Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs Technológiai Kar EEG készülékek alacsonyfrekvenciás átvitelének vizsgálatára alkalmas mérőkészülék előállítása Szepes Gábor műszaki informatikai szak 2012 Témavezetők: Tihanyi Attila és Weiss Béla PhD.
Nyilatkozat Alulírott Szepes Gábor, a Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs Technológiai Karának hallgatója kijelentem, hogy ezt a diplomatervet meg nem engedett segítség nélkül, saját magam készítettem, és a diplomamunkában csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, melyet szó szerint, vagy azonos értelemben, de átfogalmazva más forrásból átvettem, egyértelműen a forrás megadásával megjelöltem. Ezt a Diplomamunkát más szakon még nem nyújtottam be aláírás
Tartalomjegyzék 1 A feladat összefoglalása... 6 2 A tervezés peremfeltételei... 7 2.1 EEG... 7 2.2 EEG, mint blackbox... 9 3 Megoldás differenciál egyenlettel... 11 3.1 Fontos jelenségek... 15 3.2 A tranziens jelenség, mint alapvető rendszerjellemző... 15 4 Egy másik lehetőség az úgynevezett állapotváltozós alakja a differenciálegyenleteknek... 16 4.1 A vizsgálójelek módszere... 18 4.1.1 Konvolúció... 19 4.2 Frekvencia és operátor tartomány... 21 4.3 A Laplace-transzformáció néhány fontos tulajdonsága... 22 4.4 Az átviteli függvény... 23 4.5 Az inverz Laplace-transzformáció... 24 5 Amikor a bemenőjel szinuszos... 25 5.1 A frekvenciafüggvény grafikus megjelenítése... 25 5.2 Alakhű átvitel... 26 6 A Z-transzformáció... 28 6.1 Az inverz z-transzformáció... 28 6.1.1 Polinomiális osztás... 29 6.1.2 A diszkrét idejű impulzusválasz számítása... 29 6.1.3 Részlettörtekre bontás... 29 6.2 A z-transzformáció néhány fontosabb tulajdonsága... 30 6.3 A z-transzformáció alkalmazása... 31 7 A korrekció... 32 7.1 A Laplace- és a z-transzformáció kapcsolata... 32 7.1.1 Diszkrét idő... 33 7.1.2 A kvantálás... 33 7.1.3 Mintavételezés... 34 7.1.4 A DI jelek feldolgozása... 34 8 A feladat megoldása... 35 8.1 Mérőjel előállítása, PWM-el... 37 8.2 Megvalósítás:... 38 9 Eredmények... 43 10 Továbbfejlesztés... 45 11 Köszönet nyilvánítás... 46
Tartalmi összefoglaló A dolgozatom témája a hagyományos EEG készülékek alsó sávkorlátozásának kompenzálása. Erre azért van szükség, mert a legújabb kutatási eredmények szerint különböző fiziológiás és patológiás agyi aktivitások hiperalacsony frekvenciás (akár 0,01Hz alacsony is lehet) komponenssel is rendelkeznek. Azonban, ezen oszcillációs jelenségek vizsgálatát megnehezíti a hagyományos EEG készülékek alsó sávkorlátozása, aminek a tulajdonságai általában nem ismertek pontosan. Számszerűsítve az elhangzottakat: a hagyományos EEG készülék 0,5Hz- 50Hz tartományban dolgozik. A feladatot úgy lehet megközelíteni, hogy az EEG csatornák lassú jelekre adott válaszából megbecsülhető az egyes csatornák átviteli karakterisztikája az alacsony frekvenciás tartományban. Így ennek ismeretében az inverz karakterisztika használatával az EEG készülékek lassú oszcillációkra gyakorolt torzító hatása korrigálható. Ezeknek megfelelően a jelfeldolgozásban tanultakat kellett feleleveníteni. Meg kellett nézni, hogy hogyan lehet az átviteli karakterisztikát meghatározni. Meg kellett építeni egy tesztrendszert, ami ezt alkalmazza. Mivel nem kész termék előállításáról volt szó, ezért az eredményt egy nem egészen autómatizált folyamat eredményeként kapjuk, továbbá a pontosság csak olyan mértékű, hogy látható, hogy az elmélet működik. Az orvosi alkalmazáshoz nagyobb pontosság szükséges. Előállítom a vizsgáló jelet, majd a megépített tesztrendszer segítségével mind a bemenő, mint a black box-on átmenő jelet egy egy file-ba írom. Ezek után z-transzformálom a jeleket, majd majd kiszámítom a z tartományban az átviteli függvényt. Ez megmondja, hogy a blackbox hogyan viselkedik a hiperalacsony frekvenciák esetén. Az átviteli függvény ismeretében meg tudom mondani, hogy ha ezt a jelet kapom, akkor mi volt az eredeti bemenő jel. Vagyis a hagyományos EEG készülékek torzító hatását korrigálni tudom.
Content Summary The subject of my work is to compensate the convential EEG devices' characteristic at hyper low band. This is needed because according to the latest research results different phisiology and pathology brain activities have hyper low frequency components. However it is hard to study these oscillatory phenomena because of low cut off filter property of the conventional EEG. To be more exact on the hyper low frequency it means as low as 0.01Hz frequency. The task can be approached we the the EEG we make an input an input that we know good the we are watcing the output. If the input signal was properly designed the we can get a proper transfer characteristic on the EEG. If we know the characteristics of the EEG and the output we can tell what was the original input. This task is a Signal Processing task especially a Digital Siganl Processing task. For this reason I had to renew my earlier studies on this subject. E.g. recall how to get the transfer function. Furthermore I had to build a test system to ensure that the theory is working. As it is only a test and not a commercial product the process of aquirement is not fully automatic. And the results may be not that accurate. At this stadium it can not be used as a clinical equipment there is a higher accuracy needed. I generate a test signal and with the help of the previously built test system I measure the input and the output signals than I write them into a file. After this I make a z transform on these discreet signals than I calculate the transfer function. It describes how the system (the "black box") behaves at hyper low frequencies. When I know the transferfuncion of a system and I measured the output I can tell what was the original signal. So I can compensate the characteristics of the conventional EEG.
1 A feladat összefoglalása Adott egy EEG készülék, továbbiakban blackbox. Nem tudjuk, hogy mi van benne. Azt tudjuk, hogy a, nekünk vizsgálatok szempontjából fontos alacsony frekvenciás jeleket torzítja. Ezzel el lehet hagyni azt a vizsgálatot, ami ennek a feltérképezéséről szól. Mindössze azt kell vizsgálni, hogy melyik az a frekvenciatartomány, amelytől elkezdődik az alacsonyfrekvenciás jelek vagy jelösszetevők kiszűrése. Ebben az esetben azonban tehát tudjuk, hogy az alacsony frekvenciákat torzítja a blackbox. Ez azt jelenti, hogy ha egy adott frekvencia alatti komponenssel rendelkező jelet bocsátunk a blackbox-ba, akkor az a jel torzul, vagyis a blackbox kimenetén nem a beadott jel arányosan megváltozott alakját látjuk viszont vagy mérjük le, hanem egy teljesen különböző jelalakot. Ezért fel kell térképezni a blackbox viselkedését a nagyon alacsony frekvenciás tartományban. Ehhez először meg kell tudni, hogy hozzávetőlegesen melyik az a tartomány, amit vizsgálni akarunk. Ennek megfelelően utána kell nézni, hogy az EEG-ről ebben az értelemben mit lehet tudni. Ha ez megvan, akkor ki kell választani a megfelelő vizsgálójelet. Majd a vizsgálójel alapján méréseket végezve meg kell határozni az átviteli függvényt. Ha megvan az átviteli függvény, akkor annak alapján visszaállítható az eredeti jel.
2 A tervezés peremfeltételei Először ismerkedjünk meg az EEG-vel. Az EEG s mérésekkel valamint határozzuk meg az alvásdiagnosztikában használt alacsony frekvenciát. 2.1 EEG Az elektroenkefalográfia (EEG) tágabb értelemben véve egy pszichofiziológiai mérőeljárás, melynek segítségével a pszichés működés élettani hátterét vizsgálhatjuk meg; szűkebb értelemben pedig egy elektrofiziológiai mérőeszköz, mely a neuronok elektromos aktivitásának regisztrálására szolgál valós időben. Az EEG-vel elvezethető jel az elektroenkefalogram, amely egy komplex, több komponensű periodikus görbeként írható le. 1870-ben kutyák agykérgének egy részét stimulálva mozgást indukáltak az állatokban, 1875- ben elektromos aktivitást vezettek el majmok és nyulak agyából. 1929-ben Hans Berger (osztrák pszichiáter) megalkotta az EEG-t: az emberi fejbőrre helyezett elektromos rögzítő berendezés segítségével arra kereste a választ, hogy a különböző pszichológiai állapotok és fiziológiaiállapotok között milyen kapcsolat áll fenn. A képen az első EEG felvétel látható. A felső az EEG jel, az alsó egy 10Hz-es jel, hogy lehessen mivel összevetni az EEG jelet. 1. ábra: az első EEG felvétel Az EEG rutinszerű használata csak az 1930-as évektől terjed el. Az elektroenkefalogram regisztrálásának két módja lehetséges. Az egyik egy invazív eljárás, melynek során a koponyán át fúrt lyukon keresztül néhány mikron csúcsátmérőjű mikroelektródát helyeznek el az agyszövetben. Ezt a módszert általában állatkísérletek során alkalmazzák, bár manapság egyre gyakrabban használják embereken is, főleg epilepsziás betegeknél az operáció előtt az epilepsziás góc pontos beazonosítására. A másik, noninvazív technikát általában embereken alkalmazzák, amikor a hajas fejbőrre kis ellenállású, fémből készült makroelektródákat helyeznek el a nemzetközi 10-20-as rendszer szerint. A vizsgálatok során 31, 63 vagy 123 elektródával dolgoznak, de akár kétszáznál több csatornán is történhet az elvezetés. (Az EEG csatorna mindig két elektróda közötti feszültségkülönbséget jelenti.) Az alábbi képen az elektródák lehetséges pozíciói láthatók.
