Egy kis számmisztika Az elmúlt másfél-két évben elért kutatási eredményeim szerint a fizikai téridő geometriai jellege szerint háromosztatú egységet alkot: egymáshoz (a lokális éterhez mért v sebesség függvényében) folytonos átmenettel illeszkedő hiperbolikus, euklideszi és elliptikus szerkezetű részekből épül föl. (Pontosabban fogalmazva: az egyes téridőgeometriákhoz társítható sebességreprezentációs terek alkotnak rendre negatív görbületű hiperbolikus, görbületmentes euklideszi, valamint pozitív görbületű elliptikus geometriai struktúrát.) Azt is láttuk, hogy tekintettel az [1]-ben nyert k Do =2 értékre a sebességreprezentációs térnek e három geometriája a (0 )v sebesség számegyenesén a következőképpen helyezkedik el: - hiperbolikus a v [0; c 0 ) szakaszon, - euklideszi a v=c 0 pontban (mint elfajult szakaszon), - elliptikus a v (c 0 ; 2c 0 ) szakaszon. (A K 0 hiperbolikus alaprendszerből közvetlenül nem észlelhető v=2c 0 pontban a K 0 Ro elliptikus alaprendszer van a Topa-modell szerint.) Ezt grafikusan ábrázolva: 0 c 0 2c 0 1. ábra Azt is föltártuk az elmúlt dolgozatokban, hogy a K 0 mint a lokális éterhez képest nyugvó hiperbolikus alaprendszerben a K 0 Ro elliptikus alaprendszerhez képest +v 1 (<2c 0 ) sebesség ellentétes irányú és (2c 0 -v 1 ) nagyságú sebbességként jelenik meg! Ezt az alábbi ábra szemlélteti: K 0 Ro -ban: +v 1 K 0 -ban: -(2c 0 -v 1 ) 0 c 0 2c 0 3c 0 4c 0 0 2. ábra A 2. ábrából (is) kitűnik, hogy a lokális éterhez képest nyugvó K 0 alaprendszerben mindamellett, hogy abban a Topa-féle háromosztatú modell szerint a 2c 0 egy tetszőlegesen megközelíthető, de soha el nem érhető felső sebességhatár (sebesség-szuprémum) a 3c 0 sebesség -c 0 -ként, míg a 4c 0 a v=0 sebességként, azaz a K 0 alaprendszer önmagaként jelenik meg. Más szavakkal: A Topa-modell egy önmagába záródó olyan sebességciklus, amelynek ciklushossza 4c 0. Ha élünk az elméleti fizikában alkalmazott mértékegység- 1
választással azaz ha c 0 -t választjuk sebesség-egységnek: c 0 :=1, akkor a Topa-féle sebességkör teljes hossza 4 (sebesség-)egységnyi. Dobó Andor a [2]-ben a [3] vonatkozó részeinek általánosításával megalkotta az ún. általánosított vagy szuper-hiperkomplex számok (w) fogalmát. (Én magam is összefoglaltam a [4] Mellékletében e nyolcdimenziós számstruktúrák általam vélt legfontosabb tulajdonságait, különös tekintettel azok w C komplex konjugáltjainak képzésére.) Most rövid ismétlésképpen tekintsük át az általánosított számok halmazát, amely absztrakt algebrai értelemben kommutatív null-osztós gyűrűt alkot! Amint [2]-ben olvasható, e nyolcdimenziós számok az alábbi egymástól lineárisan független (1 valós és 7 komplex) egységből mint bázisvektorokból építhetők fel: 1) w bázis = 1 + i + e + ε + ie + iε + eε + ieε (i 2 =-1, e 2 =1, ε 2 =0), amelynek segítségével egy tetszőleges w általánosított szám az alábbi úton generálható: 1) w = a 0 1 + a 1 i + a 2 e + a 3 ε + a 4 ie + a 5 iε + a 6 eε + a 7 ieε (a 0 a 7 valós számok) Dobó azt is bebizonyítja [2]-ben, hogy ennél általánosabb/bővebb számfogalom nem konstruálható azaz a szuper-hiperkomplex számok halmaza a legteljesebb megalkotható számfogalom! Először is ellenőrizzük találomra például az 1 és az eε bázisvektorok