Póda László Urbán ános: Fizika. Emelt szintű képzéshez c. tankönyv (NT-75) feladatainak megoldása R. sz.: RE75 Nemzedékek Tudása Tankönyvkiadó, Budapest
Tartalom. lecke Az elektromos állapot.... lecke Coulomb törvénye... 5. lecke Az elektromos mező... 4. lecke Az elektromos erővonalak... 5 5. lecke Az elektromos mező munkája, a feszültség... 8 6. lecke Vezetők az elektrosztatikus térben... 7. lecke Kapacitás, kondenzátorok... 5 8. lecke Az elektromos áram, az áramerősség, az egyenáram... 8 9. lecke Az elektromos ellenállás, Ohm törvénye.... lecke Az áram hő-, és élettani hatása... 6. lecke Fogyasztók kapcsolása... 4. lecke Áram- és feszültségmérés. Az áram vegyi hatása. Feszültségforrások... 44. lecke A mágneses mező... 48 4. lecke Az áram mágneses mezője... 5 5. lecke Erőhatások mágneses mezőben... 54 6. lecke Áramvezetés gázokban és vákuumban... 56 8. lecke A szilárd testek hőtágulása... 6 9. lecke A folyadékok hőtágulása... 65. lecke A gázok állapotváltozása állandó hőmérsékleten... 7. lecke A gázok állapotváltozása állandó nyomáson... 75. lecke A gázok állapotváltozása állandó térfogaton... 79. lecke Egyesített gáztörvény, az ideális gáz állapotegyenlete... 8 4. lecke Kinetikus gázelmélet, a gáz nyomása és hőmérséklete... 9 5. lecke A gázok belső energiája. A hőtan I. főtétele... 9 6. lecke A termodinamikai folyamatok energetikai vizsgálata... 99 7. lecke A hőtan II. főtétele... 8. lecke Körfolyamatok... 5 9. lecke Olvadás, fagyás... 9. lecke Párolgás, forrás, lecsapódás.... lecke Kalorimetria... 7. lecke A hő terjedése... 4. lecke Hőtan az otthonunkban...
. lecke Az elektromos állapot. Az 5. kísérletben az ingák kitérésének távolság függését vizsgáltuk. a. Mikor nagyobb az ingák fonalának a függőlegessel bezárt a szöge: az azonosan, vagy az ellentétes előjelűen töltött ingák esetén? (Azonos nagyságú töltéseket feltételezünk, és az állványok távolsága is azonos) b. Hogyan befolyásolja az inga egyensúlyi helyzetében a fonál kitérésének mértékét a golyó tömege, ha adott a töltése? c. Hogyan befolyásolja az inga kitérésének mértékét a golyó töltésének nagysága adott tömegű inga esetén? a) Az elektrosztatikus erő iránya a töltések előjelétől, nagysága pedig (adott töltések esetén) a töltések távolságától függ. Ellentétes előjelű töltések esetén a habszivacs golyók között fellépő F vonzóerő hatására az ingák közelednek, azonos előjelű töltések esetén pedig távolodnak egymástól. Az ingák fonalának a függőlegessel bezárt szöge ellentétesen töltött ingák között nagyobb, mint azonos előjelűek között. b), c) Az inga tömegének növelése a G gravitációs erő nagyságát növeli, az inga töltésének növelése pedig az F erő nagyságát. Ezért a golyó tömegének növelése csökkenti az inga kitérésének mértékét, a töltés növelése pedig növeli.
. Megváltozik-e a műanyag rúd tömege, ha szőrmével megdörzsölve negatív töltést kap? Negatív töltés esetén a rúdon elektrontöbblet van. A rúd tömege a rávitt elektronok tömegével megnő. (Elektrononként kb. kg-mal.). Ékszíjhajtás alkalmazásakor a forgódob felületét sokszor a szíjjal azonos anyagú bevonattal látják el. Mi lehet ennek az eljárásnak a célja? Azonos anyagok esetén nem lép fel a dörzsölés miatti feltöltődés, ezért nem keletkezik robbanásveszélyes szikra. 4. Az elektrosztatikai kísérletek gyakran jól sikerülnek az üres tantetemben, az egész osztály előtt bemutatva viszont kevésbé. Mi lehet ennek az oka? A zsúfolt teremben nagyobb a levegő páratartalma, és így a vezetőképessége is. Ilyenkor a feltöltött testekről töltések vezetődnek el. Az elektrosztatikai kísérletek sikerességét nagyban befolyásolja a levegő páratartalma. 5. Ha felfújt léggömbre töltéseket viszünk, a gömb mérete kissé megváltozik. Hogyan történik a változás és miért? Az azonos töltések egymást taszító hatása miatt a léggömb mérete kismértékben megnő. 4
. lecke Coulomb törvénye. Láttuk, hogy coulomb rendkívül nagy töltés, a valóságban csak a töredéke fordul elő. Könnyű utánaszámolni, hogy a leckenyitó kérdésbeli fémgömbökre vitt C töltés hatására a 7 gömbök között irreálisan nagy (4 N!) erő ébredne. Ha azonban a híd anyagát is figyelembe vesszük, rájöhetünk, hogy ezekre e gömbökre egyáltalán nem lehetne töltést vinni. Miért? A leckenyitó kérdésbeli fémgömbökre viszont egyáltalán nem lehetne töltést vinni. Miért? A leckenyitó kérdésbeli fémgömbök a Szabadság híd pillérjein találhatóak. A híd fémszerkezete leföldeli fémgömböket, így ezeket nem lehet feltölteni.. Mekkora töltés vonzza a vele megegyező nagyságú töltést méter távolságból N erővel? F N r = m Q=? A Coulomb törvény szerint egyenlő nagyságú töltések között fellépő erő Q F nagysága: F k. Ebből Q r =m r k N 9 méter távolságból N nagyságú erővel Q= (ha ellentétes előjelűek). 9 Nm C 6 = 6 C C nagyságú töltések vonzzák egymást. Milyen távolságból taszítaná egymást N erővel két darab C nagyságú töltés? Q Q F= N r=? Q C A Coulomb törvény szerint egyenlő nagyságú töltések között fellépő erő Q nagysága: F k. Ebből r k r Q =C F 5 9 Nm 9 C N = 4 m = km (!) Két egymástól km távolságra lévő - C nagyságú töltés taszítaná egymást N nagyságú erővel. (A feltételes mód használatát az indokolja, hogy a valóságban C erő nem fordul elő.)