2. ábra: elektróda elhelyezési pontok Az EEG vizsgálatok alatt mindig két elektróda közötti potenciálkülönbséget mérnek, ahol a mérések lehetnek bipolárisak, amikor a koponya két különböző pontján regisztrált görbét egymáshoz viszonyítva értékelik, és lehetnek unipolárisak, amikor a potenciálváltozásokat egy indifferens vagy inaktív elektróddal felvett görbével hasonlítják össze. Inaktív (referencia) elektródának nevezik azokat az elvezetéseket, amelyek nem közvetítenek idegi aktivitást (a test valamelyik a koponyától távoli pontja, például a fülcimpa), aktívnak pedig azokat, amelyek alatt EEG-generátor neuronok helyezkednek el. Az EEG regisztrálása során az analóg görbéket digitális jellé alakítják át, így matematikai elemzéssel az EEG-görbét különböző frekvenciájú komponensekre bonthatják. A folyamatban meghatározzák az EEG-jel amplitúdóját egy frekvenciatartományban. Az alábbiakban mutatok néhány példát az EEG görbékre. 3. ábra: delta hullám Az egyik példa a Delta hullám. Maximum 4Hz-es lehet. Ennek van a legnagyobb amplitúdója, és a lassabb hulláma. Ez normális esetben a felnőttek lassú hullámú alvása alatt jellemző. Csecsemőkre jellemző, hogy idejük jelentős részét lassúhullámú alvással töltik és így nagyobb delta aktivitás figyelhető meg náluk, azonban újszülöttekről éber állapotban elvezetett agyi aktivitásukban is domináns a delta szerepe. Subcorticális elváltozásoknál fordulhat elő koncentráltan, ill. általánosan eloszolva diffúz elváltozásoknál (ahol a károsodott idegszövet elszórtan, ép idegi elemek között helyezkedik el) vagy mély középvonali elváltozásoknál. Ez legkiemelkedőbb a felnőttek esetében az agy elülső részén (FIRDA - Frontal Intermittent Rhythmic Delta), még a
gyerekek esetében hátulsó részén (OIRDA - Occipital Intermittent Rhythmic Delta). Hogy teljesebb legyen a kép az EEG jelekről bemutatok egy másik hullámot is. Ez egy jóval gyorsabb hullám 12Hz-től 30Hz-ig létezik, a neve béta. 4. ábra: béta hullám Az agy mindkét féltekén előfordul szimmetrikus eloszlásban, leginkább a homlokrészen jellemző. A béta hullám erősen kötődik a motoros viselkedéshez. Általában erősen csökken aktív mozgáskor. Alacson amplitúdójú béta hullám többszörös és változó frekvenciákkal gyakran társul a nagyon aktív vagy ideges gondolkodáshoz és aktív koncentrációhoz. A béta hullám egy domináns frekvenciacsoporttal különböző patológiai és drog hatásokhoz köthető, különösen a benzodiazepinekhez. A hullám kortikális károsodás esetén csökkenhet vagy teljesen el is tűnhet. Ez a domináns hullám azoknál a pácienseknél, akik koncentrálnak vagy idegesek vagy nyitva van a szemük. 2.2 EEG, mint blackbox A feladat tehát az volt, hogy egy blackbox-ot térképezzek fel. Mint az EEG leírása is mutatja, az EEG ténylesen felfogható egy elektronikus rendszernek, melynek mind a bemenete, mind a kimenete elektromos feszültség az idő függvényében. Mivel azonban nem ismert a belső része, egyszerűen csak blackbox-ként érdemes kezelni a rendszert. Felmerülhet még az EEG-vel kapcsolatban, hogy akár kétszáznál több csatornán is történhet az elvezetés. Csatornákat teljesen külön lehet kezelni. Ez azt jelenti, hogyha meg van építve egy szerkezet, ami korrigálja az alacsonyfrekvenciás EEG jeleket, akkor azt a szerkezetet csatornánként lehet alkalmazni. Tehát egy SISO (Single-Input and Single-Output) rendszerrel elég modellezni. Mivel nem ismerem az EEG belső szerkezetét, és tekintve, hogy a diploma hosszútávon nem csak EEG bemérésére készül, hanem általános célokat szolgál, a belső szerkezet megismerése mint opció nem jön szóba. Azért nem jön szóba, mert ha nem csak EEG-t vizsgálok, mint blackboxot, akkor minden egyes blackbox belső szerkezetének megismerése nem hatékony módszer a rendszer korrigálására. Egy kauzális LTI (linear time invariant lineáris időinvariáns) rendszer tulajdonságainak
kezelésére több féle módszer is adott. Ezek a módszerek: egy darab n-ed rendű differenciál egyenlet n darab elsőrendű differenciál egyenletrendszer (ún. állapotegyenlettel) tipikus gerjesztésekre adott válaszokkal (ez az ún. vizsgálójelek módszere). Én a vizsgálójelek módszerét választottam, mert az tűnt kézenfekvőnek. Az alábbiakban kifejtem, miért.
3 Megoldás differenciál egyenlettel A legkülönbözőbb fizikai folyamatok általában matematikailag azonosan alakú differenciálegyenletekkel (vagy differenciálegyenlet-rendszerekkel) írhatóak le, amelyek a változó és azok megváltozásainak kapcsolatát adják meg. Mechanikai mozgások, villamos és mágneses jelenségek, hőfolyamatok, gázok és folyadékok áramlása stb, egyaránt differenciálegyenletekkel írhatóak le.[1] Ilyen például egy Kirchhoff áramköri hálózat is, hiszen: egy (koncentrált paraméterű) hálózat komponensek összekapcsolásából áll. Minden komponensnek meghatározott számú pólusa, vagyis kivezetése van. Tetszőleges számú pólus a hálózat egy csomópontjában egyesíthető. (A továbbiakban kétpólusokra szorítkozunk, annál is inkább, mert a sokpólusú komponens csatolt kétpólusokkal helyettesíthető.) A kétpólushoz egyetlen, a kétpóluson átfolyó i = i(t) áramot és egyetlen, a két pólus között fellépő u = u(t) feszültséget rendelünk, ahol t az idő jele. A kétpólusú komponens egy kapcsolatot létesít u feszültsége és i árama között, amelyet a komponens karakterisztikájának nevezünk. Ennek általános implicit alakja Φ{u,i} = 0, (1.képlet) ahol Φ egy operátor. Az esetek többségében értelmezett az u = Φ u {i}, i = Φ i {u} explicit karakterisztikák legalább egyike, ahol Φ u és Φ i egy-egy operátor. Példa az explicit karakterisztikákra: az ellenállásé: a kondenzátoré: u(t) = Ri(t), vagy ehhez képest inverz módon: a tekercsé:, ugyancsak inverz módon: A hálózatot alkotó komponensek összekapcsolásának módja határozza meg az áramokra valamint a feszültségekre vonatkozó összekapcsolási kényszereket, amelyeket a Kirchhoff törvények fejeznek ki. Kirchhoff áramtörvénye Egy hálózatban válasszunk egy zárt felületet (síkban: zárt görbét), amelyen a kétpólusokhoz
rendelt áramok legfeljebb egyszer folynak át. A felületből kifolyó áramokat pozitívnak, a befolyókat negatívnak tekintve (vagy fordítva), az áramok algebrai összege Kirchhoff áramtörvénye értelmében bármely zárt felületre minden időpontra nulla: (2.képlet) zárt felület áramaira. Ezek alapján az ábrán látható áramkör Kirchhoff egyenletei: 5. ábra: példa kapcsolás Majd kifejezve a rezisztív komponensek változóit a dinamikus komponensek u C és i L típusú változóival és a forrásmennyiségekkel: Ezeket a két DE-be helyettesítve és rendezve a következő alakhoz jutunk: A rendszer leírásaképpen egy elsőrendű differenciál egyenletrendszert kaptunk. Mivel i L és u C
is az idő függvényei, ezért amikor u C helyére helyettesítek i(t) függvényeket is deriválni kell, így a megoldás során másodrendű állandó együtthatós inhomogén differenciál egyenelet rendszert kell megoldni. [3] A differenciálegyenlet megoldása sokszor nehézkes, ezért különböző módszerek alakultak ki a vizsgálatok egyszerűsítésére. A differenciálegyenlet Laplace operátortartományba való transzformálásával a differenciálegyenlet helyett algebrai egyenletet kell megoldani. A frekvenciatartománybeli vizsgálatok az időtartománybeli viselkedés gyors közelítő kiértékelésére adnak lehetőséget. Itt megjegyezzük, hogy a továbbiakban kauzális BIBO (Bounded Input Bounded Output) LTI rendszerekre szorítkozunk, amilyen az EEG is. Egy rendszer megadására alapvetően három rendszer létezik. Az első, és sokszor a legkézenfekvőbb az n-ed rendű differenciálegyenlettel (vagy DI-ben differenciaegyenlettel) valósul meg. A második az állapot egyenletek segítségével történik: n db elsőrendű DE rendszert jelent. A harmadik a tipikus gerjesztésekre adott válaszokkal. Én a harmadikat fogom választani, de ahhoz, hogy értelmezni tudjuk a választást meg kell ismernünk ez első két lehetőséget is részletesebben. Egy LTI rendszer működése tehát az alábbi n-ed rendű DE-tel írható le: a n y (n) (t)+a n-1 y (n-1) (t)+...+ a 1 y'+a 0 y(t)= b m u (m) (t)+b m-1 u (m-1) (t)+...+ b 1 u'+b 0 u(t) (3.képlet) az u a bemenőjelet, az y a kimenőjelet, az y' a kimenőjel első, u' a bemenőjel első, y (n) a kimenőjel n-edik, az u (m) a bemenőjel m-edik idő szerinti deriváltja. Itt megjegyezzük, hogy a fizikai realizálhatóság feltétele m n, mert csak így lesz BIBO a rendszer. Ez egyfajta ellenőrzési lehetőség is. A DE elvileg végtelen sok megoldása közül azt kell kiválasztani, amely eleget tesz az y függvényre vonatkozó peremfeltételeknek. A y(t)-re és a differenciálhányadosaira n db olyan feltételt kell előírni, amelyeket a megoldásnak ki kell elégítenie. A peremfeltételek rendszerint kezdeti feltételek, tehát y(0), y (1) (0),...y (n-1) (0) formában adottak. A rendszer működését a differenciálegyenletének megoldása írja le. A megoldás két komponensből áll: a homogén egyenlet y h (t) általános megoldásából és az inhomogén egyenlet egy y i (t) partikuláris megoldásából. y(t) = y h (t)+y i (t) A karakterisztikus egyenletet úgy kapjuk meg, hogy homogén egyenletbe y deriváltjai helyébe