lineáris függetlenségét. Ehhez tételezzük föl ennek ellenkezőjét vagyis azt, hogy 2) α 1 + β eε = 0 úgy, hogy α 2 + β 2 0 (α, β valós számok). Átrendezve 2)-t, kapjuk, hogy 3) α 1 = -β eε Most szorozzuk be mindkét oldalt az ε parabolikus egységgel: 4) α 1 ε = -β eε ε = -β e (ε ε) = -β e 0 = 0 Azt kaptuk tehát, hogy 5) α ε = 0 Ha föltételezzük, hogy α 0, akkor írható, hogy 6) ε = α -1 0 = 0 Miután ε egy tisztán (parabolikus) képzetes egység, így az a 0-tól (mely egyúttal tisztán valós elemként is fölfogható egyébiránt..) szükségképpen különbözik azaz nem lehet vele egyenlő. Ha viszont azt tesszük föl, hogy α = 0, de β 0 (hiszen egyszerre nem lehetnek nullával egyenlők indirekt föltételezésünk alapján), akkor a 2) egyenlet módosult alakja: 7) β eε = 0 Osztva mindkét oldalt a β 0 valós számmal, az adódik, hogy 8) eε = β -1 0 = 0 Analóg módon iménti érvelésünkkel: Miután eε egy tisztán képzetes egység, így az a 0-tól szükségképpen különbözik. 2
Vagyis mindenképpen ellentmondásra jutunk; ami éppen azt bizonyítja, hogy az 1 és az eε egységek egymástól lineárisan függetlenek. (Hasonló módon látható be a többi egységre is a páronkénti lineáris függetlenség. Dobó [2]-ben ezt kimerítően tárgyalja.) Most legelőször is jelentsük ki, hogy a w bázis általánosított számbázis komplex (valós és komplex) egységei egytől egyig a fizikai téridő térszerű (V) részére alkalmazandók, azzal hozhatók szerves összefüggésbe. Korábbi dolgozataimban egy-egy komplex alapegység (e: hiperbolikus, ε: parabolikus és i: elliptikus) önmagának konjugáltjával vett szorzatával értelmeztem a téridő skalárszorzatát azaz ívelemnégyzetét. Például a hiperbolikus szerkezetű téridő skalárszorzatát a hiperbolikus egység segítségével a következőképpen állítom elő: 9) ds 2 = dt 2 + e e C dr 2 = dt 2 + e (-e) dr 2 = dt 2 - (e e) dr 2 = dt 2 - (1) dr 2 = dt 2 - dr 2 Másodszor jelentsük ki általános érvénnyel, hogy a w bázis valamennyi bázisegysége a fenti ( komplex konjugálós ) módon alkalmazandó a fizikai téridő ívelemnégyzetének meghatározásához. Azt is láttuk [4]-ben, hogy a w bázis 1) alatti általános alakja nem vezet újabb skalárszorzatokra az (i, e, ε) alaphármashoz képest: azaz az összetett (: többtényezős szorzatként előálló) komplex egységek is a hiperbolikus-euklideszi-elliptikus sebességreprezentációkra mutató téridő ívelemnégyzeteket eredményeznek. Ebből viszont az következik lévén a w bázis 8 dimenziós struktúra, hogy a 3<8 reláció miatt egyes alapesetek (vagy akár az összes alapeset) multiplicitása 1-nél szükségszerűen nagyobb! (Ezzel a problémával már [4]-ben is birkóztam ám mai szemmel nézve ott még téves következtetésekre jutottam.) Számoljuk csak gyorsan össze az egyes alapesetek multiplicitását: 10) 1 1 C = +1 = i i C azaz kétszeres multiplicitás (elliptikus) e e C = -1 = (-1) (+1) = (ii) (ee) = (ie) (ie) = (ie) ((-i) (-e)) = (ie) (i C e C ) = (ie) (ie) C azaz kétszeres multiplicitás (hiperbolikus) ε ε C = 0 = (-ε ε) = ε ε C = (iε) (iε) C = (eε) (eε) C = (ieε) (ieε) C azaz négyszeres multiplicitás (parabolikus) (Emlékeztetünk rá, hogy többtényezős szorzat komplex konjugáltja a tényezők konjugáltjainak szorzata.) Megállapíthatjuk tehát, hogy mindhárom alapgeometria többszörös multiplicitással