6 4. Két kisméretű golyó egymástól cm. Mindkettő töltése - C. a) Mekkora és milyen irányú a közöttük fellépő erő? b) Hogyan változassuk meg a két golyó távolságát, ha azt szeretnénk, hogy a köztük fellépő erő fele akkora nagyságú legyen? Q Q Q r =,m F F a) F =? b) r =? 6 C a) A Coulomb törvény szerint egyenlő nagyságú töltések között fellépő erő nagysága: F k Q 9 Nm 4 C = 9 r C, m,9 N b) A töltések közötti erő a távolság négyzetével fordítottan arányos, ezért fele akkora erő egymástól -szer nagyobb távolságra lévő töltések között lép fel. r r,8m A két töltés távolságát cm-ről 8 cm-re kell növelni ahhoz, hogy a köztük fellépő erő fele akkora nagyságú legyen. 5. A nedves levegő kismertekben vezető. Két rögzített, elektromosan töltött, kicsiny fémgolyó a párássá vált levegőben töltésének 8%-at elveszíti. Hogyan változik a köztük fellépő elektrosztatikus erő? A golyók közt fellépő kezdeti F k Q erő az r összefüggés szerint a 64%-ára csökken. (,8 Q),64 Q F = k = k =,64F r r 6. Hogyan változna a torziós szál elcsavarodásának szöge a Coulomb-féle kísérletben, minden egyéb körülmény változatlansága esetén, ha megkétszereznénk a) a torziós szál hosszát; b) a torziós szál átmérőjét; c) a torziós szál hosszát és átmérőjét? A Négyjegyű függvénytáblázatok Rugalmas alakváltozások című fejezetében található összefüggés szerint: az R sugarú, l hosszúságú, henger alakú, G torziós modulusú rúd végeire kifejtett M forgatónyomaték és a hatására létrejövő elcsavarodás közti kapcsolat: 6
4 R M = G l a. Minden egyéb körülmény változatlansága esetén, a torziós szál elcsavarodása és l hosszúsága között egyenes arányosság van.. A szál hosszának megkétszerezése esetén tehát az elcsavarodás szöge is kétszereződik. b. Minden egyéb körülmény változatlansága esetén, a torziós szál elcsavarodása és átmérőjének negyedik hatványa között fordított arányosság van.. Az átmérő megduplázása az elcsavarodás szögét a tizenhatod részére csökkenti. c. Ha a torziós szál hosszát és átmérőjét is megkétszerezzük, akkor az elcsavarodás mértéke a nyolcad részére csökken. Emelt szintű feladatok: 7. Két pontszerű töltés, -Q és +4Q egy szakasz két végpontjában van rögzítve. Hol kell elhelyezni egy q töltést ahhoz, hogy egyensúlyban legyen? A q töltés egyensúlya a két rögzített töltést összekötő egyenesnek a töltéseket összekötő l hosszúságú szakasz kívüli részén, a Q töltéshez közelebb lehetséges. A Q töltéstől való távolsága legyen x, a +4Q-tól l+x q Q q 4Q Az erők egyensúlyát leíró összefüggés: k k. Ebből l = x adódik. x ( l + x) 8. Mekkora erővel vonzza a hidrogénatomban az atommag az elektront? Mekkora az elektron sebessége? A hidrogénatom sugarat vegyük,5 nm-nek! -9 e 9 Nm (,6 C ) 8 Az erő Coulomb törvényével: F = k 9 =9, N r - C (5 m) Az elektron sebességének kiszámítása: a Coulomb erő szolgáltatja a centripetális erőt: e mv k. Ebből v = e r r k rm 9 Nm 9 9 6 m,6 C C,5-5 m 9, C s 9. Egy proton és egy elektron között egyszerre lep fel a gravitációs vonzóerő és a Coulomb-féle vonzóerő. Számítsuk ki a hidrogénatom elektronja és protonja közti elektrosztatikus és gravitációs erők arányát! A szükséges adatokat keressük ki a Négyjegyű függvénytáblázatokból! A proton és elektron közti Coulomb erő: e F C = k r A proton és elektron közti gravitációs erő: 7
mm F g = f r Ezek aránya: F F C ke = fm m g 9 Nm 9 9 (,6 C) C =,7 Nm 7 6,67 9, kg,67 kg kg 9.Mekkora a 4. kidolgozott feladatban szereplő fémgolyók töltése, ha a fonalak -os szöget zárnak be a függőlegessel? ( esetén nem alkalmazhatjuk a sin α tg α közelítést.) A mintapélda megoldásában kapott sin d l összefüggésből d = l sin F m sin m A tg mg összefüggésből F mg tg m kg 9,8 tg, N s A mintapélda megoldásában a Coulomb törvényből kapott összefüggés: F, N Q = d m =, k 9 Nm 9 C 6 C. Mekkora es milyen irányú erő hat egy a oldalú négyzet csúcsaiban elhelyezkedő azonos Q töltésekre? Milyen előjelű és nagyságú töltést helyezzünk a négyzet középpontjába, hogy ez a töltés egyensúlyban legyen? Milyenelőjelű es nagyságú töltést helyezzünk a négyzet középpontjába, hogy mind az öt töltés egyensúlyban legyen? Q Bármelyik töltésre egy szomszédos töltés által kifejtett erő F = k a A másik szomszédja Q által kifejtett erővel együtt F F = k. A négyzet szemközti csúcsában levő töltés a Q Q Q által kifejtett erő F = k k Ezek erdője F 4 F F k. (a ) a a A négyzet középpontjába helyezett tetszőleges nagyságú és előjelű töltés nyugalomban van. 8
Hogy mind az öt töltés nyugalomban legyen, a négyzet középpontjába a Q töltésekkel ellentétes előjelű q töltést helyezünk. Ez a csúcsokban lévő töltésekre F5 k Qq Qq Q k. Egyensúly esetén: F 4 F 5. Ebből q a a. Egy vékony fémkarikára vitt +Q töltés a karika kerülete menten egyenletesen oszlik el. A karika középpontjába egy kisméretű, q töltéssel ellátott golyót helyezünk. A golyóra a karika ellentétes előjelű töltés elemei vonzóerőt fejtenek ki. A szimmetrikus elrendezés miatt ezek az erők kiegyenlítik egymást; a golyóra ható erők eredője zérus. Ha valaki a két töltésrendszer középpontjának távolságát r -nak véve a Coulombtorvénybe helyettesítve számolja ki a golyóra ható erőt, akkor végtelen nagy F erőt kap. Hol van a hiba a gondolatmenetben? A megoldó nem vette figyelembe, hogy a Coulomb törvény a használt egyszerű alakban csak pontszerű töltések esetén igaz. 9
. lecke Az elektromos mező 8. Mekkora és milyen irányú az elektromos térerősség a pontszerű C töltéstől m 8 távolságban? Mekkora erő hat az ide elhelyezett C töltésre? Hol vannak azok a pontok, amelyekben a térerősség ugyanakkora? 8 Q C r=m 8 q C E=? F=? Q Q ponttöltés terében a térerősség E = k = 9 r 9 Nm C 8 C m = 9 N C N 8 6 Az E térerősségű pontba helyezett q töltésre ható erő: F = E q = 9 C,8 N C Q Ponttöltés terében az elektromos térerősség nagyságát az E = k adja. Az E térerősség r nagysága állandó azon pontokban melyek a Q ponttöltéstől adott r távolságban vannak, vagyis egy r sugarú gömbfelületen, melynek középpontjában a Q töltés van.. Ha Q töltés a töltéstől r távolságban E térerősséget kelt, mekkora a térerősség a) Q töltéstől r távolságban? b) Q töltéstől r/ távolságban? Q Q ponttöltés terében a töltéstől r távolságban a térerősség E = k r összefüggés szerint a Q töltéssel egyenesen, az r távolság négyzetével fordítottan arányos. a) Ha a Q töltést és az r távolságot egyszerre kétszerezzük, akkor a térerősség egyszerre duplázódik és negyedelődik, vagyis feleződik. b) Ha a Q töltést kétszerezzük az r távolságot pedig felezzük, akkor a térerősség egyszerre duplázódik és négyszereződik, vagyis nyolcszorozódik. 6 6. Egy m hosszúságú szakasz végpontjaiban C és - C nagyságú töltéseket helyezünk el. Mekkora és milyen irányú a térerősség a szakasz a) F felezőpontjában b) felezőmerőlegesének az F ponttól m távolságra lévő X pontjában? c) Van-e olyan pont, ahol a térerősség zérus? a=m