s megfelelő hatványait helyettesítjük. A karakterisztikus egyenlet tehát: a n s n + a n-1 s n-1 +...+a 1 s+a 0 = 0 (4.képlet) A homogén egyelet általános megoldása a következő alakú: ahol s1,s2,,, a rendszer karakterisztikus egyenletének gyökei (valós együtthatójú polinomoknak csak valós vagy konjugált komplex gyökei lehetnek). A ki konstansokat a kezdeti értékekből kell meghatározni. Ha a karakterisztikus egyenlet megoldásában többszörös gyökök is előfordulnak, akkor a megfelelő tagokban az exponenciális függvény t hatványaival van megszorozva. Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását, amely az u bemenjeltől függ, jelöljük f(u)-val. Feltételezve, hogy ezt valamilyen eljárással pl. kísérletező feltevéssel, állandók variálásának módszerével vagy egyszerű megfontolással sikerül megtalálni, akkor a leíró DE általános megoldása: A ki konstansokat a kezdeti feltételek ismeretében kell meghatározni. Az eddigiek mutatják, hogy a differenciál egyenelet rendszer megoldása az időtartományban általában bonyolult és fáradságos. A karakterisztikus egyenletnek csak negyedfokú esetig van analitikus megoldása. Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának megtalálása bonyolultabb bemenő jel esetén számításigényes. Még ha meg is tudjuk határozni a rendszert jellemző DE-t, akkor is mind a válasz számítása, mind adott esetben a gerjesztés visszakövetkeztetése számítása meglehetősen bonyolult és fáradságos. Ezért a későbbiekben a differenciál egyenelet rendszert transzmormáció segítségével oldjuk meg. Azonban mivel ha nem is az időtartományban dolgozunk velük, velük dolgozunk, érdemes jobban megismerni őket. És azt, hogy pontosan mit írnak le. Ugrás alakú gerjesztésre a differenciál egyenelet rendszer alakjából a megoldás kezdeti és végértékeire néhány megoldást tehetünk. Tekintsük a differenciál egyenelet rendszer a n y (n) (t)+a n-1 y (n-1) (t)+...+ a 1 y (1) +a 0 y(t)= b m u (m) (t)+b m-1 u (m-1) (t)+...+ b 1 u (1) +b 0 u(t) alakját. Legyen a bemenőjel egységugrás, g(t)=b 0 1(t). a t=0 időpontban csak a legmagasabb rendű derivált értékére ugorhat. (Ugyanis a differenciál egyenelet rendszer két oldalának minden időpontban egyensúlyban kell lennie, és ha pl. a kimenőjel alacsonyabb rendű deriváltjában is ugrás lenne, a Dirac delta változást eredményezne a magasabb rendű deriváltakban.) a n y (n) (t=0)=b 0, tehát y (n) (t=0)=b 0 /a n. (Mechanikai mozgást tekintve például a tömegreható erő megváltozásakor először csak
gyorsulás értéke változik meg, majd idővel ez létrehozza a sebesség és az elmozdulás megváltozását is.)[1] 3.1 Fontos jelenségek A differenciál egyenelet rendszer valamilyen rendszer mozgását írja éle. A mozgás oka egyrészt az u(t) bemenőjel, másrészt az, hogy a bemenőjel megjelenése előtti időben végzett mozgás miatt a t=0 pillanatban nem volt egyensúly. A rendszer előéletét a kezdeti feltételek egyértelműen jellemzik. A g(t) gerjesztőjel hatására olyan új egyensúlyi állapot fog beállni, amelyet az inhomogén egyenletnek a kezdeti feltételektől független megoldása ad meg. Ez az új egyensúlyi állapot a t=0 pillanatra a gerjesztéstől függő kezdeti feltételeket írna elő. Ha a tényleges kezdeti feltételek értéke nem egyezik meg a gerjesztésnek megfelelő értékkel, ez arra utal, hogy a rendszer állapota eltér a gerjesztésnek megfelelő egyensúlyi állapottól. Az eltérés ugrásszerűen nem tűnhet el, mert a rendszerben lévő energiatárolók állapotukat csak energiaközlés vagy elvonás hatására fokozatosan képesek megváltoztatni. Ehhez véges időre van szükség. A kiegyenlítő folyamat a tranziensmozgás, amelynek lefolyását a homogén egyenlet megoldása írja le.[1] Az eddigiekből következik, hogy a DE megoldása felbontható kvázi-stacionárius és tranziens összetevőkre. A bemenőjel hatására állandósult állapotban fennmaradó kimenőjel a kvázistacionárius megoldás. A tranziens megoldás a rendszer dinamikájától, a karakterisztikus egyenlet gyökeitől függ. 3.2 A tranziens jelenség, mint alapvető rendszerjellemző A tranziens mozgás lefolyás alapvetően tükrözi a rendszer sajátosságait. Ha a tranziens összetevők az időben csillapodnak, a gerjesztésnek megfelelő új egyensúlyi állapot képes beállni, a rendszer stabilis. Az egyre növekvő tranziens mozgás labilis viselkedést mutat, ilyenkor új egyensúlyi állapot nem érhető el. Csillapítatlan periodikus tranziens mozgás a stabilitás határesete, ami arra is utal, hogy tranziens lengés frekvenciájával azonos frekvenciájú gerjesztő jelekre a rendszer rezonálni fog. Tehát a rendszer stabilitása a karakterisztikus egyenlet gyökei alapján dönthető el, mivel a tranziens viselkedés a homogén egyenlet megoldásától függ. A homogén egyenlet megoldása a magára hagyott rendszernek azt a mozgását írja le, ami abból származik, hogy t=0 pillanatban nincs egyensúly. Egy stabilis rendszer ilyenkor tranziens mozgása révén igyekszik újra nyugalmi állapotba jutni. A gerjesztés alatt álló rendszer tranziens jelenségei a szuperpozícióból következően ugyanilyen jellegűek, csak a nyugalmi állapotot a gerjesztőjel által leírt mozgás helyettesíti. [1]
4 Egy másik lehetőség az úgynevezett állapotváltozós alakja a differenciálegyenleteknek. Az állapotváltozós leírás lényegesen könnyebben általánosítható nemlineáris vagy variáns rendszerekre, mint a rendszeregyenlettel történő leírás. Nemlineáris rendszerek nem írhatók le az impulzus-válasszal, amelynek alkalmazása lineáris, variáns rendszerre sem egyszerű. A frekvenciatartománybeli vagy komplex frekvenciatartománybeli leírás általánosítása nemlineáris vagy variáns rendszerekre gyakorlatilag nem is lehetséges. Új változók bevezetésével megadhatjuk a rendszer gerjesztés-válasz kapcsolatának egy implicit alakját, amelynek megoldására több módszer is létezik. A speciális megfontolás vagy ábrázolás lehetővé teszi, hogy a rendszernek tetszőleges számú gerjesztése és válasza legyen, mivel ez nem okoz fogalmi nehézséget és egyszerűsíti a jelölést. Egy DI illetve egy FI rendszer x i = x i [k] illetve x i = x i (t), i=l,2,..., N állapotváltozói olyan változók, amelyek a következő két tulajdonsággal rendelkeznek. Ismerve a rendszer viselkedését leíró egyenleteket és a gerjesztéseket, meg tudjuk határozni az x 1 [k a ], x2[k a ],..., x N [k a ] illetve az x 1^(t a ), x 2 (t a ),..., x N (t a ) értékek ismeretében (1) valamennyi x, állapotváltozók értékét bármely k b >k a illetve t b >t a időpontra; (2) valamennyi V; válasz értékét a k a illetve t a időpontban. Az x 1 [k a ], x 2 [k a ],..., x n [k a ] illetve az x 1 (t a ), x 2 (t a ),...,x n (t a ) értékek összességét a rendszernek a k=k a illetve a t=t a időpontbeli állapotának nevezik. Az N szám a rendszer állapotváltozós leírásának rendszáma. Ez rendszerint megegyezik a rendszer rendszeregyenletének n rendszámával. Előnyös, ha a rendszám minél kisebb. Egy fizikai objektum állapotváltozóiként többnyire olyan fizikai változók választhatók, amelyek egy tárolt mennyiséget vagy annak változási sebességét jelentik. Ilyenek például a tömeg vagy a tömegáram, az elektromos töltés vagy áram, raktározott árú mennyisége vagy napi változás, és így tovább. Az állapotváltozó négyzete gyakran a tárolt energiával kapcsolatos. Ilyenek például egy test sebessége vagy mozgásmennyisége, egy rugó ereje vagy megnyúlása, egy kondenzátor töltése vagy feszültsége. Néha más választások célszerűek (például az említett változók alkalmas lineáris kombinációja). Az itt követett általános tárgyalás során az állapotváltozókat segédváltozóknak tekintjük és nem foglalkozunk jelentésükkel.[4] Egy példa az eddigiekre, mely egyben azt is elárulja, hogy miért esik ki ez az ábrázolási mód a lehetőségek közül. Vegyünk egy példát egy lineáris áramkört. l. ábra (következő oldal). Ezt az alábbi egyenletek írják le:
6. ábra: példa kapcsolás Behelyettesítve az R,L,C értékeit a fenti egyenletekbe, a rendszer átviteli függvénye (előrevetítve az ismereteket az átviteli függvényről és a Laplace-transzformációról) azt kapjuk, hogy: Itt a H(s) szétválasztható, majd ez alapján egy új reprezentációs lehetőség nyílik (ld. 7. ábra). Ennek megfelelően két új jelet vezetünk be:
7.ábra: állapotváltozók bevezetése Elvégezve az inverz Laplace-transzformációt, azt kapjuk, hogy: Végezetül az ábra alapján azt kapjuk, hogy: y(t) = x 1 (t)+x 2 (t), ezt és ezt tovább alakítva: Majd ezeket általánosítva: (5.képlet) Amint ez látható: a mátrixos alaknak köszönhetően a feldolgozás egyszerűbbé válhat, azonban ahhoz, hogy eddig eljussunk szükség van az eredeti rendszeregyenletekre (DE-re).[5] 4.1 A vizsgálójelek módszere Abból indulok ki, hogy a vizsgált blackbox egy lineáris időinvariáns rendszer (angolul rövidítve LTI). Az időinvariancia azt jelenti, hogy bármikor nézem meg a rendszer egy adott tulajdonságát pl: hogyan reagál egy adott belépőjelre, az mindig ugyanaz marad. A linearitás pedig azt jelenti, hogy mindegy, hogy egy konstanssal a bemeneti jelet szorzom meg vagy a kimenetit, ill. mindegy, hogy két jelet még a rendszerbe bocsátás előtt adom össze vagy utána. A vizsgálójelek módszere azon alapul, hogy van lehetőségünk megmérni mind a bemenő, mind a kimenő jeleket. A kauzalitás azt jelenti, hogy a kimenet csak a múlttól és a jelentől függ, a jövőtől nem. Ha alkalmas belépőjelet (olyan jelet, mely az origóig nulla értékű) választunk, akkor a kimenő jelek megmérése után a rendszer átviteli függvénye meghatározható. Ahhoz, hogy ezt megértsük meg kell ismerkednünk a konvolúcióval, ill. a konvolúció számítását egyszerűsítő transzformációkkal, mint a Fourier- és az azt kiterjesztő Laplacetranszformáció. Ezeket később át kell vinni diszkrét időbe (továbbiakban DI), mert a tényleges számításokat digitális formában végezzük.