jelenik meg a 8 dimenziós szuper-hiperkomplex számok w bázis alapbázisán: a hiperbolikus és az elliptikus kétszeres, míg a parabolikus/euklideszi már négyszeres multiplicitással reprezentáltatik a w bázis -ban! Vajon van ennek a töbszörösségnek valamilyen mélyebb fizikai tartalma-jelentése? E számomra roppant izgalmas kérdés megválaszolásához írjuk át az 1) alatti előállítású alapbázis egységvektorainak sorrendjét, és csoportosítsuk is őket; alkalmazva egyúttal az 1. és 2. ábrák színválasztását is: 1) w bázis = (e + ie) hiperbolikus + (ε + iε + eε + ieε) parabolikus + (1 + i) elliptikus Az 1) szerinti fölírású w bázis alaprendszernek az egyes alapgeometriákhoz tartozó altereit kifeszítő bázis egységvektoraival értelmezzük most az alábbi távolságokat (g Gaussgörbületet jelöl): 11) hiperbolikus: d hip = sgn(g hip ) (e e C + ie (ie) C ) = (-1) ((-1) + (-1)) = (-1) (-2) = 2 3
parabolikus: d par = sgn(g par ) (ε ε C + iε (iε) C + eε (eε) C + ieε (ieε) C ) = 0 (0 + 0 + 0 + 0) = 0 0 = 0 elliptikus: d ell = sgn(g ell ) (1 1 C + i i C ) = (+1) ((+1) + (+1)) = (+1) (+2) = 2 E három távolságot összeadva vagyis képezve a teljes w bázis -ra a fönti módon értelmezett távolságot pedig ez adódik: k 1 12) d wbázis = d hip + d par + d ell = 2 + 0 + 2 = 4 Következő lépésben vessük össze a 11) és 12) alatti eredményeinket a teljes Topa-ciklus 2. ábrájával. Az ott megállapítottak szerint (c 0 = 1 egységválasztással) a teljes ciklus hossza: 13) L T-cikl = 4 = 4 = d wbázis (!!) Sőt: a 2. ábra ciklusának részszakaszaira is állnak az egyenlőségek (!): 14) L hip = 2 = 2 = d hip L par = 0 + 0 = 0 = 0 = d par L ell = 2 = 2 = d ell Magyarán: a Dobó által megalkotott w általánosított számok (8 dimenziós, kommutatív null-osztós) gyűrűjének egységvektorokból álló w bázis alaprendszere a fönti távolság-definícióval összevontan, integráltan, teljességgel magában rejti-hordozza a Topa-féle háromosztatú modellt! A d par 11) alatti előállításából az is kitűnik tekintettel arra, hogy sgn(g par ) = 0, hogy a Topa-modellben szükségszerűen (azaz nem véletlenül ) egy-egy pontra zsugorodott (v = c 0 és v = 3c 0 ), elfajult szakaszok az euklideszi/parabolikus geometriájú sebességtartományok szakaszai. A 2. ábrából az is látható, hogy ha a fizikai tér minden irányába megrajzoljuk a Topaciklust, akkor a lokális K 0 origója mint egyközépont köré írt olyan koncentrikus sebességgömböket, gömbhéjakat kapunk, amelyek legnagyobbikának átmérője 8 sebességegységnyi. Ugyanakkor, ha az 1) alatti w bázis egységvektorai abszolút értékeinek összegét képezzük, akkor sem jutunk más eredményre: 15) e + ie + ε + iε + eε + ieε + 1 + i = 1 + i e + 1 + i ε + e ε + i e ε +1 + 1 = 1 + 1 1 + 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8 (!) Hátravan még a téridő dimenziószámának alapkérdése. Nevezetesen az az örökzöld téma, hogy világunk fizikai térideje valóban 4 dimenziós-e? Ezzel tekintettel az idő-altér vitathatatlanul egydimenziós voltára egyenértékű a kérdés alábbi átfogalmazása: vajon fizikai világunk térszerű része (V) csakugyan 3 dimenziós-e, avagy léteznek számunkra rejtett dimenziói is? (Tudomásom szerint újabbkeletű elméletek szívesen és egyre gyakrabban hivatkoznak rejtett térdimenziókra; például a népszerű húrelmélet mintha 8 vagy 8 és fél dimenziókról vizionálna ) 4