Q E=? 6 C Q a) A szakasz F felezőpontjában az egyes töltések által keltett E = k a térerősség-vektorok nagysága és irány megegyezik. Az F pontbeli eredő térerősség: 6 Q 9 Nm C 4 N E F = E = k = 9,8 a C m C Az E F vektor iránya párhuzamos a szakasszal, a pozitív előjelű töltéstől a negatív előjelű felé mutat. b) Az X pont d távolsága a szakasz két végpontjától egyenlő: d = a Q Q Az egyes töltések által keltett térerősség-vektorok nagysága: E = k k d a Az X pont a szakasz két végpontjával derékszögű háromszöget alkot, ezért az eredő térerősség-vektor Pitagorasz-tétele szerint az E nagyságának - szerese. Q N EX E k 6,6 a C Az eredő térerősség-vektor a töltéseket összekötő szakasszal párhuzamos. c) A térerősség nagysága csak a végtelen távoli pontban lesz zérus. 4. A következő ábra egy ponttöltés terében a töltéstől való r távolság függvényében ábrázolja az E térerősséget. a) Mekkora a teret keltő ponttöltés? b) Mekkora a térerősség a töltéstől m távolságban? N c) Hol van az a pont, ahol a térerősség 9? C
a) A grafikonról leolvasható, hogy a töltéstől r=m távolságban lévő pontban a 4 N térerősség nagysága E,6. Ponttöltés terében a térerősség távolságfüggését C 4 N,6 m Q E r 6 az E = k összefüggés adja meg. Ebből Q= C 4 C r k 9 Nm 9 C b) A térerősség nagysága a töltéstől m távolságban 9-ed annyi, mint m távolságban. E N Numerikusan: E 4 9 C Q c) Az E = k r összefüggésből r= k Q E 9 Nm 6 9 4 C C = m N 9 C Emelt szintű feladatok: 4. d) Milyen felületen helyezkednek el azok a pontok, amelyekben a térerősség nagysága N 9 C? Egy olyan gömb felületén, melynek középpontjában van a mezőt keltő töltés, sugara pedig m. 5. Homogén elektromos mezőben az elektromos térerősség nagysága 4 N C. Mekkora 6 elektrosztatikus erő és mekkora gravitációs erő hat a mezőben levő + C töltésű, g tömegű fémgolyóra? Mekkora lehet a golyóra ható erők eredője és a fémgolyó gyorsulása? N Az elektrosztatikus erő nagysága: F e = EQ = 4 6 C N C m A gravitációs erő nagysága: F g = mg = kg = N s A golyóra ható erők eredője és 4 N között lehet. 4 N m A fémgolyó gyorsulása és között lehet. kg s
6. Elektromosan töltött fémlemez mindkét oldalán homogén mező keletkezik, ellentett térerősség vektorokkal. Két egymáshoz közel helyezett párhuzamos fémlemezre vigyünk +Q, illetve Q töltést! A szuperpozíció elvét felhasználva hamarozzuk meg, hogy milyen elektromos mező keletkezik a lemezek közti es a lemezeken kívüli térrészben! A lemezek közti térrészben a két lemez által keltett térerőség összeadódik; a lemezeken kívüli térrészben kioltják egymást. 7. A. mintapélda eredményének felhasználásával oldjuk meg a következő feladatot! Egy téglalap átlóinak hossza r. A téglalap csúcsaiba azonos Q töltéseket helyeztünk el. Mekkora a térerősség a) a téglalap K középpontjában? b) a téglalap síkjára a K pontban állított merőleges egyenesnek a K-tól x távolságra levő X pontjaiban? c) Oldjuk meg a feladatot r sugarú körbe rajzolt középpontosan szimmetrikus hatszög csúcsaiba helyezett Q töltések eseten is! a. A téglalap középpontja egyenlő távolságra van a csúcsoktól, így itt a térerősség nulla. b-c. A jelzett mintapéldában a két töltésre kapott eredményt, -vel illetve -mal szorozzuk. Q x Q x Így a keresett térerősség: E = 4k illetve: E = 6k r + x r + x 8. A 7. feladat eljárását alkalmazva számítsuk ki, hogy egy r sugarú, K középpontú fémgyűrűre vitt Q töltés eseten mekkora a térerősség a gyűrű síkjára a K pontban állított merőleges egyenesnek a K-tól x távolságra levő X pontjában? A gyűrűt osszuk fel n egyenlő részre. Q Vegyük egy-egy szemközti q= töltéspárt. n Q x Alkalmazzuk ezekre a. mintapélda végeredményét E = k n r + x Az így kapott térerősség elemekből n darab egyirányú van, tehát szorozzuk meg a kapott Q x értéket n-nel: E = ne = k r + x 9. Egy a oldalú szabályos háromszög csúcsaiban levő töltések Q, Q és Q. Mekkora a térerősség a háromszög középpontjában es a háromszög oldalfelező pontjaiban?
Először érdemes kiszámítani az oldalfelező pontokban az egyes töltések által keltett térerősségek nagyságát: Q Az a távolságra lévő töltés által keltett térerősség nagysága. E = k a A szemközti, a távolságra lévő csúcsba helyezett töltés által keltetté: Q E = k a Legyen a háromszögnek a Q töltéssel szemközti oldalának felezőpontja X, a másik kettőé Y és Z X pontban a két szomszédos töltés tere kioltja egymást, ezért itt a térerősség: Q E x = E = k a Y és Z pontokban az egymásra erőleges E és E nagyságú vektorok eredőjét kell kq kiszámítani: E Y = E Z = ( E ) +E = 7 a A háromszög K középpontja minden csúcstól a távolságra van. Egy-egy töltés által a Q középpontban keltett térerősség nagysága E = k 4 a A töltések előjelének megfelelően a három vektorból két egymással -os szöget bezáró vektort, és egy az előző kettő eredőjével azonos irányú vektort összegezünk: Q E K = E k a 4
4. lecke Az elektromos erővonalak. Rajzoljuk meg az ellentétesen egyenlő töltésű fémlemezek közti elektromos mező erővonalábráját a pozitívan, illetve a negatívan töltött fémlemez erővonalábrájának ismeretében! Miért nincsenek erővonalak a két ellentétesen töltött lemezen kívüli térrészekben? A lemezeken kívüli térrészekben nincs elektromos mező, mert a két lemez által keltett térerősségek kioltják egymást. Az alábbi állításokról döntsd el, hogy igazak, vagy hamisak! a) Az elektrosztatikus mező erővonalai önmagukba visszatérő görbék. Hamis. Az elektrosztatikus erővonalak töltésen kezdődnek, és végződnek. b) Ponttöltés mezőjében sűrűbben rajzoljuk az erővonalakat a töltés közelében, mint a töltéstől távol. Igaz. Az erővonalak sűrűsége arányos a térerősség nagyságával.. Nagy hosszúságú vezetőre töltést viszünk. Rajzoljuk le a kialakult tér erővonalrendszerét a vezetőre merőleges síkban! Hasonlítsuk össze az ábrát a ponttöltés terét bemutató ábrával! Mi a lényeges eltérés a kétféle mező között? Hasonlítsuk össze a térerősség nagyságát leíró E(x) függvényeket is! 5
Az erővonalaknak a vezetőre merőleges síkbeli ábrája hasonló a ponttöltéséhez. A hosszú egyenes vezető mezőjének csak a vezetőre merőleges erővonalai vannak, a ponttöltés mezőjében pedig a tér minden irányában indulnak erővonalak. Ez a különbség síkbeli ábrán nem érzékeltethető. A térerősség nagyságát leíró függvények összehasonlítása: Mindkét függvény a távolság növekedésével csökken, de a ponttöltésé erőteljesebben. Ponttöltés mezőjének E(x) függvénye reciprok négyzetes, a vonalmenti töltésé pedig reciprok függvény szerinti. Emelt szintű feladatok: 4. Tegyük fel, hogy az elektromos dipólust alkotó +Q és Q töltéseket +Q-ra és -½ Q-ra módosítjuk. Rajzoljuk meg ennek a térnek az erővonalábráját! ÁBR 5. Határozzuk meg a ponttöltés terében a töltéstől x távolságra levő pontban a térerősség nagyságát megfelelő Gauss-felület alkalmazásával! A megfelelő Gauss-felület a ponttöltés középponttal felvett x sugarú gömb. Felszíne: A= 4x π. A zárt gömbfelület összes fluxusa: Ψösszes 4 kq. Tudjuk, hogy Q Ebből E = k x Ψösszes E A 6. Egyenlő nagyságú egynemű töltések erővonalábráján tálalható-e olyan pont, amelyen keresztül nem húzható erővonal? Van-e ilyen pont, ha a töltések nem egyenlő nagyságúak? 6