4.1.1 Konvolúció Amire nekünk van szükségünk az az, hogy a bemenőjelet meg tudjuk határozni. Ez pont a fordítottja annak, mint ami a rendszerelméletnél az emberek célja: megismerni egy rendszert (egy blackbox-ot), hogy aztán meg tudjuk mondani, hogy a bemenőjel ismeretében mi lesz a kimenő jel. Ezért most úgy indulunk neki a feladatnak, hogy meg akarjuk ismerni a rendszert, hogy később meg tudjuk mondani, hogy mi lesz az output. Egy rendszert alapértelmezésben differenciál egyenlettel (továbbiakban DE) írnak le. Megoldásakor egy bemeneti függvényt használnak, hogy megtudják, hogy ilyen feltétel mellett milyen kimenetet kapnak. Minél egyszerűbb a bemeneti függvény, annál egyszerűbb megoldani a DE-t. Viszont olyan bemeneti függvényt érdemes alkalmazni, mely jelentős tranziens mozgást képes előidézni. Ekkor a kimenőjel lefolyása jellemző lesz a rendszer jelátviteli tulajdonságaira, menetéből következtetéseket vonhatunk le a rendszer struktúrájára és paramétereire vonatkozóan. Továbbá a rendszer vizsgálatakor olyan bemenőjelt érdemes választani vizsgálójelként, amelyre adott válasz információt szolgáltat a rendszer követési tulajdonságairól. Ha értéktartó rendszerről van szó, amelyben a kimenőjelet egy adott értéken kívánjuk tartani, ugrásalakú bemenőjelet, ha követ szabályozásról van szó, amelynek egy változó jelet kell követnie, egy lineárisan változó bemenőjelet célszerű választani bemenőjelként. A tipikusabb vizsgálójelek. A Dirac-delta egységnyi területű, a 0 időpontban végtelen amplitúdójú impulzus. Ez egy matematikai absztrakció. A rendszer Dirac-deltára adott válaszát nevezzük súlyfüggvénynek, aminek menetéből következtetések vonhatók le a rendszert illetően. A súlyfüggvény jellemzi a rendszer tranziens tulajdonságait. Egységugrás függvény a t = 0 időpontban 0-ról 1-re ugrik. Értéke t < 0-ra zérus, különben egységnyi. Ez erre adott válasz az úgynevezett átmeneti függvény. Egységsebesség ugrás t < 0-ra zérus, különben t. Az erre adott válasz az egységugrás válasz. A 8. ábrán az iménti felsorolás szerint láthatjuk a függvényeket ábrázolva. Baloldalon a gerjesztés látható, jobb oldalon a válasz.
8.ábra: vizsgálójelek Ha a rendszer súlyfüggvénye ismert, zérus kezdeti feltételek mellett a kimenőjel tetszőleges bemenőjelre is meghatározható. A rendszer válasza ekkor az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása. 9a.ábra: kovolúciós integrál 9b.ábra: a bemenőjel felbontása egyszemléltetése máshoz képest eltolt ugrásjelek összegére Határozzuk meg a rendszer válaszát tetszőleges bemenőjelre a súlyfüggvény, vagyis a Diracdeltára adott válasz ismeretében. A rendszer u(t) bemenőjele közelíthető egymáshoz képest időben eltolt véges négyszöglükések sorozatával. Legyen a négyszöglükések szélessége τ. A négyszöglökések száma egy adott t időpontig N. Egy négyszöglökés területe közelítően u(τ)δ τ. A 0 időponthoz képest τ-val eltolt négyszögjelre adott válasz a t időpillanatban közelítően w(t-τ)u(τ)δ τ. Az adott időpillanatban megjelenő kimenőjel értékét befolyásolja valamennyi, az adott időpont előtt a bemenőjelben fellépő impulzus. Lineáris rendszerben a kimeneten az egyes impulzusok hatása szuperponálódik, tehát a kimenőjel közelítőleg:
határátmenettel (6.képlet) Ezt nevezik konvolúciós integrálnak, és jelölik *-gal. Megjegyezzük, hogy ezzel megkerülhető a rendszer DE-nek megoldása, azonban bonyolultabb bemenőjelre ez is nehezen számolható ki.[1] Mivel eddig idő alapon dolgoztunk, mindenhez t -t lehetett látni. Ez nagyon szemléletes, és jól mérhető tartomány, azonban, ha DE-t kell megoldani, vagy egy bonyolultabb bemenőjellel rendelkező konvolúciót, akkor a feladat nagyon nehézzé válik. Ezért át kell térni másik tartományba. 4.2 Frekvencia és operátor tartomány Lineáris állandóegyütthatójú DE-k tárgyalásának a műszaki alkalmazások szempontjából előnyös módja az, ha függvénytranszformációkkal az eredeti időfüggvényekről azokkal egyértelmű kapcsolatban álló olyan függvényekre térünk át, amelyekkel az eredeti DE helyett algebrai egyenletet kell megoldani. Ilyen eljárások a Fourier- és a Laplace-transzformáció. Egy periodikus y(t) jel felbontható harmonikus függvények összegére. Ez az összeg a Fourier sort adja meg. (7.képlet) (8.képlet) c n komplex szám, amelyre fenn áll a c n = c -n összefüggés, ahol c konjugált komplexet jelöl. Az ω=nω 0 diszkrét frekvenciákhoz rendelt cn amplotúdók a periodikus y(t) jel amplitúdó spektrumát alkotják. Megjegyezzük, hogy a fourier sor valós alakban is megadható, ahol a pozitív és negatív azonosértékű frekvenciaösszetevőkhöz tartozó tagokat szinusz vagy koszinusz függvényekké vonjuk össze.
A gyakorlatban a rendszer bemenetére többnyire nem periodikus, hanem aperiodikus jelek kerülnek (egységugrás függvény). Egy aperiodikus jel azonban felfogható olyan periodikus függvénynek, anelynek periódusideje a végtelenhez tart. Így egy abszolút integrálható aperiodikus függvény amelyre fenn áll az (9.képlet) összefüggés, felírható a Fourier sorból határátmenettel kapható Fourier integrál alakjában. Y(j ω) a komplex spekrum, mely a F-transzformációval kapható meg: (10.képlet) Ez az összefüggés a fourier-transzformáció alapösszefüggése. A Fourier-transzformáltból a jel az előzőekben leírt y(t)-ből egyértelműen visszaállítható.[1] Azonban a Fourier transzformációnak igen erős feltétele az abszolút integrálhatóság. Sok függvény emiatt kiesik a transzformálhatóság halmazából. Például az egységugrás függvény. Ezért egy kicsit módosítani kell a F-transzformációt, hogy alkalmazható legyen olyan jelekre is, melyek nem abszolút integrálhatók. Ezt egyszerűen úgy érhetjük el, hogy a transzformálandó y(t) függvényt megszorozzuk e -σ/t - vel, és ennek vesszük a Fourier transzformáltját. A Laplace-transzformáció alkalmazásával az összes hatványfüggvény (ha σ>0) és a pozitív kitevőjű e αt függvény is (ha σ nagyobb α) abszolút integrálhatóvá válik t= 0 és + között. Tehát a szorzótényezővel módosított függvény az eredeti függvény Laplace-transzformáltja.[1] A Laplace-transzformáció azért nagyon hasznos, mert nagyon leegyszerűsít bizonyos számításokat. Az egyik leghasznosabb tulajdonsága, hogy a differenciálás egy egyszerű szorzásra változik ennek megfelelően egy DE algebrai egyenletté alakul, valamint két függvény konvolúciója is egyszerű szorzássá. 4.3 A Laplace-transzformáció néhány fontos tulajdonsága Linearitás. Differenciálás:
L{y'(t)}=sY(s)-(-0) Vagyis, ha a függvény a t=0 időpillanatban ugrik, akkor a derivált Laplace-transzformáltjában kezdeti értéknek az ugrás előtti (t=-0) értékét kell figyelembe venni. Ha az összes kezdeti érték zérus, az idő szerinti differenciálás s megfelelő hatványával való szorzásra redukálódik. Integrálás: Konvolúció: Tehát a konvolúciós integrás a operátor tartományban egyszerűen a függvények Laplacetranszformáltjainak összeszorzásával számítható. 4.4 Az átviteli függvény Ennek köszönhetően, ha visszatérünk a súlyfüggvényes példánkra, amikor ismertük a rendszer súlyfüggvényét, és annak segítségével számítottuk a rendszer válaszát tetszőleges bemenetre, az az eredeti szummás alak helyett így néz ki: Y(s)=H(s)U(s), ahol az Y(s) a kimenet Laplace-transzformáltja, a H(s) a súlyfüggvény Laplacetranszformáltja, az U(s) pedig a bemenőjel Laplace-transzformáltja. A H(s) különleges szerepe miatt külön nevet kapott: ez az átviteli függvény. Ha tehát meg szeretnénk határozni a rendszer válaszát a rendszer súlyfüggvényének és bemenetének ismeretében, akkor egyszerűen csak venni kell a súlyfüggvény- ill. általános esetben a rendszer valamilyen vizsgálójelre adott válaszának és a bemenetének a Laplacetranszformációját, majd össze kell szorozni őket. A szorzat a kimenő jel Laplacetranszformáltja lesz. Ha a DE-re alkalmazzuk a Laplace-transzformációt, algebrai egyenlethez jutunk. Zérus kezdeti feltételek mellett a deriváltak egyszerűen s megfelelő hatványával való szorzással adódnak. Az algebrai egyenletet megoldva megkapjuk a kimenőjel Laplace-transzformáltját, majd inverz transzformációval visszatérünk az időtartományba. (Az inverz Laplacetranszformációról később.) A (3.képlet) DE-et a Laplace-transzformációval zérus kezdeti feltételek mellett a következő alakra hozhatjuk: a n s n Y(s)+a n-1 s n-1 Y(s)+...+a 1 sy(s)+a 0 Y(s)=
=b m s m U(s)+b m-1 s m-1 U(s)+...+b 1 su(s)+b 0 U(s) majd (11.képlet) ahol Y(s) a kimenet Laplace-transzformáltja, az U(s) a bemeneté, a H(s) pedig az úgynevezett átviteli függvény. Fizikailag realizálható rendszerekre m n, mint ahogy korábban megjegyeztem. Tehát a rendszer kimenő- és bemenőjelei Laplace-transzformáltjainak hányadosa H(s)=Y(s)/U(s) [1] Ha meg szeretnénk tudni tehát a kimenőjelet, akkor venni kell a kimenőjel Laplacetranszformáltjának az inverz Laplace-transzformáltját. 4.5 Az inverz Laplace-transzformáció Megjegyezzük, hogy erre természetesen létezik matematikai formula, azonban ez bonyolult lehet. Ezért kihasználva, hogy a Laplace-transzformáció lineáris, az inverz Laplacetranszformációt úgy végezzük el, hogy ismert összetevőkre bontjuk az inverz Laplacetranszformálandó jelet, és összetevőnként állapítjuk meg az inverzet. A matematikai formulát a teljesség kedvéért itt megadom: (12.képlet)
