyük figyelembe. A lánc közepén alakítsunk ki egy véges hosszú szórási tartományt: ott a hopping amplitúdók maradjanak valósak, de legyenek véletlenszerűek. A szórási tartomány S-mátrixát vizsgáljuk olyan energián, ami a vezetési sávba esik. Mi igaz erre az S-mátrixra? a) t = t' =1, az időtükrözési szimmetria miatt b) t=t' c) r=r' d) a fentiek közül egyik sem garantált
Időtükrözés és perturbáció Tekintsünk egy T időtükrözési szimmetriával bíró H Hamilton-operátort, T 2 =1. Legyen ψ energiasajátállapota H-nak. Vegyünk egy V "perturbációt" (nem feltétlenül kicsi), ami az időtükrözésre szintén invariáns. Melyik állítás igaz? a) b) c) d)
8. fejezet Élállapotok kísérleti detektálása
Nemlokalis vezetokepesseg A kék minta Q Chern-számú szigetelő, melyen az A kontaktusból a B kontaktusba áramot folyatunk át. Az 1 és 2 lebegő kontaktusok között mérjük a V keresztirányú (Hall-) feszültséget. Mekkora az I/V Hall-vezetőképesség? V 1 a) 0, hiszen az elrendezés szimmetrikus A B b) c) I 2 d) egyik sem
Chern-szigetelő, 0 feszültség A kék minta Chern-szigetelő. Az 1-es és melyik lebegő kontaktus között lesz a mért V feszültség 0? V 1 2 A B I 3 4 a) 2-es b) 3-as c) 4-es d) egyik sem
1N Chern Feszültség Az alábbi elrendezésben hogyan függ az 1-es és N-es lebegő kontaktusok közti feszültség a kontaktusok N számától, ha a kékkel jelölt minta Chern-szigetelő? Az egyik élállapotot nyíllal jelöltük. V 1 2 3 4 5 N A B I a) nem függ. b) csökken. c) nő. d) A kérdés értelmetlen.
Z2-szigetelő, 0 feszültség A kék minta Z2-szigetelő. Az 1-es és melyik lebegő kontaktus között mérek 0 feszültséget? V 1 2 A B I 3 4 a) 2-es b) 3-as c) 4-es d) egyik sem
1N Z2 feszültség Az alábbi elrendezésben hogyan függ az 1-es és N-es lebegő kontaktusok közti feszültség a kontaktusok N számától, ha a kékkel jelölt minta Z2-szigetelő? V 1 2 3 4 5 N A B I 1 2 3 4 5 N a) nem függ. b) csökken. c) nő. d) A kérdés értelmetlen.
Chern Mercedes I A A kékkel jelölt minta Chern-szigetelő. Az egyik védett élállapotot nyíllal jelöltük. Milyen függvénye az 1-es lebegő kontaktuson mért V feszültség a bemenő I áramnak? 1 B a) páros V b) páratlan c) egyik sem d) a kérdés nem jól definiált
Chern Mercedes 2. I A A kékkel jelölt minta Chern-szigetelő. Az egyik védett élállapotot nyíllal jelöltük. Milyen függvénye az 1-es lebegő kontaktuson mért V feszültség a bemenő I áramnak? 1 B a) páros V b) páratlan c) egyik sem d) a kérdés nem jól definiált
Z2 Mercedes I A A kékkel jelölt minta Z2-szigetelő. Milyen függvénye az 1-es lebegő kontaktuson mért V feszültség a bemenő I áramnak? 1 B a) páros V b) páratlan c) egyik sem d) a kérdés nem jól definiált
Termikus egyensúly A kékkel jelölt minta Chern-szigetelő, amely T hőmérsékleten termikus egyensúlyban van. Melyik állítás igaz? a) b) c) d) A mintában az elektromos áramsűrűség-vektormező azonosan nulla, hiszen egyensúlyban nem folyhat áram. Chern-szigetelő lehet egyensúlyban, de az elektromos áramsűrűség olyankor nem nulla. Chern-szigetelő nem lehet egyensúlyban, mert a nemnulla áramsűrűség Joule-fűtést okoz. A fentiek közül egyik sem.