Ha egy adott P pont körül felvett kis A felület erővonal fluxusa Ψ, akkor a P pontbeli ΔΨ térerősség: E =. Ha egy pontban a térerősség nulla, azon a ponton keresztül nem ΔA P képzelünk el erővonalat. Az egyenlő nagyságú egynemű töltések terében a két pont által meghatározott szakasz felezőpontjában a térerősség nulla, ezen a ponton keresztül nem húzható erővonal. Nem egyenlő nagyságú töltések esetén is van ilyen pont (ahol a térerősség nulla), ezen át nem húzható erővonal. 7. Egy elektromosan feltöltött fémlemez felületi töltéssűrűsége σ. Mindkét oldalán homogén elektromos mező keletkezik. Keressük meg ezen töltéseloszláshoz tartozó Gauss-felületet, és határozzuk meg a mező térerősséget Gauss törvényének segítségével! A töltésrendszer erővonal szerkezete: mindkét irányban a lemezre merőleges, egyenletes sűrűségű erővonalak. A megfelelő Gauss felület a lemezre merőleges palástú A alapterületű, a töltött lemezen áthatoló tetszőleges magasságú hasáb. A zárt felületen belüli összes töltés: Q=σA A hasáb palástján nem halad át erővonal, csak a két alaplapon. A zárt felület összes fluxusa: 4 ka Ψ összes = AE = 4 kq = 4 ka. Ebből Ψ összes = AE = k A 7
5. lecke Az elektromos mező munkája, a feszültség. Mennyivel nő egy elektron energiája, ha V feszültségű pontok között gyorsul fel? U = V 9 Q = e,6 C W=? -9-9 W =U e= V,6 C=,6 = ev. Mekkora gyorsító feszültség hatására lesz 5 ev mozgási energiája egy elektronnak? Mekkora a sebessége? Ez hány százaléka a fénysebességnek? E 5eV kin q e m U=? v=? 9,6 C 9, kg Az ev fogalmából következik, hogy 5 ev mozgási energiája 5 V gyorsító feszültség hatására lesz. Az U e Ez a fénysebességnek mv összefüggésből v m 7, s 4,4% -a. 8 m s 9 U e m = 5V,6 C =, 9, kg 7 m s.. Egy töltés elektromos mezőben mozog. A mező munkavégzése nulla. Milyen felületen helyezkedik el a mozgás pályája, ha a mező a) homogén b) ponttöltés tere? Ha a mező munkavégzése nulla, akkor a W = U Q összefüggés alapján a mozgás pályájának pontjai ekvipotenciális felület pontjai. a) Homogén mezőben ekvipotenciális felületek az erővonalakra merőleges síkok. b) Ponttöltés terében ekvipotenciális felületek olyan gömbfelületek, melyek középpontja a mezőt keltő töltés. 8
4. Milyen mozgást végez homogén elektromos mezőben egy +q töltéssel rendelkező, álló helyzetből induló, szabadon mozgó, m tömegű részecske? Milyen erő mozgatja? Hogyan alakul a sebessége? A töltött részecskét F = Eq állandó nagyságú elektrosztatikus erő gyorsítja. Egyenes vonalú F Eq egyenletesen gyorsuló mozgást végez. Gyorsulása állandó: a = = m m. Eq Sebessége az idővel arányosan növekszik: v = at = t m 5. Milyen pályán és hogyan mozog az E térerősségű homogén elektromos mezőben v kezdősebességgel elindított, +q töltéssel és m tömeggel rendelkező, szabadon mozgó test, ha az E és v vektorok a) azonos irányúak b) ellentétes irányúak c) merőlegesek egymásra? Mivel a töltés pozitív előjelű a térerősség-vektor előjele megegyezik a testre ható elektrosztatikus erő irányával F Eq a) a test a = = állandó gyorsulással egyenes vonalú pályán mozog. m m Sebessége a v = v +at összefüggés szerint egyenletesen nő. A mozgás időbeli alakulása olyan, mint a kinematikában tanult lefelé hajítás gravitációs térben. b) A test egyenes vonalú mozgást végez. Egy ideig egyenletesen lassul, majd megáll, ezután egyenletesen gyorsul. A mozgás időbeli alakulása olyan, mint a függőleges hajítás fölfelé. c) A mozgás pályájának alakja és időbeli lefolyása olyan, mint a vízszintesen elhajított testé: A pálya parabola alakú. A sebességvektor E irányú komponense egyenletesen nő, v irányú komponense időben állandó. 6. Milyen mozgást végez +Q rögzített töltés terében egy +q töltéssel rendelkező, álló helyzetből induló, szabadon mozgó test? Milyen erő mozgatja? Hogyan alakul a sebessége? Az azonos előjelű töltések között fellépő taszító Coulomb erő miatt erő miatt a rögzítetlen q töltés gyorsuló mozgással távolodik a rögzített Q töltéstől. A Coulomb erő a távolság növekedésével csökkenő, ezért a töltés csökkenő gyorsulással, de növekvő sebességgel távolodik a Q töltéstől. 9
Emelt szintű feladatok: 6 7. Homogén térben mozgó + C töltésű test cm nagyságú elmozdulás vektora a 4 térerősség vektorral 6 -os szöget zár be. A térerősség nagysága V/m. Mennyi munkát végez az elektromos tér? Mekkora a kezdő- és végpontok közti potenciálkülönbség? V W AB = F s cosα = E Q s cosα = 4 m 6 C cos 6 m 4 WAB U AB = Q 6 C =5V 4 8. Az elektromos mező két pontjának potenciálja: U A = V, UAB és U BA feszültségek? U U U = 4 V U AB A B BA = -4 V U B = 6 V. Mekkorák az 9. Egy Q = -6 C töltésű rögzített részecskétől x 5 m távolságban lévő A pontból 9 elengedünk egy m =, mg tömegű, q = - C töltésű részecskét. (A gravitáció hatását hanyagoljuk el.) a) Mennyi lesz a részecske sebessége x = m-es út megtétele után? b) Mekkora kezdősebességet kell adni a részecskének ahhoz, hogy ne térjen vissza? a) A helyzeti (potenciális) és a mozgási (kinetikus) energia összege Qq Qq állandó: -k = -k + mv x x Ebből kqq v - m x x = 9 Nm -6-9 9 C C C - 8 m s 7 kg 4m 5m b) Ne térjen vissza : nagy (végtelen) távolságban, ahol a potenciális energia nulla, a Qq kinetikus energiája is nulla legyen: -k + mv = Ebből a szökési sebesség: x kqq v= x m 9 Nm -6-9 9 C C C 7 5m kg 7 m s
6. lecke Vezetők az elektrosztatikus térben. A fémburkolattal bezárt üregbe nem hatol be a külső elektromos tér, mint ahogy egy elsötétített szobába sem jut be a napfény. A fény útját elzáró árnyékolás mindkét irányban akadályozza a fény terjedését. Vajon kétirányú-e az elektromos árnyékolás is? Vizsgájuk meg, hogy megvédi-e a gömbhéj a külső teret a fémburkolattal körülvett töltés elektromos mezőjétől! Az ábrán egy feltöltött testet vesz körbe egy töltetlen üreges fémtest. Az erővonal ábra szerint a burkoló fémen kívüli térrészben észlelhető erővonalkép ugyan olyan, mintha nem burkoltuk volna be a töltött fémtestet. Ezzel az eljárással tehát nem lehet a fémtesten belülre korlátozni az elektromos mezőt.. Rögzítsünk két fémgömböt a sugarukhoz képest nem nagy távolságban! Ha a gömbökre +Q és Q töltést viszünk, akkor a köztük fellépő erő nagyobb, mintha mindkettőre azonos, például +Q töltést viszünk. Miért? Az ellentétesen, illetve az azonosan töltött fémgömbökön létrejövő kölcsönös megosztást az ábra szemlélteti. Az egymást vonzó ellentétes előjelű töltések (a. ábra) távolsága kisebb, mint az egymást taszító azonos előjelű töltések (b ábra) távolsága. a) ábra b, ábra
. Működne-e légüres térben a locsoló berendezéseknél használt vizes Segner-kerék? Működne-e légüres térben az elektromos Segner-kerék? A locsoló berendezéseknél használt Segner-kerék a hatás-ellenhatás elvén működik. Itt a kölcsönhatás a víz és a locsoló berendezés között valósul meg; tehát légüres térben is működne. Az elektromos Segner-kerék szintén a hatás-ellenhatás elvét használja: a levegő molekuláinak vonzásával majd eltaszításával jön forgásba. Légüres térben tehát nem működik. 4. Néhány benzinkútnál árusítanak propán-bután gázt tartalmazó gázpalackot. Tárolásukat fémből készült, rácsos szerkezetű tárolókkal oldják meg. Miért? A villámcsapás elleni védelem céljából alkalmazott fémburkolat Faraday-kalitkaként működik. Emelt szintű feladatok: 5. Egy R sugarú tömör fémgömböt elektrosztatikusan feltöltünk. Ábrázoljuk grafikusan a gömb középpontjától való x távolság függvényében a töltések elhelyezkedését, a térerősséget és a potenciált! (Vizsgáljuk külön az x < R, x = R és x > R tartományokat!) A gömbre vitt töltések a gömb felületén helyezkednek el. Q A gömb belsejében (x R) a térerősség nulla, a gömbön kívül (x>r) az E = k x összefüggés szerint alakul.