5 Amikor a bemenőjel szinuszos Az alábbiakban a lineáris rendszer szinuszos bemenőjelekre adott válaszait vizsgáljuk. Fontos emlékezni arra, hogy egy adott bemenőjel felbontható szinuszos összetevők összegére. Lineáris rendszerben az egyes szinuszos bemenőjel összetevőkre adott válaszokat összegezve megkapjuk az adott bemenőjelre adott válasz tetszőleges pontosságú közelítését. Stabilis lineáris rendszerek alapvető tulajdonsága, hogy szinuszos bemenőjelre állandósult állapotban, a tranziensek lecsengése után a bemenőjel frekvenciájával megegyező frekvenciájú szinuszos jelekkel válaszolnak. A kimenőjel amplitúdója és fázisszöge a frekvencia függvénye. 10.ábra: amikor szinuszos bemenőjel érkezik Legyen a rendszerünk bemenete u(t) = A u sin(ωt+υ u ), t 0. A kimenőjel y(t)=y állandósult (t)+y tranziens (t). A kimenőjel állandósult (kvázistacionárius) állapotban y állandósult (t)= A y sin(ωt+υ y ) A frekvenciafüggvény az A y /A u amplitúdó arány és a υ y υ u fáziskülönbség frekvenciafüggését leíró komplex függvény, amely egyidejűleg két rendszerjellemző tulajdonság frekvenciafüggését reprezentálja. Belátható, hogy formailag a frekvenciafüggvényt az átviteli függvényből az s=jω helyttesítéssel lehet származtatni: H(jω) = H(s) s=jω = H(jω) e jυ(ω) = a(ω) jυ(ω) A frekvenciafüggvény kifejezésében a(ω) az amplitúdófüggvény (a frekvenciafüggvény abszolútértéke), υ(ω) pedig a fáézisfüggvény (a frekvenciafüggvény fázisszöge): a(ω) = H(jω) = A y (ω)/a u (ω) és υ(ω) = arg{h(jω)} = υ y (ω)-υ u (ω).[1] 5.1 A frekvenciafüggvény grafikus megjelenítése A frekvenciafüggvény többféleképpen is ábrázolható. A Nyquist diagram a frekvenciafüggvényt a komplex számsíkon polárdiagramként ábrázolja. A kiválasztott frekvenciatartomány minden egyen értékére a komplex síkban az a(ω) és υ(ω) értékpárnak
megfelelő pontot adhatunk meg. E pontok kontúrral való összekötése eredményezi a Nyquist diagramot. A Nyquist diagram ábrázolásakor a frekvenciát rendszerint nulla és végetelen között változtatjuk. A nyíl a frekvencia paraméter növekedésének irányát mutatja. A helygörbét sokszor kiegészítjük a negatív körfrekvenciákra számított értékekkel. Ilyenkor teljes Nyquist diagramról beszélünk. A - < ω < 0 tartományra megadott szakasza a pozitív körfrekvenciákra számított görbe valós tengelyre vett tükörképe. Konkrét fizikai értelme csak a pozitív körfrekvenciának van. A Nyquist diagram az s = jω, - < 0 <+ egyenes H(s) függvény szerint vett konform leképezéseként is felfogható. A Nyquist diagram alakja jellemzi a rendszert. Analizálva a Nyquist diagramot a rendszer fontos tulajdonságairól (pl: stabilitás) kaphatunk minőségi képet. A Bode diagram a frekvenciafüggvény a (ω) abszolút értékét és a υ(ω) fázisszögét különkülön ábrázolja egy kijelölt frekvenciatartományban. A frekvencia skála léptéke logaritmikus, így nagy frekvenciatartomány fogható át. Azt a frekvenciatartományt, amely alatt a frekvencia tízszeresére változik, 1 dekádnak nevezzük. Az abszolút értéket decibelben adjuk meg. A decibel (db) a számérték 10-es alapú logaritmusának 20 szorosa. A fázisszöget lineáris skálában ábrázoljuk. A Bode diagram egyik nagy előnye, hogy egy frekvenciafüggvény tényezőinek összeszorzásakor a logaritmikus lépték miatt az egyes tényezők Bode diagramjai egyszerűen összeadódnak. A Bode diagram másik előnye, hogy rendszerint jól közelíthető aszimptotáival. A közelítő diagramok jellegéből és töréspontjaiból a rendszer tulajdonságairól gyors értékelést adhatunk.[1] 5.2 Alakhű átvitel A frekvenciatartománybeli analízis alapgondolatát egy tipikus alkalmazással világítjuk meg. Legyen a feladat annak eldöntése, hogy ehy stablils LTI rendszer alkalmas-e egy meghatározott típusú gerjesztés alakhű átvitelére, ami azt jelnti, hogy az y(t) válasz csak kevéssé tér el a vizsgált s(t) gerjesztéstől. Megengedve egy pozitív állandó K szorzót és egy T időkésleltetést, a válasz kifejezése ideális alakhű átvitel esetén y 0 (t) = Ks(t-T), K > 0, T > 0. A spekrumok kapcsolata az eltolási tétel felhasználásával Y 0 (jω) = Ke -jω TS(jω) W 0 (jω)s(jω). Ebből következően az ideális átviteli karakterisztika W 0 (jω) = Ke -jω, K > 0, T > 0. Az ideális amplitúdókarakterisztika állandó, az ideális fáziskarakterisztika lineáris
W 0 (jω) = K > 0, arcw 0 (jω) = -jt, T > 0. Az alakhű átvitel közelítőleg akkor biztosított, ha az előző sorban leírtak kellően kis hibával teljesülnek.[3] 11.ábra: az ideális, és a gyakorlatban előforduló amplitúdó- és fáziskarakterisztika Hogyan tovább A diplomatéma esetében azonban nem erre az irányra van szükség. Nem arra, hogy megállapítsuk a kimenetet a bemenet és az átviteli függvény ismeretében. Arra van szükség, hogy megismerjük egy rendszer viselkedését vagyis átviteli függvényét, majd a mért kimenőjel segítségével meghatározzuk a bemenőjelet. Ez eddig leírtak ismeretében az átviteli függvény könnyen meghatározható. Ha kezdetben tudom, hogy milyen vizsgálójelet bocsátok a rendszerre, és tudom, hogy mi a kimenet, akkor egyszerűen venni kell bemenő (U(s))és a kimenő jel Laplace-transzformáltját (Y(s)), majd ezek hányadosa (Y(s)/U(s)) megadja a H(s)-t, az átviteli függvényt. Így az átviteli függvény valamint a mért kimenőjel ismeretében a bemenőjel könnyen meghatározható: Y(s)/H(s). Így már tudjuk, hogy mi a bemenőjel Laplace-transzformáltja, már csak vissza kell transzformálni az idő tartományba.
6 A Z-transzformáció A z-transzformáció DI jelek ill. jelek kapcsolatát megvalósító rendszerek leírásának egy széles körben alkalmazott módszere. Egy f[k] (k=0,1,2,...) DI jel z-transzformáltját a (13.képlet) végtelen hatványsor definiálja, ahol a z változó a z-transzformáció komplex értékű változója. Megjegyezzük, hogy az f[k] jelről feltételezzük, hogy úgynevezett pizitív időfüggvény, másszóval f[k] 0 (k < 0). Bár Z{f[k]} közvetlenül z -1 függvénye, a z-transzformáltakra alkalmazott szokásos jelölés F(z)=Z{f[k]}. A komplex sík azon R 1 sugarú körének sugarát, amelyen kívüli értékekre az F(z)-t definiáló végtelen hatványsor konvergens, a konvergencia sugarának nevezzük, másszóval az F(z) = f[0]+z -1 f[1]+z -2 f[2]+... konvergenciájának feltétele z >R 1. A FI rendszerek tárgyalásakor láttuk, hogy ott a Laplace-transzformáció alkalmazásakor időtartományban megfogalmazott feladatokat az s komplex frekvencia (Laplace) operátor terébe transzformálva lényegesen egyszerűbben kapunk megoldásokat, viszont az eredményeket vissza kell transzformálnunk az időtartományba, ezért inverz Laplacetranszformációs módszerek alkalmazására is szükségünk volt. DI rendszer esetén hasonló módon járunk el, ezért inverz z-transzformációs technikát is ki kell majd dolgoznunk a későbbiekben. Az inverz z-transzformáció analitikus összefüggése az alábbi, úgynevezett inverziós integrállal adott: (14.képlet) ahol R 2 annak az origó középpontú körnek a sugara a komplex síkban, amelyen belül helyezkedik el F(z)z k-1 minden pólusa. Megjegyzem, hogy az inverziós integrál elméleti jelentőségű összefüggés, mert nem ezt használjuk a gyakolatban.[1] 6.1 Az inverz z-transzformáció Legyen egy f[k] DI jel z-transzformáltja F(z). Most arra a kérdésre keressük a választ, hogy F(z) ismeretében hogyan tudjuk meghatározni az f[k] jelet. Ez a feladat az inverz z- transzformáció. Az elvi választ már az előző bekezdésben megadtam: formula volt. A gyakorlatban nem ezt használjuk, hanem az alábbi három módszer egyikét:
6.1.1 Polinomiális osztás Legyen F(z)=10z/[(z-1)(z-0.2)]. A számlálóbeli és nevezőbeli polinomok osztásával az f[0], f[1], f[2],... együtthatókat folyamatosan, az osztás eredményeképpen adódó együtthatók leolvasásával kaphatjuk meg: (10z):(z 2-1.2z+0.2) = f[0] + z -1 f[1] + z -2 f[2] +... Az osztás első néhány lépését elvégezve az első néhány értékre f[0]=0, f[0]=10, f[2]=12, f[3]=12.4 adódik. A módszer nem igazán hatékony, ráadásul CAD eszközök birtokában jóval gyorsabban juthatunk a numerikus érékek birtokába. 6.1.2 A diszkrét idejű impulzusválasz számítása Az adott F(z) z-transzformáltat egy impulzusátviteli függvénynek (lásd később) felfogva, annak kimenetét Y(z)= F(z)U(z) Szerint tudjuk számítani. Amennyiben a bemenőjel egy DI egységimpulzus, akkor U(z) = 1, és ennek következtében Y(z) = F(z). Természetesen ismét a korábbi módszerrel adódott értékeket kapjuk. 6.1.3 Részlettörtekre bontás A módszer lényege, hogy olyan elemi részek összegére bontjuk fel az F(z) függvényt, amely elemi összetevők inverze, vagy közvetlenül kiolvasható a z-transzformációs táblázatból, vagy valamelyik z-transzformációs tulajdonság alkalmazásával határozható meg. Figyeljük meg a táblázatban F(z) felépítését. Annak érdekében, hogy a részlettörtek számlálójában biztosítsuk a z tényező megjelenését, a részlettörtekre bontást szerint végezzük el (egyszeres pólusokat feltételezve). Például legyen: Innen Vegyük észre, hogy a részlettörtekre bontás viszonylag bonyolult számításainak
eredményeképpen a kapott megoldás analitikus, tehát f[k] értékét tetszőleges k 0 értékre közvetlenül meg tudjuk határozni.[1] 6.2 A z-transzformáció néhány fontosabb tulajdonsága Lineáris. Eltolási tétel: Keressük az f[k] Di jel egy időben eltolt f[k-n] alakjának z-transzformáltját, ahol n egy nemnegatív egész számot jelöl. Tekintsük először az időbeli késleltetést, amelyre fenn áll, hogy Hasonló módon az időbeli siettetésre vonatkozó kissé bonyolultabb összefüggés is származtatható: Konvolúció: ebben a tartományban (hasonlóan a Laplace-transzformációhoz) szorzás. [1] Diszkrét idő: impulzusválasz és konvolúció Megadjuk a DI rendszer impulzusválaszának definícióját, majd bemutatjuk annak alkalmazását. Egy diszkrétidejű LTI rendszer h = h[k]impulzusválasza a rendszernek az egységimpulzus gerjesztéshez tartozó válasza: u[k]= σ[k] => y[k]=h[k] ahol u[k] a benenőjel, y[k] a kimenőjel. Meg akarjuk határozni a h= h[k] impulzusválaszú DI rendszernek az u=u[k] gerjeszéshez tartozó y = y[k] válaszát. A gerjesztés felírható a következő alakban: (15.képlet) Az impulzusválasz definíciója szerint a σ[k] gerjesztéshez h[k] válasz tartozik. A rendszer invariáns jellegéből következik, hogy a σ[k-i] gerjesztéshez h[k-i] válasz tartozik. A rendszer lineáris jellegéből következik, hogy az u[i]σ[k-i] gerjesztések összegéhez az u[i]h[k-i] válaszok összege tartozik.
