Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030



Hasonló dokumentumok
Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030

(a) Számolja ki a vásárolt benzin átlagos mennyiségét! (b) Számítsa ki az átlagos abszolút eltérést! (a) Mekkora a napi átlagos csökkenés?

Milyen nagyságrendű szakképzési hozzájárulás képződik ben

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP / XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok

Bertóthyné dr. Végvári Erzsébet: Módszertani útmutató a felsıfokú szakképzésben részt vevı hallgatók számára az

Jász- Nagykun- Szolnok Megyei Civil Információs Centrum

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ OKTÓBER osztály

Ingatlanvagyon értékelés

S a t ti a s ti z s ti z k ti a k i a i soka k s a ág Megfigyelési egység Statisztikai ismérv

8.B 8.B. 8.B Félvezetı áramköri elemek Unipoláris tranzisztorok

részére kell megfizetni. Az esetleges tagdíjtúlfizetés visszaigénylése közvetlenül a magánnyugdíjpénztártól történik

Balázs Ildikó* ELEKTRONIKUS KOMMUNIKÁCIÓ JÖVİNK KULCSAI

VALÓSZÍNŰSÉGI JÁTÉKOK. 44. modul

KOLLÉGIUM FELNİTTKÉPZÉSI

BALATONKERESZTÚR ÖNKORMÁNYZAT 2010.évi költségvetés évi ktgvetési koncepció évi tényleges teljesítés

2-17. ábra ábra. Analízis 1. r x = = R = (3)


Biztonsági rendszerekek 2 Vezérlı berendezés

E L İ T E R J E S Z T É S

MATEMATIKA C 8. évfolyam 10. modul ÁTLAGOS?

M E G H Í V Ó július 31-én (kedd) napjára de órára összehívom, melyre Önt tisztelettel meghívom. I. N y i l v á n o s ü l é s

A jármővek méreteire vonatkozó üzemeltetési mőszaki feltételek

Kondenzátor töltése és kisütése egyenáramú körben


1. A MÁSODIK OSZTÁLYBAN TANULTAK ISMÉTLÉSE

ű Ö ű ű Ú Ú ű

1991. évi LXXXII. törvény. a gépjármőadóról ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉS II. A BELFÖLDI GÉPJÁRMŐVEK ADÓJA. Az adó alanya, az adófizetésre kötelezett

A Magyarországi Ifjúsági Információs és Tanácsadó Irodák Szövetsége SZAKMAI-ETIKAI KÓDEXE

Az MTA Gyerekszegénység Elleni Programiroda véleménye és javaslatai

JEGYZİKÖNYV A Pénzügyi és Városfejlesztési Bizottság január 17. napján tartott nyílt ülésérıl

ESÉLYEGYENLİSÉGI TERV

Feladatok és megoldások a 4. hétre

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek


TÉZISEK. Közszolgáltatások térbeli elhelyezkedésének hatékonyságvizsgálata a földhivatalok példáján

A minıségirányítási program 6. sz. melléklete

BALATONSZENTGYÖRGY KÖZSÉGI ÖNKORMÁNYZAT KÉPVISELİ-TESTÜLETÉNEK. 8. számú JEGYZİKÖNYVE HATÁROZATAI

- elektromos szempontból az anyagokat három csoportra oszthatjuk: vezetık félvezetık szigetelı anyagok

BALATONSZENTGYÖRGY KÖZSÉGI ÖNKORMÁNYZAT KÉPVISELİ-TESTÜLETÉNEK. 2. számú JEGYZİKÖNYVE HATÁROZATAI

I. Egységtörtek. Ha az egységet nyolc egyenlő részre vágjuk, akkor ebből egy rész 1-nyolcadot ér.

3/1986. (II. 21.) IM rendelet. az igazságügyi szakértık díjazásáról. I. Általános szabályok. A szakértıi díj

Fıvárosi Önkormányzat Benedek Elek Óvoda, Általános Iskola, Speciális Szakiskola és Egységes Gyógypedagógiai és Módszertani Intézmény

Jármőipari EMC mérések

Jegyzıkönyv. Sándorfalva Város Önkormányzat Képviselı-testülete november 28-i. nyílt ülésérıl

J e g y z ı k ö n y v

3/2001. (I. 31.) KöViM rendelet. a közutakon végzett munkák elkorlátozási és forgalombiztonsági követelményeirıl


A 3. országos kompetenciamérés (2004) eredményeinek értékelése, alkalmazása iskolánkban

Dél-dunántúli Regionális Munkaügyi Központ

M É L Y K Ú T NAGYKÖZSÉGI ÖNKORMÁNYZAT 8/1999.(VI.1.) rendelete a helyi lakáscélú támogatásról.