Nos, lássuk, vajon e roppant jelentőségű alapkérdésben vallatóra foghatjuk-e Dobó általánosított számfogalmát! A 10) alatti összefüggések szerint mind a földi világ a mi világunk téridejét jellemző hiperbolikus sebességreprezentációhoz társítható sebességtér, mind a mindenkori lokális éterhez képest c 0 -nál nagyobb v-khez (v<2c 0 ) kötődő téridőt jellemző elliptikus sebességreprezentációhoz társítható sebességtér multiplicitása 2 (ld. még 1. és 2. ábra.) Ugyanakkor a 8 dimenziós w bázis alaprendszer hiperbolikus és elliptikus alterei egyaránt 2 dimenziósak. Ebből következően: 16) (dim(altér hip )) 3 = 2 3 = 8 = dim(w bázis ) és (dim(altér ell )) 3 = 2 3 = 8 = dim(w bázis ) Magyarán az 1. és 2. ábrákon egydimenzióban szemléltetett Topa-modell egydimenziós sebesség-ciklusa a 3. hatványra emelve feszíti ki 1 az őt valódi altérként magába foglaló teljes sebességteret! Mivel pedig a sebességtér dimenziója szükségképpen egyenlő a V fizikai tér dimenziójával hisz annak az idő szerinti deriváltja, így bátran megállapíthatjuk, hogy a fizikai tér (összhangban a fizika tudományának eddigi hivatalos fölfogásával) valóban 3 dimenziós; azaz nincsenek rejtett dimenziói; kár is rájuk a legcsekélyebb (spekulatív) energiát és időt fecsérelni! A teljes fizikai téridő pedig, természetesen (1 + 3) = 4 dimenziós ahogyan a legtöbbünk eddig is gondolta és tapasztalta. Az ugyanakkor további jogos kérdés lehet föntiek fényében, hogy a négyszeres multiplicitású és pontokra zsugorodottan elfajult, éppen ezért a negatív és pozitív görbületű terek között vízválasztó szerepet betöltő parabolikus tér dimenziószáma ezek szerint 1,5? 2 És ha valóban ennyi, akkor miképpen értelmezhető ez, mit jelenthet ez..?? (Merthogy valami nagyon alapvetőt és fontosat, az szinte biztos!) Budapest, 2011. augusztus 1. (hétfő) Topa Zsolt fizikus, szakközgazdász Hivatkozások [1] Topa Zsolt: Első kísérlet k Do számértékének elméleti meghatározására (Kézirat, Budapest, 2010. október 3., vasárnap) [2] Dobó Andor: Általánosított számok és alkalmazásuk (Magánkiadás, Budapest, 1998.) [3] I. M. Jaglom: Galilei relativitási elve és egy nemeuklideszi geometria (Gondolat, Budapest, 1985.) [4] Topa Zsolt: A k állandó lehetséges értékei (Kézirat, Budapest, 2003. április 5., szombat) 1 Matematikailag szabatosan fogalmazva: az önmagával háromszorosan vett külső tenzori szorzata feszíti ki... 2 dim (w bázis ) = 8 = 2 3 = (2 2 ) 3/2 = 4 3/2 = (parabolikus tér multiplicitása) 3/2 = (parabolikus tér multiplicitása) 1,5 Megjegyzem, a matematikában újszerű geometriai alakzatok a fraktálok. (Az 1906-ban, vagyis a legkorábban fölfedezett fraktál Koch hópehelygörbéje volt, amely végtelen hosszúságú, de csak véges területet fog közre. Ezt úgy kapjuk, hogy egy szabályos háromszög minden oldalára harmadakkora háromszöget rajzolunk, és ezt az eljárást a végtelenségig folytatjuk.) A fraktálhoz értelmes hozzárendelhető dimenziók törtszámok is lehetnek. Ez tükrözi, hogyan viselkedik a fraktál a lépték megválasztásakor. Mára kiderült, a természetben, a valóságban sok helyen (fizikában, biológiában, sőt, még a térképészetben is) fordulnak elő fraktálszerű struktúrák. 5