Az egész fémgömb ekvipotenciális felület, a gömbön kívül a potenciál az összefüggés szerint változik. Q U = k x 6. Egy R sugarú tömör, szigetelőanyagból készült gombot térfogatilag egyenletesen feltöltünk. Ábrázoljuk a térerősséget a gömb középpontjától való távolság függvényében! A gömb térfogatát a töltések egyenletesen töltik ki. Q Q Egységnyi térfogatban lévő töltés ρ = =. A gömb középpontja körül felvett x V 4R π gömb sugarú, A(x)= 4x felszínű gömbben qx ( ) Gauss tétele szerint A(x) E(x)= 4π kq( x ) kq Ebből E(x)= x R 4x π x ρ = R. A térerősség a gömbön belül lineárisan nő. Q töltés van. A gömbön kívüli részben a térerősség olyan, mintha a teret a gömb középpontjában lévő Q kq töltés keltené: E(x)=. R
7. Kössünk össze fémes vezetővel egy R es egy R sugarú elektromosan feltöltött fémgömböt! Tudva, hogy a fémes összekötés miatt a töltött fémgömbök felületén az Q U = k potenciál ugyanakkora, mutassuk meg, hogy a két gömb felületi töltéssűrűségének R R aránya: R. Melyik fizikai jelenség magyarázata ez az eredmény? Q σ 4R π Q R = = σ Q Q R 4R π Q Q Használjuk fel, hogy U U k k R R. Vagyis Q Q R R. Ebből R R csúcshatás matematikai modellje. adódik. Ez a 8. Az előző feladat eredményét felhasználva oldjuk meg a feladatot! Két fémgömbre azonos Q töltést viszünk. Sugaraik aránya :. A két gömböt összeérintjük, majd elhalasztjuk egymástól. Számítsuk ki az egyes gömbök töltését! Legyen a két gömb töltése Q és Q. Q Q Q + R Legyen R Tehát Q Q. Ekkor és Q Q. Q Q. Ebből R R és Q Q. 4
7. lecke Kapacitás, kondenzátorok. Hogyan változik a lemezek közti térerősség és feszültség, valamint a kondenzátor kapacitása, töltése és energiája az elektromos haranggal végzett kísérlet során? Az egyszer feltöltött kondenzátor lemezei között pattogó golyó a lemezek között töltést szállít mindaddig, amíg a lemezek töltése ki nem egyenlítődik; a kondenzátor töltése tehát csökken. A kapacitás a kondenzátor geometriai méreteitől függ; ez nem változik. Mivel a töltés csökken, miközben a kapacitás állandó a kondenzátor feszültsége és energiája is csökken.. Mekkora töltés tölti fel a F kapacitású kondenzátort V feszültségre? C F U=V Q=? 4 Q = C U = F V,4 C. Két párhuzamos fémlemez töltése +Q és Q. Kezdeti, közel nulla távolságukat a két lemez távolításával növeljük. A lemezek mozgatásához le kell győznünk a két lemez közti vonzóerőt, munkát kell végeznünk. Mire fordítódik ez a munka? A lemezek között homogén elektromos mező épül fel. A lemezek közti vonzóerő a lemezek távolítása közben állandó. (Nem csökken!) A vonzóerő és a lemezek elmozdulásának szorzata megadja a végzett munkát. A lemezek távolodásakor egyre nagyobb méretű és ezért egyre nagyobb energiájú az elektromos mező. Erre fordítódik a végzett munka. 4. Mekkora a kapacitása két, egymástól mm-re levő, kondenzátornak? A As m C=ε 8,85 8,85nF d Vm m m felületű párhuzamos lemez által alkotott 5. Ha három különböző kapacitású kondenzátor összes kapcsolási kombinációját figyelembe vesszük, hány különböző eredő kapacitás állítható elő? 5
Három sorosan kapcsolt kondenzátor -féleképpen Kettő soros egy velük párhuzamos -féleképpen Kettő párhuzamos egy soros -féleképpen Három párhuzamos -féleképpen Összesen 8-féleképpen 6. Két azonos kapacitású kondenzátor egyikét V-ra, a másikat 6 V-ra töltjük fel. Mekkora lesz a kondenzátorok közös feszültsége, ha párhuzamosan kapcsoljuk őket a) az azonos; b) az ellentétes pólusaik összekötésével? A kondenzátorok töltése Q = CU és Q = CU a) Azonos pólusok összekötése esetén a kapcsolás összes töltése Q = Q +Q, eredő kapacitása C = C +C Q C. A kondenzátorok közös feszültsége: CU CU U U U= 9V C C b) Ellentétes pólusok összekötése esetén a kapcsolás összes töltése Q= Q-Q, eredő kapacitása C = C +C C. A kondenzátorok közös feszültsége: Q CU - CU U -U U= C C V Emelt szintű feladatok: 7. A kondenzátor energiájának kiszámítására használt összefüggések felhasználásával mutassuk meg, hogy vákuumban az E térerősségű elektromos mező térfogategységre jutó energiája (energiasűrűsége): w = E! A kondenzátor A felületű lemezeinek távolsága d, feszültsége U, a lemezek közötti U térerősség: E d Ekkor a térfogategységre jutó energia: W CU AE d w V Ad Ad E 8. Egy forgókondenzátor összes lemezének száma: n. Minden egyes lemez területe A. Az állóés forgórész lemezeinek távolsága mindenhol s. Mutassuk meg, hogy a kondenzátor A maximális kapacitása C = (n ) s! A forgó kondenzátor n db lemeze (n-) db párhuzamosan kapcsolt kondenzátor, melyek kapacitása összeadódik. Az egymással szemben lévő lemezfelület maximális értéke A. 6
9. Hogyan lehet megnövelni az 57. oldali ábrán látható forgókondenzátor energiáját újabb töltés hozzáadása nélkül? Ha a kondenzátorra Q töltést viszünk, majd a feltöltő áramforrásról lekapcsoljuk, Q és a lemezeket elforgatásával a kapacitást csökkentjük, akkor a W összefüggésnek C megfelelően nő a kondenzátor energiája. Ezt az energianövekedést a forgatást végző munkavégzése fedezi. 7
8. lecke Az elektromos áram, az áramerősség, az egyenáram. Elektromos meghajtású vonatok, villamosok vontatási árama a felső vezetéken érkezik az áramszedőkhöz, és a kerekeken keresztül távozik a sínekbe. A Combino villamos legnagyobb áramfelvétele A. Hány elektron halad át ekkora áramerősség esetén az áramszedőkön másodpercenként? I=A t=s 9 e,6 C n=? Q n e I=. Ebből t t I t A s n= = e -9,6 C =7,5. mm keresztmetszetű szigetelt vörösréz vezeték legnagyobb megengedhető terhelése A. Számítsuk ki ebben a vezetékben az elektronok átlagos rendezett haladási sebességét! (Atomonként egy vezetési elektront feltételezünk.) A = mm I = A kg M =,6 (A réz moláris tömege) mol kg 89 (A réz sűrűsége) m e v=? 9,6 C A térfogategységre jutó atomok száma: N ρ A n= = M kg mol m 8 = 8,5 kg,6 m mol 6 89 Ennyi a térfogategységre jutó vezetési elektronok száma is. Az. kidolgozott feladat 6. oldali megoldása szerint az elektronok átlagos sebessége: I A 4 m mm v= =8,8 A n e 6 8 9 s s m 8,5,6 C m 8