Sárospatak Város Jegyzıjétıl

H A T Á R O Z A T O T.

Készítette: Zempléni TISZK Munkaszervezete. Javaslat


HIDASNÉMETI KÖZSÉG ÖNKORMÁNYZATA POLGÁRMESTERI HIVATALÁNAK SZERVEZETFEJLESZTÉSE SZERVEZETFEJLESZTÉSI FELMÉRÉS BELSİ ELLENİRZÉS KÉZIRAT

ŐRLAP ÖSSZEFONÓDÁS ENGEDÉLYEZÉSE IRÁNTI KÉRELEM BENYÚJTÁSÁHOZ

J e g y z ı k ö n y v

-1- Páty Önkormányzat Képviselı-testületének 16/2003. /VII.30./ Kt. rendelete a Polgármesteri Hivatal köztisztviselıinek juttatásairól

Békéscsaba Megyei Jogú Város Közgyőlése 5600 Békéscsaba, Szent István tér 7.sz.

Dél-dunántúli Regionális Munkaügyi Központ. Készítette: Takács Szilvia Mátyás Tibor Attila

ELLEN RZÉSI JELENTÉS A Széchenyi István Általános Iskola ködésének törvényességi, szabályszer ségi ellen rzésér Budapest, 2011.

Postai szolgáltatások stratégiai tervezése hasonlóságelemzéssel

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Sárospatak Város Önkormányzata Képviselı-testülete 3950 Sárospatak, Kossuth u. 44. Tel.: 47/ Fax: 47/

BESZÁMOLÓ. Egészségügyi és Szociális Intézménye évi tevékenységérıl

E L İ T E R J E S Z T É S

Átalakulási Tájékoztató és Alapkezelési Szabályzat. Elixír Tıkevédett Nyíltvégő Származtatott Alapra vonatkozóan

1. Szervezeti felépítés

Speciális ingatlanok értékelése

GAZDASÁGI ÉS KÖZLEKEDÉSI MINISZTÉRIUM. Szóbeli vizsgatevékenység

Mintapéldák és gyakorló feladatok


33/2009. (X. 20.) EüM rendelet az orvostechnikai eszközök klinikai vizsgálatáról

KÖNYVTÁRHASZNÁLATI SZABÁLYZAT

KVANTITATÍV MÓDSZEREK

Varga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010.

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Beszámoló a Polgármesteri Hivatal Közgazdasági Irodájának évi munkájáról és az ügyintézésérıl

Tisztelt Elnök Úr! Tisztelt Képviselı Hölgyek és Urak! Tisztelt Miniszter Úr!

Pátka Község Önkormányzat Képviselı-testülete 15/2007 (X. 16.) számú rendelete a helyi közút- és közmőépítésekrıl

ELŐTERJESZTÉS. Sándorfalva Város Önkormányzat Képviselı - testületének. Kakas Béla polgármester

Varsány Község Önkormányzata Képviselı-testületének. 23/2004.(XII.29.) rendelete. a talajterhelési díjra vonatkozó eljárási szabályokról

Ingatlanvagyon-értékelırtékel. és közvetítı szakképzés. Számviteli alapismeretek 1.

További információk a következı címen szerezhetık be: Azonos a fent említett kapcsolattartási ponttal/pontokkal

Lean szemlélető folyamatfejlesztés és reorganizáció a gyakorlatban. Dr. Németh Balázs November 2.

Mérlegjegy. Szécsy Számítástehnika 4080 Hajdúnánás, Ady krt

és a várakozási díjról

Székely Klára: Üzleti etika Power Point segítségével

Szekszárdi Cigány Kisebbségi Önkormányzat

Ügyszám:JNO-715/1/2010. I. A panasz

Pilis Város Jegyzıje

2011. december , Díszterem 3. napirendi pont 1. számú melléklet

J e g y z ı k ö n y v

Rab Henriett: 1. A foglalkoztatáspolitikai eszközök szabályozásának változása napjainkban

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

Lajosmizse Város Önkormányzata Képviselı-testületének 4/2010. (III.11.) rendelete a hulladékkezelési közszolgáltatásról 1

Háztartásunk hulladékai

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 21. KÖZÉPSZINT I.

I A P C O. Egy konferencia szálloda követelményei

J E GY Z İ K Ö NY V. 36/2012. (II.16.) TB határozatot

Átírás:

Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MNB030, MLB030 4. téma Teljes valószínőség tétel és a Bayes-tétel Teljes valószínőség tétel. Szemléltetés fa diagrammal. Bináris csatorna c példája. Bayes-tétel és alkalmazása. Inverz fa diagram. Feladatok.