A DI, LTI h[k]impulzusválaszú rendszernek az u[k] gerjesztéshez tartozó válasza a következő alakban fejezhető ki: (16.képlet) A művelet neve: h és u konvolúciója. A DI konvolúció szimbolikus alakja y[k] = h[k]*u[k]. [4] 6.3 A z-transzformáció alkalmazása A diszkrét idejű LTI rendszer adott gerjesztéshez tartozó válasza meghatározható az impulzusválasz ismeretében a konvolúció műveletével: Kauzális rendszer és belépő gerjesztés esetén az impulzusválasz és a rendszer válasza is belépő jel, ezért alkalmazható a z-transzformáció konvolúció tétele, amely szerint a Z{y[k]} = Y(z), Z{s[k]} = S(z), Z{w[k]} = W(z) szokásos jelölésekkel Y(z) = W(z)S(z). Ezen alapul az átviteli függvény következő definíciója. A diszkrét kauzális LTI rendszer W(z) átviteli függvénye a tetszőleges belépő gerjesztéshez tartozó y[k] válasz és az s[k] gerjesztés z-transzformáltjának hányadosa: W(z) = Y(z)/S(z) = Z{y[k]}=Z{s[k]}; s[k] 0, ha k -0 az átviteli függvényt a rendszer meghatározza. A definícióból következik, hogy az átviteli függvény meghatározható bármely belépő gerjesztéshez tartozó válasz ismeretében. Ez, legalábbis elvileg lehetővé teszi az átviteli függvény meghatározását az objektumon végzett mérés alapján. [2]
7 A korrekció Megmutatható, hogy két egymással sorosan kapcsolt rendszer (kauzális LTI rendszer) úgy viselkedik az átviteli függvényét tekintve, mintha összeszoroztuk volna a kettő átviteli függvényt. [1] Ezen alapszik a korrekció. Adott a H EEG (s), és az a karakterisztika, amit el szeretnénk érni H jó (s), amit keresünk az a H javít (s). Az előbbi szabály értelmében: H EEG (s)h javít (s) = H jó (s). Így a keresett H javít (s) = H jó (s)/h EEG (s). 12.ábra: a korrekció 7.1 A Laplace- és a z-transzformáció kapcsolata A z-transzformáció egy DI jelsorozatra értelmezett művelet, nevezetesen egy f[k] (k=0,1,2,..) jelsorozat z-transzformáltja definíció szerint ahol a z változó a z-transzformáció komplex változója, melynek kapcsolata a Laplacetranszformáltak körében használt s komplex frekvencia változóval egyszerűen megmutatható. Alapelvként abból indulunk ki, hogy olyan diszkretizálását keressük egy FI rendszernek, amelynek matematikai mintavételezése során keletkező impulzus sorozatok mérőszámai megegyeznek a diszkretizált rendszer mintavett értékeivel. Ezt az alapelvet impulzus invarianciának nevezzük. Tekintsük egy FI f(t) jel matematikailag mintavételezett alakját:
majd ezen impulzus sorozat Laplace-transzformáltját: Megjegyezzük, hogy a matematikailag mintavételezett jel diszkrét idejű. Az impulzus invariancia elvnek való megfelelés tehát az egyenlet formájában fogalmazható meg, amiből ik, ami a transzformációs változók között a (17.képlet) kapcsolat fennállását jelenti.[1] adód 7.1.1 Diszkrét idő Azonban van még egy apróság, ami miatt nem alkalmazhatóak közvetlenül az eddigiek. Ez pedig az, hogy mivel digitális rendszer segítségével dolgozunk a függvények nem folytonosak, ezt úgy mondjuk, hogy nem folytonos idejűek (továbbiakban FI), hanem diszkrét idejűek (továbbiakban DI). Azonban ahhoz, hogy tovább menjünk meg kell ismerkednünk DI rendszerekkel. A digitális jel alapvetően két különböző és különválasztható folyamat eredményként áll elő. Az egyik az úgynevezett mintavételezés, a másik a kvantálás. Ezeket úgynevezett A/D átalakító teszi meg a gyakorlatban. Ennek több paramétere lehet, a munkánknak megfelelőt érdemes kiválasztani. Vannak különböző gyorsaságúak és különböző felbontásúak. Én a feladat megoldása során egy 500.000 mintavétel/másodperc-es sebességű és 10bit-es pontosságú ADC-t használtam (ez volt az általam használt PIC24FJ128GA010 mikrokontrollerbe építve). A digitalizálás pontosan ebben a sorrendben történik, vagyis először a mintavételezés történik meg az után pedig a kvantálás. Azonban én fordítva vizsgálom meg a két fogalom jelentését. 7.1.2 A kvantálás A tényleges információ vesztés ebben a szakaszban történik meg. Itt ugyanis arról van szó, hogy nem áll végtelen számú érték rendelkezésünkre, hogy a valódi értékkel tároljuk a folyamat k-dik időpontjának az értékét. Csak véges sok érték áll csak rendelkezésünkre. Így a jel értéke úgy lesz meghatározva (eltárolva), hogy megvizsgáljuk a rendelkezésünkre álló értékhalmazt, és azt az értéket választjuk ki belőle, ami legközelebb áll a folyamat szóban forgó pillanatának értékéhez. Nyilván, minél több érték áll rendelkezésünkre, amiből választhatunk (szakszóval: minél nagyobb a felbontás) annál kevésbé lesz érezhető az információ vesztés, torzulás.
7.1.3 Mintavételezés Egy FI folyamat működéséről a folyamat időben folytonosan létező jeleinek megfigyelésével nyerhetünk információt. Ha a jelek által képviselt információt egy digitális berendezéssel kívánjuk feldolgozni, akkor a feldolgozás során a FI jeleket diszkrét mintavételi időpillanatokban vett digitális mintáik képviselik. Időben egyenközű mintavételezést feltételezve, a jelek és rendszerek területéről egy nagyon fontos elméleti eredmény áll rendelkezésünkre annak eldöntésére, hogy a mintavételezett értékeiből egyértelműen vissza tudunk-e állítani egy (sávkorlátozottnak feltételezett) FI jelet. A reprodukálhatóság feltételét a Shannon mintavételezési törvénye fogalmazza meg, amely szerint a mintavételezést minimálisan olyan frekvenciával kell megvalósítani, hogy a FI jel legnagyobb frekvenciájú komponenséből legalább két minta álljon a rendelkezésünkre minden mintavételezési periódusban. Ez a törvény képezi az elvi alapját annak a gyakorlati megfontolásnak, hogy FI jelek jelfeldolgozását (pl. frekvencia analízis) rugalmas, programozható, digitális környezetben végezhessük el.[1] A fizikai mintavételezés megvalósítására analóg digitális (A/D) átalakítókat (mászóval konvertereket) használunk. Az A/D konverterek a digitális rendszer realtime órajelével vagy saját belső órajellel vezérelt elemek, amelyek az x(t) FI analóg jelből közvetlenül az x[k] jelsorozatot állítják elő, mégpedig kódolt digitális formában. Az A/D konverter működési lényegét egy periodikusan rövid időre záródó kapcsolóval szokás szimbolizálni. A különböző alkalmazásokhoz választandó A/D koverterek számos fontos paraméterrel rendelkeznek, amelyek közül az átalakítás gyorsaságát jellemző konverziós idő akár usec nagyságrendűen kicsi is lehet. További fontos választási szempont a konverter zavarszűrő képessége, valamint a felbontás, amely a digitalizált jel bitszélességét jelenti. Ez utóbbi érték szokásos tartománya 8 és 16 bit közés esik, de lehet akár 24 bit-es is.[1] 7.1.4 A DI jelek feldolgozása Eddig FI jelekkel foglalkoztunk (pontosabban FI rendszerekkel). Most azonban a digitalizálás után, miután a digitális értékeket kinyertem a rendszerből, FI jelekhez jutottam. Ezeken sem az eddig ismertetett Fourier-transzformáció, sem a Fouriertranszformáció kiterjesztése, a Laplace-transzformáció nem használható. Ha szeretnénk ugyanolyan hatékonyan dolgozni a DI jelekkel, mint a FI jelekkel, akkor a korábban bemutatott z-transzformációra van szükségünk.
8 A feladat megoldása A gondolatmenet az volt, hogy utána jártam annak, hogy az EEG-ről mit lehet tudni. Mivel nem volt lehetőség arra, hogy az EEG belsejét elemezzem, ezért maradt a vizsgálójelek módszere. Mivel eléggé komoly apparátus áll rendelkezésre, mind matematikailag, mint szoftverileg, továbbá nagyon alacsony frekvencián dolgozunk, ezért a vizsgálójelnél meg lehetett engedni a legkézenfekvőbbet, a sin(x)/x-et. Mivel tudom, hogy az új kutatások azt mutatják ki a konvencionális EEG-vel szemben, hogy nem elég 0,5Hz-ig lemenni, mert egészen 0,01Hz-ig találhatóak alacsony frekvenciás komponensek, ezért az EEG viselkedését a 0,01Hz-0,5Hz-es tartományban kell vizsgálni. Ugyancsak kézenfekvő, hogy ebben az esetben a vizsgálójel olyan legyen, aminek a segítségével a lehető legprecízebben fel lehet térképezni az EEG nagyon alacsony frekvenciás viselkedését. Hogy a legtisztább képet kapjuk szinusz jeleket küldök vizsgálójelként a rendszerbe. Olyan frekvenciájú tiszta szinuszokat küldök a rendszerbe, amik frekvenciája a vizsgált tartományban található. Hogy ne kelljen külön-külön küldeni a szinuszokat kihasználom, hogy a rendszer lineáris. A kérdéses frekvenciatartományban (0,01Hz-0,5Hz-ig) egy véges sort képzek, 0,001Hz-es léptékkel: Egész pontosan: szumma (sin(0,001*i*t)), i megy 10-től 500-ig. Megfigyelés: mivel az eredeti függvény képe, a szinuszok összege nagyon hasonlított a sinx/xhez, csak páratlan volt, úgy döntöttem, hogy megnézem koszinusz függvénnyel is a sort. És valóban, ha koszinusz a sor alapja, és 0,5Hz-ig végzem az összegzést, akkor sin(0,5x)/0,5x-et kapok képül (ld. alábbi ábra). Érdekes gondolat lenne eleve sinx/x jelet beadni vizsgálójelként.