. Készítsük el a 64. oldalon látható egyszerű áramkör bővített változatait! a) Kétkapcsolós ÉS kapcsolás: az izzó akkor világít, ha a két kapcsoló mindegyike zárva van! b) Kétkapcsolós VAGY kapcsolós kapcsolás: az izzó akkor világít, ha a két kapcsoló közül legalább az egyik zárva van! c) Alternatív kapcsolás: két kapcsolót tartalmazó áramkörben bármelyik kapcsoló állapotának az izzó állapotának megváltozását eredményezze! (Az áramkörben használjunk alternatív kapcsolót) a. b. c. 4. Az első kidolgozott feladat eredménye szerint az elektronok néhány mm/h sebességgel vándorolnak a huzalban. Hogyan lehetséges az, hogy egy lámpa bekapcsolásakor az izzó azonnal kigyullad? A feszültség rákapcsolásának pillanatában minden elektron meglódul egy meghatározott irányban. Mindegyik elektron magával együtt lódítja a hozzá tartozó elektromos mezőt. Egy adott elektron lódulása és a hozzá tartozó mező lódulása azonnali hatással van a szomszéd elektronokra. Ez a hatás nagyon nagy sebességgel végigfut a vezetőn, miközben az egy irányba mozgó elektronok sebessége nagyon kicsi. 5. (Emelt feladat) A kidolgozott feladatokban az elektronoknak a fémben végzett kétféle mozgásának sebességét számoltuk ki. Az eredmények ismeretében rajzoljuk le, hogy milyen alakú egy elektron fémbeli mozgásának pályája! Vegyük figyelembe az elektron kétféle mozgásának irányát és a kétféle sebesség nagyon eltérő nagyságát! Azt is használjuk fel, hogy az elektronok mozgásuk során a fém helyhez kötött rácsionjaival sűrűn ütközve, azokról rugalmasan visszapattannak! 9
6. Szalaggenerátorral előállítható feszültség kv is lehet, de körbeforgó gumiszalagja által szállított töltések áramerőssége mindössze néhány μa. Számítsuk ki, hogy μa áramerősség eseten a 5 cm széles, cm/s sebességgel haladó gumiszalag négyzetméterenként hány coulomb töltést szállít! A gumiszalag felületi töltéssűrűsége I σ= d v 6 A 5 C m,5m, s m 7. Akkumulátorokban tárolható maximális töltésmennyiséget Ah-ban szokták megadni, és az akkumulátor kapacitásának nevezik. Személyautónk akkumulátorának kapacitása 6 Ah. Egy bekapcsolva felejtett lámpával a teljes töltöttségének 6%-áig lemerítettük. 6 A erősségű töltőárammal mennyi idő alatt érjük el a teljes töltöttséget? Q, 4 6Ah t= I 6A 4h 8. Az ábra egy zseblámpa izzóján átfolyó áramerősséget ábrázolja az idő függvényében. a) Határozzuk meg az izzón percenként átáramló töltésmennyiséget! b) Hogyan jelenik meg az I t diagramban az átáramlott Q töltés? a) A percenként átáramló töltésmennyiség a másodpercenként átáramlónak a 6-szorosa, tehát C. b) Az I-t diagramban a grafikon alatti terület az átáramló töltés. 9. Elektronikus áramkörökben gyakran fordul elő un. négyszög-, háromszög- és fűrészfogrezgés. Határozzuk meg mindhárom esetben a percenként átáramló töltésmennyiséget! Mindhárom esetben ugyanannyi a grafikon alatti terület; percenként 6 C. Emelt szintű feladatok:. Készítsük el a következő áramkörök kapcsolási rajzát, majd építsük meg az áramköröket! a) Elektromos csengőt működtet egy nyomógomb. b) Elektromos csengőt működtet két sorosan kötött nyomógomb. c) A csengőt két párhuzamosan kötött nyomógomb működteti. Mikor lehet szükség a b), illetve a c) pontban leírt áramkör alkalmazására? a)
b) c) A b) áramkörre olyan esetben van szükség, amikor mindkét nyomógomb megnyomása szükséges a csengő működéséhez. Pl. indításjelzés két kocsis járművön. A c) esetben bármelyik nyomógomb megnyomása működésbe hozza a csengőt. Pl. vészjelzés.. Ha rendelkezésedre áll két darab három kimenetű ún. alternatív kapcsoló, akkor építsd meg a.c) feladatban leírt áramkört! Hol fordul elő ilyen kapcsolás a gyakorlatban? Alternatív kapcsolásban bármelyik kapcsoló állapotának megváltozatása megváltoztatja az égő állapotát. Pl. lépcsőházi világítás működtetése két helyről.
9. lecke Az elektromos ellenállás, Ohm törvénye. Hogyan jelenik meg a vezető ellenállása az alábbi I-U grafikonokban? Az ábra A és B pontjához azonos áramerősség-és különböző feszültségértékek, a B és C pontjához azonos feszültségérték- és különböző áramerősség-értékek tartoznak. Fogalmazzunk meg egy-egy mondatot ezen értékek összehasonlítására! U Az ellenállást definiáló R= összefüggés szerint az I-U grafikon meredeksége I R Az A és B pontokat összehasonlító mondat: nagyobb ellenálláson nagyobb feszültség hajt át nagyobb áramot. A B és C pontokat összehasonlító mondat: nagyobb ellenálláson ugyanakkora feszültség kisebb áramot hajt át.. Egy fémhuzal hossza rugalmas erő hatására %-kal megnőtt. Hogyan változott az ellenállása? (Feltételezzük, hogy sűrűsége nem változik.) l, l R R ( és? itt sűrűség) Adott anyagú ellenálláshuzalok esetén l R A l A R l l A A A sűrűség változatlanságából a térfogat állandósága is következik: l A l A A l, l-ből A, R l A, l Így, R l A A l, Az ellenállás értéke tehát,-szeresére, azaz %-kal nő.
. Egyik végüknél összeerősítünk két egyenlő hosszúságú és keresztmetszetű sárgaréz és acélhuzalt, majd a szabad végeikre 6V-os feszültségforrást kapcsolunk. Mekkora feszültség mérhető a sárgaréz, illetve az acélhuzal végpontjai között? A sárgaréz fajlagos ellenállása 7 7 m, az acélé 8 m. l = l A = A U=6V 7 m 7 8 m U? U? R Az azonos geometriai méretek miatt = A két huzal-ellenálláson azonos áram folyik R 8 U R át, ezért feszültségeik aránya egyenlő a két ellenállás arányával: =. Az áramforrás U R feszültsége a két ellenálláson oszlik el: U +U 6V A két feszültség összegének és arányának ismeretében U 4V és U V 4. Mekkorának kell választani a. feladatbeli huzalok hosszának arányát ahhoz, hogy a huzalokon eső feszültségek értéke egyenlő legyen? A huzalok keresztmetszete egyenlő marad. A = A U =U 7 m l 7 8 m? A két huzal-ellenálláson azonos áram folyik át, ezért feszültségeik aránya egyenlő a két ellenállás arányával, ezért esetünkben R = R Az azonos keresztmetszetek miatt: l ρ l = ρ l. Ebből 8. A rézhuzal hossza 8-szorosa az acélénak l 5. Mekkorának kell választani a. feladatbeli huzalok keresztmetszetének arányát ahhoz, hogy a huzalokon eső feszültségek értéke egyenlő legyen? A huzalok hossza egyenlő marad.