Teljes valószínőség tétel TELJES VLÓSZÍNŐSÉG TÉTEL Legyen B 1, B 2, B 3,, B n teljes eseményrendszer, azaz páronként egymást kizáró események, melyek összege az Ω eseménytér: Ekkor tetszıleges eseményre B 1 B k B i =Ø ( ha k i és B 1 + B 2 + B 3 + + B n = Ω. ( ( ( ( P( = P B P( B + P B P( B +... + P B P( B = P B P( B Bizonyítás 1 1 2 2 B 2 B 3 B 1 B 2 B 3 n n n k k k= 1 1 2 (... B = Ω= B + B + + = 1 2 = B + B +... + B n n B 4 B 4 B 5 Mivel ( B k ( B i =Ø, ha k i, ezért = ( 1+ 2+ + Bn = ( (... P( B P( P B B... = P B + P B + + 1 2 n B 5

Teljes valószínőség tétel valószínőségek szorzás-tétele alapján minden k=1, 2, 3,, n esetén. ( = ( ( P B P B P B k k k Behelyettesítve az elızı egyenlıségbe, kapjuk a bizonyítandó teljes valószínőség tétel formuláját ( ( ( ( P( = P B P( B + P B P( B +... + P B P( B = P B P( B 1 1 2 2 n n n k k k= 1 tétel olyan esetekben hasznos segítség, amikor az összeg tagjai könnyebb kiszámítani, mint közvetlenül az esemény valószínőségét.

Szemléltetés fa diagrammal Szorzat események Valószínőségeik B 1 P( B 1 B 1 P(B 1 B 2 B 3 Feldaraboltuk az eseményteret idegen részekre a B 1, B 2 és B 3 eseményekkel! Tetszıleges eseményt ez a darabolás diszjunkt B k részekre oszt. start P(B 1 P(B 2 P(B 3 B 1 B 2 B 3 P( B 2 P( B 3 gráf start csúcsából induló élek megfelelnek a darabolásoknak. z egyes élekre írt P(B k valószínőségek, a darabok mértékei az egészhez viszonyítva. következı bináris élsorozatok azt mutatják, hogy az egyes darabok mekkora része van -ban illetve mekkora része nincs - ban. z élekre a feltételes valószínőségek kerülnek. valószínőségek szorzás szabálya alapján a levelekhez vezetı úton vett szorzatok a szorzat események valószínőségeit adják P(B k = P( B k P(B k Ha a szürkével jelölt sorok valószínőségeit összeadjuk, akkor megkapjuk valószínőségét! B 2 B 3 P(B 2 P(B 3

Bináris jelek Bináris csatorna átmenet valószínőségei 1 0 érkezése 0,4 0,6 Kódolás Encoder 0,1 0,05 átvitel 0,95 0,9 Vétel B Decoder B 1 0 Események = { az adó 1 jelet ad } B = { a vevı 1 jelet vett } dott valószínőségek P( = 0.4 P( = 0.6 P(B = 0.95 P(B = 0.05 P(B = 0.1 P(B = 0.9 Keresett valószínőségek P(B= mekkora az 1 jel vételének valószínősége? P( B = mekkora valószínőséggel továbbított 1 jelet az adó, feltéve hogy a vevı 1 jelet vett?

Bináris csatorna döntés fa diagramja Start P(= 0.4 z adás bitjei P(B = 0.95 P(B = 0.05 vétel bitjei B B Szorzat események w 1 = B w 2 = B Útvonal valószínőségek szorzata 0.4 0.95 = 0.38 = P(ω 1 0.4 0.05 = 0.02 = P(ω 2 P(= 0.6 P(B = 0.1 B w 3 = B 0.6 0.1 = 0.06 = P(ω 3 P(B = 0.9 B w 4 = B 0.6 0.9 = 0.54 = P(ω 4 z 1 jel vételének valószínősége, a teljes valószínőség-tétel alapján Összeg = 1.00 P(B= P( B + P( B=0.38 + 0.06 = 0.44