13.ábra: szummázás eredménye: 0.01Hz-től 0.5Hz-ig 0.001Hz-es léptékkel A sin(x)/x Amiért a sinx/x-et érdemes választani az az, hogy az előző bekezdésben leírtam a véges sort, mint vizsgálójelek összegét. Azonban felmerül a kérdés, hogy az összegzésben a szinuszok frekvenciái milyen közel legyenek egymáshoz. Nyilván minél kisebb annál korrektebb lesz a vizsgálat. Ennek megfelelően képeztem a határátmenetet: Δ i 0, ekkor az összeadásból integrálás lesz:
14.ábra: a sin(x)/x függvény, ha szumma helyett 0.01 és 0.5 között integrálunk Ill. ha nem ragaszkodunk a 0,01Hz-0,5Hz-es intervallumhoz, hanem mondjuk 0-1Hz-eshez helyette, akkor a következőt kapjuk: Tehát a sinx/x segítségével tudjuk legjobban tesztelni a rendszert. A sinx/x egy összetett nehezen számolható függvény, azonban mivel alacsony frekvencián dolgoznunk, ezért a későbbiekben részletezett rendszer számára megfelelő. A H(z) megtalálása után Az U(z) = Z{sinx/x} gerjesztés, és mért kimenőjel z-transzformáltja segítségével meg tudom határozni a H(z)-t. Ha megvan az átviteli függvény, akkor már ismerem a rendszert, tehát, ha a bemenő jelre vagyok kíváncsi, akkor a kimenő jel (Y(z))és a H(z) ismeretében már könnyen megkapom az U(z)-t, a bemenő jelet. 8.1 Mérőjel előállítása, PWM-el A sinx/x-et PWM-mel (Pulse Width Modulation) állítom elő. A Pulse Width Modulation (PWM) egy technikai megoldás, ha egy digitális áramkörben jelenlévő két feszültség szélsőérték (a logikai igaz és hamis) között egy köztes feszültségértékre van szükség. Ez gyakorlatilag egy adott frekvencián adogatott logikai
igaznak megfelelő impulzusokon alapuló technikai trükk. A trükk csak akkor válik be, ha tudjuk a megfelelő frekvenciát, amivel az impulzust adogatni kell. Ha például olyan hullámokat szeretnék előállítani, amiből tudom, hogy hang lesz, akkor a PWM-et úgy kell hangolni. Az emberi fül körülbelül 20Hz és 20.000Hz között hall hangokat, ezért a PWM frekvenciáját is erre kell beállítani (természetesen a mintavételezési tételt figyelembe véve). A PWM frekvenciája megvan, a két szélsőérték közötti értéket egy úgynevezett duty cycle-lel lehet beállítani. A duty cycle egy 0 és 100 közötti szám, mely a százalékot jelenti: egy perióduson belül hány százalékban volt a feszültség a logikai igaznak megfelelő feszültségérték.. Ez azt jelenti, hogyha a duty cycle 100%, akkor én visszakapom a logikai igaznak megfelelő értéket. Ha a logikai igaznak megfelelő érték 5V, akkor tehát 5V-ot kapok ebben az esetben. Ha a duty cycle 50%, akkor 2,5V-ot. 15.ábra: Pulse Width Modulation Duty Cycle szemléltetése 8.2 Megvalósítás: A feladat szerint gyakorlatilag a hagyományos EEG készülék alsó sávkorlátozásának a tulajdonságait kellett módosítani úgy, hogy az eddigi áteresztősáv alsó határa ne 0,5Hz legyen,
hanem 0,01Hz. Ehhez meg kellett tudni, hogy hogyan viselkedik a készülék a 0,01-0,5Hz-es tartományban. Ezt a feladatot úgy is lehet fogalmazni, hogy adott egy alsó sávkorlátozott rendszer (pl egy kapcsolás), és szeretném, ha a rendszer az eddigi alsó korlátja ami kb. max 1Hz, az módosulna 0,01Hz-re. Mivel át lehetett fogalmazni a feladatot, a feladat megoldásának kezdeti stádiumában nem volt szükség EEG készülékre, csak egy olyan rendszerre, ami hasonlóan viselkedik. Így egy egyszerű felüláteresztő szűrő építése mellett döntöttem. Ehhez a következőkre volt szükség. Kellett egy platform, amire fel tudom építeni a tesztrendszert úgy, hogy utána könnyen tudjam azt mérni, és ha kell könnyen tudjam módosítani. Szükség volt egy függvénygenerátorra is, hogy tudjam a rendszer működését ellenőrizni, ill. ugyanilyen célból szükség volt egy oszcilloszkópra is. Az elképzelés az volt, hogy a rendszert bármelyik pontján tudjam mérni, ellenőrizni. Természetesen figyelembe kellett venni, azt is, hogy milyen eszközök állnak rendelkezésre a kar laborjaiban. Ezek alapján úgy döntöttem, hogy a tesztrendszert az NI (National Instruments) ELVIS (Educational Laboratory Virtual Instrumentation Suite) alapra (egész pontosan egy ELVIS II+ra) építem meg, mert az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: van egy olyan próbapanel felülete, ami mind a szűrő könnyű építését (módosítását), mind a szűrő viselkedésének könnyű mérését lehetővé teszi; rendelkezik függvénygenerátorral, ami PC-ről vagy magáról az ELVIS is könnyen állítható, rendelkezik oszcilloszkóppal. Ez utóbbi azért érdemel külön említést, mert az oszcilloszkóp PC-re telepített szoftverje nagyon kifinomult, és nagyon megkönnyíti a mérést, ellenőrzést. Megjegyzés, hogy az ELVIS használata egyben túlzás is volt, hiszen több tulajdonsága, mint a 100MS/s-es (100 millió minta másodpercenként) messze nem volt kihasználva. Ezeknek köszönhetően a tesztáramkör megépülhetett, és az alapvető tulajdonságát, a felüláteresztést azonnal ki lehetett próbálni a beépített függvénygenerátor és az oszcilloszkóp segítségével. Tehát létre jött a feljavítandó tesztrendszer. Azonban, ha fel szeretnénk javítani a rendszer adott tulajdonságát, akkor ahhoz a rendszerbe kell kapcsolni egy eszközt, ami ezt megteszi. Ez lehet mikrokontroller, de lehet PC is. Mivel ez utóbbit könnyebb kezelni egy tesztrendszer elemeként, ezért az utóbbira, a PC-re esett a választás. Természetesen később egy mikrokontroller is megfelelő lehet. Viszont ahhoz, hogy a PC feldolgozható adatokat kapjon, az adatokat digitalizálni kell. Az adatok ugyan az ELVIS rendszer segítségével ugyan bejutnak a gépbe (az oszcilloszkóp segítségével), azonban ezeket az adatokat nem tudom feldolgozni.
A digitalizáláshoz elengedhetetlen egy analóg digitális átalakító (A/D konverter vagy ADC). Itt is több lehetőség volt. Vagy szerzek egy diszkrét ADC-t olyan lábakkal, ami az ELVIS próbapaneljére applikálható vagy egy PIC-et használok, amiben van ADC. Az előbbi mellett az szólt, hogy az jobb minőséget (nagyobb felbontást, például lehet 24 bit-es is) produkálhat, mint a PIC-be integrált. Viszont, ha amellett döntök, akkor a digitális adatok továbbításáért felelős fizikai interfész megvalósítása (pl: RS232) is az én feladatom lett volna, továbbá az nem áll rendelkezésre a laborban. Beszerzése pénzbe nem került volna, azonban a jelenlegi mérési körülmények nem indokolták a jobb képességű ADC beszerzését. Ezért a PIC-ben lévő ADC mellett döntöttem. Mint ahogy korábban említettem, kisebb a felbontása (10 bit), mint egy jobb fajta ADC-nek, de a sample-rate (ami kritikusabb lehet) bőven az elégséges szint felett van (hiszen az 500.000 minta másodpercenként), hiszen én maximum 1Hz-es jelek mintavételezésén gondolkodom. A főbb komponensek már megvannak, az összeköttetésüket kell megoldani. Mivel PIC-et választottam, a komponensek összekötése nagyban leegyszerűsödött. Ugyanis a PIC-hez tartozik egy ugyancsak a PIC-et gyártó vállalat termékeként egy ún. demo board. Ezen a PIC funkcióinak megismeréséhez szükséges eszközök megtalálhatóak. Ilyen a LED-ek (hogy pl: a digitális kivezetések állapotát vagy akár az időzítő modult tudjuk tesztelni), van rajta LCD kijelző (a Parallel Master Port megismeréséhez). Ami minket érdekel az az RS232 port (soros vagy COM portnak is nevezik), ezen keresztül fogjuk a PC-re küldeni az adatokat. Ennek nem túl nagy a kommunikációs sebessége, de tudjuk, hogy elég csak 50bps (10 bit a felbontás és egy másodperc alatt 5 mintát veszünk), akkor ez bőven megfelel a célnak. A kérdés az, hogy a demo board-ba hogyan jutnak be a jelek, amiket aztán a PIC ADC-je feldolgoz. Azt tudtam, hogy az PIC-nek 16 analóg bemeneti lába van, az egyikhez tartozik a korábban említett potenciométer. PIC adatlapjának a segítségével utánanéztem, hogy a többi analóg bemeneti funkcióval (is) rendelkező láb mihez van hozzákötve. Így megtaláltam a 6 tűs PICkit 2 programozó interfészét. A megfelelő tűhöz csatlakoztatva az ELVIS-ről kapott jeleket továbbító kábelt meg lett oldva az adatok ADC-ig juttatása. Itt megjegyzem, hogy a csatlakozás minősége nem tökéletes. A csatlakoztatás úgy történt, hogy a megfelelő tű köré egy hurkot képeztem a kábel blankolt (csupaszított) részével. Ezt a későbbiekben érdemes biztonságosabbá tenni. Az adatok, amiket egyelőre a függvénygenerátorral hozunk létre már eljut a PIC ADC-jéig, majd a PC-ig is, azonban a PC-n még szükség van egy RS232 jelet dekódolni képes szoftverre. Kihasználtam, hogy a Windows XP rendelkezik ilyennel a HyperTerminal nevű szoftver formájában. (Megjegyzem, hogy Windows 7 nem rendelkezik a HyperTerminallal, azonban könnyen beszerezhető.)