l = l U =U 7 m 7 8 m A A? A két huzal-ellenálláson azonos áram folyik át, ezért feszültségeik aránya egyenlő a két ellenállás arányával, ezért esetünkben R = R Az azonos huzal-hosszak miatt: ρ A ρ A A. Ebből A 8. A rézhuzal keresztmetszete 8-adrésze az acélénak 6. Egy tanya és egy város közti elektromos vezetéket rézről alumíniumra cserélik. Hogyan változik a vezeték tömege, ha az a feltétel, hogy az új vezeték ellenállása a régiével megegyező legyen? l = l R = R Sűrűségadatok: Al Fajlagos ellenállás adatok. m m =?,7 kg / dm Cu 8,9 kg / dm 8 Al,67 m ρ ρ Az azonos ellenállások és hosszúságok miatt: A A 8 Cu,69 m 8 A,67 m Ebből = 8,58 A,69 m kg,7 m ρ A A tömegek aránya: = dm,58, 48. Az alumínium vezeték tömege m kg ρ A 8,9 dm Kb. fele az azonos hosszúságú és ellenállású rézvezetékének Emelt szintű feladat: 7. Az ellenállás-hőmérők működése az ellenállás hőmérséklet függésén alapszik. Egy platinahuzal ellenállása szobahőmérsékleten. Ha ezt az ellenálláshuzalt éppen megolvadó cinkolvadékba merítjük, ellenállása 5 lesz. Határozzuk meg a cink olvadáspontját. A platina hőfoktényezője,9 O C 4
R A R R T összefüggésből T R =,9 O C A cink olvadáspontja 4 O C körül van. =97 O C 8. Egy hagyományos izzólámpa szerkezetet mutatja az ábra. A volfrám izzószálhoz réz tartóhuzalok vezetik az áramot, a bennük folyó áram erőssége tehát megegyezik. Határozzuk meg, hogy az izzószálra jutó feszültség értéke hányszorosa a tartóhuzalra jutónak! A spirális izzószál igen vékony, és hosszú: keresztmetszete kb. 4-ad része a két tartóhuzalénak, hossza pedig -szer nagyobb. A fajlagos ellenállások értékét a Négyjegyű függvénytáblázatokban keressük meg! A fajlagos ellenállásértékek: 8 8 A volfrámé 5,4 m, a rézé:,69 m. l ρ 8 U A ρ l A 5,4 m = = = 4 8 U l 8 ρ ρ l A,69 m A 9. Egy ellenállást is mérő műszerrel megmértük egy V hálózati feszültséggel működő volfrámszálas izzólámpa ellenállását. A műszer 66 -ot jelez. Az izzót ezután hálózati áramkörbe kapcsoljuk és megmérjük a rajta átfolyó áram erősségét: 6 ma. Ezekből az adatokból és a volfrámszál hőfoktényezőjének ismeretében határozzuk meg az izzó volfrámszál hőmérsékletét! Ohm törvénye szerint R U I = V, 6 A értéknek kb. -szorosa. A volfrám hőfoktényezője R R R T összefüggésből: T R = 84 4,8 66 O C Az izzószál volfrámszál hőmérséklete tehát közel 6 O C. 88. A kiszámított érték korábban, hidegen mért 4,8 C O 57 C. Az alábbi értékek a Négyjegyű függvénytáblázatban szerepelnek. Adjuk meg a három fém vezetőképességének arányát; a legkisebbet tekintsük egységnyinek. Milyen szempontok játszhatnak szerepet az elektromos vezetékek anyagának kiválasztásakor? A vezetőképesség a fajlagos ellenállással fordítottan arányos. Vezetőképességi növekvő sorrendjük: Alumínium, réz, ezüst. Arányuk: :,57:,64. Vezetékek kiválasztásakor figyelembe vett szempontok: ár, elektromos vezetőképesség, mechanikai tulajdonságok. 5
. lecke Az áram hő-, és élettani hatása. Egy 8 W-os elektromos fűtőtest V-os hálózatról üzemeltethető. Számítsuk ki a fűtőtest ellenállását és a felvett áramot! P= 8W U=V R=? I=? U P= összefüggésből R U (V) R= = P A 8W U V Ohm törvénye miatt: I= R 7,7A A fűtőtest ellenállása, a felvett áram 7,7 A.. Egy mosógép ökoprogramja szerint 5,5 kg ruha mosását 5 perc alatt végzi el. Közben,5 kwh áramot fogyaszt, és 58 liter vizet használ, melyből litert melegít fel 5 C- ról 6 C-ra. a) Mennyibe kerül egy ilyen mosás? b) Hány százalékát fordítja a víz melegítésére a felhasznált energiának? ( kwh elektromos energia árát vegyük 45 Ft-nak.) W =,5 kwh V = l víz T = 45 C c víz 48 kg K kwh elektromos energia ára 45 Ft Mosás ára? Hány százalékát fordítja a víz melegítésére a felhasznált energiának?,5 kwh elektromos energia ára:,5 45 Ft = 67,5 Ft A víz melegítésére fordított energia: Q = cvíz m T = kg K A felhasznált energia: 6 W=,5kWh=,5,6 = Ennek 6,76 6 5,76 O 48 kg 45 C 6 5,76 = 6,76,65 =65%-át fordítja a mosógép a víz melegítésére. 6
. Ha egy fogyasztó feszültségét növeljük, akkor nő a teljesítménye és az általa adott idő alatt - elfogyasztott elektromos energia is. Hány százalékkal nő a fogyasztás, ha a feszültségnövekedés 4,5%-os? 999-ben a hálózati feszültség értékét 4,5%-kal növelték:v-ról V-ra. A villanyszámlákon megjelenő fogyasztás százalékos növekedése azonban lényegesen elmaradt az előző kérdésre adott, helyes válasz értékétől. Miért? U,45 U W W? Azonos ellenállások és azonos idejű fogyasztásokat feltételezve: W W P P U U,45,9 Azonos ellenálláson ugyanannyi idő alatt a fogyasztás 9%-kal nő, A hálózati feszültség 4,5%-os növelése nem okoz a fenti feladat alapján várt 9%-os fogyasztásnövekedést. Az előbb feltételeztük, hogy azonos ideig használjuk a megemelt feszültségű hálózatot. A felhasznált elektromos energiának melegítésre (fűtés, vasalás, vízmelegítés) fordított hányada nem változik. Az elektromos vízmelegítő például rövidebb ideig üzemel magasabb feszültség esetén. 4. Egy háztartásban személyenként és naponta átlagosan 4 liter 4 C-os meleg vízre van szükség. Mennyi idő alatt és milyen költséggel állíthatjuk ezt elő,8kw teljesítményű vízmelegítőnkkel, ha a melegítés hatásfoka 8%? Ez a melegvíz-igény liter víz 6 C-osra melegítésével és hideg vízzel való keverésével is kielégíthető. Ekkor azonban a nagyobb hőveszteség miatt a melegítés hatásfoka csak 6%. Melyik megoldás olcsóbb? (A hideg csapvíz 8 C-os, az elektromos energia ára 45 Ft/kWh) V = 4 l víz P=,8 kw c víz 48 kg K,8 T 8 C, T 4 C, T 6 C V = l,6 t =?, W =? t =?, W =? c m W = η T kg K,8 O 48 4kg C =4,6 7 6 =,7 kwh.