Bayes-tétel BYES - TÉTEL Legyen B 1, B 2, B 3,, B n teljes eseményrendszer, azaz páronként egymást kizárók és összegük az Ω eseménytér: B k B i =Ø ( ha k i és B 1 + B 2 + B 3 + + B n = Ω. Ha az esemény pozitív valószínőségő és k rögzített index 1 és n között, akkor Bizonyítás ( P B k = i= 1 ( P B P( B n k ( P B P( B Felhasználva a feltételes valószínőség definícióját, a szorzás-szabályt és a teljes valószínőségtételét kapjuk a Bayes-tétel állítását ( P B k Ezzel igazoltuk a Bayes-tétel állítását. ( ( ( P Bk P Bk P( Bk P Bk P( Bk = = = n P( P( P B P( B i k i i= 1 ( i i

Bináris csatorna inverz fa diagramja Cseréljük fel az eredeti fa oszlopait! teljes valószínőségtétel alapján kaptuk! P(B= 0.44 vétel bitjei B P( B= 0.863 P( B= 0.137 z adás bitjei Szorzat események w 1 = B w 3 = B Útvonal valószínőségek szorzatai adottak 0.38 = P(ω 1 0.06 = P(ω 3 Start Sorrendcsere történt! P(B= 0.56 B P( B= 0.035 w 2 = B 0.02 = P(ω 2 P( B= 0.965 w 4 = B 0.54 = P(ω 4 Bayes-tétel alkalmazásával kapjuk a P( B valószínőséget! P( B = P( B P(B = 0.38 0.44 = 0.863 Összeg = 1.00

1. Tekintsünk egy közúti szállítással foglalkozó céget vagy rendszert! cég a vállalt szállítási kötelezettségeinek idınként a csúcsforgalom miatt nem tud eleget tenni. Ilyenkor a szállítási feladat meghiúsul, azt mondjuk, hogy a rendszer leáll. cég a szállítással kapcsolatos feladatait 3 csoportba sorolja: alacsony, közepes és magas szintő szállítási kötelezettségek. Ezek a szállítás sürgısségével függnek össze. z alábbi táblázat tartalmazza az egyes kötelezettségi szintek gyakoriságai alapján számolt valószínőségeket és a rendszer leállásának feltételes valószínőségeit, az egyes kötelezettségi szintnek megfelelı feltételek mellett Kötelezettségi szint P( szint P( a rendszer leáll szint lacsony 0.6 0 Közepes 0.3 0.1 Magas 0.1 0.5 (a Határozzuk meg a rendszer leállásának valószínőségét! Rajzoljuk fel a feladat fa diagramját, amelyen tüntessük fel a rendszer mőködését is, mint a leállás ellentét eseményét! (b Ha azt észlelték, hogy a rendszer leállt, akkor ezt a leállást mekkora valószínőséggel idézte elı egy közepes szintő kötelezettség? Rajzoljuk fel a feladat inverz fa diagramját!

2. Négy egymást követı közlekedési lámpa szinkronizálási problémájával kapcsolatosan megfigyelték a következı adatokat. Minden egyes lámpa 50 másodperces periódusonként vált át pirosra és ekkor 30 másodpercig piros jelzést ad. következı feltételes valószínőségeket mérték P(S k+1 S k = 0.15 és P Sk+ 1 Sk = 0.40, k =1, 2, 3 esetén, ahol az S k esemény azt jelöli, hogy a k-adik lámpa megállította a gépkocsivezetıt! fa diagram felrajzolása segítségével számítsuk ki annak valószínőségét, hogy egy gépkocsivezetıt (a Mind a négy lámpa megállítja (b Egyik lámpa sem állítja meg, azaz zöld hullámot kap (c Legfeljebb egy lámpa tartóztatja fel. (

3. Három urnánk van. Minden urna tartalmaz 1 fehér golyót. Ez mellett az I. urna 1 fekete golyót, a II. urna 2 fekete golyót és a III. urna 3 fekete golyót tartalmaz. Egy urnát kiválasztunk találomra és a kiválasztott urnából kihúzunk egy golyót. három urna kiválasztásának a valószínőségei rendre 1/6, ½ és 1/3. Ha tudjuk, hogy fehér golyót húztunk, akkor mekkora a valószínősége, hogy egy adott urnából való a golyó! Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításhoz!

4. Egy szociológiai kísérlet abban áll, hogy 4 lepecsételt boríték mindegyikébe egy-egy megoldandó problémát tettek. Ezután megkérték a résztvevıket, hogy válasszanak egy borítékot és próbálják megoldani a problémát 10 percen belül. Kísérletek alapján tudjuk, hogy a legnehezebb problémát 0.1 valószínőséggel meg tudják oldani a résztvevık. többi problémára vonatkozóan a valószínőségek rendre 0.3, 0.5 és 0.8. Tudjuk, hogy a csoportnak sikerült megoldani a problémát a megadott idın belül. Mekkora a valószínősége, hogy a legnehezebb problémát kapták? Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításhoz!