A szoftver előnye, hogy a dekódolt jelet, ami esetünkben az ELVIS-ről érkezik egyszerűen elmenthető a további feldolgozáshoz (ez program egyik alapszolgáltatása). Ha megvan a fájl az ELVIS-ről érkezett adatokkal, akkor azt könnyen be tudjuk olvastatni a MATLAB-bal, s ugyancsak a MATLAB-bal a z-transzformáció is elvégezhető. Ha megvannak a z-transzformáltak, akkor már könnyen számolhatóak a szükséges függvények, melyek a korrekcióhoz kellenek. Kihasználva a z-transzformáció és a Laplace-transzformáció közötti kapcsolatot:, (17. képlet) ellenőrizhetjük, hogy a rendszert sikerült-e jól korrigálni. Ezt úgy tehetjük meg, hogy a (17. képlet) helyettesítést elvégezzük a javított rendszert jellemző átviteli függvényben, majd Bode amplitúdó diagramon ábrázoljuk. Természetesen, ha megvan a szoftveres korrekció, amit akár PIC is végezhet, akkor elegendő a rendszerbe bemenő jelet a rendszerből kimenő jellel összehasonlítani vizuálisan vagy a digitalizált értékeket reprezentáló számsorral a PC-n. Megjegyzem, hogy a tényleges rendszervizsgálat nem az ELVIS függvénygenerátorának segítségével fog történni, hanem egy kifejezetten erre kitalált rendszerrel, amit a mérnöki tervezésben valósítottam meg. Ez is egy függvénygenerátor, azonban ez bármit tud generálni, például sin(x)/x-et is. Mivel a sin(x)/x nem belépőfüggvény, ezért nekünk kell azzá tenni. Meg kell állapodni arról, hogy a sin(x)/x hol lép be. Mivel az x = 0 problémás lehet, valamikor a x>0 után javasolt. A generálást egy PIC végzi el, ahol megint csak kiemeljük, hogy nagyon fontos az a tény, hogy alacsony frekvencia tartományban dolgozunk, különben a PIC számításteljesítménye nem tenné lehetővé a sin(x) nagyon rövid idő alatti számítását. Az alábbi ábrán a sinx/x jel digitálissá alakításának folyamata látható. 16.ábra: a sin(x)/x jel digitális jellé alakítása A következő ábrán az EEG sinx/x-re adott válaszát alakítja át a rendszer digitális formára.
17.ábra: az EEG sinx/x-re adott válaszát alakítja át a rendszer digitális jellé Itt megjegyezem, hogy a PIC esetében egyszerre történhet a jelgenerálás és a konverzió is, mivel a konverziót egy konverziós modul végzi, nem a processzor. És a vége: 18. ábra: a kész rendszer működés közben
9 Eredmények A vizsgálathoz elengedhetetlen volt, hogy megfelelő formájú és frekvenciájú jelalakothozzunk létre. Ezt mind matematikailag, mind fizikailag sikerült előállítani, lehetővé téve, hogy a későbbi mérések megfelelően történjenek. Meg kellett határozni a frekvencia tartományt, amiben a vizsgálat történni fog, majd utána kellett járni, hogy a vizsgálat milyen jelalakkal történjen. Ezeket sikerült elvégezni a tesztelés frekvencia tartomány az 1 Hz alatti frekvencia rész, Az EEG bemeneti feszültsége max. 1 mv tehát annál kisebb vizsgálójeleket kell előállítani. Vizsgálati jelalaknak pedig a sin(x)/x-et, az egységugrás függvényt, és a fürészfog jelet használjuk. Ezek után szükség volt egy eszközre, ami a kívánt jelet előállítja. Ebben a fázisban utána kellett nézni, hogy milyen elemek szükségesek ehhez, és milyen elemek állnak a rendelkezésemre. Ezeket sikerült felmérni, majd sikerült a felmérés után a rendelkezésre álló adatok alapján megtervezni az eszközt, és megvalósítani. Az eszköz a PIC és az Explorer 16 demo board egységekkel valósult meg, ill. a PIC-ben a jelet PWM segítségével állítottam elő. Mivel nagyon hosszú periódusidejű jelekről van szó, ezért arra külön figyelmet kellett fordítani, hogy meg lehessen valósítani a hosszúidejű mintavételezést. Utána kellett járni, hogy ez hogyan lehetséges, majd ezek szerint kalibrálni a rendszert. Ez sikerült. A PIC segítségévvel történt, egyszerűen a PIC ADC modulját kellett megfelelően konfigurláni. Kellett készíteni egy mintavételező rendszert mely lehetőleg nagy felbontással és kis sebességgel képes megoldani a feladatot. Ezek után tárolni kellett a kinyert adatokat. Meg kellett találni, hogy mi az optimális megoldás az adatok tárolására ebben a teszt környezetben. Ez is megvalósult. Az előbbi eredményeknek köszönhetően már minden adat rendelkezésre áll ahhoz, hogy fel legyenek dolgozva. A feldolgozás matematikai módját meg kellett keresni. Utána kellett járni, hogy milyen matematikai összefüggések teszik lehetővé a diszkretizált jelek feldolgozását, majd a kívánt eredmény elérését. Ez is megtörtént. A megfelelő matematikai apparátus ki lett választva, hogy a hiperalacsony frekvencia tartományban megtörténhessen a korrekció. Az elvégzett feladatok pontokba szedve: Átnéztem az EEG készülékek működésével illetve használatával kapcsolatos nemzetközi szakirodalmakat, megismerkedtem az EEG működésének alapjaival. A hálózatelméleti szakirodalom segítségével meghatároztam a feladat megoldásához szükséges matematikai eljárást. A nemzetközi irodalom segítségével meghatároztam a mérési szekvenciát és beállítási paramétereket.a technikai paraméterek ismeretében megterveztem, és el is készítettem az
impulzusgenerátor és a mintavevő prototípusát. Ld. 1.számú melléklet. Önálló, hordozható készüléket mint távlati célt figyelembevéve megfontolások történtek a prototípus tervezése közben. Számba lettek véve a lehetőségek ahhoz, hogy a készülék hordozható legyen. A tervezett műszaki paraméterei: sávszélesség, mintavételi frekvencia, felbontás előállíthatók. A rendszer probléma nélkül kompakttá tehető célhardver alkalmazásával. Végeztem tesztmérést alacsonyfrekvenciás sávkorlátozással rendelkező teszt áramkörön,a mérési eredmények beváltották a tervezés során kitűzött célokat. A mérési eredményeket értékeltem, és ennek a továbbfejlesztési lehetőségek iránya mindenképpen a precízebbé tételt jelenti (ami a klinikai használatot lehetővé teszi), elsősorban egy diszkrét ADC beiktatásával.
10 Továbbfejlesztés A továbbiakban megfelelő számú méréssel igazolni kell, hogy a kiválasztott matematikai apparátus megfelel a célnak. Először nem magán az EEG készüléken lesz tesztelve a rendszer, hanem egy ismert paraméterekkel rendelkező rendszer lesz korrigálva. Ha ezen a rendszeren jól működik a tervezett korrekciós eszköz, akkor lehet magán az EEG-n elvégezni a tervezett eszközzel a korrekciót. Ha valamilyen oknál fogva a rendszer nem tökéletes, akkor meg kell vizsgálni az, hogy miért nem működik tökéletesen, majd újra elvégezni a tesztet. Ezt folytatni mindaddig, amíg a rendszer a kívánt hibakorláton belülre kerül az eredmény. Fontos, hogy a klinikai alkalmazáshoz sokkal pontosabb eszközökre (mint például nagyobb felbontású ADC-re) van szükség. Ilyen szemszögből végig kell elemezni a rendszert, hogy a kívánt pontosságot teljesítse a feladatának végzése során. Továbbá illeszteni kell az EEG készülékhez mintavételezési szempontból. Az illesztés történhet az elkészült berendezés mintavételi frekvenciájának beállításával, vagy pedig a kiszámított adatok matematikai transzformálásával. További lehetőség a kényelmes hordozhatóság, kompaktság. Különösen akkor érdekes ez a szempont, ha a javítani kívánt EEG készülék előre telepített berendezés és mint ilyen nem vihető el egy elektromos laborba a vizsgálat idejére. Fontos, hogy az eszköz megfelelő csatlakozókkal rendelkezzen, könnyen a korrigálandó rendszerhez, rendszerbe lehessen illeszteni. Fontos, hogy masszív felépítésű legyen, hogy megbízhatóan működjön akkor is, ha a hordozás során komolyabb fizikai behatásnak van kitéve. Fontos, hogy kompakt legyen. Ez könnyű hordozhatóságot jelent, és költség megtakarítást is, hiszen a kompaktság azt jelenti, hogy csak a legfontosabb egységek, csak a kívánt méretben vannak jelen a készülékben (vagyis nincs ésszerűtlenül túlméretezve).
11 Köszönet nyilvánítás Köszönöm Tihanyi Attilának a nagyon türelmes és kiemelkedően rugalmas rendelkezésre állását, amivel végig kísérte a diplomaterv létrejöttét. Továbbá köszönöm a rengeteg hasznos és nagyon gyakorlatias tanácsát. Köszönöm Weiss Bélának a hasznos irodalommal való segítését. Köszönöm a Tanulmányi Osztály munkatársainak, elsősorban Mikesy Pongrácnénak az irántam tanúsított segítőkészségét és szinte végtelen türelmét. Köszönöm a családtagjaim legkülönfélébb támogatását. Ezen támogatások nélkül nem jöhetett volna létre ez a dolgozat.
Irodalom jegyzék [1] László Keviczky, Ruth Bars, Jenő Hetthéssy, András Barta, Csilla Bányász, Szabályozástechnika, 1 st ed., Műegyetemi Kiadó, 2006 [2] György Fodor, Hálózatok és Rendszerek Analízise 1.rész, 8 th reprint, Műegyetemi Kiadó, 2002 [3] György Fodor, Hálózatok és Rendszerek Analízise 2.rész, 5 th reprint, Műegyetemi Kiadó, 1998 [4] György Fodor, Jelek és Rendszerek, 1 st ed., Műegyetemi Kiadó, 2006 [5] Katalin Hangos, József Bokor, Gábor Szederkényi, Computer Controlled Systems, 1 st ed., Veszprémi Egyetemi Kiadó, 2002 [6] Ernst Niedermeyer, Fernando Lopes da Silva, Electroencephalography: Basic Principles, Clinical Applications, and Related Fields, 4 th ed.,530 Walnut Street Philadelphia, PA: Lippincott Williams & Wilkins, 2004
Mellékletek A teszt rendszer Előállított jelalak