Ennek ára 57 Ft. W,7kWh A melegítés ideje: t= P,8kW,7h 4min c m T W = η Ennek ára 7 Ft. kg K,6 O 48 kg 4 C =5,85 6 =,6 kwh. W A melegítés ideje: t = P,6kWh,8kW,9h 54 min 5. Egy hagyományos, 6 watt teljesítményű izzólámpa átlagos élettartama óra, ára 66 Ft. Egy wattos kompakt izzó hasonló fényerőt biztosít, üzemideje 8 óra, ára Ft. A kompakt izzó élettartama alatt tehát átlagosan 8 db hagyományos izzót használunk el. Hasonlítsuk össze a két fényforrás beszerzési és üzemeltetési költségeit ez alatt a 8 óra alatt! Határozzuk meg grafikusan vagy számításokkal- azt az üzemidőt, amely után már megtakarítást jelent a kompakt izzó használata! ( kwh elektromos energia árát vegyük 45 Ft-nak.) P 6W, P W a = 66 Ft, a = Ft t =8 h A hagyományos izzó fogyasztása 8 óra alatt: W = P t = 6W 8h 48kWh Ez 48 45 Ft = 6 Ft-ba kerül. 8 óra alatt 8 db izzót használunk el, ezek ára 8 66Ft 58Ft. A hagyományos izzókkal kapcsolatos összes költség tehát 6 Ft+58 Ft= 8 Ft. A kompakt izzó teljesítménye és ezért fogyasztása is ötöde a hagyományos izzóénak: 96 kwh, ára 4 Ft. Beszerzési költségével együtt 4 Ft + Ft = 64 Ft. Emelt szintű feladatok: 6. Egy erőmű 6 kw elektromos teljesítményt szolgáltat egy távoli fogyasztó számára. A fogyasztóhoz vezető hosszú távvezetéket melegíti a benne folyó áram. Ez a szállítás vesztesége. Mikor kisebb ez a veszteség: 6 kv vagy kv feszültségen történő energiaszállítás esetén? Mennyi a két veszteség aránya? (Az elektromos energia szállítás feszültségét a valóságban is meg lehet választani. A módszerről a következő tanévben a váltakozó feszültség témakörben lesz szó.) 8
R ellenállású vezeték esetén a veszteség P = I R. A veszteségek aránya tehát A továbbított teljesítmények egyenlőségéből a veszteségek aránya: P U = =,5. Kétszeres feszültég esetén a veszteség a negyedére csökken P U P = P I I. 7. A LED-izzókat tartalmazó világítóeszközök energiatakarékos fényforrások. A LED- izzó ugyanis nem izzik, ezért nem jelentkezik a hagyományos fényforrásoknál kb. 9%-os veszteséget okozó melegedés. Két azonos fényerejű fényszóró közül az egyik egy óra élettartamú 5 W-os halogén izzóval, a másik db egyenként W-os, óra élettartamú LED-izzóval működik. A halogén izzó ára Ft, a db LED izzóé összesen 75 Ft. Számítsuk ki a kétféle fényforrásnak a LED-es lámpa közel három és fél éves élettartama alatti költségeit! Az eredmény értékelésekor vegyük figyelembe, hogy a lámpát nem használjuk három és fél éven át folyamatosan. Lehet, hogy átlagosan csak napi két órát üzemel. Halogén fényszóró Beszerzési ár ezer óra Ft 5ezer Ft ezer óra LED-es fényszóró 75 FT Teljesítmény 5W W Fogyasztás ezer óra alatt 5 kwh 675Ft* 9 kwh 5Ft* Összes költség 575Ft* 69Ft* *Változatlan áramárral számított, akár 4 év alatt jelentkező költségek 8. A 5 m hosszú,,5mm átmérőjű króm-nikkel huzalból fűtőtestet készítünk. a) Mekkora a 8 C-on izzó fűtőszál ellenállása? b) Mekkora a fűtőtest teljesítménye, ha V-os hálózatról működtetjük? Megoldás R l mm 5m A m,96 mm 7 R 4 O R T=,5 7 78 C =5 O C A huzal ellenállása közel 5 lesz b) P U W R 5 5W 9
. lecke Fogyasztók kapcsolása. Számítsuk ki a. kidolgozott feladat háromszögében az A és C, valamint a B és C pontok közti eredő ellenállást! R R R RAC?, R BC? A kidolgozott feladat megoldását követve: R, R (R + R )R R AC = = R + R R + R + R, ( ) 8, R, R (R + R )R ( ) R BC = = = R + R R + R + R,,. 9 V feszültségű áramforrásra egy 6 Ω-os és egy Ω-os fogyasztót kapcsolunk párhuzamosan. Mekkorák a mellékágak áramai? U= 9V R= 6 R I? I? I I U 9V,5A R 6 U 9V,A R. A harmadik kidolgozott feladat szerinti kapcsolásban cseréljük ki a feszültségforrást! Az ellenállások értéke továbbra is R = 6 Ω, R = Ω és R = Ω. Az árammérő által jelzett érték I =,45 A. a) Milyen értéket jelez a feszültségmérő? b) Mekkora a főág árama és az R ellenálláson átfolyó áram? c) Mekkora a telep feszültsége? 4
R = 6 Ω, R = Ω, R = Ω I =,45 A U =?, I?, I?, U=? Az R ellenálláson eső feszültség U I R,45A 9V. Ugyanekkora az R ellenállás feszültsége is. Az R ellenálláson átfolyó áram erőssége: U 9V I = =,A R A főág árama két mellékág áramának összege: I I I =,45A+,A=,75 A feszültségmérő a főágban lévő ellenállás feszültségét méri: U R I 6,75A 45V A telep feszültsége U= U U =45V+9V=54V 4. Számítsuk ki a telep által szolgáltatott teljesítményt az ábra szerinti áramkörben! U=4V R = Ω, R = Ω R = Ω P=? R R Az áramkör eredő ellenállása: R e R 4 R R Az áramkör teljesítménye: P U R e (4V) 4 4W 5. Két fogyasztó közül az egyik kω ellenállású és 4 W névleges teljesítményű, a másik 6 kω-os és 6 W névleges teljesítményű. a) Határozzuk meg az egyes fogyasztók névleges feszültségét és áramerősségét! b) Mekkora feszültséget kapcsolhatunk a rendszer sarkaira, ha a két fogyasztót sorosan kapcsoljuk? c) Mekkora áram folyhat át a rendszeren, ha a két fogyasztót párhuzamosan kapcsoljuk? 4
R k P R P U? U? I? I? max 4W 6k 6W U? I? A max P U R összefüggésből a névleges feszültségek: P R = 6W 6 6V U U P R = 4W V és P 4W P 6W A P I R összefüggésből I,A és I,A R R 6 A fogyasztók soros kapcsolása esetén közös az áramerősségük, ezért a két névleges áramerősségből kiválasztjuk a kisebbet: I,A A sorosan kapcsolt fogyasztók ellenállása összeadódik: Re R R 7k. A fogyasztókra kapcsolható maximális feszültség: Umax I Re,A 7 7V A fogyasztók párhuzamos kapcsolása esetén közös a feszültségük, ezért a két névleges feszültségből kiválasztjuk a kisebbet: U V A párhuzamosan kapcsolt fogyasztók R R ellenállása: R e.857k. A fogyasztókra kapcsolható maximális áramerősség: R R I max U R = V e 857 =,A 6. Gépkocsiban használt V-os izzók közül az egyik 6 W-os, a másik W-os. Tudva, hogy a sorba kapcsolt fogyasztók feszültsége összeadódik, a két izzót sorosan kapcsoljuk, és egy 4 V feszültségű áramforrással akarjuk üzemeltetni. Az egyik izzó azonban igen gyorsan kiég. Melyik és miért? U U V =V P P U 6W W 4V 4
U (V) U (V) Az izzók ellenállása: R,4 és R 7, P 6W P W Sorba kötve őket az eredő ellenállás: Re R R 9,6 Az izzókon átfolyó áram erőssége: U 4V I,5A R 9,6 Az egyes izzókra eső feszültség: U I R,5A,4 6V és U I R,5A 7, 8V A 4 V-os feszültség tehát nem V - V arányban esik az ellenállásokon, hanem 6 V - 8 V arányban. A W-os izzó kiég. 7. Oldjuk meg a 4. kidolgozott feladatot úgy, hogy az egyes izzok ellenállása különböző, Ω, Ω és Ω! Figyeljünk arra, hogy a különböző nagyságú ellenállások miatt a két kapcsolót meg kell különböztetni, és ezért négy esetet kell vizsgálni! Eredő ellenállás és főágbeli áramerősség értékek. kapcsoló nyitva. kapcsoló zárva. kapcsoló nyitva 6,A 6,7,A. kapcsoló zárva,54a 5,45,8A Emelt szintű feladatok: 8. Határozzuk meg, hogy az. kidolgozott feladat feszültségmérője a kapcsoló nyitott állása esetén mekkora feszültséget mér! A feszültségmérő által mért érték az áramforrás feszültségének vagyis 4V,7 7V R AC 57,8 R 8 AB,7 -ed része, 9. Az ábra szerinti mérőhidas kapcsolásban az ampermérőn nem folyik áram. Mekkora az ismeretlen ellenállás? Mekkora a főágban folyó áram erőssége? R Kiegyenlített híd esetén: -ből R. 4 Az áramkör eredő ellenállása: egy 6 -os és egy -os ellenállás párhuzamos eredője: 6. 6 U 4V A főág árama: I, A R 4