5. ngliában egy adott helyen a jó idıjárás esélye 20 %, míg a rossz idıjárás a megfigyelések 80 %-ára teljesül. Ha egy adott nap az idıjárás jó, akkor annak valószínősége, hogy a következı nap is jó idı lesz az 0.25. Ha egy adott napon rossz idı van, akkor annak valószínősége, hogy a következı nap is rossz idı lesz 0.75. Ha ma jó idı van, akkor mi a valószínősége annak, hogy tegnap is jó idı volt? Ha ma rossz idı van, akkor mi a valószínősége annak, hogy tegnap is rossz idı volt? Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításokhoz!

6. Egy vizsgán minden kérdésre 4 választási lehetıség közül kell kiválasztani a helyes választ! (ún. multiple-choice teszt Tegyük fel, hogy ha egy diák tudja a helyes választ, akkor 1 valószínőséggel a jót választja, míg ha találgat, akkor ¼ valószínőséggel válaszol helyesen. Tételezzük fel továbbá, hogy egy jó tanuló a kérdések 90%-ára tudja a választ, egy gyenge tanulónál ugyanez 50%. Ha egy jó tanuló egy kérdésre helyesen válaszolt, akkor mekkora a valószínősége, hogy találgatással találta el a helyes választ? (1/37 Ha egy gyenge tanuló egy kérdésre helyesen válaszolt, akkor mekkora a valószínősége, hogy találgatással találta el a helyes választ? (1/5 Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításhoz!

7. Egy tranzisztorokat tesztelı gép a hibás tranzisztort 0.95 valószínőséggel felismeri, de egy jó tranzisztort hibásnak minısít 0.1 valószínőséggel. Egy technikus tudja, hogy egy rádióban levı 10 tranzisztor közül 1 hibás (nem tudja, hogy melyik az. Kiválaszt egyet véletlenszerően a 10 közül, majd teszteli és a gép azt mutatja, hogy hibás. Mekkora a valószínősége, hogy a tranzisztor valóban hibás? Tegyük fel, hogy a gép azt mutatja a tesztelés során, hogy a tranzisztor jó. Mekkora a valószínősége ekkor, hogy a tranzisztor mégis hibás? Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításokhoz!

8. Bizonyos fajta megfázás orvoslására az esetek ⅓ ánál C vitamint, ½ részénél antibiotikumot míg 1/6 részben látszatgyógyszert (ún. placebo alkalmaznak. megfázást a C-vitamin az alkalmazott esetek ¼ részében meggyógyította, míg ugyanez az arány ½ és 3/5 volt az antibiotikum és a látszatgyógyszerek esetében. Ha egy ember nem gyógyult ki a megfázásából, mekkora a valószínősége annak, hogy ennek a C-vitamin volt az oka? Ha egy illetı kigyógyult a megfázásából, akkor mi a valószínősége annak, hogy ez a gyógyulás a látszatgyógyszernek köszönhetı? Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításokhoz!

9. Egy zenekutató megpróbálja meghatározni, hogy egy újonnan felfedezett barokk dalnak ki a zeneszerzıje. Úgy gondolja, hogy egyforma valószínőséggel lehet a szerzı rchangelo Spumani és a kevésbé ismert bátyja, Pistachio. kérdés eldöntésének kulcsa a zeneszerzık által alkalmazott -dúr és F-moll hangnemek gyakorisága. Ismert, hogy rchangelo az esetek 60% -ban - dúrban, míg Pistachio az esetek 80%- ban F-mollban komponált. Ha a zenekutató által felfedezett zenemővet F-mollban írták, akkor mi a valószínősége, hogy azt rchangelo komponálta? Illetve Pistachio komponálta? Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításokhoz!

10. Egy hivatal által szervezett pikniken 200 résztvevıbıl 150 fı evett csak egy fogást krumpli salátát 30 fı evett két fogásos és 20 fı evett három fogásos ételt (ezek között is szerepelt a krumpli saláta. Késıbb a résztvevık közül sokan megbetegedtek, és felfedezték, hogy ennek oka a krumpli saláta volt. z orvos úgy tapasztalta, hogy a résztvevık 0.3 valószínőséggel betegedtek meg. Ha valaki megbetegedett, akkor mekkora a valószínősége, hogy 1, 2 vagy 3 fogást evett? Ha valaki nem betegedett meg, akkor mekkora a valószínősége, hogy 1, 2 vagy 3 fogást evett? Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításokhoz!